Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Podobne dokumenty
Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

01. dla x 0; 1 2 wynosi:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

z przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X

Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

Hipotezy proste. (1 + a)x a, dla 0 < x < 1, 0, poza tym.

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Metoda najmniejszych kwadratów

f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( 1

Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.

Statystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych

Spis treści Wstęp Estymacja Testowanie. Efekty losowe. Bogumiła Koprowska, Elżbieta Kukla

Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 7 i 8 - Efektywność estymatorów, przedziały ufności

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD stycznia 2010

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Statystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 9 i 10 - Weryfikacja hipotez statystycznych

Idea. θ = θ 0, Hipoteza statystyczna Obszary krytyczne Błąd pierwszego i drugiego rodzaju p-wartość

Testowanie hipotez statystycznych.

Własności statystyczne regresji liniowej. Wykład 4

MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)

LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Rozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów

XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD grudnia 2009

Prawdopodobieństwo i rozkład normalny cd.

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

Definicja 1 Statystyką nazywamy (mierzalną) funkcję obserwowalnego wektora losowego

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

... i statystyka testowa przyjmuje wartość..., zatem ODRZUCAMY /NIE MA POD- STAW DO ODRZUCENIA HIPOTEZY H 0 (właściwe podkreślić).

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

Szacowanie optymalnego systemu Bonus-Malus przy pomocy Pseudo-MLE. Joanna Sawicka

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Rozkłady prawdopodobieństwa

Centralne twierdzenie graniczne

Ważne rozkłady i twierdzenia

Stosowana Analiza Regresji

METODY ESTYMACJI PUNKTOWEJ. nieznanym parametrem (lub wektorem parametrów). Przez X będziemy też oznaczać zmienną losową o rozkładzie

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Na A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

1.1 Wstęp Literatura... 1

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 4 - zagadnienie estymacji, metody wyznaczania estymatorów

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

2. Założenie niezależności zakłóceń modelu - autokorelacja składnika losowego - test Durbina - Watsona

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Ekonometria egzamin 02/02/ W trakcie egzaminu wolno używać jedynie długopisu o innym kolorze atramentu niż czerwony oraz kalkulatora.

REGRESJA LINIOWA Z UOGÓLNIONĄ MACIERZĄ KOWARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO. Aleksander Nosarzewski Ekonometria bayesowska, prowadzący: dr Andrzej Torój

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 13 i 14 - Statystyka bayesowska

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

Testowanie hipotez statystycznych

g) wartość oczekiwaną (przeciętną) i wariancję zmiennej losowej K.

Weryfikacja hipotez statystycznych

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Zawansowane modele wyborów dyskretnych

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Transkrypt:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. Każde z ryzyk pochodzących z pewnej populacji charakteryzuje się tym że przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ rozkład wartości szkód z tego ryzyka jest złożonym rozkładem oissona: z liczbą szkód o wartości oczekiwanej λ oraz rozkładem wartości pojedynczej szkody Y takim że Ε( Y Λ = λ) = a + b λ gdzie a 0 oraz b > 0. Załóżmy że rozkład parametru ryzyka Λ w tej populacji jest rozkładem Gamma o gęstości danej na półosi dodatniej wzorem: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ) Γ( α) Oczywiście można bez trudu wyznaczyć (Y ) Ε Ε( Y Λ). Rzecz w tym że dużo Ε jako { } bardziej interesująca jest inna wielkość a mianowicie: Ε( Y + Y +... + Y ) E( ) gdzie oznacza liczbę szkód zaś Y + Y +... + Y ich łączną wartość z (losowo wybranego z populacji) ryzyka. Wielkość tę możemy interpretować jako wartość oczekiwaną pojedynczej szkody przypadkowo wylosowanej ze zbioru szkód które obserwujemy dla pewnej dużej grupy ryzyk losowo wybranych z populacji. Ε( Y + Y +... + Y ) wynosi: E( ) (A) (B) (C) α + a + b β + ( α + ) a + b β ( β + ) α + a + b β α ( α + ) (D) a + b β ( α + ) (E) a + b β

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie. iech X i oznacza wartość szkód z i-tegi ryzyka zaś W = X + X +... X n łączną wartość szkód z portfela ryzyk. Rozważa się niekiedy następującą formułę składki Π(W ) za portfel ryzyk W: u ε Π( W ) = μw + σw uε + γ W 6 gdzie u to kwantyl rzędu ( ε ) standaryzowanego rozkładu normalnego zaś ε μ W σw γ W to odpowiednio wartość oczekiwana wariancja i współczynnik skośności zmiennej W. Jeden ze sposobów wyceny indywidualnych ryzyk spójny z wyceną portfela opiera się na formule: Π X ) = μ + a Ε ( X μ )( W μ ) + b Ε ( X μ )( W μ ) ( i i i i W i i W X i { } { } gdzie μ i to wartość oczekiwana zmiennej. Dobierz stałe (a b) tej formuły tak aby zapewnić iż suma składek indywidualnych Π ( X i) zrówna się ze składką za cały portfel Π (W ). rzy założeniach że: uε = σ W = 0000; stałe (a b) wynoszą: (A) a = 0.000 b = 0. 005 (B) a = 0.0 b = 0. 005 (C) a = 0.0 b = 0. 00005 (D) a = 0.000 b = 0. 0000005 (E) a = 0.0 b = 0. 0000005

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 3. W pewnym portfelu ubezpieczeń występuje tendencja do dłuższego czasu likwidacji dużych szkód niż szkód małych. Oto prosty model tego zjawiska: Y D to wartość i czas opóźnienia likwidacji losowo wybranej szkody przy czym rozkład bezwarunkowy zmiennej D określamy następująco: D = 0 jeśli szkodę likwiduje się w tym samym kwartale kiedy do niej doszło D = jeśli szkodę likwiduje się w następnym kwartale D = jeśli szkodę likwiduje się jeszcze o kwartał później itd. a zależność wartości szkody i opóźnienia wyraża założenie że: k E ( Y D = k) = μ ( + w). Rozkład czasu likwidacji szkody w ujęciu ilościowym dany jest więc ciągiem: r k : = r( D = k) zaś rozkład czasu likwidacji szkody w ujęciu wartościowym dany jest ciągiem: rk E( Y D = k) rwk : = E( Y ) Załóżmy że zachodzi: k+ 3 k + r k = k k = 0... oraz: w =. 0 rw3 Wobec tego r wynosi (w przybliżeniu) (A) 0.97 (B) 0.98 (C) 0.99 (D).00 (E).0 3 3

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 4. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki z zerową nadwyżką początkową U t = ct gdzie: () S () t ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t t jest procesem oissona z parametrem intensywności λ () n S n = Y i jest sumą wartości n pierwszych szkód i= wartości szkód Y Y3... są i.i.d niezależne od procesu t O rozkładzie wartości pojedynczej szkody wiemy tylko tyle że: r( Y [ 0] ) = E( Y ) = / 4 Wobec tego wartość oczekiwana deficytu w momencie ruiny (pod warunkiem że do ruiny dojdzie) może przyjmować różne wartości. rzedział który zawiera wszystkie te wartości (i nic ponadto) jest postaci: Y ( ) (A) (B) (C) (D) (E) 8 4 8 4 4 3 4

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 5. Zmienna losowa: X = Y +... + Y ma złożony rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ =. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa składnika Y. W tejże tabeli podano także obliczone dla = 0...4 prawdopodobieństwa r X = k. k ( ) k r ( Y = k ) r( X = k ) 0 0 0.3679 0. 0.0736 0.3 0.77 3 0. 0.096 4 0. 0.0703 5 0. Wobec tego r ( X = 5) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A) 0.068 (B) 0.079 (C) 0.090 (D) 0.0 (E) 0. 5

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 6. W pewnym ubezpieczeniu liczby szkód 3... które w kolejnych latach generuje ubezpieczony charakteryzujący się wartością q parametru ryzyka Q to niezależne zmienne losowe o identycznym rozkładzie dwumianowym z prawdopodobieństwem zajścia szkody w pojedynczym roku równym q. Rozkład wartości parametru ryzyka Q w populacji ubezpieczonych dany jest na przedziale (0) gęstością: Γ( α + β ) α β f Q ( q) = q ( q) Γ( α) Γ( β ) z pewnymi nieznanymi dodatnimi parametrami ( α β ). Wiemy że: prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu jednego p 0 7 roku nie będzie miał szkody wynosi 0 prawdopodobieństwo iż losowo wybrany ubezpieczony w ciągu dwóch p 00 kolejnych lat nie będzie miał szkody wynosi Wobec tego wartości parametrów ( α β ) wynoszą: (A) ( α β ) = (3 7) (B) ( α β) = (6 4) (C) ( α β ) = (9 ) (D) ( α β ) = ( 8) (E) ( α β ) = (5 35). 6

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 7. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k r > μ + t σ ) <. k =... t > 0. k k t σ * Jeśli μ < wtedy istnieje taka liczba t że: 4 * dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo r X > μ + t σ otrzymujemy przyjmując k = * zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k =. σ < oraz t < ( ) Wiemy że zmienna losowa X jest sumą dwóch niezależnych zmiennych losowych o identycznych rozkładach: z zerową wartością oczekiwaną wariancją równą 4 oraz momentem centralnym czwartego rzędu równym 5 4. * Liczba t dla zmiennej losowej X wynosi: (A) 8 (B) 6 (C) 4 (D) (E) 7

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 8. rzyjmijmy że Y Y Y3... są niezależnymi zmiennymi losowymi przy czym: Y Y... mają identyczny rozkład taki że: Y3 r( Y 0) = 0 x > 0 r( Y x) < ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami ( r q) : r + k r k r( = k) = ( q) q k = 0... k q Zaś ma rozkład oissona z wartością oczekiwaną równą r q iech M oznacza maksimum spośród pierwszych wyrazów ciągu Y Y Y3... a dokładniej: 0 gdy = 0 M = max( Y Y... Y ) gdy > 0 Zaś niech M oznacza odpowiednio maksimum spośród pierwszych wyrazów ciągu Y Y...: M Y3 0 = max( Y Y... Y ) gdy gdy Wybierz zdanie które poprawnie charakteryzuje relację rozkładów zmiennych losowych M oraz M. = 0 > 0 (A) Dla dowolnych r > 0 oraz (0) (B) Dla dowolnych r > 0 oraz (0) q zachodzi: r( M < x) r( M < x > x 0 > ) q zachodzi: r( M < x) r( M < x > x 0 < ) (C) Dla dowolnego r > 0 można w przedziale (0) znaleźć zarówno takie q że r( M < x) > r( M < x) jak i takie q że r( M < x) < r( M < x) > x 0 (D) Dla dowolnych r > 0 oraz q (0) istnieje takie x 0 > 0 że r( M < x) > r( M < x) oraz r( M < x) < r( M < x) ( 0 x ) x 0 x > x0 (E) Dla dowolnych r > 0 oraz q (0) istnieje takie x 0 > 0 że r( M < x) < r( M < x) r M < x > r M x ( 0 x ) 0 > x 0 oraz ( ) ( < x) x > x0 8

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 9. Dwa nieobciążone predyktory i parametru ryzyka Θ mają błędy predykcji o wariancjach odpowiednio 9 i 4 a współczynnik korelacji liniowej tych błędów wynosi /3. Wariancja błędu predykcji w klasie predyktorów 3 ( z) zdefiniowanych następująco: 3 ( z) = z + ( z) z [ 0] osiąga wartość najmniejszą gdy współczynnik z jest równy: (A) 4/3 (B) /4 (C) /9 (D) / (E) 0 9

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Zadanie 0. W pewnym ubezpieczeniu szkody zgłaszane są w tym samym roku w którym do nich doszło bądź w roku następnym (opóźnienie nigdy nie jest większe). iech oznacza liczbę szkód zaszłych w roku t i zgłoszonych jeszcze w tym roku zaś liczbę szkód zaszłych w roku t i zgłoszonych w roku następnym. Zakładamy że wszystkie zmienne... są niezależne 0 0 30 3 przy czym zmienne:... mają rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ r 0 0 3 0 3... mają rozkład oissona o wartości oczekiwanej λ ( r) a koniec roku t = mamy następujące obserwacje:. 0 0 rzyjmujemy typowe założenie że oba parametry ( λ r) są nieznane. Estymator rˆ parametru r uzyskany metodą największej wiarygodności w oparciu o te dane wyraża się wzorem: t0 t (A) (B) (C) rˆ = rˆ = rˆ = 0 0 0 0 + 0 + 0 + + 0 + 0 0 + 0 + (D) (E) 0 + 0 rˆ = + + 3 0 0 0 0 + 0 rˆ = + + 0 0

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 3..007 r. Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 007 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko...k L U C Z O D O W I E D Z I... esel... Zadanie nr Odpowiedź unktacja C C 3 A 4 E 5 B 6 B 7 D 8 B 9 E 0 A * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.