3 atalna spłata długu Definicja 2 (Zasada ogólna) Zaktualizowane na określony moment czasu wartość długu i spłaty długu muszą być sobie równe K j - dług bieżący - wartość kapitału pozostałego do spłacenia w momencie j po zapłaceniu j-tej raty, j - numer okresu, j - rata płatna w chwili j, I j - część odsetkowa raty j, U j - część kapitałowa raty j, i - stopa procentowa o okresie równym okresowi raty Definicja 3 (Priorytet spłaty odsetek) egułą jest, iż przy ratalnej spłacie długu priorytet mają odsetki, to znaczy, w pierwszej kolejności płacona rata służy spłaceniu bieżących odsetek, a dopiero pozostała jej część zmniejsza zadłużenie 31 Ogólny schemat spłaty - podejście retrospektywne Mamy I j = ik j 1 oraz z warunku j = I j + U j, otrzymujemy Ponadto mamy Stąd: U j = j I j = j ik j 1 K j = K j 1 U j = K j 1 + ik j 1 I j U j = (1 + i)k j 1 j K 1 = (1 + i)k 0 1, K 2 = (1 + i)k 1 2 = (1 + i) 2 K 0 [(1 + i) 1 + 2 ], K 3 = (1 + i)k 2 3 = (1 + i) 3 K 0 [ (1 + i) 2 1 + (1 + i) 2 + 3 ], Wynika stąd ogólny plan spłaty długu: j j I j U j K j 0 K 0 = K 1 1 ik 0 1 ik 0 (1 + i)k 0 1 2 2 ik 1 2 ik 1 3 3 ik 2 3 ik 2 (1 + i) 2 K 0 (1 + i) 1 2 (1 + i) 3 K 0 3 (1 + i) 3 k k j j ik j 1 j ik j 1 (1 + i) j K 0 j (1 + i)j k k n n ik n 1 n ik n 1 (1 + i) n K 0 n (1 + i) n k k = 0 Wzór retrospektywny: j K j = (1 + i) j K 0 (1 + i) j k k
Istotnie: K j+1 = (1 + i)k j j+1 = (1 + i) (1 + i) j K 0 j (1 + i) j k k j+1 j = (1 + i) j+1 K 0 (1 + i) j k+1 k (1 + i) j+1 (j+1) j+1 j+1 = (1 + i) j+1 K 0 (1 + i) j+1 k k 32 Ogólny schemat spłaty - podejście prospektywne Z drugiej strony K n = 0, a ponieważ U j = K j 1 K j więc U n = K n 1 K n = K n 1 Ponadto I n = ik n 1, skąd czyli K n 1 = v n Dalej mamy oraz I n 1 = ik n 2 skąd zatem Otrzymujemy ogólny plan spłat w formie: Wzór prospektywny: n = I n + U n = (1 + i)k n 1 U n 1 = K n 2 K n 1 = K n 2 v n, n 1 = I n 1 + U n 1 = (1 + i)k n 2 v n, K n 2 = v n 1 + v 2 n j j I j U j K j 0 K 0 = n v k k 1 1 ik 0 1 ik 0 nk=2 v k 1 k j j ik j 1 j ik j 1 n v k j k n 2 n 2 ik n 3 n 2 ik n 3 v n 1 + v 2 n n 1 n 1 ik n 2 n 1 ik n 2 v n n n ik n 1 n ik n 1 K n = 0 K j = v k j k = n j v k k+j Faktycznie, z relacji: K j = (1 + i)k j 1 j otrzymujemy równoważną: K j 1 = v(k j + j ) zatem K j 1 = v v k j k + j = v v k j k = v k (j 1) k k=j k=(j 1)+1
Zauważmy, że aby dług się zmniejszał musi zachodzić warunek W szczególności: 0 < K j 1 K j = U j = j I j, czyli j > I j = ik j 1 K 0 < 1 i Sumując równość: U k = K k 1 K k po k = n, n 1,, j + 1, otrzymujemy U k = K k 1 w szczególności K 0 = n U k Stąd również K k = n 1 k=j K k j j K j = U k = U k U k = K 0 U k K k = K j K n = K j, Mamy także zatem k = U k + I k = K 0 + I j I j = k K 0 33 ówne części kapitałowe W tym typie spłaty mamy U j = K 0 /n dla j = 1,, n Stąd Prościej wygląda plan spłaty: ( K j = K 0 ju j = K 0 1 j ), n ( I j = ik j 1 = ik 0 1 j 1 ), n ( j = I j + U j = K 0 /n + ik 0 1 j 1 n j j I j U j K j 0 K 0 = K 1 K/n + ik ik K/n K(1 1/n) 2 K/n + ik(1 1/n) ik(1 1/n) K/n K(1 2/n) 3 K/n + ik(1 2/n) ik(1 2/n) K/n K(1 3/n) j K/n + ik(1 (j 1)/n) ik(1 (j 1)/n) K/n K(1 j/n) n K/n + ik/n ik/n K/n 0 34 ówne raty (annuitetowe) W tym typie spłaty łączna rata jest stała w całym okresie spłaty kredytu: j = dla j = 1,, n Wysokość raty należy wyznaczyć Z wzoru prospektywnego dla j = 0 mamy K 0 = v k = a n = 1 vn, i )
skąd Mamy ponadto: = K 0 a n = ik 0 1 v n K j = n j v k = a n j = K 0 a n j a n = K 0 1 v n j 1 v n, I j = ik j 1 = ia n j+1 = (1 v n j+1 a n j+1 ) = ik 0 a n U j = j I j = v n j+1 v n j+1 = K 0 a n = ik 0 1 v n j+1 1 v n, Plan spłaty ma formę: j j I j U j K j 0 K 0 = K 1 (1 v n ) v n a n 1 2 (1 v n 1 ) v n 1 a n 2 j (1 v n j+1 ) v n j+1 a n j n 2 (1 v 3 ) v 3 a 2 n 1 (1 v 2 ) v 2 a 1 n (1 v) v 0 Załóżmy teraz, że dla danej kwoty kredytu K 0 w sposób arbitralny ustalono wysokość raty Wówczas z podejścia retrospektywnego mamy: j K j = (1 + i) j K 0 (1 + i) j k = (1 + i) j K 0 (1 + i)j 1 = ( ) i i i K 0 (1 + i) j Zauważmy, że kredyt zostaje spłacony w racie n-tej, dla której ( ) i i K 0 (1 + i) n = K n 0 < K n 1 = ( ) i i K 0 (1 + i) n 1, ( ) i K 0 (1 + i) n ( ) i < i K 0 (1 + i) n 1, ( ) i K 0 ( ) i (1 + i) n < i K 0 (1 + i) 1, ik 0 (1 + i) n > ik 0 (1 + i) 1, (1 + i) n < (1 + i), ik 0 ik 0 ln n ln(1 + i) < ln + ln(1 + i), ik 0 ik 0 ln ik 0 ln ik n < 0 ln(1 + i) ln(1 + i) + 1
35 Spłata poprzez fundusz umorzeniowy W tym typie spłaty dłużnik spłaca bieżące odsetki I j = ik 0, j = 1,, n, natomiast w momencie n dodatkowo spłaca w całości część kapitałową U n = K 0 Aby dysponować taką kwotą gromadzi środki na tak zwanym funduszu umorzeniowym, które wypłaca w chwili n Stosowanie takiego typu spłaty wynika głównie z dwóch pobudek: po pierwsze pożyczkodawca wymaga gromadzenia takiego funduszu jako zabezpieczenia, po drugie dłużnik ma możliwość lokowania środków po stopie wyższej niż stopa oprocentowania kredytu, co zmniejsza jego łączny koszt Zakładamy, że dłużnik wpłaca na fundusz n wpłat w wysokości Z, w tych samych momentach, w których spłacany byłby tradycyjny kredyt Jeśli oprocentowanie środków funduszu wynosi j, aby fundusz spełnił swe zadanie musi zachodzić warunek: K 0 = Zs n@j Z = K 0 s n@j Łączna rata związana z obsługą kredytu w chwili j wynosi Stąd = ik 0 + K 0 1 s nj < i + 1 s nj < 1 a ni 1 s nj < 1 a ni i 1 s nj < 1 s ni s ni < s nj i < j 36 Dodatki 361 Inne reguły stosowane do spłaty długu Definicja 4 (Zasada kupiecka) W dowolnym momencie czasu wartość bieżącego długu oblicza się jako różnicę między początkową wartością długu zaktualizowaną na moment spłaty całości długu a sumą wartości spłaconych rat zaktualizowanych na moment spłaty całości długu Definicja 5 (Zasada amerykańska) Wysokość długu bieżącego wyznaczana jest po spłacie każdej raty długu Od długu bieżącego naliczane są odsetki w momencie płacenia każdej raty za okres między ostatnimi płatnościami Dług zmniejsza się o różnicę między ratą i naliczonymi odsetkami, jeśli ta różnica jest dodatnia Jeśli różnica jest ujemna, wówczas rata przyjęta przez wierzyciela nie jest traktowana jako rata spłacająca dług i nieoprocentowana doliczana jest do kolejnej raty spłaty długu i w tym momencie powtarzana jest procedura wyznaczania wartości długu bieżącego 362 Koszty dodatkowe Sposoby pobierania prowizji: g j = I j + U j + G j G j - prowizja pobierana z j-tą ratą, g - stopa prowizji, jednorazowo: systematycznie: G 0 = g K 0, G j = 0, j = 1,, n, G 0 = 0, G j = g U j, j = 1,, n
363 aty annuitetowe przy prowizji systematycznej Ponieważ g j = I j + U j + G j oraz G j = g U j, to Dla U g j = (1 + g)u j oraz K g j = (1 + g)k j mamy oraz I j = ik j 1 = zatem przyjmując r = i/(1 + g) otrzymujemy g j = I j + (1 + g) U j U g j = (1 + g)k 0 = K g 0 i 1 + g (1 + g)k j 1 = i 1 + g Kg j 1, I j = ik j 1 = rk g j 1 To sugeruje nam, że rata skorygowana będzie równa racie annuitetowej dla skorygowanego długu K g 0 oraz skorygowanej stopy procentowej r: skąd g = K0/a g r nr = (1 + g)k 0 1 (1 + r) = ik 0 n 1 (1 + r), n oraz U j = U g j /(1 + g) = ( g I j )/(1 + g) = (K0/a g nr ik j 1 )/(1 + g) = K 0 /a nr rk j 1, G j = gu j = g 1 + g U g j K j = K j 1 U j = K j 1 (K 0 /a nr rk j 1 ) = (1 + r)k j 1 K 0 /a nr Mamy stąd K 1 = (1 + r)k 0 K 0 /a nr, K 2 = (1 + r) 2 K 0 [(1 + r) + 1]K 0 /a nr, K 3 = (1 + r) 3 K 0 [(1 + r) 2 + (1 + r) + 1]K 0 /a nr, K j = (1 + r) j K 0 s jr K 0 /a nr, K n = (1 + r) n K 0 s nr K 0 /a nr = 0 364 zeczywista roczna stopa oprocentowania zeczywisty koszt kredytu uwzględnia: wysokość i częstotliwość rat, stopę procentową, prowizje, marżę, opłaty manipulacyjne,
karencję długu, składkę ubezpieczenia kredytu, inne parametry mające wpływ na ciąg spłat długu Sposób obliczania SO reguluje załącznik 4 Ustawy z dnia 12 maja 2011 r o kredycie konsumenckim Znajdujemy w nim wzór obliczenia rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania : m A k (1 + i) t k = B j (1 + i) t j, gdzie: k - numer kolejnej wypłaty raty kredytu, j - numer kolejnej spłaty kredytu lub kosztów, A k - kwota k-tej wypłaty raty kredytu, B j - kwota j-tej spłaty kredytu lub kosztów, m - numer ostatniej wypłaty raty kredytu, j - numer ostatniej spłaty kredytu lub kosztów, t k - okres, wyrażony w latach lub ułamkach lat, między pierwszą wypłatą i kolejnymi wypłatami, t j - okres, wyrażony w latach lub ułamkach lat, między pierwszą wypłatą kredytu i kolejnymi spłatami kredytu lub kosztów, i - rzeczywista roczna stopa oprocentowania W celu obliczenia rzeczywistej rocznej stopy oprocentowania przyjmuje się min następujące założenia: odstępy czasu między datami używanymi w obliczeniach wyrażone są w latach lub w ułamkach roku, przy czym rok liczy 365 dni, a w przypadku lat przestępnych 366 dni, 52 tygodnie lub 12 równych miesięcy, gdzie równy miesiąc ma 3041666 dni, wynik obliczeń podaje się z dokładnością do co najmniej jednego miejsca po przecinku (i to jest byk w ustawie, bo nie jest napisane, że stopa ma być wyrażona w procentach) 365 Inne pojęcia związane z kredytami marża, karencja, konwersja, restrukturyzacja, konsolidacja, refinansowanie
4 Mierniki oceny inwestycji finansowych Inwestycję będziemy rozważali dowolny ciąg strumieni pieniężnych C j danych w chwilach t j, j = 0,, n, przy czym t 0 = 0, oraz C 0 < 0 traktujemy jako inwestycję początkową Moment t n nazywamy horyzontem inwestycyjnym Możliwe jest, że w dane chwili t mamy do czynienia zarówno z wypływem: COF t jak i wpływem CIF t gotówki, wówczas C t = CIF t COF t 41 Wartość bieżąca netto - net present value NP V (i) = C j v t j = C j (1 + i) t j j=0 j=0 42 Wewnętrzna stopa zwrotu - internal rate of return, yield rate I : NP V (I) = 0 Problemy: ozwiązań tego równania może być wiele lub mogą one nie istnieć wcale I jest wyznaczone jednoznacznie, gdy następuje tylko jedna zmiana znaku Do obliczania stosujemy metody numeryczne: metoda równego podziału, metoda interpolacji liniowej: b a I + = a NP V (a) NP V (b) NP V (a), metoda Newtona-aphsona: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Wybieramy projekt o najwyższej stopie I Jeżeli kryteria NP V i I przynoszą sprzeczne decyzje, należy kierować się NP V 43 MI - zmodyfikowana wewnętrzna stopa zwrotu Założeniem leżącym u podstaw NPV i I jest możliwość reinwestowania po tej samej stopie zwrotu w całym okresie inwestycji COFt v t = T V (1 + MI) tn gdzie T V - terminal value, T V = CIF t (1 + r) tn t r - stopa reinwestycji kapitału, v = 1/(1 + k), k - koszt kapitału, MI = ( CIFt (1 + r) tn t COFt v t ) 1/tn 1 44 Index zyskowności - profitability index P I = CIFt v t COFt v t gdzie CIF - cash inflow, COF - cash outflow P I > 1 - inwestycja jest korzystna
45 Zdyskontowany okres zwrotu - DPP - discounted payback period Okresem zwrotu inwestycji nazywamy taki czas T, że dla ustalonej stopy procentowej i, zdyskontowane przepływy pieniężne do tego momentu po raz pierwszy przekroczą zero: t j <T C j v t j = 0 Jeśli k będzie najmniejszą liczbą dla której k j=0 C j v t j pewnego t k 1 < t t k : k 1 j=0 Czas T = t jest szukanym okresem zwrotu 46 Dollar weighted method Mamy C j v t j + t t k 1 t k t k 1 C k v t = 0 0, to ponieważ k 1 j=0 C j v t j < 0, zatem dla S t - wartość funduszu bezpośrednio przed wpłatami/wypłatami w chwili t, C t - zmiana środków funduszu związana z wpłatami/wypłatami w chwili t, C = t C t, I - suma zysków funduszu w całym okresie, T - data końca okresu za jaki wyznaczana jest stopa zwrotu - horyzont czasowy, S T = S 0 + C + I Stopę procentową mierzącą zysk funduszu możemy wyznaczyć z odpowiedniego równania Dla oprocentowania złożonego ma ono postać: S 0 (1 + i) T + 0 t T C t (1 + i) T t = S T Ponieważ zwykle T = 1, w praktyce dla uproszczenia obliczeń przyjmuje się model oprocentowania prostego: S 0 (1 + i) + C t (1 + i(1 t)) = S 1 Stąd 0 t 1 i = S 1 S 0 0 t 1 C t S 0 + 0 t 1 C t (1 t) = I S 0 + 0 t 1 C t (1 t) Mianownik określany jest jako przeciętne ryzyko - average exposure Jeśli wpłaty/wypłaty są jednostajne, to I i = S 0 + 05 C = 2I S 0 + S 1 I Przykład Wpłacamy w chwili t = 0 kwotę 1000 W chwili t = 1/2 nasze udziały w funduszu warte są 500 Podejmujemy następujące decyzje: (a) nie robimy nic, (b) dopłacamy 500, (c) wypłacamy 250 W chwili t = 1 fundusz podwaja swoją wartość, a więc nasze udziały są warte (a) 1000, (b) 2000, (c) 500 W przypadku (a) nasza stopa zwrotu (I) wynosi 0% w przypadku (b) musimy rozwiązać: 1000 500v 1/2 500 +2000v = 0 co daje I = 4069% Metodą DWM i = = 40% 1000+500 1 2 W przypadku (c) mamy równanie 1000 + 250v 1/2 + 500v = 0 co daje I = 2893%, a metodą uproszczoną i = = 2857% 250 1000 250 1 2
47 Time weighted method Metoda ta w ogólnym przypadku nie jest spójna z oprocentowanie złożonym, ale jest stosowana w praktyce przez fuundusze inwestycyjne, które dokonują wyceny w regularnych odstępach czasu Obliczamy S k 1 + j k =, k = 1,, m, S k 1 + C k 1 oraz m i = (1 + j k ) 1 Zgodnie z tą metodą stopa zwrotu wynosi: 1 + j 1 = 500 1000 = 05, 1 + j 2 = 1000 500 = 2, i = (1 + j 1)(1 + j 2 ) 1 = 05 2 1 = 0 48 Dyskontowe modele wyceny akcji Modele wyceny akcji mają na celu wyznaczenie wewnętrznej wartości akcji Jeśli ta wartość jest niższa od ceny rynkowej, oznacza to, że akcje są niedoszacowane, co daje szansę na wzrost ich ceny w przyszłości i jest rekomendacją ich zakupu W sytuacji przeciwnej akcje są przewartościowane, co jest sygnałem sprzedaży Możemy wyróżnić modele dyskontowe, pozwalające odpowiedzieć na pytanie, jaka jest dzisiejsza (zaktualizowana) wartość akcji po uwzględnieniu przyszłych (prognozowanych) przypadających na nią dochodów Mamy również do czynienia z modelami empiryczno-indukcyjnymi, określającymi wartość akcji w oparciu o model regresji, w którym zmiennymi objaśniającymi są czynniki ekonomiczne mające wpływ na dochodowość danej akcji Inwestujemy w akcje traktując je jako inwestycję długoterminową Akcje przedsiębiorstw o stabilnej sytuacji finansowej przynoszą w miarę pewny dochód w postaci dywidendy Możemy zatem oceniać inwestycję w akcje za pomocą kryterium NPV, traktując ciąg dywidend jako rentę Stąd cena akcji będzie równa: A n = D j (1 + i) j + P n (1 + i) n gdzie D j - dywidenda w roku j, i - rynkowa stopa procentowa, P n - cena po jakiej akcja zostanie sprzedana za n lat, A n - wycena akcji o planowanym czasie inwestycji n lat, Zakładając, że dywidendy rosną w stałym tempie r% rocznie, mamy skąd A n = D 0 D j = D 0 (1 + r) j, n ( ) 1 + r j + P n (1 + i) n 1 + i Zakładając, że n jest dostatecznie duże, lub, że inni inwestorzy będą stosować to samo kryterium, możemy przyjąć, że ( ) 1 + r j 1+r 1+i A = lim A n = D 0 = D 0 n 1 + i 1 1+r 1+i = D 0 1 + r i r
Model ten nazywany jest modelem Gordona lub Gordona-Schapiro Aby miał sens musi zachodzić r < i W szczególności dla r = 0 otrzymujemy model stałej wartości dywidendy: A = D 0 i Możemy skomplikować model Gordona, wyróżniając dwie fazy wzrostu dywidendy: zakładamy, że przez pierwszych n lat dywidenda rośnie w tempie r 1, a następnie w tempie r 2, przy czym r 2 < i Mamy ( ) 1 + j r1 ( ) 1 + j A = D 0 + D 0 (1 + r 1 ) n r2 1 + i j=n+1 1 + i = D 0 1 + r 1 1 + i 1 ( ) n 1+r1 ( ) 1+i 1 + n 1 1+r + (1 + r 1 1 ) n r2 1 + r 2 1 + i 1 + i 1 1 1+r 2 1+i 1+i [ ( ( ) 1 + r1 1 + n ) ( ) n r1 (1 + r1 )(1 + r 2 ) = D 0 1 + 1 + r ] 2 i r 1 1 + i 1 + i i r 2