e 2 = 8, 3 e 1 = 5, 1, e 2 = i 3 + i

ÆÓØ Ø Ó Û Þ Þ Ò Ð ÞÝ Ð Öݺ Ä Ê Ò ½ ÞÝ Û ØÓÖ v ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û e e 2 Þ i) v = 2, 4 e = 5, 7 e 2 = 8, 3 6 9 ÓÖ Þ ii) v = 2 3, e = Ç ÔÓÛ õ i) Ø v = 2e e 2 ii) Ò º, e 2 =, Ò ¾ ÞÝ Û ØÓÖÝ w = [ ] + 2i, w i 2 = [ ] 7 i, 3 + i Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò ÔÖ Û Ò Ñ R Ò Ñ Cº ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÝØ ÑÝ ÞÝ Ö ÛÒ Ò x w + x 2 w 2 =, Ø Ù Ø Þ ÖÓ ÓÞÒ Þ Þ ÖÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÞÝÐ Û ØÓÖ Þ ÖÓÛÝ µ Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò Ð x i R Ý Ò R ÓÖ Þ x i C Ý Ò Cº ÊÓÞÛ ÑÝ x ( + 2i) + x 2 (7 i) =, x i + x 2 (3 + i) =, ÖÙ Ó x = ( + 3i)x 2 ØÓ Ó Ô ÖÛ Þ Ó Ó [( + 2i)( + 3i) + 7 i]x 2 = º ÌÓ ØÓØÒ Ø Þ ÖÓ Ò Þ Ð Ò Ó Û ÖØÓ x 2 º ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ Û ÓÛÓÐÒ x 2 x = ( + 3i)x 2 º Ï Ò Ð x 2 R ØÓ x Ø Þ ÔÓÐÓÒ º Ø Ñ Ò R Û ØÓÖÝ w w 2 Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Ð Ò C Þ Ð Ò º Ò Ð Ò ÓÛ Ò Þ Ð ÒÓ Ò Ñ R Ò C Û ØÓÖ Û i) e =, e 2 =, e 3 = ½, e 4 =,

ÓÖ Þ i ii) f =, f 2 = i, f 3 =. 2 i ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÔÖÞÝÔ Ù i) Û Ó ÝÑ Ó Ñ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò Ò R Ó Ö ÛÒ Ò λ e + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 + λ 4 e 4 = Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò λ = λ 2 = λ 4 = λ λ 3 = 2λ Ð ÓÛÓÐÒ Ó λ ÓÖÓ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò Ò R ØÓ Ò C Ø Ó R Cº ÍÛ Ù Ø ÐÓÒ ÛÝ Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ e e 2 e 3 e 4 ÓÞÒ Þ ÒÔº e 3 = e 2 2 2 e 2 4 Ø º e 3 Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÔÓÞÓ Ø Ý º Ï Þ Þ Þ Ñ Ø ØÒ Ò Ò Þ ÖÓÛÝ ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò λ e + λ 2 e 2 + λ 3 e 3 + λ 4 e 4 = ÑÓ Ð Ý ÑÝ ÔÓ Ø Û ÔÖÓ Ð Ñ ÞÝ Û ØÓÖ e 3 Ø Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð ÒÝ Ó ÔÓÞÓ Ø Ý º ÌÓ Ø Ò ÑÒ Ó ÐÒ ÑÓ Ó Ý ÒÔº Ó Þ Ñ Û ØÓÖ e 3 Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ e e 2 e 4 Ð Ø ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º ÆÔº Ý Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ Û ØÓÖ Û v =, v 2 =, v 3 =, v 4 =, ØÓ Ó Þ Ó Ý Ó Û ÔÖÞÝÔ Ù Ö Þ ÓÑÔÐ ÓÛ ÒÝ Û ØÓÖ Û Ò ÑÙ Ó Ý Ý Ó Ö ÞÙ Ø ØÛÓ Û ÓÞÒ µ v 3 Ò Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ v v 2 v 4 Ò ÑÒ Ø ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ v v 2 v 4 Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò ØÝÑ ÑÝÑ ÞØ ÖÝ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 v 4 Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ ÔÖÞ Þ ÔÝØ Ò Ó ØÒ Ò Ò Þ ÖÓÛÝ ÖÓÞÛ Þ Ö ÛÒ Ò λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 = Ó Ø Ð Ý ÑÝ Ò Þ ÖÓÛÝÑ ÖÓÞÛ ¹ Þ Ò Ñ Ø λ = λ 2 = λ 4 = λ λ 3 = ÞÝÐ v + v 2 v 4 = º Â Ø Ò ØÓ Ò ÔÓÞÛ Ð ÛÝÖ Þ v 3 ÔÖÞ Þ ÔÓÞÓ Ø Ó λ 3 = µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ii) ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ξ f + ξ 2 f 2 + ξ 3 f 3 = ÞÝÐ Ù ξ 2 + iξ 3 =, ξ + iξ 2 + ξ 3 =, 2ξ iξ 2 + ξ 3 =. Ó Ô ÖÛ Þ ÔÓÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ i Ó ØÖÞ Ó Ó Ø ÑÝ ξ = º ÍÛÞ Ð Ò ØÓ Þ ÖÙ Ó Ó Ò Ó Ó ØÖÞ Ó ÞÒ Ù ÑÝ 2ξ 3 = ÞÝÐ ξ 3 = ÛØ Ý Þ Ô ÖÛ Þ Óµ ξ 2 = Ø º Ø Ñ Û ØÓÖÝ f f 2 f 3 Ð ÒÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Ò Ó Ý ÛÓÑ Ñ R Cº Ò Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ Û ØÓÖ Ûº w = 2 i i, w 2 = 2i, w 3 = 2. 3 ¾

ÊÓÞÛ Þ Ò ÊÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ö ÛÒ Ò x w + x 2 w 2 + x 3 w 3 = ÞÝÐ Ù 2x + 2ix 2 + x 3 =, ix x 2 + 2x 3 =, ix + x 2 + 3x 3 =. Ó Ò ÖÙ Ó Ó ØÖÞ Ó x 3 = º ÏØ Ý Ô ÖÛ Þ ÔÖÓÛ Þ Ó x +ix 2 = ÖÙ Ó ix x 2 = ÞÝÐ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÔÓÑÒÓ ÓÒ Ó ÔÖÞ Þ iº Ø Ñ ÞÙ ÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø x 2 = ix x 3 = x ÓÛÓÐÒ º ÈÓÒ Û Ð Ó x Ð Ó x 2 Ø Þ ÔÓÐÓÒ Ð Ó Ò Û Ø Ó µ ØÓ Û ØÓÖÝ w w 2 ÓÖ Þ w 3 Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò Ò C Ð Ò Ò Rº Ò ÓÛ Ð Û ØÓÖÝ e e 2 ÓÖ Þ e 3 Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Ò R ÐÙ Cµ ØÓ Ø Ñ Û ØÓÖÝ f = e + e 2 + e 3, f 2 = e + e 2, f 3 = e 2 + e 3. ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÞÛÝ Ð ÔÝØ ÑÝ ÞÝ Þ ØÙ λ f + λ 2 f 2 + λ 3 f 3 = ÛÝÒ λ = λ 2 = λ 3 = º Ï ÑÝ Ø Ö Þ Ø Ö ÛÒ Ò ξ e + ξ 2 e 2 + ξ 3 e 3 = Ñ ØÝÐ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ξ = ξ 2 = ξ 3 = º È Þ ÑÝ Û = λ f + λ 2 f 2 + λ 3 f 3 = λ (e + e 2 + e 3 ) + λ 2 (e + e 2 ) + λ 3 (e 2 + e 3 ) = (λ + λ 2 )e + (λ + λ 2 + λ 3 )e 2 + (λ + λ 3 )e 3 Ø Ñ Ò ÑÓÝ Þ Ó Ò ÑÙ ÑÝ Ñ λ +λ 2 = λ +λ 2 +λ 3 = λ +λ 3 = º ÖÙ Þ Ô ÖÛ ÞÝÑ λ 3 = ÛØ Ý ØÖÞ λ = Ò ÓÒ Þ ÖÙ Ó ÛÝÒ ÛØ Ý λ 2 = º Ò ÓÛ Ò ØÔÙ Þ ÓÖÝ Û ØÓÖ Û¹ ÙÒ Ø º Û ØÓÖ Û Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò V = Map(R, R )µ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò a) sin x, cos x, b), sin x, cos x, c) sin x, sin 2x,..., sin nx d), cosx, cos 2x,..., cosnx e), cosx, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cosnx, sin nx. ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÔÖÞÝÔ Ù a) Ø Ò λ sin x + ξ cosx = ÑÓ Ð Û ÞÝ Ø x (a, b) R Þ Ó Þ ØÝÐ Ó Ð λ = ξ = Ð x = kπ x = lπ + π Ò Ð Ó (a, b) 2 ØÓ Ø ØÓ ØÖÝÛ ÐÒ Ð Ò ØÓ ÑÓ Ò ÞÖ Ò Þ ÓÛ Ñ λ cosx ξ sin x = ÓÖ Þ

λ sin x+ξ cosx = ÞÒ Û ÝÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ó Ù Ð Û ÞÝ Ø x¹ Û Ø λ = ξ = º ÌÓ ÑÓ Û ÔÖÞÝÔ Ù b) η + λ sinx + ξ cosx = Ð Û ÞÝ Ø x (a, b) R Ø ÛÝÑ η = λ = ξ = Ý ØÓ ÞÓ ÞÝ ÑÓ Ò ÞÒ Û ÞÖ Ò Þ ÓÛ Ó Ø Ò ÑÝ Ø Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Û ÔÙÒ µº Ï ÔÖÞÝÔ Ù c) ÑÓ ÑÝ ÔÓ Ù Ý Ò Ù º ÑÝ Û ØÓÖÝ Ø Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Ð Ó n Ð n = Ø ØÓ ÓÞÝÛ Ø µ ÔÖ Û Þ ÑÝ ÞÝ Þ Ø Ó ÛÝÒ ØÓ ÑÓ Ð n + ØÓ ÞÒ ÞÝ f(x) λ sin x + λ 2 sin 2x +... + λ n sin nx + λ n+ sin(n + )x, ÝÑ ÓÐ ÔÖÞÝÔÓÑ Ò Ñ ØÓ Ý Ð Û ÞÝ Ø xµ ØÝÐ Ó Ð λ = λ 2 = λ n = λ n+ = º Ë ÓÖÓ Ñ ØÓ Þ Ó Þ Ð Û ÞÝ Ø x ØÓ ÞÒ ÞÝ d 2 dx 2f(x) λ sin x 2 2 λ 2 sin 2x +... n 2 λ n sin nx (n + ) 2 λ n+ sin(n + )x. ÅÒÓ ÝÑÝ f(x) ÔÖÞ Þ (n + ) 2 Ó ÑÝ Ó Ø Ó ØÙ ÛÝ Ó [(n + ) 2 ]λ sin x + [(n + ) 2 4]λ 2 sin 2x +... + [(n + ) 2 n 2 ]λ n sin nx, ÌÓ Þ Ò ÑÓÝ Ò Ù Ý Ò Ó Þ Ó Ò Ó Ð Ò ÓÛ Ò Þ Ð ÒÓ Û ØÓÖ Û sin x... sin nx ÓÞÒ Þ Þ [(n + ) 2 ]λ = [(n + ) 2 4]λ 2 =... = [(n + ) 2 n 2 ]λ n = º ËØ Þ ÖÙ ÑÙ Þ Ý Û ÞÝ Ø λ i Ó i =,...,n Þ ÛÝ Ø Ñ Û ÒØÙ ÐÒ k¹ø Ó Ø Ñ k (n + ) 2 k 2 = º Ð ØÓ Ò ÑÓ Þ ÖÞÝ Ó Û Ò Ù ÖÓÞÔ ØÖÙ ÑÝ ØÝÐ Ó n + > kº Ø Ñ λ = λ 2 =...λ n = Þ ØÓ ÑÓ ÓÛ Ó ÞÒ Ò f(x) ÛÝÒ Ø λ n+ = º Ï ÔÖÞÝÔ Ù d) Ø ÔÓ Ù Ù ÑÝ Ò Ù º ÑÝ Ø Þ Ð Ò ÓÛ Ò Þ Ð ÒÓ µ Ø ÔÖ Û Þ Û Ð n Ñ ÑÝ ÔÓ Þ g(x) η + λ cosx + λ 2 cos 2x +... + λ n cosnx + λ n+ cos(n + )x, ÔÓ Þ Ó η = λ =... = λ n = λ n+ = º ÅÒÓ ÝÑÝ g(x) ÔÖÞ Þ (n+) 2 Ó ÑÙ ÑÝ Ó Ø Ó Û ÖÓ ÞÖ Ò Þ ÓÛ Ò g(x) = º  ÛÝ ÛÝÒ Ø λ = λ 2 =...λ n = ÞÓ Ø Ò Ñ Û g(x) = ØÝÐ Ó η+λ n+ cos(n+)x = Ó ÞÒ Û ÛÝÑ Ý η = λ n+ = º ÏÖ Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù e) Ø Þ ÑÝ η+λ cosx+ξ sin x+λ n cosnx+ξ n sin nx = ØÝÐ Ó Ð η = λ = ξ =... = λ n = ξ n = ÖÓ ÑÝ Ð n + ÞØÙÞ Þ ÖÙ ÔÓ Ó Ò Ó ÞÓ Ø Û Ò Ñ η + λ n+ cos(n + )x + ξ n+ sin(n + )x = º ÌÓ Ø ÛÝÑ Ý η = λ n+ = ξ n+ = Ó Ý Ò ÑÓÝ Ø Ó Ø Þ Ø ÔÖ Û Þ Û Ð n = ÞÝÑ Ö Ò x Ó (n + )x ¹ ØÝÐ Ó Þ Þ Ò ºººµ Ò ÓÛ Û ØÓÖÝ f = sin x, f 2 = sin 3 x, f 3 = sin 3x, Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ V = Map(R, R ) Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÓ ÔÖÓ Ø sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cosx + sin x cos 2x = 2 sin x cos 2 x + sin x( 2 sin 2 x) = 3 sin x 4 sin 3 x.

ÞÝÐ f 3 = 3f 4f 2 Ó ÓÛÓ Þ f f 2 f 3 Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º Ò ÓÛ Û ØÓÖÝ e = 2, e 2 = 3 3 2, e 3 = ØÛÓÖÞ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ R 3 º ÍÛ Ð Û Û ØÓÖ Ø º Û ØÝ Û Ö ØÓÛÝ Ò Û Ñ Ý ØÝÐ Ó Ð Þ Ý ÖÞ ÞÝÛ Ø ¹ Ó Ø Ó Ò Ù ÑÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ ¹ ØÓ ÑÙ ØÓ Ý ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Ò Ñ R Ý Ý ÑÝ ÓÛ Ñ ÓÔÙ Ð ÑÒÓ Ò Û ØÓÖ Û ÔÖÞ Þ Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ ØÓ Û Ò Û ÛÝ Ø Ô Ý Ý Þ ÓÒ ÞÒÓ Ø Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ Û Ö Û Ò Þ ÑÙ Ó Ö ¹ Ð Ò Ù Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò º Ï ÖÙ Þ ØÖÓÒ ÖÞ Þ Ø ÑÓ Ð Û ÑÓ ÑÝ Ó Ö ØÖ ÐÒ Ó Ö Ð ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Û Ø ÔÓ Û Ò Û ÑÓ ÛÝ Ø Ô Ø Ð Þ Ý Þ ÔÓÐÓÒ Ð ÓÔÙ ÞÞ ØÝÐ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ º Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù ØÓ Ù ÙÛ Ó Þ ÛÝÑ ÖÞ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÙÑ ÞÞÓÒ Ò Ó Ù Ø Ó Þ Ò º ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÖÞ ÔÓ Þ ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ w ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÝ ØÖÞ Ø º Û ÔÓ Ø x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 = wº Æ w = [a, b, c]º ÌÖÞ ÔÓ Þ Ù Ö ÛÒ x + 3x 2 + 2x 3 = a, 2 3, 2x 2 + 4x 3 = a + b c 2x + x 2 + 3x 3 = b, 4x + 2x 3 = a + b + c 3x + 2x 2 + x 3 = c, 2x + 4x 2 = a b + c Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò º ÅÒÓ Ô ÖÛ Þ Ö ÛÒ Ò ÔÖÞ Þ 2 Ó Ó ØÖÞ Ó 2x 2 + 4x 3 4x + 2x 3 2x 8x 3 = a + b c = a + b + c = a 3b + 3c Ì Ö Þ ØÖÞ Ö ÞÝ 2 Ó Ó ÖÙ Óº ÇØÖÞÝÑÙ ÑÝ 8x 3 = a+7b 5cº ÞÝÐ Ñ ÑÝ x 3 º Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ 8x = 5a + b + 7c ÓÖ Þ 8x 2 = 7a 5b + c ÝÑ ØÖ Ö ÛÒ µº ØÛÓ ÔÖ Û Þ ØÓ Ó ÖÝ ÛÝÒ º Ë ÓÖÓ Ø ÒÓÞÒ ÞÒ µ ÖÓÞ¹ Û Þ Ò Ð ÓÛÓÐÒ Ó Û ØÓÖ w ØÓ e e 2 e 3 µ ØÛÓÖÞ Þº ÍÛ ÏÝ Ò ÑÝ Ó Ò Ò ÔÖÓ Ø ÞÝÑ ÔÖÞÝ Þ ÞÞ Ò ÔÖ Û Û Û ¹ ØÓÖÝ e = [ ], e 2 = [ ], ÖÓÞÔ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ V Ò Ñ R Þ Û ØÓÖ Û ÔÓ Ø [ ] x w =, o x, x 2 R, x 2

Ó ÓÛÓÐÒÝ Ø Û ØÓÖ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Ó w = x e + x 2 e 2 Ø º Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ e e 2 Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÑ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ º ÈÖÞ ØÖÞ Ø Ø Þ Ø Ñ ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó Þ Þ ÛÙ Û ØÓÖ Ûº Ì Ñ Û Û ØÓÖÝ e e 2 Ò ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ W Ø Ò Ñ R Þ Û ØÓÖ Û ÔÓ Ø [ ] z w =, o z, z 2 C, Ó ÒÔº Û ØÓÖ z 2 [ ], i Ò ÑÓ Ò Ó Ø Þ ÓÑ Ò Ð ÒÓÛ x e + x 2 e 2 Ó ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Û Ô ÞÝÒÒ x x 2 º Ó Ø Ó ØÖÞ ÛÞ Û Þ Þ ÒÔº [ ] [ ] [ ] [ ] i e =, e 2 =, e 3 =, e 4 =. i ÞÝÐ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Ò Ñ Rµ Ø ÞØ ÖÓÛÝÑ ÖÓÛ º ÇÞÝÛ Ð ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Ø Ò Ñ C ØÓ Ø ÞØ ÖÝ ÔÓÛÝ Þ Û ØÓÖÝ Ô Ö Ñ Ó ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ e 2 = ie e 4 = ie 3 µ ÞÝÐ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º ÏØ Ý Þ Ñ Û Û ØÓÖÝ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Ò Ñ Cµ Ø ØÝÐ Ó ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ º Ò Ò Ð õ ÛÝÑ Ö Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ E R 4 ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ Û ØÓÖÝ v... v 5 2 3 3 v = 2, v 2 = 3 4, v 3 =, v 4 = 2 3, v 5 = ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û R 4 Ñ ÛÝÑ Ö 4 Þ Ø Ñ ÔÖÞÝÒ ÑÒ Ò Þ ØÝ Û ØÓÖ Û ÑÙ Ý Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð ÒÝ Ó ÔÓÞÓ Ø Ý º Ç ÖÞÙ ÑÝ Ó Ø ØÒ Ó Ñ ÖÞÝ Ð Þ Ýµº Ý ÞÓ ÞÝ ÞÝ Ô ÖÛ Þ ÞØ ÖÝ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò ÔÖ Ù ÑÝ ØÖÓ Ò Ý ¹ØÖ µ Þ Ô ÞÛ ÖØÝ Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Ø º Ó v 4 = x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 º ÌÓ Ù Ö ÛÒ 2x + 3x 2 + 3x 3 =, x + 3x 2 x 3 =, 2x + 4x 2 x 3 =, x + 2x 2 + 3x 3 =. Ï õñý ØÖÞÝ Ô ÖÛ Þ Ò Ö Þ º Ç Ó ØÖÞ Ó Ô ÖÛ Þ º ÌÓ x 2 = 4x 3 º Ï Ø Û ÑÝ ØÓ Ó ÛÙ Ô ÖÛ ÞÝ Ñ ÑÝ Ù 2x + 5x 3 =, x + x 3 =. 2 3 7 2,

ÌÓ ØÛÓ ÖÓÞÛ Þ ÖÙ Ö ÞÝ Û Ó Ó Ô ÖÛ Þ Óµº ËØ Ñ ÑÝ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Ö ÛÒ Ì Ö Þ ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ó Ø ØÒ x = 26 7, x 2 = 2 7, x 3 = 3 7. 26 7 + 2 2 7 + 3 3 7 =. ÞØ ÖÝ Ö ÛÒ Ò Ò ØÖÞÝ ÞÑ ÒÒ ¹ ØÖÞ Ñ ÞÞ Ý Ø Ù Ó µ ÌÓ ÓÛÓ Þ ÞØ ÖÝ Ô ÖÛ Þ Û ØÓÖÝ Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò Ó 26 7 v + 2 7 v 2 + 3 7 v 3 v 4 =. Ö Þ Ñ Þ ÒÓÞÒ ÞÒÓ Ø Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ÛÝÒ Ý ÑÝ ÛÞ Ð Ø Ö ÓÐÛ Û Û ØÓÖÝ Þ v v 2 v 3 ØÓ Ò Ù ØÞÒº v 4 Ò Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÝÐ Ó ÛÙ Þ Ò º Ø Ñ ÛÝÑ Ö ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E Ø Ö ÛÒÝ ÓÒ ÑÒ 3º Ë ÓÖÓ Ò Ó Þ Ó Þ ÞØ Ö Û ØÓÖ Û v v 2 v 3 v 4 ØÝÐ Ó ØÖÞÝ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò ØÓ ØÖÞ ÛÖ Þ ÔÝØ ÞÝ Ò Ø Û Ø Ñ Ö Þ ÑÓ Ð Û Ó Þ Ò v 5 ØÞÒº ØÖÞ ÔÖ Û Þ ÞÝ Ù Û ØÓÖ Û v v 3 v 4 v 5 Ò Ø ÔÖÞÝÔ Ñ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Òݺ Â Ð Ø ØÓ v 5 ÔÓÛ ÒÒ Ò Þ Ô Ó x v + x 2 v 3 + x 3 v 4 º ËÔÖ Û õñý ØÓ 2x + 3x 3 x 4 = 2, x x 3 + x 4 = 3, 2x x 3 x 4 = 7, x + 3x 3 + x 4 = 2. Æ Ô ÖÛ ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ Ô ÖÛ Þ ØÖÞÝ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ 4x 3 = 5 ÞÝÐ x 3 = 5 4 º ÌÓ Ó ÖÙ Ó ØÖÞ Ó x + x 4 = 7 4, 2x x 4 = 23 4. Ó Ò ØÖÓÒ Ñ x = ÛØ Ý Þ Ô ÖÛ Þ Ó ÛÝ x 4 4 = 7 = 3 º ØÛÓ 2 4 4 ÔÖ Û Þ ØÓ Ø Ó Ö ÖÓÞÛ Þ Ò ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ Ö ÛÒ º ËÔÖ Û Þ ÑÝ Ø Ö Þ Ó Ø ØÒ ÞÛ ÖØ x + 3x 3 + x 4 = 3 5 3 = 4 4 4 8 = 2º ÞÝÐ ØÓ ÞÛ ÖØ Ø Ø 4 ÛØ Ý Ô Ò ÓÒ Ø Ñ Ó Ø Ø ÞÒ v 5 Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ v v 3 v 4 ÞÝÐ Ø Ó Ò Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Òݺ ÈÓÒ Û Ù Û ÑÝ v v 3 v 4 Ø Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Û Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E ÑÓ ØÛÓÖÞÝ Û ØÓÖÝ v v 3 v 4 º

Ò ½¼ Â Û Þ Ò Ù ØÝÐ Ó Þ Û ØÓÖ Ñ 2 v =, v 2 =, v 3 =, v 4 = 2 3, v 5 = 3, 4 4 ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ò Û Ø Ò Ñ R Ó Û ÞÝ Ø Ð Þ Ý Û ÓÐÙÑ Ò ÞÝ ØÓ ÖÞ ÞÝÛ Ø µ Ô Û ØÓÖ Û Ò ÑÓ Ý Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð ÒÝ º Ì Ö Þ Ò ÔÓ Ø Ô ÑÝ Ö Þ Ö ÙÐ Ñ ÒÓÛÓ Þ ÑÝ Û ÖÙÒ Å ÑÝ Þ Ø Ñ Ù Ö ÛÒ λ v + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 + λ 4 v 4 + λ 5 v 5 =. λ + 2λ 2 + λ 3 + λ 4 = λ 2 + λ 3 + 2λ 4 + λ 5 = λ 2 + λ 3 + 3λ 4 + 2λ 5 = λ + λ 3 + 4λ 4 + 3λ 5 = ÖÙ Ó ØÖÞ Ó λ 4 + λ 5 = ÔÓÑ ØÖÞ Ô Þ ÑÝ Û ÔÓÞÓ Ø Ö ÛÒ Ò Ð Ñ ÒÙ Þ Ò λ 5 µ λ + 2λ 2 + λ 3 + λ 4 = λ 2 + λ 3 + λ 4 = λ + λ 3 + λ 4 = Ì Ö Þ Ó Ø ØÒ Ñ ÒÙ ÔÖÞ Ó Ø ØÒ λ + λ 2 = º ÈÓ ÛÝ ÓÖÞÝ Ø Ò Ù Ø Ó Ô ÖÛ Þ ØÖÞ Ø ØÓ Ñ Þ Ö٠Ѻ Ø Ñ ÞÓ Ø Ó Ô Ò Ò ØÝÐ Ó λ 2 + λ 3 + λ 4 = Ñ ÑÝ Û ÒÓ Ö ÛÒ Ò Ò ØÖÞÝ Ò Û ÓÑ Ï ÖÓÞÛ Þ Ò ÑÓ Ò Ò Ô Û ÔÓ Ø λ = ξ, λ 2 = ξ, λ 3 = ξ η, λ 4 = η, λ 5 = η. ξ η ØÙ ÞÙÔ Ò ÓÛÓÐÒÝÑ Ð Þ Ñ º ÞÛ Þ Å ÑÝ Þ Ø Ñ Ð ÓÛÓÐÒÝ Û ÖØÓ ξ η ξ v ξ v 2 + (ξ η)v 3 + η v 4 η v 5 =. ÅÓ ÑÝ ØÙ ÒÔº ÔÓ Ó Ý ξ = η = Ð Ó ξ = η = Ó ÞÛ Þ v 5 = v 3 + v 4, v = v 2 + v 3, ÔÓ ÞÙ ÒÔº v ÓÖ Þ v 5 ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛÝ v 2 v 3 v 5 º Ì ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ ÑÓ Û Ø ÒÓÛ Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÖÓÞÔ Ø ÔÖÞ Þ v v 2 v 3 v 4 v 5 º

Ò ½½ Ò Ð õ ÙÑ ÔÖÓ Ø ÔÖÞ ÛÙ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û R 3 ÖÓÞÔ Ò ÒÝ ÔÖÞ Þ Û Þ ÓÖÝ Û ØÓÖ Û V = 3,, 3 3, W = 2, 3 2 3,. 4 ÊÓÞÛ Þ Ò º Æ Ô ÖÛ ÞÒ Þ ÑÝ ÙÑ ÔÖÓ Ø º Â Ð Û ØÓÖÝ V ÐÙ W µ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò ØÓ ÖÓÞÔ Ò ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ R 3 V = R 3 W = R 3 µ ÛØ Ý Û ÓÞÝÛ ØÝ ÔÓ V W = R 3 º ËÔÖ Û õñý Û Ð Ò ÓÛ Ò Þ Ð ÒÓ Û ØÓÖ Û Þ V º Í x + x 2 + x 3 =, 3x + x 2 + 3x 3 =, x x 2 + 3x 3 =, Ñ ØÛÓ ÔÖ Û Þ ØÝÐ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò x = x 2 = x 3 = Þ Ø Ñ ÖÞ ÞÝÛ V = R 3 V W = R 3 º Â Ð Þ Ó Þ Ó W ØÓ Ó ÝÑ Ó Ñ Û w 3 = w + w 2 Û ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ W Ø ØÝÐ Ó ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ø ÖÓÞÔ Ò Ò ÒÔº ÔÖÞ Þ w w 2 º ÈÓÒ Û V = R 3 ØÓ ÔÖÞ V Þ W Ø º ÔÓÔÖÞ ØÖÞ ÙØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ ÛÝ ØÓÖÝ Ø Ò Ð ÓÒ ÒÓÞ Ò Ó V Ó W Ø Ñ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò W Ó W V = R 3 µº Ò ½¾ Ò Ð õ ÛÝÑ Ö Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E R 4 ÖÓÞÔ Ø ÔÖÞ Þ Û ØÓÖÝ w = 2 3, w 2 = 3, w 3 = 2, w 4 = 3 3. 4 3 7 Ò Ð õ Ø Ó ÐÒ ÔÓ Ø Û ØÓÖ Þ Eº ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Û ÞÓ ÞÑÝ ÞÝ ÔÖÞ Ø Û w 4 Û ÔÓ Ø x w +x 2 w 2 +x 3 w 3 º Ý Ó ÑÙ Ý Ô Ò ÓÒÝ Ù Ö ÛÒ x + x 2 =, 2x + x 2 + 2x 3 = 3, 3x + 3x 2 + x 3 = 3, 4x + x 2 + 3x 3 = 7.

ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞÝ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ Ñ ÔÖ Û Þ ÑÝ Ó Ø ØÒ º ÖÙ Ñ ÒÙ Ô ÖÛ Þ x 3 = x 2 º ÌÓ Ó ØÖÞ Ó Ñ ÑÝ Ö Þ Ñ Þ Ô ÖÛ ÞÝÑ Ù ÓÐ ÒÝ µ x + x 2 =, 5 2 x + 3x 2 = 2. ËØ Ù ØÛÓ Ñ ÑÝ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ØÖÞ Ô ÖÛ ÞÝ x = 2, x 2 =, x 3 =. ØÛÓ ÔÖ Û Þ ØÓ ÖÓÞÛ ÞÙ ØÖÞÝ Ô ÖÛ Þ Ö ÛÒ Ò µº Ì Ö Þ ÔÖ Û Þ ÑÝ ÞÛ ÖØ 2 (4) () + (3) = 7. ÀÙÖÖ Ò Û Ù Ó ÞÝÐ w 4 Ø Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð ÒÝ Ó w w 2 w 3 w 4 = 2w w 2 º Ó Û ÞÒ Û ÖÓÞÛ Þ Ò Ø ÒÓÞÒ ÞÒ Û Û ÞÝ Ø ØÖÞÝ w w 2 w 3 Ù Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò º Ø Ñ ÛÝÑ Ö ÑE = 3 Þ ÑÓ Ý Ø ØÖÞÝ Û ØÓÖݺ ÇÞÝÛ ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ Ò Ð Ý Ó E Ñ ÔÓ Ø x + x 2 x w + x 2 w 2 + x 3 w 3 = 2x + x 2 + 2x 3 3x + 3x 2 + x 3 = 4x + x 2 + 3x 3 Æ Ù ÝØ Þ Ò ½ ÛÝ Ó Ò Þ ÔÖÞ Ø Û Ø Ò Û ØÓÖ Ø ØÖÞÝ Ó Ô ÖÛ Þ ÓÛ ÓÛÓÐÒ ÞÛ ÖØ Þ ÛÝÖ ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ Ô ÖÛ Þ º Ï ØÝÑ ÐÙ Þ ØÔÙ ÑÝ Û ÖÙ Ñ ØÖÞ Ñ Û Ö ÞÙ x + x 2 ÔÖÞ Þ a Ø Ý ÞÒ Ó Þ Ò x a 2a x 2 + 2x 3 3a + x 3 4a 3x 2 + 3x 3 = a b c. d Ï Ò ØÔÒÝÑ ÖÓ Ù Þ ØÔÙ ÑÝ 3a + x 3 ÔÖÞ Þ c Û ÖÙ Ñ ÞÛ ÖØÝÑ Û Ö ÞÙ Þ Ø¹ ÔÙ ÑÝ x 3 ÔÖÞ Þ c 3aº Ï Ø Ò ÔÓ a =. 4a + 2c x 2 c 5a + 3c 3x 2 ÏÖ Þ Û ÖÙ Ñ Û Ö ÞÙ Þ ØÔÙ ÑÝ 4a + 2c x 2 ÔÖÞ Þ b Û ÞÛ ÖØÝÑ Þ Ñ Ø x 2 ÑÝ 4a + 2c bº Ï Ø Ò ÔÓ ÔÓ Ø Û ØÓÖ Þ E Ø Ø a b c. 7a + 3b 3c ½¼ a b c d a b c d.

Ò ½ Ò Ð õ ÛÝÑ Ö Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò F R 4 ÖÓÞÔ Ø ÔÖÞ Þ Û ÞÝ Ø Û ØÓÖÝ ÔÓ Ø x y z, 2y 2z t = x 4y + 4z + 2t =. t ÊÓÞÛ Þ Ò Û Ö ÞÝ Ô ÖÛ ÞÝ Û ÖÙÒ ÔÐÙ ÖÙ x = º Ô ÖÛ Þ Ó Þ Ñ ÑÝ t = 2y 2zº Ï ØÓÖÝ ÖÓÞÔ Ò E Û ÔÓ Ø y z = y + z y e + z e 2. 2y 2z 2 2 Ï ØÓÖÝ e e 2 Û ÒØÒ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò º Ø Ñ ÑF = 2 Þ ÑÓ Ý e e 2 º Ò ½ Ò Ð õ ÛÝÑ Ö Þ ÙÑÝ ÓÖ Þ ÔÖÞ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E Þ Þ Ò ½¾ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò F Þ Þ Ò ½ º ÊÓÞÛ Þ Ò ÓÒ ÑÒ Ò Þ Ô Ù Û ØÓÖ Û w = 2 3, w 2 = 3, w 3 = 2, w 4 =, w 5 = 4 3 2 ÖÓÞÔ Ò Ý E F ÑÙ Ý Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð ÒÝ Ó ÔÓÞÓ Ø Ý º ÏÝÖÞÙ ÑÝ Ô ÖÛ ÞÝ Ó Ò Ö Þ ÓÑÔÐ ÓÛ Òݺ Ó ÞÑÝ Ò ØÔÒ ÞÝ w 2 Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ w 3 w 4 w 5 º Ó ÝÑ Ó Ñ Û Ò º Ó Û ØÛÓ ÔÖ Û Þ Ö ÛÒ Ò xw 3 +yw 4 +zw 5 = Ñ ØÝÐ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò x = y = z = º Ø Ñ E F = R 4 Ó Ø ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ ÞØ ÖÝ Û ØÓÖÝ w 2 w 3 w 4 w 5 Ø Ö ÑÓ Ò ÔÖÞÝ Þ Þº Ì Ö Þ ÔÖÞ E F º ÌÛÓÖÞ Û ØÓÖÝ Ò Ð Ó E Ó F º ÇÞÒ Þ ØÓ Û ØÓÖÝ Ø ÑÙ Þ ÒÓÞ Ò ÔÖÞ Ø Û Û ÛÙ ÔÓ Ø a b c 7a + 3(b c) = y z 2y 2z Ï Ý Ø Ý Ó ÑÙ Ý a = b = y c = z Ó Ø Ó ÞÞ ÑÙ Þ Ó Þ Ö ÛÒÓ 7a + 3(b c) = 2(y z)º Ð ÓÖÓ a = b = y c = z ØÓ ÑÓ Ø Ý ØÝÐ Ó Ð. 2, ½½

b = cº Ø Ñ Ó ÐÒ ÔÓ Ø Û ØÓÖ Ò Ð Ó Ó ÔÖÞ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò E F Ø b b. Ø Ñ ÔÖÞ E F Ø ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ ÓÐÛ Û ØÓÖ ÔÓÛÝ Þ ÔÓ Ø ÒÔº Þ b = µº Ò ½ ÈÓ Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ð Ò ÓÛ E R 4 Þ Ó ÓÒ Þ Û ØÓÖ Û ÔÓ Ø x y z, 3z 4t = x y + z + t =, t Ø ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ Û Û ØÓÖݺ ÊÓÞÛ Þ Ò Ï ÖÙÒ Û Ò ÞØ ÖÝ ÓÛ º Ï õñý x z Ó Ò Þ Ð Ò º ÏØ Ý t = 3 z ÓÖ Þ ÔÓ Û Ø Û Ò Ù Ø Ó Ó ÖÙ Ó Û ÖÙÒ Ùµ x y + 7 z = ÞÝÐ y = x + 7 zº 4 4 4 Ø Ñ Ý Û ØÓÖ Þ E ÑÙ Ñ ÔÓ Ø λ + λ 3 4 7 4. 3 Ò ½ ÈÓ Þ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ E ÖÓÞÔ Ø ÔÖÞ Þ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 v 4 ÔÓ Ø 2 3 v = 2, v 2 = i, v 3 = i, v 4 = 4, i i Þ Û Ö Û ØÓÖÝ w = i 3, oraz w 2 = 2 2 i, ÓÖ Þ Û ØÓÖÝ w w 2 v 3 v 4 ÖÓÞÔ Ò Ø Ñ ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Eº ÊÓÞÛ Þ Ò Æ Ô ÖÛ ØÖÞ ÔÓ Þ Ö ÛÒ Ò x v + x 2 v 2 + x 3 v 3 + x 4 v 4 = w ½¾

ÓÖ Þ y v + y 2 v 2 + y 3 v 3 + y 4 v 4 = w 2 Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò º È ÖÛ Þ Ù Ö ÛÒ x + 2x 3 + 3x 4 =, ix 2 ix 3 = i, 2x + x 2 + x 3 + 4x 4 = 3, ix + ( i)x 2 + x 4 =. ÖÙ Ó x 2 x 3 = ÞÝÐ x 2 = + x 3 º ÌÓ Ó ÔÓÞÓ Ø Ý ØÖÞ Ó Ù x + 2x 3 + 3x 4 =, 2x + 2x 3 + 4x 4 = 2, ix + ( i)x 3 + x 4 = i. Ç ÖÙ Ó Ó Ô ÖÛ Þ x = x 4 º ÌÓ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ Ó 2(x 3 + x 4 ) =, ( i)(x 3 + x 4 ) = i. ÞÝÐ ÔÖÞ Ø Û w Þ ØÝÑ Ò Û ÔÓ ÒÓÞÒ ÞÒݺ ÌÓ ÓÞÒ Þ Ñ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 v 4 Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò ÞÝÐ ÑE < 4µº Á ØÓØÒ Û v 4 = v +v 2 +v 3 º Ø Ñ Ý ÓÛ w 2 E ÛÝ Ø ÖÞÝ ÔÓ Þ w 2 = y v +y 2 v 2 +y 3 v 3 º Ï w 2 = v 2 + v 3 ÔÓ ÔÖÓ ØÙº Ç ÐÒ ÑÓ Ò Þ ÙÛ Ý w = v + v 2 + λ(v + v 2 + v 3 v 4 ), w 2 = v 2 + v 3 + ξ(v + v 2 + v 3 v 4 ), Ð ÓÛÓÐÒÝ λ ξ ÔÓÒ Û v +v 2 +v 3 v 4 = º ËØ Ð λ = ÙÞÝ Ù ÑÝ ÞÛ Þ v 4 = w + v 3. Æ ØÔÒ λ = ξ = 2 λ = ξ = µ Ó ÑÙ Ó ÖÙ Ó Ô ÖÛ Þ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ µ Ó Ø ÑÝ Û Ù Ý Ö ÛÒ w = 2v + 2v 2 + v 3 v 4, w = 2v + 2v 2 + v 3 v 4, w 2 = 2v + 3v 2 + 3v 3 2v 4, w 2 = v + 2v 2 + 2v 3 v 4. Ô ÖÛ Þ Ó Ù Ù Ó ÑÙ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ w 2 w = v 2 + 2v 3 v 4 = v 2 + 2v 3 w v 3 = v 2 + v 3 w, Þ Û ÖÙ Ñ ÖÓ Ù ÛÝ ÓÖÞÝ Ø ÒÝ ÞÓ Ø ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Ù ÛÝ ÞÛ Þ v 4 = w + v 3 º ÖÙ Ó Ù Ù Þ Ó ÑÙ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó Ø ÑÝ w w 2 = v v 3. ½

Ì Û ÑÓ ÑÝ ÛÝÖ Þ v v 2 ÔÖÞ Þ w w 2 ÓÖ Þ v 3 v 2 = w 2 v 3, v = w w 2 + v 3, Ó ØÛÓ ÔÖ Û Þ µº Ø Ñ Ý Û ØÓÖ ÔÓ Ø αv + βv 2 + γv 3 E ÑÓ Ò Ò Ô Ó α(w w 2 + v 3 ) + β(w 2 v 3 ) + γv 3 = αw + (β α)w 2 + (α β + γ)w 3. Ø Ñ Û ØÓÖÝ w w 2 v 3 Ø ÖÓÞÔ Ò Eº Ò ½ Ï Ô ÛÒ Þ Û R 3 Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 Ñ Û Ô ÖÞ Ò ÓÛ µ v :=, v 2 := 2, v 3 := ÈÓ Þ v v 2 v 3 Ø Þ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÔÓ Û Ø ÒÓÛ Þ Û Ô ÖÞ Ò Û ØÓÖ w Ø ÖÝ Û Ô ÖÛÓØÒ Þ Ñ Û Ô ÖÞ Ò (6, 9, 4)º ÍÛ Í ÝÐ ÑÝ ÛÝ ÝÑ ÓÐÙ := Ý ÔÓ Ö Ð Û Þ Þ Ò Ò Ð Ý ÙØÓ ¹ Ñ Û ØÓÖ Þ Ó ÓÛÝÑ Û ØÓÖ ÔÓÞÓ Ø Ó Ò Þ Ð Ò Ó Ò Þ Ó ÛÝ ÓÖÙ ÞÝ ÓÛ Þ Ó Ø Ó ÛÝ ÓÖÙ Ò Ö Þ Þ Ð Ï ØÝ ÒÓØ Ø ÓÛ Û ØÓÖ Û Þ ÑÝ Þ Û Þ Ô Û Ò Û Ó Ö Ý Ý ÔÓ Ö Ð Ò Ò Ð Ý ÑÝÐ Þ Û ØÓÖ Ñ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò R n Ø Ö Þ Û Þ Ô ÒØÝÞÒ Ô Þ ÑÝ Û Ò Û ÔÖÓ ØÓ ØÒÝ º ÆÔº Ò Ø Ò Ñ Û ØÓÖ w Þ R 3 w = 2, 3 Ñ Û ÒÓÒ ÞÒ Þ e i i =, 2, 3 e =, e 2 =, e 3 = 2 3, ÓÛ (, 2, 3) Ó w = e + 2 e 2 + 3 e 3 Û Þ v i i =, 2, 3 v =, v 2 =, v 3 =, ÓÛ (, 2, ) Ó ØÛÓ ÞÓ ÞÝ w = v + 2 v 2 + v 3 º ÊÓÞÛ Þ Ò Æ ÛÝ ÓÛ Þ Û ØÓÖÝ e e 2 e 3 º Ø Ñ v = e + e 2 + e 3, v 2 = e + e 2 + 2e 3, v 3 = e + 2e 2 + 3e 3. ½.

Ç Ñ ÑÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó e 3 = v + v 2. ÌÓ Ó ÛÙ ÔÓÞÓ Ø Ý v 2 = e + e 2 + 2( v + v 2 ), v 3 = e + 2e 2 + 3( v + v 2 ). ÞÝÐ e + e 2 = 2v v 2, e + 2e 2 = 3v 3v 2 + v 3. Ç ÖÙ Ó Ô ÖÛ Þ ÓÖ Þ Ó Û Ö ÞÝ Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ º Ê Þ Ñ Û Ñ ÑÝ e = v + v 2 v 3, e 2 = v 2v 2 + v 3, e 3 = v + v 2. Í Ó ÒÓÞÒ ÞÒ ÛÝÖ Þ ØÖÞÝ Þ Þ Ó Ò µ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Û ØÓÖÝ e e 2 e 3 ÔÖÞ Þ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 Ó ÓÞÒ Þ Ø ÖÙ Ø Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò ÞÝÐ Ø ÑÓ Ý Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò º ÅÓ ÑÝ Ø Þ ÔÖÞ ÖÓ Û ØÓÖ w w = 6e + 9e 2 + 4e 3 = 6(v + v 2 v 3 ) + 9(v 2v 2 + v 3 ) + 4( v + v 2 ) = v + 2v 2 + 3v 3, ÞÝÐ Û Ô ÖÞ Ò w Û Þ v v 2 v 3 ØÓ (, 2, 3)º Ô ÞÑÝ ØÓ Þ ÔÓÑÓ Ñ ÖÞݺ Æ (e,e 2,e 3 ) = (v,v 2,v 3 ) 2. ÅÒÓ Ò Ô ÐÙ ÓÛ ÔÓ Ö ÞÙÑÝÛ Ø º ËØÓ ØÙ Ñ ÖÞ Ø ØÞÛº Ñ ÖÞ ÞÑ ÒÝ ÞÝ ÐÙ Ñ ÖÞ ÔÖÞ Ó Ò Ø ØÓ Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ ÞÝ e i i =, 2, 3 Ó ÞÝ v i i =, 2, 3º Å ÖÞ Ø Þ ÑÝ ÓÞÒ Þ R v e Ý ÔÓ Ö Ð ÔÓÞÛ Ð ÓÒ Þ ÓÛÝ Û ØÓÖ Û Þ e e 2 e 3 ÓØÖÞÝÑ Ó ÓÛ Û Þ v v 2 v 3 º ËØÓ Ù ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò ÛÙ º º ÑÓ Ò ÔÓÛÝ ÞÝ ÛÞ Ö Þ Ñ ÖÞ Þ Ô ¹ Ó e k = v j (R v e ) j k º ÃÓÒÛ Ò ÔÓÐ Ò Ò Ô Ò Ù Û ÔÖ Û ØÖÓÒ ÙÑÝ ÔÓ Û ÖØÓ Û õò j Ó Ó 3º  ÛÒ ÛÞ Ö Ø Ò Ñ Û ÒÔº e = v (R v e ) + v 2 (R v e ) 2 + v 3(R v e ) 3 Þ (R v e) = (R v e) 2 = (R v e) 3 = غ ½

Â Ð Ø Ö Þ Ò Ô Þ ÑÝ Û ØÓÖ w Û ÔÓ Ø w = e i w(e) i Ò e Ù wi (e) Ñ ÔÖÞÝÔÓÑ ¹ Ò w(e) i = (6, 9, 4) ØÓ Û Ô ÖÞ Ò Û Þ e iµ ØÓ Þ ÑÝ Ñ w = e i w i (e) = v k (R v e ) k iw i (e) v k w i (v). Þ (R v e ) k i Ø Ñ ÖÞ ÞÑ ÒÝ ÞÝ w(v) i = (R v e) k i wi (e) ÛÒ ÛÝ Ð Ø w (v) w(v) 2 = 2 6 9 = 2. w(v) 3 4 3 Ò ½ Â Û Þ Ò Ù ½ ØÝÐ Ó Ø Ö Þ v := 2 3, v 2 := 3 2 5 w Û Ô ÖÛÓØÒ Þ Ñ Û Ô ÖÞ Ò (6, 2, 7)º ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Û Ô Þ ÑÝ, v 3 := v = 2e + e 2 3e 3, v 2 = 3e + 2e 2 5e 3, v 3 = e e 2 + e 3. ÌÖÞ Ó Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÔÓØ Ñ Û Ö ÞÝ ØÖÞ Ó ÖÙ Ó v + v 3 = 3e 2e 3, v 2 + 2v 3 = 5e 3e 3, Ì Ö Þ Ô ÖÛ Þ Ö ÞÝ ÖÙ Ö ÞÝ ¾ Ó ÓÖ Þ Ô ÖÛ Þ Ö ÞÝ ÖÙ Ö ÞÝ Ó Ó Ø Ó ÞÞ Ê Þ Ñ Û e = 3v + 2v 2 + v 3, e 3 = 5v + 3v 2 + v 3., e 2 = e v 3 + e 3 = ( 3v + 2v 2 + v 3 ) v 3 + ( 5v + 3v 2 + v 3 ) = 8v + 5v 2 + v 3. e = 3v + 2v 2 + v 3, e 2 = 8v + 5v 2 + v 3, e 3 = 5v + 3v 2 + v 3. ½

ÞÝÐ Ñ ÖÞ R v e ÞÑ ÒÝ ÞÝ ØÓ R v e = 3 8 5 2 5 3. Û Ô ÖÞ Ò w(v) i Û ØÓÖ w Û Þ v i i =, 2, 3 ØÓ 3 8 5 6 2 5 3 2 =. 7 ÇÞÝÛ Ñ ÛÝ ÓÛ ÛÞÓÖÝ ÛÝÖ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 Û ÔÓ Ø ÓÑ Ò ¹ Ð Ò ÓÛÝ ÞÓÛÝ Û ØÓÖ Û e e 2 e 3 Ñ ÑÝ Ó Ö ÞÙ Þ ÖÑÓ Ñ ÖÞ ÔÖÞ R e v 2 3 R e v = 2. 3 5 Å ÖÞ R e v R v e ÑÙ Þ Ý Þ Ó ÓÞÝÛ Ó ÞÛ Þ Ò º Û Ý Þ Ø Ò Ø ÓÞÝÛ ØÝ ÓÖÓ Ñ ÖÞ R v e ÖÓ Þ ÓÛÝ w(e) i Û Þ e i ÓÛÓÐÒ Ó Û ØÓÖ w Ó ÓÛ w(v) i Û Þ e j Ñ ÖÞ R e v Þ Ñ Ò Ò ÔÓÛÖ Ø ÓÛ w(v) i Û ÓÛ w(e) i ØÓ ÔÓÛ ÒÒ ÑÝ Ñ Ø º ½ w i (e) = [R e v ] i jw j (v) = [R e v] i j[r v e ] j k wk (e). [R e v ] i j [R v e] j k = δi k º Å ÖÞÓÛÓ 2 3 3 8 5 R e v R v e = 2 2 5 3 = 3 5 Þ Ñ Ó ÔÖ Û Þ Ò Þ ØÓØÒ ÐÓÞÝÒ Ñ ÖÞ ÒÓ Ø ÓÛ µº ÇÞÝÛ Ñ ÑÝ Ø 3 8 5 2 3 R v e R e v = 2 5 3 2 = 3 5 Ì Û R v e = R e v R e v = R v e º ÙÛ ÑÝ Û ÞÛ Þ Ù Þ ÔÓÛÝ ÞÝÑ ÞÒ Ð õð ÑÝ ÔÓ Ó ÛÖ Ò Ñ ÖÞÝ Û ¹ Ö ØÓÛÝ º ¾ ½ ËÝÑ ÓÐ ØÞÛº ÐØ ÃÖÓÒ Ö µ δ i k = Ý i = k δi k = Ý i kº ¾ ÌÞÛº Ò Ó Ó Ð ÛÝ Ñ ÖÞÝ Û Ö ØÓÛÝ º Æ Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ Ó ÛÖ Ñ ÖÞ Ò Û Ö ØÓÛ ÓÞÝÛ Ò Ñ Ó ÛÖÓØÒÝ µº Ð Ñ ÖÞ ÞÑ ÒÝ ÞÝ Þ Ñ ØÓØÝ ÛÓ Þ Û Þ Ó ÛÖ ÐÒ ÞÝÐ Ò Ð Ó ØÙÒ Ù Ò Ó Ó Ð ÛÝ º ½

Ò ½ Ò Ð õ Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ ( a b c d ), 2 3 2,. ÊÓÞÛ Þ Ò ÞÒ ÑÝ Ó ÖÙ Ñ ÖÞÝ ÛÝÑ ÖÙ 3 3µ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ØÓ Ó Ù Ø Ð ¹ Ð ÑÝ ÛÝ ÒØ ÖÔÖ ØÙ ÑÝ Ó Ø Ñ ÖÞ Ó Ñ ÖÞ ÞÑ ÒÝ ÞÝ R e v Ó ÔÓÞÛ Ð Ò Ô v = e v 2 = 2e + e 2 v 3 = 3e + 2e 2 + e 3 Í Ø Ò ØÖ ØÙ ÑÝ Ù Ö ÛÒ Ò e i ÖÓÞÛ ÞÙ ÑÝ ÛÞ Ð Ñ e i Ó ØÙ ÙÖ Ø Ø ÔÖÓ Ø e = v e 2 = 2v + v 2 e 3 = 7v 2v 2 + v 3 ËØ Ó ÞÝØÙ ÑÝ 2 7 R v e = Re v = 2, ËÔÖ Û Þ ÑÝ 2 3 2 2 7 2 =, Ø Ý ÔÓÛ ÒÒÓº Ï ÔÖÞÝÔ Ù ØÖÞ Ñ ÖÞÝ ÔÓ ØÔÙ ÑÝ Ò ÐÓ ÞÒ v = e + e 2 + e 3 + e 4, v 2 = e + e 2 e 3 e 4, v 3 = e e 2 + e 3 e 4, v 3 = e e 2 e 3 + e 4. ½

ÓÖ ÙÑ Ö Ò Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ Ó Ö ÛÒ Ò ÓÖ Þ ÙÑ Ö Ò ÖÙ Ó ÞÛ ÖØ Ó ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÊÓ ØÓ ÑÓ Ö Þ ÞÞ ÞÒ Ù ÑÝ v + v 3 = 2e + 2e 3, v v 3 = 2e 2 + 2e 4, v 2 + v 4 = 2e 2e 3, v 2 v 4 = 2e 2 2e 4. e = 4 (v + v 2 + v 3 + v 4 ), e 2 = 4 (v + v 2 v 3 v 4 ), e 3 = 4 (v v 2 + v 3 v 4 ), e 4 = 4 (v v 2 v 3 + v 4 ), Å ÑÝ Û ÑÒÓ Ò Ñ ÖÞÝ ÔÖÞ Þ Ð Þ ØÓ ÓÞÝÛ ÑÒÓ Ò ÔÖÞ Þ Ø Ð Þ Ó Ð Ñ ÒØÙ ÓÛ Ñ ÖÞݵ R e v R v e 4 = Þ Ó ÒÓ Ó ÞÝÒÒ /4 Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ø ØÙ Ö ÛÒ Ñ ÖÞÝ ÛÝ ÓÛ µº ÏÖ Þ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ô ÖÛ Þ Ñ ÖÞÝ 2 2 ÑÓ Ò Ý ÖÓ Ø ÛÝ Ð ÔÖÓ Ò ÔÖÞÝ Þ Ó Ö Þ ÔÖÞÝ ØÒ µ Ø Þ Ô Ñ Ø Ö Ù ( ) ( ) a b d b =. c d ad bc c a ÑÝ ØÙ ad bc Ð ad bc = ØÓ Ñ ÖÞ Ø Ó Ó Ð Û ad bc Ø ØÓ ÛÝÞÒ ÞÒ ¹ Þ Ó Ò Ð µº Ò ¾¼ ËÔÖ Û Þ Û ÐÓÑ ÒÝ w = x +, w 2 = x, w 3 = x 2 + x, ØÛÓÖÞ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ò Û Þ Ó Ò Û ÞÒ Ð õ Û Ô ÖÞ Ò Û Ø Þ Û ÐÓÑ ÒÙ v = 2x 2 + 3x + º ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÖÞ ÔÖ Û Þ w w 2 w 3 Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò ÞÝÐ Ö ÛÒÓ λ w + λ 2 w 2 + λ 3 w 3 =, ½

Ð Û ÞÝ Ø Û ÖØÓ x Þ Ó Þ ØÝÐ Ó Ý λ = λ 2 = λ 3 = º ÌÓ Û Ö ÛÒÓ λ (x + ) + λ 2 (x ) + λ 3 (x 2 + x) = (λ λ 2 ) + (λ + λ 2 + λ 3 )x + λ 3 x 2 =, ÛÝÑ Ý λ 3 = ÓÖ Þ λ λ 2 = λ +λ 2 = º ØÓ ÖÞ ÞÝÛ ØÝÐ Ó Ð λ = λ 2 = º ÞÝÐ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Þ Ø Ñ ØÛÓÖÞ Þº ÑÝ Ø Ö Þ Ò Ô v = 2x 2 + 3x + = w v + w 2 v 2 + w 3 v 3 = (x + )v + (x )v 2 + (x 2 + x)v 3. ÞÝÐ v 3 = 2 ÓÖ Þ v + v 2 + v 3 = 3 v v 2 = º ËØ v = v 2 = º Á ØÓØÒ (x + ) + 2 (x 2 + x) = 2x 2 + 3x +. Ò ¾½ Ï Þ e e 2 e 3 Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 Ñ ÓÛ Û Ô ÖÞ Ò µ (, 2, ) (2, 3, 3) ÓÖ Þ (3, 8, 2) Þ Û ØÓÖÝ w w 2 w 3 Ñ Û Ø Ñ Þ ÓÛ (3, 5, 8) (5, 4, 3) (, 9, 2)º ËÔÖ Û Þ ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 ÐÙ ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ w w 2 w 3 Ø ØÛÓÖÞ Û ÒÒ ÞÝ Ø Ñ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ Ò Þ Ò Ó ÖÙ º ÊÓÞÛ Þ Ò Ñ ÑÝ v = e + 2e 2 + e 3, v 2 = 2e + 3e 2 + 3e 3, v 3 = 3e + 8e 2 + 2e 3, ÖÙ Ó 2 Ô ÖÛ Þ Ó 2v v 2 = e 2 e 3 ÞÝÐ e 3 = e 2 2v +v 2 º ÌÓ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ØÖÞ Ó ÞÝÐ v = e + 2e 2 + e 2 2v + v 2, v 3 = 3e + 8e 2 + 2(e 2 2v + v 2 ), 3v v 2 = e + 3e 2, 4v 2v 2 + v 3 = 3e + e 2, Ì Ö Þ Ô ÖÛ Þ 3 Ó ÖÙ Ó Ñ ÑÝ e 2 = 5v + v 2 + v 3 º Ø Ñ Ê ÙÑÙ e = 3v v 2 3( 5v + v 2 + v 3 ), e 3 = 5v + v 2 + v 3 2v + v 2. e = 8v 4v 2 3v 3, e 2 = 5v + v 2 + v 3, e 3 = 7v + 2v 2 + v 3. ¾¼

Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÑÓ Ò ÛÝÖ Þ e i Ø ÔÖÞ Þ w j Ð Ù Ò Þ ÑÝ ØÙ Ø Ó ÖÓ¹ Û Þ Þ ØÖÞ Ý Ý ÓÛ w j Ø Þ µº Å ÑÝ Ø Ö Þ Û ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò µ e j = v l (R v e ) l j, w i = e j (R e w ) j i, Þ R v e Ø Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ ÞÝ e j Ó ÞÝ v l Ø Ö Ó ÞÝØÙ ÑÝ Þ ÛÞÓÖ Û ÛÝÖ Ý Û ØÓÖÝ e j ÔÖÞ Þ Û ØÓÖÝ v l Ñ ÖÞ R e w Ø Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ ÞÝ w i Ó ÞÝ e j Ó ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ R w e ÔÖÞ Þ ÞÝ e j Ó ÞÝ w i Ø Ö ØÙ Ò ÛÝÐ ÞÝÐ Ñݵº Þ Ø ÛÞÓÖÝ ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ w i = v l (R v e ) l j (R e w) j i. Ø Ñ Ð V = w i V(w) i ØÓ V = v l V(v) l Þ V (v) l = (R v e) l j (R e w) j i V (w) i ÔÖÞÝ ÞÝÑ 8 5 7 R v e R e w = 4 2 3 5 5 4 9 = 27 7 4 9 2 9. 3 8 3 2 4 2 8 Å ÖÞ Ø Ø ÓÞÝÛ Ñ ÖÞ ÞÑ ÒÝ ÞÝ R v w º Ò ¾¾ Ò Ð õ Û Ô ÖÞ Ò ÓÛ µ Û ØÓÖ 5 v =, Û Þ f =, f 2 =, f 3 =, f 4 =. Æ ØÔÒ ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ ÞÝ f f 2 f 3 f 4 Ó ÞÝ ÒÓÒ ÞÒ e =, e 2 =, e 3 =, e 4 =, Þ ÔÓÛÖÓØ Ñº Ò Ð õ Û Ô ÖÞ Ò Û ØÓÖ v Û Þ ÒÓÒ ÞÒ º ÊÓÞÛ Þ Ò ÌÖÞ ÖÓÞÛ Þ Ù v = xf + y f 2 + z f 3 + tf 4 x + t = 5, x + y =, y + z =, z + t =. ¾½

ÌÓ ØÛÓ ÖÓÞÛ ÞÙ Ó Þ ØÖÞ Ó Ø ØÒ t = + z = + + y = 2 + + x = 3 + xº ÞÝÐ 2x + 3 = 5 x = y = 2 z = 3 t = 4º Ï Ô ÖÞ ÒÝÑ v Û Þ f f 2 f 3 f 4 Ð Þ Ý (, 2, 3, 4)º Ì Ö Þ ÞÑ Ò Þݺ Å ÑÝ ÓÞÝÛ ØÝ ÞÛ Þ f i = e j (R e f ) j i ÞÝÐ ÛÒ (f,f 2,f 3,f 4 ) = (e,e 2,e 3,e 4 ). Ý Ñ ØÓ ÑÓ Û ÖÙ ØÖÓÒ ØÖÞ Ð Ó Ó ÛÖ ØÓ ØÙ Ñ ÖÞ Þ Ó ÞÞ Ò ÙÑ Ñݵ Ð Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÖÓÞÛ Þ ÞØ ÖÝ Ö ÛÒ Ò Ò ÞÞ ÓÒ ÔÖÓ Ø µº È ÖÛ Þ Þ Ò e = x f + y f 2 + z f 3 + t f 4 Ù x + t =, x + y =, y + z =, z + t =, Ø Ö Ó ÒÓÞÒ ÞÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ x = y = z = t = 2 ØÓ Ø Ó ºµº ÖÙ e 2 = x 2 f + y 2 f 2 + z 2 f 3 + t 2 f 4 Ù Û Ó ÝÑ Ó Ñ x 2 + t 2 =, x 2 + y 2 =, y 2 + z 2 =, z 2 + t 2 =, Ó ÖÓÞÛ Þ Ò Ù x 2 = 2 y 2 = z 2 = t 2 = 2 Ø Û ØÓ Ó ºµº ÌÖÞ e 3 = x 3 f + y 3 f 2 + z 3 f 3 + t 3 f 4 ÔÖÓÛ Þ Ó x 3 + t 3 =, x 3 + y 3 =, y 3 + z 3 =, z 3 + t 3 =, Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò x 3 = y 3 = 2 z 3 = t 3 = 2 º ÏÖ Þ ÞÛ ÖØ e 4 = x 4 f + y 4 f 2 + z 4 f 3 + t 4 f 4 ÞÝÐ x 4 + t 4 =, x 4 + y 4 =, y 4 + z 4 =, z 4 + t 4 =, ¾¾

x 4 = y 4 = z 4 2 t 4 = º ÅÓ ÑÝ Û Ò Ô ÞÛ Þ e 2 j = f k (R f e ) k j ÛÒ (e,e 2,e 3,e 4 ) = (f,f 2,f 3,f 4 ) 2. ËÔÖ Û õñý ØÓ Ø ØÓØÒ Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ R f e R e f = 2 =. ÞÝÐ Ø Ó º Ì Ö Þ Û Ô ÖÞ Ò v Û Þ e i º Å ÑÝ v = f i v i (f) = e j(r e f ) j i vi (f) ÞÝÐ v j (e) = (R e f) j i vi (f) º Â ÛÒ 5 2 3 =, 4 Ó ÔÓÛ ÒÒÓ Ý Ó Ý Ó ÔÓÞ Ø Ù ÓÞÝÛ Ø º ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò º Ç ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ Ôº Û ØÓÖÓÛ Î Û ÒÒ ÐÙ Ø Ñ µ Ôº Û ØÓÖÓÛ W F : V W Ø Ð Ò ÓÛ Ð F(λ v + λ 2 v 2 ) = λ F(v ) + λ 2 F(v 2 ). Ò Þ Ò Ø Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ò Û ÞÝ Ø µ Û ØÓÖÝ ÞÝ e i Ôº V ÛÝÞÒ Þ ÒÓÞÒ ÞÒ Ó Þ Ò Ò ÓÛÓÐÒÝ Û ØÓÖ v Þ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò º Ò ¾ ÏÞ Ö x x F x 2 = x + 2x 2, x 3 x 2 + 2x 3 Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ R 3 Û Ò Ñ F : R 3 R 3 º Ò Ð õ Ñ ÖÞ Ø Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Þ ÒÓÒ ÞÒ Þ ÖÓ¹ ÝÒ ÓÛ µ e e 2 e 3 ÓÖ Þ Û Þ ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ v v 2 v 3 v = e + e 2 + e 3, v 2 = e + e 2 + 2e 3, v 3 = e + 2e 2 + 3e 3. ¾

ËÔÖ Û Þ Þ Ò ÓØÖÞÝÑ ÒÝ Ñ ÖÞÝ Ò Û ØÓÖÞ w Ø ÖÝ Û Þ ÒÓÒ ÞÒ Ñ ÓÛ (, 2, 3)º ÊÓÞÛ Þ Ò ÈÓÒ Û F Ó ÛÞÓÖÓÛÙ R 3 Û Ø Ñ ÔÖÞ ØÖÞ R 3 Ò ØÙÖ ÐÒ Ð Ò Ó ÓÛ Þ ÓÛ µ Ø ÔÖÞÝ Ó Ñ ÖÞ Ø Ò Þ Ó Ù ØÖÓÒ Û Ø Ñ Þ e i º Ý Ø Ñ ÛÝ Ö Ý ÒÝ Þ ÑÝ Ø Ñ ÖÞ ÓÞÒ Þ F (e)(e) º Ý ÞÒ Ð õ Ø Ñ ÖÞ F (e)(e) Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛ Ó F Û Þ ÒÓÒ ÞÒ Ó Ð Þ ÑÝ F Ò Û ØÓÖ Ø ÞÝ F(e ) F = = e + e 2, F(e 2 ) F = 2 = 2e 2 + e 3, F(e 3 ) F = 3 = 3e 3. Å ÖÞ Ñ ÔÓ Ø F(e i ) = e j F j (e i ) e j [F (e)(e) ] j iº Â ÛÒ F (e)(e) = 2. 3 Â Ð Ø Ö Þ ÑÝ ÞÒ Ð õ Û ÖØÓ F Ò Û ØÓÖÞ Ó ÓÛÝ (, 2, 3) ØÓ Þ ÑÝ Ò Ø ÓÛ Ñ ÖÞ F (e)(e) 2 2 = 5, 3 3 Ø º F(w) = e + 5e 2 + e 3 º Ï Þ Ô Û õò ÓÛÝÑ e i F i (w) = e i [F (e)(e) ] i jw j (e) º Å ÑÝ Ø Ó Ö ÞÙ Ñ ÖÞ ÔÖÞ R e v R e v = 2, 2 3 Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò Ñ ÖÞ R v e Ö ÛÒ Ò ØÖÙ ÒÓ ÞÒ Ð õ R v e = 2. Þ Ò ÓÛ Û ØÓÖ Û Û Þ v i Ñ ÖÞ F (v)(v) ÔÓÛ ÒÒ Û ÓÛ Ó Ö Þ Û ØÝ Û ØÓÖ Û Û Þ v i º Ó Ò Þ ÐÓ ÑÙ Û ÓÒ Ý Ò ÐÓÞÝÒ Ñ ¾

Ñ ÖÞÝ R v e F (e)(e) R e v F (v)(v) = R v e F (e)(e) R e v = 2 2 2 3 2 3 3 3 = R v e F (e)(v) = 2 3 3 5 = 2 2. 4 7 2 2 4 ÈÓ ÖÓ Þ ÔÓÛ Ø Ñ ÖÞ F (e)(v) Ø Ö Ò ØÛÓ ÑÓ Ò Ó Ø ÞÔÓ Ö Ò Ó Þ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ F Û Ù ÔÖÞ Ô Ù Ò Û ØÓÖÝ v i F(v ) F = 3 = e + 3e 2 + 4e 3, 4 F(v 2 ) F = 3 = e + 3e 2 + 7e 3, 2 7 F(v 3 ) F 2 = 5 = e + 5e 2 + e 3. 3 ÞÔÓ Ö Ò ÞÒ Ð Þ Ò Û Ø Ò ÔÓ Ñ ÖÞÝ F (v)(v) ÛÝÑ Ð Þ Ó ÖÓÞ Ó Ò Û ØÓ¹ Ö Û ÔÓ ÔÖ Û ØÖÓÒ Ò ÛÝ ØÓÖÝ ÞÝ v i º Ñ Ø Ø Ó ØÛ Ô ØÖÞ Ò Ù ÓØÖÞÝÑ Ò Ñ ÖÞ F (v)(v) ÔÖ Û Þ Ø Ó ÖÞ 3 = v v 2 + 2v 3 = 4 + 2 2, 2 3 3 = 3v + 2v 2 + 2v 3 = 3 + 2 + 2 2, 7 2 3 5 = 5v + 2v 2 + 4v 3 = 5 + 2 2 + 4 Ò ¾ Å ÑÝ ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3º Ò Ù ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ Ø ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÔÖÞ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 2 ÛÞÓÖ Ñ F[W(x)] = W (x) + x 2 W() + 2x dtw(t). ËÔÖ Û Þ ÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Ø Ð Ò ÓÛ º Â Ð Ø ØÓ ÞÒ Ð õ Ó Ñ ÖÞ Û Þ ÒÓÒ ÞÒÝ (e,e,e 2,e 3 ) Ð ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 (e,e,e 2 ) Ð ¾ 2 3.

ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 2 Þ e n x n º ÊÓÞÛ Þ Ò F Ø Ð Ò ÓÛ Ó Ð Ñ ÑÝ Û ÐÓÑ Ò W(x) = α W () (x) + α 2 W (2) (x) ØÓ F[W(x)] = d dx [α W () (x) + α 2 W (2) (x)] + x 2 [α W () () + α 2 W (2) ()] +2x d = α dx W () (x) + α x 2 W () () + α 2x +α 2 d dx W (2) (x) + α 2 x 2 W (2) () + α 2 2x = α F[W () (x)] + α 2 F[W (2) (x)]. dt[α W () (t) + α 2 W (2) (t)] dtα W () (t) dtα 2 W (2) (t) Ì Ö Þ ÑÓ ÑÝ ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Û Þ ÒÓÒ ÞÒÝ º ÓÛÓÐÒÝ Û ÐÓ¹ Ñ Ò ØÓÔÒ 3 Ø ÔÓ Ø W = e W (e) + e W (e) + e 2 W 2 (e) + e 3 W 3 (e) W (e) + W (e)x + W 2 (e)x 2 + W 3 (e)x 3. Þ W i (e) R ÓÛÝÑ Û ÐÓÑ ÒÙ W Û Þ e i º Ó F ÖÓ Þ Û ØÓÖ Û ÞÓ¹ ÛÝ F[e ] F[] = x 2 + 2x = 2e + e 2, F[e ] F[x] = + 6x = e + 6e, F[e 2 ] F[x 2 ] = 6x = 6e, F[e 3 ] F[x 3 ] = 3x 2 + 3x = 3e + 3e 2. Ð Ò ÓÛÓ F Ñ ÑÝ Û Û ÓÒÛ Ò ÙÑ Ý Ò ÔÓÛØ ÖÞ Û õò Ûݹ ÙÑÓÛ Ò µ F[W] = F[e i ]W i (e) = e k [F (e)(e) ] k i W i (e), Þ e k [F (e)(e) ] k i = F[e i]º ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÞÒ Ð Þ ÓÒ Ó ÛÝ Þ Ò F Ò Û ØÓÖÝ ÞÝ e i ØÛÓ ÞÒ Ù ÑÝ Ñ ÖÞ [F (e)(e) ] k i k ÒÙÑ ÖÙ Û Ö Þ i ÓÐÙÑÒݵ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F [F (e)(e) ] k i = 2 6 6 3. 3 ËÔÖ Û õñý ØÓ Þ º Æ W(x) = 2x 3 3x 2 +7º Þ Ò F Ò W ÑÓ ÑÝ ØÛÓ ÞÒ Ð õ ÞÔÓ Ö Ò Ó Þ ÛÞÓÖÙ F[W] = 6x 2 6x + x 2 7 + 2x dt(2t 3 3t 2 + 7) = 72x + 3x 2 = 72e + 3e 2. ¾

Ï Ô ÖÞ ÒÝÑ Û ÐÓÑ ÒÙ¹Û ØÓÖ W Û Þ (e,e,e 2,e 3 ) 7 3 2. Þ Ò Ø Û Ô ÖÞ Ò Ñ ÖÞ [F (e)(e) ] k i Ó Ø ÑÝ 2 6 6 3 3 7 3 2 = 72 3, ÞÝÐ ØÓØÒ Û Ô ÖÞ Ò X k (e) Û ÐÓÑ ÒÙ X = F[W] Û Þ (e,e,e 2 )º Ò ¾ Ò Ð õ ÖÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ò º ÊÓÞÛ Þ Ò Â ÖÓ Ø ØÓ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ð Ò ÓÛ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓ¹ Ñ Ò Û ØÓÔÒ 3 ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ø Û ÐÓÑ ÒÝ W F[W(x)] = Þ ÖÓ ÓÞÝÛ ÖÓÞÙÑ Ò Ó Û ÐÓÑ Ò Þ ÖÓÛݵº Æ W = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a x + a º Ó ÞÝÑÝ ÑÙ Þ Ý Û Ô ÞÝÒÒ a 3 a 2 a a Ý W Ò Ð Ó Ö F º ÑÝ Ý ( F[W] = 3a 3 x 2 + 2a 2 x + a + a x 2 + 2x 4 a 3 + 3 a 2 + ) 2 a + a =. ÏÝÑ ØÓ Ý a = 3a 3 + a = ÓÖ Þ 3a 3 + 6a 2 + 6a + 2a = ÞÝÐ Ý ÞØ ÖÝ Û Ô ÞÝÒÒ a i Ô Ò Ý Ö ÛÒ Ò º Ï õñý a Ó Ò Þ Ð Ò Û Ð Ó º ÏØ Ý a 3 = a 3 a 2 = a 6 º Ø Ñ ÖÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Ø Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò ÒÓÛÝÑ ÖÓÛ ÖÓÞÔ Ø ÔÖÞ Þ Û ØÓÖ Ó ÓÛÝ 6 3, Û Þ e n = x n Ø Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Ò Ùº ÅÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÓÖÞÝ Ø Þ ÞÒ Ð ¹ Þ ÓÒ Ø Ñ Ñ ÖÞÝ [F (e)(e) ] j i Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Ý ÔÖ Û Þ ØÓØÒ Ð ÓÛÓÐÒ Ó λº 2 6 6 3 3 λ 6 λ 3 λ =, ¾

Ò ¾ Æ Û ØÓÖÝ f = + x f = x + x 2 f 2 = x 2 + x 3 f 3 = x 3 ÒÒ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 ØÓØÒ ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ ÓÒ Þ µº Ò Ð õ Ø Þ Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ Ò ¾ º ÍÛ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 2 ØÖÞÝÑ ÑÝ Ø Ö ÒÓÒ ÞÒ Þ e n = x n Ø º ÑÝ Ý ÒÓÛ Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ Ò ÓÛ Û ÐÓ¹ Ñ ÒÙ ØÓÔÒ 3 Û Þ f k Û ÓÛ Ó ÔÓÛ Ò Ó Û ÐÓÑ ÒÙ ØÓÔÒ 2 Û Þ e n º ÊÓÞÛ Þ Ò Þ ÑÝ ÔÓØÖÞ ÓÛ Ñ ÖÞÝ ÔÖÞ R e f Þ ÞÝ f k Ó ÞÝ e n Ó ¹ ÛÖÓØÒ Ó Ñ ÖÞÝ R f e ÔÖÞ Þ ÞÝ e n Ó ÞÝ f k º Ì Ô ÖÛ Þ R e f ÞÒ Þ ÑÝ ØÛÓ Ó Ñ ÑÝ f = e + e, f = e + e 2, f 2 = e 2 + e 3, f 3 = e 3. ËØ (f,f,f 2,f 3 ) = (e,e,e 2,e 3 ), ÞÝÐ Û Þ Ô Ò Û õò Þ f k = e j [R e f ] j k º Â Ð Ñ ÑÝ Ø Ö Þ ÒÝ Û ØÓÖ Û ¹ ÐÓÑ Òµ V Û ÔÓ Ø V = f j V j (f) Þ V j (f) ÓÛÝÑ V Û Þ f jµ ØÓ V = f k V k (f) = e j [R e f ] j k V k (f) e j V j (e), Þ V j (e) = [R e f] j k V (f) k º Æ Ø Ö Þ X = F[V]º Å ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ Ô Ò Û Þ ÒÓÒ ÞÒÝ e n Þ Ö ÛÒÓ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 Û ÐÓÑ ¹ Ò Û ØÓÔÒ 2 Þ Ø Ð X = e i X(e) i ØÓ e i X i (e) = F[V] = F[e k ]V k (e) = e i [F (e)(e) ] i kv k (e). ÏÝÖ ØÙ V k (e) ÔÖÞ Þ V j (f) Þ ÔÓÑÓ Ñ ÖÞÝ [R e f] k j Ó Ø ÑÝ e i X i (e) = e i[f (e)(e) ] i k [R e f] k j V j (f). Ì Û Û Ô ÖÞ Ò Û Þ e i Û ÐÓÑ ÒÙ X ÓØÖÞÝÑÝÛ Ò Ó Ó Ó Ö Þ Û ÐÓÑ ÒÙ V ÔÖÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛÝÑ F µ Þ Û Ô ÖÞ ÒÝ V Û Þ f j Ò Ñ Ñ ÖÞ [F (e)(f) ] i j = [F (e)(e)] i k [R e f] k j. ¾

ÅÓÖ Ì Û Ô ÖÞ Ò ÓÛ µ Û ØÓÖ V Ô Þ ÑÝ Ó V(e) i ÐÙ V (f) i Ý Ô Ñ ¹ Ø Û Þ ØÓ Û Ô ÖÞ Ò Ø Ø Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛ Ó ÔÓÛ ÒÒ ¹ ÑÝ ÓÔ ØÖÝÛ ÝÑ ÓÐ Ñ Ñ Û ÝÑ Û Þ Ø ÓÒ Ò º Ì Û 2 6 6 3 F (e)(e), 3 [F (e)(e) ] i k[r e f ] k j = [F (e)(f) ] i j.  ÛÒ Ñ ÖÞÓÛÓ F (e)(f) = 2 6 6 3 = 8 2 9 3. 3 3 3 ËÔÖ Û õñý ØÓ Ò Û ÐÓÑ Ò W = 2x 3 3x 2 + 7º Ô ÞÑÝ Ó Ò Ô ÖÛ Û Þ f i º Ï ØÝÑ ÐÙ ÛÝÖ ÑÝ Ò Ô ÖÛ Û ØÓÖÝ e i ÔÖÞ Þ f j º Á Ó Ó Ù Ñ ÑÝ e 3 = f 3 e 2 = f 2 e 3 = f 2 f 3 غ ØÛÓ Û ÞÒ Ù ÑÝ e = f f + f 2 f 3, e = f f 2 + f 3, e 2 = f 2 f 3, e 3 = f 3. Ò Ð õð ÑÝ Þ Ø Ñ Ñ ÖÞ R f e R f e =, Ó ÛÖÓØÒ Ó R e f º Á ØÓØÒ =. ÅÓ ÑÝ Ø Ö Þ ÖÓÞ Ó ÝÅ Û ØÓÖ W Û Þ f i W = 2e 3 3e 2 + 7e = 2f 3 3(f 2 f 3 ) + 7(f f + f 2 f 3 ) = 7f 7f + 4f 2 2f 3. ¾

Ï Þ f i Û ÐÓÑ Ò W Ñ Û ÓÛ 7 7 4. 2 Â Ð Ò Ø ÓÛ ÔÓ Þ ÑÝ Ñ ÖÞ F (e)(f) ØÓ Ó Ø Ò ÑÝ 7 8 2 9 3 7 4 = 72, 3 3 3 2 ÞÝÐ ØÓ ÑÓ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó Ó ØÓ Ó ÛÝ Ó Þ ØÓ Ñ Ý ÓÛ F[W] Û Ø Ñ Þ Ó ÔÓÔÖÞ Ò Ó ÞÝÐ Û Þ e i µº Ò ¾ Ô Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Þ ÔÓÔÖÞ Ò ÛÙ Þ Û Þ e n = x n n =,, 2, 3 Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 Û Þ g j j =,, 2 Ò ÛÞÓÖ Ñ g = e + 2e + 3e 2, g = 3e + 4e 2, g 2 = 2e 2, Ø º Û Þ ØÛÓÖÞÓÒ ÔÖÞ Þ Û ÐÓÑ ÒÝ g = + 2x + 3x 2 g = 3x + 4x 2 g 2 = 2x 2 µ Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 2º ÊÓÞÛ Þ Ò Ò Û ÑÙ ÑÝ ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ ÔÖÞ Þ ÞÝ e n Ó ÞÝ g j º ØÖÞ Ó ÞÛ Þ Ù Ñ ÑÝ e 2 = 2 g 2º ÖÙ Ó ÛØ Ý 3e = g 2g 2 º Ï Ó Ù e = g 2 3 (g 2g 2 ) 3 2 g 2 = g 2 3 g 6 g 2. Ç Ø Ø ÞÒ Û Ñ ÑÝ (g,g,g 2 ) = (e,e,e 2 ) 2 3. 3 4 2 ÞÝÐ g j = e i [R e g ] i j ÓÖ Þ (e,e,e 2 ) = (g,g,g 2 ) 2, 3 3 2 6 3 2 ¼

ÞÝÐ e k = g j [R g e ] j k º ÅÙ ÓÞÝÛ Ý e k = g j [R g e ] j k = e i[r e g ] i j [R g e] j k ÞÝÐ [R e g ] i j [R g e] j k = δi k º ÅÓ Ò ØÓ ÛÒ ÔÖ Û Þ R e g R g e = 2 3 2, =, 3 3 3 4 2 2 6 3 2 ÈÓ Ó Ò ÔÓÛ ÒÒÓ Ý g j = e i [R e g ] i j = g k [R g e ] k i[r e g ] i j Ø º [R g e ] k i[r e g ] i j = δ k j R g e R e g = 2 2 3 =. 3 3 2 3 4 2 6 3 2 ÅÓ ÑÝ Ø Ö Þ Þ Ô ÝÛ Ó ÞÛ Þ X = F[V] Û ÓÛÓÐÒÝ Þ e i X i (e) = e i [F (e)(e) ] i jv j (e), czyli Xi (e) = [F (e)(e) ] i jv j (e), ÐÙ ÛÝÖ e i ÔÖÞ Þ g j g j [R g e ] j i [F (e)(e)] i jv j (e) g j[f (g)(e) ] j j V j (e) czyli X i (g) = [F (g)(e) ] i jv j (e), Þ [F (g)(e) ] i j = [R g e ] i k [F (e)(e)] k jº Â ÛÒ F (e)(e) Ø ÔÓ Ò Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ùµ F (g)(e) = 2 2 6 6 3 = 4 4 2. 3 3 2 3 3 5 25 4 6 3 2 2 6 2 ÅÓ Ò Ø Ñ Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F Û Þ f k Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 3 Þ g j Ð Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ 2º Ï ØÝÑ ÐÙ ØÖÞ V j j (e) Þ Ô Ó V(e) = [R e f] j k V (f) k Ó [F (g)(f) ] j k = [F (g)(e)] j l [R e f] l k ÞÝÐ ÛÒ ÓÖ Ñ ÖÞ [R e f] l k Þ ÔÓÔÖÞ Ò Ó Þ Ò µ F (g)(f) = 4 4 2 3 5 25 4 = 6 3. 3 3 35 49 9 2 6 2 3 6 2 2 Ì Ñ Ñ ÖÞ F (g)(f) ÑÓ Ò Ø ÓØÖÞÝÑ Þ Ñ ÖÞÝ F (e)(f) ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù [F (g)(f) ] j k = [R g e] j l [F (e)(f)] l k ÞÝÐ F (g)(f) = 2 8 2 9 3 = 6 3. 3 3 2 3 3 3 3 35 49 9 6 3 2 3 6 2 2 ½

ËÔÖ Û õñý ØÓ Û ÞÝ Ø Ó Ò Ò ÞÝÑ Û ÐÓÑ Ò W = 2x 3 3x 2 + 7 Ø ÖÝ Û Þ e j Ñ ÓÛ (7,, 3, 2)º Þ Ò Ø ÓÛ Ñ ÖÞ F (g)(e) Ó Ø ÑÝ 7 4 4 2 3 5 25 4 3 = 24, 2 6 2 2 83 2 ØÓ Ø ÓÛ F[W] Û Þ g j º Ø Ñ F[W] = g + 24 g 83 2 g 2 = 24 (3x + 4x 2 ) 83 2 (2x2 ) = 72x + 3x 2, Ø Ý ÔÓÛ ÒÒÓ F[W] Ø Û ØÓÖ Ñ Ò ÑÓ Þ Ð Ó ÛÝ ÓÖÙ Þ Ø Ö ÞÝÑ ÔÓÑÓÒ ÞÝÑ ÝÒ µº ÈÓ Ó Ò Þ Ñ ÖÞ F (g)(f) Ò ÞÒ Ð Þ ÓÒ Û ÔÓ¹ ÔÖÞ Ò Ñ Þ Ò Ù ÓÛ (7, 7, 4, 2) Ò Þ Ó Û ÐÓÑ ÒÙ W Û Þ f j ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ 7 6 3 3 3 35 49 9 2 6 2 2 ÞÝÐ Ø Ñ ÓÛ F[W] Û Þ g j º 7 4 2 = 24 83 2, Ò ¾ È ÛÒ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛ G Þ R 3 Û R 3 Ø Ø 3 G = 2, G 2 =, 2 4 G = 3. Ò Ð õ Ñ ÖÞ G (e)(e) Ø Ó Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Û Þ ÒÓÒ ÞÒ e =, e 2 =, e 2 =. Ò Ð õ Ø ÛÝÒ Þ Ò G 2. ÊÓÞÛ Þ Ò Ð ÔÓÖÞ Ù ØÖÞ Ò Ô ÖÛ ÔÖ Û Þ ÞÝ Û ØÓÖÝ f =, f 2 = 2, f 3 =, ¾

Ò Ø ÖÝ Þ Ò Ø Þ Ò G Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò º  РØÓ ÖÓÞÔ Ò ÔÖÞ ØÖÞ R 3 ÑÓ Ý Þ º Ï Ø Ñ ÔÖÞÝÔ Ù Þ Ò Þ Ò Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò G Ò ØÝ ØÖÞ Û ØÓÖ ÛÝÞÒ Þ Ù Þ Ò G Ò Ý Û ØÓÖ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Þ Þ Ò G Ó Ý Û ØÓÖ Þ Ø Þ Þ ÒÝ ÑÓ Ò Þ Ô Ó ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ØÖÞ Û ØÓÖ Û Ò Ø ÖÝ Þ Ò G Ø Þ Ò º Ý Ý Ó Þ Ó Ð Ò Ó µ ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ f i Ò Ø ÖÝ Þ Ò G Ø Þ Ò Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò ØÓ ØÖÞ Ý ÔÖ Û Þ ÞÝ Ø Þ Ò ÓÛ Ò G Ø Ò ÔÖÞ ÞÒ ØÞÒº ÞÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ð Ò ÓÛÓ Ò Ó Ý Ò ÛØ Ý ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò G Û Ò Þ º Æ ÑÒ Ò Û Ø Ð ØÖÞÝ Û ØÓÖÝ f i Ò ÖÓÞÔ Ò Ý Ý Þ Þ ÒÝ G Ò ÔÖÞ Ö Ð Ó Ý ØÓ Þ ÖÝ ÑÓ Ð ÛÓ ÞÒ Ð Þ Ò Û ÖØÓ G Ò ÔÓ ÒÝÑ Û Þ Ò Ù Û ØÓÖÞ ÑÓ Ó Ý ÓÛ Ñ Ó Þ ÙÖ Ø Ø Ò Û ØÓÖ Ø Ð Ò ÓÛ ÓÑ Ò ØÝ Ò Ø ÖÝ G Ø Þ Ò º ÓÔ ÖÓ Ý Ý Ø Ò Û ØÓÖ Ò Ý Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð ÒÝ Ó ØÝ Ò Ø ÖÝ Þ Ò G Ø Þ Ò ÖÙ Þ Þ Ò Ò ÑÓ Ý Ý ÖÓÞÛ Þ Ò µº Ê ÛÒ Ò λ f + λ 2 f 2 + λ 3 f 3 = Ù Ö ÛÒ λ + λ 2 λ 3 =, λ + 2λ 2 + λ 3 =, λ λ 2 =. ØÖÞ Ó λ 2 = λ Ó Ô ÖÛ Þ Ó ÖÙ Ó Ó Ù ÛÙ Ö ÛÒ 2λ λ 3 = ÓÖ Þ 3λ + λ 3 = ÞÝÐ 5λ = غ Ï ÝÒÝÑ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ø λ = λ 2 = λ 3 = ÞÝÐ Û ØÓÖÝ f i Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò º ÌÓ ÑÓ ÑÓ ÑÝ ÔÖ Û Þ Ý Ó Þ Ó Û ØÓÖÝ g = 3 2, g 2 = 2 4, g 3 = Ê ÛÒ Ò ξ g + ξ 2 g 2 + ξ 3 g 3 = Ù Ö ÛÒ 3ξ + ξ 2 ξ 3 =, 2ξ + ξ 2 + ξ 3 =, 2ξ + 4ξ 2 3ξ 3 =, 3 Ø Ñ ØÝÐ Ó ÖÓÞÛ Þ Ò ξ = ξ 2 = ξ 3 = ÞÝÐ ¹ Ø Ó Ý ÓÛ ÑÝ ¹ Ó ÛÞÓ¹ ÖÓÛ Ò G Ø Ò Ó Ó Ð Û Ó ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ R 3 Û R 3 Ñ Û ØÖÝÛ ÐÒ ÖÓ Ó Ø Ö Ó Ò Ð Ý ØÝÐ Ó Û ØÓÖ Þ ÖÓÛݵº Ø Ñ Û Þ f i Ð Û ØÓÖ Û Ó ÛÞÓÖÓÛÝÛ ÒÝ g j Ð Û ØÓÖ Û Ý ÛÝÒ Ñ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ ÖÞ G Ñ ÔÓ Ø ØÖÝÛ ÐÒ G (g)(f) =. ÇÞÒ Þ ØÓ Ð G[V] = X V = f i V(f) i X = g jx(g) j ØÓ Ñ ÖÞ G (g)(f) X(g) i Þ V(f) i Xj (g) = [G (g)(f)] j i V (f) i º.

Â Ð Ø Ö Þ f i = e k [R e f ] k i ØÓ V k (e) = [R e f] k i V i (f) Ó ÛÖÓØÒ V i (f) = [R f e] i k V k (e) º Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ Ð g i = e k [R e g ] k i ØÓ X k (e) = [R e g ] k i Xi (g) Ó ÛÖÓØÒ Xi (g) = [R g e ] i k Xk (e) º Â Ð Û ÞÒ Þ ÑÝ Ñ ÖÞ [R e g] [R f e ] ØÓ Þ ÑÝ ÑÓ Ð Ò Ô X k (e) = [R e g ] k ix i (g) = [R e g ] k i[g (g)(f) ] i jv j (f) = [R e g ] k i [G (g)(f)] i j [R f e] j l V l (e) [G (e)(e)] k l V l (e). Ø Ñ [G (e)(e) ] k l = [R e g] k i[g (g)(f) ] i j[r f e ] j l º Ý Û ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ G (e)(e) Ó ÛÞÓÖÓ¹ Û Ò G Û Þ ÒÓÒ ÞÒ ØÖÞ ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ [R e g ] ÓÖ Þ [R f e ]º È ÖÛ Þ Ø Ò ÐÒ Ó Ñ ÑÝ Ò Û ØÓÖ g i = F[f i ] ÒÔº g = 3e + 2e 2 + 2e 3 غ ËØ [R e g ] = 3. 2 2 4 3 ÈÓ Ó Ò Ò ÐÒ Ø Ò Ñ ÖÞ [R e f ] [R e f ] = 2, Ð ÑÝ ÔÓØÖÞ Ù ÑÝ [R f e ]º ÅÙ ÑÝ Û ÖÓÞÛ Þ Ù Ö ÛÒ Û ØÓÖÓÛÝ f = e + e 2 + e 3, f 2 = e + 2e 2 e 3, f 3 = e + e 2. Ç ÖÙ Ó Ó Ô ÖÛ Þ e 2 2e 3 = f 2 f º Ó ÖÙ Ó Ó ØÖÞ 3e 2 e 3 = f 2 +f 3 º Ð Ù ØÛÓ 3e 2 6e 3 = 3f 2 3f, e 2 2e 3 = f 2 f, 3e 2 e 3 = f 2 + f 3, 6e 2 2e 3 = 2f 2 + 2f 3. ËØ 5e 3 = 3f 2f 2 +f 3 ÓÖ Þ 5e 2 = f +f 2 +2f 3 Ø Ö Þ e = 5 (5f f f 2 2f 3 3f +2f 2 f 3 )º Ç Ø Ø ÞÒ Ñ ÑÝ e = 5 (f + f 2 3f 3 ), e 2 = 5 (f + f 2 + 2f 3 ), e 3 = 5 (3f 2f 2 + f 3 ), ÞÝÐ Ñ ÖÞ R f e Ñ ÔÓ Ø [R f e ] = 3 2. 5 3 2

Ý ÔÖ Û Þ ÞÝ Ò ÔÓÑÝÐ Ð ÑÝ Û Ö ÙÒ ÔÖÞ Û ÞÝ ÑÒÓ Ò Ñ ÖÞÝ ÔÖ Û Þ ÑÝ [R e f ] [R f e ] = 2 3 2 =. 5 3 2 Ï ÖÙ ØÖÓÒ Ø ÑÓ Ò ÔÖ Û Þ [R f e ] [R e f ] = 3 2 2 =. 5 3 2 ÆÓ ØÓ Û ØÒ º Ø Ñ ÑÓ ÑÝ Ù ÞÒ Ð õ Ñ ÖÞ G (e)(e) Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò G Û Þ ÒÓ¹ Ò ÞÒ e i [G (e)(e) ] k l = [R e g] k i[g (g)(f) ] i j[r f e ] j l = [R e g] k i[r f e ] i l ÔÓÒ Û [G (g)(f)] i j = δ i jº ÞÝÐ Ñ ÖÞÓÛÓ G (e)(e) = 3 2 2 4 3 5 3 2 3 2 = 2 3 Â Ð Ñ ÑÝ Ù [G (e)(e) ] Û Þ ÒÓÒ ÞÒ e i =, 2, 3 ØÓ ÑÓ ÑÝ ØÛÓ ÞÒ Ð õ Þ Ò G Ò Û ØÓÖ w = 2 Ï Þ ÒÓÒ ÞÒ Ñ ÓÒ ÓÞÝÛ Ø ÓÛ (2,, ) Þ Ø Ñ Û Ô ÖÞ Ò ÓÛ µ Û ØÓÖ G(w) Û Þ ÒÓÒ ÞÒ Ò ÔÖÞ Þ 2 2 =. 3 7 Ï ÔÓÑÒ Ò ÛÝ Ò Ó Ó Ð ÛÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò G Ó Û ØÝÑ ÛÝÞÒ ÞÒ 2 2 det 3 3 = 7, Ø ÖÝ Ø Ö ÒÝ Ó Þ Ö º Ï ÓÒ Û Ò Ø Ó ÓÛ Ñݵ à Ö(G) = {} ÖÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ø ØÖÝÛ ÐÒ µº ÁÒÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ ÞÒ Ð Þ Ò G(w) Ø ÖÓÞ Ó Ò w Û Þ Û ØÓÖ Û f i i =, 2, 3 Ò Ø ÖÝ Þ Ò G ÞÓ Ø Ó Þ Ò ØÞÒº ÞÒ Ð Þ Ò Û Ô ÞÝÒÒ Û y i i =, 2, 3 Û ÛÞÓÖÞ y + y 2 2. + y 3 = 2..

ØÛÝ Ö ÙÒ y = 5 y 2 = 4 5 y 3 = 7 º Ø Ñ ÓÖÞÝ Ø Þ Ð Ò ÓÛÓ Ó ÛÞÓ¹ 5 ÖÓÛ Ò G ÑÓ ÑÝ Ò Ô G 2 = 5 G + 4 5 G 2 7 5 G = 3 2 + 4 7 =, 5 5 5 2 4 3 7 Ø ÔÓÔÖÞ Ò Óº Ò ¾ Ò Û Ñ ÖÞ F = ( 2 3), i G = 2. 3 Ò Ð õ ÐÓÞÝÒÝ F G G F º ÊÓÞÛ Þ Ò Å ÖÞ F Ø Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò F : R 3 R Ñ ÖÞ Þ G ¹ Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò G : R R 3 Ó ÓÒ Ò Û Þ º Ý ÑÒÓ Ò Ñ Ý Ò ØÖÞ ÔÖÞÝ Ó ÔÓÛ Ò ÞÝ Þ Ó Ò º Ï ÒÓØ ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Û ÔÓÔÖÞ Ò Þ Ò ÔÓÛ ÒÒÓ Ý Ø F G F (g )(f) G (f)(g) = ( 2 3) 2 = (4), 3 2 3 G F G (f )(g) G (g)(f) = 2 ( 2 3 ) = 2 4 6. 3 3 6 9 Å ÖÞ F G Ø Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Þ R Û R ÛØ Ý Þ Ñ g i Þ i = g i Þ i = ÑÓ ÒÔº Ý ÞÝ ÒÓÒ ÞÒ R [] Ð Ò ÑÙ Þ µ Þ f i Þ i =, 2, 3 ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 3 Û Ø Ö Ò Ø Ñ ÖÞ G (f)(g) ÑÙ Ý Ý ÑÒÓ Ò Ñ ÖÞÝ Ñ Ó Ò µ Ø Ñ Þ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R 3 Û Ø Ö Ø Ò Ñ ÖÞ F º ÓÐ Ñ ÖÞ G F Ø Ñ ÖÞ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Þ R 3 Û R 3 Ý ÑÒÓ Ò Ñ Ó Ò Ò ÑÙ ÑÝ Þ ÞÝ f i Þ i =, 2, 3 f i Þ i =, 2, 3 Ø Ñ Þ Ð ÑÙ ÑÝ Þ Ó Ý Þ Û ÔÖÞ ØÖÞ Ò R Û Ø Ö Ò Ñ ÖÞ F G Ø Ø Ñ º ÍÛ Ç ÛÞÓÖÓÛ Ò Ð Ò ÓÛ Ø F Þ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Û ØÓÖÓÛ ÒÔº R 3 µ Û ÔÖÞ ¹ ØÖÞ Û ØÓÖÓÛ Ø Ö ÑÓ Ò ÙØÓ Ñ Þ Ñ ÒÔº R ØÙØ ÐÙ C µ Ò ÞÝÛ ÓÛ ØÓÖ Ñ ÐÙ ÒÓ ÓÖÑ ÓÞÝÛ ÓÖÓ ØÒ ÒÓ ÓÖÑÝ ØÓ Ò Ð Ý ÓÑÒ Ñݹ Û Ø ÛÙ¹ Û ¹ ÓÖÑÝ ØÓØÒ ØÓ ÔÖÓÛ Þ Ó Ø ÓÖ ÓÖÑ Ö Ò Þ ÓÛÝ ÒÒÝ Ù Û Ñ Ø Ñ ØÝ Þ Ò Ñ ÞÛ Þ ÒÝ µº

Ò ¼ Â Ð Ø ØÓ ÑÓ Ð Û ÞÒ Ð õ ÐÓÞÝÒÝ A B B A Ñ ÖÞÝ ( ) ( ) n m i) A =, B =, ( ) 2 3 5 5 3 ii) A =, B = 4 2 2 3 3 ÊÓÞÛ Þ Ò i) ÈÓÒ Û Ó Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛ Ó ÑÒÓ Ò ÛÝ ÓÒ ÐÒ ( ) n + m A B = B A =. ÌÙ ÙÖ Ø A B = B A Ó Ò Ó Ø Ò Øº Ç Ôº ii) ÅÓ Ò ØÝÐ Ó Ó Ð ÞÝ A B ( ) 5 3 A B = 2 3 5 2 3 4 2 3 = ( 6 4 2 9 7 )., Ò ½ ÙÒ exp(a) Ø Ö Ö ÙÑ ÒØ Ñ Ø Ñ ÖÞ A Ò Ù ÑÝ ÔÖÞ Þ ÖÓÞÛ Ò Û Þ Ö Ì ÝÐÓÖ exp(a) = I + A + 2! A2 + 3! A3 + 4! A4 +... I Ø ØÙ Ñ ÖÞ Ñ Ò ÓÒ Ð ÝÒ Þ Ö Û Þ Þ ÔÓÞ ÓÒ Ð Ý ÓÛ ÑÝ Þ Ö Ø Ò Ø Þ Û Þ Þ Òݵº Ç Ð ÞÝ ÔÓÒ Ò Ý Ó Ñ ÖÞÝ ta tb tc Þ t Rµ 2 A =, B =, C = 3 ÊÓÞÛ Þ Ò Ç Ð ÞÑÝ Ò Ô ÖÛ A A A = A A 2 = A 3 A 3 = = =..

Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÓ ØÖÞ A 4 = º Ø Ñ Û ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù t t 2 /2 t 3 /6 exp(ta) = I + ta + t2 2! A2 + t3 3! A3 = t t 2 /2 t. ÈÓ Ó Ò Ó Ð ÞÑÝ B B = B 2 4 = 4 4, 4 ÞÝÐ B 2 = 2 2 Iº ÏÒ Ó Ù ÑÝ Ø B 3 = 2 2 B B 4 = 2 4 I غ Ç ÐÒ B 2n = 2 2n I B 2n+ = B 2n B = 2 2n B = 2 2n+ Bº ÅÓ ÑÝ Û Ò Ô 2 exp(tb) = (2n)! (tb)2n + n= = I n= n= (2t) 2n (2n)! + 2 B n= (2n + )! (tb)2n+ (2t) 2n+ (2n + )! = I ch(2t) + 2 B sh(2t). Ç Ð ÞÑÝ ÞÒÓÛÙ C C C = C C 2 = C 3 C 3 = 2 2 2 3 3 3 2 6 = 2 6 3 =. ÈÓÒÓÛÒ Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÖÞÝ A Ñ ÑÝ C 4 = Û t t 2 t 3 exp(tc) = I + tc + t2 2! C2 + t3 3! C3 = 2t 3t 2 3t.

ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò º ÏÝÞÒ ÞÒ Ñ Ñ ÖÞÝ Û Ö ØÓÛ Ð Ñ ÖÞÝ Ò Û Ö ØÓÛÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ò ÑÓ Ò Ó Ö Ð µ a a 2... a n A = a 2 a 22... a 2n............ a n a n2... a nn, Ò ÞÝÛ ÑÝ Ð Þ Þ K Þ Ø Ö Ó Ð Ñ ÒØÝ a ij Ñ ÖÞÝ Aµ Ò ÛÞÓÖ Ñ a a 2... a n deta a 2 a 22... a 2n............ = sgn(π)a π() a 2π(2)...a nπ(n). π a n a n2... a nn Â Ø ØÓ ÙÑ n! Ò Û Þ Ø ÖÝ Ý Ø ÐÓÞÝÒ Ñ n ÞÝÒÒ Û Ý Ô Û¹ ÒÝÑ Ð Ñ ÒØ Ñ Ñ ÖÞÝ Aº Ò(π) Ø ÞÒ Ñ Ô ÖÑÙØ π ÞÝÐ ( ) k Þ k Ø Ö ÛÒ Ð Þ Ô Ö Ø ÒÓÛÓ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ó Ù Ø Û Ò Ù Ð Þ π(), π(2), π(3),...,π(n) Û ÔÓÖÞ Ù, 2, 3,..., nº Ï Ò Ý Þ ÙÛ Ý Û ÝÑ Ò Ù a π() a 2π()...a nπ() ÙÑÝ Ò Ù Ûݹ ÞÒ ÞÒ ÛÝ ØÔÙ Ó Ò ÔÓ ÒÝÑ Ð Ñ Ò Þ ÓÐÙÑÒÝ ÔÓ ÒÝÑ Ð ¹ Ñ Ò Þ Ó Û Ö Þ Ñ ÖÞÝ A ØÞÒº Û ÝÑ ÐÓÞÝÒ ÝÑ Ò Ñ ÙÑÝ ÓÐÙÑÒ Ñ Ó Ò Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ Ý Û Ö Þ Ñ Ó Ò Ò Ó Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ µº ÔÓÛÝ Þ Ò Ò ØÝ Ñ Ø ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÞÓÖÝ ( ) a a det 2 a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 = a a 22 a 2 a 2, a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 2 a 3 a 32 a 3 a 3 a 22 a 2 a 2 a 33 a a 32 a 23, Ó Ñ Ò Ð Ò Ð Þ Ý Ò Û n!µ Ô Ò Ö Ù Ö ÔÖ Þ ÒØ ÒØ Û º ÏÝ Ó Ò Ø Ø ØÖ ØÓÛ ÛÝÞÒ ÞÒ ÙÒ ÓÐÙÑÒ C i i =,...,n Ñ ÖÞÝ a a 2... a n A = a 2 a 22... a 2n............ = (C C 2...C n ), a n a n2... a nn Þ ÓÐ ÓÐÙÑÒÝ C i i =,..., n ØÖ ØÓÛ Û ØÓÖÝ Þ R n ÐÙ C n Ó ÐÒ Þ K n µ C = a a 2... a n, C 2 = a 2 a 22... a n2,... C n = a n a 2n... a nn.

Ï ÛÓ ÛÝÞÒ ÞÒ ØA = ØA T Þ Ñ ÖÞ ØÖ Ò ÔÓÒÓÛ Ò A T ØÛÓÖÞÝ Þ A ÔÖÞ Þ Ó Ð ¹ Ñ ÒØ Û A ÝÑ ØÖÝÞÒ ÛÞ Ð Ñ ÓÒ Ð ÛÝÞÒ ÞÓÒ ÔÖÞ Þ Ð Ñ ÒØÝ a kk a a 2... a n A T = a 2 a 22... a n2............, a n a 2n... a nn Ø Ó ÛÝÒ Ö ÛÒ ÛÝÞÒ ÞÒ ÑÓ Ò ØÖ ØÓÛ ÙÒ Û Ö ÞÝ R... R n Ñ ÖÞÝ A Ø Ö ØÓ Û Ö Þ Ø ÑÓ Ò ÙÛ Þ Û ØÓÖÝ Þ R n ÐÙ C n Ð Ó Ò Û Ö Þ ÐÙ Ó Ò ÓÐÙÑÒ Ñ ÖÞÝ A Þ ÑÝ Þ Ö ØÓ ØA = Þ Ñ Ò Ñ Ñ ÛÙ ÓÐÙÑÒ ÐÙ ÛÙ Û Ö ÞÝ Ñ ÖÞÝ A ÞÑ Ò ÞÒ Ûݹ ÞÒ ÞÒ ÛÝÞÒ ÞÒ Ø ÓÛ ÒØÝ ÝÑ ØÖÝÞÒ ÙÒ ÓÐÙÑÒ Û Ö ÞÝ Ñ ÖÞÝ Aµ det (C...C k...c l...c n ) = det (C...C l...c k...c n ), Ð ÓÛÓÐÒÝ k, l n Ð Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ò Þ ÓÐÙÑÒ A ÐÙ Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØÝ Ò Ó Þ Û Ö ÞÝ A ÔÓÑÒÓ ÝÑÝ ÔÖÞ Þ λ ØÓ ÛÝÞÒ ÞÒ Ø ÙÐ Ò ÔÓÑÒÓ Ò Ù ÔÖÞ Þ λ det (C... λc k...c n ) = λdet (C...C k...c n ), ÛÝÞÒ ÞÒ Ø Ð Ò ÓÛ ÙÒ Þ ÓÐÙÑÒ Ó Þ Û Ö Þݵ ( ) ( ) det C...λ C () k + λ 2 C (2) k...c n = λ det C...C () k...c n ( ) +λ 2 det C...C (2) k...c n ÛÝÞÒ ÞÒ Ò ÞÑ Ò Ð Ò Þ Ó ÓÐÙÑÒ ÐÙ Û Ö Þµ Þ Ø Ô ÑÝ ÙÑ Ø ÓÐÙÑÝ Û Ö Þ µ ÓÛÓÐÒ ÒÒ ÓÐÙÑÒÝ Û Ö Þ µ ÔÓÑÒÓ ÓÒ ÔÖÞ Þ Ó¹ ÛÓÐÒ Ð Þ det (C... C ) k...c n = det (C...C k...c n ), Þ C k = C k + j k λ jc j º ¼

ÏÝÒ Ø ÛÝÞÒ ÞÒ ÞÒ Ø º Ö ÛÒ Þ ÖÙµ Þ Û Þ Ý Û ØÓÖÝ C i i =, n ØÛÓÖÞ ÓÐÙÑÒÝ ÐÙ Û Ö Þ µ Ñ ÖÞÝ A Ð Ò ÓÛÓ Þ Ð Ò º ÈÖÞÝ Ý a... a 22............... = a a 22...a nn,... a nn Ó ÛÝÒ Þ Ø Ó Û Ò ÙÑÝ ÛÝ ØÔÙ ØÝÐ Ó ÔÓ ÒÝÑ Ð Ñ Ò Þ ÓÐÙÑÒÝ ÔÓ ÒÝÑ Ð Ñ Ò Þ Ó Û Ö Þ Ñ ÖÞÝ Aº ËØ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ ÒÓ Ø ÓÛ Ø Ö ÛÒÝ Þ Û Þ ½º =, Ó ØÖÞ Þ Ñ Ò Ñ Ñ ÓÐÙÑÒÝ ÖÙ ÞÛ ÖØ º 3 2 7 2 a 2 =, 2 Ó Ó ÑÙ Ó ÞÛ ÖØ ÓÐÙÑÝ Û Ö ÞÝ ØÖÞ Ó Ø ÑÝ Þ ÖÓÛ ÞÛ ÖØ ÓÐÙÑÒº 2 3 = 2 3 = 2 3 = 2 3 4 4 4 4 = 2 3 = 6 = 24, 4 4 Þ Û Ô ÖÛ ÞÝÑ ÖÓ Ù Ó ÓÐÙÑÒ ÖÙ ØÖÞ ÞÛ ÖØ Ó Ð ÑÝ Ô ÖÛ Þ ÔÓ¹ Ø Ñ ÛÝÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ ÞÝÒÒ ¾ ÔÖÞ ÛÝÞÒ ÞÒ ÔÓØ Ñ Ó ÓÐÙÑÒ ØÖÞ ÞÛ ÖØ Ó Ð ÑÝ ÓÐÙÑÒ ÖÙ ÔÓØ Ñ ÛÝÔÖÓÛ Þ Ð ÑÝ ÞÝÒÒ ÔÖÞ Øº 2 3 = 2 = 6. 4 3 ½

Æ Ô ÖÛ Ó ÓÐÙÑÒ ÖÙ ØÖÞ ÞÛ ÖØ Ó Ð ÑÝ Ô ÖÛ Þ ÔÓØ Ñ Þ ÙÛ ÝÐ ÑÝ ÛÝÒ ÛÝÒ Ù Þ Ø Ó Û Ò ÙÑÝ ÛÝÞÒ ÞÒ ÛÝ ØÔÙ ØÝÐ Ó ÔÓ ÒÝÑ Ð Ñ Ò Þ ÓÐÙÑÒÝ ÔÓ ÒÝÑ Ð Ñ Ò Þ Ó Û Ö Þ º ÏÒ Ó ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ ÓÖÒÓ¹ ÐÙ ÓÐÒÓ¹ØÖ ØÒ a a 2 a 3... a n a... a 22 a 23... a 2n a 33... a 3n, a 2 a 22... a 3 a 32 a 33...,... a nn a n a n2 a n3... a nn Ø Ö ÛÒÝ ÐÓÞÝÒÓÛ Ð Ñ ÒØ Û ÓÒ ÐÒÝ Ó ÔÖÞ Þ ÓÞÛÓÐÓÒ ÓÔ Ö Ò ÓÐÙѹ Ò ÐÙ Û Þ Ø º ÓÔ Ö Ò ÞÑ Ò Û ÖØÓ ÛÝÞÒ ÞÒ µ ÑÓ Ò Þ Û Þ ÔÖÓÛ Þ Ó Ñ ÖÞÝ ÓÒ ÐÒ º ÈÖÞÝ Ç Ð ÞÑÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ 3 3 8 7 6 5 4 3 2 = 8 4 + 7 3 2 + 5 6 2 4 6 8 3 5 7 =. ÖÓÛ Ò ÛÝÞÒ ÞÒ Þ Û Þ Ý Ò Ð ÞÙ Ð Ò ÓÛ Þ Ð ÒÓ Ó ÓÐÙÑÒº Á ØÓØÒ Û ÔÓÛÝ Þ Ñ ÖÞÝ C 3 = C + 2C 2 º ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò Å ÒÓÖ Ñ ØÓÔÒ r Ñ ÖÞÝ A Ó ÛÝÑ Ö n m Û Ò Ñ ÒÓÖÝ ÑÓ Ò Ó Ö Ð Ø Ð Ñ ÖÞÝ Ò Û Ö ØÓÛÝ Ó m nµ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÒ ÔÓ Ñ ÖÞÝ r r ÙØÛÓÖÞÓÒ Þ Ñ ÖÞÝ A ÔÖÞ Þ Ö Ð Ò n r Û Ö ÞÝ m r ÓÐÙÑÒº ÓÔ Ò Ò Ñ Ð Ö ÞÒÝÑ A jk Ð Ñ ÒØÙ a jk Ñ ÖÞÝ Û Ö ØÓÛ A Ó ÛÝÑ Ö n n ÙÛ ØÙ ÞÒ Û ÑÓÛ Ó Ñ ÖÞ Û Ö ØÓÛÝ µ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ð Þ A jk ( ) j+k M jk, Þ M jk Ø Ñ ÒÓÖ Ñ Ñ ÖÞÝ A ÙØÛÓÖÞÓÒÝÑ ÔÖÞ Þ Ö Ð Ò j¹ø Ó Û Ö Þ k¹ø ÓÐÙÑÒݺ ÆÔº Û ÔÖÞÝÔ Ù Ñ ÖÞÝ 2 3 3 2 4 3 5 8 2, 2 3 ÓÔ Ò Ò Ñ Ð Ö ÞÒÝÑ Ð Ñ ÒØÙ a 3 Ø 3 2 3 A 3 = ( ) (+3) 5 8 2 2 3 = 7. ¾

ÊÓÞÛ Ò Ä ÔÐ ³ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ A ÛÝÑ ÖÙ n n ÛÞ Ð Ñ j¹ø Ó Û Ö Þ ÛÞ Ð Ñ k¹ø ÓÐÙÑÒÝ deta = a j A j + a j2 A j2 + a j3 A j3 +... + a jn A jn, deta = a k A k + a 2k A 2k + a 2k A 2k +... + a nk A nk. Ï Ö Þ j ÐÙ ÓÐÙÑÒ k ÑÓ Ý ÛÝ Ö Ò ÓÛÓÐÒ º ÈÖÞÝ ØÓ Ù ÑÝ Ä ÔÐ ³ Ó Ñ ÖÞÝ ÖÒÓØÖ ØÒ Û ÑÝ Ó ÔÓÛ ÒÒÓ ÛÝ µº ÊÓÞÛ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÒ ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ a a 2 a 3... a n a 22 a 23... a 2n a 33... a 3n = a nn M nn = a nn ( ) n+n... a nn a a 2 a 3... a n a 22 a 23... a 2n a 33... a 3n.... a n n ÈÓÒ Û Û Ó Ø ØÒ Ñ Û Ö ÞÙ ØÝÐ Ó Ð Ñ ÒØ a nn Ø Ò Þ ÖÓÛÝ ÙÑ ÖÓÞÛ Ò Ûݹ ÞÒ ÞÒ ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ µ a n A n + a n2 A n2 + a n3 A n3 +... + a nn A nn ØÝÐ Ó Þ Ó Ø ØÒ Ó ÛÝÖ ÞÙº Æ ØÔÒ ÖÓÞÛ ÑÝ ÔÓÒÓÛÒ ÔÓÞÓ Ø Ý ÛÝÞÒ ÞÒ ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó (n )¹ Ó Û Ö Þ Ø º Ï Û Ö ÞÙÐØ Ø Ó Ø ÞÒ ÒÝ ÛÝÒ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ ÖÒÓ¹ØÖ ØÒ Ø ÐÓÞÝÒ Ñ Ð Ñ ÒØ Û ÓÒ Ð¹ ÒÝ º ÅÓ Ò Ý Ó ÙÞÝ ØÓ ÑÓ ÖÓÞÛ ÛÝÞÒ ÞÒ ÛÞ Ð Ñ Ô ÖÛ Þ ÓÐÙÑÒÝ ØÝÐ Ó Ý ØÓ ÔÖÞÝÞÛÓ Þ Ô ÝÛ ØÖÞ Ý Ý Ó Û ÝÑ ÓÐ ÒÝÑ ÖÓ Ù ÔÖÞ ÒÙ¹ Ñ ÖÓÛÝÛ Ð Ñ ÒØÝ Ñ ÖÞݺººµ Ò Ù Û ÓÒÝ ØÖ Ý ÛÝÞÒ ÞÒ Î Ò ÖÑÓÒ µ Ç Ð ÞÝ ÛÝÞÒ ÞÒ x x 2 x 3... x n 2 x n x 2 x 2 2 x 3 2... x2 n 2 x n 2 V n = x 3 x 2 3 x 3 3... x3 n 2 x3 n. x n x 2 n x 3 n... xn n 2 xn n ÊÓÞÛ Þ Ò ËÔÖ Û õñý Ò Ô ÖÛ Ð n = 2 n = 3 n = 2 : x x 2 = x 2 x. n = 3 : x x 2 x 2 x 2 2 x 3 x 2 = (x 2 x )(x 3 x )(x 3 x 2 ). 3

ËØ Û ÑÝ Û ÔÓØ Þ V n = k>l(x k x l ). ÓÛ ÔÖÞ ÔÖÓÛ Þ ÑÝ ÔÓ Ù Ù Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ º ÑÝ Ø Þ Ø ÔÖ Û Þ Û Ð V n º Æ V n Ó ÓÒÙ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÓÔ Ö Ò ÞÑ Ò Ý Ûݹ ÞÒ ÞÒ µ C n C n x n C n C n C n x n C n 2... C 2 C 2 x n C º ØÓ x x n x (x x n ) x 2 (x x n )... x n 3 (x x n ) x n 2 (x x n ) x 2 x n x 2 (x 2 x n ) x 2 2 V n = (x 2 x n )... x2 n 3 (x 2 x n ) x2 n 2 (x 2 x n ) x 3 x n x 3 (x 3 x n ) x 2 3 (x 3 x n )... x3 n 3 (x 3 x n ) x3 n 2 (x 3 x n ).... Ì Ö Þ Ó ÓÒÙ ÑÝ ÖÓÞÛ Ò Ä ÔÐ ³ V n ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ Ø ÖÝ Ñ ØÝÐ Ó Ò Ð Ñ ÒØ Ò Þ ÖÓÛÝ x x n x (x x n ) x 2 (x x n )... x n 2 (x x n ) x 2 x n x 2 (x 2 x n ) x 2 V n = ( ) n+ 2 (x 2 x n )... x2 n 2 (x 2 x n ) x 3 x n x 3 (x 3 x n ) x 2 3 (x 3 x n )... x3 n 2 (x 3 x n ). x n x n x n (x n x n ) x 2 n (x n x n )... xn n 2 (x n x n ) ÏÝ ÑÝ Ò ØÔÒ Þ Û Ö Þ Ô ÖÛ Þ Ó Û Ô ÐÒÝ ÞÝÒÒ (x x n ) Þ ÖÙ Ó ÞÝÒÒ (x 2 x n )... Þ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ ÞÝÒÒ (x n x n ) ÞÒ Ù ÑÝ V n = ( ) n+ = ( ) n+ (x x n )(x 2 x n )...(x n x n ) V n = (x n x )(x n x 2 )...(x n x n ) V n. ÌÓ Þ Ó ÞÝ ÓÛ Ó Ò ÑÓÝ Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò Ó V n Ø Ù ÒÝ ÔÖÞ Þ Ó ÔÓ¹ Û Ò ÐÓÞÝÒº Ò Í ÓÛÓ Ò ØC ØA ØB Ð ( ) Ap p [] C = p l [] l p B l l. A B ØÙ Ñ ÖÞ Ñ ÛÝÑ Ö Û Ó ÔÓÛ Ò Ó p p l l [] p l [] l p Ñ ÖÞ Ñ Þ ÖÓÛÝÑ ÛÝÑ Ö Û p l l pº ÊÓÞÛ Þ Ò ÅÓ Ò ÔÓ Ù Ý Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ ÛÞ Ð Ñ lº Ð l = ØÞÒº Ý Ñ ÖÞ B ØÝÐ Ó Þ Ò Ó Ð Ñ ÒØÙ ÛÞ Ö Ø ÔÖ Û Þ ÛÝ Ò ÑÓÝ ÖÓÞÛ Ò ¹ Ä ÔÐ ³ Þ ØÓ ÓÛ Ò Ó Ó Ó Ø ØÒ ÓÐÙÑÒÝ õ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ µº ÑÝ Û ÛÞ Ö Ø ÔÖ Û Þ ÛÝ Ð Ñ ÖÞÝ B ÛÝÑ ÖÙ (l ) (l ) ÑÝ ÔÖÞÝÔ

Ñ ÖÞÝ B ÛÝÑ ÖÙ l lº ÊÓÞÛ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ C ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ Û Ø ÖÝÑ Ò Þ ÖÓÛ Ð Ñ ÒØÝ c p+ p+l b l c p+2 p+l b 2l... c p+l p+l b ll A p p [] p l [] l p B l l = c p+ l+l ( ) p++p+l Mp+ C p+l + c p+2 l+l ( ) p+2+p+l Mp+2 C p+l +... +c p+l l+l ( ) p+l+p+l Mp+l C p+l = b l ( ) p++p+l M C p+ p+l + b 2l ( ) p+2+p+l M C p+2 p+l +... +b ll ( ) p+l+p+l M C p+l p+l. Ã Ý Þ Ñ ÒÓÖ Û Mp+k C p+l k =,..., lµ Ñ ÖÞÝ C Ø Ø Ö Þ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÔÓ Ñ ¹ ÖÞÝ Ó ÛÝÑ Ö (p + l ) (p + l ) Ó Ø Ö Ó ØÓ Ù Þ Ó Ò Ò Ù Ý Ò º Æ ÑÓÝ Ø Ó Þ Ó Ò Ó ÔÓÛ Ò Ñ ÒÓÖÝ Mp+k C p+l k =,...lµ Ñ ÖÞÝ C Ö ÛÒ Ó ÔÓÛ Ò Ñ Ñ ÒÓÖÓÑ Ñ ÖÞÝ B Ö ÞÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ A Ø Ñ Mp+kp+l C = deta MB kl, k =,...l. detc = deta( ) p+p (b l ( ) l+ Ml B + b 2l ( ) l+2 M2l B +... + b ll ( ) l+l Mll B = deta detb, Ó ÛÝÖ Ò Û Ò Û Ø Ò ÞÝÑ ÒÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò Ñ Ä ÔÐ ³ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ¹ ÖÞÝ B ÛÞ Ð Ñ Ó Ø ØÒ Ó Û Ö Þ º ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÍÓ ÐÒ Ò Ñ ÖÓÞÛ Ò Ä ÔÐ ³ ÛÞÓÖÝ a l A j + a l2 A j2 + a l3 A j3 +... + a ln A jn = δ lj deta, a k A l + a 2k A 2l + a 2k A 2l +... + a nk A nl = δ kl deta, Û Ø ÖÝ δ lj = Ý l = j δ lj = Ý l jº ) ØÓ ÏÞÓÖÝ Ø ÔÓÞÛ Ð Ò Ô ÛÞ Ö Ò Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò º Å ÒÓÛ Ð a a 2... a n A = a 2 a 22... a 2n............, a n a n2... a nn A A 2... A n A = A 2 A 22... A n2 deta............, A n A 2n... A nn

Û Ò Û A Ò Ñ Ù kj ØÓ A jk Ò Þ A kj µº Á ØÓØÒ Ý ÑÒÓ ÝÑÝ A A ØÓ Ð Ñ ÒØ c jk Ñ ÖÞÝ C = A A Ø Ö ÛÒÝ c jk = deta (a ja k + a j2 A k2 +... + a jn A kn ), ØÓ Û Ò Ò ÑÓÝ Ô ÖÛ Þ Ó Þ ÛÞÓÖ Û Ý ÙÓ ÐÒ ÓÒÝÑ ÖÓÞÛ Ò Ñ Ä ¹ ÔÐ ³ c jk = δ jk º Æ ØÖÙ ÒÓ ÞÓ ÞÝ ÖÙ Þ ØÝ ÛÞÓÖ Û Þ Ô ÛÒ (A A) jk = δ jk º Å ÑÝ Ø Ò ØÝ Ñ Ø ÛÞ Ö Ð Ñ ÖÞÝ 2 2 ( ) ( a a A = 2, A a22 a = 2 a 2 a 22 a a 22 a 2 a 2 a 2 a Ò ÃÓÖÞÝ Ø Þ ÔÓÛÝ Þ Ñ ØÓ Ý Ó ÛÖ Ñ ÖÞ 2 A = 2 3. 2 ÊÓÞÛ Þ Ò º Ç Ð Þ ÑÝ ÓÔ Ò Ò Ð Ö ÞÒ Û ÞÝ Ø Ð Ñ ÒØ Û Ñ ÖÞÝ A = 3 2 = 5, A 2 = 2 2 = 4, A 3 = 2 3 = 2, A 2 = 2 2 = 3, A 22 = 2 = 2, A 23 = 2 =, A 3 = 2 3 =, A 32 = 2 =, A 33 = 2 2 3 =. ÏÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ A Ø ÒÔº ÒÝ ÔÖÞ Þ a A + a 2 A 2 + a 3 A 3 = 5 + 2 ( 3) + ( ) = º ËØ A A = 5 3 5 3 4 2 = 4 2 2 2 Æ ØÖÙ ÒÓ ÔÖ Û Þ ØÓØÒ Ø ØÓ Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ º ÇÞÝÛ Ð ØA = ØÓ Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ A Ò ØÒ º. ). ÁÒÒ Ò Ó ÞÒ ÞÒ ÞÝ Þ Ñ ØÓ Ó ÛÖ Ò Ñ ÖÞÝ Ý ÓÔ Ò Û Þ Ò Ù ½ º

ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò Í Ñ Ö Ñ Ö Ò ÞÝÛ Ð Ò ÓÛÝ Ù n Ö ÛÒ Ò n Ò Û ÓÑÝ a x + a 2 x 2 +... + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2........ a n x + a n2 x 2 +... + a nn x n = b n, Ø ÖÝ Ö ÛÒÓÛ Ò ÑÓ Ò Þ Ô Û ÔÓ Ø a a 2... a n a 2 a 22... a 2n............ a n a n2... a nn ÐÙ ÔÓ ÔÖÓ ØÙ A x = b. x x 2 x n = ÏÞÓÖÝ Ò Ñ ÖÞ Ó ÛÖÓØÒ ÔÖÓÛ Þ Ò ØÝ Ñ Ø Ó ÛÞÓÖ Û Ö Ñ Ö Ý ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ù Ù Ö Ñ Ö x = A b ÐÙ ÛÒ x A A 2... A n b x 2 = A 2 A 22... A n2 b 2 deta............. x n A n A 2n... A nn b n Ï Ø x k = deta n A lk b l. l= ÍÛ Ò Þ ÔÓ ÖÞ Ò Ò Ø Ò ÛÞ Ö Ù ÛÒ ÙÑ ÔÓ Ó ÔÖ Û ØÖÓÒ Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÙ ÖÓÞÛ Ò Ñ Ä ÔÐ ³ ÛÞ Ð Ñ k¹ø ÓÐÙÑÒÝ ÛÝÞÒ ÞÒ Ñ ÖÞÝ ÙØÛÓÖÞÓÒ Þ ÛÝ ÓÛ Ñ ÖÞÝ Ñ ÖÞÝ Ù Ùµ A ÔÖÞ Þ Þ Ø Ô Ò k¹ø ÓÐÙÑÒÝ Û ØÓÖ Ñ b x k = deta b b 2 b n a... b... a n a 2... b 2... a 2n................ a n... b n... a nn Ì Û Þ ÛÞÓÖÓÑ Ö Ñ Ö ÖÓÞÛ Þ Ò Ù Ù n Ð Ò ÓÛÝ Ö ÛÒ Ò n Ò Û Ó¹ ÑÝ ÔÖÓÛ Þ Ó Ó Ð Þ Ò n+ ÛÝÞÒ ÞÒ Û Ñ ÖÞÝ n nº ÏÞÓÖÝ Ö Ñ Ö Ò ÞÞ ÐÒ ÛÝ Ó ÒÝÑ ÔÓ Ó Ñ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ø Ó Ù Ù Ö ÛÒ Ð Ó ÛÒ Ñ Û Ò ÞÒ Þ Ò Ø ÓÖ ØÝÞÒ º Ó Û Ð Þ Û ÞÝ Ø x¹ Û ÔÓØÖÞ ÒÝ Ø ÒÔº,

ØÝÐ Ó x k ØÓ ÛÞÓÖÝ Ö Ñ Ö ÔÓÞÛ Ð ÛÝÞÒ ÞÝ Ó Ö ÞÙ Ø Ò Û ÓÑ Þ ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÓÞÓ Ø Ý ÔÖÓÛ Þ ØÓ Ó Ó Ð Þ Ò ÛÙ ÛÝÞÒ ÞÒ Û ØÝÐ Óµº ÛÞÓÖ Û Ö Ñ Ö ÑÓ Ò ÔÓÒ ØÓ ÛÝ ÒÙ Û ÛÒ Ó ÔÓ Ô ÖÛ Þ Ð b ØA = ØÓ Ù Ò Ñ ÖÓÞÛ Þ Ò ÔÓ ÖÙ Ð b = ÒÓÖÓ ÒÝ Ù Ö ÛÒ µ ØÓ Ò ØÖÝÛ ÐÒ ÖÓÞÛ Þ Ò x ØÒ ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ØA = Ø Ò ÛÒ Ó Ø Û ÞÝ Ò ÞÛÝ Ð Þ ØÓ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÝÛ ÒÝ ØÙ Þ Ò Ñ ÔÓØÖÞ ÒÝ Ñº Òº ÔÖÞÝ ÖÓÞÛ ÞÝÛ Ò Ù ØÞÛº Þ Ò Ò Û Ò Ó ÓÔ Ö ØÓÖ Ð Ò ÓÛ Óµº Ò º Ù Ù Ö ÛÒ 2x + x 2 x 3 + x 4 = 5 x + x 2 + x 3 2x 4 = x 2x 2 + x 3 + x 4 = 2 x + x 3 = 3. ÛÝÞÒ ÞÝ x º ÊÓÞÛ Þ Ò Å ÖÞ Ø Ó Ù Ù Ñ ÔÓ Ø 2 A = 2 2.  ÛÝÞÒ ÞÒ Ó Ð Þ ÑÝ Ó ÓÒÙ Ò Ô ÖÛ ÓÔ Ö R R 2R 4 R 2 R 2 R 4 R 3 R 3 R 4 Ó 3 2 3 2 i teraz deta = ( )4+ 2 2 = 9. Ó Ò Þ ÔÓ ÒÝÑ ÛÞÓÖ Ñ Ñ ÑÝ Û x = 5 2 9 2 2 = 9 3 2 3 2 5 2 2 2. ËØ x = (/9)[ 3 3 ( 8)] = º Ï ÔÓ Ó ÒÝ ÔÓ ÑÓ Ò ÞÒ Ð õ Ð Ý Ý Ý ÔÓØÖÞ Ò µ x 2 = 2 x 3 = 2 x 4 = 3º ÈÓÒ Û ÖÓÞÛ Þ Ò Ø Ó Ù Ù Ö ÛÒ Ø Ý ØA ÒÓÞÒ ÞÒ Û Þ Ò ÐÙ Ò Ó Óл ÓÐ Ò x 2 x 3 x 4 ÔÖ Û Þ Ò ÛÖ Þ Þ x Ô Ò ÓÒ Ù Þ ØÛ ÔÖ Û ÔÖ Û Þ Ò ÔÓÔÖ ÛÒÓ ÛÝÐ ÞÓÒ Ó Û ÒÓÖÞÒ x µº

ÈÖÞÝÔÓÑÒ Ò ÊÞ r(a) Ñ ÖÞÝ A ÛÝÑ ÖÙ m n Ò ÓÒ ÞÒ Û Ö ØÓÛ µ Ø Ö Ñ n ÓÐÙÑÒ C... C n ØÛÓÖÞ Ý n Û ØÓÖ Û Ó Ù Ó m Ð Ñ ÒØ Þ K = R ÐÙ C µ Ø ØÓ Ñ ÝÑ ÐÒ Ð Þ Ð Ò ÓÛÓ Ò Þ Ð ÒÝ Û ØÓÖ Û¹ ÓÐÙÑÒ C i º ÊÞ Ñ ÖÞÝ Ø Û ØÓ ÛÝÑ Ö ÔÓ ÔÖÞ ØÖÞ Ò Ð Ò ÓÛ K n ÖÓÞÔ Ò Ò ÔÖÞ Þ ÓÐÙÑÒÝ C... C n Ñ ÖÞÝ Aº ÈÖÞÝ º ÊÞ Ñ ÖÞÝ A Ò Ñ C µ 2 3 A =, 2 i 2 + i Ø Ö ÛÒÝ ¾ Ó C 3 = C + C 2 º Ï ÛÓ ÖÞ Ù Ñ ÖÞݺ ÊÞ Ñ ÖÞÝ A ÖÞ Ñ ÖÞÝ ØÖ Ò ÔÓÒÓÛ Ò A T Ó Ö ÛÒ r(a) = r(a T ). ÁÒ Þ ÖÞ ÓÐÙÑÒÓÛÝ Ñ ÖÞÝ ÖÞ Û Ö ÞÓÛÝ Ø Ñ µº ÏÝÒ Ø Ò ØÝ Ñ Ø ÊÞ Ñ ÖÞÝ Ò ÞÑ Ò Ð r (A m n ) min(m, n). Ø Ö Þ ÓÐÙÑÒ ÐÙ Û Ö Þݵ ÔÓÑÒÓ ÝÑÝ ÔÖÞ Þ Ð Þ λ Þ Kµ ÔÖÞ Ø Û ÑÝ ÓÐÙÑÒÝ Û Ö Þ µ Ó Ò Þ ÓÐÙÑÒ Û Ö Þ µ Ó ÑÝ ÓÑ Ò Ð Ò ÓÛ ÔÓÞÓ Ø Ý ÓÐÙÑÒ Û Ö¹ Þݵ Ò º Ò Ð õ ÖÞ Ñ ÖÞÝ A = 2 3 6 3 2 4. 4 5 ÊÓÞÛ Þ Ò Ó ÓÒ ÑÝ ÓÔ Ö C 3 C 3 (C 2 + C 2 ) C 4 C 4 2(C 2 + C 2 )º ØÓ 2 3, 4 Ò ØÝ Ñ Ø Û r(a) = 2º