Rozszerz swoje horyzonty MATEMATYKA. dla dociekliwych licealistów. Zadania i nie tylko FUNKCJE

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rozszerz swoje horyzonty MATEMATYKA. dla dociekliwych licealistów. Zadania i nie tylko FUNKCJE"

Mariusz Leśniak
5 lat temu
Przeglądów:

1 Rozszerz swoje horyzonty MATEMATYKA dla dociekliwych licealistów Zadania i nie tylko FUNKCJE

2 Spis treści Część I Wstęp LICZBY FUNKCJE CIĄGI KOMBINATORYKA GEOMETRIA PŁASKA TRYGONOMETRIA GEOMETRIA ANALITYCZNA Rozwiązania zadań Część II 8. STEREOMETRIA 9. PRAWDOPODOBIEŃSTWO I STATYSTYKA 10. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY Rozwiązania zadań

3 Wstęp Autor

4 1. LICZBY Liczby naturalne N {0, 1, 2, 3, } Z { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, } p Q q : p, q q Z Z i 0 to te i z y, kt re nie a z si rze stawi w osta i a ka aj e o i w i znik, i w ianownik i z a kowit. i z y wy ierne i niewy ierne raze tworz z i r i z R. o r znika szko ny i z y a kowite ozna zane s rzez C, wy- ierne rzez W, a e w ksi ka aka e i ki wy ierne s Q, a a kowite Z, tak jak w a ej wiatowej iterat rze. Liczby całkowite. Dzielenie z resztą Twierdzenie 1.1 o zie eni z reszt a owo ny w i z a kowity a i b, b 0, istnieje ok a nie je na i z a a kowita q i ok a nie je na i z a a kowita r, 0 r b, e a q b r. i z a q jest a rzez b, a i z r nazywa y z te o zie enia. e i r 0, to wi y, e a zie i si rzez b ez reszty. akt, e i z a a kowita a zie i i z a kowit b ez reszty, za- is je y a b. a i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. i z reszt z zie enia 14 rzez 3. a 14 4 ( 3) 2. oraze jest 4, reszt oraze jest 4, a reszt oraze jest 5, a reszt ( 3) 1. oraze jest 5, a reszt 1.

5 6 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I W W 2 a b a b. W 3 a b jest q a b jest q. W 4 a b a b. W 5 a c jest r 1 b c jest r 2, c a b i r 1 r 2 a b i r 1 r 2 ab i r 1 r 2 W r a b r b. W 2 i W 3 a qb r, to a q( b) r. W 4 ka qb r, to a kb (q k) b r. W 5 a q 1 c r 1, b q 2 c r 2. a b q 1 c q 2 c r 1 r 2 (q 1 q 2 )c r 1 r 2 a b q 1 c q 2 c r 1 r 2 (q 1 q 2 )c r 1 r 2 a b (q 1 c r 1 )(q 2 c r 2 ) q 1 q 2 c 2 q 1 r 2 c q 2 r 1 c r 1 r 2 (q 1 q 2 c q 1 r 2 q 2 r 1 )c r 1 r 2 c W 3 W, a i b c a c b

6 Dzielniki i wielokrotności. Indukcja matematyczna 1. Liczby ,,, Twierdzenie 1.2 A - m - a i b m ab. a i b m m m - a, i b m

7 8 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I m- A - Twierdzenie 1.3 A N A (0 A) k A k A A N. B A B - m m A m A, to i m A m A i B B A n 3, 4, 5, A jest {3, 4, 5, }. 2n 13 2n n 0, 1, 2, 3, An 2n 13 2n 2 jest 1. n A. k A 41 2(k 1) 13 2(k 1) k k k k ( ) 41 2k (41 2k 13 2k 2) ( ) 41 2k (41 2k 13 2k 2) 2 (13 2 1) (41 13)(41 13) 41 2k 13 2 (41 2k 13 2k 2) (41 13) 41 2k 13 2 (41 2k 13 2k 2) 28 ( k ) 13 2 (41 2k 13 2k 2) 28 6 ( k ) 13 2 (41 2k 13 2k 2) 168 ( k ) 41 2k 13 2k k A. 168 ( k ) 2(k 1) 13 2(k 1) 2 jest k 1 A.

8 1. Liczby 9 A Nn 0, 1, 2, wyra- 2n 13 2n Twierdzenie 1.4 A N A (0 A) k k 1 - A, to k A A N. B A B mm 2, m A m A m A i B - B A a n, n a 1 1, a 2 3, a 3 n a n a n 1 a n 2 a n 3 - An, n a n 1. a 1, a 2, a 3 A. k a 1, a 2,, a k 1 - A a k a k 1 a k 2 a k 3 k A. A - a n, n - p p}.

9 10 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I {1, 2, 3, }. a i b a i b. NWD(a, b). a 0. NWD(0, 0) nie istnieje. NWD(a, b) NWD(b, a) NWD(a, 0) a NWD(a, a) a a b, to NWD(a, b) a. a a a i b a a b- a i b. a i b a i b a i b NWD(a, b) 1. Twierdzenie a, b Z a b NWD(a, b) NWD(a b, b). - 1

10 1. Liczby 11 NWD(a, b) NWD(a kb, b), ka b. Twierdzenie 1.6 a, b oraz a b k NWD(a, b) NWD(a k b, b). a i b a kb i b. a i b jest zawarty a kb i b c i a, i b a kb a, b i a kb i ba kb i b. a kb i b jest zawarty a i b c a kb i b(a kb) kb a a, i b, i a kba i b a i b. a i b b i a kb NWD(a, b) i NWD(a kb, b). a i b a b d NWD(a, b). b 0, to d a b - a i b NWD(437, 323) NWD(323, ) NWD(323, 114) NWD(114, ) NWD(114, ) NWD(114, 95) NWD(95, ) NWD(95, 19) NWD(19, ) NWD(19, 0) 19 a 5775 i b a i b.

11 12 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I NWD(5775, 2015). a 5775, b a b a 2b b a 2b b (a 2b) a 3b a 2b ( a 3b) 7a 20b a 3b 7a 20b a 3b 2(7a 20b) 15a 43b 7a 20b ( 15a 43b) 97a 278b a 43b a b a 43b 4 (97a 278b) 403a 1155b NWD(5775, 2015) NWD(5775, 2015) a i b xa yb x i y NWD(5775, 2015) NWD(a, b) a i b jest NWD(a, b). NWD(5776, 2016) jest NWD(5776, 2016). a b a 2b b a 2b b (a 2b) a 3b a 2b ( a 3b) 7a 20b a 3b

12 1. Liczby 13 7a 20b a 3b 2(7a 20b) 15a 43b 7a 20b 2 ( 15a 43b) 37a 106b a 43b 37a 106b a 43b 3 (37a 106b) 126a 361b NWD(5776, 2016) 16 i NWD(5776, 2016) Twierdzenie 1.7 a owo ny w nie je ny i z a i b, z kt ry rzynaj niej je na jest o atnia, istniej takie i z y a kowite x i y, e NWD(a, b) xa yb. o ejny krok a oryt k i esa zast je wyj iow ar i z a i b rzez niejsz ar i z a i b, zie a a i b b i rzynaj niej je na z ty nier wno i jest ostra, rzy zy i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. ast ny krok zast je ar a i b niejsz ar a i b, rzy zy i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. o ina ja iniowa ko ina ji iniowy i z a i b jest ko ina j iniow i z a i b, wi i a, i b s ko ina ja i iniowy i a i b. state znie NWD(a, b) jest ko ina j iniow i z a i b. ie i z y a i b nie je ne i rzynaj niej je na ni nie zie o atnia. a y ws ny zie nik i z a i b zie i r wnie NWD(a, b). s ny zie nik i z a i b zie i r wnie owo n ko ina j iniow i z a i b, a wi tak e i z NWD(a, b), kt ra jest ewn ko ina j iniow i z a i b. i r wszystki zie nik w i z y NWD(a, b) jest ty sa y z iore, o z i r ws ny zie nik w i z a i b. niosek 1 wi, e ws ny zie nik a i b zie i NWD(a, b). ato iast NWD(a, b) zie i i a i b i je i jaka i z a zie i NWD(a, b), to zie i i a, i b, zy i jest ws ny zie nikie a i b. Twierdzenie 1.8 twier zenie zo ta ie a i b wie a nie je ny i i z a i a kowity i, z kt ry rzynaj niej je na jest o atnia. aj niejsza o atnia ko ina ja iniowa o a kowity ws zynnika i z a i b jest r wna NWD(a, b).

13 14 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I a i b - a 1 b a b - a i b a i b a i b xa yb xa yb a a 0, to xa yb a a xa yb a a xa ybr, 0 r xa yb ka k(xa yb) r. r r (1 kx) a ky b, r a i b - xa yb a xa by b xa yb i a, i b a i b xa yb NWD(a, b) NWD(a, b)a i b xa yb NWD(a, b) xa yb xa yb NWD(a, b). Twierdzenie 1.9 a bc i NWD(a, b) 1, to a c. NWD(a, b) - a i b x i y NWD(a, b) 1 xa yb c c 1 c (xa yb) cx a y bc a c. - - Twierdzenie a a p 1 p 2 p n i a q 1 q 2 q m kie p i i q j p i q j a p i a p 1, p 2,, p n } {q 1, q 2,, q m } a p 1 p 1 q 1 q 2 q m 1 q m p 1 i q m - p 1 q 1 q 2 q m 1 p 1 q 1

14 1. Liczby 15 a i b to naj- a b NWW(a, b). Twierdzenie 1.11 a c i b c, to NWW(a, b) c. NWW(a, b) c q i r, 0 r NWW(a, b)c k NWW(a, b) r a c i b c, to i a r, i b r NWW(a, b)- a i b NWW(a, b) c. Twierdzenie 1.12 a, b i c NWD(ac, bc) c NWD(a, b) NWW(ac, bc) c NWW(a, b) NWD(ac, bc) xac ybc ac i ab xac ybc c(xa yb) xa bc a i b - NWW(ac, bc) ac bc c. NWW ( ac, bc) NWW ( ab, ac) = c ac a NWW ab, ac i bc NWW ac, bc c b ( ) = ( ) ( ) ( ) NWW(ac, bc) c NWW(a, b). NWW ac, bc NWW a, b c c NWW(a, b) acbc c NWW(a, b) NWW(ca, cb). Twierdzenie 1.13 a i b NWD(a, b) 1, to NWW(a, b) ab (NWD) NWD(882, 735) NWD( , )

15 16 Matematyka dla dociekliwych licealistów. Część I NWD(2(1 2 3 n), n 1) NWD(2(1 2 3 n) 1, n 1) NWD(2n 2 3n 1, n 1) 1.3. NWW(12, 28) NWW(47, 3) NWW(7 13, 13) NWW(n, n 1) NWW(2n 2 3n 1, n 1) 1.4. NWD(a, b, c) NWD(a, b, c) NWD(NWD(a, b), c) NWD NWD(234, 567, 890) a bcd i NWD(a, c) 1 i NWD(a, d) 1, to a b. Algorytm Euklidesa i odcinanie kwadratów m na n m n - - m l 2 l 1 n m 2n n n - n na n l 1 - n n na n l 2 m na n -

16 1. Liczby 17 - n na m 2n NWD(m, n). NWD(36, 21). NWD(36, 21) NWD(15, 21), NWD(15, 21) NWD(15, 6), NWD(15, 6) NWD(6, 3) - NWD(6, 3) NWD(0, 3) na 1. -

17 1. Liczby Rozwiązania zadań (3 4 ) 25 2 (2 4 ) (1 4 ) 25 2 (1 4 ) (3 4 ) (2 4 ) (3 4 ) (2 4 ) (3 4 ) (2 4 ) NWD(882, 735) NWD(735, 147) NWD(147, 0) 147 NWD( , ) NWD( , 1) NWD(1, 0) 1 NWD(n(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n 1 NWD(2(1 2 3 n) 1, n 1) NWD(n(n 1) 1, n 1) NWD(1, n 1) NWD(1, 0) 1 NWD((2n 1)(n 1), n 1) NWD(n 1, 0) n NWW(12, 28) 4 NWW(3, 7) NWW(47, 3) 47 3 NWW(7 13, 13) 13 NWW(7, 1) NWW(n, n 1) n(n 1) NWW((2n 1)(n 1), n 1) (n 1) NWW(2n 1, 1) (n 1)(2n 1)] 1.4. D(a) a, D(b) b i D(c)c. NWD(a, b, c)d(a) D(b) D(c). D(a) D(b) D(c). D(c) - NWD(a, b) - NWD(a, b) a i b D(a) D(b) (D(a) D(b)) D(c) D(a) D(b) D(c) a b, to NWD(a, b, c) NWD(a, b a, c) - D(a) D(b) D(a) D(b a). D(a) D(b)) D(c) D(a) D(b a)) D(c) - NWD(a, b, c) a i b a, b, c. NWD(234, 567, 890) NWD(234, , ) NWD(234, 99, 188) NWD(99, , ) NWD(99, 36, 89) NWD(36, , ) NWD(36, 27, 17) NWD(17, 10, 2) NWD(2, 0, 1) NWD(1, 0, 0) 1

Podobne dokumenty

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.