Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21 191 Adrzej Boboń, Broisław Dra, Roma Niestrój, Piotr Ziete Politechia Śląsa, Gliwice OBLICZANIE NAPIĘCIA WAŁOWEGO W SILNIKU INDUKCYJNYM METODĄ ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH SHAFT VOLTAGE CALCULATIONS IN A CAGE INDUCTION MOTOR BY THE FINITE ELEMENT METHOD Abstract: I the paper results of fiite-elemet calculatios of the shaft voltage i a squirrel-cage iductio motor were preseted. A two-dimesioal field-circuit model of the 3 W iductio motor was developed taig ito accout supplyig the stator widig from the voltage source ad the rotary motio of the rotor. Calculatios of trasiet waveforms of the shaft voltage ad other electromagetic ad electromechaical quatities were performed durig startig uder o-load ad rated load coditios. A ifluece of static ad dyamic air-gap eccetricity was examied. Ways of the improvemet i the accuracy of calculatios were discussed. 1. Wstęp W obliczeiach apięć wałowych i prądów łoŝysowych w maszyach eletryczych stosowae są zarówo modele obwodowe ja i polowe. Ze względu a złoŝoość zjawis eletromagetyczych i mechaiczych oraz sompliowaą struturę maszyy, ajwięszą doładość obliczeń zapewiają metody polowe, polegające a wyzaczaiu czasowych i przestrzeych rozładów pola eletromagetyczego i powiązaych z imi wielości eletromagetyczych maszyy. W literaturze techiczej w ilu ostatich latach pojawiły się ielicze prace, w tórych podjęto próby wyzaczeia apięć wałowych i prądów łoŝysowych a podstawie dwuwymiarowych [1] i trójwymiarowych [6] modeli polowych rozwiązywaych metodą elemetów sończoych (MES). Wyzaczeie apięć wałowych a podstawie taich modeli w ustaloych waruach pracy maszyy jest zadaiem bardzo czasochłoym, wymagającym omputerów o duŝej mocy obliczeiowej, poiewaŝ oiecza jest dysretyzacja czasu i rozwiązywaie rówań polowoobwodowych dla stau ieustaloego. Obliczeia polowo-obwodowe mogą być jeda wartościowym uzupełieiem badań pomiarowych, poiewaŝ umoŝliwiają wyoywaie wielu esperymetów trudych lub iemoŝliwych do przeprowadzeia a rzeczywistej maszyie. W artyule przedstawioo dwuwymiarowy model polowo-obwodowy silia iducyjego latowego duŝej mocy wyorzystay do obliczeń apięć iduowaych w wale metodą elemetów sończoych. Wyzaczoo przebiegi apięcia wałowego podczas rozruchu silia przy biegu jałowym i przy obciąŝeiu zamioowym. Przebiegi apięcia wałowego w ustaloym staie biegu jałowego porówao z przebiegami apięcia w siliu z mimośrodowym połoŝeiem osi wiria względem osi stojaa (escetryczość statycza i dyamicz. 2. Model polowo-obwodowy maszyy iducyjej Model polowo-obwodowy maszyy iducyjej tworzą rówaia pola eletromagetyczego, rówaia obwodów eletryczych uzwojeń oraz rówaia ruchu mechaiczego. Pole eletromagetycze w częściach ieruchomych maszyy (stoja) i w częściach ruchomych (wiri) opisae jest w stacjoarych uładach współrzędych za pomocą rówaia dla wetorowego potecjału magetyczego A i salarego potecjału eletryczego V 1 rot rot s γ A A = J γ grad V (1) µ t γ, µ - odutywość, przeialość magetycza, J s - wetor gęstości prądu zewętrzych źródeł. Rówaie Kirchhoffa, opisujące sta eletromagetyczy -go uzwojeia ma postać dψ u = Ri + (2) dt
192 Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21 u, i, Ψ - chwilowe wartości apięcia, prądu i strumieia sprzęŝoego -go uzwojeia. Średia wartość strumieia sojarzoego z -tym uzwojeiem wyraŝoa jest przez zaleŝość: lz Ψ = Ai dsi s (3) i i s i A i - średia wartość potecjału magetyczego w przeroju poprzeczym s i przewodia uzwojeia o czyej długości l z. Rówaie ruchu mechaiczego ma postać dω J = Te + Tm (4) dt J - momet bezwładości, ω - ątowa prędość mechaicza wiria, T e, T m - momet eletromagetyczy i mechaiczy. Rówaia (1)-(4) są zaimplemetowae w programie Maxwell-2D firmy Asoft przezaczoym do obliczeń pól eletromagetyczych metodą elemetów sończoych. 3. Model obliczeiowy MES maszyy iducyjej Obliczeia polowo-obwodowe przeprowadzoo w solwerze Trasiet programu Maxwell-2D dla silia iducyjego latowego o daych zamioowych: P N = 3 W, U N = 1 V, I N = 21 A, cosφ N =,86, N = 1484 obr/mi, przezaczoego do apędu orgaów urabiających góriczych ombajów ściaowych. W siliach tych apędów stwierdzoo wysoi poziom apięć wałowych w staach dyamiczych podczas rozruchu [3, 4]. Przy tworzeiu modelu obliczeiowego silia przyjęto astępujące załoŝeia: dwuwymiarowy rozład pola eletromagetyczego w przeroju poprzeczym silia (rys. 1), ieliiowe charaterystyi magesowaia rdzei magetyczych stojaa i wiria, pomiięto zjawiso wypieraia prądu w uzwojeiach stojaa i uwzględioo - w prętach lati wiria, pomiięto prądy wirowe iduowae w paiecie blach stojaa. C B A Rys. 1. Przerój poprzeczy badaego silia iducyjego latowego o mocy 3 W W obwodach eletryczych uzwojeia stojaa, zasilaego ze źródła trójfazowego apięcia, uwzględioo parametry czół uzwojeń w postaci zewętrzych, supioych rezystacji i iducyjości (rys. 2. u s1 (t) u s2 (t) u s3 (t) R c R c R c y L c L c L c model MES Rys. 2. Obwody zewętrze uzwojeia stojaa ( i wiria ( dołączoe do modelu MES. R c, L σc, R e, L σe - rezystacje i iducyjości rozproszeia czół uzwojeia stojaa i pierściei ońcowych wiria. W podoby sposób uwzględioo rezystacje i iducyjości rozproszeia segmetów x
Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21 193 pierściei zwierających latę wiria (rys. 2. Parametry te zostały obliczoe w programie RMxprt firmy Asoft przezaczoego do obliczeń projetowych maszy eletryczych. Do wyzaczeia apięcia wałowego wyorzystao jedozwoją cewę próbą, tórej jede bo umieszczoo w osi obrotu wiria, a drugi bo a zewętrzej powierzchi stojaa (rys. 3. Dla tego przewodu zdefiiowao zewętrzy obwód eletryczy przedstawioy a rys. 3b..2 ms. Liczba trójątych elemetów sończoych wyosiła ooło 55. W olejych chwilach czasu, zmiay siati elemetów sończoych wyiały tylo z ruchu obrotowego wiria. Na rys. 4 przedstawioo przebiegi mometu eletromagetyczego i prędości obrotowej badaego silia iducyjego podczas rozruchu a biegu jałowym i przy obciąŝeiu zamioowym mometem. 12 T e [Nm] 8 18 [obr/mi] 12 4 6 zwój R 1 M Rys. 3. Model cewi próbej (zwój) przezaczoej do obliczaia apięcia wałowego W programie Maxwell 2D wszystie obiety ruchome (wiri) zostały objęte przez specjaly regio ozaczoy jao "bad" (orąg w szczeliie powietrzej). Momet eletromagetyczy obliczay jest za pomocą zmodyfiowaej metody prac wirtualych. RozwaŜay przerój poprzeczy modelu obliczeiowego maszyy poddao dysretyzacji za pomocą trójątych elemetów sończoych drugiego rzędu. Na zewętrzym brzegu modelu przyjęto zerowy warue brzegowy Dirichleta dla wetorowego potecjału magetyczego. 4. Przebiegi ieustaloe podczas rozruchu silia iducyjego Na podstawie opracowaego modelu obliczeiowego silia iducyjego przeprowadzoo obliczeia przebiegów ieustaloych podczas bezpośrediego rozruchu po załączeiu zamioowego apięcia w staie biegu jałowego i przy obciąŝeiu stałym mometem o wartości zamioowej. Obliczeia otyuowao w przedziale czasu gwaratującym osiągięcie stau ustaloego. Przyjęto stały ro czasowy całowaia rówań rówy -4 12 T e [Nm] 8 4-4.1.2.3.4.5.6.7.1.2.3.4.5.6.7 T e T e -6 18 [obr/mi] 12 6-6 Rys. 4. Przebiegi mometu eletromagetyczego i prędości obrotowej podczas rozruchu silia iducyjego a biegu jałowym ( oraz przy obciąŝeiu zamioowym mometem (T m =T =cost) ( 5. Przebiegi apięcia wałowego Przyjęto, Ŝe apięcie wałowe rówe jest apięciu iduowaemu w jedozwojej cewce próbej, tórej jede bo umieszczoy jest w osi obrotu wiria (rys. 3. Na rys. 5 przedstawioo przebiegi apięcia wałowego obliczoe metodą elemetów sończoych podczas rozruchu silia a biegu jałowym i przy zamioowym obciąŝeiu.
194 Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21.8.4 -.4 -.8.8.4 -.4.1.2.3.4.5.6.7 -.8.1.2.3.4.5.6.7 Rys. 5. Przebiegi apięcia wałowego podczas rozruchu silia iducyjego a biegu jałowym ( i przy zamioowym obciąŝeiu ( Najwięsze chwilowe wartości apięcia wałowego występują w początowych chwilach rozruchu. Po zaiu początowych sładowych przejściowych mometu eletromagetyczego, apięcie wałowe przyjmuje ajmiejsze wartości, po czym rośie osiągając ajwięsze wartości pod oiec rozruchu, gdy prędość obrotowa ma ajwięszą wartość. Na rys. 6 poazao porówaie przebiegów apięcia wałowego w staie ustaloego biegu jałowego i przy zamioowym obciąŝeiu..8.4 -.4 -.8 bieg jał. obc. zam..67.68.69.7 Rys. 6. Przebiegi apięcia wałowego w staie ustaloego biegu jałowego i przy obciąŝeiu zamioowym Przy obciąŝeiu zamioowym chwilowe wartości apięcia wałowego są o ooło 3% więsze. Przedstawioe przebiegi apięcia obejmują dwa oresy apięcia zasilaia i odpowiadają jedemu obrotowi wiria. Przebieg apięcia wałowego zawiera wiele sładowych szybozmieych, tórych odwzorowaie w modelu polowym silia wymaga stosowaia małych roów dysretyzacji czasu. Na rys. 7 porówao przebiegi apięcia wałowego obliczoe dla rou czasowego.2 ms i.1 ms. Widoczy jest wyraźy wpływ długości rou czasowego a doładość odwzorowaia apięcia wałowego..3.2.1 -.1 -.2.2 ms.1 ms -.3.8.81.82.83.84 Rys. 7. Wpływ rou dysretyzacji czasu a doładość odwzorowaia apięcia wałowego Jedą z przyczy powstawaia apięć wałowych w siliach iducyjych są iesymetrie obwodów eletryczych i magetyczych w maszyie. Korzystając z opracowaego modelu polowo-obwodowego silia iducyjego przeprowadzoo obliczeia apięcia wałowego dla ierówomierej szczeliy powietrzej. Rozpatrzoo dwa przypadi mimośrodowego połoŝeia wiria względem stojaa: escetryczość statycza, gdy oś obrotu wiria przesuięta jest względem osi stojaa, escetryczość dyamicza, gdy oś wiria ie porywa się z osią jego obrotu. PołoŜeie miimalej szczeliy powietrzej przemieszcza się po obwodzie stojaa. Rys. 8 ilustruje obydwa przypadi escetryczości wiria. Przyjęto przesuięcie osi wiria względem osi stojaa o ε =.8 mm.
Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21 195 Rys. 8. Escetryczość statycza i dyamicza wiria Na rys. 9 przedstawioo porówaie przebiegów apięcia wałowego dla escetryczości statyczej i dyamiczej wiria. Mimo zaczej escetryczości wyoszącej ε =.8 mm w stosuu do omialej grubości szczeliy powietrzej wyoszącej δ = 1.4 mm, jej wpływ a przebieg apięcia wałowego jest iewieli. W przypadu escetryczości dyamiczej apięcie wałowe jest o ooło 45% więsze od apięcia dla przypadu escetryczości statyczej. Niezaczie zmieia się rówieŝ ształt przebiegu. Escetryczość statycza pratyczie ie wpływa a wartość apięcia wałowego. Przebiegi apięcia wałowego bez escetryczości wiria i z escetryczością statyczą pratyczie porywają się i ie zostały porówae a rys. 9..8.4 -.4 -.8 esc. stat. esc. dyam..6.62.64.66.68.7 Rys. 9. Przebiegi apięcia wałowego w przypadu escetryczości statyczej i dyamiczej Przeprowadzoe pomiary apięć wałowych w badaych siliu iducyjym 3 W, tórych wyii zostały opubliowae w pracach [2-5], potwierdzają wiose z wyiów obliczeń o małym wpływie escetryczości statyczej a apięcie wałowe. Na rys. 1. przedstawioo zmierzoy przebieg apięcia wałowego podczas rozruchu silia iducyjego a biegu jałowym, zmierzoy a zacisach przewodu umieszczoego w otworze wału. RóŜi się o zaczie od apięcia obliczoego metodą MES. Przyczyy tych rozbieŝości moŝa upatrywać w wielu czyiach i zjawisach, tórych ie uwzględia przyjęty do obliczeń model maszyy. 8 4-4 -8 4 2-2.4.8 1.2 1.6 2-4 1.6 1.61 1.62 1.63 1.64 Rys. 1. Zmierzoy przebieg apięcia wałowego podczas rozruchu silia iducyjego ( i w staie ustaloym biegu jałowego ( [2-5] 5. Wiosi Opisay dwuwymiarowy model polowoobwodowy silia iducyjego umoŝliwia obliczaie apięć iduowaych w wale silia w róŝych waruach symetryczego i iesymetryczego zasilaia oraz w waruach iesymetrii obwodu eletryczego i magetyczego. Główym problemem przy stosowaiu tego modelu jest zapewieie odpowiediej doładości odwzorowaia zjawis i czyiów wpływających a wartość iduowaych apięć wałowych. Poprawę doładości obliczeń moŝa zapewić przez: wybór małego rou dysretyzacji czasu, aby odwzorować szybozmiee sładowe apięcia wałowego iduowae przez wyŝsze harmoicze pola magetyczego, wygeerowaie zagęszczoej siati elemetów sończoych w szczeliie powietrzej i w wiriu, w szczególości w wale.
196 Zeszyty Problemowe Maszyy Eletrycze Nr 87/21 Obydwa czyii powodują zacze wydłuŝeie czasu obliczeń co arzuca więsze wymagaia dla wyorzystywaego sprzętu omputerowego. Poziom obliczoych apięć wałowych róŝi się od apięć zmierzoych. Przyczyą tych róŝic mogą być m.i. ieoreśloe i ierozpozae czyii techologicze wprowadzające iewielie asymetrie w obwodzie eletryczym i magetyczym maszyy, wyiające z iedoładości motaŝu, z iejedorodości materiałów, ja rówieŝ ie zjawisa eletromagetycze i mechaicze, tórych ie uwzględia przyjęty do obliczeń model maszyy. Literatura [1] de Caha D., Croje W.A., Meyer A.S., Hoffe S.J.: The use of a electromagetic fiite elemets pacage to aid i uderstadig shaft voltages i a sychroous geerator. IEEE PES PowerAfrica 27, Coferece ad Expositio, Johaesburg, South Africa, 16-2 July 27, pp. 1-6. [2] Dra B., Ziete P., Niestrój R., Boboń A., Kwa J., Lipińsi J.M.: Wpływ asymetrii szczeliy powietrzej a wartość apięć i prądów wałowych w siliach iducyjych duŝej mocy. Zeszyty Problemowe "Maszyy Eletrycze" Komel- BOBRME Nr. 81, Katowice 29, ss.73-82. [3] Dra B., Ziete P., Niestrój R., Kwa J.: Uszodzeia łoŝys w siliach iducyjych uŝytych w orgaach urabiających ombajów góriczych. Zeszyty Problemowe "Maszyy Eletrycze", Komel-BOBRME Nr. 75, Katowice 26, ss. 137-146. [4] Dra B., Ziete P., Niestrój R., Kwa J.: Napięcia i prądy wałowe w siliach iducyjych duŝej mocy uŝytych w orgaach urabiających ombajów góriczych. Zeszyty Problemowe "Maszyy Eletrycze", Komel-BOBRME Nr. 76, Katowice 27, ss. 55-62. [5] Dra B., Ziete P., Niestrój R., Kwa J., Lipińsi J.M.: Aaliza porówawcza apięć wałowych w róŝych siliach iducyjych duŝej mocy. Zeszyty Problemowe "Maszyy Eletrycze", Komel-BOBRME Nr. 79, Katowice 28, ss.117-125. [6] Gołębiowsi L., Gołębiowsi M., Mazur D.: Voltages i the shaft of the iductio motor i 3D FEM formulatio. IEEE Iteratioal Symposium o "Diagostics for Electric Machies, Power Electroics ad Drives", SDEMPED'27, 6-8 Sep 27, pp.142-145. Autorzy Politechia Śląsa, Istytut Eletrotechii i Iformatyi, Załad Maszy Eletryczych i IŜyierii Eletryczej w Trasporcie, ul. Aademica 1a, 44-1 Gliwice Dr iŝ. Adrzej Boboń, tel: 32-2372548 e-mail: Adrzej.Bobo@polsl.pl Dr hab. iŝ. Broisław Dra, prof. Pol. Śl., tel: 32-2371447, e-mail: Broislaw.Dra@polsl.pl Mgr iŝ. Roma Niestrój, tel: 32-2372526 e-mail: Roma.Niestroj@polsl.pl Dr iŝ. Piotr Ziete, tel: 32-2372652 e-mail: Piotr.Ziete@polsl.pl Praca auowa fiasowaa ze środów a auę w latach 29-211 jao projet badawczy Nr N N51 351236N51 12 31/86 Recezet dr hab. iŝ. Sławomir Szymaiec, prof. P.O.