Rozdział 5 Równania różniczowe zwyczajne 51 Wprowadzenie Przedtawimy teraz przyłady paru zjawi z dziedziny izyi i biologii Przyład 1 Rozpad promieniotwórczy opiuje prawo mówiące, że ubyte ubtancji jet proporcjonalny do jej ilości: gdzie jet maą ubtancji w chwili, zaś jet tałą proporcjonalności Przyład a Wzrot populacji baterii w warunach dotatu pożywienia jet opiywany podobnie: przyrot liczby baterii jet proporcjonalny do ich ilości: gdzie oznacza liczbę baterii w chwili, zaś jet tałą proporcjonalności Zauważmy, że doonaliśmy w obu przypadach oniecznego uprozczenia modelowego przyjmując, że ta maa ubtancji, ja ilość baterii ą ciągłymi uncjami czau W rzeczywitości ta nie jet, bo obie wielości zmieniają ię oowo Jedna z uwagi na to, że owe oi ą malutie w porównaniu do całej populacji cząte czy baterii, to owa nieściłość nie ma więzego pratycznego znaczenia Podreślamy, że dobór modelu zjawia jet prawą niezależną od matematyi, co za chwilę zobaczymy Przyład b Wzrot populacji baterii w warunach dotatu pożywienia ożna przyjąć, że jet on proporcjonalny do liczby par: gdzie ja poprzednio oznacza liczbę baterii w chwili ożliwe ą dalze uściślenia powyżzego przyładu uwzględniające śmiertelność 1
& & & & ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Przyład c Wzrot populacji baterii uwzględniający prawdopodobieńtwo śmierci: gdzie! jet tałą charateryzująca śmiertelność Rozpatrzmy teraz przyład mechaniczny Jeśli teraz oznacza drogę przebytą przez czątę pod działaniem iły #, to wtedy %$ jet prędością, %$ zaś przypiezeniem echania Newtona mówi, że gdzie napi ' ' oznacza do amo co, 0 położenia i prędości, tj # # jet wahadło matematyczne (' ' # %$, czy )+*-, ' )/ * ; to maa Siła # może zależeć od czau, Szczególnym przypadiem uładu mechanicznego Przyład 3 Ruch puntu materialnego o maie na ztywnej nieważiej nici o długości 1 w polu grawitacyjnym ziemi, (wahadło matematyczne) Ry 1 Wahadło matematyczne Kąt wychylenia od pionu oznaczamy przez 3, wtedy z bilanu ił wynia, że jeśli oznacza prędość ątową wahadła, to ' &87:9<; 14 ' 5 3 a po uprozczeniach uład przyjmuje potać gdzie A $B1 3 = 7>9?; 3 (1) - Przyład 4 Równanie ocylatora harmonicznego dotajemy załadając, że wychylenia od położenia równowagi ą małe, przez co można z dobrą doładnością przybliżać uncję inu uncją liniową (patrz 354): 5C E
51 WPROWAZENIE 3 Jet janym, że wzytie powyżze równania trzeba uzupełnić o opi tego, co dzieje ię w chwili początowej, jeśli chcemy wyznaczyć ilościowy opi proceu: w przyładach 1 i jet to początowa ilość baterii: GH la zagadnień mechanicznych ą to: początowe wychylenie i początowa prędość, GH I JGK (' Nazym celem jet poznanie metod rozwiązywania najprotzych typów równań i wazanie metod badania rozwiązań, gdy znalezienie wzoru na rozwiązanie jet niemożliwe lub niepratyczne N O Przyjrzyjmy ię równaniu w przyładzie c Niech oznacza prawą jego tronę Zauważmy że: a) jeśli QP lub R S $, to T ; b) jeśli QUV R SWP $, to ; c) jeśli lub R S $, to PX I Jeśli teraz pełnia nierówność w a), to wielość J będzie roła i jeśli YP, dla wzytich G, nb założenie I[P jet to ja ię przeonamy później ZP nieizyczne Co więcej, uncja jet malejąca aż do wymarcia populacji Jeśli Y pełnia b), to wielość będzie malała i zawze pozotanie w przedziale $ Jeśli zachodzi trzecia możliwość, tj \ lub \ $, to uncja tała [J I jet rozwiązaniem równania Zauważmy, że zdobywaliśmy wiedzę o rozwiązanich bez rozwiązywania równania L 4 3 1 0-1 - -3-4 -4-3 - -1 0 1 3 4 Ry Pole wetorowe uładu (1) Badanie uładu (1) wymaga robienia ryunów pól wetorowych ianowicie, polem wetorowym nazywamy dowolne odwzorowanie L^]`_ à bc _ adb W nazym przypadu e Zróbmy ryuni pól wetorowych zadawanych uładem (1) (patrz ry ) i równaniem ()
U 4 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE ' rozpianym jao uład za pomocą wprowadzenia zmiennej, (patrz ry 3) Strzałi poazują ja ię będzie poruzać cząta pod wpływem pola Znów warto podreślić, że zdobyliśmy wiedzę o rozwiązaniu bez znajdowania go Częto nie można go zapiać wzorem albo znany wzór jet nieczytelny latego trzeba ię poługiwać innymi metodami (np porządzaniem ryunów) do badania rozwiązań 4 3 1 0-1 - -3-4 -4-3 - -1 0 1 3 4 Ry 3 Pole wetorowe uładu () Powyżze zice pól wetorowych zotały uzyane z pomocą paietu do obliczeń numerycznych cilab Tenże paiet pozwala na numeryczne rozwiązywanie równań 5 Najprotze typy równań i ich rozwiazywanie Równaniem różniczowym zwyczajnym nazywamy równanie potaci _ a b i ] _ a bji _ a c g gdzie wzytie dotychczaowe przyłady mogą być ta zapiane Równania różniczowe zwyczajne ą zazwyczaj uzupełniane waruniem początowym >h _ a W itocie jet to uład, gdy e Przeonamy ię w 54, że Rozpatrzmy najprotzy przyład, w tórym uncja ]l_ amc _ a jet ciągła: Zadanie prowadza ię do znalezienia uncji pierwotnej Bo jeśli JGK # do tego taą, że # JGK h GK jet uncją pierwotną i, to jet ona rozwiązaniem powyżzego zagadnienia
z 5 NAJPROSTSZE TYPY RWNAŃ I ICH ROZWIAZYWANIE 5 Natępny przyład jet nieco bardziej złożony, ale K h GK ]l_ amc _ a też jet ciągła: Jeśli Ja później zobaczymy Ko przy odpowiednich założeniach jet to jedyne rozwiąznie Niech teraz p ożemy podzielić obie trony (3) przez,, to zuanym rozwiązaniem jet uncja tała G>/r a wyni całować na q, ut g Twierdzenie o całowaniu przez podtawienie zatoowane do lewej trony daje nam yx{z x0z < t Niech } będzie taą uncją pierwotną uncji $ monotoniczna w pewnym otoczeniu puntu J uncja }y~ Ponadto z mocy deinicji w, że } a zatem uncja odwrotna }!~ jet rozwiązaniem Sprawdzamy, że GK }!~ J } ' Przyład 5 Jao zatoowanie rozwiążmy równanie z przyładu 1: ' 5C JGK G G K G Zauważmy, że } Rn jet itnieje Wtedy Po podzieleniu obu tron przez dotaniemy: Teraz całujemy względem G>/r na przedziale q ut ' ut 5 C, 5C Twierdzenie o całowaniu przez podtawienie zatoowane do lewej trony daje nam Wyznaczamy z (4) i (5): t x{z x0z < t ~ ;A ~ t J GH ;y N -
} # # z } ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE i dalej, J ~ ~ ut: Wynia tąd, że ilość materiału radioatywnego maleje wyładniczo w czaie Natępny przyład łączy oba poprzednie g h Równanie (7) nazywa ię równaniem o zmiennych rozdzielonych Potępujemy ja poprzednio {Co Niech ożemy podzielić obie trony (7) przez, dotaniemy, g Niech } będzie dowolną uncją pierwotną uncji $, a # uncją pierwotną Wtedy jeśli całujemy obie trony (7) w granicach od G do, to dotaniemy, Lewą tronę potratujemy podobnie ja wyżej i dalej t t w ] } ~ yx{z x0z < t t Rˆ w G{ } Sprawdzamy, ta zdeiniowane jet rozwiązaniem: Oczywiście JG{ }!~ K: g } ' # # GK Przyład W pratyce wygląda to ta amy do rozwiązania ' zielimy obie trony przez a wyni całujemy Sąd mamy, że dotaniemy: ;y ;! X, tj w$ 0 5 J > # } K> JGK JGK: R - RŒ zięi warunowi początowemu Jedna ama potać wzoru (8) podpowiada, że jawna potać rozwiązania może być trudna do uzyania, bądź niepratyczna w obliczeniach
' 53 RWNANIA LINIOWE 7 53 Równania liniowe 531 Równania liniowe pierwzego rzędu Podamy teraz metody rozwiązywania liniowych równań pierwzego rzędu Pierwzym z nich jet równanie z przyładu 1, tj J ' J Jego rozwiązanie podane jet wzorem (), tj J RŽ Rozpatrzmy J (' 3 tóre jet równaniem liniowym z członem źródłowym Nie jet to równanie o zmiennych rozdzielonych Zatoujemy tutaj metodę uzmienniania tałej Polega ona na tym, że tałą wytępującą we wzorze (9) tratujemy jao uncję Po wtawieniu do (10) dotaniemy a tąd ', tóre jet pierwzego rozpatrywanego typu Prote rachuni dają J W zczególnych przypadach można łatwo zgadnąć potać rozwiązań równania (10) Jednym z tych przypadów jet J N H gdzie i ą wielomianami zmiennej 0 zaś 7 h šu h ~ h J -ˆ 7>9?; H _ a Powiemy wtedy, że jet quaiwielomianem Oazuje ię, że jeli jet quai-wielomianem, taim ja w (11), to rozwiązania równania (9) przyjmują natępującą potać h R J H gdzie jet tałą zaś ą wielomianami, tórych wpółczynnii trzeba dopiero oreślić (tąd nazwa, metoda wpółczynniów nieoznaczonych) poprzez wtawienie (1) do (9) Widać 0 7 3œ od razu, że topień ž nie może być niżzy niż topień Ÿ, 5 o Rozpatrzmy Przyład 7 Załóżmy, że ' V J 7>9?; H l n
8 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Wtedy,, wtawieniu do równania (13) Stąd, Zatem J i ąd wynia uład Jego rozwiązanie to =I $ Q, d Bierzemy Q G ' w $, 5 V i Q otaniemy po Uwaga Wzory przetają być prawdziwe gdy Należy wtedy zuać wielomianu wadratowego, a nie liniowego ja wyżej 53 Równania liniowe drugiego rzędu Równanie ocylatora harmonicznego, tłumionego ocylatora i prądu w obwodzie z ondenatorem i cewą ma wpólną potać ª ' ' ª G ' ª z warunami ' otychczaowe doświadczenie z równaniami liniowymi podpowiada nam, że możemy zuać rozwiązań w potaci «J gdzie jet jezcze nie utalone Wtawmy tę uncję do (14) Po zróżniczowaniu i róceniu przez dotaniemy, że ª ª H«ª Równanie (15) nazywa ię równaniem charaterytycznym równania (14) (15) ml amy 3 przypadi do zbadania w zależności od znau wyróżnia ª ª ª równania (1) amy wtedy różne pierwiati rzeczywite równania (15) i a tym amym rozwiązania równania (14) «G «i * Tratowane ja wetory w przetrzeni wetorowej > drn q ą liniowo niezależne, czyli jet zana, że itnieje ombinacja liniowa H m H * tóra pełnia waruni początowe Zauważmy, że dzięi liniowości (3) ażda ombinacja liniowa rozwiązań jet rozwiązaniem
P U 7 t 7 53 RWNANIA LINIOWE 9 i mamy rozwiązanie t± Podejrze- t/, co łatwo prawdzić () š Itnieje tylo 1 pierwiate rzeczywity wamy, że to za mało rozwiązań! Itotnie mamy jezcze jedno ª J «3 )+* t ª J «) t ª ª ª ² ª K± «t )/ * )/ ³«Gẃ««tR gdzie Zatem, ª ª ª ª oro K 8µ ª - ª ² ª ma z założenia pierwiate podwójny wž ª K ª V ą rozwiązaniami Przypominamy, że liczby ze- Różniczowanie uncji wetorowych polega na różniczowaniu ażdej wpółrzędnej z oobna dzięi temu przeonamy ię, że (3) amy wtedy pierwiati zepolone wartościach zepolonych «4 0 c, polone można utożamiać z _ a i ª ª { ««t G to przężone tj uncje o z º» z¼ º < Chcemy oniecznie dotać rozwiązania rzeczywite dla rzeczywitych danych początowych ª ½ ½ mamy oraz ª ª _ a Zauważmy, że dla «G ««G «G * «G ««+ * «Gà ¾ «G _/ zięi linowości równania dotaliśmy dwa różne rozwiązania Przyład 8 W przypadu ocylatora harmonicznego (' ' K R 3 «+ À 7>9?; R 3 dotaniemy równanie charaterytyczne A i tąd /Á  +Ã, zatem 3 H à J 7:9<; à zgodnie z oczeiwaniami
c x ~ x ) Ô b Ñ x ) b Î P Î Ë 10 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 54 Teoria rozwiazalności Zajmiemy ię teraz odpowiedzią na pytanie, czy ażde równanie ma rozwiązanie Oazuje ię, że odpowiedź jet twierdząca, przy roządnych założeniach Wyni ormułujemy dla uładów równań ta, aby obejmował równania wyżzych rzędów Jeśli mamy równanie to podtawienia ) )/ ÄÄ b ~ b 0 x )GÅ0Æ )/ Å{Æ ÈÈÇ É )/ ÊÈÈ x ) )/ Å0Æ ÄÄ dadzą uład J0 b ~ b ~ a i _ a b c _ a b Ë Twierdzenie 1 Załóżmy, że ]EËÍÌ _ gdzie jet otwartym zbiorem, pełnia waruni: (i) jet uncją ciągłą; (ii) itnieje taie Î Wtedy, jeśli JG {ju G> dr tj uncja ] q, że dla dowolnych J0 hº0 ju Ï J0 0 ÏÐ?? b ~ mamy Ë, to itnieje doładnie jedno rozwiązanie zagadnienia 0 )/ JG{ _ a b pełniająca (1) dla pewnego owód la prototy dowód przeprowadzimy w przypadu jednego równania Podamy jedynie dowód itnienia, tóry jet ilutracją metody olejnych przybliżeń, tóra ma wiele zatoowań Niech G J GH J będzie taie że Ò ]¼ zauważmy, że jeśli jet rozwiązaniem równania (1), to po jego całowaniu dotaniemy Ta równość podpowiada nam natępującą deinicję J Poażemy, że zereg uncyjny µ J ut ºJ µ t J R H b ~ ut na -ˆ>±w > -l G -ˆ:/ G> dr q na G: `r q
P b 9 Ð Ð Ð Ò Î Î Î Ô b r b ª b Ð Ð ª b ~ 54 TEORIA ROZWIAZALNOŚCI 11 jet jednotajnie zbieżny Jego umy częściowe Õ Wiemy (patrz twierdzenie 353), że do wyazania jednotajnej zbieżności zeregu (17) wytarczy prawdzić, że J J Ð 8U G> dr Œ dla K~ q gdzie zereg liczbowy Ö ª jet zbieżny < 3Ï Zauważmy, że w myśl deinicji normy w przetrzeni > drj q nierówność (18) oznacza, iż Sprawdzamy (18) Zatem z właściwości całi Riemanna i założenia (ii), to ª J J =Ð < t ut ut Ï t Ï Ï t K~ Rl K~ < to -ˆ> -l -l -ˆ> Rl -ˆ> K~ -ˆ -ˆ {~ RB Rˆ ØÀÙ GÚˆÛ t ÁÜÝ K~ < Ï K~ Î < Ï K~ Ò {~ RB:/ GH Ï Ï < K~ Ò oro Ò ] ÒÀ jet wyrazem zbieżnego zeregu geometrycznego Zatem dzięi twierdzeniu 350 Ö q jet zbieżny jednotajnie do granicy, tórą oznaczymy {~ ymbolem zięi jednotajnej zbieżności mamy, że jet uncją ciągłą Nadto, twierdzenie 35 gwarantuje, że Zatem J pełnia bþ t R -ˆ/ ut t -l Rl RB:/ -ˆ>±w Co więcej prawa trona jet różniczowalna dzięi podtawowemu twierdzeniu rachunu różniczowego i całowego Zatem (19) pociąga J J0 > co należało wyazać ßà i JGK Ò Ï < Ž
U Ò U P Ð Ò á á Ò Ò Ò Ò 7 q 1 ROZZIAŁ 5 RWNANIA RŻNICZKOWE ZWYCZAJNE 541 Uwagi na temat jaościowej teorii równań Chcielibyśmy orzeać o właściwościach rozwiązań równania wahadła ' ' 5C bez onieczności rozwiązywania tego uładu Widzieliśmy w pierwzym paragraie rozdziału, że jet to możliwe dla pewnych równań Zauważmy, że uncja â 3 H V, ma tą właściwość, że â Oznacza, to że rozwiązanie yã c 3 7>9?; (' Jh 3 J> 7:9<; 3 3G(' (' (' jet rzywą zawartą w poziomicy uncji â, a zatem jet rzywą zamniętą w płazczyźnie Powyżzą uwagę można uogólnić Otóż uład (0) jet zczególnym przypadiem uładu Hamiltona, tj uładu potaci gdzie _ a b i uncję â jet rozwiązaniem (), to ÈÇ É ' Xæ{ç ÈÊå æ0è ' 5 æ{ç Rêl ægé h Rêl Ò Ä nazywa ię Hamiltomianem Oazuje ię, że jeśli â h owód Jet to łatwe ćwiczenie, tóre pozotawiamy Czytelniowi ßà Chcielibyśmy też przeonać ię, ile jet prawdy w twierdzeniu, że równanie ocylatora harmonicznego J: µ ' 3 jet przybliżeniem równania wahadła (0) w przypadu małej amplitudy drgań Zapizmy (0) i (3) w równoważnej potaci równań drugiego rzędu i załóżmy, że wychylenie początowe jet ' ' i za pomocą twierdzenia Taylora gdzie q, Ò - - -l -Bn 7:9<; (' ' = ' ' C ¼l ¼l tj ë i intereuje na przedział czau od 0 do 1 Badamy różnicę Vì % ì (' >/r zięi założeniom o ' ' i ' ' 7:9<; 0 ' - (' ' { 3 prędość początowa { ' ' :±r
ñ r Û Á Ý Û Á Ý Û Á Ý Û Á Ý U n ð 54 TEORIA ROZWIAZALNOŚCI 13 gdzie 8U q Zatem i dalej Jíå îð daje ï í ð (dzięi twierdzeniu Taylora) Obliczenie maimum prawej trony dla ØÀÙ 0J co dla A5 daje niezły wyni Ð ØÀÙ {-ˆ غ٠РRˆ غ٠{-ˆ Ð Žl RB Rˆ š d RB 0l ożna zadać ogólne pytanie, iedy uład ', gdy _ adb można przybliżyć uładem Qò w oolicy puntu tacjonarnego W tym miejcu wpomnimy, że punt CU _ a b nazywa ię tacjonarnym uładu ' H jeśli Oazuje ię, że odpowiedź twierdzącą na naze pytania można uzyać, gdy ò jet porządna (objaśnimy dużo później) ziś wpomnę, że dla ]î_ a c _ a, oznacza to, że o ' Po zczegóły odyłamy zaintereowanego Czytelnia do iąże poświęconych teorii równań różniczowych zwyczajnych nl