MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 51, ISSN 1896-771X NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSOŚCI SRUMIENIA CIEPŁA W PŁASKIM PRZEWODZENIU CIEPŁA MEODĄ ELEMENÓW BRZEGOWYCH omasz Janusz eleszewski 1a 1 Katedra Ciełownictwa, Politechnika Białostocka a t.teleszewski@b.edu.l Streszczenie W ublikacji rzedstawiono algorytm metody elementów brzegowych (MEB wyznaczania linii rzeływu cieła w łaskim rzewodzeniu cieła metodą elementów brzegowych. Prezentowany algorytm stanowi alternatywę wobec najczęściej stosowanych obszarowych metod numerycznych, takich jak metoda różnic skończonych, metoda objętości skończonych, metoda elementów skończonych. W metodach tych stosowane są racochłonne i skomlikowane siatki wewnątrz obszaru, natomiast metoda elementów brzegowych wymaga jedynie dyskretyzacji brzegu. Weryfikacja algorytmu została wykonana na odstawie znanych rozwiązań teoretycznych. W racy rzedstawiono rzykład obliczeniowy rzeływu cieła rzez dwa rzewody centralnego ogrzewania obudowane wsólną izolacją cielną. W celu wykonania symulacji komuterowych został naisany autorski rogram obliczeniowy. Słowa kluczowe: rzewodzenie cieła, strumień cieła, linie rzeływu cieła, metoda elementów brzegowych NUMERICAL VISUALIZAION OF HEALINE AND HEA FLUX DENSIY IN WO-DIMENSIONAL SEADY SAE HERMAL CONDUCION USING BOUNDARY ELEMEN MEHOD Summary he aer resents the numerical alication of boundary element method (BEM to calculate the heatline and heat flux density in two-dimensional steady state thermal conduction. he efficiency and the credibility of roosed algorithm were verified by numerical tests and the BEM solution is comared with theoretical results of steady state conduction in a lane wall with no heat generation and constant thermal conductivity. Numerical examle is resented to illustrate steady state conduction in thermal isolation with a two ie system of central heating. he BEM algorithm is an alternative to mesh method: Finite Difference Method, Finite Element Method or Finite Volume Method. he comuter rogram was written in Fortran rogramming languages. Keywords: heat conduction, heat flux, heatlines, boundary element method 1. WSĘP W wielu symulacjach cielnych wykorzystuje się wizualizację linii rzeływu cieła oraz symulacje strumieni cieła. Linie rzeływu cieła są ortogonalne do izoterm (rys.1. W rzyadku adiabatycznego brzegu linie rzeływu cieła są do niego równoległe, natomiast w rzyadku brzegu o jednakowej temeraturze są do 116
niego rostoadłe. Z rozkładu gęstości strumienia cieła w obszarze można odczytać intensywność rzeływu cieła. Wzrost wartości gęstości strumienia cieła wskazuje na wzrost intensywności rzeływu cieła odobnie jak zagęszczenie linii rzeływu cieła. Znajomość składowych strumienia cieła również ozwala w sosób numeryczny wyznaczyć linie rzeływu cieła n. metodą Rungego-Kutty [1]. Linie rzeływu cieła mogą być wyznaczane w sosób graficzny rzy zastosowaniu wsółczynników kształtu [,3,4,5] jak i numeryczny. Przykładowe rozwiązania linii rzeływu cieła w zagadnieniach cielnych oartych na metodach siatkowych znajdują się w racach: metodzie różnic skończonych [6], metodzie elementów skończonych [7,8,9,10], metodzie objętości skończonych [11] i metodzie wielosiatkowej [1]. Wadą metod obszarowych jest budowa racochłonnych siatek. W rezentowanej metodzie elementów brzegowych dyskretyzacji wymaga jedynie brzeg obszaru. Pole temeratury w łaskim ustalonym rzeływie cieła, w którym dominującym mechanizmem jest rzewodzenie cieła, jest oisane równaniem Lalace a względem temeratury [5]: + 0 omasz Janusz eleszewski (1 Składowe strumienia cieła x i y zdefiniowane są zgodnie z rawem Fouriera [5]: x λ ( x y λ y (3 gdzie: λ jest wsółczynnikiem rzewodzenia cieła. Wyadkowa gęstości strumienia cieła jest wyznaczana z zależności: x + y (4 W celu wyznaczenia linii rzeływu cieła Ξ wrowadzono zależność ortogonalną do izotach [13,14]: Ξ λ x (5 Ξ λ y (6 Wobec czego równanie linii rzeływu cieła oisane jest zależnością: d dy dx Ξ x y (7 Wszystkie obliczenia zostały wykonane w autorskim rogramie obliczeniowym HEA_CONDUCION_D oartym na metodzie elementów brzegowych naisanym w języku Fortran. Funkcje odcałkowe linii rzeływu cieła i gęstości strumienia cieła zostały wyznaczone zgodnie z zależnościami (-7. Ξ 7 Ξ 6 1 < < 3 < 4 Rys. 1. Linie rzeływu cieła i izotachy w rzewodzeniu cieła. BRZEGOWE RÓWNANIA CAŁKOWE OPISUJĄCE PŁASKIE USALONE PRZEWODZENIE CIEPŁA W OŚRODKU JEDNORODNYM Zagadnienie brzegowe dla równania Lalace a (1 formułuje się w ostaci rzyjętego warunku brzegowego Dirichleta i Neumanna zakładającego znane wartości temeratury ( % na części brzegu L ( L i znane wartości strumienia cieła % ( na części brzegu L ( L (rys. [15,16]: χ( ( + ( K (, dl + ( E(, dl ( L ( L % ( K(, dl % ( E(, dl, (8 ( L ( L, L gdzie dla brzegu gładkiego χ ( 1/ oraz: 1 1 K (, ln λ r 1 ( x x n + ( y y ny E(, x r r ( x x + ( y y (9 (10 Po wyznaczeniu niewiadomych ( na brzegu L i ( na brzegu L, temeraturę w dowolnym unkcie ( A rozatrywanego obszaru (A wyznacza się ze związku całkowego: Ξ 5 Ξ 4 Ξ 3 ( ( E(, dl + ( K(, dl ( L ( L r grad Ξ Ξ 1 4 ( ( L, ( (A 3 1 (11 117
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSOŚCI SRUMIENIA Y n x n dl n y (A % ( Rys.. Szkic obrazujący zagadnienia brzegowe w obszarze łaskim Wobec zależności (-3 strumienie cieła w kierunku x i y w rzyjętym układzie wsółrzędnych w unktach ( rozatrywanego ola temeratury w obszarze (A ograniczonym brzegiem (L otrzymuje się, różniczkując funkcje odcałkowe (9-10 w wyrażeniu (11 odowiednio względem x i y: r ( E(, K (, x( λ ( dl ( dl ( L ( L ( E(, K (, y( λ ( dl ( dl L % ( L ( L ( L L L L X (1 1 ( x x n ( y y nx S(, y r r ( x x + ( y y gdzie: C jest to stała całkowania. (17 Na rys. 3 rzedstawiono schemat blokowy autorskiego rogramu obliczeniowego HEA_CONDUCION_D naisanego w języku fortran. Po zastąieniu linii brzegowej (L układem linii cząstkowych, rzy założeniu, że gęstości strumienia cieła i temeratur na każdej linii są stałe, równania całkowe (8 można srowadzić do układu algebraicznych równań liniowych. Po wyznaczeniu niewiadomych temeratur i gęstości strumieni cieła na brzegu L, ole temeratury, gęstość strumienia cieła, linie rzeływu cieła wyznacza się całkując numerycznie funkcje odcałkowe całki (9-10, 13-14, 16-17. Program HEA_CONDUCION_D (HCD Czytanie danych: λ, dyskretyzacja brzegu (L, warunek brzegowy: % (, % (. gdzie: K (, 1 x x r ((( y y ( x x nx ( x x( y y ny E(, λ (13 r K (, 1 y y r 4 ((( x x ( y y ny ( x x( y y nx E(, λ (14 r Znajomość składowych strumienia cieła x i y ozwala wyznaczyć linie rzeływu cieła metodą Rungego- Kutty [1]. W racy oracowano algorytm wyznaczania linii rzeływu cieła, rzeliczając funkcje odcałkowe (13-14 zgodnie z definicją (5-6. Po scałkowaniu funkcji odcałkowych (13-14 według definicji (5-6 i uwzględnieniu temeratury oraz gęstości strumienia cieła na brzegu L wyznaczono zależność oisującą linie rzeływu cieła: gdzie: ( L ( L 4 Ξ ( ( W (, dl + ( S(, dl + C ( ( L, ( (A (15 Generowanie macierzy wsółczynników: Generowanie wektora warunku brzegowego: Rozwiązanie układu algebraicznych równań liniowych: Wektor rozwiązań: [ A] ( K(, dl + ( E(, dl ( L ( L [ B] % ( K(, dl % ( E(, dl [ X] (, ( Rys. 3. Schemat blokowy rogramu obliczeniowego HEA_CONDUCION_D 3. WERYFIKACJA ALGORYMU W celu weryfikacji algorytmu rzyjęto jednokierunkowe rzenikanie cieła w łaskiej ścianie jednowarstwowej o grubości 0.4m, zbudowanej z bloczków z betonu komórkowego o wsółczynniku rzewodzenia cieła 0.105W/(mK. Warunki brzegowe zagadnienia testowego zostały rzedstawione na rys. 4. ( L ( L [ A][ X ] [ B] Wyznaczenie ola temeratury, składowych strumienia cieła x, y, linii rzeływu cieła Ξ w obszarze A. 1 y y W (, arctg λ x x lub 1 x x W (, + arctg λ y y (16 0 W / m 118
omasz Janusz eleszewski w Y o + 0 C X Rys. 4. Warunki brzegowe w jednowarstwowej rzegrodzie łaskiej Pole temeratury w rzekroju ściany wyznaczono ze wzoru analitycznego [3]: ( z w x ( w + (18 x gdzie: w, z są temeraturą na owierzchni ściany, L oznacza grubość ściany. Gęstość strumienia cieła została wyznaczona ze wzoru: ( x L ( z w λ d λ (19 dx L Linie rzeływu cieła zostały wyznaczone orzez scałkowanie zależności (18 zgodnie (5: ( λ 0.105 W / ( mk y 0.00 L 0.4 m ( z w Ξ x y + C (0 L Do obliczeń rzyjęto zerową linię rądu na wysokości y0 (C0. Błąd rozwiązania MEB gęstości strumienia cieła i linii rzeływu cieła wyznaczono z nastęujących zależności: EO MEB δ MEB 100% EO ΞEO ΞMEB δξ MEB 100% Ξ EO (1 ( gdzie indeksami EO oznaczono wielkości teoretyczne, natomiast indeksem MEB wielkości wyznaczone metodą elementów brzegowych. z o 0 C 0 W / m W tabeli 1 zestawiono błąd linii rzeływu cieła metody elementów brzegowych dla brzegu składającego się z 100 i 00 liniowych elementów w unktach rzekroju rzechodzących rzez środek ścianki (y0,1 m, natomiast w tabeli rzedstawiono błąd metody MEB dla gęstości strumienia cieła. Maksymalny błąd wyznaczania linii rzeływu cieła metodą MEB dla brzegu składającego się z 100 liniowych elementów nie rzekracza 0.0%, natomiast dla brzegu zbudowanego z 00 elementów błąd MEB nie rzekracza 0.01%. W rzyadku gęstości strumienia cieła maksymalny błąd MEB nie rzekracza 0,04% dla brzegu zbudowanego z 100 elementów i 0,01% dla brzegu złożonego z 00 elementów. ab. 1. Linie rzeływu cieła w rzewodzeniu cieła rzez ściankę łaską- błąd rozwiązania MEB Wsółrzędne węzłów Rozwiązanie Rozwiązanie Błąd met. teoretyczne num. MEB MEB 100 el. xw yw ΞEO ΞMEB ΞMEB m m K K % 0,10 0,000 0,00000 0,00000-0,10 0,00 19,0476 19,04503 0,01360 0,10 0,400 38,0954 38,0916 0,01045 0,10 0,600 57,1486 57,1379 0,00975 0,10 0,800 76,19048 76,1891 0,00993 0,10 1,000 95,3810 95,305 0,00635 00 el. 0,10 0,000 0,00000 0,00000-0,10 0,00 19,0476 19,04655 0,00561 0,10 0,400 38,0954 38,09311 0,00558 0,10 0,600 57,1486 57,1397 0,00549 0,10 0,800 76,19048 76,18649 0,0054 0,10 1,000 95,3810 95,3397 0,00433 ab.. Gęstość strumienia cieła w rzewodzeniu cieła rzez rzez ściankę łaską - błąd rozwiązania MEB Wsółrzędne węzłów Rozwiązanie Rozwiązanie Błąd met. teoretyczne num. MEB MEB 100 el. xw yw EO MEB δmeb m m W/m W/m % 0,10 0,000 10,00000 10,00174-0,10 0,00 10,00000 9,99845 0,01553 0,10 0,400 10,00000 9,9966 0,03737 0,10 0,600 10,00000 10,00044 0,00444 0,10 0,800 10,00000 10,00197 0,0197 0,10 1,000 10,00000 10,00074 0,00744 00 el. 0,10 0,000 10,00000 9,99944-0,10 0,00 10,00000 9,99944 0,00559 0,10 0,400 10,00000 9,99945 0,00547 0,10 0,600 10,00000 9,99949 0,00507 0,10 0,800 10,00000 9,99964 0,00355 0,10 1,000 10,00000 10,00044 0,00441 Zagęszczenie odziału linii brzegowej konturu rzekroju rzewodu rostoliniowego owoduje zmniejszenie błędu metody elementów brzegowych. Graficzne rezultaty linii rzeływu cieła orównania MEB z rozwiązaniem teoretycznym (0 w wybranych unktach rzekroju x0,1m, zostały rzedstawione na rys. 5. Rys. 5. Porównanie rezultatów obliczeń MEB linii rzeływu cieła z rozwiązaniem teoretycznym (0 (x0.1m 4. PRZYKŁADY OBLICZENIOWE 119
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSOŚCI SRUMIENIA Poniżej rzedstawiono rzykład obliczeniowy rzewodzenia cieła w izolacji wykonanej z wełny mineralnej ( λ 0.04 W/(mK dwóch rzewodów instalacji centralnego ogrzewania. Do symulacji rzyjęto rzeczywiste temeratury ścianek: I0 o C na izolacji, z55 o C na ściance rzewodu zasilającego oraz 50 o C na ściance rzewodu owrotnego. Różnica temeratur w instalacji centralnego ogrzewania wyniosła 5 o C. Wszystkie obliczenia wykonano metodą elementów brzegowych. Na rys. 6 rzedstawiono warunki brzegowe i wymiary dla rzykładu obliczeniowego: a0.1m, b0.08m, e0.0187m, φ1φ0.013m (DN15. Na rys. 7 wykreślono ole temeratury w rzekroju orzecznym wsólnej izolacji dwóch rzewodów instalacji centralnego ogrzewania. Rys. 8. Składowa x strumienia cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 5 o C rozwiązanie numeryczne MEB Na rysunkach 8-9 rzedstawiono składowe gęstości strumienia cieła x i y, natomiast na rys. 10 zarezentowano wyadkową strumienia cieła w rzekroju orzecznym wsólnej izolacji dwóch rzewodów instalacji centralnego ogrzewania. Rys. 11 rzedstawia wykreślone linie rzeływu cieła wraz z zaznaczonym zwrotem rzeływu cieła w analizowanym rzykładzie obliczeniowym. I Z P Rys. 9. Składowa y strumienia cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 5 o C rozwiązanie numeryczne MEB e a Rys. 6. Warunki brzegowe w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania. Rys. 10. Wyadkowa gęstości strumienia cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 5 o C rozwiązanie numeryczne MEB Rys. 7. Pole temeratury w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 5 o C rozwiązanie numeryczne MEB 10
omasz Janusz eleszewski Rys. 11. Linie rzeływu cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 5 o C rozwiązanie numeryczne MEB W drugim rzykładzie obliczeniowym wykonano symulację rzeływu cieła, w której założono większą temeraturę zasilania z70 o C, w wyniku czego różnica temeratur między zasilaniem i owrotem, wyniosła 0 o C. Na rysunkach 1-14 wykreślono rezultaty obliczeń: ole temeratury, wyadkową gęstości strumienia cieła i linie rzeływu cieła. W drugim rzykładzie obliczeniowym wymiana cieła odbywa się również miedzy rzewodem zasilania i rzewodem owrotnym instalacji centralnego ogrzewania. Rys. 1. Pole temeratury w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 0 o C rozwiązanie numeryczne MEB Rys. 14. Linie rzeływu cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 0 o C rozwiązanie numeryczne MEB 5. WNIOSKI Metoda elementów brzegowych jest obecnie intensywnie rozwijana i trwają race nad jej udoskonalaniem. Przedstawiony algorytm metody elementów brzegowych wyznaczania linii rzeływu cieła i gęstości cieła w rzewodzeniu cieła jest uzuełnieniem metody MEB i ozwala w sosób efektywny wyznaczać wymienione wielkości. Podstawową zaletą rezentowanego algorytmu jest eliminacja siatek wewnątrz obszaru, które są nieodłącznym elementem klasycznych metod obszarowych takich jak metoda różnic skończonych, metoda elementów skończonych czy metoda objętości skończonych. Wyrowadzony w racy algorytm również charakteryzuje się małym błędem obliczeniowym. W racy rzedstawiono rzykład obliczeniowy symulacji rzeływu cieła w wsólnej izolacji dwóch rzewodów instalacji centralnego ogrzewania, w którym wzrost różnicy temeratury między rzewodem zasilającym i owrotnym owoduje wymianę cieła między tymi rzewodami. Rys. 13. Wyadkowa gęstości strumienia cieła w rzekroju orzecznym izolacji dwóch rzewodów centralnego ogrzewania ( 0 o C rozwiązanie numeryczne MEB Oracowanie zrealizowano w ramach racy statutowej Politechniki Białostockiej. 11
NUMERYCZNA WIZUALIZACJA LINII PRZEPŁYWU CIEPŁA I GĘSOŚCI SRUMIENIA Literatura 1. Press W.H., Flannery B.P., eukolsky S.A., Vetterling W..: Numerical recies in FORRAN: examle book he Art of Scientific Comuting, Cambridge University Press, 199.. aler J., Duda P.: Solving direct and inverse heat conduction roblems. Berlin: Sringer Verlag, 006. 3. Rao Y.V.: Heat transfer. India: Universities Press Lim., 001. 4. Nag P.K.: Heat & mass transfer.th ed. New Delhi: ata McGraw-Hill Publ. Com., 007. 5. Holman J.: Heat transfer. 10 th ed. okyo: McGraw-Hill, 009. 6. Hooman K., Gurgenci H., Dincer I.: Heatline and energy-flux-vector visualization of natural convection in a orous cavity occuied by a fluid with temerature-deendent viscosity. Journal of Porous Media 010, Vol. 1, Iss. 3,. 65 75. 7. Natarajan E., Basak., Roy S.: Heatline visualization of natural convection flows within traezoidal enclosures. In: Proc. of the 5th IASME / WSEAS International Conference on Fluid Mechanics and Aerodynamics, August 5-7, 007, Athens, Greece, World Scientific and Engineering Academy and Society, 007,.55-66. 8. Basak., Chamkha A.J.: Heatline analysis on natural convection for nanofluids confined within suare cavities with various thermal boundary conditions."international Journal of Heat and Mass ransfer" 01, Vol.55,.556-5543. 9. Singh A.K., Roy S., Basak.: A comrehensive Bejan s heatline aroach for natural convection heat transfer within inclined suare cavities. ASME Heat ransfer Summer Conference, Rio Grande 01,. 1067-1076. 10. Kaluri R.S, Basak.: Numerical visualization of heat flow and thermal mixing in various differentially heated suare cavities using Bejan s heatlines. ASME/JSME 8th hermal Engineering Joint Conference Hawaii 011,. 10051-10051-10. 11. Seetjens M.F.M., Steenhoven A.A. van: Visualisation of heat transfer in unsteady laminar flows. Comutational hermal Sciences 011, Vol. 3(1,.31-47. 1. Mahmud S., Fraser R.A.: Visualizing energy flows through energy streamlines and athlines. "International Journal of Heat and Mass ransfer" 007, Vol. 50(19-0,.3990-400. 13. Bejan A.: Convection heat transfer. 4 th ed. New Jersey : John Wiley 013. 14. Costa V.A.F.: Bejan s heatlines and masslines for convection visualization and analysis. Alied Mechanics Reviews 006, Vol. 59, Iss. 3,. 16 145. 15. Majchrzak E.: Metoda elementów brzegowych w rzeływie cieła. Częstochowa: Wyd. Pol. Częstochowskiej, 001. 16. Brebbia C.A., elles J.F.C., Wrobel L.C.: Boundary element techniues: theory and alications in engineering. New York: Sringer-Verlag, 1984. 1