Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie. ( pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono 5 początkowych wyrazów nieskończonego ciągu a. arytmetycznego ( ) n y - a) Podaj trzeci wyraz tego ciągu. b) Zapisz wzór na wyraz ogólny ciągu ( ) n 4 5 6 a. x Zadanie. ( pkt) Trawnik ma kształt prostokąta, którego jeden bok jest o 4 m krótszy od drugiego boku. Pole powierzchni trawnika jest równe 9 cm. Znajdź wymiary trawnika. Zapisz i rozwiąż odpowiednie równanie. Zadanie. ( pkt). Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie ujemnej należącej do zbioru D wartość bezwzględną tej liczby pomniejszoną o, natomiast każdej liczbie nieujemnej ze zbioru D przyporządkowuje tę liczbę powiększoną o. a) Uzupełnij tabelę. Dziedziną funkcji f jest zbiór D = {,,,,5 } x 5 f x ( ) b) Podaj miejsce zerowe funkcji f. c) Podaj argumenty, dla których wartości funkcji f należą do przedziału (, 7. Zadanie 4. (4 pkt) Narysuj w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji f i g określonych wzorami f x =, g ( x) = x. Oblicz pole i obwód trójkąta wyznaczonego przez wykresy tych ( ) 4 funkcji. Zadanie 5. (4 pkt) Drabina długości 7 metrów oparta jest o pionową ścianę na wysokości 5 metrów od ziemi. a) Wykonaj odpowiedni rysunek. b) Oblicz w jakiej odległości od ściany znajduje się punkt podparcia drabiny o ziemię. Wynik podaj w zaokrągleniu do, m. c) Uzasadnij, że miara kąta nachylenia drabiny do powierzchni ziemi jest większa od 45.
Zadanie 6. (5 pkt) W tabeli zebrano dane osób dotyczące ich wieku, wagi i wzrostu. Adam Adamski Beata Bratna Cezary Czerwiec Danuta Dębska Eryk Elski Filip Frywolny Grzegorz Gapski Halina Halska Irena Imska Jerzy Jarski Wiek [lata] 8 8 7 9 9 4 Waga [kg] 75 67 8 6 75 88 7 6 59 78 Wzrost [cm] 76 58 86 7 75 8 74 7 6 86 Korzystając z tych danych, odpowiedz na pytania: a) Ilu mężczyzn w wieku powyżej lat z badanej grupy ma wagę nie przekraczającą 78 kilogramów? b) Osobą najbardziej reprezentatywną dla danej grupy osób jest taka osoba, której wszystkie badane cechy (albo znaczna większość) jak najmniej odbiegają od średnich arytmetycznych. Oblicz średnie arytmetyczne wieku, wagi i wzrostu badanej grupy osób. Którą osobę z tej grupy można uznać za najbardziej reprezentatywną dla tej grupy? Zadanie 7. ( pkt) Okrągły stół o średnicy m i wysokości 8 cm został przykryty kwadratowym obrusem tak, że każdy z narożników obrusa, wisząc luźno, znalazł się w odległości cm od podłogi. Oblicz długość boku obrusa. Wynik podaj w zaokrągleniu do cm. Zadanie 8. ( pkt) Jeden z kątów trójkąta ma miarę pozostałych kątów tego trójkąta. 5. Oblicz miarę kąta, jaki tworzą dwusieczne dwóch Zadanie 9. ( pkt) Obwód trójkąta prostokątnego jest równy. Uzasadnij, że długość okręgu opisanego na tym trójkącie jest mniejsza od π. Zadanie. (6 pkt) W tabelach podane zostały liczby poszczególnych ocen, jakie otrzymali uczniowie klas A i B ze sprawdzianu szkolnego z fizyki. Klasa A Klasa B ocena 6 5 4 ocena 6 5 4 liczba ocen 6 9 liczba ocen 4 9 5 a) Średnia arytmetyczna ocen uzyskanych przez uczniów klasy A w zaokrągleniu do, jest równa,8. Oblicz błąd względny tego przybliżenia. Wynik podaj w zaokrągleniu do,. b) Oblicz odchylenie standardowe ocen uzyskanych ze sprawdzianu w każdej z klas A i B. W której klasie jest bardziej wyrównany poziom? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie. ( pkt) Średnica wewnętrzna szklanego naczynia mającego kształt walca ma długość równą cm. Wysokość tego naczynia jest równa cm, a grubość jego dna jest równa,5 cm. Czy w tym naczyniu zmieści się litr wody? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie. (6 pkt) Proste p i q narysowane w układzie współrzędnych są prostopadłe. Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się tych prostych. y q p. x Zadanie. (4 pkt) W prostokątnym układzie współrzędnych dane są punkty A ( 6,4), (,8) a) Funkcja f określona jest wzorem f ( x) a x + b B. =. Wyznacz a i b wiedząc, że punkty A, B należą do wykresu tej funkcji. b) Uzasadnij, że początek układu współrzędnych nie należy do symetralnej odcinka AB.
Numer zadania 4 5 6 7 8 Schematy punktowania zadań Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Odczytanie trzeciego wyrazu ciągu: Wyznaczenie różnicy ciągu: 5 Zapisanie wyrazu ogólnego ciągu ( a n ): an = n + Zapisanie odpowiedniego równania: np. x ( x 4) = 9, gdzie x oznacza długość jednego z boków. Rozwiązanie zapisanego równania: x = lub x = 6 Sformułowanie odpowiedzi: trawnik ma wymiary m i 6 m Uzupełnienie tabeli. (Przyznajemy punkt, jeśli wpisana jest jedna błędna wartość) Podanie miejsca zerowego funkcji f: (Polecenie powinno być wykonane zgodnie z wpisanymi wartościami do tabeli.) Podanie argumentów, dla których wartości funkcji f należą do przedziału (, 7 :,,, 5 (Polecenie powinno być wykonane zgodnie z wpisanymi wartościami do tabeli.) Narysowanie wykresu funkcji f. Narysowanie wykresu funkcji g. Obliczenie pola trójkąta: 6 Obliczenie obwodu trójkąta: 8 ( + ) Wykonanie odpowiedniego rysunku. Obliczenie odległości, w jakiej znajduje się punkt podparcia drabiny o ziemię od ściany: 6 m Podanie odległości, w jakiej znajduje się punkt podparcia drabiny o ziemię od ściany w zaokrągleniu do, m: 4,9 m Porównanie długości przyprostokątnych odpowiedniego trójkąta prostokątnego: np. 4,9 < 5 lub zapisanie odpowiedniej nierówności zgodnie z oznaczeniami na rysunku Sformułowanie odpowiedzi: np. przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta nachylenia drabiny do powierzchni ziemi jest dłuższa od drugiej przyprostokątnej, więc miara tego kąta jest większa od 45. Podanie liczby mężczyzn w wieku powyżej lat mających wagę nie przekraczającą 78 kilogramów: Obliczenie średniej arytmetycznej wieku badanej grupy: lat Obliczenie średniej arytmetycznej wagi badanej grupy: 7 kg Obliczenie średniej arytmetycznej wzrostu badanej grupy: 7,7 cm Podanie najbardziej reprezentatywnej osoby: Grzegorz Gapski Obliczenie długości przekątnej obrusa: m Obliczenie długości boku obrusa: m Podanie długości boku obrusa w zaokrągleniu do cm: 4 cm Obliczenie sumy miar dwóch pozostałych kątów trójkąta: Zapisanie odpowiedniego równania: np. α + 65 = 8, gdzie α jest miarą jednego z kątów między dwusiecznymi. Obliczenie miary kąta, jaki tworzą dwusieczne dwóch pozostałych kątów tego trójkąta: 5 lub 65
9 Zapisanie, że długość przeciwprostokątnej trójkąta jest równa średnicy okręgu opisanego na tym trójkącie. Zapisanie, że długość przeciwprostokątnej trójkąta jest mniejsza od lub zapisanie warunku trójkąta zgodnie z wprowadzonymi oznaczeniami. Sformułowanie odpowiedzi: np. średnica okręgu jest mniejsza od, więc długość okręgu jest mniejsza od π Obliczenie średniej arytmetycznej ocen uzyskanych przez uczniów klasy A: Obliczenie błędu względnego:,4 Obliczenie odchylenia standardowego ocen uzyskanych przez uczniów klasy A:,75 Obliczenie odchylenia standardowego ocen uzyskanych przez uczniów klasy B:,6 Sformułowanie i uzasadnienie odpowiedzi: w klasie A jest bardziej wyrównany poziom, ponieważ odchylenie standardowe ocen uzyskanych przez uczniów klasy A jest mniejsze od odchylenia standardowego ocen uzyskanych przez uczniów klasy B Obliczenie objętości naczynia i podanie wyniku w przybliżeniu: np. 9, cm. (Przyznajemy punkt, gdy podane zostanie przybliżenie 9 cm lub dokładniejsze) Porównanie objętości: np. 9, cm < cm. Sformułowanie odpowiedzi: np. litr wody nie zmieści się w tym naczyniu. Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej q: Zapisanie równania prostej q: y = x + Obliczenie współczynnika kierunkowego prostej p: Zapisanie równania prostej p: y = x 9 Wyznaczenie współrzędnych punktu przecięcia:, 4 4 (Po jednym punkcie za każdą ze współrzędnych) 4 = a 6 + b Zapisanie układu równań: 8 = a + b Rozwiązanie układu równań: a =, b = Obliczenie odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych:, 8 Sformułowanie odpowiedzi: np. odległości punktów A i B od początku układu współrzędnych są różne, więc początek układu współrzędnych nie należy do symetralnej odcinka AB. Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą (zgodną z poleceniem) od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów.