LKTRK 0 Zeszy Rok LVIII Jausz WLCZK Sewery ZURKIWICZ Isyu lekroechk Iforayk Polechka Śląska w Glwcach TRSFORCJ OTÓW HROIZOWLCH SGŁÓW STOCHSTCZCH W DTRIISTCZCH UKŁDCH ILIIOWCH Sreszczee. W arykule oao eoę wyzaczaa oeów harozowalych rocesów sochasyczych wysęujących w bezercyjych elowych eersyczych ukłaach SISO. Przyjęo że rozarywae rocesy są osae sochasyczy szerea Fourera a ukła elowy jes osay weloae o wsółczykach eersyczych. Poao wzory określające warośc rzecęe waracje fukcje korelacj własej wzajeej rozarywaych rocesów. Uzyskae wyk zlusrowao rzykłae. Słowa kluczowe: oey rocesów sochasyczych rasforacje elowe rocesów sochasyczych TRSFORTIOS OF OTS OF HROIZL STOCHSTIC SIGLS I DTRIISTIC OLIR SSTS Suary. The aer reses he eho for eer oes of harozable sochasc rocesses occurr eoryless a eersc olear SISO syses. There s assue ha he cosere sochasc rocesses are escrbe by he Fourer seres a a olear syse s escrbe by he olyoal wh eersc coeffces. There are ve forulas eer he ea value varace auocorrelao fucos a correlao fuco of he cosere rocesses. The obae resuls are llusrae by a exale. Keywors: oes of sochasc rocesses olear rasforaos of sochasc rocesses
7 J. Walczak S. azurkewcz. WSTĘP Zae są róże sosoby osu rocesów syałów sochasyczych w zeze czasu 4 0. Os okłay rocesów wyaa oaa foruł aeayczych osujących rocesy w sosób jawy 9. Os okłay rocesów jes róweż ożlwy rzez oae sochasyczych rówań różczkowych lub całkowych bęących eeraora rocesów 4. sę: Do częścej sosowaych 9 eo rzyblżoych osu rocesów sochasyczych zalcza os rocesów bazujący a welowyarowych łączych fukcjach ęsośc rawooobeńswa lub welowyarowych ysrybuaach rocesów os wykorzysujący róże yskree rerezeacje rocesów 3 4. szere Karhuea-Loève a eworha wele ych os rocesów z wykorzysae oeów 3 4. Osaa z wyeoych eo osu jes zaea y że oey rocesów są eersyczy fukcja zeych rzeczywsych. alza ukłaów w kórych wysęują syały rocesy sochasycze. jako źróła syałów eoą oeów jes wzlęe rosa 3 yż wykorzysuje sę u zae echk eersyczej aalzy aeayczej. W ujęcu rassyjy ukła SISO rys. a kóreo wejśce jes oaway syał sochasyczy a a jeo wyjścu jes obserwoway syał sochasyczy oża rakować 9 jako rzework: syału a syał rys. a łączych ęsośc rawooobeńswa f x x x syału a łącze ęsośc rawooobeńswa f y y y syału rys. b oeów rocesu a oey rocesu rys. c. Reuły rasforacj oeów w lowych sacjoarych ukłaach SISO IO są zae 9 4. W elowych bezercyjych lub yaczych ukłaach wyzaczee ych oeów jes rue 5 6. Wyzaczeu oeów w sochasyczych ukłaach yaczych osywaych rówaa Iô lub Sraoovcha jes ośwęcoa oorafa 3.
Trasforacje oeów harozowalych 73 a b c Rys.. Ukła SISO jako rzework rocesu F.. SISO syse as a coverer of he rocess ejszy arykuł oyczy wyzaczaa oeów harozowalych rocesów sochasyczych rueo rzęu 3 7 rzewarzaych rzez eersyczy bezercyjy elowy ukła SISO rys.. Zakłaa sę że ukła e jes osay weloae owoleo rzęu.. FORLIZCJ PROLU Rozaryway ukła SISO rys. jes osay weloae: c c ze: - syały sochasycze a wejścu wyjścu ukłau. Syał wejścowy ukłau jes suą skłaowej eersyczej sochasyczeo szereu Fourera:
74 J. Walczak S. azurkewcz ze: - fukcja eersycza cos s - wzajee ezależe zee losowe o zaaych rozkłaach fukcj ęsośc rawooobeńswa - skończoy zbór częsośc wa skłaowej losowej syału. Syał wyjścowy ukłau określa wzór: c cos s. 3 eoę wyzaczea oeów rocesu wzory oraz 3 o rueo rzęu włącze osao ożej. 3. OT PROCSÓW Wykorzysując wzory 3 oraz zae właścwośc oeraora warośc rzecęej lowość oeraora 4 wyzaczoo 8 oey rocesów o rueo rzęu włącze. oey rocesu ze: Warość rzecęą rocesu określa wzór: cos s 4 - warośc rzecęe zeych losowych. Warację rocesu określa wzór: 5
Trasforacje oeów harozowalych 75 ze: s cos cos cos s cos. s s Fukcję auokorelacj R rocesu określa wzór: cos R cos s cos cos s cos s s cos. s s 6 oey rocesu Warość rzecęą rocesu określa wzór: 0 c s s cos cos 7
76 J. Walczak S. azurkewcz. x Warację rocesu określa wzór: 8 ze: 0 0 c c cos cos x s s. Fukcję auokorelacj R rocesu określa wzór: 0 0 c c R x x cos cos cos cos s s s s. 9 Fukcję korelacj wzajeej R rocesów określa wzór: 0 0 c R x x 0
Trasforacje oeów harozowalych 77 cos cos cos cos s s s s Ilusrację wyrowazoych zależośc saow oższy rzykła. Przykła Charakerysykę eekora kwaraoweo określa wzór 9: Deekor jes zaslay syałe: ze: 0 - fukcja eersycza. s cos - ezależe zee losowe Gaussa o araerach 3 3 - częsość skłaka losoweo. oey rocesów określają wzory: R s 3 3 3s s 4 6 R 4cos 3s 5 4 3s 6 3 8cos 4cos4 8 3s 3s4 7 7 3s 8 3s 4cos 4cos R 7 5 cos cos 8 3 s. 8 9 3 cos 3 cos 5 3 cos 9
78 J. Walczak S. azurkewcz 7 s s 7s. a rys. okazao klka rzykłaowych realzacj rocesów. a rys. - 0 rzesawoo wykresy warośc rzecęych waracj fukcj korelacj własych wzajeych rocesów rozarywaych w rzykłaze. Rys.. Przykłaowe realzacje rocesu F.. xales of realzaos of he rocess
Trasforacje oeów harozowalych 79 Rys. 3. Przykłaowe realzacje rocesu F. 3. xales of realzaos of he rocess Rys. 4. Warość rzecęa rocesu F. 4. xece value of he rocess
80 J. Walczak S. azurkewcz Rys. 5. Warość rzecęa rocesu F. 5. xece value of he rocess Rys. 6. Waracja rocesu F. 6. Varace of he rocess
Trasforacje oeów harozowalych 8 Rys. 7. Waracja rocesu F. 7. Varace of he rocess Rys. 8. Fukcja korelacj własej rocesu F. 8. uocorrelao fuco of he rocess
8 J. Walczak S. azurkewcz Rys. 9. Fukcja korelacj własej rocesu F. 9. uocorrelao fuco of he rocess Rys. 0. Fukcja korelacj wzajeej rocesów F. 0. Correlao fuco of he rocesses a
Trasforacje oeów harozowalych 83 Wzory o wyzaczaa oeów oae w rozzale 3 zosały zaleeowae w osac rorau koueroweo asaeo w języku C# 8. Prora e uożlwa: wyzaczae oeów rocesów 3 la lczby owolej wyrazów sochasyczeo szereu Fourera owoleo soa weloau zaawae rozkłaów ęsośc rawooobeńswa zeych losowych rówoereo oraleo wykłaczeo Suea oraz ch kwara yu oblczea warośc lczbowych wsółczyków fukcj określających oey oraz wykreślae wykresów realzacj oeów rocesów. 4. PODSUOWI Osaa eoa wyzaczaa oeów rocesów w elowych eersyczych ukłaach SISO bez aęc oże być sosowaa y roces wejścowy wyuszee jes ay wzore aalyczy. eoa a oże być uoóloa a szersze klasy rocesów o zaych rerezeacjach yskreych. Karhuea-Loève a losowe bezercyje ukłay SISO. Prace ake są rowazoe w chwl obecej. ILIOGRFI. erosa. Rce S. O.: The Ouu Proeres of Volerra Syses Drve by Haroc a Gaussa Ius. Proc. I Vol. 59 Dec. 97. 688-707.. Deusch R.: olear Trasforaos of Rao Processes. Prece-Hall Ic. Loo 96. 3. Faraha K. L T.: Rao Trooerc Polyoals wh oecally Dsrbue Coeffces. Sascs & Probably Leers 996 Vol. 7 o. 4. 347-355. 4. Groru.: le o-gaussa Processes Prece Hall ew ork 995. 5. Groru.: Sochasc echacs. I. J. of Sols a Srucures 000 o. 37. 97-4. 6. Kuzesov P.I. Sraoovch R. L. Tkhoov V.I.: o-lear Trasforao of Sochasc Processes. Perao Press Loo 995.
84 J. Walczak S. azurkewcz 7. L T. Faraha K.: Dffere Classes of Rao Trooerc Polyoals. 4-h If. Cof. o eural Parallel a Scefc Couaos laa US uus -40 00. 4-47. 8. azurkewcz S.: alzaor rocesów sochasyczych rueo rzęu Praca yloowa aserska. Wyzał lekryczy Polechka Śląska w Glwcach Glwce 0. 9. Paouls.: Prawooobeńswo zee losowe rocesy sochasycze. WT Warszawa 97. 0. Puaczew W.S.: Teora fukcj rzyakowych jej zasosowae o zaaeń serowaa auoayczeo. Wy. O Warszawa 960.. Skowroek K.: Obwoy elekrycze w ujęcu sochasyczy. oorafa. Wy. Pol. Poz. Pozań 0.. Sobczyk K.: Sochasycze rówaa różczkowe. WT Warszawa 996. 3. Socha L.: Rówaa oeów w sochasyczych ukłaach yaczych. PW Warszawa 993. 4. Sweszkow..: Posawowe eoy fukcj losowych. PW Warszawa 965. Włyęło o Reakcj a 0 aźzerka 0 r. Receze: Prof. r hab. ż. Kora Skowroek Prof. r hab. ż. Jausz WLCZK r ż. Sewery ZURKIWICZ Polechka Śląska Wyzał lekryczy Isyu lekroechk Iforayk ul. kaecka 0 44-00 GLIWIC el. 03 379; e-al: jausz.walczak@olsl.l el. 03 379; e-al: sewery.azurkewcz@olsl.l