Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 58 Politechniki Wrocławskiej Nr 58 Studia i Materiały Nr 5 005 Joanna LIS * *, Teresa ORŁOWSKA-KOWALSKAF układ dwumasowy, identyfikacja nieparametryczna, estymator regresji jądrowej ANALIZA WŁAŚCIWOŚCI ESTYMATORA REGRESJI JĄDROWEJ W ZADANIU IDENTYFIKACJI NIEPARAMETRYCZNEJ CHARAKTERYSTYK NIELINIOWYCH ZŁOŻONEGO UKŁADU NAPĘDOWEGO Artykuł dotyczy identyfikacji nieparametrycznej charakterystyk nieliniowych złożonego układu napędowego - charakterystyki tarcia i charakterystyki luzów. Proces identyfikacji został zrealizowany za pomocą estymatora regresji jądrowej. Opisana procedura jest jednym z elementów procedury identyfikacyjnej złożonego systemu napędowego według koncepcji systemów blokowo zorientowanych. Przebadano wpływ typu funkcji jądrowej oraz jej parametrów na dokładność procedury identyfikacji, dopasowanie do zadania oraz odporność na szumy.. WPROWADZENIE W nowoczesnych aplikacjach napędowych istotna jest dokładna znajomość obiektu sterowania. W większości przypadków, gdy część mechaniczna układów mechatronicznych modelowana jest jako dynamiczny układ liniowy, dwu lub wielomasowy, a występujące w tym układzie zjawiska nieliniowe takie jak tarcie suche i luzy są pomijane, zadanie identyfikacji sprowadza się do dobrze znanego zagadnienia identyfikacji parametrów liniowego modelu dynamicznego. Jednak, gdy układ pracuje w zakresie małych prędkości, przy zmianach kierunku ruchu wirnika silnika (prędkość przyjmuje zerowe wartości), wpływ zjawisk nieliniowych występujących w układzie staje się znaczący. Jeśli ponadto wymagana jest duża precyzja sterowania układem pracującym w takich warunkach, jak na przykład w przypadku sterowania ramieniem robota czy napędami obrabiarkowymi, zjawiska nieliniowe muszą być uwzględnione. Wówczas identyfikacja obiektu jest zagadnieniem znacznie trudniejszym, ponieważ należy zidentyfikować nieliniowy obiekt dynamiczny. * Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, 50-37 Wrocław, ul Smoluchowskiego 9, joanna.lis@pwr.wroc.pl, teresa.orlowska-kowalska@pwr.wroc.pl
Jednym z możliwych podejść do identyfikacji jest przedstawienie obiektu w postaci tzw. systemów blokowo zorientowanych ("block-oriented systems"). Zgodnie z tą koncepcją zakłada się, że nieliniowy system dynamiczny może być przedstawiony jako zbiór połączonych ze sobą stosunkowo prostych elementów, tj. liniowych podsystemów dynamicznych i nieliniowych podsystemów statycznych. Podejście to w zadaniu identyfikacji nieliniowości występujących w złożonych systemach napędowych zastosowano w pracach [], [7], [8]. We wszystkich pracach stosowano taki sam typ systemu blokowo zorientowanego system Hammersteina, który składa się z szeregowo połączonych podsystemów wyjściowego liniowego podsystemu dynamicznego i wejściowego statycznego podsystemu nieliniowego. Jako algorytm identyfikacji w pracy [7] i [8] zastosowano metodę najmniejszych kwadratów, a w pracy [] identyfikację przeprowadzono za pomocą sieci neuronowych. Niniejszy artykuł dotyczy zagadnienia identyfikacji nieparametrycznej charakterystyk nieliniowych dwumasowego układu napędowego: charakterystyki tarcia oraz luzów (strefy martwej). Opisana procedura jest jednym z elementów procedury identyfikacyjnej złożonego systemu napędowego według koncepcji systemów blokowo zorientowanych. Identyfikację przeprowadzono za pomocą estymatora regresji jądrowej. Zbadano wpływ postaci funkcji jądrowej (jądro kwadratowe E, gaussowskie E) oraz jej parametrów na efektywność działania estymatora. We wszystkich przypadkach uwzględniono zakłócenie charakterystyki odniesienia przez szumy oraz zastosowano eksperyment bierny. Badano zdolność poszczególnych estymatorów o różnej postaci funkcji jądrowej do dokładnego odtworzenia poszczególnych typów charakterystyk w zależności od poziomu szumów występujących w układzie. W przypadku wszystkich metod uzyskano niską wartość kryterium MSE. Jednak w zastosowaniu do identyfikacji charakterystyki tarcia zdecydowanie lepszy okazał się algorytm E, ze względu na lepszą zdolność do odtwarzania punktów leżących w pobliżu nieciągłości tej charakterystyki.. IDENTYFIKACJA NIEPARAMETRYCZNA Najczęściej stosowanym podejściem do zadań identyfikacji jest tak zwana identyfikacja parametryczna. W zadaniu identyfikacji parametrycznej przyjmuje się na wstępie pewien model identyfikowanego systemu. Za pomocą procedury identyfikacyjnej wyznacza się skończoną liczbę parametrów tego modelu. Jednak zaproponowanie uniwersalnego modelu matematycznego niektórych nieliniowych zjawisk jest niemożliwe, lub tak kłopotliwe, że wygodniejszym podejściem jest identyfikacja nieparametryczna tzn. odtwarzanie identyfikowanej charakterystyki punkt po punkcie na podstawie skończonej liczby pomiarów. Do takich zjawisk należą występujące w części mechanicznej złożonego układu napędowego zjawisko luzów, czy tarcie suche.
Zjawisko luzów występujące w układach mechatronicznych związane jest z występowaniem elementów typu sprzęgła, przekładnie zębate, w których stopniowo, w trakcie eksploatacji powstają luzy. Podczas zmiany kierunku obrotów w wyniku występującego luzu zmienia się powierzchnia styku przenosząca moment napędowy. Zjawisko to powoduje powstanie strefy martwej. W trakcie eksploatacji urządzenia napędowe zużywają się, co powoduje nasilanie się tego zjawiska. W związku z tym występują problemy z propozycją uniwersalnego modelu tego zjawiska, dla różnych systemów napędowych. W badaniach symulacyjnych przyjęto następujący model matematyczny zjawiska luzów, jako identyfikowaną charakterystykę odniesienia (charakterystykę strefy martwej). x ε dla x > ε F( x) = 0 dla x < ε () x + ε dla x < ε Zjawisko tarcia suchego utrudnia przejście układu napędowego ze stanu spoczynku do stanu ruchu. Tarcie ma charakter silnie nieliniowy przy przejściu ze stanu spoczynku do stanu ruchu. Symulowana charakterystyka odniesienia w przypadku identyfikacji nieparametrycznej charakterystyki momentu tarcia z uwzględnieniem zjawiska tarcia suchego miała następującą postać: F ( ) ( b* c) ( x) sign( x) d x e x + = + () gdzie: d=0.5, b=, c=0,. Aby symulacyjna procedura identyfikacji była bardziej zbliżona do identyfikacji w warunkach rzeczywistych symulowano silne zaszumienie obu charakterystyk. Szumem był sygnał losowy wygenerowany za pomocą powszechnie używanej metody odwrotnej dystrybuanty. Przyjęto również sposób wykonywania pomiarów według schematu eksperymentu biernego. Na podstawie skończonej liczby par punktów zdjętych z symulowanej charakterystyki odniesienia, na którą nałożony został uprzednio sygnał losowy o rozkładzie normalnym odtwarzano szukaną charakterystykę. Charakterystykę tę odtwarza się lokalnie, punkt po punkcie dla skończonej wstępnie założonej liczby punktów wyznacza się kolejne wartości funkcji c(v ).. c(v n ) w poszczególnych punktach v,..v n zgodnie z przyjętym algorytmem identyfikacji.
3. OPIS ALGORYTMU Do rozwiązania zadania identyfikacji nieparametrycznej nieliniowości części mechanicznej złożonego układu napędowego zastosowano estymator regresji jądrowej. Tego typu estymator był stosowany w zadaniu identyfikacji nieparametrycznej systemów blokowo zorientowanych (Hammersteina i Wienera) w [3]-[6]. Estymator ten charakteryzuje się bardzo duża odpornością na zaszumienie charakterystyki odniesienia, jednak wymaga wykonania stosunkowo dużej liczby par obserwacji (punktów z charakterystyki odniesienia) w stosunku do identyfikowanych punków. Ogólna postać tego estymatora wyraża się wzorem: n i Yi K + i= = h( n) cˆ n ( v) (3) n v Vi i= K v V h( n) gdzie: Y wektor danych wyjściowych obiektu identyfikowanego, V wektor danych wejściowych obiektu identyfikowanego K(v) funkcja jądrowa, h(n) ciąg liczb dodatnich. Aby stosowany estymator był zbieżny ciąg h(n) musi spełniać poniższe założenia: lim n h{ n) = 0 (7) lim n nh( n) = (8) Funkcja jądrowa K(v) musi spełniać poniższe założenie: v = K( v) dv = Badano dokładność odtworzenia charakterystyki tarcia suchego i charakterystyki luzu w zależności od postaci funkcji jądrowej oraz jej parametrów. W przypadku algorytmu E przyjęto następującą postać funkcji jądrowej: (4)
l v [ a; a] K ( v) = (5) 0 v [ a; a] Badano wpływ parametru a (szerokości jądra) na dokładność identyfikacji. Wartość parametru l w stosunku do parametru a przyjęto taką, aby spełnione było założenie (4). W algorytmie E funkcja jądrowa miała następującą postać: K( v) ν e s π s = (6) gdzie: s parametr jądra W przypadku algorytmu E, badano wpływ parametru s na dokładność identyfikacji. Dla obu wersji algorytmu (E, E) przyjęto taką samą postać ciągu h(n) 5 h ( n) = n. (9) Jako kryterium oceny algorytmu przyjęto błąd średniokwadratowy MSE: MSE = M M i= ( F( v) cˆ n ( v)) (0) gdzie: M liczba punktów estymowanych, F(v) prawdziwa wartość funkcji w punkcie, ˆ ( v) estymowana wartość funkcji w punkcie c n 4. BADANIA SYMULACYJNE 4.. IDENTYFIKACJA CHARAKTERYSTYKI LUZU Przeprowadzono badania symulacyjne wpływu postaci funkcji jądrowej (jądro kwadratowe E, gaussowskie E) oraz jej parametrów na efektywność działania estymatora regresji jądrowej w zadaniu identyfikacji nieparametrycznej charakterystyki luzów. Badania przeprowadzono w środowisku Matlab. Wartości wskaźnika MSE dla algorytmu E prostokątna postać funkcji jądrowej według wzoru (5) przy różnych wartościach wariancji zakłóceń i parametru a zapre-
zentowano w tabeli. Natomiast wartości wskaźnika jakości MSE dla algorytmu E (jądro gaussowskie według wzoru (6)), przy różnych wartościach wariancji zakłóceń σ i parametru s zaprezentowano tabeli. Wartości wskaźnika MSE w obu tabelach są średnią z 00 prób. Tabela. Wartość wskaźnika MSE dla algorytmu E w zależności od wariancji zakłóceń σ i wartości parametru a dla charakterystyki luzu Table. Coefficient MSE for the algorithm E different values of noise variance σ and parameter a; backlash characteristic; a parametr szerokości funkcji jądra σ 0,5 0,5 0,5 0,75,00,5,5,75 0,5 0,534 0,049 0,085 0,06 0,0096 0,0080 0,0075 0,007 0,5 0,38 0,0959 0,0370 0,044 0,089 0,065 0,040 0,03 0,75 0,4060 0,508 0,060 0,0358 0,087 0,030 0,008 0,067 0,53 0,983 0,0804 0,0504 0,0375 0,0309 0,06 0,07,5 0,6769 0,779 0,66 0,0763 0,066 0,048 0,0374 0,0344,75 0,7445 0,397 0,97 0,0895 0,0695 0,057 0,044 0,0383 0,8567 0,3503 0,66 0,04 0,078 0,0600 0,0493 0,0438 W przypadku algorytmu E (jądro prostokątne- skończone) dokładność identyfikacji poprawia się wraz ze wzrostem szerokości jądra (wartości parametru a) i niezależnie od poziomu szumów jest tym lepsza im większa jest wartość tego parametru. Wraz ze wzrostem parametru a rośnie prawdopodobieństwo, że większa liczba punktów pomiarowych znajdzie się w obszarze jądra i zostanie wykorzystana do wyestymowania punktu poszukiwanej charakterystyki. Należy jednak zwrócić uwagę, że nadmierna szerokość jądra nie jest korzystna, ponieważ zaczynają być brane pod uwagę pomiary znacznie oddalone od poszukiwanych punktów. Zjawisko to jest szczególnie widoczne w przypadku odtwarzania charakterystyki tarcia, przedstawionego w podrozdziale 4.. W przypadku algorytmu E najniższą wartość wskaźnika jakości udało się uzyskać wówczas, kiedy parametr s przyjmował wartość zbliżoną do (w przedziale między 0,75 a,5). Dla stosunkowo małej wartości wariancji szumów korzystniejsza była niższa wartość parametru s, a wraz ze wzrostem poziomu szumów lepszą jakość identyfikacji udało się uzyskać dla większych jego wartości. Algorytm E zapewnia lepsze wyniki identyfikacji w przypadku, gdy charakterystyka odniesienia jest silnie zaszumiona. Jednocześnie jest korzystniejszy ze względu na fakt, iż wymaga mniejszej liczby par obserwacji wstępnych niż algorytm E, co jest istotne w przypadku estymatora regresji jądrowej, którego wadą jest konieczność zgromadzenia znacznej liczby danych wstępnych w stosunku do danych odtworzonych.
Tabela. Wartość wskaźnika MSE dla algorytmu E w zależności od wariancji zakłóceń σ i wartości parametru s dla charakterystyki luzu; Table. Coefficient MSE for the algorithm E different values of noise variance σ and parameter s; backlash characteristic; s -parametr funkcji jądra σ 0,5 0,5 0,5 0,75,00,5,5,75 0,5 0,007 0,0 0,0064 0,0067 0,0086 0,05 0,066 0,03 0,5 0,0438 0,006 0,04 0,003 0,06 0,038 0,079 0,040 0,75 0,0653 0,030 0,069 0,030 0,03 0,059 0,005 0,053 0,0888 0,0379 0,03 0,066 0,055 0,065 0,008 0,053,5 0,34 0,063 0,037 0,05 0,08 0,006 0,049 0,093,75 0,40 0,0776 0,037 0,06 0,04 0,057 0,047 0,033 0,676 0,0868 0,049 0,03 0,073 0,05 0,075 0,036 Na rysunku przedstawiono przykładowe wyniki identyfikacji charakterystyki strefy martwej za pomocą algorytmów E i E dla największej wariancji zakłóceń z badanego przedziału. W tym przypadku odwzorowanie uzyskane przy wykorzystaniu jądra prostokątnego (5) jest gorsze niż przy zastosowaniu jądra gaussowskiego (6). F(x) 5 4 3 0 - - -3-4 a) b) -5-4 -3 - - 0 3 4 x F(x) 5 4 3 0 - - -3-4 -5-4 -3 - - 0 3 4 x Rys.. Wyniki identyfikacji charakterystyki luzu przy wariancji zakłóceń σ =.5 a) algorytm E, a= b) algorytm E s= Fig.. Identification results for backlash characteristic; noise variance σ =.5 a) algorithm E a=, b) algorithm E s=
4.. IDENTYFIKACJA CHARAKTERYSTYKI TARCIA Przeprowadzono badania efektywności identyfikacji nieparametrycznej charakterystyki tarcia za pomocą estymatora regresji jądrowej. Zbadano własności tego estymatora z zależności od postaci funkcji jądrowej i jej parametrów. Oprócz wartości wskaźnika jakości MSE obrazującego średnią dokładność odtworzenia charakterystyki (tabele 3 i 4) wzięto również pod uwagę zdolność estymatora do odtworzenia charakterystyki w jej szczególnych obszarach tj. zdolność do otworzenia jej nieliniowego charakteru w okolicy zera związanego z występowaniem zjawiska tarcia suchego. Wartości wskaźnika MSE w obu tabelach podobnie, jak w przypadku charakterystyki strefy martwej są średnią z 00 prób. Tabela 3. Wartość wskaźnika MSE dla algorytmu E w zależności od wariancji zakłóceń σ i wartości parametru a dla charakterystyki tarcia suchego Table 3. Quality coefficient MSE for the algorithm E for different values of noise variance σ and parameter a; fiction torque characteristic; a parametr szerokości funkcji jądra σ 0,5 0,5 0,5 0,75,00,5,5,75 0,*0-3 0,004 0,005 0,007 0,008 0,009 0,00 0,003 0,005 0,5*0-3 0,004 0,005 0,007 0,008 0,000 0,00 0,003 0,004 0,5*0-3 0,004 0,006 0,007 0,008 0,000 0,00 0,00 0,005 0,75*0-3 0,004 0,005 0,007 0,008 0,000 0,00 0,003 0,004 *0-3 0,004 0,005 0,007 0,008 0,000 0,00 0,00 0,004,5*0-3 0,004 0,005 0,007 0,008 0,009 0,00 0,003 0,005,5*0-3 0,004 0,006 0,007 0,008 0,000 0,00 0,003 0,004 Tabela 4. Wartość wskaźnika MSE dla algorytmu E w zależności od wariancji zakłóceń σ i wartości parametru s dla charakterystyki tarcia Table 4. Quality coefficient MSE for the E algorithm for different values of noise variance σ and parameter s; friction torque characteristic s-parametr funkcji jądra σ 0,5 0,5 0,5 0,75,00,5,5,75 0,*0-3 0,006 0,008 0,003 0,0037 0,0038 0,004 0,0046 0,0047 0,5*0-3 0,006 0,008 0,004 0,0038 0,0037 0,004 0,0046 0,0047 0,5*0-3 0,006 0,008 0,004 0,0037 0,0037 0,004 0,0046 0,0047 0,75*0-3 0,006 0,008 0,003 0,0037 0,0038 0,004 0,0046 0,0047 *0-3 0,006 0,008 0,003 0,0037 0,0037 0,004 0,0046 0,0047,5*0-3 0,006 0,008 0,004 0,0037 0,0038 0,004 0,0046 0,0047,5*0-3 0,006 0,008 0,003 0,0037 0,0038 0,004 0,0046 0,0047
Pomimo niewielkich różnic wartości wskaźnika jakości w przypadku obu algorytmów, algorytm E jest znacznie korzystniejszy w zadaniu identyfikacji nieparametrycznej charakterystyki tarcia. Chociaż średnia jakość odtworzenia charakterystyki jest bardzo dobra, to jednak algorytm E nie odtwarza poprawnie części charakterystyki w okolicy zera, co w przypadku zastosowania tego algorytmu do identyfikacji charakterystyki tarcia występującego w pobliżu prędkości zerowej ma kluczowe znaczenie (Rys..). W przypadku, gdy istotne jest nie tyle dobre średnie odtworzenie charakterystyki, ile znalezienie punktów leżących w okolicy nieciągłości identyfikowanej charakterystyki, korzystniejsze jest stosowanie funkcji o skończonej szerokości okna. a) b) tf(ω l ) 0. 0.5 0. 0.05 0-0.05-0. -0.5-0. -0.5 tf(ω l ) 0. 0.5 0. 0.05 0-0.05-0. -0.5-0. -0. -0. 0 0. 0. 0.3-0.5 ω l -0. -0. 0 0. 0. 0.3 ω l Rys.. Wyniki identyfikacji charakterystyki tarcia przy wariancji zakłóceń σ =.5*0-3 a) algorytm E a=0.5, b) algorytm E s=0.5 Fig.. Identification results friction torque characteristic; noise variance σ =.5*0-3 a) algorithm E a=0.5, b) algorithm E s=0.5 4. WNIOSKI W artykule zaprezentowano wyniki badań skuteczność estymatora regresji jądrowej w zadaniu identyfikacji nieparametrycznej nieliniowych charakterystyk występujący w złożonym układzie napędowym w zależności od postaci funkcji jądrowej oraz jej parametrów. Porównywano skuteczność odtwarzania charakterystyki momentu tarcia suchego oraz luzu za pomocą dwóch wersji algorytmu: E z jądrem prostokątnym i E z jądrem gaussowski. Algorytm E znacznie lepiej nadaje się do identyfikacji charakterystyki tarcia przy prędkości bliskiej zeru, ponieważ jest w stanie znacznie lepiej odtworzyć funkcję w okolicy charakterystycznych nieciągłości. Natomiast w przypadku identyfikacji charakterystyki strefy martwej różnice są nieznaczne jednak
algorytm z jądrem gaussowskim umożliwia nieco lepsze odtworzenie tej charakterystyki. Przez odpowiedni dobór parametrów funkcji jądrowej można wprawdzie poprawić właściwości estymatora, jednak nie powoduje to znacznej różnicy w jakości dotwarzania. Należy, więc uznać, że algorytm nie wymaga bezwzględnie dostrajania do konkretnego problemu, co jest jego dużą zaletą. LITERATURA [] ANGERER B. T., HINTZ Ch., SCHROEDER D., Online identification of a nonlinear mechatronic system, Control Engineering Practice, pp. 465 478, 004. [] GIERGIEL J., UHL T., Identyfikacja układów mechanicznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 990. [3] GREBLICKI W., Nonlinearity Estimation in Hammerstein Systems Based on Ordered Observations, IEEE Transactions on Signal Processing vol. 44, No. 5, pp. 4 33, May 996 [4] GREBLICKI W., KRZYŻAK A., PAWLAK M., Distribution-free pointwise consistency of kernel regression estimate, Annals of Statistics, Vol., No. 4, 984, pp. 570 575 [5] GREBLICKI W., Nieparametryczna identyfikacja systemów, Krajowa Konferencja Granty Automatyka 95, Warszawa, str. 89 96, 995 [6] GREBLICKI W., PAWLAK M., Identification of discrete Hammerstein systems using kernel regression estimates, IEEE Transactions on Automatic Control, vol.3, pp. 74-77, 986. [7] KARA T., EKER İ., Nonlinear modeling and identification of a DC motor for bidirectional operation with real time experiments, Energy Conversion and Management 45, pp. 087 06, 004. [8] KARA T., EKER İ., Nonlinear closed-loop direct identification of a DC motor with load for low speed two-directional operation, Electrical Engineering 86, pp. 87 96, 004. ANALYSIS OF THE PROPERTIES OF KERNEL REGRESSION ESTIMATE FOR NONPARAMETRIC IDENTIFICATION OF THE NONLINEARITIES OF A COMPLEX DRIVE SYSTEM The paper deals with the nonparametric identification of the nonlinearities in a complex drive system i.e. starting friction and dead zone. The identification procedure was performed by means of the kernel regression estimate. Two versions of the estimate varying with the form of kernel functions have been tested E and E. Moreover, the algorithms commissioning sensitivity was also investigated. The conclusion was drown that, however, the features of the algorithm can be improved by means appropriate selection of its parameters commissioning is not necessary. Furthermore, E algorithm should rather be applied to the identification of starting friction characteristic due to its ability of reconstruction of the characteristic's nonlinearity in the vicinity of the function discontinuity.