Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 2009) Szkoły podstawowe Całość materiału

Samouczek przygotowujący do Kuratoryjnego Konkursu Matematycznego (na podstawie zadań z roku 00) Szkoły podstawowe Całość materiału

Treści zadań Zestaw I Zadanie nr Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Zadanie nr Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut!

L W L W Przypadek E: L W L W L W L W Odpowiedź: Możliwe składy pociągu: LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Zestaw II Zadanie nr Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego 8

. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Możemy to zapisać następująco w konwencji stosowanej w zadaniu (spacje i kolory podobnie jak poprzednio użyłem dla lepszej czytelności zapisu): L W L W L W L W Możliwe składy pociągu Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe pozycje wagonu Wars w pociągu. Zatem aby wypisywać wszystkie możliwe składy pociągu, trzeba wypisać wszystkie przypadki od A do E (spacje i kolory są dla lepszej czytelności tekstu): Przypadek A: LW LW LW Przypadek B: L W L W L W Przypadek C: LW LW LW LW Przypadek D: L W L W 7

W ten sposób otrzymujemy następujące możliwe układy wagonów: L L W W Otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na piątej pozycji to mamy następujące możliwe składy pociągów: L W L W L W L W Sytuacja E wagon Wars ma numer L W 7 8 Sytuacja analogiczna do sytuacji C i D. Otrzymujemy możliwości składu pociągu jak poniżej: L L W W 7 7 7 7 8 8 8 8 Zadanie nr. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb.

Zestaw III Zadanie nr 7 Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Sytuacja C możliwe składy pociągu Otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na czwartej pozycji to mamy następujące możliwe składy pociągów: LW LW LW LW Sytuacja D wagon Wars ma numer L W 7 8 Zwróćmy uwagę, że jeśli wagon Wars ma pozycję numer, to jest to sytuacja analogiczna do sytuacji C. Mamy dwa wagony klasy i dwa wagony klasy do obsadzenia czterech pozycji (,, oraz 7), przy czym: a. są dwie możliwości otoczenia Warsu: o (z lewej klasa, z prawej klasa ) o (z lewej klasa, z prawej klasa ) b. dla każdej z możliwości otoczenia Warsu mamy dwie możliwości wstawienia pozostałych dwóch wagonów (klasa i klasa ) na pozycje i 7

Zauważmy, że Wars musi mieć sąsiedztwo zarówno wagonu klasy jak i klasy co daje nam dwie sytuacje C i C otoczenia Warsu. Sytuacja C W sytuacji C, Wars znajdujący się na pozycji, jest otoczony wagonem klasy z lewej i wagonem klasy z prawej jak pokazano poniżej: L W 7 8 Wówczas zostają nam dwa wagony (jeden klasy i jeden klasy ) do ustawienia na pozycjach 7 i 8, co daje nam dwie możliwości składu pociągu dla sytuacji C: L W 7 8 Zestaw IV Zadanie nr Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Sytuacja C W sytuacji C, Wars znajdujący się na pozycji, jest otoczony wagonem klasy z lewej i wagonem klasy z prawej jak pokazano poniżej: L W 7 8 Zostają nam dwa wagony (jeden klasy i jeden klasy ) do ustawienia na pozycjach 7 i 8, co daje nam dwie możliwości składu pociągu dla sytuacji C: L W 7 8 7

Zadanie nr 0 Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Podobnie jak poprzednio mamy dowolność w ustawieniu tylko trzech wagonów, tym razem na pozycjach, oraz. Podobnie jak poprzednio, na tych pozycjach możemy umieścić w dowolnej kolejność pozostałe wagony: jeden wagon klasy i dwa wagony klasy, jak pokazano poniżej:. L W 7 8 Zatem jeśli wagon Warsu jest na pozycji 7, to mamy następujące możliwości składu pociągu: L W L W L W Sytuacja C wagon Wars ma numer W sytuacji gdy wagon Warsu znajduje się pozycji numer to mamy ustalone następujące pozycje: L W 7 8 A. Lokomotywa to pozycja numer B. Pozycja numer i pozycja numer 8 to wagony klasy gdyż wagony klasy muszą rozpocząć i zakończyć skład wagonów. C. Pozycja numer to Wars (tak założyliśmy) Pozostały nam do zagospodarowanie cztery wagony: dwa wagony klasy i dwa wagony klasy do wstawienia na pozycje,, oraz 7. 8

jeden wagon klasy i dwa wagony klasy, jak pokazano poniżej:. L W 7 8 Zapisując w konwencji stosowanej w treści zadania, otrzymujemy, że jeśli wagon Warsu jest na pozycji, to mamy następujące możliwości składu pociągu (spacje i kolory wstawiłem dla lepszej czytelności zapisu): LW LW LW Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Sytuacja B wagon Wars ma numer 7 Z kolej najbardziej prawa pozycja dla Warsu to pozycja numer 7 jak poniżej: L W 7 8 Otrzymujemy: A. Lokomotywa to pozycja numer B. Pozycja numer i pozycja numer 8 to wagony klasy gdyż wagony klasy muszą rozpocząć i zakończyć skład wagonów. C. Pozycja numer 7 to najbardziej prawa pozycja Warsu D. Na pozycji numer musi być wagon klasy gdyż Wars musi graniczyć także z wagonem klasy.

Zestaw V Zadanie nr Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Zadanie nr Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? L W 7 8 Elementy pociągu numerujemy od do 8 jak powyżej zaznaczono liczbami w granatowych kółkach. Przyjmując, że wagon Wars jest maksymalnie z lewej strony to wówczas wiemy na pewno, że: A. Pierwsza pozycja to lokomotywa. B. Na drugiej pozycji nie może być Wars. Na drugiej pozycji musi być wagon klasy zgodnie z warunkami zadania. C. Tak więc dopiero trzeci wagon to najwcześniejszy numer jaki może mieć Wars. D. Jeśli Wars ma pozycję to czwarty wagon musi być klasy, gdyż wagon Wars musi sąsiadować zarówno z wagonem klasy jak z wagonem klasy. Ponieważ z lewej strony Wars ma już obowiązkowe sąsiedztwo wagonu klasy, to z prawej strony Warsu, jako wagon numer musi być wagon klasy. E. Ostatni wagon numer 8 musi być wagonem klasy gdyż skład wagonów musi zaczynać się i kończyć wagonem klasy. Tak więc jeśli wagon Warsu ma numer to dowolność mamy tylko w ustawieniu wagonów na pozycjach, oraz 7. Na tych pozycjach możemy umieścić w dowolnej kolejność pozostałe wagony: 0

. Drugim i ostatnim elementem składu są wagony klasy, gdyż każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy ". Wagon Wars musi mieć sąsiedztwo zarówno wagonu klasy jak i wagonu klasy.. Naszym zadaniem jest wypisać wszystkie możliwe składy zgodne z powyższymi warunkami. Nie musimy nic obliczać tylko wypisać możliwe składy. Sposób rozwiązania zadania Najpierw zauważymy, że trzy pozycje w pociągu są już obsadzone: Pozycja lokomotywa Pozycja wagon klasy drugiej Pozycja 8 wagon klasy drugiej Kluczowe dla rozwiązania zadania jest ustawienie wagonu Wars. Może się on znajdować na pozycjach od do 7. Dla każdej pozycji Warsu wypiszemy możliwe ustawienia wagonów zauważając przy okazji, że analogiczne są sytuacje gdy Wars ma pozycje: i 7, oraz Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A wagon Wars ma numer Budujemy takie ułożenie wagonów w pociągu, by Wars był jak najbardziej z lewej strony. 0

Odpowiedzi Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" O co chodzi w zadaniu Czytając uważnie treść zadania możemy wyciągnąć następujące wnioski:. Skład pociągu ma dokładnie 8 elementów: a. Jedną lokomotywę b. Jeden wagon Wars c. Dwa wagony klasy d. Cztery wagony klasy. Pierwszym elementem składu jest lokomotywa 0

Podsumowanie 7 7 8 8 Sytuacja A możliwości powieszenia ubrań Sytuacja B 7 możliwości powieszenia ubrań Ile możliwości powieszenia ubrań w szafie? Jak stwierdziliśmy na początku, z uwagi na symetrię, ilość ustawień ubrań w szafie to suma możliwości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B, pomnożona przez : ( + 7) * = * = Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. 08

Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :. 7 8 Sytuacja B liczba możliwości powieszenia ubrań Przypadki od B do B zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku B (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od B do B: + + = 7 07

Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycji gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra. o pozycje numer i już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, analogicznie jak w sytuacji A: Zestaw II Zadanie nr Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: Adrian: 0

Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? 7 8 Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale 7 8 7 8 0

zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji B (czerwone spódnice na trzeciej i czwartej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na drugiej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas również mamy możliwości ustawienia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek, podobnie jak w sytuacji B. Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Odpowiedź: Nauczyciel wypisał: zielonych liczb 7 czerwonych liczb 7 granatowych liczb 0 7

Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. 7 7 8 8 Odpowiedź: Ania skreśliła liczby, Wojtek skreślił liczb, Antek skreślił liczby. Pozostało 8 nieokreślonych liczb. 7 8 Identycznie jak w sytuacji A, ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek 8 0

Sytuacja B drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji B pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji B Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi. 0

Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zatem ilość ustawień ubrań dla przypadku A (czerwone spódnice zajmują pozycje nr i ) to suma możliwych ustawień ubrań od A do A: + = Sytuacja B czerwone spódnice na i pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się na i pozycji to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. 7 8 pozycja numer i to czerwone spódnice zgodnie z naszym założeniem. Rozpatrujemy ich kolejne położenie przesuwając je w prawą stronę pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy ponownie w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. 0 0

o pozycję numer już rozpatrzyliśmy Wówczas na wolnych dwóch pozycjach mamy tylko jedną możliwość powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. 7 8 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi siedem) mamy ustawienie. Sytuacja A liczba możliwości powieszenia ubrań Drugi granatowy sweter nie może znajdować się najbardziej na lewo na pozycji nr 8, gdyż wówczas ostatni granatowy sweter miałby pozycję numer i obydwa granatowe swetry sąsiadowałyby ze sobą co jest sprzeczne z warunkami zadania. Zatem przypadki A oraz A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych swetrów i zielonych bluzek gdy czerwone spódnice zajmują pozycje nr i. 00

Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: 8 8 8 8 8 8 Ostatni, trzeci granatowy sweter musi zajmować pozycje od 7 do gdyż nie może sąsiadować z innymi granatowymi swetrami. Wędruje wśród zielonych bluzek zajmując kolejno trzy pozycje: od siódmej do dziewiątej. Zatem dla sytuacji A (czerwone spódnice na drugiej i trzeciej pozycji, najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra wynosi jeden) mamy różne ustawienia. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na siódmej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 8 8 7 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer 7 to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra o nie może znajdować się na pozycjach i gdyż sąsiadowałby z ustaloną pozycją pierwszego granatowego swetra.

pozycja numer to pierwszy granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania pozycja numer to najbardziej lewa pozycja drugiego granatowego swetra zgodnie z naszym założeniem dla sytuacji A Wówczas na wolnych pięciu pozycjach mamy następujące możliwości powieszenia ostatniego (trzeciego) granatowego swetra i czterech zielonych bluzek: Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. 7 8 7 8 7 8 8

Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach,, oraz. Pole prostokąta wynosi. pozycja numer i to zgodnie z naszym założeniem skrajnie lewe pozycje czerwonych spódnic, gdyż muszą znajdować się obok siebie (jeden podwójny element) a jednocześnie nie mogą być na początku pozycja numer to granatowy sweter zgodnie z warunkami zadania Ilość możliwości powieszenia pozostałych ubrań dla takiej sytuacji rozpatrzymy w zależności od miejsca gdzie wisi najbardziej skrajnie lewy, drugi granatowy sweter. Pierwszy granatowy sweter ma ustaloną pozycję numer zgodnie z warunkami zadania. Granatowych swetrów jest mniej niż zielonych spódnic i łatwiej jest usystematyzować (podzielić na przypadki) możliwe powieszenia ubrań w zależności od pozycji granatowych swetrów. Sytuacja A drugi granatowy najbardziej na lewo na pierwszej pozycji Mamy cztery miejsca ustalone: 7 8 pozycja numer i to pozycje czerwonych spódnic zgodnie z naszym założeniem dla wszystkich sytuacji A 7

Z symetrii wynika, że gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (C) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (A). Podobnie, gdy czerwone spódnice są na pozycji jaki w przypadku (D) to ilość ustawień pozostałych ubrań jest jak w przypadku (B). (A) 7 8 7 8 (B) (C) (D) 7 8 7 8 Dlatego wystarczy rozpatrzyć tylko ilość ustawień ubrań dla przypadków (A) i (B) a następnie sumę tych przypadków pomnożyć przez, by mieć ilość ustawień ubrań zgodnie z zasadami Zosi.. Sytuacja A czerwone spódnice najbardziej na lewo: na drugiej i trzeciej pozycji Gdy czerwone spódnice znajdują się najbardziej na lewo to mamy ustalone następujące miejsca ubrań: Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. 7 8

Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. Dzielimy na przypadki wobec najrzadziej występującego elementu Ponieważ czerwonych spódnic jest najmniej (właściwie jeden, podwójny element), więc najłatwiej ustawienia ubrań podzielić na przypadki względem położenia czerwonych spódnic, a następnie zsumować ilość ustawień z każdego przypadku. Symetria Przyglądając się chwilę wieszakowi, widzimy, że możliwe ustawienia ubrań są w pełni symetryczne względem środkowej pozycji nr, na której obowiązkowo znajduje się granatowy sweter. Dlatego wystarczy rozpatrzeć liczbę ustawień ubrań dla następujących przypadków (A) i (B) położenia czerwonych spódnic: (A) 7 8 (B) 7 8

ilość ustawień dla przypadków B oraz C jest taka sama. Dlatego rozpatrzymy tylko ilość ustawień granatowych swetrów i zielonych bluzek dla przypadków A oraz B. Suma ilości ustawień ubrań dla przypadków A oraz B pomnożona przez da nam ilość ustawień wszystkich ubrań. Szczegółowe rozwiązanie zadania Przykładowy układ ubrań na wieszaku 7 8 Czerwone spódnice Zwróćmy uwagę, że dwie czerwone spódnice możemy potraktować jako jeden element, gdyż muszą znajdować się obok siebie nie można ich rozdzielić. Również czerwone spódnice nie mogą zajmować pozycji numer oraz (skrajnych pozycji). Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" Odpowiedź: Możliwe składy pociągu: LW LW LW LW LW LW LW LW LW LW 7

LW LW LW LW LW LW LW LW Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Sposób rozwiązania zadania Dwie czerwone spódnice potraktujemy jako całość gdyż nie można ich rozdzielać. Mogą one zajmować pozycje: A. i B. i C. i 7 D. 7 i 8 Z uwagi na symetrię ilość ustawień ubrań dla przypadków A oraz D jest taka sama. Podobnie 8

Ile pozycji czerwonego żołnierza? Zauważmy, że mamy pozycji czerwonego żołnierza: A () B () C () D () E () F () Ile możliwości ustawień żołnierzy? Każda z powyższych pozycji czerwonego żołnierza daje nam 0 ustawień pozostałych żołnierzy. Zatem liczba wszystkich ustawień żołnierzy w szeregu to * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. Wzorcowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Wzorcowe rozwiązanie zadania Dzielimy cały płot na części. Jedną część Arek maluje w godzinę (całość od :00 do :00). W sobotę, do momentu przyjścia wujka Arek pomaluje dwie części płotu z sześciu. Z pozostałych czterech wujek pomaluje trzy zaś Arek jedną, gdyż wujek maluje trzy razy szybciej. Zatem zajmie im

to godzinę, gdyż Arek maluje jedną część z sześciu w godzinę. Ponieważ wujek przyszedł o godzinie,: więc Arek z wujkiem skończą malowanie o :00 Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ile czasu Lusia zaoszczędziła Kazikowi: minut minut = 0 minut B pierwszy granatowy żołnierz może mieć najbardziej lewą pozycję: nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwe pozycje (jak w przypadku A) nr (sytuacja B) wówczas drugi granatowy żołnierz ma możliwą pozycję (jak w przypadku A) Zatem dla sytuacji B (czerwony żołnierz na drugiej pozycji) mamy 0 możliwych ustawień żołnierzy (jak dla sytuacji A). 0

Sytuacja B czerwony żołnierz na drugiej pozycji Łatwo zauważymy, że gdy czerwony żołnierz znajduje się na drugiej pozycji, to również mamy dokładnie cztery sytuacje od B do B odpowiadające sytuacjom A do A: A B Od chwili gdy Lusia zaczęła pomagać Kazikowi, Kazik obrał x ziemniaków, zaś Lusia obrała x ziemniaków. Gdyby nie Lusia, to Kazik by obierał x ziemniaków przez 0 minut czyli Kazik obiera x ziemniaków w 0 minut. Zatem w ciągu minut Kazik obierał ziemniaki: 0 minut z Lusią minutę sam Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnej pracy Kazika. A A A Oprócz faktu, że czerwony żołnierz zajmuje pierwszą kolumnę w sytuacji A, zaś drugą kolumnę w sytuacji B to nic się nie zmienia. Dla przypadku B B B Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Działkowicz miał do przekopania działkę. Pracę rozpoczął o godzinie :00 rano. Gdyby pracował bez przerwy w równym tempie, pracę mógłby zakończyć dopiero o godzinie :0. W trakcie pracy działkowiczowi przyszedł z pomocą młodszy kolega i od pewnej godziny do zakończenia pracy o godzinie :00 pracowali razem. Działkowicz i młodszy kolega pracowali cały czas równomiernie, a tempo pracy młodszego kolegi było dwukrotnie większe. Do której godziny od :00 działkowicz pracował sam? Odpowiedź uzasadnij. 0

Wzorcowe rozwiązanie zadania Od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę działkowicz wykonał pracę x, zaś młodszy kolega x. Gdyby nie młodszy kolega to działkowicz musiałby wykonać pracę x między :00 a :0, czyli w ciągu h 0min (0 minut). Skoro pracę x działkowicz wykonuje w 0 minut to pracę x wykonuje w 7 minut czyli h minut. Otrzymujemy, że od momentu rozpoczęcia pracy przez młodszego kolegę do zakończenia pracy przez nich obydwu, działkowicz wykonał pracę x w ciągu h minut. Ponieważ pracę zakończyli o godzinie :00, więc młodszy kolega przyszedł o: :00 h min = : Odpowiedź: Młodszy kolega przyszedł z pomocą działkowiczowi o godzinie :. Sytuacja A liczba ustawień żołnierzy Przypadki od A do A zawierają wszystkie możliwe ustawienia granatowych i zielonych żołnierzy gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer. Zatem ilość ustawień żołnierzy dla przypadku A (pierwszy czerwony żołnierz) to suma możliwych ustawień żołnierzy od A do A: + + + = + = 0 8

Drugi granatowy żołnierz wędrując wśród zielonych żołnierzy, zajmuje dwie pozycje: od piątej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci zielony żołnierz, czwarty granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na piątej pozycji Mamy pięć ustalonych pozycji: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy granatowych żołnierzy, czyli jedną możliwość ustawienia pozostałych dwóch granatowych żołnierzy: Zestaw II Zadanie nr Treść zadania Trójka dzieci: Adrian, Basia i Cyprian bawiła się w grę o następujących zasadach:. Najpierw dziecko pisze na kartce dowolna liczbę. Kartki oddaje się do sędziego. Następnie sędzia losuje kolejność dzieci. Na tablicy, pierwsze wylosowane dziecko wypisuje wielokrotności liczby którą zapisało na kartce w zakresie od do 00. Kolejne dzieci (według losowania) dopisują na tablicy wielokrotności liczb zapisanych przez siebie na kartce w przedziale od do 00 według następujących zasad: a. Jeśli danej wielokrotności nie było na tablicy, to ta liczba jest dopisywana. b. Jeśli dana wielokrotność już jest na tablicy (powtarza się z wielokrotnością któregoś poprzedniego dziecka) to nie jest dopisywana. Wygrywa ta osoba która wypisze najwięcej liczb na tablicy. Na kartkach dzieci zapisały następujące liczby: Basia: 88

Adrian: Cyprian: 0 Sędzia wylosował następującą kolejność wypisywania liczb na tablicy:. Adrian. Basia. Cyprian Które z dzieci wygrało grę? Jaka jest strategię powinno obrać dziecko by wygrać tę grę? Wzorcowe rozwiązanie zadania Ilość liczb wypisanych przez Adriana 00 : = 8 Liczby dopisane przez Basię Ilość wielokrotności : 00 : = reszty Liczby których Basia nie dopisała to liczby podzielne przez i : NWW(,) = * * = * = 7 Ilość wielokrotności 7 00 : 7 = reszty 0 Ilość liczb dopisanych przez Basię: = Liczby dopisane przez Cypriana Drugi granatowy żołnierz znów wędruje wśród zielonych żołnierzy, ale tym razem zajmuje trzy pozycje: od czwartej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi zielony żołnierz, trzeci granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na czwartej pozycji Mamy cztery ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od piątej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i jednego zielonego żołnierza: 87

Drugi granatowy żołnierz niejako wędruje wśród zielonych żołnierzy zajmując kolejno cztery pozycje: od trzeciej do szóstej. Zatem dla sytuacji A (pierwszy czerwony żołnierz, drugi granatowy żołnierz) mamy różne ustawienia. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na trzeciej pozycji Mamy trzy ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer musi być zielony żołnierz, gdyż założyliśmy, że granatowi żołnierze mają pozycję numer lub większą. pozycja numer pierwszy granatowy żołnierz zgodnie z założeniem Wówczas na pozycjach od czwartej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i dwóch zielonych żołnierzy: Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = 0 Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisał je Adrian to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = Liczby których Cyprian nie dopisał gdyż wypisała je Basia to liczby podzielne przez 0 i : 0 NWW(0,) = * * = * = 0 Ilość wielokrotności 0: 00 : 0 = reszty 0 Liczby policzone dwukrotnie jako niedopisane przez Cypriana jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię: 0 NWW(0,,) = * * * = 0 * = 0 Ilość wielokrotności 0 (policzone podwójnie jako wypisane przez Adriana i wypisane przez Basię): 00 : 0 = reszty 0 Ilość liczb wypisanych przez Cypriana: 8

0 + = 0 0 + = 0 + = Otrzymujemy, że: Adrian wypisał 8 liczb. Basia dopisała liczb. Cyprian dopisał liczb. Odpowiedź: Grę wygrali jednocześnie Basia i Cyprian. Optymalna strategia polega na wypisaniu na kartce jedynki która ma najwięcej wielokrotności w dowolnym przedziale zostaje nam pozycji (od drugiej do szóstej) gdzie możemy wstawić dwóch grantowych i trzech zielonych żołnierzy. Sytuacja A najbardziej na lewo granatowy żołnierz na drugiej pozycji Mamy dwie ustalone pozycje: pozycja numer czerwony żołnierz pozycja numer granatowy żołnierz Wówczas na pozycjach od trzeciej do szóstej mamy następujące możliwości ustawienia pozostałych dwóch granatowych i trzech zielonych żołnierzy: 8

Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Sposób rozwiązania zadania Zauważymy, że mamy sześć przypadków ustawienia czerwonego żołnierza. Dla każdego z tych przypadków będzie 0 możliwych równoważnych ustawień granatowych i zielonych żołnierzy. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy otrzymamy * 0 czyli 0. Szczegółowe rozwiązanie zadania Sytuacja A czerwony żołnierz na pierwszej pozycji Gdy czerwony żołnierz okupuje pozycję numer Zadanie nr Treść zadania. Nauczyciel wypisał na tablicy zielona kredą liczby podzielne przez w zakresie 0 000.. Następnie dopisał dodatkowo czerwonym kolorem liczby podzielne przez 0 w zakresie 0 000 pisząc tylko te liczby których nie ma jeszcze na tablicy.. Na koniec, granatową kredą dopisał liczby podzielne przez 8 w zakresie 0 000. Również i w tym przypadku nie wypisywał liczb jeśli były już na tablicy. Ile liczb każdego koloru wypisał nauczyciel? Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość zielonych liczb podzielnych przez w zakresie do 0 000: 0 000 : = reszty Zielonych liczb jest. Ilość czerwonych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 w zakresie do 0 000: 0 000 : 0 = 0 00 Obliczam ilość liczb podzielnych przez 0 i w zakresie od do 0 000: NWW(,0) = 0 0 000 : 0 = reszty 0. Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest. 8 7

Liczb podzielnych przez 0 a niepodzielnych przez w zakresie od do 0 000 jest 000 = 7 Czerwonych liczb nauczyciel dopisał 7 Ilość granatowych liczb. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 w zakresie do 0 000: 0 000 : 8 = Obliczam ilość liczb podzielnych przez i 8 w zakresie od do 0 000: NWW(,8) = 0 000 : = reszty Liczb podzielnych przez w zakresie od do 0 000 jest. Obliczam ilość liczb podzielnych przez 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(8,0) = 0 0 000 : 0 = 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest 0. Obliczam ilość liczb podzielnych przez, 8 i 0 w zakresie od do 0 000: NWW(,8,0) = 0 0 000 : 0 = 8 reszty 0 Liczb podzielnych przez 0 w zakresie od do 0 000 jest 8. Granatowych liczb nauczyciel dopisał: 0 0 + 8 = 0 + 8 = 8 + 8 = 7. Odpowiedź: Nauczyciel wypisał zielonych liczb, 7 czerwonych liczb, 7 granatowych liczb Pole prostokąta to iloczyn długości boków: P = * = Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach:,, oraz. Pole prostokąta wynosi. 8 8

Pole całego prostokąta Wymiary prostokąta obliczamy jako:. Szerokość: suma fioletowego i czerwonego boku: + =. Wysokość: suma fioletowego i zielonego boku: + = Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Na tablicy zostały wypisane wszystkie liczby naturalne od do 0 włącznie. Potem Ania, Wojtek i Antek skreślali niektóre z tych liczb według następującej zasady. Jako pierwsza skreśliła Ania wszystkie liczby podzielne przez, drugi w kolejności Wojtek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez, ostatni Antek skreślił spośród pozostałych nieskreślonych wszystkie liczby podzielne przez. Ile liczb pozostało na tablicy nieskreślonych. Ile liczb skreśliła Ania, ile Wojtek a ile Antek? Przedstaw sposób rozwiązania bez przeprowadzania całego procesu skreślania kolejnych liczb. Wzorcowe rozwiązanie zadania Obliczam ilość liczb które skreśliła Ania: 0 : = Obliczam ilość liczb które, skreślił Wojtek: 0 : = 0 Od wyniku odejmuję liczby skreślone przez Anię: NWW(,) = 0 0 : 0 = Czyli Wojtek skreślił następującą ilość liczb: 0 = 8

Obliczam ilość liczb które, skreślił Antek: 0 : = 0 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Ania: NWW(,) = 0 : = 8 Obliczam ilość liczb które miał skreślić Antek, ale już skreśliła Wojtek: NWW(,) = 0 : = 0 Obliczam ilość liczb które policzyłem dwukrotnie jako skreślone przez Anię i Wojtka: NWW(,,) = 0 0 : 0 = Ilość liczb skreślonych przez Antka: 0 8 0 + = 0 8 + = + = Obliczam ile liczb pozostało na tablicy: 0 = = 7 = 8 Odpowiedź: Ania skreśliła liczby, Wojtek skreślił liczb, Antek skreślił liczby. Pozostało 8 nieokreślonych liczb. Długości boków dużych kwadratów Teraz możemy obliczyć długości boków czerwonego i zielonego kwadratu poniżej jako sumę długości boków małych kwadratów jednostkowych. Pole fioletowego kwadratu poniżej wynosi, co możemy stwierdzić na dwa sposoby :. Bok fioletowego kwadratu jest sumą czerwonego boku długości i boku jednostkowego. Bok fioletowego kwadratu jest różnicą zielonego boku długości i boku jednostkowego 0 8

Podobnie rozumując otrzymujemy, że długości wszystkich brązowych kwadratów mają boki długości : Zestaw III Zadanie nr 7 Treść zadania Składając jednakowe małe prostopadłościany możemy uzyskać sześcian o polu powierzchni 8 cm. Jakie pole powierzchni uzyskamy składając małe prostopadłościany w jeden duży prostopadłościan nie będący sześcianem? Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek x x x x x x x x x x x x x x 80

Obliczam pole powierzchni sześcianu Pole powierzchni pojedynczej ściany: P s = x x = x Pole powierzchni całego sześcianu: Pp = Ps = x = x Obliczam x. P p = x = 8cm x = 8cm : Jednocześnie zauważamy, że brązowy kwadrat i czarny kwadrat mają wspólny zielony bok. Zatem kwadraty te są przystające i mają boki tej samej długości co zaznaczamy poniżej: 8 x = cm x = cm 7 8 x = cm x = cm x = cm lub x = cm Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x = cm. Obliczam pole powierzchni dużego prostopadłościanu Pole ściany x na x: P = x x = 7x 7

Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = x + 8x + x = 7x + x = 78x Podstawiam x = cm: P d = 78x = 78 (cm) = 78 cm = 8cm = Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. 78

Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Wzorcowe rozwiązanie zadania Rysunek x x x x x Obliczam pole powierzchni ( P d ) prostopadłościanu: Pole ściany x na x: P = x x = 8x Pole ściany x na x: P = x x = x Pole ściany x na x: P = x x = x x x x x x x x x dużego Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, że boki czarnego kwadratu wynoszą. Następnie stwierdzimy, że małe kwadraciki są przystające do czarnego więc również maja boki długości. Teraz będziemy mogli obliczyć boki większych kwadratów składając ich boki z odcinków o znanej długości. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków czarnego kwadratu Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu ma długość : gdyż pole kwadratu to bok * bok, i otrzymujemy, że * =. Kwadraty mające boki długości Zaznaczamy obliczone długości boków czarnego kwadratu i wpisuje otrzymane wielkości na rysunku: 77

Teoria przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są takie same, tak jak poniższe kwadraty: a a W matematyce zamiast takie same, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a Pole powierzchni dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 8x + x + + x = x + 8x + x = x + x = = 8x P d = 8x = 8x = : 8 x = 8 x = 7 x = x = lub x = Odrzucam, długość boku liczbą dodatnią Zatem x =. Objętość sześcianu: V = ( x) = x = 8x Ponieważ x = więc otrzymujemy: V = 8x = 8 = 8 7 = Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi. 7

Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Wzorcowe rozwiązanie zadania Poniższe kwadraciki są przystające (każde dwa mają wspólny bok) zatem maja równe pola: 7

W ten sposób otrzymujemy odpowiedź: Duży prostokąt z zaznaczonymi długościami boków własnych i długościami boków wszystkich jego kwadratów: 8 8 8 8 8 8 8 8 7 Poniższe pogrubione kwadraty mają boki złożone z dwóch szarych kwadracików, zaś ich pole składa się z kwadracików: 7 7

Bok pogrubionego kwadratu składa się z kwadracików: Długości boków prostokąta Teraz możemy obliczyć długości boków prostokąta. 8 8 8 8 8 8 8 8 Bok niebieskiego kwadratu to kwadracików: 7 Długość zielonego boku: + 8 + 8 = + 8 = 7 Długość czerwonego boku: + + + = 0 + = 8 7

Etap V Na poniższym rysunku długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi 8, gdyż jest różnicą boku o długości i boku o długości. Długość lewego boku zielonego kwadratu wynosi również 8, gdyż kwadrat ten jest przystający do czerwonego kwadratu mają jeden bok wspólny. 8 8 8 8 8 8 Zatem pole niebieskiego kwadratu to: * = Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. 8 8 7

Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole kwadracika wynosi, więc bok kwadracika wynosi. Z przystawania kwadratów, wynika, że boki wszystkich poniższych kwadracików wynoszą : Etap IV Na poniższym rysunku długość górnego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i : Z sumy odcinków i przystawania kwadratów wnioskujemy w kolejnych krokach następujące długości boków: Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego kwadratu: 0 7

Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego i zielonego kwadratu: 70

Oznaczamy długości wszystkich boków czerwonego, fioletowego, zielonego i niebieskiego kwadratu: Etap III Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż kwadrat ten jest przystający do różowego kwadratu (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość prawego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach, i

Etap II Na poniższym rysunku:. Długość prawego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach i. Długość lewego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest sumą boków o długościach,, i. Długość boku ciemnozielonego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnozielonego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny). Długość boku niebieskiego kwadratu wynosi gdyż kwadrat ten jest przystający do jasnoniebieskiego kwadratu o boku (obydwa kwadraty mają jeden bok wspólny) 8 8 8 8 8 8 8 8 Teraz obliczamy długości boków prostokąta: Długość: + 8 + 8 = + 8 = 7 Wysokość: + + + = 0 + = 8

Odpowiedź: Długości boków kwadratów i całego prostokąta: 8 8 8 8 8 8 8 8 7 Oznaczamy długości wszystkich boków zielonego, niebieskiego, fioletowego i czerwonego kwadratu: 7

Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające i maja długości boków równe : Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Prostokąt został podzielony na kwadraty różnej wielkości, jak pokazano schematycznie na rysunku obok. Pole najmniejszego zaznaczonego ciemnym kolorem kwadratu wynosi. Oblicz długości boków wszystkich kwadratów ukazanych na rysunku oraz podaj pole całego prostokąta. Przedstaw sposób rozwiązania, wykorzystując rozpoznane z rysunku zależności pomiędzy długościami boków przylegających kwadratów. Etap I Zwróćmy uwagę, że na poniższym rysunku:. Długość górnego boku niebieskiego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku.. Długość dolnego boku zielonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość górnego boku fioletowego kwadratu wynosi, gdyż jest równa dwóm długościom boku kwadracika o boku.. Długość lewego boku czerwonego kwadratu wynosi, gdyż jest równa trzem długościom boku kwadracika o boku.

Wzorcowe rozwiązanie zadania Ponieważ pole czarnego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu również wynosi, gdyż: * = Wszystkie małe kwadraciki zaznaczone na szaro poniżej są przystające gdyż mają przynajmniej jeden bok wspólny. Zatem ich boki mają również długość. Podobnie poniżej żółty kwadracik jest przystający do różowego z uwagi na wspólny ciemnoczerwony bok te kwadraciki również mają równe długości boków:

Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i żółty kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają wszystkie boki o długości : 7 Z sumy długości boków małych kwadratów jednostkowych otrzymujemy długości boków kwadratów: lewego dolnego i prawego górnego.

Bok lewego górnego kwadratu to + = :. zależności między bokami należącymi do różnych kwadratów obliczmy boki wszystkich kwadratów i prostokątów. Szczegółowe rozwiązanie zadania Długości boków różowego kwadratu Ponieważ pole różowego kwadratu wynosi więc bok tego kwadratu ma długość : gdyż pole kwadratu to bok * bok, czyli otrzymujemy, że * =. Zatem wszystkie różowe kwadraty które są dane w zadaniu mają boki o długościach : 8

Zadanie nr 0 Treść zadania Wiedząc, że wszystkie figury składające się na duży prostokąt są kwadratami, oraz, że pole różowego kwadracika wynosi, oblicz długości boków każdego kwadratu jak również długości boków dużego prostokąta. Sposób rozwiązania zadania Najpierw obliczymy, ż długość boku różowego kwadracika to. Następnie korzystając z. przystawania kwadratów (wszystkie elementy poza dużym prostokątem są kwadratami) Wymiary prostokąta obliczamy jako: Szerokość: + = Wysokość: + = Pole prostokąta: P = * = Odpowiedź: Kwadraty z których złożony jest prostokąt mają boki o długościach:,, oraz. Pole prostokąta wynosi.

Zestaw V Zadanie nr Treść zadania Mateusz robi musztrę swoim żołnierzykom ustawiając ich jeden za drugim. Na ile sposobów Mateusz może ustawić swoich żołnierzy, jeśli żołnierzy można rozróżnić tylko kolorami: jeden żołnierz ma kolor czerwony dwóch żołnierzy ma kolor granatowy trzech żołnierzy ma kolor zielony Wzorcowe rozwiązanie zadania Gdy czerwony żołnierz ma pozycję numer to na pozostałych pozycjach możemy ustawić granatowych i zielonych żołnierzy na + + + = + = 0 sposobów: CNNZZZ CNZNZZ CNZZNZ CNZZZN CZNNZZ CZNZNZ CZNZZN CZZNNZ CZZNZN CZZZNN Pole dużego niebieskiego kwadratu Zatem wszystkich kwadracików będzie: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie = kwadracików w niebieskim kwadracie wierszy w pionie kwadratów w wierszu Odpowiedź: Duży niebieski kwadrat składa się ze kwadracików. 0

Bok dużego niebieskiego kwadratu Teraz wiemy, z ilu kwadracików składa się bok dużego niebieskiego kwadratu wystarczy policzyć, że jest ich : Czerwony żołnierz może być na pozycjach od do. Każda z nich daje 0 ustawień pozostałych żołnierzy analogicznie jak powyżej. Zatem wszystkich ustawień żołnierzy jest * 0 = 0. Odpowiedź: Mateusz może ustawić swoich żołnierzy na 0 sposobów. Ponieważ kwadrat ma wszystkie boki równe, więc każdy bok niebieskiego kwadratu jest zbudowany z kwadracików: Zadanie nr Treść zadania Zosia przechowuje na odpowiednio długim wieszaku w szafie następujące ubrania: cztery takie same zielone bluzki trzy takie same granatowe swetry dwie takie same czerwone spódnice Zosia nigdy nie wiesza swoich ubrań byle jak ma określone zasady: czerwone spódnice muszą zawsze wisieć razem jedna obok drugiej przy czym żadna czerwona spódnica nie może wisieć z brzegu grantowe swetry nigdy, ze sobą nie sąsiadują przy czym na środkowej pozycji (piątej od lewej) zawsze wisi granatowy sweter Na ile sposobów Zosia może powiesić swoje ubrania w szafie? Wzorcowe rozwiązanie zadania Z zielona bluzka 0

G granatowy sweter C czerwona spódnica Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy cztery następujące możliwe ustawienia pozostałych ubrań: GCCZ G ZGZZ GCCZ G ZZGZ GCCZ G ZZZG ZCCZ G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i to mamy siedem następujących możliwych ustawień pozostałych ubrań: GZCC G ZGZZ GZCC G ZZGZ GZCC G ZZZG ZGCC G ZGZZ ZGCC G ZZGZ ZGCC G ZZZG ZZCC G ZGAG Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje i 7 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli siedem możliwych ustawień pozostałych ubrań. Gdy czerwone spódnice zajmują pozycje 7 i 8 to mamy sytuację symetryczną jak dla pozycji czerwonych spódnic i czyli cztery możliwe ustawienia pozostałych ubrań. Kwadrat w lewym dolnym rogu Zauważamy, że bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej składa się z kwadracików: Czyli wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu zbudowanego są z kwadracików i możemy ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami:

Ciemnoczerwone kwadraty poniżej mają wspólny zielony bok: Powyższe sytuacje zawierają wszystkie możliwe pozycje czerwonych spódnic na wieszaku: Zatem liczba możliwości powieszenia ubrań to suma możliwości rozpatrywanych przypadków: + 7 + 7 + = + = Odpowiedź: Zosia może powiesić swoje ubrania na sposoby. Zatem są przystające i składają się z tej samej liczby kwadracików: Zadanie nr zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Grzesio zanotował skład przejeżdżającego pociągu w postaci kodu LW, gdzie kolejne znaki oznaczają L - lokomotywę, W - wagon z "Warsem", - wagon z miejscami klasy "", - wagon z miejscami klasy "". Podaj w postaci kodów, zaczynających się od litery L, wszystkie możliwe składy tego pociągu, zakładając, że wagon z "Warsem" musi być bezpośrednio połączony z wagonem klasy "" z jednej strony oraz z wagonem klasy "" z drugiej strony, w dowolnej kolejności. Liczba poszczególnych rodzajów wagonów w składzie musi być zachowana, każdy skład wagonów musi rozpoczynać i kończyć wagon klasy "" 8

Wzorcowe rozwiązanie zadania Skład ma 8 elementów. Pierwszy element składu to lokomotywa. Drugi i ósmy element składu to wagon klasy. Możliwe składy pociągu: Wagon Wars na pozycji: LW LW LW Wagon Wars na 7 pozycji: L W L W L W Wagon Wars na pozycji: LW LW LW LW Wagon Wars na pozycji: L W L W L W L W Wagon Wars na pozycji: L W L W L W L W Możemy więc ciemnoczerwony kwadrat wypełnić kwadracikami: Podobnie rozumując otrzymujemy, że ciemnoczerwony kwadrat na dole ma boki długości dwóch kwadracików, gdyż górny bok jest zbudowany z kwadracików. Zatem ten cały kwadrat jest wypełniony jest czterema kwadracikami: 7

Zatem wszystkie boki ciemnoczerwonego kwadratu składają się z kwadracików: Szczegółowe rozwiązania zadań Zestaw I Zadanie nr Treść zadania Arek ma pomalować płot u siebie i u swojego wujka. Obydwa płoty są identyczne, gdyż Rodzice Arka i wujek mieszkają w bliźniaku.. Arek własny płot malował w piątek od :00 do :00. W sobotę Arek również zaczął malowanie o :00. Po dwóch godzinach samotnej pracy dołączył do niego wujek, który nie szedł tego dnia do pracy. Odtąd wujek i Arek i malowali razem. O której godzinie w sobotę Arek i wujek skończyli pracę, jeśli wiadomo, że wujek maluje płot trzy razy szybciej od Arka? Sposób rozwiązania zadania Ponieważ Arek malował płot samodzielnie przez godzin, więc podzielimy płot na części otrzymując, że tempo pracy Arka to jedna część na godzinę. W sobotę, do momentu przyjścia wujka, Arek pomaluje dwie z tych sześciu części (wujek przyszedł po dwóch godzinach pracy Arka).

Z pozostałych części Arek pomaluje jedną, zaś wujek trzy, gdyż jest trzy razy szybszy. Ponieważ Arek maluje jedną część w godzinę więc pomalowanie pozostałych po przyjściu wujka czterech części zajmie im właśnie tę godzinę. Zatem skończą całą pracę w godzinę po przyjściu wujka o :00. Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania i znaleźć istotne informacje Najważniejszym elementem zadania jest zrozumienie jego treści. Oto powinniśmy zrozumie, z treści zadania:. Mamy dwa takie same płoty: jeden malowany w piątek, drugi w sobotę. Ponieważ w piątek Arek malował płot od :00 do :00 więc samodzielne pomalowanie płotu zajmuje Arkowi godzin. W sobotę Arek maluje sam od :00 do :00. O :00 przychodzi wujek, który płot maluje trzy razy szybciej od Arka i maluję razem. Musimy obliczyć o której skończą. Jak malował Kazik w piątek? W piątek Arek malował płot przez godzin. Zatem jeśli podzielimy płot na części to każdą z otrzymanych części Arek malował godzinę jak na rysunku poniżej: Niestety, nie możemy w ten sposób zgadywać liczby kwadracików w pustych miejscach. Takie rozwiązanie na oko jest niedopuszczalne. Podobnie tyczy się boków innych kwadratów. Nie możemy ręcznie dorysowywać kwadracików by obliczyć z ilu kwadracików zbudowany jest bok większego kwadratu. Za każdym razem musimy obliczyć z ilu kwadracików składa się bok większego kwadratu. Tak jak zrobimy to w dalszej części rozwiązania zadania. Jak w takim razie rozwiązać zadanie? By stwierdzić z ilu kwadracików składa się na jakiś analizowany większy kwadrat, możemy (wręcz musimy) posługiwać się:. Własnościami kwadratu (wszystkie boki kwadratu mają tą samą długość). Przystawaniem (kwadraty mające jeden bok tej samej długości są przystające). Istniejącymi na rysunku zależnościami Jest to żmudna metoda ale jedyna prawidłowa. Kwadraty o boku Zauważmy, że dolny bok ciemnoczerwonego kwadratu poniżej (z treści zadania wynika, że wszystkie figury są kwadratami) składa się dwóch kwadracików:

Czy możemy zgadywać? Na pierwszy rzut oka chciałoby się napisać, że poniższy ciemnoczerwony kwadrat ma bok złożony z czterech kwadracików: :00 :00 :00 :00 7:00 8:00 :00 Ile części pomalował Kazik samodzielnie w sobotę? W sobotę o :00 dołączył do niego wujek. Do tego momentu, czyli pomiędzy :00 a :00 Arek pomalował dwie części płotu z sześciu: Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem gdyż optycznie ( na oko ) widzimy, że poniżej jest miejsce tylko na jeden kwadracik zaznaczony ciemnoczerwonym kolorem: :00 :00 :00 Zatem w momencie przyjścia wujka (:00) zostały do pomalowania cztery kawałki płotu zaznaczone na czarno powyżej. Jak podzielą się pozostałą pracą Arek z wujkiem? Ponieważ wujek pracuje trzy razy szybciej od Arka to z pozostałych czterech kawałków Arek pomaluje jeden kawałek, zaś wujek trzy kawałki: 7

Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Podobnie poniżej czerwone kwadraciki są przystające do różowego z uwagi na wspólne ciemnoczerwone boki również mają równe pola: Tą część pomaluje Arek Te części pomaluje wujek Arka Ile czasu Arek z wujkiem będą malować swoje części? Pamiętamy, że Arek maluje jeden kawałek w godzinę. Czyli właśnie godzinę zajmie. Arkowi pomalowanie jednego kawałka z pozostałych czterech. wujkowi pomalowanie trzech kawałów z pozostałych czterech (trzy razy szybszy od Arka) Rozumując analogicznie otrzymujemy, że wszystkie poniższe różowe kwadraciki są przystające czyli mają równie pola: 8

Sposób rozwiązania zadania Powielając małe kwadraciki wśród większych kwadratów, obliczymy, że lewy bok dużego niebieskiego kwadratu składa się z różowych kwadracików. Zatem każdy bok dużego, niebieskiego kwadratu składa się z kwadracików. Czyli liczba różowych kwadracików w niebieskim kwadracie to: kwadracików w wierszu * wierszy w pionie czyli różowych kwadracików. Szczegółowe rozwiązanie zadania Kwadraty przystające do jednostkowych kwadratów W naszym w zadaniu wszystkie figury na rysunku są kwadratami. Ponieważ różowy i czerwony kwadracik poniżej mając wspólny ciemnoczerwony bok więc są to kwadraty przystające czyli mają równe pola. Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę O której godzinie Arek z wujkiem skończą malowanie? Czyli otrzymujemy, że pozostałą pracę od chwili dołączenia się wujka (pomalowanie czterech pozostałych kawałków), Arek i wujek wykonają w godzinę. Ponieważ wujek dołączył do Arka o :00 więc całą pracę ukończą :00:

Kawałki płotu pomalowane tylko przez Arka Kawałki płotu, które Arek i wujek pomalują razem :00 :00 :00 :00 Tą część pomaluje Arek Zajmie mu to godzinę Te części pomaluje wujek Arka Zajmie mu to godzinę Odpowiedź: Arek i wujek skończyli pracę w sobotę o :00. a a W matematyce zamiast takie same, mówimy, że kwadraty są przystające. Czyli powyższe kwadraty są przystające. Powyższe kwadraty są przystające, gdyż jak zaznaczono kolorem ciemnoczerwonym mają jeden bok tej samej długości a. Kwadraty przystające (potocznie takie same) mają równe długości boków, przekątnych no i oczywiście równe miary kątów, gdyż wszystkie kąty w kwadracie są proste. Kwadraty przystające mają również równe pola. Poniżej tym samym kolorem zaznaczono odpowiadające sobie elementy w dwóch przystających kwadratach. a a 70

Zestaw IV Zadanie nr Treść zadania Z ilu najmniejszych kwadracików (dwa z nich zaznaczono na różowo) składa się duży kwadrat o niebieskim obwodzie? Teoria przystawanie kwadratów Jeśli dwa kwadraty mają choć jeden bok tej samej długości to możemy powiedzieć, że są takie same, tak jak poniższe kwadraty: Zadanie nr Treść zadania Kazik zawsze w sobotę obiera ziemniaki dla całej rodziny. Jednak robi to bardzo wolno i cała praca zajmuje mu prawie godzinę, a dokładnie minut. W ostatnią sobotę zlitowała się nad nim siostra Lusia, która obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika. Lusia widząc brata obierającego ziemniaki, wzięła nóż i także przystąpiła do obierania. W ten sposób, od chwili gdy Kazik wziął pierwszy ziemniak, do zakończenia obierania ziemniaków przez obydwoje rodzeństwa minęło tylko minut! Po ilu minutach samotnego obierania ziemniaków przez Kazika, Lusia przystąpiła do pracy? Rozwiązanie sposób I Uwagi i szkic rozwiązania Liczy się pomysł Ten sposób rozwiązania zadania wymaga wytężenia umysłu i chwili zastanowienia się. Opiera się na pomyśle, który musi przyjść nam do głowy w trakcie konkursu. Jeśli wpadniemy na pomysł, to zadanie rozwiązuje się w minuty. Prawdopodobnie autorowi zadania chodziło, by rozwiązać problem właśnie w poniższy sposób. 0 7

Obrane ziemniaki przez Lusię kluczem do rozwiązania zadania Gdy Lusia zaczyna pomagać Kazikowi to mają do obrania pewną liczbę ziemniaków. Kazik obierze pewną część (x), zaś Lusia cztery razy więcej (x). Jednak gdyby nie Lusia to Kazik obierałby te x ziemniaków przez minut minut czyli przez 0 minut. Zatem x ziemniaków Kazik obiera w 0 minut. Ponieważ w czasie wspólnego obierania Kazik obrał właśnie x ziemniaków, więc Kazik i Lusia obierali razem ziemniaki przez 0 minut. Ponieważ od Kazik zajmował się obieraniem ziemniaków minut więc Lusia przyszła mu do pomocy po minut 0 minut = minucie. Objętość sześcianu Objętość sześcianu liczymy podnosząc długość boku do trzeciej potęgi: V = ( x) = x = 8x Ponieważ x = więc otrzymujemy: V = 8x = 8 = 8 7 = Odpowiedź: Objętość sześcianu wynosi. Szczegółowe rozwiązanie zadania Jak pracuje Kazik sam? Gdy Kazik pracuje sam to mamy sytuację jak na rysunku poniżej: minut a Kazik zaczyna obieranie z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam 7

x = Są dwie liczby: oraz -, które podniesione do kwadratu dają. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: x = Obliczamy objętość sześcianu x x x x x Sześcian ma wszystkie krawędzie długości x. Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = i policzyć objętość sześcianu o krawędzi. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie objętość sześcianu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. Co zmienia Lusia? W pewnym momencie do pracy przychodzi Lusia, co możemy pokazać na rysunku następująco: a Kazik zaczyna obieranie b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą minut pozostała praca z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Gdy Lusia zaczyna pracować, to została im do wykonania pewna praca. Jak podzielą się to pracą Lusia i Kazik? Lusia wykonuje razy więcej pracy od Kazika w tym samym czasie. Zatem całą pracę musimy podzielić na części. Lusia wykona części z tej pracy (x), zaś Kazik tylko jedną część (x). Co z czasem? Z powyższego wynika następujący diagram: 8 7

a Kazik zaczyna obieranie minut minut 0 minut x b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika x z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Od chwili b (gdy Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą) do chwili c (końca ich wspólnej pracy) Kazik wykona swoją część całej pracy: x. Co z pozostałą pracą x? Jak powiedzieliśmy wykona ją Lusia. Ale pamiętajmy jest to czterokrotność pracy Kazika od b do c. Gdyby nie Lusia, to Kazik przez 0 minut (zaoszczędzone mu przez Lusię) musiałby wykonać cztery razy tyle co wykonał od b do c. Czyli otrzymujemy, że czterokrotność pracy Kazika to 0 minut. Zatem od b do c Kazik pracował tylko 0 minut. Uzupełniamy diagram Teraz możemy już uzupełnić diagram: Takie ściany są dwie. E. Różowe ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. F. Błękitne ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 8x + x + x = x + 8x + x = x + x = 8x Obliczamy x Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi. Prowadzi nas to do równości P d = 8x = 8x = x = x = 8 7 : 8 = 7 7

Obliczamy x korzystając z pola powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: x x x x x Obliczymy w zależności od x pole powierzchni dużego prostopadłościanu złożonego z dwóch małych prostopadłościanów. Następnie porównamy uzyskaną wielkość z polem powierzchni dużego prostopadłościanu danym w zadaniu, czyli liczbą. W ten sposób obliczymy x. Pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: D. Żółte ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = 8x a Kazik zaczyna obieranie minut minut 0 minut minuta 0 minut 0 minut b Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą c Koniec pracy Lusi i Kazika z Koniec pracy gdy Kazik cały czas obiera sam Widzimy więc, że Lusia przyszła Kazikowi z pomocą już po minucie! Znaczy się kochana siostra. Odpowiedź: Lusia przystąpiła do pracy po minucie samotnego obierania ziemniaków przez Kazika. Rozwiązanie sposób II Uwagi i szkic rozwiązania Brutalne rozwiązanie Jest to rozwiązanie siłowe, pozbawione jakiegokolwiek pomysłu. Układamy równanie i musi nam wyjść prawidłowy wynik. Jednak takie podejście wymaga następujących umiejętności:. Musimy bardzo dobrze operować na wyrażeniach algebraicznych. Zachęcamy do odwiedzenia stron: 7

http://www.cauchy.pl/podstawowa/wyrazeni a_algebraiczne/ http://www.cauchy.pl/gimnazjum/wyrazenia algebraiczne/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy bardzo dobrze operować równaniami. Zachęcamy do odwiedzenia strony: http://www.cauchy.pl/gimnazjum/rownania/ gdzie znajdziesz wiele przykładów z rozwiązaniami. Musimy uważać na jednostki. Na przykład, jeśli Kazik obiera całość sobotnich ziemniaków (oznaczmy jako z ) przez minut ( m ) to prędkość jego obierania z wynosi m. Słowo przez jest odpowiednikiem kreski ułamkowej. Dlatego z jest w liczniku, zaś m w mianowniku. Nieprawidłowe są następujące zapisy: z a. - oznacza, że obieramy pięć m zestawów sobotnich ziemniaków w ciągu godziny m b. - zapis w ogóle nie oznacza z prędkości obierania ziemniaków. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż trzeciej krawędzi x x x x x Wszystko się zgadza z treścią zadania Zauważmy, że. Przypadek i Przypadek dają nam ten sam prostopadłościan o wymiarach x, x, x tylko inaczej ułożony. Jest to właśnie duży prostopadłościan określony w warunkach zadania. Przypadek daje nam sześcian o boku x. Jest to sześcian określony w warunkach zadania. Tak więc mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x jest właśnie tym prostopadłościanem o którym mówi treść zadania: Zrozumienie treści zadania Teraz rozwiązanie zadania będzie banalne. Zobaczmy jak ważne jest zrozumienie treści zadania. 7

Powyższy mały prostopadłościan o wymiarach x, x, x można złożyć wzdłuż jednej z krawędzi. Otrzymujemy w ten sposób różne sytuacje pokazane poniżej. Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż pierwszej krawędzi x x x x x Przypadek : Składamy mały prostopadłościan wzdłuż drugiej krawędzi x x x x x Prędkość i równanie Najpierw stwierdzimy, że prędkość obierania z ziemniaków Kazika to, zaś prędkość m z obierania ziemniaków Lusi to. Zatem przez m z m minut Kazik obierze = z sobotnich m ziemniaków Lusia pomaga w czasie t w którym z t obierze sobotnich ziemniaków. Razem obiorą m wszystkie sobotnie ziemniaki (czyli z ) co daje nam równanie: z m z t + = d m m z którego obliczamy, że Lusia pomagała Kazikowi 0 minut, czyli przyszła z pomocą po minucie. Szczegółowe rozwiązanie zadania Oznaczenia z - całość ziemniaków obieranych każdej soboty. Każdej soboty jest dokładnie taka sama ilość ziemniaków do obrania m - jedna minuta v K - prędkość obierania ziemniaków przez Kazika v L - prędkość obierania ziemniaków przez Lusię 77

Prędkość obierania ziemniaków przez Kazika Kazik obiera sobotnią porcję ziemniaków przez minut. Zatem jego prędkość obierania ziemniaków v K wynosi: z v K = m Możemy to interpretować, że Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków w ciągu minut. Prędkość obierania ziemniaków przez Lusię Lusia obiera ziemniaki cztery razy szybciej od Kazika, więc jej prędkość obierania ziemniaków v L wynosi: z z vl = vk = = m m Możemy to interpretować, że Lusia obierze cztery zestawy sobotnich ziemniaków przez minut. Ile porcji sobotnich ziemniaków obierze każde z nich przez określony czas? Co oznaczają obliczone powyżej prędkości obierania sobotniego zestawu ziemniaków? Jeśli mamy dany czas to możemy obliczyć jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Kazik przez ten dany czas. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków prze 7 minut to w tym czasie obierze: Szczegółowe rozwiązanie zadania Zrozumieć treść zadania! Żeby rozwiązać zadanie trzeba zrozumieć jego treść. W naszym przypadku oznacza to, że powinniśmy zastanowić się jakie wymiary musi mieć mały prostopadłościan by dwa takie małe prostopadłościany:. przy jednym sposobie złożenia dały inny, duży prostopadłościan. przy innym sposobie złożenia dały nam sześcian Po chwili rysowania i małego kombinowania okazuje się, że mały prostopadłościan musi mieć wymiary jak poniżej: x x x Prostopadłościan ten ma dwie krawędzie identycznej długości (zaznaczone kolorem czerwonym o długości x), zaś ostatnia krawędź jest dwukrotnie krótsza od pozostałych (zaznaczona kolorem zielonym o długości x). Czy powyższy mały prostopadłościan spełnia warunki zadania? 78

Zadanie nr 8 zadanie z kuratoryjnego konkursu matematycznego 008/00, etap III, SP Treść zadania Sklejając dwa identyczne prostopadłościany, można otrzymać prostopadłościan o polu powierzchni całkowitej lub sześcian. Jaka jest objętość sześcianu? Przedstaw sposób rozwiązania. Sposób rozwiązania zadania. Najpierw określimy sobie jakie proporcje musi mieć pojedynczy mały prostopadłościan by spełniał warunki zadania. Okaże się, że wymiary pojedynczego małego prostopadłościanu to: x, x, x.. Ponieważ duży prostopadłościan zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, x, więc jego pole wynosi z jednej strony 8x, zaś z drugiej. Z powyższej zależności obliczymy, że x =.. Ponieważ sześcian zbudowany z małych prostopadłościanów ma wymiary x, x, x, więc będziemy mogli obliczyć, że jego objętość wynosi. z z 7m z 7 v K 7m = 7m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 7 minut Kazik obierze części sobotniego zestawu ziemniaków. Jeśli Kazik obiera sobotni zestaw ziemniaków przez 0 minuty (h minuty) to w tym czasie obierze: z z 0m z 0 v K 0m = 0m = = = m m z = = z Otrzymujemy, że w ciągu 0 minut (h minuty) Kazik obierze dwa zestawy sobotnich ziemniaków. Wydaje się to rozsądne, gdyż w ciągu minut obiera jeden taki zestaw. Podobnie możemy obliczać jaką część sobotniego zestawu ziemniaków obierze Lusia w określonym czasie. Jeśli Lusia obiera ziemniaki przez minuty to w tym czasie obierze: z z m z z v L m = m = = = = m m 7 z = = z 7 7 7

Otrzymujemy, że w ciągu minut Lusia obierze 7 sobotniego zestawu ziemniaków. Podział pracy gdy Lusia przyszła z pomocą minuta 0 Kazik zaczyna obieranie Część sobotnich ziemniaków obrana przez Kazika: p K = v K*m minuta x Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą Część sobotnich ziemniaków obrana przez Lusię: p = v *t L L t minuta Koniec pracy Lusi i Kazika Ile sobotnich ziemniaków obrał Kazik? W naszej sytuacji (gdy Lusia przychodzi z pomocą po x minutach) Kazik pracował minut. W tym czasie Kazik obrał pewną część sobotnich ziemniaków. Możemy ją obliczyć jak poniżej ( p K - obrana przez Kazika część sobotnich ziemniaków w ciągu minut): z z m pk = vk m = m = m m () Celowo nie skracamy miana minut, gdyż później będziemy musieli mieć w mianowniku m by Teraz już łatwo obliczyć pole powierzchni ( P d ) dużego prostopadłościanu: P d = P + P + P = 7x + x + x = x + 8x + x = 7x + x = 78x Ponieważ x = cm więc otrzymujemy: P d = 78x = 78 (cm) = 78 cm = 8cm Odpowiedź: Pole powierzchni dużego prostopadłościanu wynosi 8 cm. = 80

Liczmy na literkach (w zależności x) Możemy od razu podstawić x = cm i policzyć pole powierzchni dużego prostopadłościanu, gdyż otrzymamy krawędzie o długościach cm, cm oraz cm. Jednak bardziej elegancko jest policzyć ogólnie pole powierzchni dużego prostopadłościanu w zależności od x. Pozwoli nam to również poćwiczyć działania algebraiczne, które są bardzo potrzebne w zadaniach konkursowych jak również w życiu codziennym. I co najważniejsze zmniejszają prawdopodobieństwo popełnienia błędu w zadaniach. Pole powierzchni dużego prostopadłościanu Duży prostopadłościan ma trzy rodzaje ścian: A. Żółte ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = 7x Takie ściany są dwie. B. Różowe ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. C. Błękitne ściany o wymiarach x na x Pole powierzchni ( P ) jednej takiej ściany to: P = x x = x Takie ściany są dwie. dodać ułamki (ziemniaki obrane przez Kazika i Lusię). z m Otrzymujemy, że Kazik obrał = z m sobotnich ziemniaków w ciągu minut. Ile sobotnich ziemniaków obrała Lusia? Lusia nie pracowała cały czas. Oznaczmy czas pracy Lusi jako t. W tym czasie Lusia obrała pewną część sobotnich ziemniaków, którą możemy obliczyć jak poniżej ( p L - obrana przez Lusię część sobotnich ziemniaków w czasie t ): z z t pl = vl t = t = m m () z t Otrzymujemy, że Lusia obrała części m sobotnich ziemniaków w czasie w którym pomagała Kazikowi (t ). Układamy równanie W efekcie, Kazik i Lusia obrali całość sobotnich ziemniaków. Oznacza to, że suma części sobotnich ziemniaków: p K (część obrana przez Kazika) oraz p L (część obrana przez Lusię) daje całość sobotnich ziemniaków (czyli z ). Możemy to zapisać jak poniżej: pk + pl = z 0 8

Wystarczy podstawić obliczone powyżej () i () wartości p K oraz p L by otrzymać równanie: z m z t + = d m m zm + zt = z m m zm + zt = zm zt = zm zm zt = 0zm t = 0m t = 0m : : z ( mozemy zerem dzielic jako przez calosc z, gdyz z ziemniakow) Otrzymujemy, że Lusia pomagała Kazikowi przez 0 minut. nie jest x = cm 7 8 x = cm x = cm Są dwie liczby: oraz -, które podniesione do kwadratu dają. Ponieważ x to długość odcinka więc musi być dodatnia. Otrzymujemy, że: x = cm Obliczamy pole powierzchni dużego prostopadłościanu Ponieważ duży prostopadłościan dla przypadku i przypadku jest taki sam (tylko leży na innym boku) więc nie ma znaczenia który z nich wybierzemy do obliczenia pola powierzchni. Niech będzie to poniższy prostopadłościan: O której godzinie Lusia przyszła z pomocą? m t = 0m minuta 0 Kazik zaczyna obieranie minuta Lusia przychodzi Kazikowi z pomocą minuta Koniec pracy Lusi i Kazika x x x x x x 8