8. Papiery wartościowe: obligacje

8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 1 / 25

1 Obligacje: wstęp 2 Obligacje zerokuponowe 3 Obligacje kuponowe 4 Konsole 5 Stopa YTM i IRR rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 2 / 25

Obligacja - definicja Obligacja jest to papier wartościowy emitowany w serii, w którym emitent (najczęściej państwo, samorząd lokalny, przedsiębiorstwo lub inna instytucja finansowa) stwierdza, że jest dłużnikiem obligatariusza (posiadacza obligacji) i zobowiązuje się wobec niego do spełnienia określonego świadczenia. Zazwyczaj te świadczenia to: wykup obligacji po cenie nominalnej po upływie tzw. okresu zapadalności, a czasem także prawo do otrzymywania okresowych płatności odsetek od tej wartości, czyli tzw. kuponów. W przeciwieństwie do weksli, są to instrumenty długoterminowe, o czasie wykupu od roku do 15 lat. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 3 / 25

Obligacje - podstawy Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 4 / 25

Obligacje - podstawy Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 4 / 25

Obligacje - podstawy Obligacje są sprzedawane w seriach (w przeciwieństwie do weksli) i reprezentują prawa majątkowe podzielone na określoną liczbę równych jednostek, co oznacza, iż przyznają identyczne uprawnienia wszystkim ich posiadaczom. W przeciwieństwie do akcji, obligacje nie dają posiadaczowi żadnych uprawnień względem emitenta typu współwłasność, dywidenda czy też uczestnictwo w walnych zgromadzeniach. Obligacje są bardzo użytecznym narzędziem: emitentowi dają możliwość zaciągnięcia wysokiej pożyczki na długi okres u wielu wierzycieli, a obligatariuszowi w miarę bezpiecznej i płynnej do zbycia inwestycji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 4 / 25

Obligacje - ryzyko To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 5 / 25

Obligacje - ryzyko To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych. W poniższych analizach będziemy pomijać możliwość bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w długim horyzoncie czasowym, a doprowadziłaby do braku spłat wartości nominalnej i kuponów od pewnego momentu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 5 / 25

Obligacje - ryzyko To założenie podkreślam przy okazji każdego omawianego rodzaju inwestycji, ale szczególnie ważne jest w przypadku długoterminowych papierów wartościowych. W poniższych analizach będziemy pomijać możliwość bankructwa emitenta, która jest istotna dla wyceny w długim horyzoncie czasowym, a doprowadziłaby do braku spłat wartości nominalnej i kuponów od pewnego momentu. W zastosowaniach praktycznych, trzeba uwzględnić prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w znany z innych przedmiotów sposób (wartość oczekiwana itp.). Nie jest to jednak element arytmetyki finansowej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 5 / 25

Rodzaje obligacji Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 6 / 25

Rodzaje obligacji Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy: Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 6 / 25

Rodzaje obligacji Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy: Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony. Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 6 / 25

Rodzaje obligacji Z punktu widzenia inwestycji finansowej obligacje można podzielić na trzy typy: Obligacje zerokuponowe - jedynym zobowiązaniem emitenta jest zapłata wartości nominalnej w terminie zapadalności. Nie są wypłacane kupony. Obligacje kuponowe - poza jednorazowym wykupem obligacji, emitent zobowiązuje się w regularnych odstępach czasu wypłacać odsetki, czyli kupony. Ostatni kupon jest wypłacany w momencie zapadalności. Obligacje wieczyste, czyli konsole - dają uprawnienie do renty wieczystej w postaci kuponów, ale nigdy nie są wykupywane przez emitenta, więc nie mają wartości nominalnej. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 6 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK. N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK. N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji. P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja zerokuponowa We wszystkich zadaniach związanych z dowolnymi obligacjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: W nom - wartość nominalna obligacji, która ma być wypłacona w momencie jej zapadalności. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK. N - liczba okresów kapitalizacji do momentu zapadalności obligacji. P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić). Te oznaczenia są wystarczające do wyceny obligacji zerokuponowych. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 7 / 25

Obligacja zerokuponowa - wycena Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 8 / 25

Obligacja zerokuponowa - wycena Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W nom w chwili N. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 8 / 25

Obligacja zerokuponowa - wycena Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W nom w chwili N. Zatem z definicji IRR: P + W nom (1 + r ) N = 0. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 8 / 25

Obligacja zerokuponowa - wycena Inwestycja w obligację zerokuponową jest bardzo prostą inwestycją finansową. Składa się z jednego nakładu P w chwili 0 i jednego przychodu W nom w chwili N. Zatem z definicji IRR: P + W nom (1 + r ) N = 0. Wycena obligacji zerokuponowych P = W nom (1 + r ) N. Uwaga - formalnie N w tym wzorze nie musi być liczbą całkowitą. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 8 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 9 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje: OP - okres płatności kuponów. Stopę r zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 9 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje: OP - okres płatności kuponów. Stopę r zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 9 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje: OP - okres płatności kuponów. Stopę r zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP. m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 9 / 25

Podstawowe oznaczenia - obligacja kuponowa W wypadku obligacji kuponowych potrzebne są dodatkowe informacje: OP - okres płatności kuponów. Stopę r zawsze trzeba zmodyfikować tak, by OP = OK r - tzw. nominalna stopa oprocentowania kuponów. Okres tej stopy to zawsze rok, a jej okres kapitalizacji OK = OP. m - liczba kuponów wypłacanych w ciągu roku. W k - wartość nominalna pojedynczego kuponu - może być podana zamiast stopy r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 9 / 25

Analiza kuponów Stopa oprocentowania kuponów nie przekłada się bezpośrednio na stopę zwrotu z obligacji. Mówi tylko, jakie odsetki od pożyczki (którą jest zakup obligacji) emitent musi zapłacić w regularnych odstępach czasowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 10 / 25

Analiza kuponów Stopa oprocentowania kuponów nie przekłada się bezpośrednio na stopę zwrotu z obligacji. Mówi tylko, jakie odsetki od pożyczki (którą jest zakup obligacji) emitent musi zapłacić w regularnych odstępach czasowych. Związek pomiędzy wartością kuponu a wartością nominalną obligacji dany jest wzorem: Wartość nominalna pojedynczego kuponu W k = W nom r m. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 10 / 25

Analiza obligacji kuponowej Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 11 / 25

Analiza obligacji kuponowej Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów. Jako, że założyliśmy, że OP = OK = 1 (to ostatnie możemy założyć, ustalając domyślną jednostkę czasu), N jest nie tylko liczbą okresów kapitalizacji do zapadalności obligacji, ale też liczbą wypłacanych kuponów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 11 / 25

Analiza obligacji kuponowej Załóżmy, że chcemy wycenić wartość aktualną obligacji kuponowej na moment rozpoczęcia jednego z okresów płatności kuponów. Jako, że założyliśmy, że OP = OK = 1 (to ostatnie możemy założyć, ustalając domyślną jednostkę czasu), N jest nie tylko liczbą okresów kapitalizacji do zapadalności obligacji, ale też liczbą wypłacanych kuponów. W tej sytuacji, wartość aktualna obligacji jest sumą wartości aktualnej renty z dołu o stałej wysokości (raty są kuponami) oraz zaktualizowanej wartości nominalnej: N P = W k (1 + r ) i + W nom (1 + r ) N i=1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 11 / 25

Analiza obligacji kuponowej P = N i=1 W k (1 + r ) i + W nom (1 + r ) N. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 12 / 25

Analiza obligacji kuponowej P = N i=1 W k (1 + r ) i + W nom (1 + r ) N. Jeśli oznaczymy q = (1 + r ), to zgodnie ze wzorem na wartość aktualną renty z dołu: P = ( W k (q ) N 1 q 1 ) + W nom (q ) N 1 (q ) N = W k +W nom (q ) N q 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 12 / 25

Wycena obligacji kuponowej Wycena obligacji kuponowej P = W k 1 (q ) N q 1 + W nom (q ) N. Oczywiście, wzór ten obowiązuje przy wycenie na początek okresu płatności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 13 / 25

Wycena obligacji kuponowej Wycena obligacji kuponowej P = W k 1 (q ) N q 1 + W nom (q ) N. Oczywiście, wzór ten obowiązuje przy wycenie na początek okresu płatności. Jeśli chcemy wyznaczyć cenę obligacji kuponowej np. na moment, gdy 1/4 okresu płatności kuponów upłynęła, wystarczy wynik z powyższego wzoru przesunąć w czasie tj. pomnożyć go przez (q ) 1 4 (jak zobaczymy w przykładzie). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 13 / 25

Konsole - wstęp Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 14 / 25

Konsole - wstęp Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy: W k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 14 / 25

Konsole - wstęp Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy: W k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK = OP. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 14 / 25

Konsole - wstęp Konsole, czyli obligacje wieczyste, opierają się na nabyciu prawa do wypłaty kuponów przez czas nieograniczony - nie posiadają wartości nominalnej ani terminu zapadalności. Do ich wyceny wystarczy: W k - wartość pojedynczego kuponu, wypłacanego co OP. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK = OP. P - obecna wartość obligacji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 14 / 25

Konsole - wycena Wycena konsoli na początek dowolnego okresu płatności jest równoważna obliczeniu wartości aktualnej renty wieczystej z dołu o ratach W k i stopie zwrotu r. Wycena konsoli P = W k r. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 15 / 25

Konsole - wycena Wycena konsoli na początek dowolnego okresu płatności jest równoważna obliczeniu wartości aktualnej renty wieczystej z dołu o ratach W k i stopie zwrotu r. Wycena konsoli P = W k r. Oczywiście, tak jak przy obligacji kuponowej, jeśli wyceniamy konsolę na inny moment niż początek okresu płatności, wystarczy tę wycenę przesunąć w czasie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 15 / 25

Obligacje - przykład Przykład Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Zaczniemy od wyceny obligacji A. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 16 / 25

Obligacje - przykład Przykład Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r = 0, 15, OK =rok, więc N = 13 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 16 / 25

Obligacje - przykład Przykład Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r = 0, 15, OK =rok, więc N = 13 4. P A = W nom (1 + r ) N = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 16 / 25

Obligacje - przykład Przykład Inwestor poszukuje zysku w wysokości 15% rocznie. Zaproponowano mu 3 obligacje. Obligacja A jest zerokuponowa o zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartości nominalnej 8000 jp. Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Zaczniemy od wyceny obligacji A. Dla niej r = 0, 15, OK =rok, więc N = 13 4. P A = W nom (1 + r ) N = 8000(1, 15) 13 4 = 5079, 5122. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 16 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r ef = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r ef = 1, 15 1 2 1 = 0, 0724, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Skoro kupony są wypłacane co 6 miesięcy, to moment wypłaty ostatniego kuponu był 3 miesiące przed wyceną. Najpierw wycenimy obligację B na ten moment, a potem przesuniemy wynik o 3 miesiące do przodu. Wtedy do zapadalności było jeszcze 3 lata i 6 miesięcy, czyli N = 7 okresów płatności kuponów. Musimy przeliczyć stopę zwrotu z rocznej na półroczną, więc r ef = 1, 15 1 2 1 = 0, 0724, stąd q = 1, 0724. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 17 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 18 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 18 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Wynosi ona: W k = W nom r m = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 18 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724. Pozostaje jeszcze poznać wartość nominalną kuponów, wypłacanych w liczbie m = 2 na rok. Wynosi ona: W k = W nom r m = 80000, 05 2 = 200. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 18 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724, W k = 200. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 19 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) N = 7, q = 1, 0724, W k = 200. Możemy już wstawić do wzoru: P = W k 1 (q ) N q 1 + W nom (q ) N = = 1068, 6822 + 4904, 4730 = 5973, 1552. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 19 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja B również ma termin zapadalności za 3 lata i 3 miesiące i wartość 8000 jp, ale ponadto ma kupony wypłacane co pół roku, a oprocentowanie kuponów wynosi 5% rocznie. (...) Cena z poprzedniego slajdu była właściwa 3 miesiące temu, więc teraz musimy ją przesunąć o 3 miesiące, czyli 1 okresu kapitalizacji 2 do przodu: P B = P(q ) 1 2 = 6185, 6053. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 20 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Gdyby najbliższy kupon był wypłacany za 12 miesięcy, wartość konsoli wynosiłaby po prostu: P = W k r = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 21 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Gdyby najbliższy kupon był wypłacany za 12 miesięcy, wartość konsoli wynosiłaby po prostu: P = W k r = 600 0, 15 = 4000. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 21 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Jednakże, wyceniamy obligacje w momencie, gdy 4 miesiące, czyli 1 3 okresu płatności kuponów, już upłynęły, więc: P C = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 22 / 25

Obligacje - przykład Przykład (...) Obligacja C to konsola o kuponach wypłacanych raz rocznie w wysokości 600 jp, najbliższy kupon za 8 miesięcy. Ile inwestor byłby skłonny zapłacić za te obligacje? Jednakże, wyceniamy obligacje w momencie, gdy 4 miesiące, czyli 1 3 okresu płatności kuponów, już upłynęły, więc: P C = P(1 + r ) 1 3 = 4190, 7582. Odp: Inwestor będzie skłonny zapłacić 5079,5122 jp za obligację A, 6185,6053 jp za obligację B oraz 4190,7582 jp za obligację C. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 22 / 25

Stopa YTM W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 23 / 25

Stopa YTM W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 23 / 25

Stopa YTM W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to: Zależność IRR i YTM dla obligacji ( 1 + YTM m ) m 1 = IRR. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 23 / 25

Stopa YTM W opisie obligacji w literaturze fachowej i użytku potocznym pojawia się jeszcze jedna stopa procentowa: stopa rentowności do zapadalności (yield to maturity), różna od stopy oprocentowania kuponów, jak i od wewnętrznej stopy zwrotu z obligacji. Jest to stopa nominalna roczna, która po uzgodnieniu z okresem kapitalizacji równym okresowi płatności kuponów jest równa wewnętrznej stopie zwrotu o tym okresie. Formalnie, gdy IRR jest roczną stopą zwrotu, to: Zależność IRR i YTM dla obligacji ( 1 + YTM m ) m 1 = IRR. Oczywiście, roczne stopy IRR i YTM są równe, gdy kupony są wypłacane raz w roku. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 23 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 24 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? Wewnętrzną roczną stopę zwrotu obliczamy natychmiast z równania: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 24 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? Wewnętrzną roczną stopę zwrotu obliczamy natychmiast z równania: 980 = 30(1 + r ) 1 2 + 1030(1 + r ) 1 r = 0, 0831. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 24 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 25 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? Wystarczy teraz przeliczyć: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 25 / 25

YTM - przykład Przykład Inwestor nabył zaraz po emisji obligację roczną o wartości nominalnej 1000 jp i kuponach płatnych półrocznie w wysokości 30 jp za cenę 980 jp. Jaką osiągnął stopę rentowności do zapadalności? Wystarczy teraz przeliczyć: ( 1 + YTM 2 ) 2 1 = r = 0, 0831 YTM = 0, 0815. Odp: Stopa rentowności do zapadalności wynosi 8, 15%. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje Matematyka finansowa 25 / 25