½º Ò ¾º ÈÖÞÝ º Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ Þ ÒÓ Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò Ù ÐÒÓ µ º Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å º ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò
Ò Ù Ý Ó Ò ÖÓÛ Ò Þ Û ØÓÖ ÐÓ ÓÛ Ó (, ) Ó ÔÓÛ Ò ÔÖ Ý ( ½, ½ ),( ¾, ¾ ),... Ø Ö Þ Ù Ñ Å Ö ÓÛ Ó Þ ÒÝÑ ÖÓÞ Þ Ø ÓÒ ÖÒÝÑ (Ü, Ý)º Ð ÓÖÝØÑ ÏÝ ÖÞ ÓÛÓÐÒ Û ÖØÓ ÔÓÞ Ø ÓÛ ¼ = Ü ¼ º Ï ÓÐ ÒÝ ÖÓ Ø = ½, ¾,... ÐÓ Ù ½º ÞÑ ÒÒ Ø Þ ØÓ (. Ü Ø ½ ) ¾º ÞÑ ÒÒ Ø Þ ØÓ (. Ý Ø ) X t-1 Y t-1 X t Y t ÑÝ ÔÓØÖ ÑÝ Ò ÖÓÛ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Ð ØÓ Û ÖÙÒ ÓÛÝ º
ÈÓ ( Ø ) ( Ø ) Ö ÛÒ Ù Ñ Å Ö ÓÛ º Ð ( Ø ) ÖÓ ÔÖÞ Ñ ÔÓ Ø Ã(Ü, Ü ) = (Ý Ü) (Ü Ý) Ý Ð Ó Ù ÔÓ Û ÖÓÞ Ñ Ø ÓÒ ÖÒÝÑ Ó ÔÓÛ Ò ØÓ ÖÞ ÓÛ ÓÖ Þ µ (Ü ) = Ã(Ü, Ü ) (Ü) Ü ÅÓ Ð Ö Ù Ý ÒÝ Â Ð ÙÒ Ø ØÖÙ Ò Ó ÛÝ Ò ÖÓÛ Ò ÑÓ Ò ÛÔÖÓÛ Þ ÞÑ ÒÒ ÔÓÑÓÒ Þ ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð µ Ò ÖÓÛ Ó ÔÓÛ Ò ØÓ Û ÖÙÒ ÓÛ (Ü Ý) ÓÖ Þ (Ý Ü)º
ÈÖÞÝ ¹ Ò Þ ÖÙÔÓÛ Ò ÒØ Ò ÝÛÒÓ ¼ ½ ¾ Û Ðº Ó ÖÛº ½ ½¾ ¾ ½ Ç ÖÛ Ü ½,..., Ü Ò ÔÓ Ó Þ Þ ÖÓÞ Ù ÈÓ ÓÒ P(λ) È( ) = λ! λ ÑÝ ÛÝÞÒ ÞÝ ØÝÑ ØÓÖ Ý Ô Ö Ñ ØÖÙ λº ÙÒ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ä(λ Ü ½,..., Ü ) λ λ ½ ¼+½¾ ½+ ¾+¾ ½ λ X =¼! ½ λ! ÏÔÖÓÛ Þ Û ØÓÖ Ý = (Ý ½,..., Ý ½ ) Ð ½ ³ Ö Ù Ý ³ Ó ÖÛ ÙÒ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ô ÒÝ ÒÝ µ ÑÓ ÑÝ ÔÖÞ Ø Û Û ÔÖÓ Ø Þ ÔÓ Ø Ä (λ Ü ½,..., Ü, Ý ½,..., Ý ½ ) ¼λ λ ½ +P ½ =½ Ý
ÈÖÞÝ µ ÏÝ Ö ÖÓÞ Ù ÔÖ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÙ λ π(λ) = ½/λ ÊÓÞ ÔÖ ÓÖ Ò ØÙÖ ÐÒ ÔÖÞ ÓÒÝ Ð Ô ÛÒÝ ÛÝ ÓÖ Û ÖÓÞ Ù ÔÖ ÓÖ ÖÓÞ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ñ Ø Ñ Ð Ö ÞÒ ÔÓ Ø ÖÓÞ ÔÖ ÓÖ Ò Þ Ð Ò Ó Ð Þ ÒÓ ÔÖ Ý Û ÖØÓ Ó ÖÛ º ÌÛ Ö Þ Ò º Â Ð Ó ÖÛ Ü ½,..., Ü Ò ÔÓ Ó Þ Þ ÖÓÞ Ù ÈÓ ÓÒ P(λ) ÖÓÞ ÔÖ ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÙ λ Ø ÖÓÞ Ñ ÑÑ G (α, β) ØÓ ÖÓÞ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÙ λ Ø ÖÓÞ Ñ ÑÑ G (α + P Ü, β + Ò)º Ä(Ü ½,..., Ü Ò λ) λ P Ü Òλ π(λ) λ α ½ βλ π(λ Ü ½,..., Ü Ò) Ä(Ü ½,..., Ü Ò λ) π(λ) λ α+p Æ Û Û ÖÓÞ Ý ÔÖ ÓÖ Ð α ¼, β ¼ π(λ) ½/λ Ü ½ (β+ò)λ
ÈÖÞÝ µ ÊÓÞ ÔÓ Ø Ö ÓÖ Ô Ö Ñ ØÖÙ λ π(λ, Ý ½,..., Ý ½ Ü ½,...,Ü ) ¼λ λ ½ +P ½ =½ Ý ½ Ð ÓÖÝØÑ Ð Û ÖØÓ λ Ø ½ ½º ÏÝÐÓ Ù (Ø) Þ ÖÓÞ Ù P(λ (Ø ½) ) Ð Ý ( = ½,..., ½ ) ¾º ÏÝÐÓ Ù λ (Ø) Þ ÖÓÞ Ù G ( ½ + ½ =½ Ý(Ø), ¼)
ÈÖÞÝ µ ØÝÑ ØÓÖ ³Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ ÞÓÛ Òݳ Ì = ½, ¾,..., ¼¼ Ø Ö µ δ Ö = ½ Ì Ì [ ] E λ Ü ½,...,Ü, Ý (Ø) ½,..., Ý(Ø) ½ = ½, ¼¾¾ ½ Ø=½ 40 1.025 1.024 30 1.023 20 1.022 1.021 10 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 λ 1.019 1.018 100 200 300 400 500 δ Ö
Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ¹ ÒÓ Ò º Æ ( ½, ¾,..., Ô ) Þ Ô¹ÛÝѺ Û ØÓÖ Ñ Ó ØÓ ÞÒ (Ý ½, Ý ¾,..., Ý Ô ) ( ) ØÓ ÖÞ ÓÛ ÞÑ ÒÒ º Â Ð Þ ØÙ ( ) (Ý ) > ¼ Ð Ó = ½,..., Ô ÛÝÒ (Ý ½,..., Ý Ô ) > ¼ ØÓ Ñ Û ÑÝ Ô Ò Û ÖÙÒ Ó ØÒ Ó º Ä Ñ Øº Ã Ý Þ Û ( (Ø) ) ÓÖ Þ ( (Ø) ) ÛÝ Ò ÖÓÛ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÔÖ Ò Ø Ù Ñ Å Ö ÓÛ Ó ÖÓÞ Þ Ø ÓÒ ÖÒÝÑ (Ü) = (Ü, Ý) Ý (Ý) = (Ü, Ý) Ü Â Ð Ô Ò Û ÖÙÒ Ó ØÒ Ó Ó Ù Ý Ò ÔÖÞÝÛ ÐÒ º
Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ¹ ÒÓ ÌÛ Ö Þ Ò º Â Ð Ô Ò Û ÖÙÒ Ó ØÒ Ó ÖÓ ÔÖÞ Ã((Ü, Ý)(Ü, Ý )) = (Ü Ý) (Ý Ü ) Ø ÙÒ ÓÐÙØÒ ØÓ Ù ( (Ø), (Ø) ) Ø ÔÓÛÖ Ý Û Ò À ÖÖ Þ ÒÝ Ó ÛÓ Ó ÖÓÞ Ù Ø ÓÒ ÖÒ Ó (Ü, Ý)º
Ù Ý Ó ÛÖ ÐÒ ³ÔÖÞ ÔÐ Ø Ò ³ Ò º Ç Û Ù Å Ö ÓÛ ÔÓÛ ÑÝ Þ Ó ÔÖÞ ÓÒ ³ÔÖÞ ÔÐ Ø ³ ÛÞ ÑÒ Ò º ÒØ ÖÐ Ú Ò µ Ð Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó (Ø) ÞÑ ÒÒ (Ø) (Ø+½) Û ÖÙÒ ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò Ð Ù Ø ÐÓÒ Ó (Ø) ÞÑ ÒÒ (Ø ½) (Ø) Û ÖÙÒ ÓÛÓ Ò Þ Ð Ò ÞÑ ÒÒ ( (Ø), (Ø ½) ) ( (Ø), (Ø) ) ÔÓ Ó Þ Þ Ø Ó Ñ Ó ÖÓÞ Ù Ø ÓÒ ÖÒ Óº Ù ( (Ø), (Ø) ) ÛÝ Ò ÖÓÛ ÒÝ Þ ÔÓÑÓ ÔÖ Ò ÔÓ ³ÔÖÞ ÔÐ Ø ÐÒÓ ³º Ç Ù Ý ( (Ø) ) ( (Ø) ) Ó ÛÖ ÐÒ Ò º Ö Ú Ö Ð µ Ò ØÓÑ Ø Ù ( (Ø), (Ø) ) Ò ÑÙ Ý Ó ÛÖ ÐÒݺ
Ð ÓÖÝØÑ ¹ Ó ÛÖ ÐÒÝ Ð Ò Û ÖØÓ Ý Ø ÛÝÐÓ Ù ½º ÞÑ ÒÒ Ï Þ ØÓ (Û Ý Ø ) ¾º ÞÑ ÒÒ Ø+½ Þ ØÓ (Ý Û) º ÞÑ ÒÒ Ø+½ Þ ØÓ (Ü Ý Ø+½ ) W Y t X t W Y t+1 X t+1 W
ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ù ÐÒÓ ( (Ø) ) ¹ Ù Å Ö ÓÛ ( (Ø) ) ¹ ÓÛÓÐÒÝ ÞѺ ÐÓ ÓÛÝ ÌÛ Ö Þ Ò Ó Ù ÐÒÓ ÓØÝÞÝ Ù Û Ò ÖÓÛ ÒÝ Û Ò ØÔÙ Ý ÔÓ (Ø) Ý (Ø) π(ü Ý (Ø) ) (Ø+½) Ü (Ø), Ý (Ø) (Ý Ü (Ø), Ý (Ø) ) Â Ð Û ÑÝ ( (Ø) ) Ø Þ ÒÝ ØÓ Ò ÑÓÝ ØÛ Ö Þ Ò Ó Ù ÐÒÓ ( (Ø) ) Ö ÛÒ Ø Þ ÒÝ Ó ÛÓ Ó ÖÓÞ Ù Ø ÓÒ ÖÒ Óº Y t -1 X t -1 Y t X t Y t +1 X t +1
Ï ÒÓ Ð ÓÖÝØÑÙ ¹ Ù ÐÒÓ Ï Ó Ò Ò Ù Ó ÔÖ Ò Þ Ó Þ Ò ØÔÙ ØÛ Ö Þ Ò ÌÛ Ö Þ Ò º Ð Û ÔÖÞ ÔÐ Ø Ý ÛÞ ÑÒ Ù Û Å Ö ÓÛ ( (Ø) ) ( (Ø) ) Ð ( (Ø) ) Ø Ö Ó ÝÞÒÝ ØÓ Ö ÛÒ ( (Ø) ) Ø Ö Ó ÝÞÒݺ Æ Ð Ý Ô Ñ Ø Ù ÐÒÓ ÛÝÑ ÑÓÒ ÞÝ Þ Ó Ò ÔÓ Ø ÛÓÛ Û Ö ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò º
Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ Å ÒÝ Û ØÓÖ ( ½, ¾ ) Ó ÞÒ ØÓ (Ý ½, Ý ¾ ) ÙÒ ½ (Ý ½ ) ÑÓ Ò Þ Ô [ ½ (Ý ½ ) = ½ ¾ (Ý ½ Ý ¾ ) ¾ (Ý ¾ ) Ý ¾ = E ½ ¾ ¾ ( ½ Ý ¾ ) ] Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ ÔÓÐ Ò Þ Ø Ô Ò Ù ÞÛÝ Ó ØÝÑ ØÓÖ δ ¼ = ½ Ì Ì Ø=½ (Ý (Ø) ½ ) ØÝÑ ØÓÖ Ñ δ Ö = ½ Ì Ì Ø=½ E ¾ [ ] ( ½ Ý (Ø) ) ¾
Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º Ç ØÝÑ ØÓÖÝ Þ Ò Ó E [ ( ½ )] Ò Ó ÓÒ Ð ÖÓÞ Ù Ø ÓÒ ÖÒ Óµº ØÝÑ ØÓÖ δ Ö Ù ÑÒ Þ Û Ö Ò º ÛÞ Ð Ù Ò Þ Ð ÒÓ Ú Ö(Í) = Ú Ö(E(Í Î)) + E(Ú Ö(Í Î)) Þ Ó Þ [ ]) Ú Ö ( E ( ½ ) (Ø) ¾ Ú Ö ( ( ½ )) Æ ÛÝ Ø ÖÞ ØÓ Ò Ý Ñ ØÛ Ö Þ δ Ö Ñ Þ Û Þ ÑÒ Þ Û Ö Ò Ò δ ¼ ÔÓÒ Û Ò Ö ÛÒÓ Ò ÖÞ ÔÓ ÙÛ ÓÖ Ð Ñ ÞÝ ÞÑ ÒÒÝÑ (Ø) º Ï ÔÖÞÝÔ Ù ÛÙÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò Ó Ø ÖÝÑ Û ÑÝ Ó Û Ù Ý ÛÞ ÑÒ ÔÖÞ ÔÐ Ø ÛÝ Þ ÒÓ ÓÛ Ö Ò ÔÓÑ ÞÝ ÓÐ ÒÝÑ Û ÖØÓ Ñ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ (Ø) Ø Ó ØÒ Ñ Ð ÛÖ Þ Þ Øº
Ê Ó¹ Ð Û ÐÐ Þ º ÌÛ Ö Þ Ò º Ð Û ÔÖÞ ÔÐ Ø Ý ÛÞ ÑÒ Ù Û Å Ö ÓÛ ( (Ø) ) ( (Ø) ) Ó ÖÓÞ Ø ÓÒ ÖÒÝ ØÝÑ ØÓÖ δ Ö ÓÑ ÒÙ ÔÓ ÛÞ Ð Ñ Û Ö Ò ØÝÑ ØÓÖ δ ¼ Ð ÓÛÓÐÒ ÙÒ ÔÖÞÝ Ô Ò ÓÒÝÑ Þ Ó Ò Ù Ó Ó ÞÓÒÓ Û Ö Ò º 1.035 1.03 ÔÐ Ñ ÒØ 1.025 1.015 500 1000 1500 2000 δ Ö δ ¼
ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å Ð ÓÖÝØÑ ÓÞ Û Ò ¹Ñ ÝÑ Ð Þ Ò º ŵ ÑÓ Ý Û Þ ÒÝ Ó ÔÖ ÙÖ ÓÖ ÔÖ Ò Û Ó Ò Ò Ù Ó ÑÓ Ð Ö Ù Ý ÒÝ º Ç Ð ÓÖÝØÑÝ ÛÝ ÓÖÞÝ ØÙ ÖÓÞ Û ÖÙÒ ÓÛÝ Ö Ù Ý ÞÑ ÒÒÝ º ÇÞÒ ÞÑÝ ØÝÑÓÛ ÒÝ Ô Ö Ñ ØÖ ÖÓÞ Ù θ ÞÑ ÒÒ Ó ÖÛÓÛ Ò (Ü θ) ÞÑ ÒÒ Ö Ù Þ Þ, (Ü, Þ θ) Ð ÔÓ ÒÝ ÒÝ ÛÝÞÒ Þ ÑÝ Ó ÔÓÛ Ò ÙÒ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ô ÒÝ ÒÝ Ä (θ Ü, Þ) = (Ü, Þ θ) Ò Ô ÒÝ ÒÝ Ä(θ Ü) = (Ü θ)º
ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å Â Ð Ô Ò ÓÒÝ Ø Û ÖÙÒ R Ä (θ Ü, Þ) θ < ØÓ ÑÓ ÑÝ Þ Ò ÓÛ ÖÓÞ Û ÖÙÒ ÓÛÝ Ö Ù Ý ÒÝ ÔÖÞÝ Ó ÖÛÓÛ ÒÝ ÒÝ ÓÖ Þ (Þ Ü, θ) = Ä (θ Ü, Þ) Ä(θ Ü) = (Ü, Þ θ) (Ü θ) Ä (θ Ü, Þ) = Ä (θ Ü, Þ) R Ä (θ Ü, Þ) θ ÈÖ Ò Ñ ÔÓ Ø Þ θ (Þ Ü, θ) θ Þ Ä (θ Ü, Þ)
ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å Ð ÓÖÝØÑ Å Ö ÛÒ ÓÔ Ö Ò ÙÒ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ô ÒÝ ÒÝ Ä ÓÖ Þ ÖÓÞ Þ Û ÖÙÒ ÓÛÝÑ ÃÖÓ Ç Ð Þ E [ÐÓ Ä (θ Ü, Þ)] ÛÞ Ð Ñ ÞÑ ÒÒ ÐÓ ÓÛ Þ ÖÓÞ Ù (Þ Ü,θ) ÔÖÞÝ Ù Ø ÐÓÒÝÑ θµ ÔÖÓÛ Þ Ó ÛÝÞÒ Þ Ò E [ Ü,θ] ÃÖÓ Å Å ÝÑ Ð ÞÙ E [ÐÓ Ä (θ Ü, Þ)] ÛÞ Ð Ñ θº ÈÖÞÝ Ñ Ó Û ÖØÓ θ Ó Ð ÞÓÒÝ Ö ÙÑ ÒØ
ÈÖÞÝ ¹ Ð ÓÖÝØÑ Å ÒØ Ò ÝÛÒÓ ¼ ½ ¾ Û Ðº Ó ÖÛº ½ ½¾ ¾ ½ Ö Ù Ý ½ ÞÑ ÒÒÝ ÔÓ Ó Þ Þ ³ÔÖÞ ÙÒ Ø Ó³ ÖÓÞ Ù ÈÓ ÓÒ P(λ)I Ý ( = ½,..., ½ ) È( = ) = ÙÒ Û ÖÝ Ó ÒÓ Ô ÒÝ ÒÝ ÁØ Ö Ð ÓÖÝØÑÙ Å Ä (λ Ü, Ý) = λ! λ ½ λ P =¼ λ! ¼λ λ ½ +P Ý (¼!) ½ (½!) ½¾ (¾!) (!) ¾ Q Ý! λ ÐÓ Ä (λ Ü, Ý) = ¼ + ( ½ + P Ý ) ½ λ = ¼ E( ˆλ (Ø) ) = ˆλ ˆλ P =¼ ˆλ! ½ ˆλ P =¼ ˆλ! ˆλ (Ø+½) = ½ +P E( ˆλ (Ø) ) ¼ Ð = ½,..., ½
ÈÖ Ò Ð ÓÖÝØÑ Å ÏÝÒ Ë Ö Ö ÔÐ Ñ ÒØ 1.1 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 δ Å 0 5 10 15 20 25 iteracja Ð ÓÖÝØÑ Å δ Å = ½, ¼¾¾ ÑÓ µ ÔÖ Ò δ Ê = ½, ¼¾¾ ½ Ö Ò µ
ÏÔÖÓÛ Þ Ò Ó Û ÐÓÛÝÑ ÖÓÛ Ó ÔÖ Ò ËÝÑÙÐ ÞÔÓ Ö Ò Ó Þ Ò Ø ÑÓ Ð Û Ð (, ) = (,( ½, ¾ )) ÑÓ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ó ÙÒ ØÓ Û ÖÙÒ ÓÛ ÓÐ ÒÝ ÝÑÙÐ Þ (Ý ½ Ü, Ý ¾ ) ÓÖ Þ (Ý ¾ Ü, Ý ½ ) Þ Ó ÛÝÒ Ù ÝÑÙÐ Þ (Ý ½, Ý ¾ Ü)º