DROGI i CYKLE HAMILTONA w grfh kierownh Dl grfu kierownego D = ( V, A ) rogą wierhołk 0 V o V nwm iąg (npremienn) wierhołków i łuków grfu: ( 0,,,,...,,, ), pełniją wrunek i = ( i, i ) l i =,..., rogę nwm elemenrną jeśli wkie wierhołki w iągu ą różne, klem nwm rogę, l kórej 0 = (rog mknię), rogę elemenrną, kór wier wkie wierhołki grfu nwm rogą Hmilon, rogę możn uożmić l uproeni iągiem łuków leżnh (,..., ) lu wierhołków ąienih ( 0,,..., ). Twierenie (Nh, Willim, 969) + n n Jeśli D je grfem kierownm e pęli, w kórm ( ) i ( ) l kżego wierhołk, o w D inieje kl Hmilon. Twierenie (Meniel, 97) Jeśli D je ilnie pójnm grfem kierownm e pęli o n wierhołkh i l owolnej pr wierhołków, niepołąonh krwęią (nieleżnh) hoi wrunek ( ) + ( w) n, o w D inieje kl Hmilon. Grf kierown e pęli nwm urniejem, jeśli l kżej pr wierhołków u i wier on okłnie jeen łuk: lo (u, ), lo (, u). urniej może repreenowć wniki pokń pr ueniąh w rogrwkh pu kż kżm (e remiów) Prkł urnieju wg: en urniej nie je ilnie pójn (nie m np. rogi o ) Twierenie (Réei, 94) Kż urniej wier rogę Hmilon. Twierenie (Thomen, 98) uupełnienie w. Réei W urnieju rog Hmilon n ię w wierhołku, kór m njwż opień wjśiow, i koń ię w wierhołku, kór m njwż opień wejśiow. Prkł rogi Hmilon w urnieju rogi Hmilon: (,,, ), (,,, ) i (,,, ) Twierenie (Cmion, 959) Kż ilnie pójn urniej wier kl Hmilon. MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron / 7
Prkł klu Hmilon w urnieju kl Hmilon: (,,,, ) SPÓJNOŚĆ grfu Grf (niekierown) G = ( V, E ) je pójn, jeśli l kżej pr wierhołków inieje rog łąą e wierhołki; grf pójn m jeną kłową pójną (ożmą m grfem), grf niepójn m o njmniej wie kłowe pójne. Twierenie Jeśli grf G m n wierhołków i k kłowh pójnh, o li jego krwęi m pełni ( n k)( n k + ) nierównośi: n k m Prkł grfu niepójnego o mkmlnej liie krwęi 4 5 8 6 7 4 l n = 8 i k = 5 mkmln li krwęi wnoi m = = 6 Wnioek ( n )( n ) Kż grf o n wierhołkh i pon krwęih je pójn. Ziorem ropjjąm grf pójn G nwm ki poiór jego krwęi, kórego uunięie powi en grf pójnośi. Minimlnm iorem ropjjąm (roięiem) grfu G nwm ki iór ropjją, l kórego żen jego poiorów włśiwh nie je iorem ropjjąm. Prkł iorów ropjjąh e e 6 5 e e e 5 e 7 4 { e, e, e 4 } - iór ropjją, { e, e 4 } i { e, e, e 4 } - minimlne ior ropjjąe e 4 Spójnośią krwęiową λ (G) grfu pójnego G nwm njmnieją mo jego ioru ropjjąego. Grf nwm k-pójnm krwęiowo, jeśli λ (G) k MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron / 7
Prkł e e 6 5 e e e 5 e 7 e 4 4 λ(g) =, grf -pójn krwęiowo Ziorem roieljąm grf pójn G nwm ki poiór jego wierhołków, kórego uunięie powi en grf pójnośi. Minimlnm iorem roieljąm grfu G nwm ki iór roielją, l kórego żen jego poiorów włśiwh nie je iorem roieljąm. Spójnośią wierhołkową κ (G) grfu pójnego G nwm njmnieją mo jego ioru roieljąego. Grf nwm k-pójnm (wierhołkowo), jeśli κ (G) k Prkł ioru roieljąego 5 4 {,, 4 } - iór roielją, {, 4 } i {, 4 } - minimlne ior roieljąe κ (G) =, grf -pójn (wierhołkowo) Twierenie Dl kżego pójnego grfu G hoi nierówność κ (G) λ(g). Dowó Ze ioru wierhołków inennh roięiem o njmniejej mo uuwm jeen wierhołek kżej pr wierhołków ąienih. Powje iór roielją grf G o mo nie więkej niż λ(g). Rowżm grf pójn G = ( V, E ) or prę wróżnionh wierhołków, w V ( w ): wie rogi o w nwm krwęiowo rołąnmi, jeśli nie mją one wpólnh krwęi, wie rogi o w nwm wierhołkowo rołąnmi, jeśli nie mją one wpólnh wierhołków ( wjąkiem i w). iorem ropjjąm wierhołki i w nwm ki poiór krwęi grfu, że kż rog łąą wierhołki i w wier krwęź ego poioru. iorem roieljąm wierhołki i w nwm ki poiór wierhołków nleżąh o V \ {, w}, że kż rog łąą wierhołki i w wier wierhołek ego poioru. MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron / 7
Prkł róg rołąnh i iorów ropjjąh i roieljąh f g w e h (,,, h, w) i (,,, f, w) - rogi rołąne krwęiowo, (,,, h, w) i (,, e, i, w) - rogi rołąne wierhołkowo, {{, }, {, }, {e, h}, {e, i}} i {{, }, {, }, {, }} - ior ropjjąe i w {, e } i {,, h, i } - ior roieljąe i w Twierenie (Menger w werji krwęiowej) Mkmln li róg krwęiowo rołąnh, łąąh w różne wierhołki i w w grfie pójnm G, je równ minimlnej liie krwęi w iore ropjjąm i w. Twierenie (Menger w werji wierhołkowej, Menger 97) Mkmln li róg wierhołkowo rołąnh, łąąh w różne wierhołki nieąienie i w w grfie pójnm G, je równ minimlnej liie wierhołków w iore roieljąm i w. Wnioek Grf je k-pójn krwęiowo we i lko we, g kż pr różnh jego wierhołków je połąon prnjmniej k rogmi krwęiowo rołąnmi. Wnioek Grf o o njmniej k+ wierhołkh je k-pójn (wierhołkowo) we i lko we, g kż pr różnh jego wierhołków je połąon prnjmniej k rogmi wierhołkowo rołąnmi. PRZEPŁYWY W SIECIACH Sieią nwm prę uporąkowną S = ( D, ), gie: D = ( V, A ) je grfem kierownm, : A R + je funkją, kór prporąkowuje łukowi (u, ) lię rewią nieujemną (u, ), nwną prepuowośią łuku; w grfie D wróżnione ą w wierhołki, V ( ) nwne: źrółem, ujśiem iei. Prkł iei i 6 Prepłwem o w iei S nwm funkję f : A R +, pełnijąą nępująe wrunki: MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron 4 / 7
. 0 f (u, ) (u, ) l kżego (u, ) A. f (, u) f ( u, ) = 0 l kżego V \ {, } + ( ) ( ) Prkł prepłwu w iei 5 (6) () () 0 () () () () () () () Wrośią prepłwu f nwm lię W(f ) wnoną wg woru: W ( f ) = f (, u) f ( u, ) = f ( u, ) + + ( ) ( ) Prkł wnni wrośi prepłwu w iei ( ) f (, u) W(f ) = f (, ) + f (, ) f (, ) = 5 + = 7 lu W(f ) = f (, ) + f (, ) + f (, ) = + + = 7 Dl niepuego poioru wierhołków V ( C ) opowijąm mu prekrojem iei nwm iór łuków P = A ( ( V \ ) ) = { (u, ) A : u, V \ } Prepłwem pre prekrój P nwm lię f () = f ( u, ) Prkł wnni prepłwu pre prekrój ( u, ) P ( ) 5 0 Poior wierhołków: = {,, }, V \ = {,, } opowiją mu prekrój iei: P = { (, ), (, ), (, ) } i prepłw pre en prekrój f ({,, }) = f (, ) + f (, ) + f (, ) = = 5 + + = 9 Lem Jeśli i \ C, o l owolnego prepłwu o hoi W(f ) = f () f (V \ ), gie f () o prepłw pre prekrój P, f ( \ C) o prepłw pre prekrój P V \. MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron 5 / 7
Prkł V \ 5 0 Poiór wierhołków: = {,, }, opowiją mu prekrój iei: P = { (, ), (, ), (, ), (, ) } i prepłw pre en prekrój f ({,, }) = 5 + + 0 + = 9 V \ 5 0 Poiór wierhołków: V \ = {,, }, opowiją mu prekrój iei: P V \ = { (, ), (, ) } i prepłw pre en prekrój f ({,, }) = + = ; 7 = W(f ) = f ({,, }) f ({,, }) = 9 = 7 Prepuowośią prekroju P nwm lię () = ( u, ) P ( u, ) Prkł wnni prepuowośi prekroju 6 ({,, }) = 6 + + = Minimlnm prekrojem mię i nwm ki prekrój P mię źrółem i ujśiem ( i V \ ), l kórego prepuowość je njmniej e wkih kih prekrojów. MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron 6 / 7
Twierenie (For, Fulkeron 955) W kżej iei mkmln wrość prepłwu o je równ prepuowośi minimlnego prekroju mię i. Prkł oowni wiereni m 6 Poiór m = {,, } wn minimln prekrój P m mię i o prepuowośi ( m ) = 7. Zem poniż prepłw o wrośi 7 je w ej iei prepłwem o mkmlnej wrośi. () 5 (6) () 0 () () () () () () () MATEMATYKA DYSKRETNA (7) J.Sikorki Sron 7 / 7