Wstęp do sieci neuronowych, wykład 15, Neuron Hodgkina-Huxleya Maja Czoków, Jarosław Piersa, Andrzej Rutkowski Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2019-01-21 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH
1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH
Co to jest neuron? Dendryty Jądro neuronu Ciało komórki Przewężenie Ranviera Komórka Schwanna Otoczka mielinowa Akson Zakończenia aksonów
Schemat komórki neuronowej (bardzo uproszczony) Rys. za https://commons.wikimedia.org/wiki/file:complete_neuron_cell_diagram_en.svg
Co to jest neuron? Liczbę neronów w ludzkim mózgu szacuje się na 10 11, a synaps na 10 14, Tylko neurony mogą przewodzić impulsy elektryczne, Nośnikami impulsów są jony (a nie elektrony, jak w przypadku prądu elektrycznego).
Główne jony odpowiedzialne za aktywność elektryczną 11 Na 19 K 20 Ca 17 Cl
Schemat komórki neuronowej (bardzo bardzo uproszczony) membrana Pompa jonowa Kanał jonowy
Stężenie jonów nie jest równomierne W komórce Na + 1 15 mm K + 140 mm Cl 4 mm Ca 2+ 0.1 µm A 147 mm Poza komórką Na + 145 mm K + 5 mm Cl 110 mm Ca 2+ 2.5 5 mm A 25 mm A Duże cząstki naładowane ujemnie
Przepływ jonów Jony (z wyjątkiem A ) mogą przemieszczać się przez kanały jonowe w membranie zgodnie z zasadami: zgodnie z gradientem koncentracji, zgodnie z gradientem potencjału elektrycznego.
Dlaczego stężenia jonów są różne? Pompy jonowe w membranie stale przepychają jony poza komórkę i do wnętrza niezgodnie z ich gradientem koncentracji, Kanały jonowe mogą być zamknięte lub otwarte, Jony o tym samym znaku ładunku odpychają się, co ogranicza ich przepływ przez błonę komórkową.
W stanie równowagi (equilibrium) oba gradienty się równoważą i przepływ jonów jest zerowy. Potencjał (napięcie, voltage) w stanie równowagi: E ion = RT zf ln [Ion] out [Ion] in R 8.314 K Mol F 96480 C Mol T temperatura [Ion] stężenie jonu z ładunek jonu J
Wartości potencjału równowagi E Na = 61 90mV E K = 90mV E Ca = 136 145mV E Cl = 89mV
Z każdym jonem stowarzyszony jest prąd jonowy o natężeniu: I Na = g Na (V E Na ) I K = g K (V E K ) I Ca = g Ca (V E Ca ) I Cl = g Cl (V E Cl ) V potencjał na membranie g ion przewodność elektryczna (konduktancja)
E K < E Cl < V < E Na < E Ca Prądy I K i I Cl płyną na zewnątrz neuronu i obniżają wartość V (hiperpolaryzacja). Prądy I Na i I Ca płyną do wnętrza neuronu i zwiększają wartość V (depolaryzacja).
dynamika + + + + otoczenie wnętrze C V = C dv dt = I I Na I K I Ca I Cl C V = I g Na (V E Na ) g K (V E K ) g Ca (V E Ca ) g Cl (V E Cl ) C Pojemność elektryczna błony; typowo C = 1 µf cm 2
1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH
Przewodność elektryczna Przewodność elektryczna (g ion ) jest zależna głównie od kanałów jonowych (mogą być zamknięte). Ta z koleji może zależeć od: potencjału na błonie komórkowej (V ) neuroprzekaźniki z wnętrza komórki neuroprzekaźniki z poza komórki Zazwyczaj realizowana jest w postaci bramek (gates) otwierających i / lub zamykających dostęp do kanałów jonowych.
Film (youtube)
Dynamika g = ḡm a h b ḡ maksymalna przewodność m = m(v ) stopień otwarcia bramki h = h(v ) stopień zamknięcia bramki (h = 1 oznacza, że nie jest zamknięta) a liczba bramek otwierających na kanał b liczba bramek zamykających na kanał
Dynamika funkcji m i h Funkcje m i h są modelowane równaniami: ṁ = (m (V ) m) τ m (V ) ḣ = (h (V ) h) τ h (V )
Dynamika funkcji m i h
Dynamika funkcji τ m i τ h
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 1 2 Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy 3 Schemat Eulera Symulowanie modelu HH
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Dynamika w modelu Hodgkina-Huxley a Pierwsza połowa 1930: John Zachary Young odkrywa olbrzymi akson kałamarnicy o długości 10cm i średnicy 1mm (100x większe niż typowy akson u kręgowca). Umożliwiło to badanie fizjologii neuronu ówczesnymi, ograniczonymi metodami. Film: https://www.youtube.com/watch?v=k48jxzfgmc8
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Dynamika w modelu Hodgkina-Huxley a W 1952 roku został zaproponowany pierwszy model neuronu (nagroda Nobla 1963). Bazuje na trzech prądach: K, Na oraz stałym Leak. Większość obecnych modeli to jego wariacje. d dt V (t) = 1 C d n (V ) n(v ) dt n(t) = τ n(v ) d m (V ) m(v ) dt m(t) = τ m(v ) d h (V ) h(v ) dt h(t) = τ h (V ) ( I ḡl (V E l ) ḡ Na n 4 (V E Na ) ḡ K m 3 h(v E K ) )
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Parametry E Na = 55mV ḡ Na 120mS/cm 2 E K = 77mV ḡ K 36mS/cm 2 E Leak = 55.4mV ḡ Leak 0.3mS/cm 2 C = 1µF /cm 2 1 τ n = n = α n α n + β n α n + β n 1 α m τ m = m = α m + β m α m + β m 1 τ h = h = α h α h + β h α h + β h
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Parametry α n (V ) = 0.01 α m (V ) = 0.1 α h (V ) 10 V 10 ) 1 β n (V ) = 0.125 exp( V 80 ) 25 V 10 ) 1 β m (V ) = 4 exp( V 18 ) exp( 10 V exp( 25 V = 0.07 exp( V 20 ) β h(v ) = 1 exp( 30 V 10 ) + 1 Uwaga: we wzorach na tym slajdzie zakładamy, że potencjał spoczynkowy jest na poziomie 0, a nie jak wcześniej -65mV. Dlatego podczas używania tych wzorów w połączeniu z poprzednimi należy dodać do argumentu wartość +65, żeby sprowadzić napięcia do zakładanego poziomu.
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Generowanie 60 impulsu 1 40 20 0 0-20 60mA -40 1mA -60-80 380 400 420 440 460 480 500
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Model sodowo-potasowy Będzie to przybliżona wersja modelu Hodgkina-Huxley a Bramka sodowa n reaguje bardzo szybko, więc zakładamy że jest natychmiastowa (usuwamy ewoluującą zmienną i wstawiamy w jej miejsce stan stabilny), Dodatkowo usuwamy bramkę inaktywacyjną prądu potasowego h, W praktyce pozbywamy się dwóch z czterech równań
Model Hodgkina-Huxley a Model sodowo-potasowy Model sodowo-potasowy d dt V (t) = 1 C (I ḡ l (V E l ) ḡ Na m (V )(V E Na ) ḡ K n(v )(V E K )) d n (V ) n(v ) dt n(t) = τ n(v )
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Problem schematu Eulera Dana jest funkcja opisana równaniem różniczkowym tj. { f (x) = g(x) f (0) = x 0 Chcemy numerycznie obliczyć wartości funkcji.
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Problem schematu Eulera Pomysł: z definicji: f (x) = lim d 0 f (x+d) f (x) d zapomnijmy o granicy i podstawmy za d małą stałą np. d =.1; teraz f f (x + d) f (x) (x) d to co jest nieznane (tj. f (x + d)) na lewą stronę: f (x + d) := f (x) + d f (x)
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Algorytm (Schemat Eulera) przypisz (z warunku brzegowego): f [t 0 ] := x 0 ; for (t = t 0 + d; t < t max ; t+ = d) przypisz: f [t] := f [t d] + d f [t d] = f [t d] + d g(t d) zwróć f [t 0...t max ]
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Algorytm symulacji przypisz (z warunków brzegowych): V [t 0 ] := V 0 ; n[t 0 ] := n 0 ; m[t 0 ] := m 0 ; h[t 0 ] := h 0 ; for (t = t 0 + d; t < t max ; t+ = d) przypisz: V [t + d] := V [t] + d (I ḡ leak (V [t] E l ) n[t + d] := n[t] + d m[t + d] := (...) h[t + d] := (...) zwróć V [], n[], m[], h[] ḡ Na n[t] 4 (V [t] E Na ) ḡ K m[t] 3 h[t](v [t] E K ) ) n (V [t]) n[t] τ n(v )
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Implementacja algorytmu symulacji Implementacja w matlab/octave: hh.m Implementacja w Javascript (Uwaga: V spoczynkowe = 0): myselph.de/hodgkinhuxley.html
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Demo (spirale - program, dźwięki - demo live) Projekty studenckie: Matuszak, Paprzycki, MultiNeurons, Rutkowski 1, 2 Prawdziwe odczyty: Spiral Waves in Disinhibited Mammalian Neocortex Izhikevich: Simulation of Large-Scale Brain Models (Film: avi,local) Large-Scale Model of Mammalian Thalamocortical Systems Uwaga: mózgi są bardziej skomplikowane niż się wydaje; zob.: TED:Sebastian Seung: I am my connectome (local mp4, od 4:00)
Schemat Eulera Symulowanie modelu HH Bibliografia Neuron membrane potentials @ Khan Academy - Medicine E. Izhikevich, Dynamical Systems in Neuroscience F. Piękniewski, wykłady 2013 i 2009/2010 (+dużo dobrych linków i przykładów): www.piekniewski.info/filip/; zakładka Teaching