ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;, 333...; 3, (); 3 5; ( ) 0 ; 7 9 ; 4, 000000...; 3 7 7 3 ; 3 3 3. Zad. Dane są liczby a = 3 i b = 3+. Oblicz wartość wyrażenia: a b a b. Zad.3 Spośród liczb: log 8 log 3, log 40 log, log 3 + 4 log, log 6 log znajdź najmniejszą liczbę całkowitą. Zad.4 Uporządkuj rosnąco wartości a, b, c, d, jeżeli: a = log 4 (3 + log 3 ( + log 4), + 3b +, c = log 9, d = 8 5 4. Zad.5 Zapisz w postaci potęgi liczbę: 8+ 5 3 8 3 5 ( 7 3 ) 3 ( 8 8 + 50 ). Zad.6 Porównaj podane liczby: a = Zad.7 5 log 3 5 + 49 log 4 7 log, b = 3 3 3 log 3 log 6. 6 W pierwszym naczyniu jest roztwór cukru o stężeniu 0%, a w drugim 0%. Gdyby do zawartości pierwszego naczynia wlać kg roztworu z drugiego naczynia, to otrzymalibyśmy roztwór o stężeniu %. Gdyby natomiast kg roztworu z pierwszego naczynia zmieszać z zawartością drugiego naczynia, to powstałby roztwór o stężeniu 6%. Jakie stężenie będzie miał roztwór otrzymany ze zmieszania całych zawartości obu naczyń? Zad.8 Rozwiąż nierówność: x 3 x 9 < 0. Zad.9 Dla jakich wartości parametru m równanie mx + m = 4 ma rozwiązania? Zad.0 Wyznacz wszystkie kolejne cztery liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb. Zad. Sprawdź, czy liczba 0 09 + 04 09 + 05 09 dzieli się przez 0. Zad. Wykaż, że liczba 30 jest dzielnikiem liczby k 5 k dla każdej liczby całkowitej k. Zad.3 Wykaż, że jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to a b + b a.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zad. Zapisz wyrażenie (x + x ) ( + x) w najprostszej postaci. Zad. liczy a przez 3. Wiedząc, że liczba całkowita a nie dzieli się przez 3, znajdź resztę z dzielenia kwadratu Zad.3 Uzasadnij, że jeżeli a + b = i a + b = 7, to a 4 + b 4 = 3. Zad.4 Wykaż, że jeżeli a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta, to a + b c. Zad.5 Wielomian W (x) = x 4 +x 3 +3x +x+ przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego. Zad.6 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x 4 x x + 3. Zad.7 Dane jest równanie: x mx + 6m = 0. Wyznacz sumę sześcianów pierwiastków tego równania w zaleźności od m. Podaj dziedzinę tego wyrażenia. Zad.8 Wyznacz dziedzinę wyrażenia: (a) x 3 x 3 8 + x + 5 x 3 + x 4x 4, (b) 3x x 3 x 4 + 3x 3 4x x. Zad.9 Wykaż, że poniższe wyrażenie jest trójmianem kwadratowym: x 4 + 6x 3 + 7x + 9x + 6. x + 3 Zad.0 Uzasadnij, że dla a, b R + \ {} równość log a b = log b a zachodzi tylko wtedy, gdy a = b lub ab =. Zad. Udowodnij, że jeżeli a > b > 0, to prawdziwa jest nierówność: a 3 b 3 < 3a (a b). Zad. Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi, to (x + y + z) ( x + y + ) 9. z
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 3 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zad. Sprawdź, czy liczba jest rozwiązaniem równania: log 3 (x + 3) = log 3 (x 3). Zad. Sprawdź, która spośród liczb:, 3, 4, 0 nie jest rozwiązaniem nierówności: 6 (x + 3) + (x + ), 5. 8 Zad.3 Wyznacz takie liczby a i b, aby zachodziła równość: a x + 3 + b x 4 = 3x 5 (x + 3)(x 4) dla x 3 i x 4. Zad.4 Uzasadnij, że nie istnieje liczba całkowita spełniająca nierówność: Zad.5 Rozwiąż równania: x(x + ) + (x + )(x + ) + (x + )(x + 3) < 0. (a) 3x 3 3 = 3, (b) x + x = 4, (c) 3 x + = 5. Zad.6 Rozwiąż nierówności: (a) x, (b) x 3 3 <, (c) 3x + 6 + x 8, (d) 3 x x + x x + x x 3, x x (e) + x x < + x x. Zad.7 Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x 3 + 3x + ( a + ) x + a przez dwumian (x ) jest równa 6. Wyznacz wartość partametru a. Rozwiąż nierówność W (x) 0. Zad.8 Liczby pierwsze p i q (p q) są pierwiastkami wielomianu W (x) = x 3 + bx + cx 0, gdzie b i c są liczbami całkowitymi. Zapisz wielomian W (x) jako iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego. Zad.9 Pierwiastkami wielomianu W (x) = x 3 + bx + cx + d są trzy kolejne liczby naturalne. Wyznacz te liczby, jeśli reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x ) jest równa ( ). Zad.0 Wielomian W (x) = x 4 + ax 3 + bx x + b przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: (x + ), (x ) i (x + 3) daje taką samą resztę. Wyznacz a i b. Zad. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej przyprostokątnej o 3 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 4 FUNKCJA KWADRATOWA Zad. Naszkicuj wykres i znajdź sumę miejsc zerowych funkcji f(x) = x 5 dla x <, x 4 dla x < 3, x 7 dla x 3. { x + dla x ; ), Zad. Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x ) dla x ; 3). Zapisz zbiór wartości funkcji f oraz sprawdź, czy liczba a = (0, 5) 0,5 należy do jej dziedziny. Zad.3 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział ( ;. Zbiór rozwiązań nierówności f(x) 0 jest przedziałem 3; 6. Naszkicuj wykres i wyznacz wzór tej funkcji. Zad.4 Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x 4x + 3. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i f(x + ) oraz rozwiąż równanie f(x + ) = 3. Zad.5 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = (x 4)(x+)+x. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 3;. Zad.6 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = x + 4x 30. Znajdź miejsca zerowe tej funkcji, naszkicuj jej wykres oraz zapisz w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ jej monotoniczność oraz znajdź punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. Zad.7 Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku (; ) przechodząca przez punkt o współrzędnych (; ). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci ogólnej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zad.8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x (m )x m +m = 0 ma dwa różne rozwiązania, których iloczyn jest większy od m 3. Zad.9 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których kwadrat różnicy pierwiastków równania x + mx m + 3 = 0 jest mniejszy od 9. Zad.0 Istnieją dwie liczby rzeczywiste m takie, że jeden z pierwiastków równania x 6x+m 3 = 0 jest kwadratem drugiego. Znajdź te liczby. Zad. Dla jakich wartości parametru m równanie x (m )x + m = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste mniejsze od? Zad. Znajdź te wartości parametru m, dla których liczba nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x + (m 3 + 3)x 6m 8m + 44 > 0.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 5 FUNKCJE Zad. Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych przyporządkowuje każdej liczbie n resztę z dzielenia przez 5. Określ zbiór wartości funkcji f, podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych tej funkcji oraz naszkicuj jej wykres dla n 0. Zad. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja określona wzorem f(x) = ( m 4)x + m m + jest malejąca i jej wykres przecina oś OY poniżej punktu P = (0; ). Zad.3 Dana jest funkcja f(x) = 4 6. Wykres funkcji g(x) = f(x + ) przesunięto o 4 jednostki do x dołu, otrzymując wykres funkcji h. Naszkicuj wykres funkcji h, a następnie podaj zbiór rozwiązań nierówności h(x) < 0. Zad.4 Do wykresu funkcji f(x) = a x należy punkt (log 3; 9). Oblicz a i naszkicuj wykresy funkcji f(x), g(x) = f(x) 3, h(x) = f(3x), k(x) = 3f( x). Zad.5 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 6x + 6x + 4 x + i wyznacz miejsca zerowe. Zad.6 Dana jest funkcja f(x) = mx + 3 x +. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m ( ; 3) funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów swojej dziedziny. Zad.7 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 6 x x 4 +. Wyznacz wszystkie wartosci m, dla których równanie f(x) = m nie ma rozwiązań. Zad.8 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 4 x +. Wykaż, że równanie 4 x + = m + ma dwa pierwiastki różnych znaków dla m (0; ). Zad.9 Zaznacz na płaszczyźnie zbiór punktów (x; y), których współrzędne spełniają równanie: log (x ) y =. Zad.0 Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań: (a) { y = 3 + x y x = 3, (b) { y = x x + y = 5.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 6 CIĄGI LICZBOWE Zad.Sprawdźnapodstawiedefinicji,czyciąg( +, +, 3)jestciągiemarytmetycznym. Zad.Sprawdź,którewyrazyciągu(a n )danegowzorema n = n3 7n 6 n+ nie są liczbami naturalnymi. Zad.3 Wiedząc,żetrzeciwyrazciąguarytmetycznego(a n )wynosi,obliczs 5. Zad.4 Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz począwszy od trzeciego jest średnią arytmetyczna dwóch poprzednich. Zad.5 Ciag(a n )jestdanywzoremrekurencyjnyma =,a n+ =a n + 4 dlan.dziewiąty idwudziestypiątywyraztegociągusąpierwiastkamiwielomianuw(x)=x 3 +ax +bx+5.wyznacz argumenty, dla których wielomian W(x) przyjmuje wartości nieujemne. Zad.6 Ciągb n jestokreślonywzoremogólnymb n =n +ndlan=,,3,...określtenciąg w sposób rekurencyjny. Zad.7 Wnieskończonymciąguarytmetycznym(a n ),określonymdlan,sumajedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 87. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego idziewiątegowyrazutegociągujestrówna.wyrazya,a 3,a k ciągu(a n ),wpodanejkolejności, tworzą nowy trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz k. Zad.8 Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy( 8),ailorazpierwszegowyrazuprzeztrzeciwyrazwynosi 4.Wyznacztenciąg. Zad.9 Sumanpoczątkowychwyrazówciągugeometrycznego(a n )oilorazie jestszesnaścierazy większaodsumykolejnychnwyrazówtegociągu.obliczpierwszywyrazciągu,jeżelia n =640. Zad.0 Niech(a n )i(b n )będąciągamitakimi,że a n =[ 7 3++5+...+(4n )] oraz ( ) n b n b n =. Oblicz lim n. a n ( ) (n )(n )(n 3) Zad. Rozwiąż równanie n lim +9+7+5+...+x=4. 6+n 3 Zad. Cyfry pewnej liczby trzycyfrowej x tworzą w kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności trzycyfrowy ciąg geometryczny. Jeżeli od liczby x odejmiemy liczbę trzycyfrową zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odrotnej kolejności, to otrzymamy 594. Znajdź liczbę x.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 7 TRYGONOMETRIA Zad. Sprawdź,czyistniejetakaliczbarzeczywistam,żesinα=m icosα=m+. Zad. Wykaż,żenieistniejekątostryα,dlaktóregosinα tgα=0. Zad.3 Obliczmiarykątówostrychαiβ(α β)wiedząc,żesin(α+β)= 3 oraztg(α β)=. Zad.4 Wtrójkącieprostokątnymsumacosinusówkątówostrychjestrówna 3 3.Oblicziloczyn sinusów tych kątów. Zad.5 Uzasadnij,żeżadnezrozwiązańrównaniacos α 4 cosα =0niemożebyćmiarąkąta wewnętrznego trójkąta. Zad.6 Rozwiąż równania: (a) cos 3 x 3sin x=cosx 3, (b) cos50 cosx+sin50 sinx= 3. Zad.7 Wyznacznajwiększerozwiązanierównania3tgxsinx 3sinx+3tgx 3=0wprzedziale 0; π. Zad.8 Rozwiąż nierówność: cosx > wprzedziale 0;π. Zad.9 Wyznacz te wartości parametru α ( π; π), dla których rozwiązaniem układu równań { x y= x y=cosα jestparaliczb(x;y)spełniającarównanie: x+y= sinα 3. Zad.0 Wyznacz wszystkie wartości parametru α, gdzie α 0; π, dla których dwa różne pierwiastkix ix równania x + x+4sin α =0sątegosamegoznaku. Zad. Wyznacz okres podstawowy funkcji: f(x)= 4( cos x)( sin x). sinx Zad. Wyznaczzbiórwartościimiejscazerowefunkcjif(x)=sin3x+sin( 3 π 3x).
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 8 PLANIMETRIA Zad. Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. C E A D B Zad. DanyjestprostokątABCDobokach4i8( AB =4).PunktEjestśrodkiembokuAB, apunktf punktemprzecięciaodcinkówbdiec.obliczpoletrójkątabef. Zad.3 W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości 3 i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:. Oblicz długości podstaw trapezu. Zad.4 Ramię AD trapezu ABCD(w którym podstawa AB jest równoległa do CD) przedłużono dopunktuetakiego,że AE = AD.PunktMleżynapostawieABoraz AM = MB. OdcinekMEprzecinaprzekątnąBDwpunkcieP.Udowodnij,że BP = PD. Zad.5DanyjestsześciokątforemnyABCDEF,wktórympunktGjestśrodkiembokuCD.Oblicz stosunek długości odcinków EG i AG. Zad.6 Wtrójkącieobokacha,b,c,gdziea b=b c,jedenzkątówmamiarę0.wiedząc,że obwód tego trójkąta wynosi 30, oblicz stosunek długości promienia opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.7WokrągopromieniuRwpisanotrapezABCD,któregopodstawaABjestdwarazydłuższa od podstawy CD, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta DAB. Oblicz pole trapezu. Zad.8 Jedenzkątówtrójkątamamiarę π,aprzeciwległymubokiśrodkowaprzyległegodoniego 3 boku mają długość a. Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta. Zad.9 Wspólnestycznedwóchokręgówstycznychzewnętrznieprzecinająsiępodkatem60. Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 Lista nr 9 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ Zad. Oblicz długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, jeżeli wiadomo, żea=( 4; ),B=(;6),aśrodekbokuBCmawspółrzędne(4;). Zad. Prosteorównaniachy 4=0i4x y+=0orazosieukładuwspółrzędnychograniczają trapez. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Zad.3 DanyjestwierzchołekA=( ;)kwadratuabcdirównanieprostejy=x,wktórej zawarta jest przekątna BD. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Zad.4 PunktD=( ; )jestspodkiemwysokościopuszczonejzwierzchołkaa=(4;)trójkąta równobocznego ABC. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie oraz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta. Zad.5 WtrapezieABCDopodstawachABiDCdanesąwierzchołkiA=( 5;),B=(3; 3) ic =(3,).PrzekątnaDBtrapezujestzawartawprostej3x+y=3.Obliczwspółrzędne punktu D, sinus kąta BAD oraz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD. Zad.6 Dany jest prostokąt ABCD, w którym współrzędne przeciwległych wierzchołków wynoszą: A =(5; 3), C =( 7; ). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołekbleżynaprostejy=5. Zad.7 Wyznacztewartościparametrum,dlaktórychprostel:3x+(m+)y 4=0oraz k:( m)x y+7=0przecinająsiępodkątemróżnymodkątaprostego. Zad.8 Równoramienny trójkąt ABC jest prostokątny i punkt B =(; 4) jest wierzchołkiem kąta prostego.przeciwprostokątnaaczawierasięwprostejl:x+y+=0.wyznaczwspółrzędne wierzchołków A i C. Zad.9 PunktyA=(;),B=(3, )sąwierzchołkamitrójkątaabc.wyznaczwspółrzędne wierzchołka C wiedząc, że środek ciężkości trójkąta leży na osi OX, a pole tego trójkąta jest równe 3. Zad.0 Naokręguorównaniux +y 4x+y 4=0wybranopunktC=(5; ).Prosta x y 4=0przecinatenokrągwpunktachAiB.Wykaż,że (a) kąt ACB jest kątem prostym, (b) punkt P =( ; 4) może być wierzchołkiem kwadratu opisanego na tym okręgu. Zad.Danesąprosteorównaniachy=x+m+iy=x m.dlajakichmpunktprzecięciasię tychprostychnależydokwadratuowierzchołkacha=( ;0),B=(0;),C=(;0)iD=(0; )?
Lista nr 0 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 08/09 ZADANIA TYPU: WYKAŻ, UZASADNIJ, UDOWODNIJ... Zad. DanyjesttrapezABCD,wktórymAB CDorazpunktE,któryleżynaramieniuBC. Udowodnij,że <)AED = <)BAE + <)CDE. Zad. PoprowadzonoprostąrównoległądoosiOX,któraprzecięławykresfunkcjif(x)= x wpunktachaib.niechc=(3, ).Wykaż,żepoletrójkątaABCjestwiększebądźrówne. Zad.3 Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n > liczba W=00 n( 0 n 6 +6 0 4) +4 ( +3 0 n ) jest sześcianem liczby naturalnej podzielnej przez 3 Zad.4 Udowodnij, że dla x (0; ) prawdziwa jest nierówność: 8(+log x 0) log x. Zad.5 Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny, a liczba pierwsza, trzecia i piąta tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być równe. Zad.6 Wykaż, że jeżeli suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich równa się sumie trzeciego i czwartego wyrazu, to ciąg jest stały. Zad.7 Wykaż, że różnica sześcianów dwóch liczb całkowitych różniących się o trzy dzieli się przez 9. Zad.8 Reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 6 jest równa. Reszta z dzielenia liczby naturalnejbprzez6jestrówna5.uzasadnij,żeliczbaa b jestpodzielnaprzez4. Zad.9 Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa jest sumie średnic okręgu opisanego na tym trójkącie i wpisanego w ten trójkąt. Zad.0 Wykaż,żerównaniecos 6 x sin 6 x= 63 niemarozwiązań. Zad. Udowodnij,żejedynymidodatnimiliczbamicałkowitymi,dlaktórychliczban 3 +3jest podzielnaprzezn+3sąliczby:,3,5,9i.