XIII International PhD Workshop OWD 2011, 22 25 October 2011 WIZUALIZACJA SYSTEMÓW GRZEWCZYCH VISUALISATION OF THE HEATING SYSTEMS Paweł Dąbrowski, Faculty of Electrical Engineering, Computer Science and Telecommunications University of Zielona Góra POLAND, Bosch Thermotechnik GmbH Thermotechnology Lollar GERMANY Abstract In this paper, a novel deployment algorithm is proposed. It is based on the simulated annealing, which is regarded as one of the important metaheuristic optimization methods. The idea behind our algorithm originates from the search for optimal solution, where selection avoids local minima. The simulated annealing model is used in the construction of diagrams depicting heating systems. This paper discusses the theoretical background, the properties of the proposed algorithm alongside with the sample application prototype outputs, that will automatically deploy heating components in the complex heating systems. A cost function will be proposed, that enables how to assess the correctness of the deployment. The Cost function is calculated on the basis of aesthetic criteria, which will be determined based on the analysis of existing heating systems visualization. The simulated annealing algorithm will be modified to improve performance, and will be presented how to generate the next solutions (the neighborhood solutions). Streszczenie W niniejszej pracy zostanie przedstawiony nowatorski algorytm rozmieszczenia, bazujący na algorytmie symulowanego wyżarzania, który jest uważany za jedną z najważniejszych metaheurystycznych metod optymalizacyjnych. Idea algorytmu opiera się na poszukiwaniu optymalnego rozwiązania z omijaniem minimów lokalnych. Działanie algorytmu rozmieszczenia zostanie zaprezentowane na przykładzie rozmieszczenia elementów instalacji grzewczej. Zostanie przedstawiony tok postępowania prowadzący do dobrania odpowiednich parametrów algorytmu w celu opracowania przykładowej aplikacji, która automatycznie będzie rozmieszczała komponenty w złożonych systemach instalacji grzewczych. sieciowych; rozmieszczenie elementów elektronicznych na płytce drukowanej itd. Jednym z bardziej znanych problemów rozmieszczenia jest problem wycięcia elementów z pewnego bloku materiału, tak, aby jego straty były jak najmniejsze (ang. nesting problem [1]). Przykładem takiego problemu jest np. wycinanie elementów karoserii samochodu z tafli blachy. Dobre rozmieszczenie może zwiększyć czytelność, a co za tym idzie przyczynić się do zwiększenia użyteczności np. poprzez intuicyjne rozmieszczenie elementów graficznych interfejsu użytkownika (ang. Graphical User Interface GUI). 2. Konstrukcja modelu na podstawie algorytmu symulowanego wyżarzania 1.1 Metody optymalizacji Specjalną metodą heurystyczną jest tzw. metaheurystyka [3]. Jest to ogólny algorytm służący do rozwiązywania problemów obliczeniowych 1. Algorytm ten bazuje na iteracyjnej poprawie wartości funkcji celu. Na początku inicjalizowane jest rozwiązanie S, metoda ta stara się znaleźć lepsze rozwiązanie w sąsiedztwie N(S) rozwiązania S. N(S) jest uzyskane na podstawie mechanizmu generacji lub transformacji. Jeśli zostanie znalezione lepsze rozwiązanie S', to algorytm kontynuuje przeszukiwanie w sąsiedztwie N(S') w przeciwnym wypadku, jeśli jest spełniony warunek stopu algorytm zatrzymuje się. Lokalne przeszukiwanie znajduje zastosowanie w rozwiązywaniu wielu problemów. Nie gwarantuje ono jednak znalezienia rozwiązania optymalnego, a dodatkowo ciężko jest określić czas działania algorytmu. Skuteczność metody zależy w dużej mierze od wygenerowania rozwiązania początkowego oraz od struktury jego sąsiedztwa. 1. Wprowadzenie W czasach rewolucji technicznej, częściej niż 1 Problem obliczeniowy (ang. computational problem) kiedykolwiek stajemy przed problemem problem, który można rozwiązać z wykorzystaniem rozmieszczenia np.: rozmieszczenie urządzeń maszyny liczącej. 235
Dużym mankamentem jest możliwość utknięcia w minimum lokalnym [2,3,5]. Przykładowymi algorytmami wykorzystującymi meta-heurystyki są takie algorytmy jak: - symulowane wyżarzanie (ang. simulated annealing) - algorytmy genetyczne (ang. genetic algorithm)[5] - przeszukiwanie tabu (ang. tabu search) [2] 1.2 Symulowane wyżarzanie Algorytm symulowanego wyżarzania jest algorytmem meta-heurystycznym wykorzystującym lokalne przeszukiwanie. W porównaniu z lokalnym przeszukiwaniem, algorytm ten może z pewnym prawdopodobieństwem akceptować rozwiązania gorsze, przez co może wyjść z minimum lokalnego. W takim przypadku dobór rozwiązania początkowego nie jest już tak istotny ze względu na zwracany wynik. Nazwa tego algorytmu związana jest z pewnymi procesami fizycznymi, ponieważ idea algorytmu bazuje na zjawisku ochładzania cieczy oraz stygnięcia metali. Zaobserwowano, że przy odpowiednio wysokiej temperaturze, podczas powolnego procesu ochładzania (wyżarzania) maleje energia cząsteczek, co prowadzi do rozkładają się ich w coraz bardziej regularne struktury. Po osiągnięciu pewnej temperatury uzyskuje się idealne rozmieszczenie cząsteczek wewnątrz struktury substancji. Jeśli proces ochładzania jest zbyt szybki albo początkowa temperatura jest zbyt niska rozkład ten jest bardziej chaotyczny, ponieważ cząsteczki nie zdążą dotrzeć do odpowiednich pozycji. Oznacza to, że cząsteczki powinny zająć odpowiednie pozycje zanim ich energia spadnie do minimalnej energii [2,3,4,5]. Porównując model fizyczny z algorytmem symulowanego wyżarzania można dopatrzeć się dość silnej analogii, co przedstawiono w Tabeli 1. Analogia procesów Tab.1. Analogy of processes Model fizyczny Symulowane wyżarzanie stan substancji rozwiązanie problemu schłodzona substancja optymalne rozwiązanie stan energii funkcja kosztu temperatura parametr kontrolny powolne schładzanie symulowane wyżarzanie szybkie schładzanie lokalne przeszukiwanie Matematyczny opis powyższego zjawiska opisany jest w termodynamice, jako Rozkład Boltzmanna [2,3]. 1.2 Kryteria optymalizacji Niniejszy rozdział opisuje sposób wyznaczenia kryteriów, jakie powinno spełniać idealne rozmieszczenie oraz modyfikację algorytmu symulowanego wyżarzania na przykładzie rozmieszczenia komponentów systemu grzewczego. Rys.1. Przykładowa wizualizacja systemu grzewczego. Fig.1. An example of heating system visualisation. Kryteria estetyczne zostały wyznaczone na podstawie obserwacji gotowych wizualizacji systemów grzewczych (przykładowe wizualizacje zostały udostępnione przez firmę Bosch Thermotechnik GmbH). Obserwacje te stały się inspiracją do wyznaczenia odpowiednich kryteriów, jakie powinien spełniać perfekcyjny algorytm rozmieszczenia: 1) wizualizowane komponenty nie mogą nachodzić na siebie (jest to najważniejsze kryterium estetyczne, niespełnienie tego kryterium grozi całkowitym zamazaniem czytelności wizualizacji). Kryterium to powinno być w 100% spełnione bez żadnych wyjątków; 2) linie łączące komponenty nie powinny się pokrywać (pokrywanie się linii może doprowadzić do fałszywej interpretacji połączeń między komponentami); 3) połączenia nie powinny przechodzić przez obrazek komponentu; 4) połączenia komponentów w miarę możliwości nie powinny się krzyżować, ponieważ powoduje to zamazanie czytelności wizualizacji; 5) komponenty powinny znajdować się w pewnej odległości od siebie (nie powinny się bezpośrednio stykać krawędziami); 6) linie łączące komponenty powinny między sobą zachować odpowiedni odstęp (zbyt mały odstęp powoduje problemy w szybkim zlokalizowaniu połączeń między komponentami); 7) połączenia między komponentami powinny znajdować się w odpowiedniej odległości od komponentów (linie łączące komponenty nie powinny bezpośrednio dolegać do komponentów). Kryteria zostały przedstawione od najbardziej znaczących ze względu na przejrzystość wizualizacji. 236
1.3 Modyfikacja algorytmu symulowanego wyżarzania W celu rozmieszczenia komponentów grzewczych zostanie użyta zmodyfikowana wersja algorytmu symulowanego wyżarzania. Modyfikacja ta ma na celu poprawienie wyniku końcowego. Podczas działania algorytmu może się zdarzyć taka sytuacja, że zostanie znalezione rozwiązanie lepsze, które w dalszym etapie działania algorytmu zostanie pogorszone i algorytm zostanie już w tym punkcie, co w rezultacie doprowadzi do zwrócenia rozwiązania gorszego, mimo tego, że rozwiązanie lepsze zostało znalezione podczas działania algorytmu. Modyfikacja algorytmu polega na pamiętaniu najlepszego rozwiązania S B, które zostało znalezione podczas działania algorytmu i to rozwiązanie zostanie zwrócone, jako wynik działania algorytmu. Tab.2. Zmodyfikowany algorytm symulowanego wyżarzania Modified simulated annealing algorithm 1. wyznacz rozwiązanie początkowe S 2. wyznacz temperaturę początkowąt 3. S B = S 4. repeat 5. for i = 0 to Ldo 6. generuj losowo sąsiedztwo S' N ( S ) 7. E = f ( S') f ( S) 8. if E < 0 then 9. S B = S' 10. S = S' 11. else wylosuj θ (0,1) E 12. if θ < exp then T 13. S = S' 14. zmniejsz temperaturę T 15. until warunek zatrzymania algorytmu prawdziwy 16. zwróć najlepsze znalezione rozwiązanie S B 1.3.1 Temperatura początkowa Dobór temperatury początkowej w wizualizacji systemów grzewczych jest dość kłopotliwy, ponieważ algorytm powinien działać zarówno dla sytuacji, kiedy w systemie grzewczym znajduje się tylko kilka elementów (np. kocioł gazowy i przynależny obieg grzewczy) jak i dla bardziej skomplikowanych instalacji zawierających kilkanaście elementów grzewczych. Dlatego nie można ustalić z góry stałej temperatury, ponieważ w zależności od sytuacji może znacząco się różnic, co w znacznym stopniu zmienia prawdopodobieństwo przejścia, które zostało opisane przez Kryterium Metropolisa [2,3]. Z pominięciem stałej Boltzmanna kryterium to przyjmuje postać: E exp if E > 0 p = T (1) else 1 gdzie p jest prawdopodobieństwem przejścia do następnego stanu. Z uwagi na problematyczne wyznaczenie temperatury podczas wizualizacji systemów grzewczych zostanie wprowadzona jeszcze jedna modyfikacja algorytmu symulowanego wyżarzania, który podczas symulacji nie będzie bezpośrednio obniżał temperatury, lecz akceptowane prawdopodobieństwo W [2]. Temperatura zostanie wyznaczona ze wzoru: E T = (2) ln(w ) W takim przypadku z równania (2) prawdopodobieństwo przejścia przyjmuje postać: W if E > 0 p = (3) 1 else A temperatura początkowa zostanie opisana, jako początkowe akceptowalne prawdopodobieństwo W S. Wyznaczono doświadczalnie, że W S powinno znajdować się w przedziale 0.5 W S 0.8 [2]. W wizualizacji systemów grzewczych akceptowalne prawdopodobieństwo początkowe zostanie wybrane na poziomie 75%, ponieważ zaobserwowano metodą doświadczalną dobre rezultaty dla różnych konfiguracji instalacji grzewczych. 1.3.2 Funkcja zmiany temperatury Funkcja zmiany temperatury zostanie zastąpiona przez zmianę akceptowalnego prawdopodobieństwa [2]. Prawdopodobieństwo to będzie zmieniane logarytmicznie, co opisano wzorem: W ' = α W (4) Wyznaczono doświadczalnie, że α=0.98. Taka też wartość tego parametru została użyta podczas wizualizacji. 1.3.3 Kryterium zatrzymania algorytmu Algorytm zakończy szukanie rozwiązania optymalnego, jeśli osiągnie akceptowalne prawdopodobieństwo końcowe W E. Wyznaczono doświadczalnie, że W E powinno znajdować się w przedziale 0.01 W E 0.1 [2]. W wizualizacji systemów grzewczych akceptowalne prawdopodobieństwo końcowe zostanie wybrane na 237
poziomie 1%, ponieważ zaobserwowano metodą doświadczalną dobre rezultaty dla różnych konfiguracji instalacji grzewczych. 1.3.4 Liczba wewnętrznych iteracji Wyznaczenie wielkości sąsiedztwa na podstawie modelu systemów grzewczych jest praktycznie niemożliwe, dlatego liczba wewnętrznych iteracji L została dobrana metodą doświadczalną dla wyżej przyjętych parametrów algorytmu. Zaobserwowano dobre rezultaty zwracane przez algorytm, jeśli L=10. Taka też wartość została przyjęta. Ostatecznie zmodyfikowany algorytm symulowanego wyżarzania przyjmie postać: Tab.3. Algorytm symulowanego wyżarzania dla wizualizacji systemów grzewczych Simulated annealing algorithm for the visualisation of heating systems 1. wyznacz rozwiązanie początkowe S 2. akceptowalne prawdopodobieństwo początkowe W S = 0. 75 3. akceptowalne prawdopodobieństwo końcowe W E = 0. 01 4. współczynnik α = 0. 98 5. ilość iteracji L = 10 6. akceptowalne prawdopodobieństwow = WS 7. S B = S 8. repeat 9. for i = 0 to Ldo 10. generuj losowo sąsiedztwo S' N ( S ) 11. E = f ( S') f ( S) 12. if E < 0then 13. S B = S' 14. S = S' 15. else wylosuj θ (0,1) 16. if θ < Wthen 17. S = S' 18. W = α W 19. until W WE 20. zwróć najlepsze znalezione rozwiązanie S B 1.3.4 Wygenerowanie rozwiązania początkowego Algorytm symulowanego wyżarzania jest znacznie bardziej niezależny ze względu na zwracany wynik od algorytmu lokalnego przeszukiwania. Dlatego też w wizualizacji systemów grzewczych rozwiązanie początkowe zostanie wygenerowane losowo, które w dalszej fazie działania algorytmu będzie ulegało losowym perturbacją 2 w celu znalezienia rozwiązania optymalnego. Losowe wygenerowanie rozmieszczeń dla komponentów zostanie wygenerowane w taki sposób, aby komponenty nie nachodziły na siebie. W ten sposób w 100% zostanie spełnione kryterium numer 1, które jest najważniejszym kryterium estetycznym. Zaobserwowano, że komponenty powinny być rozmieszczane na odpowiednio większym polu powierzchni, żeby nie dochodziło do zbyt częstych sytuacji nakładania się komponentów. 1.3.5 Generowanie rozwiązań sąsiednich Generowanie rozwiązań sąsiednich jest zrealizowane poprzez losowe wybranie komponentu i losowym przeniesieniu go w inne miejsce. Przeniesiony komponent przed wygenerowaniem nowego sąsiedztwa zawsze jest sprawdzany pod kontem nakładania się komponentów. Jeśli nowo przeniesiony komponent pokrywa się z innymi komponentami zostaje losowo wyznaczona nowa lokalizacja dla tego komponentu. 1.3.6 Funkcja kosztu Określenie funkcji kosztu jest tutaj jednym z najważniejszych i jednocześnie najtrudniejszych zadań, jakie należy zrealizować w celu uzyskanie dobrego wyniku końcowego. Funkcja kosztu została określona pod kątem priorytetów kryteriów estetycznych, jakie powinna spełniać dobra wizualizacja systemów grzewczych. Kryterium numer 1 jest zawsze spełnione (wynika to ze sposobu generowania rozwiązania początkowego oraz kolejnych rozwiązań sąsiednich), zatem funkcja kosztu powinna oceniać dane rozmieszczenie pod kątem pozostałych kryteriów estetycznych. 1) Połączenia przechodzące przez obrazek komponentu są sumowane i mnożone przez z góry ustaloną wagę 100: 100 q (5) gdzie q jest ilością połączeń przechodzących przez obrazki. 2) Ilość pokrywających się linii jest sumowana i mnożona przez wagę 10: 10 p (6) gdzie p jest ilością pokrywających się linii. 3) Ilość przecięć (skrzyżowań) między liniami jest sumowana (waga wynosi 1): r (7) gdzie r jest ilością przecięć linii. 2 Perturbacja mała, niewielka zmiana. 238
4) Zbyt małe odległości między liniami łączącymi komponenty oraz między liniami a komponentami są sumowane i mnożone przez wagę 0.1: 0.1 s (8) gdzie s jest ilością zbyt małych odległości między liniami oraz między liniami a komponentami. 5) Wartość funkcji kosztu jest sumą wszystkich wyżej wymienionych sum (5), (6), (7), (8): p + f ( S) = 100 q + 10 r + 0. 1 s(9) Wagi zostały dobrane tak, aby podkreślić hierarchię kryteriów estetycznych. Ważne kryteria estetyczne powodują duże zmiany w wyniku zwracanym przez funkcję kosztu f, natomiast mniej ważne kryteria powodują dużo mniejsze zmiany. W ten sposób preferowane są kryteria z większym priorytetem (np. lepiej jest, jeśli linie przecinają się niż pokrywają). 1.4 Weryfikacja Algorytm rozmieszcza komponenty na płaszczyźnie dużo większej, niż wymagana jest do optymalnego rozmieszczenia komponentów. Takie rozwiązanie zostało zastosowane, aby zminimalizować prawdopodobieństwo wylosowania nowej lokalizacji dla komponentu, która spowodowałaby nachodzenie tego komponentu na inny. W przypadku wykrycia pokrywania się komponentów wybierana jest losowo nowa lokalizacja i dokonywane jest ponownie sprawdzane pokrywania się. Jeśli powierzchnia, na której są rozmieszczane komponenty byłaby zbyt mała, algorytm wybierałby z dużo większym prawdopodobieństwem złą lokalizację. Duże prawdopodobieństwo wyboru złej lokalizacji mogłoby znacznie spowolnić działanie algorytmu albo doprowadzić do jego całkowitego zablokowania się. Dlatego wielkość powierzchni jest dobierana automatycznie na podstawie ilości i rozmiarów obrazków komponentów wykrytych w danej instalacji grzewczej. Algorytm symulowanego wyżarzania nie minimalizuje pola powierzchni, na którym rozmieszczone są komponenty, ponieważ dodanie tego ograniczenia znacznie wydłuża działanie algorytmu. Dlatego, zmniejszanie pola powierzchni zostało zrealizowane za pomocą prostego algorytmu iteracyjnego, co w rezultacie doprowadziło do stworzenia hybrydowego algorytmu rozmieszczenia. Rys.1. Przykład (a). Fig.1. Example (a). Rys.1. Przykład (b). Fig.1. Example (b). Rys.1. Przykład (c). Fig.1. Example (c). Rys.1. Przykład (d). Fig.1. Example (d). 239
3. Wnioski Najważniejszym osiągnięciem pracy jest opracowanie funkcji kosztu dla zmodyfikowanego algorytmu symulowanego wyżarzania i dość specyficznego zastosowania, jakim jest wizualizacja systemów grzewczych. Funkcja kosztu została wyznaczona na podstawie kryteriów estetycznych, które zostały wyznaczone w oparciu o analizę istniejących wizualizacji systemów grzewczych. 4. Podziękowania Badania nad automatycznym rozmieszczeniem elementów wspierane są przez firmę Bosch Thermotechnik GmbH. Autor artykułu pragnie podziękować firmie za współpracę i udzielenie pomocy. Literatura 1. LIU Hu-yao, HE Yuan-jun: Algorithm for 2D irregular-shaped nesting problem based on the NFP algorithm and lowest-gravity-center principle, ISSN 1673-565X(Print), 1862-1775(Online), 2005 2. Markus Puchta: Optimierung von Problemstellungen aus der diskreten und der Prozess-Industrie unter Verwendung physikalischer Verfahren, Praca Doktorska, Strony: 17-34, 2004 3. Susane Moritz: A Mixed Integer Approach for the Transient Case of Gas Network Optimization, Praca Doktorska, Strony: 21-30, 81-93, 154-157, 2007 4. Thomas Emden-Weinert: Kombinatorische Optimierungsverfahren für die Flugdienstplanung, Praca Doktorska, Strony: 26-53, 1999 5. Burkhard Plaum: Optimierung von überdimensionierten Hohlleiterkomponenten, Praca Doktorska, Strony: 66-83, 2001 Adres służbowy Autora: Mgr inż. Paweł Dąbrowski University of Zielona Góra Podrórna 50 65-246 Zielona Góra POLAND tel. +491762 788 7334 email: P.Dabrowski@weit.uz.zgora.pl Bosch Thermotechnik GmbH Thermotechnilogy Werk Lollar Postfach 11 61 35453 Lollar GERMANY tel. +496441 418 2742 fax. +496441 418 2389 email: Pawel.Dabrowski@de.bosch.com 240