Ð ÓÖÝØÑÝ ØÖÙ ØÙÖÝ ÒÝ Ñ Ø Ö Ý ÛÝ ÓÛ ËØÙ Þ ÓÞÒ ÈÂÏËÌÃ Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓ

Á ËÌÊÍÃÌÍÊ Æ À Ä ÇÊ ÌÅ ÁÁ Ñ Ø Ö Ý ÔÓÑÓÒ Þ µ Ï Ã ÈÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò ÈÓÐ Ó Â ÔÓ ÏÝ Þ ËÞ Ó Ì Ò ÃÓÑÔÙØ ÖÓÛÝ Ï Ö Þ Û Ð ØÓÔ ¾¼¼ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k Ð ÓÖÝØÑ Ò ÖÒÝ Ð ÓÖÝØÑ ÒØ ÖÔÓÐ Ý Òݺ ÛÝ Ù ÈÐ Ò ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÙÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò ÛÝ Ù º ÈÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ Òݵ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÔÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò µº Æ A Þ Ø Ð n 1 Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÈÓ Ò Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ò Ø Ð Ý i Þ 0 i < n Ø A[i] = 0 Þ ÑÝ Ð ÓÖÝØÑ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Û Ø Ð Ý Aµº ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Ò ÁÒ Ü ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n 1 ÒØ ÓÖ ¼ Ò µ ¼µ Ö ØÙÖÒ»» Û A [i] = 0 Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÁÒ Ü ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ò ÁÒ Ü Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÔÖÓ Ð Ñ ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µº Æ A Þ Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò n = 2 k k N + º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ÖÙ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ý Aº Þ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Ò ¾Ò ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ü Å Ü ¼ ½ µ Å Ò ¼ ½ µ ÓÖ ¾ Ò µ Ñ Üµ ß Ñ Ü Ñ Ü Ð Ð µ Ö ØÙÖÒ»» Û sec Ø ÖÙ Ñ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ¾Ò Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑÙ ØÙÖÒ º Ù Ù ÖÞ ÛÓ ØÙÖÒ Ù Þ Ó Ò Þ Þ ÔÖÞ Ó Þ ØÝÐ Ó Á ÒÔº Ð A = [9,3, 5,7,2,1, 6,4] n = 8 ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÝ ÖÝÛ Ý ÁÐ ÔÓÖ ÛÒ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A Ø Ò Þ ÒÝ Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÖÞ Û ØÙÖÒ Ù Û ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝ Þ Ø º n = 8µ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÈÝØ Ò º Â Ò ÑÒ ÞÝÑ Ó ÞØ Ñ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ð Ñ ÒØ ¾¹ Ó Ó Û Ð Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ð Ñ ÒØ ¾¹ Ó Ó Û Ð Ó Ø ÒÝÑ Þ ØÝ Ø Ö ÔÖÞ Ö Ý Þ Ð Ñ ÒØ Ñ ÏÒ Ó º ÞÝÐ Ò Û ÞÝÑ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ØÙÖÒ Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÈÝØ Ò º Û ÔÖÞÝÔ Ù Ó ÐÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ØÙÖÒ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò ¾¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Üµ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¼ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ò¹Ñ Üµº Æ A Þ Ø Ð n Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Þ n = 2 k Ò k N + ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ð Ñ ÒØ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ Û Ø Ð Ý Aº º ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ ÒØ Òص Ò Å ÒÅ Ü ½ ÒØ Ò ÒØ Òµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ò Å Ò ¼ ½ µ Ñ Ü Å Ü ¼ ½ µ ÓÖ ¾ Ò µ ß Ñ Òµ Ñ Ò Ñ Üµ Ñ Ü Ð Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ»» Û min = min (A) max = max (A) Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ½ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½½ È Û Ê Ñ Ð

ÁÐ ÔÓÖ ÛÒ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý A Ø Ò Þ ÒÝ Ó Þ Ù ÓÛ Ò ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò Ó ÈÝØ Ò º ØÙÖÒ Ù Û ÖÓÞÛ ÒÝÑ ÔÖÞÝ Þ Ø º n = 8µ ÖÞ Û ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ð ÓÖÝØÑÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Óº Ù Ù ÞÑÓ Ý ÓÛ Ò ÖÞ ÛÓ ØÙÖÒ Ù Þ Ó Ò Þ Þ Á ØÝÐ Ó Ð Ñ ÒØÝ Ñ Ò Ñ ÐÒÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝ ÒÔº A = [9,3, 5,7,2,1, 6,4] n = 8 ÔÖÞ Ó Þ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½¾ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ ÒØ Òص Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÒØ Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n = 2 k k N + ÒØ Ñ Ò Ñ Ü ÒØ Òص Ö ÙÐؽ Ö ÙÐؾ ֹР½µ Ö Ð µ Ö ØÙÖÒ Ð Ö µ Ð Ö ØÙÖÒ Ö Ð µ Ð ß Ö ÙÐؽ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Ð Öµ Ú ¾µ Ö ÙÐؾ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Öµ Ú ¾µ ½ Öµ Ö ÙÐؽ ¼ Ö ÙÐؾ ¼ µ Ñ Ò Ö ÙÐؽ ¼ Ð Ñ Ò Ö ÙÐؾ ¼ Ö ÙÐؽ ½ Ö ÙÐؾ ½ µ Ñ Ü Ö ÙÐؽ ½ Ð Ñ Ü Ö ÙÐؾ ½ Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ»» Û min = min (A [l], A [l + 1],..., [r]) A max = max (A [l], A [l + 1],..., A [r])»» Ð Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙº ÓÛ ÔÖÞ Þ Ò Ù Þ ÛÞ Ð Ù Ò k Þ n = 2 k ÈÓÔÖ ÛÒÓ k N + º Þ Ò Ù Ð k = 1 Ø º n = 2 Þ Ó Þ r l = 1 Þ Ø Ñ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø Ô ÖÛ ÞÝ Û ÖÙÒ Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ö Ð µ Ö ØÙÖÒ Ð Ö µ Ð Ö ØÙÖÒ Ö Ð µ Ø ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ð k = p Þ p 1 ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü Ð Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ ÖÙ n = 2 p Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ø Þ Ò Ù Ý Ò Ð k = p + 1 Þ p 1 ÛÝÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü Ð Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ ÖÙ n = 2 p+1 Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÍÒ Û Ö ÙÑ ÓÛ Ø ÞÝ Ð k 1 Ø º > n > Þ Ó Þ 2 r l 2 Þ Ø Ñ ÛÝ ÓÒ ÒÝ Ø ÖÙ Û ÖÙÒ > Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ø Ö Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Ò ØÖÙ ÔÓ Ø Ö ÙÐؽ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Ð Öµ Ú ¾µ Ö ÙÐؾ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð Öµ Ú ¾µ ½ Öµ Þ Ò Ù Ý Ò Ó ÓÐ ÒÓ Þ Ó Ò ÃÓÖÞÝ Ø Þ Ó Þ ( [ ]) l + r result1[0] = min A[l], A[l + 1],..., A, 2 ( [ ]) l + r result1[1] = max A[l], A[l + 1],..., A, 2 ( [ ] [ l + r l + r result2[0] = min A + 1, A 2 2 ( [ ] [ l + r l + r result2[1] = max A + 1, A 2 2 l = r + 1 = n n = 2 p º Þ l+r 2 l+r 2 ] ) + 2,..., A [r], ] ) + 2,..., A [r], Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÍÒ Û Ö ÙÑ ÓÛ Ø ÞÝ º º Ò ØÔÒ ÛÝ ÓÒ Ò Ò ØÖÙ Û ÖÙÒ ÓÛ Ö ÙÐؽ ¼ Ö ÙÐؾ ¼ µ Ñ Ò Ö ÙÐؽ ¼ Ð Ñ Ò Ö ÙÐؾ ¼ Ö ÙÐؽ ½ Ö ÙÐؾ ½ µ Ñ Ü Ö ÙÐؽ ½ Ð Ñ Ü Ö ÙÐؾ ½ Ö ØÙÖÒ Ñ Ò Ñ Üµ ËØ min = min(a[l], A[l + 1],..., A [r]), max = max (A[l], A[l + 1],..., A [r]), Þ r l = 2n = 2 2 p = 2 p+1 Ó Ó ÞÝ ÓÛ º ÏÒ Ó º Ð ÓÖÝØÑ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ø Þ ÓÛÓ ÔÓÔÖ ÛÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Üº ÈÝØ Ò º  ÙÞ Ò ÓÛ Ø ÔÓÔÖ ÛÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Þ ÓÛ º Æ T (n) Þ Ð Þ ÓÔ Ö ÔÓÖ ÛÒ ÛÝ ÓÒÙ Ð ÓÖÝØÑ Ó ÓÒÓ Ð ÒÝ ÖÓÞÑ ÖÙ n ÛØ Ý Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÞÝÐ Ð n = 2 k k N + T T (n) = ( 2 k) = Ð 1 n = 2 2T ( ) n 2 + 2 Ð n > 2, 1 Ð k = 1 2T ( 2 k 1) + Ð 2 k > 1, Ó Ø Ø ÞÒ T ( 2 k) = 3 2 2k ÞÝÐ T (n) = 3 2 n 2º 2 k = Ñ ÑÝ 1 T ( 2 1) = T (2) = 3 2 2 = 1 Ó Ø ÒÓÛ Þ Ò Ù º 2 Ð ÍÞ Ò Ò º k > 1 Þ Ó Þ T ( 2 k) = 3 2 2k 2 ÛØ Ý Ð k + 1 Ñ ÑÝ ÑÝ Ð T ( 2 k+1) = 2T ( 2 k) Ò ÔÓ Ø Û Þ Ó Ò + 2 ( T 2 k+1) ( ) 3 = 2 2 2k 2 + 2 = 3 2 k 2 = 3 2 2k+1 2 Ó Ó ÞÝ ÓÛ Ò Ù Ý Òݺ ËØ Ð n = 2 k k N + Þ Ó Þ T (n) = 3 2 n 2º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

µº ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Ø Ö Ó Ö Ò Þ Ó ÓÒÓ Ò Þ ØÓØÒ ÑÒ Þ Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÒÝ Ò Ó Þ ÓÛ ÍÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò Å ÒÅ Ü ¾ ÌÛ Ö Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ö ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ò Å ÒÅ Ü ¾ Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ Ñ Ò¹Ñ Ü Û ÙÒ Û Ö ÙÑ Ò ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ Ò Å ÒÅ Ü ½º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

ÔÖÓ Ð Ñ ÛÝ ÞÙ Ò µº Æ A Þ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ø Ð n 1 Ö ÒÝ Ð Þ Ò ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ò Ø Ð Ý i Þ 0 i < n Ø A[i] = x Ò ØÙÖ ÐÒÝ º ÞÝ Ð ÓÖÝØÑ Û ÒÝ ÒÝ Ò ÁÒ Ü Ø ÔÓÔÖ ÛÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ð ÔÖÓ Ð ÑÙ ÈÝØ Ò º Ø Ð ÓÒ ÞÒ Â Ð Ø ØÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k º ÈÓÖ ÛÒÙ ÑÝ Ð Þ x Þ Ó k¹øýñ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý A ÔÓÞÝÒ Á Ð Ñ ÒØÙ k¹ø Ó Ø º A[k], A[2k], A[3k],...º ÈÖÓ ÔÖÞ ÖÝÛ ÑÝ ÛØ Ý Ý A[ik] > x Ð Ó ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k x N Þ ÑÝ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝ Ð Ñ ÒØ ÞÒ Ù Û Ø Ð Ý Aµº Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ø Ó Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ i Nº Ë Û ÒÝ Ò ÔÖÞ Ð ÑÝ k 1 Ð Ñ ÒØÝ Ô ÛÒ Ó A [ik k], A[ik (k 1)],..., A [ik 1]. ÈÖÞÝ º ËÞÙ ÑÝ Ò Ù Ð Þ Ý 15 Û Ø Ð Ý A = [2,3,7,9, 12,15,23, 24] Ð k = 3º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¼ È Û Ê Ñ Ð

Ð Û ÖØÓ Ô Ö Ñ ØÖÙ k Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k Ñ Ò ÑÒ Þ Þ Ó ÓÒÓ ÈÝØ Ò º Ô ÝÑ ØÝÞÒ ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ó Ó k ÒØ Ë Ó ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ ÒØ Üµ ß»» ÛÔ n 1 A [0] < A [1] <... < A [n 1] x A ÒØ ¼ Û Ð Ò Æ Ü µ»» ÒÞ x A [0], A [1],..., A [i k] ¹ Û Ð Üµ ½ Ö ØÙÖÒ»» Û A [i] = x Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ó Ó k Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾½ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾¾ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ º ÈÓÖ ÛÒÙ ÑÝ Ð Þ x Þ m¹øýñ Ð Ñ ÒØ Ñ Ø Ð Ý A Á m = n 2 Ð Þ A[m] ØÓ ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð Ø Ð Ý x A [0], A[1],... [m] Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓÛØ ÖÞ ÑÝ ÔÓ Ó Ò ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ð Ø Ð Ý A A [m + 1], A[m + 2],... A [n 1]º Â Ð ÖÓÞÑ Ö ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ø Ð Ý Ø Ö ÛÒÝ 1 ØÓ ÔÓ ÞÙ Û ÒÝÑ Ò Ñ Ø mº ÈÖÞÝ º ËÞÙ ÑÝ Ò Ù Ð Þ Ý 15 Û Ø Ð Ý A = [2,3,7,9, 12,15,23, 24]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ ÒØ ÒË Ö ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ Üµ ß»» ÛÔ n 1 A [0] < A [1] <... < A [n 1] x A ÒØ Ð ¼ Ö Ò¹½ Ñ Û Ð Ö¹Ð ½µ ß»» ÒÞ A [l] x A [r] Ñ Ð Öµ Ú ¾ Ñ Üµ Ö Ñ Ð Ð Ñ ½ Ð Ö ØÙÖÒ Ð»» Û A [l] = x Ð ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÒË Ö Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑ ÒË Ö Ø ÓÔØÝÑ ÐÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÛÝ ÞÙ Ò Û ÌÛ Ö Þ Ò º ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ ÙÒ Û Ö ÙÑ ÃÓÒ ØÖÙÙ ÑÝ ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ð ÓÖÝØÑÙ ÖÓÞÛ ÞÙ Ó ÔÖÓ Ð Ñ ÍÞ Ò Ò º Û ÙÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝѺ ÆÔº ÛÝ ÞÙ Ò ÖÞ ÛÓ ÝÞÝ Ò Ð ÖÓÞÛ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Þ Û Ö n Ð Ø ØÓ ÖÞ ÛÓ Ò ÖÒ ØÓ ÈÓÒ Û Û Ø Ñ ÖÞ Û Ó Ò ÑÒ Ò Ó ÓÖÞ Ò Ó Ò Ó Þ Û ÖÞ Ó Û ØÒ ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ø Ö Ù Ó ÛÝÒÓ Ó Ò ÑÒ lg n º ËØ Ý Ð ÓÖÝØÑ Þ Ý ÔÖÞ Þ Þ ÛÒØÖÞÒÝ Ð ÖÓÞÛ Ò Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÛÝ ÓÒ Ó Ò ÑÒ lg n ÔÓÖ ÛÒ Ò ÔÓÖ ÛÒ º Ø Ñ Ñ ØÓ ÒË Ö Ø ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ ÓÔØÝÑ ÐÒÝѺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Óµ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Óº ÙÛ ÑÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ý Ð Ñ ÒØÝ Á A ÖÓÞ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÑ ÖÒ Ò Ô ÛÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ð Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ØÓ Þ Ó Þ Ø Ð Ý Ó ÓÒÓ Ô ÝÑ ØÝÞÒ Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÝ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ Øº Θ(n)º ÔÖÞ Þ ÞÝ Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó Ø ØÓØÒ Ö Ò ÈÝØ Ò º Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÖÒÝ Ó ÍÒ Û Ö ÙÑ ÙÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ð ÓÖÝØÑ ÔÓ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó m l r l x A[l] A[r] A[l], Ò ØÔÙ Þ Ð ÒÓ m = l + (x A[l])(r l). A[r] A[l] Ø ÔÙÒ Ø ÔÓ Þ Ù Ð Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÖÒÝ ÔÓ ÞÙ Û ÑÓ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ Ó Ò Ê ÞØ ÔÓ ØÔÓÛ Ò Ø ÒØÝÞÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ØÓ Ý ÒË Ö º Ó ÓÒÓ Ö Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÛÝ ÞÙ Û Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ý Ò Ó ÑÓ Ò Ó Þ ÓÛ ÔÖÞ Þ Øº O (lg n)º lg Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÔÖÓ Ð Ñ k¹ Ó Ó Ó Û Ð Ó µº Æ A Þ Ø Ð n Ö ÒÝ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò n k k N + º ÈÓ Ð ÓÖÝØÑ Ø ÖÝ ÛÝÞÒ ÞÝ k¹øý Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ø Ð Ý Aº Þ ÛÝ ÞÙ Ð Ñ ÒØ Ò Û ÞÝ Û Ö Ð Ñ ÒØ Û A[i], A[i + 1],..., A [n 1] Ò ØÓ Ð Ñ ÒØ A[max] Þ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó º Æ i = 0 Á k¹ ÖÓØÒ ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò Þ Ñ Ð Ñ ÒØ A[max] Þ Ð Ñ ÒØ Ñ A[i] ÞÛ Þ i Ó Òº Ö ÞÙÐØ Ø Ñ Ø Ó Ø ØÒ Þ ÛÝ ÞÙ ÒÝ Ð Ñ ÒØ Û A[max] Ø º A[i 1]º ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2, 11,16,8, 3,1,9], k = 5. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ Ò ÛÒ Ó Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ò ÛÒ ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ Ò ÛÒÝ ÒØ Ò ÃØ ÒØ Ò ÒØ Ò ÒØ µ ß»» ÛÔ n k k N + ÒØ ¼ Ñ Ü Û Ð µ ß Ñ Ü»» ÒÞ A [0] > A [1] >... > A [i 1] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i], A [i + 1],..., A [n 1] ÓÖ Ñ Ü ½ Ò µ Ñ Ü µ Ñ Ü ËÛ Ô Ñ Ü µ»» A [i] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i + 1], A [i + 2],..., A [n 1] ½»» ÒÞ A [0] > A [1] >... > A [i 1] > Ó Ð Ñ ÒØÙ A [i], A [i + 1],..., A [n 1] Ð Ö ØÙÖÒ ¹½»» Û A [i 1] Ø k¹øýñ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØ Ñ Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ð Þ Ø Ö Þ Ð ÞÝ Û Ò k 1 Ð Ñ ÒØ Û ØÓ ÔÓ ÞÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò k¹ø Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ ØÝÐ Ó Û Þ Ø Ö Þ Ó Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ ÞÙ Ö ÙÖ ÒÝ Ò k Ð Þ Ð Ñ ÒØ Û Û Þ Ó Ó Û Ð Ó Ð Ñ ÒØÙ ØÝÐ Ó Û Þ Ñ Ó Þ º Ø Ö Þ 1µ¹Ø Ó ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö º ÈÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Á ÛÝ ÖÞ ÓÛÓÐÒÝ Ð Ñ ÒØ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A ØÞÛº Ñ Ò Ò Þ ØÓ A[m] ÖÓÞ Þ Ð Ð Ñ ÒØÝ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý Ò Ð Ñ ÒØÝ ÑÒ Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ñ Ó Þ Ø Ð Ý ÓÖ Þ Ð Ñ ÒØÝ Û Þ Ó A[m] ØÞÛº Þ Ø Ö Þ Ø Ð Ý ÙÑ Ð Ñ ÒØ A[m] Û Ø Ð Ý A Ø Ý ÔÓÔÖ ÛÒ ÖÓÞ Þ Ð Þ Ñ Ó Þ Ó Ø Ö Þ Ð Þ Ø Ö Þ Ð ÞÝ Ó Ò k 1 Ð Ñ ÒØ Û ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø A[m] Þ Ó Þ Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ Û ÔÖÞ ÛÒÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2, 11,16,8, 3,1,9], k = 5. ÈÖÞÝ Ñ Ñ Ò Ø Þ Û Þ Ô ÖÛ ÞÝ Ð Ñ ÒØ ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ýº Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÊÓÞÛ Þ Ò º Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÒØ ÊÓÞ Þ Ð Ò ÒØ Ð ÒØ Öµ ß ººº»» ÙÒ Ó ÓÒÙ ÖÓÞ Þ Ð Ò Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A [l], A [l + 1],..., A [r] ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÛÝ Ö Ò Û Ù Ø ÐÓÒÝ ÔÓ ÛÝÒ Ñ Þ Ò ÙÒ Ø Ò Ð Ñ ÒØÙ ÖÓÞ Þ Ð Ó ÔÓ ÙÑ ÞÞ Ò Ù Ò Û Û ÔÓÞÝ Ð ÒØ ÀÓ Ö ÒØ Ò ÒØ ÒØ Ð ÒØ Öµ ß»» ÛÔ n k k N + ÒØ Ñ Ñ ÊÓÞ Þ Ð Ð Öµ Ö¹Ñ ¹½µ Ö ØÙÖÒ Ñ Ð Ö¹Ñ ¹½µ Ö ØÙÖÒ ÀÓ Ö Ñ ½ Öµ Ð Ö ØÙÖÒ ÀÓ Ö ¹ ֹѵ¹½ Рѹ½µ Ð Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÞÑ ÒÒ l Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[1], A[1],..., A [l 1] Ó Ñ ÒÝ ÑÒ Þ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔРغ Æ l = 1 r = n 1 m = 0 Á ÞÒ Þ Ò ÞÑ ÒÒÝ Ò Ù Ý ÞÑ ÒÒ r Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[r + 1], A [r + 2],..., A [n 1] Û Þ Ó Ñ ÒÝ ÓÔ l < r ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò ÓÔ r 0 A[r] > A [m] ÞÑÒ Þ r Ó Ò ÓÔ l < r A[l] < A [m] ÞÛ Þ l Ó Ò Ð l < r Þ Ñ A[l] Þ A[r] ÞÑÒ Þ r Ó Ò ÞÛ Þ l Ó Ò Þ Ñ A[m] Þ A[r]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

µº ÑÔÐ Ñ ÒØÙ Ð ÓÖÝØÑ ËÔÐ Ø Û Û Ö Ø Ö Ý Ò ÓÖ Þ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò ÔÓÖ ÛÒ Ò ÛÝ ÒÓ Ó Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ø ÞÒ Ù Ó Þ ÓÖÙ ÒÝ ÛÝÒ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ËÔÐ Ø Û ÓÛÝ º Ç Þ Ù ÑÔ ÖÝÞÒ Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ó Ù ÖÓÞÛ Þ º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÞÑ ÒÒ l Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[0], A[1],..., A [l] ÑÒ Þ Ó Ñ ÒÝ ÞÑ ÒÒ r Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ø Ð Ý Ò ÔÓÞÝ A[l + 1], A[l + 2],..., A [r 1] Ó Ñ ÒÝ Û Þ Ð A[r] < A [m] Þ Ñ A[l + 1] Þ A[r] ÞÛ Þ l + 1 Ó Ò ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒº Æ l = 1 r = 0 m = r 1 Á ÞÒ Þ Ò ÞÑ ÒÒÝ Ò Ù Ý ÓÔ r < m ÔÓÛØ ÖÞ Ò ØÔÙ Þ Ò ÞÛ Þ r Ó Ò Þ Ñ A[m] Þ A[l + 1]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

µº ÈÖÞ Ø Û Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÙ ÖÓÞ Þ ÖÞÓÒ Û Ö Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ ÔÓ Þ Ù Ò Ñ ÒÝ ÓÛÓÐÒ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý Ò ØÖÞÝ ÖÓÞ ÞÒ Ö Ñ ÒØÝ ÓÐ ÒÓ ÑÒ Þ ÛÞ Ð Ñ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö ÔÓ Þ Ù ÛÞ Ð Ñ Ñ ÒÝ ÈÖÞ Ø Û Þ Ò Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Ð Ò ØÔÙ Ý ÒÝ Û ÓÛÝ Ò º A = [10, 7,6,4,2,11, 16,8, 3,1,9]. ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ È ÖØ Ø ÓÒ Ö ÛÒ ÓÖ Þ Û Þ Ó Ñ Òݺ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ô ÝÑ ØÝÞÒݺ Ð Ñ ÒØÝ n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A ÔÓ ÓÖØÓÛ Ò ÖÓ Ò Ó ÞÙ ÑÝ ÈÖÞÝÔ Ô ÖÛ Þ Ó Ó Ó Û Ð Ó ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÒØÙ Â Ø Ù ÒÝ Û ÓÛÝ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö ÈÝØ Ò º ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ñ ØÓ È ÖØ Ø ÓÒ Ð ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Þ Ó ÓÒÓ Ñ ØÓ ËÔÐ Ø ÛØ Ý W (n) = 0 Ð n = 1 n 1 + W (n Ð 1) n > 1, W (n) = n 1 + W (n 1) = n 1 + n 2 + W (n 2) =... = = n (n 1)... = n 1 + n 2 +... + 0 = = Θ ( n 2). 2 ÞÝÐ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

Ö Ò º ÊÓÞ Ð Ñ ÒØ Û n¹ Ð Ñ ÒØÓÛ Ø Ð Ý A Ø ÒÓÖÓ ÒÝ ÞÙ ÑÝ ÈÖÞÝÔ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó ÔÖÓ ÙÖ ÖÓÞ Þ Ð Ò ÞÓ Ø Þ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÛ Ò Þ Ó Ò Þ Ð Ñ ÒØÙ Â Ø Þ Ó ÓÒÓ Ô Ñ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ ÈÝØ Ò º ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Û µº ÞÝ ÞÑ Ò Þ Ó ÓÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ÀÓ Ö Ð Þ ÓÔ Ö ÓÑ ÒÙ Ò ÔÖÞ Ø Û Ò Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð Ý Û ÓÛ A ÔÖÞÝ Ñ ÑÝ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÀÓ Ö Þ Ó ÓÒÓ A (n, k) = 0 n = 1 Ð n k n n 1 + 1 A(n i, k) + A(i 1, k (n Ð i) 1) n > 1, n i=1 i=n k+2 Ñ ØÓ ËÔÐ Ø Ð Ó È ÖØ Ø ÓÒ ÛØ Ý ÞÝÐ A(n, k) = O (n). Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ È Û Ê Ñ Ð

ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò µ Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¼ È Û Ê Ñ Ð

Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊ̺ ÈÓÛØ ÖÞ Ö ÙÖ ÒÝ Ò Ò ØÔÙ Ý Ñ Ø Þ Ò Þ n Ø Á ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A ÖÓÞÑ Ö Ñ ÔÓ Þ Ð ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ ÒÝ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý A Ò ÓÐ Ò Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÛÝ ÓÒ Þ Ò Þ Ó Ò Þ Ð ÓÖÝØÑ Ñ ÀÓ Ö Ð Ð Ñ ÒØÙ Þ Ð Ó A[m]º Ê ÙÖ ÒÝ ÒÝ Ó ÓÖÙ Ñ ÒÝ Û Ö ÒØÙ Ò ÝÑ ÖÓ Ù Þ Ò ÏÒ Ó º Ñ Ø ØÙ ÐÒ ÖÓÞÛ Ò Ó Ö Ñ ÒØÙ Ø Ð Ý A d ÖÓÞÑ ÖÙ d Ó Ò ÑÒ 4 Ð Ñ ÒØÝ Ð Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò Ð n 5 ØÓ ÔÓ ÓÖØÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ð Ý ÛÝ ÖÞ Ð Ñ ÒØ (n (k 1))¹ØÝ Ð n > 5 ØÓ Ö ÙÖ ÒÝ Ò ÛÝ ÞÙ A[m] = m/2 ¹ Ð Ñ ÒØ Þ Ñ Ò ÖÓÞÛ ÒÝ Ô Ø Þ Ø Ð Þ Ô Ø m Ó ÔÓÛ Ò Ó ÑÒ Þ Û Þ Ó Ñ ÒÝ A[m]º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ½ È Û Ê Ñ Ð

Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ø Ó Ò ÛÝ Øº Ð Ò ÓÛ º Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ ÔÖÞ Ø Ý ÖÞ Ù Øº Ý Þ Ñ Ø Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ð ÒÔº ØÖ Ð Ñ ÒØ Ûº Ð Ò ÓÛ Ó Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ ÔÖÞ Ø Ý ÖÞ Ù Øº Ý Þ Ñ Ø Ô Ø Ð Ñ ÒØ Û Þ ÑÝ Ò Ð ÞÓÛ Ð l¹ø Ð l Ó Ø Ø ÞÒ Ð Ó nº Ð Ò ÓÛ Ó ÈÖÓ Ð Ñ k¹ø Ó Ó Ó Û Ð Ó Ð ÓÖÝØÑ ÐÙÑ ¹ ÐÓÝ ¹ÈÖ ØØ ¹Ê Ú Ø ¹ÌÖ Ò Øº Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Ò Ñ Ø Ó Ò ÛÝ Ð Ò ÓÛ º Ò µº Í ÓÛÓ Ò Þ Ó ÓÒÓ Þ ÓÛ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÝÑ ØÝÞÒÝÑ Ð ÓÖÝØÑÙ ÈÊÌ Û Û Ö Ò ØÖ Ð Ñ ÒØ Û Ø ÖÞ Ù Û Þ Ó Ò Ð Ò ÓÛݺ Ç Þ Ù Ø Ò ÖÞ º Ð ØÓÔ ¾¼¼ ËÐ ¾ È Û Ê Ñ Ð