ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 2018/ Oblicz wartość wyrażenia: a b 1 a2 b 2. 2 log )

Transkrypt

1 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr LICZBY RZECZYWISTE Zad. Wskaż liczby wymierne: 4 9 ; 7; 6; π;,...;, (2); 25; ( 2) 0 ; 7 9 ; 4, ; 7 7 ; 2 2. Zad.2 Dane są liczby a = 2 i b = + 2. Oblicz wartość wyrażenia: a b a2 b 2. Zad. Spośród liczb: 2 log 8 2 log, log 40 2 log 2, 2 log + 4 log 2, 2 log 6 log znajdź najmniejszą liczbę całkowitą. Zad.4 Uporządkuj rosnąco wartości a, b, c, d, jeżeli: a = log 4 ( + log ( + log 2 4), + b + 2 2, c = 2 log 2 9, d = Zad.5 Zapisz w postaci potęgi liczbę: ( 7 2 ) ( ) 2. Zad.6 Porównaj podane liczby: a = Zad.7 25 log log 4 7 log, b = log 2 log W pierwszym naczyniu jest roztwór cukru o stężeniu 0%, a w drugim 20%. Gdyby do zawartości pierwszego naczynia wlać kg roztworu z drugiego naczynia, to otrzymalibyśmy roztwór o stężeniu 2%. Gdyby natomiast kg roztworu z pierwszego naczynia zmieszać z zawartością drugiego naczynia, to powstałby roztwór o stężeniu 6%. Jakie stężenie będzie miał roztwór otrzymany ze zmieszania całych zawartości obu naczyń? Zad.8 Rozwiąż nierówność: x x 2 9 < 0. Zad.9 Dla jakich wartości parametru m równanie mx + m = 4 ma rozwiązania? Zad.0 Wyznacz wszystkie kolejne cztery liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb. Zad. Sprawdź, czy liczba dzieli się przez 0. Zad.2 Wykaż, że liczba 0 jest dzielnikiem liczby k 5 k dla każdej liczby całkowitej k. Zad. Wykaż, że jeśli a i b są liczbami tego samego znaku, to a b + b a 2.

2 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 2 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zad. Zapisz wyrażenie (x 2 + x ) ( + x) w najprostszej postaci. Zad.2 liczy a przez. Wiedząc, że liczba całkowita a nie dzieli się przez, znajdź resztę z dzielenia kwadratu Zad. Uzasadnij, że jeżeli a + b = i a 2 + b 2 = 7, to a 4 + b 4 =. Zad.4 Wykaż, że jeżeli a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta, to a + b c 2. Zad.5 Wielomian W (x) = x 4 +x +x 2 +2x+2 przedstaw w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego. Zad.6 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x 4 x 2 2x +. Zad.7 Dane jest równanie: x 2 mx + 6m = 0. Wyznacz sumę sześcianów pierwiastków tego równania w zaleźności od m. Podaj dziedzinę tego wyrażenia. Zad.8 Wyznacz dziedzinę wyrażenia: (a) x x 8 + 2x x + x 2 4x 4, (b) x x x 4 + x 4x 2 2x. Zad.9 Wykaż, że poniższe wyrażenie jest trójmianem kwadratowym: 2x 4 + 6x + 7x 2 + 9x x 2 + Zad.0 Uzasadnij, że dla a, b R + \ {} równość log a b 2 = log b a 2 zachodzi tylko wtedy, gdy a = b lub ab =. Zad. Udowodnij, że jeżeli a > b > 0, to prawdziwa jest nierówność: a b < a 2 (a b). Zad.2 Wykaż, że jeżeli x, y, z są liczbami dodatnimi, to (x + y + z) ( x + y + ) 9. z

3 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zad. Sprawdź, czy liczba 2 jest rozwiązaniem równania: log (x + ) = log (x ). Zad.2 Sprawdź, która spośród liczb: 2,, 4, 0 nie jest rozwiązaniem nierówności: 6 (x + ) + (x + ), 5. 8 Zad. Wyznacz takie liczby a i b, aby zachodziła równość: a x + + b x 4 = x 5 (x + )(x 4) dla x i x 4. Zad.4 Uzasadnij, że nie istnieje liczba całkowita spełniająca nierówność: Zad.5 Rozwiąż równania: x(x + ) + (x + )(x + 2) + (x + 2)(x + ) < 0. (a) x =, (b) x 2 + x = 4, (c) 2x + = 5. Zad.6 Rozwiąż nierówności: (a) x, (b) x < 2, (c) x x 2 8, (d) x x + x x + x 2 x 2, x x 2 (e) + x x 2 < + x x. Zad.7 Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = x + x 2 + ( 2 a + 2) x + a przez dwumian (x 2) jest równa 6. Wyznacz wartość partametru a. Rozwiąż nierówność W (x) 0. Zad.8 Liczby pierwsze p i q (p q) są pierwiastkami wielomianu W (x) = 2x + bx 2 + cx 0, gdzie b i c są liczbami całkowitymi. Zapisz wielomian W (x) jako iloczyn trzech wielomianów stopnia pierwszego. Zad.9 Pierwiastkami wielomianu W (x) = 2x + bx 2 + cx + d są trzy kolejne liczby naturalne. Wyznacz te liczby, jeśli reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian (x ) jest równa ( 2). Zad.0 Wielomian W (x) = x 4 + ax + bx 2 x + b przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: (x + ), (x 2) i (x + ) daje taką samą resztę. Wyznacz a i b. Zad. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o cm i od drugiej przyprostokątnej o 2 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta.

4 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 4 FUNKCJA KWADRATOWA Zad. Naszkicuj wykres i znajdź sumę miejsc zerowych funkcji f(x) = x 5 dla x <, x 2 4 dla x <, x 7 dla x. { x + 2 dla x ; ), Zad.2 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = (x ) 2 dla x ; ). Zapisz zbiór wartości funkcji f oraz sprawdź, czy liczba a = (0, 25) 0,5 należy do jej dziedziny. Zad. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział ( ; 2. Zbiór rozwiązań nierówności f(x) 0 jest przedziałem ; 6. Naszkicuj wykres i wyznacz wzór tej funkcji. Zad.4 Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x 2 4x +. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i f(x + ) oraz rozwiąż równanie f(x + ) =. Zad.5 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = (x 4)(x+2)+2x. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ;. Zad.6 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = 2x 2 + 4x 0. Znajdź miejsca zerowe tej funkcji, naszkicuj jej wykres oraz zapisz w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ jej monotoniczność oraz znajdź punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. Zad.7 Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku (2; ) przechodząca przez punkt o współrzędnych (; ). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci ogólnej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres. Zad.8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 2 (m 2)x m 2 +2m = 0 ma dwa różne rozwiązania, których iloczyn jest większy od m. Zad.9 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których kwadrat różnicy pierwiastków równania x 2 + mx m + = 0 jest mniejszy od 9. Zad.0 Istnieją dwie liczby rzeczywiste m takie, że jeden z pierwiastków równania x 2 6x+m = 0 jest kwadratem drugiego. Znajdź te liczby. Zad. Dla jakich wartości parametru m równanie x 2 (2m )x + m 2 2 = 0 ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste mniejsze od? Zad.2 Znajdź te wartości parametru m, dla których liczba 2 nie należy do zbioru rozwiązań nierówności x 2 + (m + )x 6m 2 8m + 44 > 0.

5 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 5 FUNKCJE Zad. Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych przyporządkowuje każdej liczbie n resztę z dzielenia przez 5. Określ zbiór wartości funkcji f, podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych tej funkcji oraz naszkicuj jej wykres dla n 0. Zad.2 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których funkcja określona wzorem f(x) = (2 m 4)x + 2 m m + 2 jest malejąca i jej wykres przecina oś OY poniżej punktu P = (0; ). Zad. Dana jest funkcja f(x) = 4 6. Wykres funkcji g(x) = f(x + 2) przesunięto o 4 jednostki do x dołu, otrzymując wykres funkcji h. Naszkicuj wykres funkcji h, a następnie podaj zbiór rozwiązań nierówności h(x) < 0. Zad.4 Do wykresu funkcji f(x) = a x należy punkt (log 2 ; 9). Oblicz a i naszkicuj wykresy funkcji f(x), g(x) = f(x), h(x) = f(x), k(x) = f( x). Zad.5 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 6x 2 + 6x + 4 2x + 2 i wyznacz miejsca zerowe. Zad.6 Dana jest funkcja f(x) = mx + x +. Wykaż, że dla każdej wartości parametru m ( ; ) funkcja f jest malejąca w każdym z przedziałów swojej dziedziny. Zad.7 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 6 x2 x Wyznacz wszystkie wartosci m, dla których równanie f(x) = m nie ma rozwiązań. Zad.8 Naszkicuj wykres funkcji f(x) = 4 x + 2. Wykaż, że równanie 4 x + 2 = m + ma dwa pierwiastki różnych znaków dla m (0; ). Zad.9 Zaznacz na płaszczyźnie zbiór punktów (x; y), których współrzędne spełniają równanie: log (x ) y = 2. Zad.0 Rozwiąż algebraicznie i graficznie układy równań: (a) { y = + x y x =, (b) { y = 2 x x 2 + y = 5.

6 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 6 CIĄGI LICZBOWE Zad.Sprawdźnapodstawiedefinicji,czyciąg( 2+, 2+, 2 )jestciągiemarytmetycznym. Zad.2Sprawdź,którewyrazyciągu(a n )danegowzorema n = n 7n 6 n+2 nie są liczbami naturalnymi. Zad. Wiedząc,żetrzeciwyrazciąguarytmetycznego(a n )wynosi2,obliczs 5. Zad.4 Wyznacz wszystkie ciągi geometryczne, w których każdy wyraz począwszy od trzeciego jest średnią arytmetyczna dwóch poprzednich. Zad.5 Ciag(a n )jestdanywzoremrekurencyjnyma =,a n+ =a n + 4 dlan.dziewiąty idwudziestypiątywyraztegociągusąpierwiastkamiwielomianuw(x)=x +ax 2 +bx+5.wyznacz argumenty, dla których wielomian W(x) przyjmuje wartości nieujemne. Zad.6 Ciągb n jestokreślonywzoremogólnymb n =n 2 +ndlan=,2,,...określtenciąg w sposób rekurencyjny. Zad.7 Wnieskończonymciąguarytmetycznym(a n ),określonymdlan,sumajedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 87. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego idziewiątegowyrazutegociągujestrówna2.wyrazya,a,a k ciągu(a n ),wpodanejkolejności, tworzą nowy trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz k. Zad.8 Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy( 8),ailorazpierwszegowyrazuprzeztrzeciwyrazwynosi2 4.Wyznacztenciąg. Zad.9 Sumanpoczątkowychwyrazówciągugeometrycznego(a n )oilorazie 2 jestszesnaścierazy większaodsumykolejnychnwyrazówtegociągu.obliczpierwszywyrazciągu,jeżelia 2n =640. Zad.0 Niech(a n )i(b n )będąciągamitakimi,że a n =[ (4n )] 2 oraz ( ) n 2 b n b n =. Oblicz lim 2 n. a n ( ) (n )(n 2)(n ) Zad. Rozwiąż równanie n lim x= n Zad.2 Cyfry pewnej liczby trzycyfrowej x tworzą w kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności trzycyfrowy ciąg geometryczny. Jeżeli od liczby x odejmiemy liczbę trzycyfrową zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odrotnej kolejności, to otrzymamy 594. Znajdź liczbę x.

7 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 7 TRYGONOMETRIA Zad. Sprawdź,czyistniejetakaliczbarzeczywistam,żesinα=m icosα=m+. Zad.2 Wykaż,żenieistniejekątostryα,dlaktóregosinα tgα=0. Zad. Obliczmiarykątówostrychαiβ(α β)wiedząc,żesin(α+β)= 2 oraztg(α β)=. Zad.4 Wtrójkącieprostokątnymsumacosinusówkątówostrychjestrówna 2.Oblicziloczyn sinusów tych kątów. Zad.5 Uzasadnij,żeżadnezrozwiązańrównaniacos α 4 cosα 2 =0niemożebyćmiarąkąta wewnętrznego trójkąta. Zad.6 Rozwiąż równania: (a) 2cos x sin 2 x=2cosx, (b) cos50 cosx+sin50 sinx= 2. Zad.7 Wyznacznajwiększerozwiązanierównaniatgxsinx sinx+tgx =0wprzedziale 0; 2π. Zad.8 Rozwiąż nierówność: 2cosx 2 > 2 wprzedziale 0;2π. Zad.9 Wyznacz te wartości parametru α ( π; π), dla których rozwiązaniem układu równań { x y= 2x y=cosα jestparaliczb(x;y)spełniającarównanie: x+y= 2sin2α. Zad.0 Wyznacz wszystkie wartości parametru α, gdzie α 0; 2π, dla których dwa różne pierwiastkix ix 2 równania x x+4sin 2 α =0sątegosamegoznaku. Zad. Wyznacz okres podstawowy funkcji: f(x)= 4( cos2 x)( sin 2 x). sin2x Zad.2 Wyznaczzbiórwartościimiejscazerowefunkcjif(x)=sinx+sin( 2 π x).

8 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 8 PLANIMETRIA Zad. Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. C E A D B Zad.2 DanyjestprostokątABCDobokach4i8( AB =4).PunktEjestśrodkiembokuAB, apunktf punktemprzecięciaodcinkówbdiec.obliczpoletrójkątabef. Zad. W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5:. Oblicz długości podstaw trapezu. Zad.4 Ramię AD trapezu ABCD(w którym podstawa AB jest równoległa do CD) przedłużono dopunktuetakiego,że AE =2 AD.PunktMleżynapostawieABoraz AM =2 MB. OdcinekMEprzecinaprzekątnąBDwpunkcieP.Udowodnij,że BP = PD. Zad.5DanyjestsześciokątforemnyABCDEF,wktórympunktGjestśrodkiembokuCD.Oblicz stosunek długości odcinków EG i AG. Zad.6 Wtrójkącieobokacha,b,c,gdziea b=b c,jedenzkątówmamiarę20.wiedząc,że obwód tego trójkąta wynosi 0, oblicz stosunek długości promienia opisanego na tym trójkącie do promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Zad.7WokrągopromieniuRwpisanotrapezABCD,któregopodstawaABjestdwarazydłuższa od podstawy CD, a przekątna AC jest zawarta w dwusiecznej kąta DAB. Oblicz pole trapezu. Zad.8 Jedenzkątówtrójkątamamiarę π,aprzeciwległymubokiśrodkowaprzyległegodoniego boku mają długość a. Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta. Zad.9 Wspólnestycznedwóchokręgówstycznychzewnętrznieprzecinająsiępodkatem60. Wyznacz stosunek długości promieni tych okręgów.

9 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 9 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ Zad. Oblicz długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, jeżeli wiadomo, żea=( 4; 2),B=(2;6),aśrodekbokuBCmawspółrzędne(4;). Zad.2 Prosteorównaniachy 4=0i4x y+2=0orazosieukładuwspółrzędnychograniczają trapez. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Zad. DanyjestwierzchołekA=( 2;)kwadratuABCDirównanieprostejy=2x,wktórej zawarta jest przekątna BD. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Zad.4 PunktD=( 2; )jestspodkiemwysokościopuszczonejzwierzchołkaa=(4;2)trójkąta równobocznego ABC. Wyznacz współrzędne środka okręgu opisanego na tym trójkącie oraz współrzędne pozostałych wierzchołków tego trójkąta. Zad.5 WtrapezieABCDopodstawachABiDCdanesąwierzchołkiA=( 5;),B=(; ) ic =(,).PrzekątnaDBtrapezujestzawartawprostejx+2y=.Obliczwspółrzędne punktu D, sinus kąta BAD oraz promień okręgu opisanego na trójkącie ABD. Zad.6 Dany jest prostokąt ABCD, w którym współrzędne przeciwległych wierzchołków wynoszą: A =(5; ), C =( 7; ). Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołekbleżynaprostejy=5. Zad.7 Wyznacztewartościparametrum,dlaktórychprostel:x+(2m+)y 4=0oraz k:( 2m)x y+7=0przecinająsiępodkątemróżnymodkątaprostego. Zad.8 Równoramienny trójkąt ABC jest prostokątny i punkt B =(2; 4) jest wierzchołkiem kąta prostego.przeciwprostokątnaaczawierasięwprostejl:2x+y+2=0.wyznaczwspółrzędne wierzchołków A i C. Zad.9 PunktyA=(2;),B=(, 2)sąwierzchołkamitrójkątaABC.Wyznaczwspółrzędne wierzchołka C wiedząc, że środek ciężkości trójkąta leży na osi OX, a pole tego trójkąta jest równe. Zad.0 Naokręguorównaniux 2 +y 2 4x+2y 4=0wybranopunktC=(5; ).Prosta x 2y 4=0przecinatenokrągwpunktachAiB.Wykaż,że (a) kąt ACB jest kątem prostym, (b) punkt P =( ; 4) może być wierzchołkiem kwadratu opisanego na tym okręgu. Zad.Danesąprosteorównaniachy=x+m+iy=2x 2m.Dlajakichmpunktprzecięciasię tychprostychnależydokwadratuowierzchołkacha=( ;0),B=(0;),C=(;0)iD=(0; )?

10 Lista nr 0 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 ZADANIA TYPU: WYKAŻ, UZASADNIJ, UDOWODNIJ... Zad. DanyjesttrapezABCD,wktórymAB CDorazpunktE,któryleżynaramieniuBC. Udowodnij,że <)AED = <)BAE + <)CDE. Zad.2 PoprowadzonoprostąrównoległądoosiOX,któraprzecięławykresfunkcjif(x)= x 2 wpunktachaib.niechc=(, ).Wykaż,żepoletrójkątaABCjestwiększebądźrówne2. Zad. Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej n > 2 liczba W=00 n( 0 n ) +4 ( 2+ 0 n 2) jest sześcianem liczby naturalnej podzielnej przez Zad.4 Udowodnij, że dla x (0; ) prawdziwa jest nierówność: 8(+2log x 0) log x. Zad.5 Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny, a liczba pierwsza, trzecia i piąta tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być równe. Zad.6 Wykaż, że jeżeli suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich równa się sumie trzeciego i czwartego wyrazu, to ciąg jest stały. Zad.7 Wykaż, że różnica sześcianów dwóch liczb całkowitych różniących się o trzy dzieli się przez 9. Zad.8 Reszta z dzielenia liczby naturalnej a przez 6 jest równa. Reszta z dzielenia liczby naturalnejbprzez6jestrówna5.uzasadnij,żeliczbaa 2 b 2 jestpodzielnaprzez24. Zad.9 Udowodnij, że w trójkącie prostokątnym suma przyprostokątnych równa jest sumie średnic okręgu opisanego na tym trójkącie i wpisanego w ten trójkąt. Zad.0 Wykaż,żerównaniecos 6 x sin 6 x= 6 niemarozwiązań. Zad. Udowodnij,żejedynymidodatnimiliczbamicałkowitymi,dlaktórychliczban +jest podzielnaprzezn+sąliczby:,,5,9i2.

11 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr STEREOMETRIA Zad. Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóchkrawędzigórnejpodstawy.poleotrzymanegoprzekrojujestrówne40,5cm 2.Obliczobjętość tego sześcianu. Zad.2 Przekątne dwóch ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka tworząkątomierzeγinachylonesądopłaszczyznypodstawypodkątamiαiβ.uzasadnij,że cosγ=sinα sinβ. Zad. Wyznacz miarę kąta między ścianą boczną i płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowegosześciokątnegowiedząc,żepolejegopodstawyjestrówne6,apolepowierzchnibocznej ostrosłupa wynosi 2. Zad.4 Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest nachylona do płaszczyzny podstawypodkątem60.krawędźpodstawyabcmadługośća.wyznaczpoleprzekrojuostrosłupa ABCS płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem45. Zad.5 Trapezprostokątnyopodstawach6i9orazkącieostrym45 obracasięwokółkrótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej powstałej bryły. Zad.6 W kulę wpisano stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Oblicz stosunek objętości kuli do objętości stożka. Zad.7 Kulę przecięto dwiema równoległymi płaszczyznami odległymi od siebie o 0 i leżącymi po różnych stronach środka kuli. Płaszczyzny w przecięciu z kulą dają dwa koła o promieniach długości 4 i 6. Oblicz pole powierzchni tej kuli. Zad.8 Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny. Przecięto go płaszczyzną prostopadłą do jednej ze ścian bocznych i przechodzącą przez wierzchołek podstawy oraz przez środki dwóch krawędzi bocznych. Korzystając z własności tego przekroju, znajdź stosunek wysokości ściany bocznej ostrosłupa do krawędzi podstawy. Zad.9 Dany jest walec o promieniu podstawy r. Powierzchnia boczna walca jest prostokątem, któregoprzekątnatworzyzbokiemprzystającymdowysokościkątomierze0.płaszczyznarównoległadoosiwalcaioddalonaodniejo rpodzieliławalecnadwiebryły.obliczróżnicęobjętości 2 tych brył.

12 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr2 Zad. Danesąprosteorównaniach:mx+y 2=0orazx my =0.Oblicz,dlajakich wartości parametru m proste te przecinają się w punkcie o dodatnich współrzędnych. Zad.2 WyznaczczęśćwspólnązbiorówAiB,gdzieB={x R: x 2 8},natomiastzbiór A jest dziedziną funkcji f określonej wzorem f(x)=log 0 x+x2 x + x+2 x 4. Zad. Ramiona trapezu opisanego na okręgu mają długości i 5, a pole trapezu wynosi 68. Oblicz pola czterech trójkątów na jakie dzielą trapez jego przekątne. Zad.4 Danyjestciąg(a n )owyrazieogólnyma n = 4n n+.siedemnastyiczwartywyraztegociągu są, odpowiednio, ósmym i szóstym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz, ile wyrazów tego ciągu arytmetycznego daje w sumie 54. Zad.5 Wurniejestmlosów,wtymkwygrywających( k<m).zurnywybieralososobaa, azpozostałychlosówtakżejedenlos osobab.zbadaj,którazosóbmawiększąszansęwygranej. Zad.6 Oblicz, dla jakich wartości parametru m dwa różne pierwiastki równania 9 2 (x2 x) 4 = 4 m spełniająwarunek x 2 + x 2 2 =8. Zad.7 Naparaboliorównaniuy= x 2 znajdźpunktleżącynajbliżejprostejx+y 2=0. Napisz równanie stycznej do paraboli w tym punkcie. Zad.8 Zezbioru{a,0,,2,b},gdzieajestnajmniejszą,zaśb największązliczbnależących dodziedzinyfunkcjif(x)= x 2 +2x+,losujemybezzwracaniadwieliczbymin.Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane liczby spełniają warunek m n = 2? Zad.9 Z pudełka zawierającego b kul białych i c czarnych losujemy jedną kulę. Jeżeli wylosujemy kulę białą, to rzucamy dwa razy monetą. Natomiast, gdy wylosujemy kulę czarną rzucamy trzy razy monetą. Prawdopodobieństwo zdarzenia, że wyrzucimy w tym doświadczeniu co najmniej jednegoorłajestrówne 7 48.Oblicz,jakamożebyćnajmniejszaliczbakulkażdegorodzajuwpudełku. Zad.0 W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim. Dla jakiej wartości kąta α stosunek ten jest największy?

13 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr Zad. W trójkącie równoramiennym kąt przy podstawie ma miarę α. Oblicz stosunek długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt do długości promienia okręgu opisanego na nim. Dla jakiej wartości kąta α stosunek ten jest największy? Zad.2 Obliczwartośćbezwzględnąsumypierwiastkówrównania: x 2 +x+ + x+ =5.Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku. Zad. DanyjesttrójkątABComiarachkątówα,β,γorazx= sinα sinβ.uzasadnij,że (a) jeżelix=2cosγ,totrójkątabcjestrównoramienny, (b) jeżelix=cosγ,totrójkątabcjestprostokątny. Zad.4 Wielomian czwartego stopnia W(x) jest iloczynem dwóch trójmianów kwadratowych f(x) ig(x)takich,żepierwiastkamif(x)sąliczby2i4,adojegowykresunależypunkt(0; 8),zaś wszystkie współczynniki g(x) są równe. Wyznacz W(x) wiedząc, że wyraz wolny tego wielomianu jest równy 8. Zad.5 Oblicz,dlajakichwartościparametrumrównaniesin 4 x+cos 4 x= 2m+ m marozwiązanie. Zad.6 Oblicz miary kątów rombu, w którym stosunek długości obwodu do sumy długości przekątnychjestrówny 2 6. Zad.7Zezbioru{,2,,4,5,6,7}losujemyzezwracaniemtrzyrazypojednejliczbieiotrzymujemy ciągi trójwyrazowe. Oblicz prawdopodobieństwo (a) zdarzenia A, że otrzymany ciąg jest ciągiem geometrycznym, (b) zdarzenia B, że otrzymany ciąg jest ciągiem arytmetycznym, (c) zdarzenia C, że otrzymany ciąg jest ciągiem arytmetycznym i geometrycznym. Zad.8 Spośród trapezów równoramiennych opisanych na okręgu o promieniu długości r znajdź ten, który ma najmniejsze pole. Oblicz to pole. Zad.9 Danesądwaokręgi:o (S,r )io 2 (S 2,r 2 )stycznezewnętrznie.obliczpromieńokręgu stycznego do obu tych okręgów i do ich wspólnej stycznej zewnętrznej. Zad.0 Rozwiąz nierówność: log (x 2 )+log (5 x)>log(x+).

14 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr4 Zad. Danesądwaokręgi:o (S,r )io 2 (S 2,r 2 )stycznezewnętrznie.obliczpromieńokręgu stycznego do obu tych okręgów i do ich wspólnej stycznej zewnętrznej. Zad.2 Rozwiąż nierówność: log (x 2 )+log (5 x)>log(x+). ( Zad. Wyznaczdziedzinęfunkcji f(x)=log 209 log (log x) ). Zad.4 Wyznaczwartościparametrum,dlaktórychrównanie x+m = x 2 ma dokładnie dwa rozwiązania. Zad.5 Liczby 2a +, a +, 4 8 a + są,odpowiednio,pierwszym,drugimitrzecimwyrazem nieskończonego ciągu geometrycznego. Wyznacz a. Dla wyznaczonego a zapisz wzór tego ciągu i oblicz sumę jego wszystkich wyrazów. Zad.6 W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równa się sumie pól obu podstaw. Znajdź cosinus kąta nachylenia przekątnej jednej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej. Zad.7 Danejestrównaniex 2 +( 2m)x+m 2 m+2=0.funkcjaf(m)jestiloczynem różnych pierwiastków tego równania. Podaj dziedzinę funkcji f i wyznacz te pierwiastki równania, dla których iloczyn jest najmniejszy. Zad.8 KrótszapodstawaCDtrapezuABCDtworzyzramionamiADiBCkątyomiarach równychodpowiednio5 i60.przedłużeniaramionadibcprzecinająsięwpunkciee.oblicz pole trójkąta ABE wiedząc, że dłuższa podstawa ma długość a. Zad.9 Wykaż,żefunkcjaf(x)= x 2x x2 +x 2 niemamiejsczerowych. Zad.0 Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 2.

15 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr5 Zad. KrótszapodstawaCDtrapezuABCDtworzyzramionamiADiBCkątyomiarach równychodpowiednio5 i60.przedłużeniaramionadibcprzecinająsięwpunkciee.oblicz pole trójkąta ABE wiedząc, że dłuższa podstawa ma długość a. Zad.2 Wykaż,żefunkcjaf(x)= x 2x x2 +x 2 niemamiejsczerowych. Zad. Udowodnij,żeliczba }{{}} {{} jest kwadratem liczby naturalnej. n n Zad.4 Para(x, y) jest rozwiązaniem układu równań f(m)=x+2 y. { y = x y = mx+2. Naszkicuj wykres funkcji Zad.5 Danesąliczbya= orazb= naturalną Uzasadnij,żeiloczyna bjestliczbą Zad.6 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt dwuścienny zawarty pomiędzy dwoma sąsiednimiścianamimamiarę20.obliczmiarękątanachyleniaścianbocznychdopłaszczyzny podstawy. Zad.7 Rozwiążrównanie x x +cosx x 2 =0. Zad.8 Zestaw egzaminacyjny składa się z 20 pytań z algebry, 0 pytań z rachunku różniczkowego i n pytań z geometrii. Z zestawu usunięto jedno pytanie i następnie wylosowano z pozostałych jedno pytanie.prawdopodobieństwo,żebyłotopytaniezgeometriijestrówne 4.Oblicz,ilebyłopytań z geometrii w początkowym zestawie. Zad.9 Danesądwiefunkcjekwadratowef(x)=x 2 +bx+ig(x)=bx 2 +cx 4,gdzieb 0. Wyznacz wszystkie wartości parametrów b i c, dla których funkcja f ma jedno miejsce zerowe, afuncjagprzyjmujewartościujemnedlakażdegox R. Zad.0 Trzy kolejne boki czworokąta opisanego na okręgu tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie równym 0 i sumie 70. Oblicz długości boków tego czworokąta.

16 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr6 Zad. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi bocznnej b poprowadzono płaszczyznę przez krawędź dolnej podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy. Płaszczyzna ta jest nachylona do dolnej podstawy pod kątem α. Oblicz pole tego przekroju oraz objętość graniastosłupa. Zad.2 Określliczbęrozwiązańrównania x+ + x 2 =m+2wzależnościodparametrum. Zad. Przekrojem osiowym stożka jest trójkąt o obwodzie 40. Wyznacz promień podstawy i wysokość stożka o największej objętości. Oblicz jego objętość. Zad.4 DanyjestkwadratABCD,wktórymprzekątneprzecinająsięwpunkcieS.PunktKjest środkiemodcinkaas,apunktl środkiembokucd.wykaż,żekątlkbjestkątemprostym. Zad.5 W trapezie ABCD o podstawach AB i CD dwusieczna kąta ostrego przy wierzchołku B jestprostopadładoramieniaidzieligowstosunku:2liczącodwierzchołkaa.obliczstosunek pól figur, na ktore dwusieczna dzieli trapez ABCD. Zad.6 Wykresfunkcjif(x)=log 2 (x+m)+k,którejdziedzinąjestprzedział( 2; )przechodzi przez punkt A =(2; ). Ustal, dla jakich argumentów funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie. Zad.7 Danesądwazbiory:A={,2,...,62}orazB={,2,...,24}.Wybieramylosowozbiór, anastępniezniegolosujemyliczbęx.obliczprawdopodobieństwo,żeliczbax 2 +jestpodzielna przez 0. Zad.8 Udowodnij,żerównanie2x +x 2 +6x =0mawprzedziale(0;)dokładniejedno rozwiązanie i jest ono jedynym rozwiązaniem tego równania. Zad.9 Zezbiorufunkcjif(x)=ax 2 +b,gdzieaibsąliczbamicałkowityminależącymido przedziału 0; 5, losujemy jedną funkcję. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania funkcji, która ma miejsce zerowe. Zad.0 Znajdźwszystkiewartościα,dlaktórychliczby tg 2 α, tg α, +tgα+tg α są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego.

17 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 7 Zad. Dany jest okrąg o równaniu (x 2) 2 + (y 4) 2 = 6. W ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny o jednym wierzchołku A = (6; 4). Wyznacz pozostałe wierzchołki tego trójkąta. Zad.2 Naszkicuj wykres funkcji, która każdej liczbie rzeczywistej m przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania (m 2 )x 2 + (2 2m)x + = 0. Zad. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS przez środek ciężkości podstawy ABC poprowadzono odcinek DE równoległy do krawędzi AB. Pole trójkąta DES jest równe P, a objętość ostrosłupa jest równa V. Oblicz długości krawędzi podstawy i wysokości tego ostrosłupa. Zad.4 Wyznacz zbiór argumentów, dla ktorych funkcja f(x) = log x 2 + log x + log x przyjmuje wartości z przedziału 6; 0. Zakoduj wynik, podając średnią arytmetyczną końców przedziału liczbowego. Zad.5 Wykaż, że jeżeli boki trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny, to długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest trzy razy mniejsza od długości jednej z wysokości tego trójkąta. { 4x Zad.6 Pary liczb (x, y) spełniające układ równań 2 + y 2 + 2y + = 0 x 2 są współrzędnymi + y + 4 = 0 wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD. Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym oraz wyznacz równanie okręgu opisanego na tym czworokącie. Zad.7 Dana jest parabola o równaniu y = 4 x2 i punkt A = (0; ) Wykaż, że każdy punkt na paraboli jest równo oddalony od punktu A i prostej o równaniu y =. Zad.8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie sin 2x + m cos x = 0 ma dokładnie trzy pierwiastki w przedziale 0; π. Zad.9 Ze zbioru {, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} losujemy jednocześnie trzy liczby. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że wśród wylosowanych liczb będzie liczba, pod warunkiem, że suma wylosowanych liczb będzie nieparzysta. Zad.0 Z grupy osób, w której jest 5 kobiet, wybrano trzyosobową delegację. Prawdopodobieństwo tego, że w delegacji jest więcej kobiet niż mężczyzn wynosi 6. Oblicz, ilu jest mężczyzn w grupie. 7

18 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Lista nr 8 Zad. Sprawdź, dla jakich wartości parametru m pierwiastki wielomianu W (x) tworzą ciąg arytmetyczny dla W (x) = x (m + )x 2 + (m )x +. Zad.2 W czworokącie wypukłym ABCD poprowadzono przekątną AC. Okręgi wpisane w trójkąty ABC i ACD są styczne zewnętrznie. Wykaż, że w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. Zad. Oblicz wartość wyrażenia: ( ) ( ) Zad.4 Wyznacz miejsca zerowe funkcji f(x) = log 2 ( x 4x 2 + x + 8) log 2 ( 2x 2 2x + 2). Zad.5 Rozwiąż nierówność 2 sin 2 x + sin x cos x + cos 2 x w przedziale 0; π. Zad.6 Ze zbioru prostopadłościanów o przekątnej długości d i o podstawie prostokąta, którego długości boków są w stosunku 2 : 4, wyznacz wymiary tego prostopadłościanu, który ma największą objętość. Zad.7 Wyznacz współrzędne wierzchołka C trójkąta ABC, jeśli A = (; ), B = (4; 2) oraz wysokość opuszczona na bok AB ma długość 2 2 i zawiera się w prostej o równaniu y = x + 2. Zad.8 Określ liczbę rozwiazań równania m(4 x 2 x ) = m w zależności od wartości parametru m. Zad.9 Naczynie napełnione wodą ma kształt walca, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy. Naczynie przechylono tak, że jedna trzecia wody wylała się. Pod jakim kątem przechylono naczynie? Zad.0 Ze zbioru liczb naturalnych spełniających nierówność x 2 x < 0 losujemy dwie różne liczby m i p. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że punkt o współrzędnych (m, p) będzie należał do wykresu funkcji y = x + 4. Zad. Na tej samej podstawie zbudowano dwa stożki obrotowe, jeden wewnątrz drugiego. Kąty rozwarcia stożków mają miary 2α i 2β. Różnica długości wysokości tych stożków jest równa d. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami bocznymi tych stożków.

19 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr9 Zad. Naczynie napełnione wodą ma kształt walca, w którym wysokość jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy. Naczynie przechylono tak, że jedna trzecia wody wylała się. Pod jakim kątem przechylono naczynie? Zad.2 Na tej samej podstawie zbudowano dwa stożki obrotowe, jeden wewnątrz drugiego. Kąty rozwarcia stożków mają miary 2α i 2β. Różnica długości wysokości tych stożków jest równa d. Oblicz objętość bryły ograniczonej powierzchniami bocznymi tych stożków. Zad. Naparabolif(x)= x 2 +9obranopunktAododatnichwspółrzędnych.PunktBjest obrazempunktuawsymetriiwzględemosioy,zaśpunktya ib rzutamipunktówaibna ośox.wyznaczwspółrzędnepunktuatak,abypoleprostokątaabb A byłonajwiększe. Zad.4 DanyjesttrójkątrównobocznyABC.NabokuABobranopunktDdzielącybokAB wstosunku2:(liczącodwierzchołkaa).wyznaczsinuskątaacd. Zad.5 WwielomianieW(x)=ax bx 2 cx+dwspółczynnikia,b,c,dsąkolejnymidodatnimi liczbami naturalnymi. Wykaż, że wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste oraz wyznacz a, b, c, d tak, aby suma pierwiastków była największa. Zad.6Zezbioruliczb{ 9, 7, 5,,,0,2,4,6,8}losujemydwieróżneliczbyxiy,anastępnie zapisujemy ich iloczyn xy. Oblicz i porównaj prawdopodobieństwa zdarzeń A i B, jeśli A oznacza zdarzenie, że iloczyn xy jest liczbą nieujemną, a B oznacza, że iloczyn xy jest liczbą niedodatnią. Zad.7Wykaż,żejeżelia,b,csądługościamibokówtrójkąta,zaśα kątemwewnętrznymzawartym międzybokamiodługościachbic,to a2 2bc cosα. Zad.8 NapiszrównanieokręguośrodkuwpunkcieS=(a;b)stycznegodoprostejorównaniu y=x,wiedząc,żeajestpierwiastkiemrównania5 x 5 2 x =5 x x 2,zaśb pierwiastkiem równanialog 2 (x+) log 2 (x )=4 log 2 8. Zad.9 Ile jest nieparzystych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których co najmniej jedna cyfra jest dziewiątką? Zad.0 Znajdźwartościparametrówmik,dlaktórychparaboley=x 2 +(m )x moraz y=x 2 2kx+k 2 mająwspólnywierzchołek.

20 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM ROZSZERZONY 208/209 Listanr20 Zad. Zbiór liczb{, 2,, 4, 5, 6, 7} porządkujemy w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo () zdarzenia, że suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie liczbą nieparzystą, (2) zdarzenia, że iloczyn każdych dwóch sąsiednich liczb będzie liczbą parzystą oraz liczba nie będzie stała obok liczby 2. Zad.2 Uzasadnij, że dla każdej całkowitej wartości parametru m każdy pierwiastek równania x 2 +mx+m =0jestwymierny. Zad.Danajestfunkcjaf(x)=mx x 2 +mx+.wyznaczwzórfunkcjig(m),któraprzypisuje każdej wartości parametru m liczbę ekstremów, jaką ma funkcja f dla tego parametru m. Zad.4 Dany jest ostrosłup ABCDS, którego podstawą jest kwadrat ABCD. Długość krawędzi podstawyjestrównadługościkrawędzibocznejijestrównaa.punktyeifsąśrodkamikrawędzi CS i DS, odpowiednio. Oblicz pole czworokąta ABEF. Zad.5 Zaznaczwukładziewspółrzędnychzbiórpunktów(b;c)takich,żerównaniex 2 bx 2c=0 madwaróżnepierwiastkix,x 2 spełniającenierówność:(x +x 2 ) <x +x 2 6. Zad.6 Wszystkiewyrazyciąguarytmetycznego(a n )dlan sądodatnimiliczbamicałkowitymi. Suma pierwszego i trzeciego wyrazu jest równa 6, a ich iloczyn jest równy 5. Wyznacz największą liczbęnaturalnąntaką,żea +a a n 209. Zad.7 Oblicz długość boku rombu ABCD, wiedząc, że promienie okręgów opisanych na trójkątach ABCorazABDsąrówneodpowiednio4i. Zad.8 Danajestfunkcjaf(x)=2 x x 2.Znajdźwszystkiewartościx,dlaktórychfunkcjata przyjmuje maksima lokalne i wszystkie wartości x, dla których przyjmuje minima lokalne. Zad.9 Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n > największą liczbę całkowitą spełniającąnierównośćx 2 nx+2n 2 <0oniewiadomejx.Wyznaczwzórfunkcjif. Zad.0 Trójkątprostokątnyokątach0,60,90 jestopisanynaokręguopromieniu.oblicz odległość wierzchołka kąta prostego od punktu styczności tego okręgu z przeciwprostokątną. Zad. Określ,jakąliczbą dodatniączyujemną,jestsinx+cosxwiedząc,żex ( π 2 ;π)oraz (+sinx)( cosx tgx)+ =0. Zad.2 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów liczb uzyskanych oczek będzie podzielna przez.