½ ÄÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø ½º½ ÐÞÓ Ò ÛÝ ØÖÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ ÒÐÞ ÞÑÙ ÔÖÓÐÑÑ Û ØÖÝ ÔÓÛ ÔÖÞ ÖÒÞÒº ÈÖÞÝÑ Ø ÔÖÓÐÑÛ Û ÑØÑØÝ õ ÞÝ ÑÓ Ý ½º ÈÓ ÔÖÓ ÛÐÓÛ Û ÑÒº  РÑÑÝ Ó ÞÝÒÒ Þ ÖÙÑ ÒÓ¹ ØÒÝÑ ØÓ ÓÖÐÒ ÔÖÓ Ò ÔÖÛ ÓÔÓØÙ ÈÖÓ Ø ØÓ ÐÓÖÞ ÔÖÞ¹ ÝØ ÖÓ Þ Ù v= s t ÂÐ Ò Û ÔÖÞÙ Þ Ù t ÔÖÓ ÞÑÒ ØÓ ÔÓÛÝ Þ Ò ÔÖÓ ÖÒ Ò ÓÒÙ Þ Ù tº ÓÔ ÑÑÝ Ó ÞÝÒÒ Þ ÓÞÓÒÝÑ ÓÒÑ Þ Ù t ÓÔØÝ Ù ÝÛ ÔÓÛÝ Þ Ò ÑÓ ÑÝ ÑÛ ÝÒ Ó ÔÖÓ ÖÒº ÖÙ ØÖÓÒÝ ÒØÙÝÒ ÞÙÑÝ ØÒ Ó ØÓ ÔÖÓ ÛÐÓÛ ÔÖÓ Û Ò ÓÒÖØÒ ÛÐ Þ Ù ÒÔº Ý ÑÓÓÑ ÖÞÙÑÝ ÓÑ Ò ÔÖÓÓÑÖÞµ Ò ÝÒ ÔÖÓ ÖÒ Ò Ñ ÓÒÙ Þ Ùº ÈÓÛ Û ÔÓØÖÞ ÒÐ ÝØ Ò ÔÖÓ ÛÐÓÛº ¾º ÙÓ ÖÞÝÛº Æ Ò ØÖÞ ÔÖÓÐÑÛ ÞÑÖÞÒ ÙÓ ÓÒ ÐÒ ÔÖÓ Øº Ð ÞÑÖÞÝ ÙÓ ÖÞÝÛ Ò ÔÖÓ Ø ÊÔØ Ò ÖÓÞÛÞÒ ÔÖÞݹ Ð ÓÒ Ø Þ ØÔÒ ÖÞÝÛ ÔÖÞÞ ÑÒ ÞÓ ÓÒ Þ ÓÒÛ Þ ÙÑÓÛÒ ÙÓº ÈÓ ØÔÙ Û ØÒ ÔÓ ÑÖÞÝÑÝ ÙÓ ÖÞÝÛ Þ ÔÛÒÝÑ Ñ ØÖÝ ÑÓ Ò ÙÞÝÒ ÓÛÓÐÒ ÑÝÑ Ð ØÖÝ Ø ÓÞÓÒÝ Ð ÙÓ ÓÒ¹ Û ÑÒ ÒÞÖÓÛº ÒÛ ÞÙÑÝ Ø ÔÓ ÙÓ ÖÞÝÛ Ø ÓÖÞ ÓÖÐÓÒ ÒÔº ÙÓ Û ÓÖÓÓÛÓ ÐÓ ÒØ Ñ ÓÖÐÓÒ ÛÖØÓµº ÐÝÑÝ Ò ÓÒ Þ ÞÒÞÒ ÔÓÛÞÒÙ ÝÑÝ Þ ÙÓ Ó¹ Ò ÑÒ Ó ÞÖ ÒÓÞÒ Þ ÐÓ ØÝ ÓÒÛ Ó Ò ÓÞÓÒÓ ØÓ Ó ÓØÖÞÝÑÑÝ Ï ÊÆÁ ØÓ ÙÓ ÖÞÝÛº Ð ØÓ ÔÓÖÞÒ Þ¹ ÒÓÛ ÒÑ ÞÞÒÑÝ ÔÓÛÝ Þ ÔÖÓÐÑÝ ÒÐÞÓÛ Þ ØÒÛÑÝ ÐÞ ÞÑÝ Ù ÝÛº ÄÞÝ ÒØÙÖÐÒ N ÓÛØ Z Û ÓÞÝÛ ØÝ ÔÓ ÞÝØ ÙÓ Ý ÔÖÞÝ Ù ÝÙ ÒÐÞÓÛ ÔÓ ÖÒÝ ÒÔº Ò Ø Û ÛÐÙ ÔÖÞÝÔ ÛÝÓÒÐÒ ÞÐÒµº Æ ØÔÒÝÑ Ò ÙÛÝÑ ÒÝØÑ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ Qº Ì ÛÐÓ Ù¹ Ó ÔÓÓ Ò Øº ÑÓ Ò Þ ÓÛÓÐÒ ÓÒÓ ÓÖÐ Ù ÝÛ ÐÞ ÛÝÑÖÒݺ ÇÞÙ Ò Û ÞÓÖÞ ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ ÐÙº ÈÓÞÓ Ø ÔÖÞÝ ÑÖÞÒÙ ÓÐÓ ØÒ ÓÖÞ ÓÖÐÓÒ ÓØÝ ÒÔº ÙÓ ÔÖÞØÒ ÛÖØÙ Ó ÓÙ ½ ØÖ Ò ÐÞÑ ÛÝÑÖÒÝѺ ÈÓÛÓÙ ØÓ ÖÒ Ù ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ ÑÓ Ò Ý ÐÞ ÛÝÑÖÒ Ó ÙÔÖÛÒ ÒÐÞÝ ØÖÞ Ñ Û ÞÝ ÞÖ ÐÞÓÛÝ ÞÖ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ Rº ÞÒÑÝ Ó ÔÓÞÒ ÙÓ ÔÖÞØÒ ÛÖØÙ Ó ÓÙ ÙÓ ½ ØÞÒº Ò Ø ÐÞ ÛÝÑÖÒº ÈÖÞÝÑÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ ÛØÝ ÑÓ ÑÝ ÞÔ Û ÔÓ Ø ÙÑ Ò ÖÐÒÓ = p q, ÞÝÐ p =q ½
Þp,q ÛÞÐÒ ÔÖÛ Þº ÅÑÝ Û Ø ÝØÙ ØÖÞÝ ÑÓ ÐÛÓ µ Ó ÐÞÝ p,q ÔÖÞÝ Ø µp Ø ÔÖÞÝ Ø q Ø ÒÔÖÞÝ Ø µp Ø ÒÔÖÞÝ Ø q Ø ÔÖÞÝ Øº ÈØÖÞ Ò ÝØÙ µ ÑÑÝ ÞÝÐp Ø ÔÖÞÝ Ø ÛpØ Ø ÔÖÞÝ Ø ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº Ï ÝØÙ µ ËÓÖÓp Ø ÔÖÞÝ Ø ØÓ ÞÔ ÞÑÝp=p ÖÛÒÓ p =q Ø ÖÛÒÓÛ Ò4p =q ÞÝÐp =q Ó ÞÒÞÝ q Ø ÔÖÞÝ Ø ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÏÖ Þ Û µ ÑÑÝp =q ÞÒÞÝ p Ø ÔÖÞÝ Ø ÞÒÛ Û ÔÖÞÞÒÓ Þ ÞÓ ÒѺ ËØÛÖÞÐÑÝ Û Ò ØÒ ÙÑ p p Ø = Ó ÞÒÞÝ Ò Ø q q ÐÞ ÛÝÑÖÒ ØÞÒº Ø ÐÞ ÒÛÝÑÖÒº ÍÞÙÔÒ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ Ó ÐÞÝ ÒÛÝÑÖÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ ÞÖ ÐÞ ÖÞÞÝÛ¹ ØÝ Rº ÞÒ Ò Ò Ø Ñ Ò ÐÞ ÛÝÑÖÒÝ Ö Ò ÔÓÑÞÝ ÞÓÖÑ Q R Ð Ý Û ØÝÑ Ð R ÔÒÓÒ Ø Þ Ó Òº ½º¾ Ó Òµ Ó ÞÓÖÙ R Þ Òµ ½ ÑÛ ÂÐ ÔÓÞÐÑÝ R Ò Û ÔÓÞÓÖÝAÓÖÞBA B= R Û Ø ÔÓ a A b B :a<b, ½µ Ø Ó ÖÞÙ ÛÝÒ A B= ØÓ ÐÓ Û ÞÓÖÞA ØÒ ÒÛ Þ ÐÞ ÐÓ Û ÞÓÖÞB ØÒ ÒÑÒ Þ ÐÞº ÑÝ ØÙ Ò Þ ÞÓÖÛA B Ò Ø ÔÙ ØÝµº ËÝØÙ Ø ÑÓ Ò ÞÐÙ ØÖÓÛ ÓÑØÖÝÞÒ ÂÐ ÔÓÞÐÑÝ ÔÖÓ Ø Ò Û Þ A B Ø Ý Ý ÔÙÒØ ÞAÐ Ò ÐÛÓ Ó Ó ÔÙÒØÙ ÞB ØÓ ÐÓÖÝ º ØÒ Ó ØØÒ ÔÙÒØ Û ÞA ÐÓ ÔÖÛ ÞÝ Û ÞBº Æ ÑÓ ÛÝ ØÔ ÐÙ Û ÔÖÞÖÓÙ ØÖÝ ÛÒ ÞÒÓÛÐÑݺ Æ ØÝÑ ÔÓÐ Ö Ò ÑÞÝ ÞÓÖÑ Q R Û ÞÓÖÞ R Ò ÑÓ ØÒ ÐÙ Û Q ÑÓº ÈÖÞÝ Ø ÐÙ ÈÓÞÐÑÝ ÞÖ Q Ò Û ÞAB ÓAÞÐÞÝÑÝ ÐÞÝ ÑÒ Þ Ó ÓBÐÞÝ Û Þ Ó º ËÔÒÓÒÝ Ø ØÙ ÛÖÙÒ ½µ Ð Û ÞAÒ ØÒ ÐÞ ÒÛ Þ Û ÞB Ò ØÒ ÐÞ ÒÑÒ Þº ÏÝÒ ØÓ Þ ÑÓ ÐÛÓ ÔÖÞÝÐ Ò Þ ÖÝ Þ ÓÙ Þ ÓÛÓÐÒ ÓÒÓ ÔÖÞÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒ ÔÖÞÝ Ù Ø ÔÖÞÝÐ Þ ÖÝ Þ ÓÙl n ÖÓÞÛÒ Þ ØÒ Ó nøó Ñ u n =l n +0 n º ½º ÏÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ ØÙ Û ÒÓ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øa R ØÖ ÛÝÓÖÞÝ ØÝÛÒ Û Ö ÒÝ Ñ º º ÏÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÑÓÙµ ÐÞÝa RÒÞÝÛÑÝ ÐÞ ÒÙÑÒ a R {0} ÓÖÐÒ ÔÖÞÞ ÛÖÙÒ ÂÐa0 ØÓ a =a ÂÐa<0 ØÓ a = aº ½ ÅÓ Ò ÙÛ Þ Ò Þ ÓÑØÛ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝº Ï ÞÝ Ø ÓÑØÝ ÖÞÑ Ð ÔÓ ÙÑÓÛÒ ÞÖÒ Û ËÙ º ½º ¾
Ç ÖÞÙ Þ Ò ÛÝÒ a R : a 0, oraz a = a. ¾µ Å Ñ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝ a = a ; µ ÓÛº Ða0ÑÑÝ a = a)=a= a º Ða<0ÑÑÝ a = a a = aº a a a ; µ ÓÛº Ða0 ÈÓ ÐÛ ØÖÓÒ ÔÖÛ Þ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÐÞ0 ÔÓ ÔÖÛ Þ ÐÞ0º Ï ÖÙ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº Ða<0 ÓÒ Þ Ò ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÞÓÞ a = a Û Û ÔÖÛ Þ ÒÖÛÒÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº Ï ÖÙ ÒÖÛÒÓ ÈÓ ÐÛ ØÖÓÒ ÑÑÝ ÐÞ ÑÒ Þ Ó ÞÖ ÔÓ ÔÖÛ ÐÞ Û Ó ÞÖº a+b a + b ; µ ÓÛº ÂÐ ØÖ Þ ÐÞa,b Ø ÖÛÒ ÞÖÙ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ Ó ÐÞÝ Û Þ Ó ÞÖ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ Ó ÐÞÝ ÑÒ Þ Ó ÞÖ ØÓ ÑÑÝ ÖÛÒÓº ÂÐ a>0,b<0a+b>0 ØÓ a+b =a+b<a<a+ b = a + b º ÂÐa>0,b<0 a+b<0 ØÓ a+b = a b< b= b < a + b º a b a b a + b ; µ ÓÛº ÖÙ Þ ÔÓÛÝ ÞÝ ÒÖÛÒÓ ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞÞ ÛÞ b ÞÑ ØbÛ µº ÈÖÛ Þ Þ Ø ÖÛÒÓÛ Ò a a b + b ÞÒÛ ÓØÖÞÝÑÙ Þ µ Ð ÞÑÒ a a b,a+b aº ab = a b µ ÓÛº Ða,b0 ÑÑÝa= a,b= b ab =ab= a b º Ða>0,b<0 Ø a= a,b= b ab= a b )= a b <0 ab = ) ) a b = a b º Ð a<0,b<0a= a,b= b ab= ab = a ) b )= a b º Þ ÒÖÛÒÓ a c i b d wynika,że a+b c+d µ ÌÒ ÛÞÖ ÑÓ Ò ÒÞÛ ÛÞÓÖÑ Ò ÓÛÒ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒº ÓÛº ÏÝÒ ÓÒ Þ µ ÔÓÒÛ a+b a + b c+dº ÅÑÝ Ø ÖÛÒÓÛ ÒÓ ØÖÞ ÒÖÛÒÓ a <b b<a<b a<bi a<b. µ ½º ÓÖÝ ÓÖÒÞÓÒº ÃÖ ÖÒÝ ÓÐÒÝ ÞÓÖÙ ÆZ Rº ÈÖÞÝÔÓÑÒÑÝ Ò ÞÓÖÙ ÓÖÒÞÓÒÓ Þ ÖÝ º ÅÛÑÝ Z R Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ ¾ Ð M R: z Z: Mz. ½¼µ ¾ ÒÐÓÞÒ ÒÙÑÝ ÞÖ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ
à M ÔÒ ½¼µ ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝѺ ÂÐM ÓÖÒÞÒ ÖÒ ØÓM+m Þm>0 ÖÛÒ Ø ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝѺ ÅÑÝ Û Ý ÞÖ ÓÖÒÞ ÖÒÝ ÓÞÒÞÑÝ ÓMº ÓÞ ÌÛº ÆZ Rdb ÞÖ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÏØÝ Û ÞÓÖÞMÓÖÒÞ ÖÒÝ ÞÓÖÙZ ØÒ ÐÞ ÒÑÒ Þº ÆÞÝÛÑÝ Ö Ñ ÖÒÝÑ ÞÓÖÙZ ÓÞÒÞÑÝsupZ ÞÝØÑÝ ÙÔÖÑÙÑZµº ÓÛº Ï ÓÛÓÞ ÔÓ Ù ÝÑÝ Þ Ó Òº ÈÓÞÐÑÝ Û ÞÝ Ø ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø Ò Û Ð Ý ÔÓÞÓÖÝ Rµ Ó ÖÙ Ð ÝII ÞÐÞÑÝ ÐÞÝM ÔÒ z Z:Mzº Ì ÛII ØÓ ÞÖ ÓÖÒÞ ÖÒÝ ÞÓÖÙZº ÈÓÒÛ ÞÖZ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ II Ø ÒÔÙ ØÝ Ö ÒÝ Ó Rº Ó ÔÖÛ Þ Ð Ý ÞÐÞÑÝ Û ÞÝ Ø ÔÓÞÓ Ø ÐÞÝ ØÞÒºI= R\IIº ÖI ÖÛÒ Ø ÒÔÙ ØÝºµ Ô ÞÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò ÒI ÓI ÒÐ ÐÑÒØÝM Ø z Z:M z) ØÞÒº z Z:M <zº Þ Ý Ó ÛÝÒ µ ÐÓ Û Ð I ØÒ ÐÑÒØ ÒÛ ÞÝ µ ÐÓ Û Ð II ØÒ ÐÑÒØ ÒÑÒ Þݺ ÈÓ ÑÝ ÑÓ ÐÛÓ µ Ò ÞÓÞº ÈÖÞÝÑÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ ØÞÒº Û Ð I ØÒ ÐÑÒØ ÒÛ ÞÝ ÒÞÛÑÝ Óaº Ð ÛØÝ Þ Ò Ð ÝI z Z:z>aº ÏõÑÝ ØÖÞa = z+a)º ÏØÝa <z Û ÞÒÛa I ÓÖÞa >a Ó ÞÒÞÝ a ÆÁ ÂËÌ ÐÑÒØÑ ÒÛ ÞÝÑ Û Ð I ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÇØÖÞÝÑÐÑÝ ÔÖÞÞÒÓ Ó ÓÛÓÞ ÞÓÞ ÑÓ ÐÛÓ µ ØÞÒº Û Ð II ØÒ ÐÑÒØ ÒÑÒ Þݺ ÅÑÝ ÐõÒÞ ØÛÖÞÒ ÌÛº ÂÐ ÞÖZ R Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ ÛÖ ÓÖÒÞ ÓÐÒÝ ÞÓÖÙZ ØÒ ÐÞ ÒÛ Þ ÞÛÒ Ö Ñ ÓÐÒÝÑ ÞÓÖÙZ ÓÞÒÞÑÝinfZ ÞÝØÑÝ ÒÑÙÑZµº ÓÛº Ø ÖÛÒ ÐõÒÞݺ ÍÛº ÃÖ Ý ÞÓÖÙ Ò ÑÙ Þ Ó ÒÓ ÒÐ º ÆÔº Ö Ñ ÔÖÞÞÙ ÓØÛÖØÓ ]a,b[:a<x<b ÐÞÝa Ö ÓÐÒݵ b Ö ÖÒݵ Ò ÒÐ Ó]a,b[º ½º ÓÑØÝ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÈÓ ÙÑÙÑÝ ÞÒÒ Û ÒÓ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝº ÅÓ Ò Ø ÙÞÒ Þ ÓÑØÝ ØÖ ÒÙ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Ø Û ÞÝ Ø ÞÒÒ ÒÑ Û ÒÓ ÐÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÑÓ Ò Þ Ò ÛÝÔÖÓÛÞº ½º Ï R ÑÑÝ ÞÒ ÓÛÒ + º Â Ø ÓÒÓ ÔÖÞÑÒÒx+y=y+x ÓÖÞ ÞÒx+y)+z=x+y+z) x,y,z Rº ¾º Á ØÒ ÐÑÒØ ÒÙØÖÐÒÝ0Ð ÓÛÒ ØÞÒº x Rdbx+0=xº º Ð Ó ÐÑÒØÙx ØÒ ÐÑÒØ ÔÖÞÛÒÝ xx+ x)=0º
º Ï R ÑÑÝ ÞÒ ÑÒÓ Ò + º Â Ø ÓÒÓ ÔÖÞÑÒÒx y=y x ÓÖÞ ÞÒ x y) z=x y z) x,y,z Rº º Á ØÒ ÐÑÒØ ÒÙØÖÐÒÝÐ ÑÒÓ Ò ØÞÒº x Rx =xº º Ð Ó ÐÑÒØÙx 0 ØÒ ÐÑÒØ ÔÖÞÛÒÝ x x x =º ÍÛº Ö Þ Ø ÓÖÐÓÒÝÑ ÞÒÑ ÒÞÝÛ Ñº ØÑ R Ø Ñº º Á ØÒ Û R ÖÐ ÑÒ ÞÓ < ØÞÒº Û Ö Ò ÐÞÝx,y R Ô¹ Ò ÐÓx<y ÐÓy<xº ÊÐ Ø Ø ÔÖÞÓÒ ØÞÒº Ðx<y y<z ØÓx<zº ÓÞ Ø jeślix<y, tox+z<y+z Ð Ø z>0,toxz<yz. ÍÛº Ï ÞÝ Ø ÔÓÛÝ Þ ÓÑØÝ Ø ÔÒÓÒ ÔÖÞÞ ÐÞÝ ÛÝÑÖÒº ¹ ÑÝ Û ÔÖÞ Û ÞÝ Ø ÔÓÛÝ ÞÝ ÞÞ º ÓÑØ Ó Òº ¾ ¾º½ ÈÓ ØÛÓÛ Ò º Ñ ÒÞÝÛÑÝ ÙÒ Ò ÞÓÖÞ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ ØÞÒº ÔÖÞÝÔÓÖÞÓÛÒ ÐÞ ÒØÙÖÐÒ ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øº ÅÛÑÝ ÛØÝ Ó Ù Ó ÛÝÖÞ ÖÞÞÝÛ ØÝ ÒÐÓÞÒ ÑÓ ÑÝ ÑÛ Ó Ù Ó ÛÝÖÞ ÒØÙÖÐÒÝ ÓÛØÝ ÛÝÑÖÒÝ ºººµ ÞÛÝÞ ÞÔ ÙÑÝ Û ÔÓ Øa,a,...,a n,... ÐÙ{a n }º ÈÖÞÝÑ Û ØÖ ÞÝØÐÒ ÓÖÞ ÞÒ Ò ØÓ ÒÒ ÞÝÑ ÔÓÞÒµ Ø ÖÝØÑØÝÞÒÝ a n =A+Bn, ½½µ ØÙA,B ÔÛÒÝÑ ÐÞÑ ÖÞÞÝÛ ØÝѵ ÓÖÞ ÓÑØÖÝÞÒÝ a n =aq n ½¾µ ØÙq 0,a ÐÞÝ ÖÞÞÝÛ Øµº ÆÞ ÒÙÑÝ ÔÖÞÞ ÛÒ ÛÞÓÖÑa n =fn) Ð ÔÛÒ ÙÒf Û ØÒ ÔÓ Ø ÞÒÓÛÒ ÔÓÛÝ ÒÔº ½½µ ØÙfn)=A+Bnµº ÖÙÑ Þ ØÓ ÔÓØÝÒÝÑ ÔÓ ÓÑ Ø Ò ÖÙÖÒÝÒ Û ØÖ Þ ÔÖÛ ÞÝ ÛÝÖÞ Ù ÓÖÞ ÓÖÑÙa n =Fa n ) ÞF Ø ÔÛÒ ÙÒº ÆÔº ½¾µ ÑÓ Ò ÖÛÒÓÛ Ò Þ Óa =a,a n =qa n º ÌÙØ ØÛÓ Ø ÔÖÞ Ó ÔÓ Ø ÖÙÖÒÝÒ Ó ÔÓ Ø ÛÒ Ò Ó Ø ØÓ Ò ÞÒÞÒ ØÖÙÒ Þ Ôº ÞÒ Ó Ù ÓÒÓµº Ð ÛÐÙ Û Ò ÔÓØÖÑÝ ÔÓ ÛÒÓ ÛÞÓÖÙ Òn ØÝ ÛÝÖÞ ÒÔº Ø Ø Þ Ñ ÐÞ ÔÖÛ ÞÝ ÛÑÝ Ø Ò ÓÞÒ ÛÐ ØÒÓÛ ÔÓÞÖ N Û ÑÓ Ò Ù ØÛ Û º Ð ÛÒ ÔÓ Ø ØÓ Ù Ò ÔÓØÖÑÝ ÔÓµº
º {a n } ÒÞÝÛÑÝ ÖÓ ÒÝÑ ÓÔÓÛÒÓ ÒÑÐÝÑ Ð n N:a n < a n+ ÓÔÓÛÒÓ Ð n N:a n a n+ µº ÒÐÓÞÒ º {a n } ÒÞÝÛÑÝ ÑÐÝÑ ÓÔÓÛÒÓ ÒÖÓ ÒÝÑ Ð n N:a n > a n+ ÓÔÓÛÒÓ Ð n N:a n a n+ µº ÖÓ Ò ÑÐ ÓÑÙÑÝ Û ÔÐÒ ÒÞÛ Û ÑÓÒÓØÓÒÞÒݺ ÈÖÞݺ ÐÞ ÒÔÖÞÝ ØÝ Ø ÖÓ ÒÝ {,,,,3,3,...} Ò Ø ÖÓ ÒÝ Ð Ø ÒÑÐÝ {,,,,...} Ò Ø Ò ÒÑÐÝ Ò ÒÖÓ Òݺ ¾º¾ ÖÒ Ù º ÄÞg ÒÞÝÛÑÝ ÖÒ Ù Ò ÓÞÓÒÓ{a n } Ð ǫ>0 M N : n>m : a n g <ǫ. ½ µ ÍÛº Ç ØØÒ ÛÖÙÒ ÑÓ Ò Ø Ø ÛÝÔÓÛÞ ÔÓÞÛ ÞÝ Ó ÐÞÝM Û ÞÝ Ø¹ Ò ØÔÒ ÛÝÖÞÝ Ù Ñ ÞÞ ÑÞÝg ǫ g+ǫº  Ðg Ø ÖÒ Ù{a n } ØÓ ÓÞÒÞÑÝ ØÓg=lim a n º ÈÖÞݺ ÈÓ ÑÝ ÖÒ Ùa n = Øg=0º n Æ Þ Ò ÐÞǫ>0º ÅÙ ÑÝ Ø ÓÖM Ý Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n g = n <ǫ M ÛõÑÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒ Û Þ Ò º ÅÑÝ Û ǫ M ÓÛÓÐÒÓn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ n < M <ǫ, ÞÝÐ n <ǫ, Ó ÒÐ Ó ÔÓÞº ÈÖÞݺ ÖÒ Ù ØÓ n N a n =a Ø ÐÞa <ǫ ØÓ ÞÒÞÝ Ð lim a n=a, ½µ Ó Ð ÓnÑÑÝ a n a =0 ÒÖÛÒÓ ½ µ ÞÓÞ Ð Ó Û õòn ÓÖÞ Ð Óǫ>0º ÈÖÞݺ ÔÓ Ý ÖÒ ÒÞÝÛÒÝ Ø Þ ÒÝѺ ÖÓÞ ÒÝ ØÓ Ø ØÖÝ ÖÒÝ Ò ÔÓ º ÈÖÞݺ a n =nò ÔÓ ÖÒÝ ØÞÒº Ø ÖÓÞ Òݺ ÑÝ ÓÛÑ ÔÓ ÖÒgº Ï ÑÝǫ=º Ï Ò Þ ÒÓ Ù Ø ÛÖÙÒ a n g <ǫ Ð Óǫ Ð ÔÓ ÑÝ ÛÖÙÒ ØÒ Ò Ø ÔÒÓÒÝ Ð ÓÓÐÛǫ ØÓ ØÝÑ ÑÝÑ ÔÓ ÑÝ Ø ÖÓÞ Òݵº Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÙ Û Ý ÔÒÓÒÝ ÛÖÙÒ a n g = n g < Ó Ø ÒÑÓ ÐÛ Ó ÛÖÙÒ ØÒ ÑÓ Ý ÔÒÓÒÝ Ó ÒÛÝ Ð ØÖÞ ÛÖØÓn Ð ÐÞÝ ÒØÙÖÐÒn g ÒÐ Þg ÓÖÞ n g ±º Ó ÞÐÑÝ Ó ÔÖÞÞÒÓ ØÞÒº ÔÓÞÐÑÝ a n =nò ÔÓ ÖÒÝ Ø Û ÖÓÞ Òݺ ÈÖÞݺ Ó ÝÐÙÝa n = ) n Ø ÖÓÞ Òݺ ÏÝ ØÖÞÝ ÛÞǫ= 4 ÛÖÙÒ ½ µ Ò Þ ÔÒÓÒÝ Ð ÒÓgº
ÅÓ Ò Þ ÔÝØÒ ÞÝ Ð Ø Þ ÒÝ ØÓ ÞÝ ÔÓ ØÝÐÓ Ò ÖÒ ÞÝ ÑÓ ÔÓ ÛÐ ÇÞÙ ÞÓÞ Ø ÔÖÛ Þ ÑÓ ÐÛÓ ÌÛº Þ ÒÝ ÔÓ ØÝÐÓ Ò ÖÒº ÓÛº ÈÖÞÝÔÙÑÝ Ø ÔÖÞÛÒ a n ÔÓ Û ÖÒg g ÔÖÞÝ ÞÝÑg g ÞÝÐ g g >0º ÏõÑÝǫ= 4 g g º Ò ÖÒÝ ØÒ Ø Û ÐÞÝM,M Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ Ðn>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n g <ǫ, ½µ a n g <ǫ. ½µ ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞ M Û Þ Þ ÐÞM,M ÞÔ ÙÑÝ ØÓ Ó M=maxM,M )µº ÏØÝ Ð Ón> M ÔÒÓÒ ÒÓÞÒ Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ½µº ÓÑÝ ØÖÓÒÑ ÛÝÓÖÞÝ ØÙ ÓÛÒ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ µ ÞÑÒ ÙÔÖÞÒÓ ÞÒ Û ÒÖÛÒÓ ½µº ÇØÖÞÝÑÙÑÝ g g <ǫ Ð ÙÔÖÞÒÓ ÛÞÐÑÝ g g =4ǫ ÞÝÐ4ǫ<ǫ Ó ÞÐÑÝ Û Ó ÔÖÞÞÒÓº ÍÛº Ï Ò ÖÒÝ ÑÓ Ò Þ ØÔ>ÔÖÞÞ <ÔÖÞÞ Ò ØÒÒ ÖÒÝ Ò ÛÖØÓ Ð ØÒµ Ò ÞÑÒ ÔÖÞÝ Ø ÞÑÒº ¾º º ÓÖÒÞÓÒ ½º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Þ ÖÝ Ð ØÒ Ø ÐÞM n N : a n <Mº ¾º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Þ ÓÙ Ð ØÒ Ø ÐÞM n N :a n >M º º a,a,... ÒÞÝÛÑÝ ÓÖÒÞÓÒÝÑ Ð Ø ÒÓÞÒ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Þ ÓÙº ÊÛÒÓÛ Ò ÑÓ Ò ÔÓÛÞ Ð Ù ÓÖÒÞÓÒÓ ÞÓÞ M>0 : n N : a n < M. ËÝØÙ Ø ÑÓ Ò ÞÐÙ ØÖÓÛ ÖÞÒ Ï ÔÖÛ ÞÝÑ ÔÖÞÝÔÙ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ Ù Ð ÔÓÒ ÔÖÓ Øy=M Û ÖÙÑ ÔÓÛÝ ÔÖÓ Øy=M Û ØÖÞÑ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ Ù Ð ÔÓÑÞÝ ÔÖÓ ØÝÑy= M y= Mº ÈÖÞÝݺ a n = ) n Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙº a n = ) n n Ò Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ò Þ ÓÙº ÌÛº Ã Ý Þ ÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÓÛº {a n } Þ ÞÓ Ò Ø Þ ÒÝ Ó ÖÒ ÒÞÛÑÝgµ Û ÛÖÙÒ ½ µ ÒÙÝ Þ ÒÓ Ù ÞÓÞ Ð Óǫ Û ÞÞÐÒÓ Ðǫ=º Á ØÒ Û Ø ÐÞM Ðn>M ÑÑÝ a n g <º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÖÛ Þ Þ ÒÖÛÒÓ µ ÑÑÝ a n g a n g < Þ ÞÓ ÛÝÒ a n <+gº ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞC ÒÛ Þ ÔÓÖM+ ÐÞ a, a,..., a M,g+º ÈÑØ g+ Ø Û Þ Óa M+,a M+,... ÑÑÝ n N C> a n º {a n } Ø Û ÓÖÒÞÓÒݺ
¾º ÞÒ ÐÖÞÒ Ò ÖÒ ÌÛº ÑÝ {a n } {b n } Þ Òº ÓÞ ÛØÝ Ò ØÔÙ ÛÞÓÖÝ lim a n+b n )=lima n +limb n ; ½µ lim a n b n )=lima n limb n ; lim a nb n )=lima n limb n ; lim an b n )= lim a n lim b n Ø Ó ØØÒ ÖÛÒÓ Ñ Ñ ÔÖÞÝ ÞÓ ÒÙ limb n 0µº ÓÛº ½µº ÇÞÒÞÑÝg= lima n ÓÖÞh= limb n º ÏõÑÝ ǫ>0º Á ØÒ Û Ø ÐÞM ½µ ½µ ¾¼µ n>m a n h < ǫ oraz b n h < ǫ Ó Ó Ø Û ÒÖÛÒÓ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ n>m a n +b n ) g+h) <ǫ. ØÓ ÞÒÞÝ a n +b n Ø Þ ÒÝ Ó ÖÒÝg+hº Ç ÏÒÓ º Ï ÞÞÐÒÓ Ðb n Ø Ñ ØÝÑb n =cð Ón ØÓ ÑÑÝ Þ ÛÞÓÖÛ ½µ ½µ lim a n+c)=c+lima n. ¾½µ ÓÛº ½µº Ç ÞÙÑÝ Ò ÑÔÖÛ Ö Ò a n b n gh º ÅÑÝ a n b n gh=a n b n a n h+a n h gh=a n b n h)+ha n g). ÈÓÒÛ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Ó Þ ÒÝ ØÓ ØÒ Ø ÐÞA a n <A Ð Ónº ËØÓ Ù ÛÞÓÖÝ Ò ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÙÑÝ ÐÓÞÝÒÙ ÑÑÝ a n b n gh a n b n h) + ha n g) Ab n h)+ h a n g ÌÖÞ ÛõÑÝ ÖÙ ÐÞ ÔÒ ÒÐÓÞÒ ÖÓÐ ǫµη>0º Ð Ò ÓÖÑÝ ØM Ðn>M ÑÑÝ a n g <η ÓÖÞ b n h <ηº ÅÑÝ Û a n b n gh <Aη+ h η =A+ h )η. Æ ÖÞ Ò Ò ÞÐÑÝ Ó ÐÞηº ÍÞÝÒÑÝ ØÓ ØÖÞ ÓÖη= ǫ A+ h º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ n>m : a n b n gh <ǫ Ì Û ÍÓÛÓÒÐÑÝ ÛÞÖ ½µº Ï ÞÞÐÒÓ ÓÖb n =c ÓØÖÞÝÑÙÑÝ lim ca n)=clima n, ¾¾µ
ÓÖÞ ÓÖc= ËØ ÛÝÒ ÛÞÖ ½µ lim a n)= lima n. ¾ µ lim a n b n )=lima n + b n ))=lima n +lim b n )=lima n limb n. ÓÛº ¾¼µº Æ ÑÔÖÛ ÙÓÛÓÒÑÝ Ò ØÔÙÝ ÞÞÐÒÝ ÔÖÞÝÔ ÛÞÓÖÙ ¾¼µ lim = b n lim b n Ð limb n 0) ¾µ ÓÛº ¾µº ÆÔÖÛ ÞÙÛ ÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÞÓÞ ÒÖÛÒÓb n 0 ÒÛØ ÑÓÒ Þ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ b n > h h º Ï ÑÝ ÓÛÑ Þǫ Û Ò ÖÒÝ Ùº ÏØÝ ØÒ ØM n>m ÑÑÝ b n h < h º ËØ h b n h b n < h, Ó b n > h. Ý ÙÓÛÓÒ ¾µ Ó ÞÙÑÝ ØÖÞ Ö Ò h b n b n h = hb n = h b n h b n. ÙÛ ÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ h b n <η ÓÖÞ b n > h, ØÞÒº b n < h. ËØ b n h <η h. ÓÖ ØÖÞη= ǫh ÓØÖÞÝÑÑÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù Ýn ÛÝÒ Ù ÛÞÖ ¾¼µº ÏÞÖ ¾¼µ ÛÝÒ Þ ½µ ¾µ ÍÛº lim a n b n =lim b n h <ǫ, ) a n =lima n lim b n = lima n b n lim b n ½º Ï ÞÓ Ò ÔÖÞÝ ÛÝÔÖÓÛÞÒÙ ÔÓÛÝ ÞÝ ÛÞÓÖÛ ÞÐÑÝ {a n } {b n } Þ Òº Ó Ò ØÓ Ø ØÓØÒ ÑÓ ÞÖÞÝ {a n }+{b n } Ø Þ ÒÝ ÑÑÓ ÓÞÐÒ{a n } {b n } ÖÓÞ Ò ÛõÑÝ ÒÔº a n =n b n = nµº
¾º Ï Ò Ù ÞÐÑÝ ÒÙÑÖ ÐÑÒØÛ ÞÞÝÒ Óº Ò Ø ÑÓ Ò ÞÖÒ ÞÑÒ Þ ÞÞÝÒ Ó ÓÛÓÐÒ ÐÞÝ ÒØÙÖÐÒn 0 º º ËØ ÛÝÒ ÔÖÓ Ø Ó ÞÓÞÒ ÛÛÓ Û ÇÖÞÙÒ ÓÞÓÒ ÐÓ ÔÓÞØÓÛÝ ÛÝÖÞÛ Ù Ò Ñ ÛÔÝÛÙ Ò Þ ÒÓ Ù Ò Ò ÛÖØÓ Ó ÖÒݺ ÒÐÓÞÒ ÑÓ Ò Ó Ù ÓÞÝ ÓÛÓÐÒ ÓÞÓÒ ÐÓ ÛÝÖÞÛº ÈÖÞݺ ¾º ½º a n = 3n+ 8n 5 ¾º b n = n +n+ 9n 5n 3 º c n = n ÃÓÐÒ Û ÒÓ ÖÙÒÓÛ ÖÒÝ ËØÛº Æ {a n } Þ Þ Òݺ ÏÛÞ Þ ÒÝ Ø { a n } ÞÓÞ lim { a n }= lim{a n }. ¾µ ÓÛº Æ lim {a n }=gº ÅÑÝ ÛØÝ a n g<ǫ Ð Ó ØØÞÒ Ù Ýnº ØÑ a n g a n g <ǫ oraz g a n a n g <ǫ, ÛÝÒ Ôº ÛÞº ºººµ a n g <ǫ. ÞÝÐ ÞÓÞ ¾µº Ç ËØÛº ÑÝ {a n } {b n } Þ Ò ÓÖÞ n a n b n º ÓÞ ÛØÝ lim a nlimb n. ¾µ Ï ÞÞÐÒÓ Ð {c n } Ø Þ ÒÝ ØÓ warunek c n 0 ÔÓ Þ Ó limc n 0. ÓÛº ÈÓ ÑÝ Ò ÑÔÖÛ Ó ØØÒ ÛÞÖº Ælim c n =hº ÈÖÞÝÔÙÑÝ h<0 ØÞÒº h>0º ÏØÝ Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ c n h < h Øc n h< h Øc n <0 ÛÖÛ ÞÓ ÒÙº ÌÖÞ ÔÓ ÑÝ Þ ¾µ ÛÝÒ ¾µº ÏõÑÝ ÑÒÓÛb n a n =c n º ÈÓÒÛ a n b n ØÓc n 0 Û ÔÓ ÔÖÞÙ Ó ÖÒÝlim c n 0º Ò ÑÓÝ ½µ ÞØÑ lim c n=limb n lima n, lim b nlima n czyli lima n limb n. Ç ÍÛº Ï ÒÖÛÒÓ ¾µ Ò ÑÓ Ò Þ ØÔ ÒÖÛÒÓÔÖÞÞ> ÒÐÓÞÒ Û ÓÒ Þ ÙÛ ÔÓÞÝÒÓÒ ÒÛÒÓ ØÞ Ø ÔÖÛÞÛ Ð ÛÖÙÒ Ð Ón Þ ØÔ ÔÖÞÞ Ð Ón>n 0 n 0 >º ½¼ ¾µ
¾µ Ò ÑÓ Ò Þ ØÔÔÖÞÞ<º ÆÔº {c n }= ÔÒ ÒÖÛÒÓc n n>0 ÑÑÝlimc n =0º ÅÓ Ò Ø ÝØÙ ÓÖÞÓÛÓ ÛÝÖÞ ÑÛ ÒÖÛÒÓÞÓÛÙ ÔÖÞÝ ÔÖÞÙ Ó ÖÒÝ ÒØÓÑ Ø ÒÖÛÒÓ><Ò Ñ Ø Û ÒÓº ÌÛº Ó ØÖÞ µº ÂÐa n c n b n lima n =limb n ØÓ {c n } Ø Þ ÒÝ ÞÓÞ limc n =lim a n =lim b n º ÓÛº Ælima n =g=limb n Òǫ>0º Ð Ó ØØÞÒ Ù ÝnÑÑÝ Û Æ ÑÓÝ ÞÓ Ò a n g <ǫ oraz b n g <ǫ. a n gc n gb n g, ǫ<a n g i b n g<ǫ, ØÓ lim c n =gº ÈÖÞÝÝ ǫ<c n g<ǫ ÞÝÐ c n g <ǫ, Ç ½º lim n a= Ða> Ø Ø Ð0<aº ¾º ÈÖÞÝ Ò ÛÝÓÖÞÝ ØÒ Ûº lim n 5 7 n +9 3 n +0º º lim n n=º ÏÒÓ º ÂÐlim a n =0 ØÓ {a n } Ø Þ ÒÝ lima n =0º ÓÛº ÅÑÝ a n a n a n i lim a n )=0=lim a n. ¾º ÈÓ º Æ Þ ÒÝ a,a,...,a n,... ÓÖÞ ÖÓ ÒÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ m,m,...,m k,...º a m,a m,...,a mk,... Ç ÒÞÝÛÑÝ ÔÓÑ Ù{a n } º ÈÖÞݺ a,a 4,...,a n,... Ø ÔÓÑ Ùa,a,...,a n,...º ÆØÓÑ Ø a,a,a 4,a 3,... Ò Ø ÔÓÑ{a n } ÔÓÒÛ Û õò Ò ØÛÓÖÞ ØÙ Ù ÖÓ ÒÓº Ï ÑÝÐ ÔÓÛÝ Þ Ò Ý Ø ÛÓÑ Û ÒÝÑ ÔÓѺ ÈÓÒØÓ ÔÓ{a mkn } ÔÓÙ{a mk } Ø ÔÓÑ Ù{a n } º ÇÖÞÓÛÓ ÑÓ Ò ÔÓÛÞ ÔÓa m,a m,...,a mk,... Ù{a n } ÓØÖÞÝÑÙ ÔÖÞÞ ÖÐÒ Û Ù{a n } ÔÛÒ ÐÓ ÛÝÖÞÛ ÓÞÓÒ ÐÙ Ò ÓÞÓÒµ ØÖÝ Û õò Ö Ò Óm,m,...,m k,... º ½½
ËØÛº ÓÞ ÓÐÒÝ ÛÞÖ ÓØÝÞÝ Û õòû ÓÛÓÐÒÓ ÔÓÙ m k k. ¾µ ÓÛº Â Ø Ø Ðn= ØÞÒºm Óm Ø ÐÞ ÒØÙÖÐÒµº ËØÓ Ù ÒÙ Þ ÑÝ Ð ÓnÞÓÞ ÛÞÖ ¾µº ÅÑÝ ÛØÝm n+ >m n >n ÞØÑ m n+ n Û ØÞ ÞÓÞ Ø Ðn+º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ ÔÖÛÞÛÓ ØÞÝ Ð ÓÛÓÐÒÓnº Ç ÌÛº ÈÓ Ù Þ ÒÓ{a n } Ø Þ ÒÝ Ó Ø Ñ ÖÒÝ Ó{a n } º ÌÞÒº jeśli lim a n =g, ØÓ ÖÛÒ lima mn =g. ÓÛº ÏõÑÝǫ>0º Á ØÒ ÛØÝ ØM Ðn>M ÔÒÓÒ Ø ÒÖÛÒÓ a n g <ǫº ÈÓÒÛ Ò ÑÓÝ ¾µ Øm n n>m ØÓ ÖÛÒ a mn g <ǫ ØÓ ÞÒÞÝ lima mn =gº Ç ÌÛº ÓÐÞÒÓ ÏÖ ØÖ µº Ó Ù ÓÖÒÞÓÒÓ{x n } ÑÓ Ò ÛÝÖ ÔÓ Þ Òݺ ÓÛº Æ {a n } Þ ÓÖÒÞÓÒݺ Á ØÒ Û Ø ÐÞM n N : M< a n <Mº ÇÞÒÞÑÝ ØÖÞ ÔÖÞÞZ ÞÖ ÐÞxØ ÒÖÛÒÓx<a n Ø ÔÒÓÒ Ð Ò ÓÞÒ ÛÐÙnº ÖZ Ø ÒÔÙ ØÝ ÔÓÒÛ ÐÞ M Z Ó ÒÖÛÒÓ M<a n Ø ÔÒÓÒ Ð Ónµº ÖZ Ø Ø ÓÖÒÞÒÓÒÝ Þ ÖÝ Æ ÒÐ Ý ÓÛÑ ÓZ Ò ÐÞ Û Þ ÓM ÒÖÛÒÓM <a n Ò Ø ÔÒÓÒ Ð ÒÓnØÝÑ ÖÞ Ð ÓÛÓÐÒÓx>Mµº ÖZ Ø ÒÔÙ ØÝ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Û ØÒ Ö ÖÒÝ ØÓ ÞÓÖÙº ÇÞÒÞ¹ ÑÝ Ó ÔÖÞÞgº Ò Ö Ù ÖÒÓ ÛÝÒ Ð Óǫ>0 ØÒ Ò ÓÞÒ ÛÐnØ g ǫa n g+ǫ, ÔÓÒÛ ÐÞg ǫ Z g+ǫ Zº ÏÝ ÑÝ ÓÒ g Ø ÖÒ ÔÛÒÓ ÔÓÙ Ù{a n } º ÅÙ ÑÝ Û ÞÒÐõ ÐÞ ÒØÙÖÐÒÝ{m n } m <m <m 3... Û Ø ÔÓ Ýlima mn =gº Ï ØÝÑ ÐÙ ÛõÑÝ ÒÔÖÛǫ=º Á ØÒ ÛØÝ Ò ÓÞÒ ÛÐn N Ø g <a n <g+. ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞm ØÖÓÐÛ Þ ØÝ ÐÞ Ò ØÓ Þ ÒÔº ÔÖÛ Þ Þ ØÝ ÐÞµº ÅÑÝ Û ØÒ ÔÓ g <a m <g+. ÏõÑÝ ØÖÞǫ= º ÌÙ ÞÒÛ ØÒ Ò ÓÞÒ ÛÐ ÐÞnØ g <a n<g+. ËÓÖÓ Ø Ò ÓÞÒ ÛÐ ØÓ ÛÖ Ò ÐÞÝ Û Þ Óm º ÏõÑÝ ØÖ¹ ÓÐÛ ÔÓÖ Ò ÓÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞm º ÅÑÝ Û g <a m <g+, m <m. ½¾
ÌÖÞ ÖÓ Ø ÒÐÓÞÒÝ ÒÙÑÝm 3 Ø g 3 <a m 3 <g+ 3, m <m 3 Ð ÔÓ ØÔÙÑÝ ÖÙÖÒÝÒ Åm k ÞÒÙÑÝ Û ÓÔ ÒÝ ÛÝ ÔÓ m k+ Ø g k+ <a m k <g+ k+, m k<m k+ ¾µ ØÛÖÞÒ Ó ØÖÞ ÛÝÒ ØÖÞ lim g ) =g=lim g+ ). n n m,m,m 3,... Þ ÓÒ ØÖÙ Ø ÖÓ ÒÝ Û a m,a m,a m3,... Ø ÔÓÑ Ù{a n } º ÛÞÓÖÙ ¾µ Û lim a mn =gº Ç ÈÓÒ Þ ØÛÖÞÒ Ø ÛÒÓ Ñ Þ ØÛº Ϻ ÌÛº Ã Ý ÓÖÒÞÓÒÝ ÒÖÓ ÒÝ ÐÙ ÒÑÐÝ Ø Þ Òݺ ÈÖÞÝ ØÝÑ Ð Ù ÒÑÐÓa a... ÑÑÝ k N :a k lima n Ð Ù ÒÖÓ ÒÓa a... ÑÑÝ k N :a k lim a n º ÓÛº Ð Ù ØÐÒ ÙÛ ÖÓÞÔØÖÞÑÝ{a n } ÒÑÐݺ ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞZ ÞÖ ÛÖØÓ ØÓ Ù ÔÖÞÞgÖ ÖÒÝ ØÓ ÞÓÖÙg=supZº ÅÑÝ Û n N :ga n ; ÒÓÞÒ ǫ>0 k N :g ǫ<a k ÔÓÒÛ ÒÖÛÒÓ ÞÔÖÞÞÒÑ k N : g ǫa k Ò ÑÓ Ý ÔÒÓÒ Ò ÔÓ ØÛ Ò Ö Ù ÖÒÓµº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÑÐÝ ØÓ ÒÖÛÒÓn>M ÔÓ Þ Óa M a n Øg ǫ<a n º Û ǫ>0 M : n>m ÞÓÞ g ǫ<a n g, skąd a n g <ǫ; Ø Ó ØØÒ ÒÖÛÒÓ ÓÞÒÞ g=lim a n º ÌÓ Ý ÓÛ Ð Û ÒÑÐݺ Ð ÒÖÓ ÒÝ Ø ÒÐÓÞÒݺ ÈÖÞݺ Þ ØÓ ÓÛ ÔÓÛÝ ÞÓ ØÛÖÞÒµ ½º ÏõÑÝc>0 ÓÖÐÑÝ {x n } Ò ØÔÙÝÑ ÛÞÓÖÑ ÖÙÖÒÝÒÝÑ Ç x = c, x n+ = c+x n, ØÞÒº x = c, x = c+ c, x 3 = c+ c+ c,... Æ Ø ØÛÓ ÔÓ ÛÞÖ ÓÐÒÝ Òn¹ØÝ ÛÝÖÞ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ø ÔÓÐÞÒ Ó ÖÒݺ Ý ØÓ ÞÖÓ ÙÛ ÑÝ Ò ÑÔÖÛ {x n } Ø ÖÓ Òݺ Â Ø ÓÒ ÖÛÒ ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÈÓ ÑÝ ÒÙÝÒ ØÑ ÓÖÒÞÒÑ ÖÒÝÑ Ø ÐÞ c+º Á ØÓØÒ µ Ðn= ÑÑÝx = c< c+º µ ÑÝ ÒÖÛÒÓx n < c+ Ø ÔÒÓÒ Ð Ón ÔÖÛõÑÝ ÞÝ Ø ÔÒÓÒ Ðn+º ÅÑÝ x n+ = c+x n < c++ c< c++ c=+ c ½
ÞØÑ µ ÒÖÛÒÓx n < c+ Ø ÔÒÓÒ Ð ÓÛÓÐÒÓnº ÈÓÞÐÑÝ {x n } Ø ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÖÓ Òݵ ÓÖÒÞÓÒÝ ÞØÑ ÞÓÒ Þ ÌÛº ÔÓÛÝ Ø Þ ÒÝ Ó ÓÞÓÒµ ÖÒÝgº Ý ÓÖÐ ÒÔ ÞÑÝ ÖÛÒÓx n+ = c+xn Û ÔÓ Ø ÔÖÞõÑÝ Û Ò Ó ÖÒÝ lim º ÅÑÝ x n+ =c+x n g =c+g = g= ± +4c g Ò ÑÓ Ý ÙÑÒ Ó ÖÒ Ù Ó ÛÝÖÞ ÓØÒµ Ûg= + +4c º ¾º Æ ÞÝØÐÒ ÞÝØÐÒÞµ ÔÖÙ ÔÓÞ Û ÓÐÒ Þ ÝØ y =a>0, y n+ = c+y n, {y n } Ø ÖÛÒ Þ ÒÝ Ó ÖÒ Ø ÖÛÒ ÔÓÔÖÞÒÓ lim y n= + +4c ÒÞÐ Ò Ó ØÓ ÛÝÖÞÑÝ ÔÙÒØ ØÖØÓÛÝaº º ÈÖÞÝ Ù ØÖÝ ØÛÓ ÞÒÓÛ Ð ÒØÛÓ ÔÓÐÞÝ ÖÒº ÏõÑÝ Û ÐÞÝ ÓØÒ a,b ÔÖÞÝ ÞÝÑa>bº ÍØÛÖÞÑÝ ÖÒ ÖÝØÑØÝÞÒa ÓÑØÖÝÞÒb ØÝ ÐÞ a = a+b, b = a b. ÓÞ ÒÖÛÒÓa >b ÞÝÐ ÑÑÝ ÒÖÛÒÓ Ð ÐÞa,b ÞÒÓÛÙ ØÛÓÖÞÝÑÝ Ó ÖÒ ÅÑÝ a>a >b >b a = a +b, b = a b. a>a >a >b >b >b غ Ì Û ØÛÓÖÞÝÑÝ Û {a n } {b n } ÓÖÐÓÒ ÖÙÖÒÝÒ ÒÐÓÞÒ ÔÓÔÖÞÒÓ ÑÑÝ a n+ = a n+b n, b n+ = a n b n. a n >a n+ >b n+ >b n ÞÝÐ {a n } Ø ÑÐÝ Þ {b n } ÖÓ Òݺ ÂÒÓÞÒ Ó ÓÖÒÞÓÒ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ÔÖÞÞb {b n } Þ ÖÝ ÔÖÞÞaº Ç Û Þ Ò Ó Ñ ÖÒ ÓÞÓÒµ α= lim a n, β= lim b n. ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Û ÖÛÒÓ Ó ÖÒÝ lim ÓØÖÞÝÑÑÝ a n+ = a n+b n α= α+β = α=β. ÁÐ ÛÝÒÓ Ø Û ÔÐÒµ ÖÒ ÖÒ Ø ÒÞÝÛ Ø ÖÒ ÖÝØÑØÝÞÒÓ¹ÓÑØÖÝÞÒ ÐÞabµº ÇÞÙ ÖÒ Ø ÛÝÖ ÔÖÞÞ ØÞÛº ÐÔØÝÞÒº ÅÑÝ ÓÛÑ Ða>b a+b) ab= a ) ab+b = a ) 0 b ½
¾º ÏÖÙÒ ØÛÖÞÒ ÙÝ³Ó ÌÛº {a n } Ø Þ ÒÝ ÛØÝ ØÝÐÓ ÛØÝ Ý ǫ>0 M N : n>m : a n a M <ǫ. ¼µ ÍÛº ÏÖÙÒ ¼µ ÒÞÝÛ ÛÖÙÒÑ ÙÝ³Ó ÒÙÓ ÔÓÞÒÑÝ ÖÛÒÓÛ Ò Ó ÔÓ Øº ÓÛº o = {a n } Ø Þ ÒÝ ÓÞÒÞÑÝlima n =gº Æ Ò Þǫ>0º Á ØÒ Û ØM ÐnM ÞÓÞ a n g < ǫº ÆÖÛÒÓ Ø ÞÓÞ Û ÞÞÐÒÓ Ðn=M ØÞÒº a M g = g a M < ǫº Ó Ó Ø ÒÖÛÒÓ ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ¼µº o = ÑÝ ØÖÞ ÛÖÙÒ ÙÝ³Ó ¼µ Ø ÔÒÓÒݺ ÆÐ Ý Ø ÓÛ Ø Þ Òݺ Æ ÑÔÖÛ ÙÓÛÓÒÑÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ÞÑÝ ØÓ ÖÓ ÒÐÓÞÒ Ð ØÖÓÒ ØÑÙ ÔÖÞÝ ÓÛÓÞ Þ ÒÝ Ø ÓÖÒÞÓÒݵº ÏõÑÝ ÑÒÓÛǫ=º Á ØÒ Û ØM Ðn>M ÑÑÝ a n a M <º ËØ a n a M a n a M <, Û a n < a M +º ÇÞÒÞÑÝ ÔÖÞÞsÐÞ Û Þ Ó ÔÓÖM Ò ØÔÙ¹ Ý ÐÞ a, a,..., a M, a M +º ÅÑÝ Û n N :s> a n º ÌÓ ÓÛÓÞ {a n } Ø ÓÖÒÞÓÒݺ ËÓÖÓ Ø ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛº ÓÐÞÒÓ¹ÏÖ ØÖ ÛÝÒ ØÒ ÞÛÖ ÔÓ¹ Þ Òݺ ÇÞÒÞÑÝ ØÒ ÔÓ{a mn } Ò Ó ÖÒ ÛÝÒÓ lima mn =γº ÍÓÛÓÒÑÝ γ=lima n º Æ Þ Òǫ>0º ÈÓÒÛ Ø ÔÒÓÒÝ ÛÖÙÒ ÙÝ³Ó ØÓ ØÒ ØM Ðn>M ÔÒÓÒ Ø ÒÖÛÒÓ a n a M < ǫ. ½µ 3 ÈÓÒÛ lim a mn =γ ØÓ ØÒ ØM Ðn>M ÑÑÝ a mn γ < ǫ. ¾µ 3 ÅÓ Ò ØÙ ÓÖM Ø ÝM >Mº Ï ØÒ ÔÓ Ðn>M Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ¾µ ÔÒÓÒ ÒÓÞÒº ÈÓÒØÓ ÔÓÒÛ m n >n>m ØÓ ÑÓ Ò Û ½µ Þ ØÔnÔÖÞÞm n º Ï ØÒ ÔÓ ÑÑÝ a mn a M < ǫ. µ 3 Ó Ó ÒÖÛÒÓ ½µ ¾µ µ ÞÑÒÛ ÞÝ ÙÔÖÞÒÓ ÞÒ ÔÓ ÑÓÙÑ Û ÐÛ Þ µ ÓØÖÞÝÑÙÑÝ ÒÖÛÒÓ a n γ <ǫ ØÖ Ø ÔÒÓÒ Ð Ó n>mº ØÓ ÓÞÒÞ lima n =γº ÍÛº Ç ½º Ï ØÛº ÙÝ³Ó ÑÓ Ò Þ ØÔ ÞÒ Û ÒÖÛÒÓn>M ÓÖÞ Û ÛÖÙÒÙ ÙÝ³Ó ¼µ ÔÖÞÞÓÔÓÛÒÓº ½
¾º ÏÖÙÒ ÙÝ³Ó ¼µ ÑÓ Ò ÓÖÑÙÓÛ ÖÛÒÓÛ Ò ǫ>0 M N : n,m>m : a n a m <ǫ. µ ¾º ÓÛº ÛÖÙÒÙ ÙÝ³Ó ¼µ ÛÝÒ ÓÛÑ ØÒ ØM Ð n>m Ðm>M ÞÓÞ ÒÖÛÒÓ a n a M < ǫ a m a M < ǫº Ó ÔÓ ÞÒÑ ÛÖØÓ ÞÛÞÐÒ ÓØÖÞÝÑÑÝ µº ÖÓÞ Ò Ó º ÅÛÑÝ {a n } Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ð r>0 M N n>m :a n >r. Ç Ô ÙÑÝ ØÓ ÝÑÓÐÞÒ Ó ÖÛÒÓ lima n = º ÅÛÑÝ Ø a n ÔÓ ÖÒ ÒÛÛ ÖÛÒ Ò ÓÞÓÒÓµº ÅÓ Ò ÓÖÞÓÛÓ ÔÓÛÞ ÖÓÞ ÒÝ Ó ØÓ Ø ØÖÓ Ó ØØÞÒ Ð ÛÝÖÞÝ ÓÛÓÐÒ Ù º ÒÐÓÞÒ ÓÖÐÑÝ ÖÓÞ ÒÓ Ó ÅÛÑÝ b n Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ð b n Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó º ÈÖÞݺlim n= lim n = º ÌÛº ÒÑÐÝ{a n } ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó º ÓÛº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Û r R M : a M >rº ÈÓÒÛ {a n } Ø ÒÑÐÝ ØÓ Ðn>M ÑÑÝa n a M ÞØÑa n >rº Ì Û lim a n = º Ç ÒÐÓÞÒ Ð Û ÒÖÓ ÒÝ Ð {b n } Ø ÒÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓ Ñ ÖÒ ÒÛÛ º ÈÖÞÝÑÙ ÔÓÛÝ Þ ØÖÑÒÓÐÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞÓÖÑÙÓÛ ØÛÖÞÒ Ó ØÝÑ Ý ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÓÖÒÞÓÒÝ Ø Þ ÒÝ ÊÓÞ ÞÖÞÑÝ ØÓ Ó ÔÓ Ø Ã Ý ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÔÓ ÖÒ ÛÛ ÐÙ ÒÛÛ Û ÞÐ ÒÓ Ó ØÓ ÞÝ Ø ÓÖÒÞÓÒÝ ÞÝ ÒÓÖÒÞÓÒݵº ÌÛº ÂÐlima n =± ØÓ lim a n =0º ÓÛº Æ lima n = Òǫ>0º ÓÖr= ǫ Ðn>M ÞÓÞa n >r= ØÞÒº ǫ ÛÞÑÝ ØÒ ØM ) a n <ǫ ØÓ ÓÞÒÞ lim a n =0º ÍÛº ÌÛÖÞÒ ÓÛÖÓØÒ Ò Ø ÔÖÛÞÛ ÂÐ {a n } Ý Ó ¼ ØÓ { } Ò ÑÙ Ý ÖÓÞ ÒÝ Ó+ ÐÙ º Â Ø Ø ÒÔº Þ Ña an n= )n Þ ÒÝÑ n Ó ÞÖ a n =,, 3,4,...) Ò Ø ÖÓÞ ÒÝ Ó Ò Ó º ÆØÙÖÐÒ Ø ÓÞÛ ÙÑ ÐÓÞÝÒ Û ÖÓÞ ÒÝ Ó Ø ÖÓÞ Ò Ó º Ì Ø Ø Û ØÓº ÈÓ ÑÝ ØÙ ÒÓ ÛÞÑÓÒÓÒ ÛÖ ØÝ ØÛÖÞº ÌÛº ÂÐlima n = {b n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ØÓlima n +b n )= º ÓÛº ÆM Þ Ø ÓÖÒÞ {b n } Ó ÓÙ n N M<b n º ÈÓÒÛ lim a n= ØÓ Ð ÒÓ ÓÛÓÐÒÓµr ØÒ Ø ÐÞk Ðn>k ÞÓÞ a n >r Mº ËØa n +b n >r ØÓ ÞÒÞÝ lima n +b n )= º ÌÛº ÂÐ lim a n = ÓÖÞ {b n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÓÙ ÔÖÞÞ ÓØÒ Øc n N b n c>0 ØÓlim a n b n )= º ½
ÓÛº ÏõÑÝ ÓÛÓÐÒµ ÐÞrº ÞÓ Ò Ó ÖÓÞ ÒÓ{a n } Ó µ ØÒ Øk N Ðn>k ÑÑÝa n > r º ÅÒÓ Ó ØÖÓÒÝ Ø ÒÖÛÒÓ ÔÖÞÞ ØÖÓÒÝ c ÒÖÛÒÓb n c ÓØÖÞÝÑÙÑÝa n b n >r Ó ÞÒÞÝ lima n +b n )= º ÅÑÝ Ø ÒÐÓÓÒ ÒÖÛÒÓ ¾µ ÌÛº ÂÐlima n = ÓÖÞ n N :a n b n ØÓ limb n = º ÓÛº ÂÐa n >r ØÓ ØÝÑ ÖÞb n >rº ¾º ÈÖÞÝÝ Û ØÝÑ ÖÒ Û ÒÝ Û ÈÖÞݺ ½º ÂÐc>0 ØÓlim cn= º ÏÝÒ ØÓ ÒØÝÑ Ø Þ ØÛº º ÈÖÞݺ ¾ ÂÐa> ØÓ lima n = º ÏõÑÝc=a ÑÑÝc>0º Æ ÑÓÝ ÒÖÛÒÓ ÖÒÓÙÐÐÓ ÑÑÝ a n =+c) n +cn, Þ ÈÖÞݺ ½ ÓÖÞ ØÛº ÑÑÝlim a n = º ÈÖÞݺ ÂÐ q < ØÓ limq n =0º ÊÓÞÔØÖÞÑÝ Ò ÑÔÖÛ ÔÖÞÝÔ0<q<º ÏÛÞ q º ËØ Ò ÑÓÝ ÌÛº ÑÑÝlimq n =0º Ý Þ ÑÑÝ q < ØÓ ÛØÝ lim lim qn =0º ÈÖÞݺ ÂÐ q < ØÓ ) < Û lim n= q q n =0 Ð ÛØÝ Þ ÌÛº ººº ÛÝÒ ÖÛÒ lim +q+q + +q n )= q ÏÝÒ ØÓ Þ ÖÛÒÓ+q+q + +q n = qn+ ÓÖÞ ÓÔÖÓ Ó ÔÓÞÒÓ ØÙ q lim qn =0º ¾º½¼ ÄÞe ÏÔÖÓÛÞÑÝ ØÖÞ Û Ò Û ÒÐÞ Ò ØÝÐÓµ ÐÞ ÞÛÒe ÛÝÓÖÞÝ ØÙ ÔÖÞÝ ØÝÑ ÔÓÞÒÒ ÙÔÖÞÒÓ ØÛÖÞÒ ÓØÝÞ ÖÒ Ûº ÊÓÞÛ ÑÝ e n = + n) n µ ËØÛº {e n } Ø ÖÓ Òݺ ÓÛº ÊÓÞÛÑÝ ÛÝÖ Ò Òe n ÓÖÞÝ Ø Þ ÛÞÓÖÙ ÛÙÑÒÒÓ ÆÛØÓÒ e n = + ) n =+n n n +nn ) n +nn )n ) 3 n 3+... + nn )...n k+ k) n k+ +nn )...n n+) n =++ ) + ) ) +...! n 3! n n ½ n n
+ k! )... k ) + + )... n n n! n n n ). µ ÂÐ ØÖÞ ÔÖÞÞÑÝ Óe n Óe n+ ØÓ Û ÛÝÖ ÒÙ ÔÓÛÝ ÔÖÞÝÞ ÞÞ Ò ÓØÒ ÛÝÖÞ Ý Þ Ù ØÒÝ ÞÛ ÞÝ Ó ÓÛÓÐÒÝ ÞÝÒÒ Û ÒÛ ÔÓ Ø ) ) s n ÞÑÒ Ò s n+ º ËØ ÛÝÒ ÞÝÐ {e n } Ø Ñ ÖÓ ÒÝѺ e n+ >e n, Ç ÈÓ ÑÝ Ð ÞÓÞ Ø ËØÛº {e n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ Öݺ ÓÛº Ã Ý Þ ÞÝÒÒÛ Û ÒÛ Û µ Ø ÑÒ ÞÝ Ó ½ ÞØÑ ÞÑÒ Û ÞÝ Ø ÞÝÒÒ Û ÒÛ Ò ½ ÞÛ ÞÑÝ ØÓ ÛÝÖ Òº ÅÑÝ Û e n <+! + 3! + + n! E n µ {E n } Ø ÓÖÒÞÓÒÝ Þ ÖÝ Ó Ó ÓÛÓÐÒÝ ÛÝÖÞ Ø ÑÒ ÞÝ Ó ØÓ ÛÝÒ Þ Ò ØÔÙÓ Ó ÞÓÛÒ E n =++ + + + n =+ n <+=3. {e n } Ø ÞØÑ ÑÓÒÓØÓÒÞÒÝ ÖÓ Òݵ ÓÖÒÞÓÒÝ Û Þ Òݺ ÖÒ Ù {e n } ÓÞÒÞÑÝ Óe ¾º½¼º½ e=lime n =lim + n.78888459045... µ n) ÁÒÒ ÔÓ Ø ÐÞÝe ÈÓÛÖÑÝ Ó ÖÛÒÓ µº ÏõÑÝ ÐÞ ÒØÙÖÐÒk<n ÔÓÑÑÝ Û ÖÛÒÓ µ Û ÞÝ Ø ÛÝÖÞÝ ÔÓÞk ÔÖÛ ÞÝѺ ÈÓÑÒØ ÛÝÖÞÝ ÓØÒ ÑÑÝ Û e n >=+! ) + ) ) + + ). n 3! n n k! n ÈÖÞõÑÝ ØÖÞ Ó ÖÒÝ Ã Ý Þ ÒÛ Û ÛØÝ Ý Ó ½ ÑÑÝ Û e+! + 3! + + k! =E k. ÆÖÛÒÓ Ø Ø ÔÖÛÞÛ ÔÖÞÝ ÓÛÓÐÒÝÑk Nº Ï ÔÓÞÒÙ Þ ÒÖÛÒÓ µ ÑÑÝ Û e n <E n e, ÛÝÒ Ò ÔÓ ØÛ ØÛÖÞÒ Ó ØÖÞ ÖÛÒõ e=lime n =+lim n k= k! µ ÈÑØÑÝ k Ø ÓÛÓÐÒ Ð Ù ØÐÓÒ Ý ÔÖÞÓÞÑÝ Ó ÖÒݺ ½
Â Ø ØÓ ÒÒ ÖÛÒÓÛ Ò µ ØÛ Þ Ó ÛÝÐÞ ÔÓ Ø ÐÞÝeº ÈÓ ÑÝ ÞÞ lim = n = n) e. ¼µ ÅÑÝ ÓÛÑ Û Ó lim n = n) lim n =n n + n = n )= n ) n = lim + n lim + ) =. n +, n ) n lim + n )= e, ÌÓ ØÝÐ Ò ÖÞ Ó ÖÒº Ó ØÑØÙ ÞÑÝ Û ÑÖ ÔÓØÖÞÝ ÔÓÛÖ Ð ÛÝ ÖÒ ÔÓÛ Ý Þ ØÖÓ Û Ó ÙÒ ÐÓ ÜÔ ½