Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną poszkodowaną NS liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest sprawcą Pojedynczą szkodę zdefiniowano w taki sposób, że każdej szkodzie odpowiada dokładnie jeden sprawca i jeden poszkodowany, że są to zawsze dwie różne osoby, przy tym obie należą do rozważanej populacji. Zmienna K ma w populacji kierowców rozkład Gamma o gęstości danej na α β α półosi dodatniej wzorem f K ( x) = x exp( βx) Γ( α) Przyjmujemy prosty model, w którym doświadczenie kierowcy zmniejsza ryzyko (w przeliczeniu na tysiąc przejechanych kilometrów): E( NS K ) = as exp( bs K ), K E( NP K ) = ap exp( bpk ), K gdzie wszystkie parametry a S, bs, ap, bp mają wartości dodatnie, przy czym b S > bp, ponieważ doświadczenie kierowcy redukuje przede wszystkim szansę spowodowania szkody, a w mniejszym stopniu redukuje ryzyko zostania poszkodowanym. Jasne jest, że w tym modelu kierowcy jeżdżący mało będą częściej sprawcami niż poszkodowanymi, zaś kierowcy jeżdżący dużo będą częściej poszkodowanymi niż * sprawcami. Niech K oznacza taką liczbę tysięcy kilometrów przejeżdżanych rocznie przez kierowcę, dla której warunkowe (przy danym K) oczekiwane liczby szkód obu rodzajów są równe. Przy założeniach, że: α =, β = / 5, b = / 0, b = / 40 liczba S * K z dobrym przybliżeniem wyniesie: P (A) 3.4 (B).6 (C).8 (D) 0.9 (E) 0.0
Zadanie. O zmiennej losowej X wiemy, że: Pr X 0 = ( ) E ( X ) = 5 F X () 0 = 0. 7 F X ( 0 ) = 0. 9 E ( X X ( 0,0] ) = 7. 5 Przy tych założeniach najmniejsza możliwa wartość {( 6) } E X wynosi: + (A).9 (B) 3.0 (C) 3. (D) 3. (E) 3.3
Zadanie 3. Rozważamy klasyczny model procesu nadwyżki U ( t) u + ct S N () t =, gdzie: u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ, () n S n = X i jest sumą wypłat z tytułu n pierwszych wypadków i= wypłata jest równa łącznej kwocie szkód z jednego wypadku: X i X i = i ( ) +... + i ( M i ) kwoty szkód ), (), (3),..., (), (), (3),..., (), (), (3),... oraz ( 3 3 3 M, M, M 3 liczby szkód przypadających na poszczególne wypadki niezależnymi zmiennymi losowymi. Jeśli przyjmiemy następujące założenia: zmienne ( ), (), (3),..., (), (), (3),..., 3 (), 3 (), 3 (3),... mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej jeden zmienne M M,,... mają ten sam rozkład przesunięty geometryczny:, M 3 k Pr ( M i = k) = dla k =,,... c = λ E X 0 parametr składki wynosi ( ) % wtedy współczynnik dopasowania (adjustment coefficient) R wyniesie:,... są (A) /6 (B) /8 (C) /9 (D) /0 (E) / 3
Zadanie 4. Niech w złożonym procesie Poissona ( ) n n T, oznaczają moment zajścia i wartość n-tej szkody, zaś ΔT = T oraz ΔT n = Tn Tn czasy oczekiwania. Oczywiście: ΔT, ΔT,, ΔT,,... są niezależne,, 3 3 T, ΔT, ΔT3,...,, 3,... Δ mają ten sam rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej mają ten sam rozkład o skończonej wartości oczekiwanej μ i Niech wariancji σ. S = n exp( δ T n ) oznacza zdyskontowaną wartość szkód (wszystkich). n= Wariancja zmiennej S wyraża się wzorem: λ Var S λ = σ + μ δ (A) ( ) ( λ (B) Var( S) = ( σ + μ ) δ λ (C) Var( S) = ( σ + μ ) Var S δ (D) ( ) Var S λ = σ δ λ = σ δ (E) ( ) ) Wskazówka: Jeśli przez S po zajściu pierwszej szkody: oznaczysz wartość szkód zdyskontowaną na moment tuż S = exp( δ T T ), to zmienna ta ma oczywiście n ( n n= dokładnie ten sam rozkład co zmienna S, a związane są te zmienne równaniem: S = exp( δ T )( + S ), gdzie trzy zmienne występujące po prawej stronie są niezależne. Wykorzystując ten λ fakt łatwo otrzymasz wynik E ( S) = μ. Pozostało wyznaczyć wariancję. δ 4
Zadanie 5. Proces nadwyżki ubezpieczyciela jest złożonym procesem Poissona z zerową nadwyżką początkową, z dodatnią wartością oczekiwaną przyrostów procesu, oraz z rozkładem wartości pojedynczej szkody danym gęstością: ( x) 0 < x < f ( x) = 0 poza tym Warunkowa wartość oczekiwana deficytu w momencie ruiny (pod warunkiem że do ruiny dojdzie) wynosi: (A) / (B) / (C) 3/ (D) 4/ (E) 5/ 5
Zadanie 6. N,,,... to niezależne zmienne losowe, N ma rozkład Poissona z wartością, 3 oczekiwaną równą 0, zaś,, 3,... mają identyczny rozkład Pareto o dystrybuancie określonej na półosi dodatniej wzorem: Niech Niech F ( y) Liczba = + y M = max{,,..., N }, przy czym jeśli N = 0, to przyjmujemy M = 0. oznacza taką liczbę, że M m 0 = 0. m ( ) 95 0.95 m 0.95 Pr. 95 wynosi (z przybliżeniem do jednej dziesiątej): (A) 4.0 (B) 3.0 (C).9 (D) 0.8 (E) 9.7 6
Zadanie 7. Liczby szkód N,... N t, N t + w kolejnych latach są, dla ustalonej wartości parametru Q = q, niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie dwumianowym o parametrach (,q). Niech N = N +... + Nt. Parametr ryzyka Q jest zmienną losową o rozkładzie beta o gęstości: Γ ( ) ( α + β ) α β f Q q = q ( q), q ( 0,), α, β > 0. Γ( α ) Γ( β ) Wobec tego VAR( N t+ N,..., N t ) wyraża się wzorem: ( α + N)( β + t N) (A) ( α + β + t) (B) (C) (D) (E) ( α + N)( β + t N) ( α + β + t) ( α + β + t + ) ( α + N)( β + t N) ( α + β + t)( α + β + t + ) ( α + N)( β + t N) ( α + β + t)( α + β + t + )( α + β + t + ) ( α + N)( β + t N) ( α + β + t) ( α + β + t + ) 7
Zadanie 8. W pewnym portfelu ryzyk łączna wartość szkód: W = + +... + N ma złożony rozkład Poissona o parametrze częstotliwości λ = 00 oraz rozkładzie wartości pojedynczej szkody wykładniczym z wartością oczekiwaną E( ) = 0. Niech: M, i = min{ i, M }; i =,,..., N, oraz niech: W M = M, +...+ M, N, gdzie W M oznacza tę część łącznej wartości szkód W, która pozostaje na udziale ubezpieczyciela (po scedowaniu nadwyżki każdej szkody z tego portfela ponad M na reasekuratora). Aktualnie parametrem kontraktu reasekuracyjnego jest wartość zachowku M = 4. Rozważamy jednak możliwość zmiany tego parametru, oraz wpływ takiej zmiany na charakterystyki zmiennej losowej W M. Pochodna wariancji zmiennej W M : Var( WM ) M M = 4 wynosi (w przybliżeniu do jednej dziesiątej): (A) 40 (B) 46 (C) 5 (D) 34 (E) 8 8
Zadanie 9. Niech: oznacza wartość szkody. D oznacza czas, jaki upływa od momentu zajścia szkody do momentu jej likwidacji, który otrzymujemy w wyniku doświadczenia polegającego na losowaniu z populacji szkód z równym prawdopodobieństwem wyboru każdej szkody Zdefiniujmy nową zmienną DW, którą będziemy interpretować jako czas likwidacji szkody uzyskany w wyniku losowania szkody z populacji szkód z prawdopodobieństwem wyboru proporcjonalnym do wartości szkody. Jeśli więc założymy ciągły rozkład łączny zmiennych oraz D, to gęstość brzegową zmiennej DW możemy wyrazić wzorem: E( D = x) f DW ( x) = f D ( x). E( ) Załóżmy, że zmienna D ma w populacji szkód rozkład Gamma o gęstości danej na półosi dodatniej wzorem α β α f D ( x) = x exp( βx), Γ( α) oraz że oczekiwana wartość szkody pod warunkiem czasu likwidacji dana jest wzorem: E ( D) μ + μ D = 0. Jeśli parametry zadania wynoszą: μ 0 =, μ = /, α = 3/, β = 5/ to wartość oczekiwana zmiennej DW wyniesie: (A) 9/3 (B) 3/5 (C) 3/4 (D) 8/3 (E) 9/4 9
Zadanie 0. W pewnym ubezpieczeniu liczba szkód, które w ciągu t lat wygeneruje ubezpieczony charakteryzujący się wartością λ parametru ryzyka Λ ma rozkład warunkowy Poissona z wartością oczekiwaną λ t. Zakładamy, że rozkład wartości parametru ryzyka Λ w populacji ubezpieczonych dany jest na półosi dodatniej gęstością: α β α f Λ ( λ) = λ exp( βλ), Γ( α) z parametrami α =, β = 4. Pewnego ubezpieczonego ubezpieczyliśmy w tym roku po raz pierwszy. Prawdopodobieństwo, że ubezpieczony ten nie zgłosi żadnych szkód w drugim półroczu, pod warunkiem że nie zgłosił szkód w pierwszym półroczu, w przybliżeniu wynosi: (A) 0.800 (B) 0.80 (C) 0.89 (D) 0.86 (E) 0.833 0
Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O W I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja B D 3 E 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 A 0 B * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.