ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY

ZACHODNIOPOMORSKI UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNY w Szczecinie Z ACHODNIOPOM UNIWERSY T E T T E CH OR NO SKI LOGICZNY KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z metody elementów skończonych Ćwiczenie nr 5 Analiza dokładności modelowania w konwencji metody elementów skończonych na podstawie obliczeń w programie Nastran FX Dr inż. Rafał Grzejda Szczecin 2012

Wprowadzenie Podstawowym zadaniem, które należy rozwiązać na początku procesu projektowania konstrukcji mechanicznych jest znalezienie kompromisu pomiędzy poziomem założeń przyjętych dla modelu obliczeniowego a wymaganą dokładnością wyników obliczeń, które należy wykonać. Szczególnie ma to miejsce w przypadku układów złożonych, modelowanych za pomocą przybliżonych metod obliczeniowych, do których należy metoda elementów skończonych (MES). Dokładność modelowania w konwencji MES zależy między innymi od sposobu tworzenia siatki elementów skończonych. Aby wykazać taką zależność w przypadku danego układu, wyniki uzyskane na podstawie obliczeń w programie MES (wartości przybliżone) należy porównać z wynikami otrzymanymi za pomocą metody analitycznej (z wartościami dokładnymi). W niniejszym ćwiczeniu omawiany temat podjęto w odniesieniu do modelowania pręta o zmiennym przekroju. Celem ćwiczenia jest zbadanie wpływu sposobu podziału pręta na dokładność jego modelowania z wykorzystaniem programu MES Nastran FX. Temat zadania Dla pręta utwierdzonego i obciążonego w sposób przedstawiony na rys. 1, wyznaczyć: - reakcję R x, - wykres przemieszczeń pręta u(, - wykres naprężeń w materiale pręta (, jeżeli: - obciążenie osiowe pręta F = 20 kn, - moduł Young'a materiału pręta E = 3 10 4 MPa, - współczynnik Poisson'a = 0.3, - długość pręta L = 1 m, - przekrój pręta A zmienia się według zależności A( 10000. 9x (1) Rozwiązanie analityczne Obliczenie reakcji w miejscu utwierdzenia W przypadku rozpatrywanego układu (rys. 1) warunek równowagi statycznej [5] można zapisać w postaci i P 0 (2) W wyniku rozwiązania równania (2), otrzymuje się wartości reakcji R x xi 2

10 R x F 0 (3) R x F 20kN (4) 10 y 100 10 L F x Rys. 1. Sposób utwierdzenia i obciążenia pręta (na podstawie [3]) Wyznaczenie przemieszczeń pręta u( Naprężenia rozciągające ( w pręcie można wyznaczyć z warunku [4] F( ( (5) A( Ponieważ siła w pręcie jest stała na całej długości pręta F ( F 20kN const (6) równanie (5) można zapisać w postaci 3

F ( (7) A( Naprężenia w materiale pręta ( oblicza się również korzystając z prawa Hooke'a dla jednoosiowego rozciągania [4] ( ( E (8) gdzie ( jest wydłużeniem jednostkowym (względnym), które można zapisać w postaci [3] du ( (9) dx Przyrównując do siebie prawe strony równań (7) i (8) oraz uwzględniając zależność (9) otrzymuje się F du E A( dx Po rozdzieleniu zmiennych, równanie różniczkowe (10) można wyrazić w postaci F du dx A( E Natomiast po scałkowaniu równania (11) stronami, otrzymuje się x (10) (11) F dx u( E (12) A( x 0 ) Ponieważ przekrój pręta zmienia się według zależności (1), całkę (12) zapisuje się w postaci x F dx u( E (13) 10000. x 0 9 Na podstawie ogólnie znanej definicji pochodnej logarytmicznej [2] lnf( całkę (13) oblicza się w sposób następujący x f( f( (14) F 1 0.9 u( dx (15) E 0.9 10000. x 0 9 F u ( ln10000.9 x ln10000.90 (16) 0.9E F u ( ln10000.9 x ln1000 (17) 0.9E 4

Przemieszczenie pręta u(, mm Po podstawieniu do równania (17) danych wartości F i E, uzyskuje się równanie funkcji u( 3 2010 u ( ln10000.9 x ln1000 4 0.9310 (18) 20 u ( ln10000.9 x ln1000 27 (19) Graniczne wartości funkcji u( można wyznaczyć w sposób następujący 20 u ( x 0) ln10000.90 ln1000 27 (20) 20 u ( x 0) ln1000ln1000 0[mm] 27 (21) 20 u ( x 1000) ln10000.91000 ln1000 27 (22) 20 u ( x 1000) ln100ln1000 27 (23) 20 1 u ( x 1000) ln 1.7056[mm] 27 10 (24) Wykres funkcji u( pokazano na rys. 2. 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 200 400 600 800 1000 x, mm Rys. 2. Przebieg zmienności przemieszczeń pręta w funkcji jego długości 5

Naprężenia rozciągające (, MPa Wyznaczenie naprężeń rozciągających ( Uwzględniając zależność (1), równanie (7) można zapisać w postaci F ( (25) 10000.9 x Po podstawieniu do równania (25) danej wartości F, uzyskuje się równanie funkcji ( 3 2010 ( (26) 10000.9 x Graniczne wartości funkcji ( można wyznaczyć w sposób następujący 3 2010 ( x 0) (27) 10000.90 3 2010 ( x 0) 20[MPa] (28) 1000 3 2010 ( x 1000) (29) 10000.91000 3 2010 ( x 1000) 200[MPa] (30) 100 Wykres funkcji ( przedstawiono na rys. 3. 200 175 150 125 100 75 50 25 0 0 200 400 600 800 1000 x, mm Rys. 3. Przebieg zmienności naprężeń w pręcie w funkcji jego długości 6

Rozwiązanie za pomocą programu MES Nastran FX Budowa modelu fizycznego 1. Rozpoczynamy nowy projekt, wybierając w Głównym Menu: File New. W okienku Analysis Setting: - zaznaczamy typ modelu (3D/General), - wybieramy system jednostek (N, mm, J, sek.) Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. 2. Projekt zapisujemy pod nazwą: Analiza dokladnosci.fnb, wybierając w Głównym Menu: File Save As... 3. Definiujemy rodzaj materiału, z którego wykonano pręt. W tym celu w drzewku Model Works wybieramy Material, a następnie za pomocą prawego przycisku myszy (PPM) Add Isotropic... W okienku Create/Modify Isotropic Material wpisujemy odpowiednie wartości modułu Young'a i współczynnika Poisson'a materiału pręta 7

Wybór zatwierdzamy naciskając przycisk OK. 4. Definiujemy ogólne właściwości modelu pręta. W tym celu w drzewku Model Works wybieramy Property, a następnie za pomocą PPM Add 2D... W okienku Create/Modify 2D Property, w zakładce Plate: - wybieramy zdefiniowany wcześniej rodzaj materiału (1: Isotropic), - zaznaczamy układ współrzędnych, jako globalny kartezjański (Global Rectangular), - definiujemy grubość pręta równą 10 mm Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. 5. Tworzymy geometrię modelu pręta. Wybierając w Głównym Menu: Geometry Point Create..., wywołujemy okienko Create Point, w którym definiujemy współrzędne wszystkich punktów geometrii modelu pręta (rys. 1) 8

Tworząc kolejne punkty należy pamiętać o podaniu ich nazwy (na przykład kolejnego numeru). Zatwierdzenie współrzędnych danego punktu następuje przez naciśnięcie przycisku Apply. Proces tworzenia wszystkich punktów kończymy klikając na klawisz OK. Na rys. 4a pokazano widok ogólny utworzonych w podany sposób punktów geometrii modelu pręta oraz przyjętą ich numerację. Analogicznie tworzymy zarys zewnętrzny powierzchni pręta. Wybierając w Głównym Menu: Geometry Curve Create 3D Line..., wywołujemy okienko 3D Line, w którym definiujemy poszczególne linie przez określenie pary punktów (początku i końca linii). Tworząc linię nr 1 (rys. 4b) należy najpierw wskazać punkt 1, a następnie punkt 2. Tworząc linię nr 2 (rys. 4b) należy najpierw wskazać punkt 3, a następnie punkt 4. Pozostałe dwie linie tworzymy w sposób dowolny (wskazując w dowolnej kolejności odpowiednie punkty). a) b) 1 3 Linia nr 2 Linia nr 1 2 4 c) Rys. 4. Proces tworzenia modelu fizycznego pręta: a) punkty geometrii, b) linie łączące punkty geometrii, c) powierzchnia elementarna Na koniec, wskazując odpowiednie linie, budujemy powierzchnię pręta. Wykorzystujemy do tego celu okienko Plane Face, wywołane poprzez wybranie z Głównego Menu: Geometry Surface Create Plane Face... Widok ogólny powierzchni pręta przedstawiono na rys. 4c. Budowa modelu dyskretnego Wykorzystując wiedzę zdobytą podczas wykonywania ćwiczenia nr 3 (Tworzenie siatki elementów skończonych w programie Nastran FX [1]), tworzymy kolejno 4 typy siatki elementów skończonych dla fizycznego modelu pręta: - I, II, III, w których pręt podzielono na elementy o równej długości (rys. 5a-c), - IV, w którym zastosowano podział na osiem elementów zagęszczonych w stronę punktów 2 i 4 (rys. 4a) w stosunku 1:10 (rys. 5d). 9

a) b) c) d) Rys. 5. Dyskretny model pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV Wyznaczenie reakcji, przemieszczeń i naprężeń Obliczenia przeprowadzamy osobno dla każdego typu modelu dyskretnego pręta, zaczynając od modelu typu I. Poniżej przedstawiono kolejne etapy, które należy wykonać po zbudowaniu danego modelu dyskretnego pręta. 1. Model pręta utwierdzamy zgodnie ze schematem podanym na rys. 1. W tym celu w drzewku Analysis Works wybieramy Boundary Condition, a następnie za pomocą PPM Add Constraint... W okienku Constraint: - wpisujemy nazwę utwierdzenia (BC Set = BC1), - wybieramy miejsce utwierdzenia w węźle (Node), - definiujemy rodzaj utwierdzenia (w tym przypadku klikając na Fixed) 10

Wskazujemy odpowiednią linię i swój wybór zatwierdzamy naciskając przycisk OK. 2. Do modelu pręta dodajemy obciążenie zgodne ze schematem przedstawionym na rys. 1. W tym celu w drzewku Analysis Works wybieramy Static Load, a następnie za pomocą PPM Add Pressure... W okienku Pressure: - wpisujemy nazwę obciążenia (Load Set = L1), - wybieramy miejsce obciążenia na krawędzi (Edge Pressure), - definiujemy wartość obciążenia (w tym przypadku wpisując P1 = -2000 N/mm) 11

Wskazujemy odpowiednią krawędź i swój wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK. Widok modelu pręta typu I, utwierdzonego i obciążonego, pokazano na rys. 6. Rys. 6. Model pręta typu I, po utwierdzeniu i obciążeniu 3. Określamy rodzaj analizy. W Głównym Menu wybieramy: Analysis Analysis Case... W okienku Analysis Case Manager naciskamy przycisk Add... W kolejnym okienku Add/Modify Analysis Case: - wpisujemy tytuł analizy (Title = Analiza dokladnosci), 12

- nazywamy podtytuł analizy (Subtitle = Podzial na 2 elementy skonczone), - określamy rodzaj analizy (Linear Static) Wybór zatwierdzamy klikając na klawisz OK w aktualnie otwartym okienku i na klawisz Close w poprzednim. 4. Rozpoczynamy obliczenia wybierając w Głównym Menu: Analysis Solve... W okienku Solver Manager zaznaczamy zdefiniowany wcześniej rodzaj analizy oraz naciskamy przycisk OK 5. Analizujemy interesujące nas wyniki obliczeń. Rozpoczynamy od wyboru z Paska narzędzi komendy Post Data. Aby odczytać reakcję w utwierdzonych węzłach, zaznaczamy w Bazie danych wyników opcję Nodal Reactions oraz typ danych T1 SPC Force. Konkretne wartości reakcji odczytujemy wybierając w Głównym Menu: Result Probe Result... i wskazując odpowiednie węzły za pomocą lewego przycisku myszy (LPM) W celu utworzenia wykresów przemieszczeń i naprężeń w funkcji długości pręta, w pierwszym kroku określamy układ odniesienia, wybierając w Głównym Menu: Result On-Curve Diagram... W okienku On-Curve Diagram: - definiujemy oś odciętych układu odniesienia przez podanie współrzędnych dwóch punktów (0, 0, 0) i (1000, 0, 0), 13

- wybieramy kierunek osi rzędnych (jako dodatnią oś Z), - wpisujemy nazwę układu odniesienia (Name = Uklad I), - zadajemy podział wykresu na liczbę fragmentów równą liczbie elementów skończonych dla danego modelu (w przypadku modelu pręta typu I Division = 2), - klikamy na klawisz Add oraz zaznaczamy zdefiniowany układ odniesienia (poprzez znak ) W kolejnym kroku ustawiamy model pręta w widoku ZOX, za pomocą odpowiedniej ikony na Pasku narzędziowym Widok a) b) c) d) Rys. 7. Wykresy przemieszczeń w przypadku modelu pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV Nie zamykając okienka On-Curve Diagram, przy aktywnej komendzie Post Data na Pasku narzędzi, w Bazie danych wyników zaznaczamy: - opcję Nodal Displacements oraz typ danych T1 Translation, żeby narysować wykres przemieszczeń, - opcję 2D Element Stresses oraz typ danych Shell von Misses Top, żeby narysować wykres naprężeń. 14

W celu wyświetlenia danego wykresu, w okienku On-Curve Diagram naciskamy przycisk Diagram. Utworzone w ten sposób wykresy pokazano odpowiednio na rys. 7a oraz 8a. a) b) c) d) Rys. 8. Wykresy naprężeń w przypadku modelu pręta typu: a) I, b) II, c) III, d) IV 6. Kasujemy wprowadzone dane modelu pręta, dotyczące podziału na elementy skończone oraz utwierdzenia i obciążenia. W tym celu: - w drzewku Analysis Works wybieramy: Static Load L1, następnie za pomocą PPM Delete (aby usunąć zadane obciążenie), - w drzewku Analysis Works wybieramy: Boundary Condition BC1, następnie za pomocą PPM Delete (aby usunąć zadane utwierdzenie), - w drzewku Model Works wybieramy: Mesh Mesh Set Auto-Mesh, następnie za pomocą PPM Delete (aby usunąć podział pręta na elementy skończone). Powtarzając etapy 1 6 należy przeprowadzić podobne obliczenia dla pręta zdyskretyzowanego według modelu typu II, III i IV. Wykresy przemieszczeń i naprężeń uzyskane w przypadku tych modeli pokazano odpowiednio na rys. 7b-d oraz na rys. 8b-d. Ilościowej oceny wyników obliczeń można dokonać wprowadzając do rozważań wskaźniki W 1 oraz W 2 dane wzorami MES ANA u u W 1 100% (31) ANA u MES ANA W2 100% ANA (32) gdzie: MES u przemieszczenie pręta otrzymane za pomocą obliczeń w programie Nastran FX, ANA u przemieszczenie pręta uzyskane analitycznie, MES naprężenie w pręcie otrzymane za pomocą obliczeń w programie Nastran FX, ANA naprężenie w pręcie uzyskane analitycznie. 15

Wartości wskaźników W 1 i W 2 otrzymane w przypadku zaproponowanych modeli pręta (I, II, III i IV) zebrano w tablicy 1. Tab. 1. Wartości wskaźników W 1 i W 2 w funkcji przyjętego modelu Typ modelu pręta W 1 [%] W 2 [%] I 15.57 68.89 II 06.19 52.07 III 02.09 35.03 IV 00.91 11.26 Na podstawie przeprowadzonych porównań można stwierdzić, że: a) dokładność modelowania w konwencji MES można znacząco polepszyć przez zdefiniowanie odpowiednio gęstej siatki elementów skończonych, b) dzięki stosowaniu metody dodatkowego zagęszczania elementów (na przykład w miejscu przyłożenia siły obciążającej układ) uzyskuje się bardziej dokładne wyniki obliczeń. Szerszą analizę dokładności modelowania z wykorzystaniem programu MES Nastran FX pozostawia się studentowi. Literatura 1. Grzejda R.: Tworzenie siatki elementów skończonych w programie Nastran FX. Szczecin: Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, 2012 (niepublikowane). 2. Leja F.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1954. 3. Müller G., Groth C.: FEM für Praktiker. Renningen Malmsheim: Expert Verlag, 1997. 4. Niezgodziński M.E., Niezgodziński T.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa: PWN, 2010. 5. Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Poznań: Politechnika Poznańska, 2011. 16