CZASOPISMO INŻYNIERII LĄDOWEJ, ŚRODOWISKA I ARCHITEKTURY JOURNAL OF CIVIL ENGINEERING, ENVIRONMENT AND ARCHITECTURE JCEEA, t. XXXII, z. 6 (/I/5), liiec-wrzesień 05, s. 4-5 Jadwiga KRÓLIKOWSKA Marek KUBALA ANALIZA PROBLEMÓW PRAKTYCZNEGO ZASTOSOWANIA METODY DEKOMPOZYCJI I EKWIWALENTOWANIA W racy rzedstawiono metodę dekomozycji i ekwiwalentowania (MDE), zaroonowaną rzez Ju. A. Jermolina i M. I. Alieksjejewa do obliczania arametrów niezawodnościowych sieci kanalizacyjnej, zdecydowanie rostszą i mniej uciążliwą w stosunku n. do metody rzeglądu zuełnego, metody wzorów analitycznych, metody częstości uszkodzeń czy metody grafów. Analizując metodę rzedstawioną w [] autorzy rzyjęli założenie, że tylko kanały będące krawędziami grafu zakończonymi liśćmi, czyli kanały zewnętrzne sieci, mają niezerowy wydatek, co stanowi ograniczenie jej raktycznego zastosowania. Drugą kwestią, mocno ograniczającym raktyczne zastosowanie MDE, jest niejawne, aczkolwiek jasno wynikające z samego algorytmu dekomozycji, założenie, że sieć jest drzewem binarnym. Takie założenie wyklucza rzyadki, kiedy węzeł łączy więcej niż dwa kanały doływające. Celem niniejszej racy było rzedstawienie rozwiązań tych roblemów (ograniczeń). Słowa kluczowe: niezawodność, sieci kanalizacyjne, graf, dekomozycja, ekwiwalentowanie, awaryjność. Wrowadzenie Awarie w obrębie systemów kanalizacyjnych, zwłaszcza sieci kanalizacyjnych grawitacyjnych mogą wywołać sytuacje niebezieczne a nawet zdarzenia katastroficzne, niekorzystnie oddziałując na środowisko gruntowo-wodne w otoczeniu kanału i gosodarkę rzestrzenną. W analizach niezawodnościowych należy więc utratę zdolności funkcjonowania systemu bezwzględnie łączyć z jego skutkami [, 0]. Do oceny niezawodności funkcjonowania systemów kanalizacyjnych, składających się w zasadzie z elementów odnawialnych, zastosowanie mają miary, które oisują oszczególne cechy systemów, a mianowicie [, 7, 8]: Autor do koresondencji: Jadwiga Królikowska, Politechnika Krakowska, ul. Warszawska 4, -55 Kraków, tel. 68 87, jkacia@vistula.wis.k.edu.l Marek Kubala, Politechnika Krakowska
44 J. Królikowska, M. Kubala miary bezawaryjności charakteryzujące zdolność systemu do zachowania srawności odczas wykonywania zadania (średni czas racy między uszkodzeniami T, arametr strumienia uszkodzeń λ, częstość uszkodzeń f), miary narawialności charakteryzujące odatność obiektu na wykonanie narawy; narawialność charakteryzuje nie tylko uszkodzony element, ale również srawność techniczno-organizacyjną brygad narawczych całego systemu obsługi awaryjnej, obejmującego zaoatrzenie w części zamienne, srzęt, materiały it. (średni czas narawy Tn, intensywność odnowy µ) oraz miarę gotowości charakteryzującą wływ uszkodzeń (niesrawności) i związanej z nim odnowy na bezawaryjną realizację zadań rzez obiekt; charakterystyki te oisują niezawodność obiektu kanalizacyjnego uwzględniając jednocześnie co najmniej dwie cechy niezawodności (wskaźnik gotowości K). Uwzględniając bardzo złożoną strukturę tyu drzewo, czyli strukturę hierarchiczną, z której wynika, że wszystkie ścieki z miejsca ich owstania są dostarczane do oczyszczalni ścieków o jedynej możliwej drodze, orzez ściśle określoną kolejność odcinków (kanałów bocznych i kolektorów), czyli jest ukierunkowany acykliczny graf literatura wskazuje na możliwość zastosowania do szacowania miar niezawodności takich metod analitycznych jak: metoda rzeglądu zuełnego, metoda wzorów analitycznych, metoda częstości uszkodzeń czy metoda grafów [, 4, 5, ]. Każda z tych metod charakteryzuje się właściwościami alikacyjnymi w ocenie niezawodnościowej omawianych systemów. Różnią się obszarem (zakresem) możliwości; żadna z nich nie jest metodą uniwersalną. W rzyadku odsystemu usuwania ścieków ma się do czynienia zarówno z obiektami o strukturze rostej jak i strukturze złożonej. Struktury roste odzwierciedlają obiekty wystęujące na sieci takie, jak n. omownia ścieków, syfon kanalizacyjny, natomiast sama sieć (układ rzewodów kanalizacyjnych), jak już wsomniano, tworzy strukturę złożoną. To właśnie rodzaj struktury decyduje w znacznej mierze o wyborze metody oceny niezawodności systemu] i z uwagi na strukturę sieci grawitacyjnej są dość kłootliwe. Konkurencyjną do wymienionych metod jest metoda dekomozycji i ekwiwalentowania, (dalej MDE), zaroonowana rzez Ju. A. Jermolina i M. I. Alieksjejewa [] do obliczania arametrów niezawodnościowych sieci kanalizacyjnej, zdecydowanie rostsza i mniej uciążliwą. Możliwości alikacyjne metody można znaleźć w literaturze [, 6, 9]. Celem niniejszej racy jest rzedstawienie rozwiązań roblemów wynikających z raktycznego jej zastosowania.. Ois metody Metoda dekomozycji i ekwiwalentowania (MDE) wychodzi z założenia, że sieć kanalizacji grawitacyjnej, ze względu na jej toologię, można traktować jako graf tyu drzewo, którego krawędziami są odcinki kanałów, a wierzchołka-
Analiza roblemów raktycznego zastosowania... 45 mi węzły sieci (rys..). Dodatkowo, ze względu na geometrię sieci, można stwierdzić, że jest to drzewo ukorzenione, którego korzeniem jest odbiornik na końcu sieci. Na rys.. jest to węzeł nr w0. Na takim drzewie można określić relacje hierarchii, oczynając od wyróżnionego węzła (korzenia). Sośród dwóch węzłów ołączonych krawędzią bliższy korzeniowi nazywamy ojcem (bądź rodzicem), a dalszy dzieckiem (bądź synem). Jak łatwo zauważyć, relacja ta jest tożsama z kierunkiem sływu ścieków, jedynie jej zwrot jest rzeciwny. Dzieckiem będzie węzeł, w którym kanał bierze oczątek, a rodzicem węzeł, na którym kanał się kończy. Wierzchołki drzewa, które nie mają otomków, nazywamy liśćmi. W kategoriach geometrii sieci grawitacyjnej są to węzły, które osiadają jedynie kanał odływowy i do których nie dochodzą żadne kanały doływowe. Na rys.. są to węzły w4, w4, w5, w9, w0, w, w i w. Rys.. Przykładowa sieć kanalizacyjna, jako graf tyu drzewo z zaznaczonymi gałęziami Fig.. Sewage network, as a tree tye grah with marked branches Jermolin i Alieksjejew, autorzy MDE, zakładają również imlicite, że jest to regularne drzewo binarne, co w kategoriach struktury sieci oznacza, że w każdym jej węźle wewnętrznym łączą się dwa (i tylko dwa!) kanały doływowe, a wychodzi z niego jeden kanał odływowy. Najdalej idącym jednak założeniem, mającym wływ na raktyczne zastosowanie tej metody, jest rzyjęcie zasady, iż jedynie kanały będące w grafie krawędziami zakończonymi liśćmi osiadają wydatek q różny od zera. Przyjmując w tej racy zasadę numerowania krawędzi grafu (kanałów) numerami węzłów otomnych, możemy je określić jako kanały nr k4, k4, k5, k9, k0, k, k i k. W strukturze grafu można zatem wyróżnić Y-kształtne struktury składające się z trzech krawędzi, z których dwie, ołączone w węźle macierzystym, zakończone są liśćmi. Na rys.. struktury te zaznaczone są obrysami.
46 J. Królikowska, M. Kubala Struktury zastęujemy jednym kanałem ekwiwalentnym (rys..), o niezerowym wydatku q. W kolejnym etaie dekomozycji czynność tę owtarzamy aż do zastąienia całej sieci ojedynczym kanałem. Rys.. Schematyczne rzedstawienie zastąienia struktury Y-kształtnej jednym kanałem ekwiwalentnym (rys. a) oraz odowiadające temu zabiegowi grafy stanów (rys. b) Fig.. Relacement of a Y-shaed structure with one equivalent channel (Fig. a) and corresonding state grahs (Fig. b) Przyjmując założenie, że rawdoodobieństwo awarii dwóch lub więcej kanałów jednocześnie jest znacząco mniejsze od rawdoodobieństwa awarii ojedynczego kanału, stan struktury Y-kształtnej można rzedstawić jako sumę czterech stanów: 0 wszystkie trzy kanały są srawne, kanał k jest niesrawny, kanał k jest niesrawny i kanał k jest niesrawny. Przejścia omiędzy tymi stanami nastęują z odowiednią intensywnością uszkodzeń (λ, λ, λ ) i odnowy (μ, μ, μ ). Określając dla każdego kanału bezwymiarowy arametr, równy ilorazowi intensywności uszkodzeń λ i odnowy μ, możemy określić rawdoodobieństwa 0,, i odowiednio dla stanów 0,,, i : rawdoodobieństwa 0,, i odowiednio dla stanów 0,,, i : 0 + + + + + + + + () Mając na uwadze założenie MDE, że średni wydatek kanału k, q, jest równy 0, możemy określić rawdoodobieństwa nieodrowadzenia do odbiornika określonej ilości ścieków w określonym czasie T: ( q + q ) T; q T q T 0 0; ; ()
Analiza roblemów raktycznego zastosowania... 47 co bezośrednio rowadzi do obliczenia wartości oczekiwanej nieodrowadzonych w czasie T ścieków z tej części kanalizacji: q T + q T + ( q q )T () + Z układu równań (), otrzymujemy ostatecznie: ( ) q + ( ) q T (4) + + Podobne rozumowanie możemy rzyjąć dla kanału ekwiwalentnego, dla którego określamy tylko dwa stany: 0 kanał jest srawny oraz e kanał jest niesrawny. Przyjmując dla tego kanału oznaczenia strumieni intensywności uszkodzeń i odnowy jako λ e i μ e oraz odowiadający im bezwymiarowy arametr e, możemy określić rawdoodobieństwa stanów jako: 0 e + e e + e (5) oraz rawdoodobieństwa nieodrowadzenia w czasie T odowiednich ilości ścieków do odbiornika: 0 ( q + q )T (6) 0 ; e i wartość oczekiwaną nieodrowadzonych w czasie T ścieków: lub ( q q )T (7) e e + ( q + q )T e e + e (8) Przyrównując do siebie wartości oczekiwane nieodrowadzonych ścieków dla struktury Y-kształtnej i kanału ekwiwalentnego, otrzymujemy wartość arametru e : ( + ) q + ( + ) ( + ) q + ( + ) q q e (9)
48 J. Królikowska, M. Kubala W większości rzyadków arametry dla oszczególnych kanałów są dużo mniejsze od, tak więc owyższy wzór uraszcza się do ostaci: ( ) q + ( ) q e (0) q + q Warto również zauważyć, że w rzybliżeniu małych wartości arametru mianownik we wzorze (8) zmierza do. W takim wyadku wyraźny staje się sens fizyczny tego arametru. Rerezentuje on względną część wrowadzonych do kanału ścieków, która, wskutek uszkodzeń, w zadanym czasie T nie została z niego odrowadzona.. Problemy raktycznego zastosowania MDE i roozycje ich rozwiązania Największy roblem raktycznego zastosowania MDE stanowi założenie, że tylko kanały będące krawędziami grafu zakończonymi liśćmi, czyli kanały zewnętrzne sieci, mają niezerowy wydatek. Wadę tę można by w rosty sosób wyeliminować, gdybyśmy rzyjęli, że liśćmi grafu są wszystkie rzyłącza. Rozwiązanie to jest jednak nieraktyczne, gdyż nie sosób określić w raktyce arametry λ oraz μ dla wszystkich rzyłączy. Poza tym taki zabieg nadmiernie rozbudowałby drzewo grafu, co uczyniłoby całą metodę nieraktyczną. Należy zatem zrezygnować z owyższego założenia, rzyjmując, że również q jest niezerowe, i sróbować określić wartość e. Idąc troem rozumowania autorów MDE oznaczamy rawdoodobieństwa nieodrowadzenia do odbiornika określonej ilości ścieków w określonym czasie T w nastęujący sosób: ( q + q + q ) T; q T q T 0 0; ; () oraz wartość oczekiwaną nieodrowadzonych w czasie T ścieków z tej części kanalizacji: q T + q T + ( q + q q )T () + co wobec () rowadzi do zależności: ( ) q + ( ) q + q T () + + Dla kanału ekwiwalentnego otrzymujemy nastęujący zestaw rawdoodobieństw i odowiadających im nieodrowadzonych w czasie T ilości ścieków: 0 ( q + q + q )T (4) 0 ; e
Analiza roblemów raktycznego zastosowania... 49 oraz wartość oczekiwaną nieodrowadzonych w czasie T ścieków: ( q + q q )T (5) e e + Ponownie rzyrównując do siebie i e otrzymujemy wyrażenie na wartość e : e ( + ) q + ( + ) q + q ( + ) q + ( + ) q + ( + + ) q (6) Jeżeli, tak jak orzednio, rzyjmiemy, że wartości dla oszczególnych kanałów są znacznie mniejsze od, to wyrażenie (6) uraszcza się do ostaci: ( ) q + ( ) q + q e (7) q + q + q Drugą kwestią, mocno ograniczającym raktyczne zastosowanie MDE, jest niejawne, aczkolwiek jasno wynikające z samego algorytmu dekomozycji, założenie, że sieć jest drzewem binarnym. Takie założenie wyklucza rzyadki, kiedy węzeł łączy więcej niż dwa kanały doływające. Rozwiązaniem może być tutaj wrowadzenie w trakcie obliczeń omocniczych kanałów fikcyjnych o zerowej długości, a zatem również zerowych wydatkach i zerowych arametrach strumienia intensywności uszkodzeń (rys..). Rys.. Schemat zastąienia węzła niebinarnego (w) w drzewie drabiną węzłów binarnych (w, wa, wb) i krawędzi o zerowej długości Fig.. Relacement of a non-binary node (w) in a tree with a binary nodes ladder (w, WA, WB) and an edge of zero length Zerowe wartości wydatków i strumieni intensywności uszkodzeń są logiczną konsekwencją zerowej długości kanału fikcyjnego. Problem stanowi wartość strumienia intensywności odnowy, a w konsekwencji wartość bezwymiarowego arametru. Biorąc jednak od uwagę fizyczną interretację tego arametru, rzedstawioną w orzednim rozdziale, możemy założyć, że również on rzyjmuje wartość zerową.
50 J. Królikowska, M. Kubala Zwinięcie dwóch ierwszych gałęzi, aż do kanału kb, rowadzi do rostych wzorów na wielkości ekwiwalentne: oraz q + q eb (8) ( + ) q + ( + ) q q + q T (9) + e Oczywiście ekwiwalentny wydatek kanału kb jest równy sumie wydatków kanałów do niego sływających, czyli q i q. Dalsze iteracje rowadzą do dosyć złożonych ścisłych wzorów na kolejne wartości e i e. Oczywiście, nic nie stoi na rzeszkodzie, aby zwijanie tego tyu grafu dokonywać iteracyjnie, osługując się kolejnymi wielkościami ekwiwalentnymi. Wtedy obliczenia srowadzają się do kolejnego wykorzystania zależności (8) i (9). Posiłkując się jednak założeniem małych względem wartości, możemy odać bardzo roste wzory rzybliżone dla całości grafu: oraz q + q + q + L+ q 4 4 n n e (0) q + q + q4 + L+ qn q + q + q + L+ q e 4 4 n n () Pozostaje jeszcze rozatrzenie rzyadku, kiedy węzeł łączy jeden kanał dorowadzający ścieki i jeden kanał odrowadzający. Taki schemat zastąimy układem Y-kształtnym, w którym drugi kanał dorowadzający ścieki (niech będzie to kanał nr k) ma zerowy wydatek i zerowy arametr (rys. 4.). Rys. 4. Schemat zastąienia węzła łączącego tylko kanały (k i k) strukturą Y-kształtną z kanałem nr k o zerowym wydatku i zerowym arametrze Fig. 4. Relacement of a node connecting only channels (k and k) with a Y-shaed structure and the channel K of zero flow (0)
Analiza roblemów raktycznego zastosowania... 5 Dla takiego układu wartość e jest rostą konsekwencją równania (6): ( + ) q + q + ( + ) q q e () natomiast wartość bezośrednio wynika z równania (): ( ) q + q T () + rzez roste odstawienie zerowych wartości q i. 4. Podsumowanie Porównując wzory (4) oraz (9) ze wzorami () oraz (6) dochodzimy do wniosku, że rezygnacja z założenia zerowego wydatku dla kanału odrowadzającego nie komlikuje znacząco wzorów na wartości ekwiwalentne arametrów e i e, co rzekonuje, że założenie to w ierwotnej wersji MDE było zbyt daleko idące. W artykule okazano również, że otrzeba, ze względu na algorytm dekomozycji, binarności drzewa grafu sieci jest ozorna i da się wyeliminować orzez wrowadzenie kanałów fikcyjnych, o zerowym wydatku i zerowym strumieniu intensywności uszkodzeń, wszędzie tam, gdzie binarność ta nie jest zachowana. Pozostaje więc jedynie wymóg, aby sieć kanalizacyjna była grafem tyu drzewo, co, ze względu na charakter racy sieci grawitacyjnej, jest założeniem nie owodującym żadnych ograniczeń. Przy takiej redukcji ograniczeń metoda dekomozycji i ekwiwalentowania Jermolina i Alieksjejewa okazuje się być wygodnym i rzydatnym narzędziem do obliczeń arametrów e i e. Literatura [] Ermolin Ju. A., Alekseev M. I.: Metod dekomozicii i ekvivalentirovanija kanalizacionnoj seti. Vodosnabżenie i sanitarnaja technika No s.5-57, 0. [] Królikowska J.: Niezawodność funkcjonowania i bezieczeństwa sieci kanalizacyjnej. Monografia 8. Wydawnictwa PK, Kraków 00. [] Królikowska J.: Alikacja metody grafu do szacowania niezawodności funkcjonowania sieci kanalizacyjnej. Materiały IX Międzynarodowej Konferencji Naukowo-Technicznej nt. Zaoatrzenie w wodę, jakość i ochrona wód, Poznań- Kołobrzeg 00, s. 7-8. [4] Królikowska J., Królikowski A.: Analiza orównawcza metod oceny niezawodności systemów usuwania i unieszkodliwiania ścieków, Instal 0/008.
5 J. Królikowska, M. Kubala [5] Królikowska J., Królikowski A.: Alying the dendrical scheme failure metod to swage drailing subsystem reliability evaluation. Environmental Engieering III. CRS Press Taylor and Francis Grou. London 00. s.9-95. [6] Królikowska J., Królikowski A., Konior T.: Przegląd metod do oceny niezawodności działania sieci kanalizacyjnej. Mat. konf. Praktyczne funkcjonowanie rzedsiębiorstw wodociągowo-kanalizacyjnych w warunkach rosnących wymagań ekologicznych, ekonomicznych i sołecznych, Bielsko-Biała 0, s. 0-. [7] Kwietniewski M., Rak J.: Niezawodność infrastruktury wodociągowej i kanalizacyjnej w Polsce. Studia z Zakresu Inżynierii, nr 67. Polska Akademia Nauk, Warszawa 00. [8] Kwietniewski M., Podedworna J., Sozański M. (red.): Stan aktualny i kierunki rozwoju nauki w zakresie zaoatrzenia w wodę, usuwania ścieków i unieszkodliwiania osadów oraz gosodarki odadami. Wydaw. Komitetu Inżynierii Lądowej i Wodnej PAN. Studia z Zakresu Inżynierii, nr 85. Warszawa 04. [9] Leśniewski M.: Ocena niezawodności systemu kanalizacji deszczowej dla otrzeb analizy ryzyka. Rozrawa doktorska. Wydawnictwa Politechniki Warszawskiej. Warszawa 007. [0] Pietrucha K., Rak J.: Oddziaływanie systemów kanalizacyjnych na wody odbiornika. Konferencja: I Konferencja "Walory rzyrodniczo-historyczne ogórzy", s.09-8, 008. [] Rak J., Boryczko K.: Sosób oceny niezawodności oeratora SZW metodą drzewa zdarzeń z możliwością orawy oełnionego błędu. s.47-49, Wydawnictwo SIGMA-NOT SP. z o.o., Gaz, Woda i Technika Sanitarna, z.9, 009. PROBLEMS WITH A PRACTICAL APPLICATION OF THE METHOD OF DECOMPOSITION AND EUIVALENT S u m m a r y The aer resents the method of decomosition and equivalent (MDE), roosed by Jermolin and Alieksjejew. The method hels to calculate reliability arameters of the sewage system in a much simler and less burdensome way, if comared to other methods such as: a comlete review method, a method of analytical formulas, a method of failure frequency or a grah method. In the method resented in [], the authors assumed that only the channels that constitute the edges of the grah tied with leaves, or external network channels have a non-zero discharge. Such an assumtion limits its ractical alication. Another issue, that strongly limits ractical alications of MDE is the assumtion, imlicit but clearly resulting from the decomosition algorithm, that the network has a form of a binary tree. Such an assumtion excludes cases when a node connects more than two inflow channels. The study resents solutions to these roblems (constraints). Keywords: reliability, sewage networks, grah, decomosition, equivalents, failure Przesłano do redakcji: 0.05.05 r. Przyjęto do druku: 0.0.05 r. DOI: 0.786/rb.05.09