Obwód RLC t = 0 i(t) R L w u R (t) u L (t) E u C (t) C Odpowiadający mu schemat operatorowy R I Dla zerowych warunków początkowych na cewce i kondensatorze 1 sc sl u (0) = 0 C E s i(0) = 0
Prąd I w obwodzie określa wzór: E E 1 I = s =. 1 L 2 R 1 R + sl + s + s + sc L LC Bieguny transformaty I są określone przez rozwiązanie równania kwadratowego: 2 R 1 s + s + = 0, L LC o wyróżniku: = 2 R 4 L. LC
Rozpatrzmy trzy przypadki: 1. < 0. W tym przypadku równanie ma dwa pierwiastki zespolone sprzężone, określone wzorem: s 1,2 2 R R 1 = ± j 2L = α ± ω 2L, LC gdzie: α = ω = R, 2L 2 R 1. 2L LC
Przebieg czasowy prądu i(t) określa wzór: E 1 st 1 st i(t) = res e + res e 1(t) = L s= s1 ( s s )( ) s s 1 s s = 2 2 ( s s1 )( s s2 ) E 1 st 1 = e + L s s s s 1 2 1 2 2 1 st e 1(t). Po podstawieniu do wzoru uzyskujemy: jωt jωt E 1 ( α+ jω) t 1 ( α jω) t E αt e e i(t) = e e 1(t) = e 1(t) = L 2jω 2jω L 2jω E e αt sin t 1 (t). = ω ωl W tym przypadku w obwodzie popłynie prąd o przebiegu periodycznym tłumionym.
2. > 0. W tym przypadku równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste: s R R 1 = α = ± 2L 2L LC 1,2 1,2 2. Prąd i(t) po podstawieniu zależności przyjmuje postać: E 1 1 2E e e i(t) = e + e (t) = (t) L α α α α 1 L ( α α ) 2 1. α1t α2t α1t α2t 1 2 2 1 1 2 W tym przypadku w obwodzie popłynie prąd o przebiegu aperiodycznym.
3. = 0. Równanie ma jeden pierwiastek s 1 : s 1 R = 2L o podwójnej krotności. Przypadek ten nazywany jest krytycznym. Prąd i(t) określa tu wzór: E 1 st E d 1 2 st i(t) = res e 2 1(t) = lim 2 ( s s1 ) e 1(t) = L s= s1 s s1 ( s s1 ) L ds ( s s1 ) E st E st 1 = limte 1(t) = te 1(t). Ls s1 L
i(t) < 0, przebieg periodyczny = 0, przebieg krytyczny > 0, przebieg aperiodyczny t 0
Metoda Thévenina i Nortona Rozpatrzmy w dziedzinie transformat układ złożony z połączenia dwóch dwójników: aktywnego i pasywnego. Napięcie na zaciskach układu a-b wynosi U ab (rys. a). Prąd I w układzie nie ulegnie zmianie przy dołączeniu do obwodu dwóch źródeł napięcia przeciwnie skierowanych, jak to ilustruje rys. b. Napięcie jest dobrane w taki sposób, by kompensowało wpływ wszystkich źródeł autonomicznych (prądowych i napięciowych znajdujących się we wnętrzu dwójnika aktywnego. Zgodnie z zasadą superpozycji prąd I określić można wzorem: I = I + I na podstawie rys. c prąd I = 0 jest prądem w układzie zawierającym dwójnik aktywny, jedno ze źródeł i dowolną impedancję Z.
Z twierdzenia o kompensacji wynika, że prąd ten jest równy zeru. Prąd I jest prądem w układzie złożonym z dwójnika pasywnego o impedancji Z w powstałego z dwójnika aktywnego przez zwarcie wszystkich jego źródeł autonomicznych napięciowych i rozwarcie źródeł autonomicznych prądowych, źródła i impedancji Z. W tej sytuacji dwójnik pasywny jest opisany impedancją operatorową Z w, a prąd I określa wzór (rys. d): U 0 = = I Z + Z w I. Wzór ten wyraża treść twierdzenia Thévenina o napięciowym źródle zastępczym (rys.).
Twierdzenie Thévenina W dziedzinie transformat dowolny liniowy dwójnik aktywny jest równoważny połączeniu szeregowemu: autonomicznego źródła napięcia występującego na zaciskach dwójnika, gdy jego zaciski są otwarte, czyli tzw. napięcia w stanie jałowym, impedancji operatorowej Z w widzianej z zacisków dwójnika.
a) b) a I a I aktywny U ab Z aktywny U ab Z b b c) a I = 0 aktywny b d) a I ' = 0 a I '' aktywny + Z ab pasywny U U ab Z b b
Ilustracja twierdzenia Thévenina Parametry zastępczego dwójnika Thévenina wyznacza się w dziedzinie transformat w znany z metody symbolicznej sposób. Możliwe jest: 1. Wyznaczenie napięcia w stanie jałowym dwójnika i jego prądu zwarcia I 0 i obliczenie impedancji wewnętrznej Z w : Z w U 0 =. I 0 Wyznaczenie napięcia w stanie jałowym i wyznaczenie impedancji wewnętrznej Z w dwójnika (nie zawierającego sprzężeń magnetycznych i źródeł sterowanych) metodą transfiguracji.
Wyznaczenie parametrów dwójnika Thévenina I = 0 aktywny aktywny = 0 I 0 pasywny (eliminacja wszystkich źródeł autonomicznych) Z w
Twierdzenie Nortona W dziedzinie transformat dowolny liniowy dwójnik aktywny jest równoważny połączeniu równoległemu: autonomicznego źródła prądu I 0 płynącego przez zaciski dwójnika 1 = widzianej z zacisków dwójni- Z przy zwarciu, admitancji operatorowej Y w ka. w
Twierdzenie i Thévenina i Nortona przyporządkowane dowolnemu dwójnikowi aktywnemu są sobie równoważne. Ilustrację twierdzeń pokazano na poniższym rys., a metody wyznaczania parametrów dwójnika zastępczego Nortona są identyczne jak opisane wcześniej dla dwójnika Thévenina.
Z w I a I a U Thévenina aktywny U I b a b I 0 Yw = 1 Z w U Nortona b