WYBRANE METODY POSZUKIWANIA ROZWIĄZANIA PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ

Transkrypt

1 Efektyność transportu Jakub OZIOMEK, Andrzej ROGOWSKI WYBRANE METODY POSZUKIWANIA ROZWIĄZANIA PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ W artykule opisane zostały ybrane metody służące do roziązania problemu synchronizacji interałoej rozkładó jazdy miejskim transporcie zbioroym. Scharakteryzoano jedną metodę dokładną (metodę przeglądu zupełnego) oraz die metody heurystyczne (metodę przeszukiania losoego i iązkoego). Piersza z metod (tj. przeglądu zupełnego) pozala na znalezienie najlepszego roziązania problemu jednak na ogół przy znacznym czasie trania obliczeń dla nietryialnych problemó rzeczyistych. Pozostałe metody zykle są szybsze metodzie przeszukiania losoego generuje się losoo roziązania dopuszczalne, natomiast metoda przeszukiania iązkoego jest peną odmianą algorytmu zachłannego, której roziązania uzyskuje się krokoo. Obie metody heurystyczne nie dają peności uzyskania roziązania optymalnego, a jedynie przybliżone. Istnieje szeroka grupa zagadnień optymalizacyjnych, dla których ybór metody roziązania nie jest oczyisty. Problem synchronizacji interałoej jest jednym z tych, dla których konieczne jest poszukanie kompromisu między czasem trania obliczeń, a ich dokładnością. WSTĘP Dla ielu zadań optymalizacyjnych ciąż aktualny pozostaje problem yboru metody roziązania między dokładną a przybliżoną. Roziązanie przybliżone (suboptymalne) nie jest roziązaniem najlepszym przy danym kryterium (optymalnym), a jedynie dostatecznie bliskim najlepszemu, choć może takim być algorytmy przybliżone nie ykluczają a priori możliości uzyskania roziązania optymalnego. Za yborem metod zracających roziązania suboptymalne przemaia najczęściej aspekt czasochłonności; czas konieczny do znalezienia roziązania suboptymalnego jest naet do kilkuset razy krótszy od czasu potrzebnego do znalezienia roziązania optymalnego. Istotnym jest jednak łaście określenie co przy rozpatryanym problemie optymalizacyjnym rozumiemy przez dostatecznie bliskie. W transporcie miejskim dylemat yboru metody roziązania ziązany jest na przykład z tz. problemem synchronizacji interałoej, polegającym na ustaleniu takich czasó odjazdu linii komunikacyjnych z przystankó początkoych, które garantują rytmiczne kursoanie pojazdó po spólnych fragmentach tras. 1. MODEL PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ W TRANSPORCIE MIEJSKIM O rytmiczności kursoania pojazdó komunikacji miejskiej mói się óczas, gdy kolejne pojazdy, jadące tym samym kierunku, mijają lub opuszczają przystanek komunikacyjny rónych odstępach czasu. Zapenienie rytmicznego (regularnego) kursoania pojazdó odbya się poprzez synchronizację ich rozkładó jazdy i jest szczególnie ażne iązkach komunikacyjnych, czyli na spólnych dla kilku linii fragmentach tras. Kursy iązce będą zsynchronizoane tylko tedy, gdy spełnione będą arunki [5], [6]: odchylenia interałó między kolejnymi kursami 1 od interału idealnego będą najmniejsze, kursy będą rónomiernie rozmieszczone od początku i końca okresu kursoania. Matematyczny model problemu synchronizacji interałoej dla linii komunikacji miejskiej ielu iązkach i okresach kursoania przyjmuje postać: F = p n r oh 1 = λ r oh ( h=1 r=1 i=1 r h oh ) 2 + [t(k r 1;oh ) ρ pocz oh ] 2 + r ([t (k r i+1;oh) t r (ki;oh )] + + [ρ konc oh 1 t(k x;oh )] 2 ) min gdzie: r h oh interał idealny iązce r okresie kursoania oh; r h oh = (ρoh ρ oh 1) n r oh, p liczba okresó kursoania, liczba iązek, r liczba kursó iązce r okresie kursoania oh, n oh t (k r i;oh ) czas odjazdu kursu k i iązce r okresie kursoania oh ( liczbach całkoitych), t(k r x;oh ) kursoania oh ( liczbach całkoitych), czas odjazdu ostatniego kursu iązce r okresie pocz ρ oh moment rozpoczęcia okresu kursoania oh, konc ρ oh moment zakończenia okresu kursoania oh (ostatni możliy odjazd następuje chili ρ oh 1), λ r oh aga iązki r okresie kursoania oh liczba oznaczająca istotność danej iązki, spełniająca arunki: λ r p oh = [0,1], λ r h=1 r=1 oh = 1. (1) 1 Ważne jest, aby kursy posegregoane były kolejności ykonyania, tzn. od najcześniejszego do najpóźniejszego. 616 AUTOBUSY 12/2017

2 Oczyiście, gdy rozażana jest tylko jedna iązka jednym okresie kursoania, to poyższy model upraszcza się do postaci: F = n 1 = ([t(k i+1 ) t(k i )] h ) 2 + i=1 + [t(k 1 ) ρ pocz ] 2 + +[ρ konc 1 t(k x )] 2 min Poszukianie roziązania poyższego modelu odbya się poprzez przesuanie czasu odjazdó kursó poszczególnych linii o minutę (tz. możlie momenty odjazdu) i obliczanie artości funkcji celu. Sposób doboru możliych momentó odjazdu może być łaściie doolny (np. takie artości, które nie zmienią liczby ykonyanych kursó na ustalonym przystanku lub ustalonym okresie kursoania). Postaje ten sposób zbiór roziązań dopuszczalnych problemu synchronizacji interałoej. (2) Efektyność transportu 2. METODA DOKŁADNA POSZUKIWANIA ROZWIĄZANIA PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ METODA PRZEGLĄDU ZUPEŁNEGO Pod pojęciem metod dokładnych optymalizacji rozumie się takie metody, które zasze zracają roziązanie (roziązania) optymalne lub ykazują nieistnienie roziązania optymalnego. Najprostszą metodą dokładną jest metoda przeglądu zupełnego (ang. brute force), której działanie (dla skończonych zbioró roziązań dopuszczalnych) można opisać trzech krokach: krok 1: ygeneroanie szystkich roziązań dopuszczalnych, krok 2: obliczenie artości funkcji celu dla każdego roziązania dopuszczalnego, krok 3: ybór roziązania o najmniejszej (gdy kryterium optymalizacji jest minimalizacja) artości funkcji celu. Schemat blokoy algorytmu przeglądu zupełnego przeniesionego na grunt problemu synchronizacji interałoej zobrazoano na rysunku 1. Algorytm ten rozpoczyna się od zainicjalizoania zmiennej przechoującej najmniejszą artość funkcji celu F* poprzez przyjęcie bardzo dużej liczby, bliskiej nieskończoności (liczba ta jest sego rodzaju punktem odniesienia, z którą porónuje się artość funkcji celu pierszej iteracji algorytmu). Następnie generoane Rys. 1. Uproszczony schemat blokoy algorytmu przeglądu zupełnego dla problemu synchronizacji interałoej opracoanie łasne 12/2017 AUTOBUSY 617

3 Efektyność transportu są szystkie roziązanie dopuszczalne. Dla każdego z nich spradzane jest, czy obliczona artość funkcji celu F dla danego roziązania dopuszczalnego jest mniejsza bądź róna F*. Jeśli tak jest, to: F jest noą najmniejszą artością funkcji celu, a roziązanie to zostaje zapamiętane jako aktualnie najlepsze roziązanie problemu optymalizacyjnego gdy F < F*, roziązanie zostaje dopisane do zbioru aktualnie najlepszych roziązań gdy F = F*. Ostatecznie algorytm spośród zapamiętanych roziązań zraca roziązanie (lub zbiór rónoażnych roziązań) o najmniejszej artości funkcji celu. Prostota charakteryzująca przegląd zupełny pooduje, że metoda ta jest bardzo łata implementacji. Problematyczne może okazać się czasami ygeneroanie szystkich roziązań dopuszczalnych, ale sama kolejność generoania roziązań jest nieistotna [3]. Ważne jest, by żadne nie zostało pominięte oraz by każde roziązanie było spradzone dokładnie jeden raz (ze zględu na czasochłonność). Najiększą adą metody przeglądu zupełnego jest czasochłonność naet dla nieielkich problemó optymalizacyjnych raz ze zrostem liczności przestrzeni roziązań dopuszczalnych czas potrzebny na znalezienie roziązania optymalnego ulega znacznemu ydłużeniu (niemniej jednak zasze jest artością skończoną). Na przykład przypadku problemu synchronizacji interałoej zbiór roziązań dopuszczalnych stanoią szystkie możlie kombinacje momentó odjazdu szystkich linii z przystankó początkoych. Jeśli ięc L = {l 1, l 2,, l } jest zbiorem szystkich linii sieci komunikacji miejskiej, a c p yraża liczbę możliych momentó odjazdu z przystanku początkoego linii l p (l p L), to liczba szystkich możliych kombinacji momentó odjazdu szystkich linii C (liczność zbioru roziązań dopuszczalnych) ynosi C = c 1 c 2 c = p=1 c p. 3. PRZYBLIŻONE METODY POSZUKIWANIA ROZWIĄZANIA PROBLEMU SYNCHRONIZACJI INTERWAŁOWEJ 3.1. Metoda przeszukiania losoego Metody heurystyczne to takie metody, które akceptoalnym czasie znajdują dobre roziązanie problemó optymalizacyjnych, lecz nie garantują osiągnięcia roziązania optymalnego. Zasadniczo algorytmy heurystyczne ykorzystuje się óczas, gdy nie są znane algorytmy dokładne umożliające znalezienie roziązania optymalnego lub czas potrzebny do jego uzyskania jest zbyt długi. Jedną z technik heurystycznych ykorzysujących losoość jest algorytm przeszukiania losoego (ang. random search algorithm). W skrócie algorytm ten polega na ielokrotnym losoaniu roziązań Rys. 2. Uproszczony schemat blokoy algorytmu przeszukiania losoego dla problemu synchronizacji interałoej opracoanie łasne 618 AUTOBUSY 12/2017

4 z przestrzeni roziązań dopuszczalnych i yborze tego, dla którego artość funkcji celu jest najmniejsza (gdy funkcja ta jest minimalizoana). Tak znalezione roziązanie traktoane jest jako roziązanie problemu optymalizacyjnego [4], [8]. Metody przeszukiania losoego dzieli się na [2]: metody zracające ynik z peną dokładnością lub mogące zrócić zły ynik, ale kończące się ustalonym czasie, zazyczaj po ykonaniu z góry określonej liczby losoań (tz. metody Monte Carlo); metodach tych ziększenie liczby losoań pooduje ziększenie pradopodobieństa znalezienia roziązania optymalnego, metody zracające zasze ynik optymalny, ale czas działania algorytmu nie jest znany (tz. metody Las Vegas). Efektyność transportu Na rysunku 2. przedstaiono schemat blokoy algorytmu przeszukiania losoego dla problemu synchronizacji interałoej. Sposób postępoania proadzący do znalezienia roziązania jest podobny do przedstaionego metodzie przeglądu zupełnego z tą różnicą, że zamiast generoania szystkich roziązań, działanie algorytmu zaęża się do ustalonej liczby losoych roziązań dopuszczalnych. Wykonanie z góry określonej liczby iteracji jest tz. arunkiem stopu (czyli arunkiem zatrzymania algorytmu) Metoda przeszukiania iązkoego Drugą metodą heurystyczną, dającą łato przystosoać się do problemu synchronizacji interałoej jest metoda przeszukiania iązkoego (ang. beam search). Metoda ta należy do grupy algorytmó zachłannych, czyli takich, których kolejnych krokach poszukuje się najlepiej rokujących roziązań, mając nadzieję uzyskania Rys. 3. Uproszczony schemat blokoy algorytmu przeszukiania iązkoego dla problemu synchronizacji interałoej opracoanie łasne 12/2017 AUTOBUSY 619

5 Efektyność transportu ostatnim kroku najlepszego roziązania problemu optymalizacyjnego. W algorytmie przeszukiania iązkoego po każdym kroku zapamiętuje się określoną liczbę X najlepszych roziązań lokalnych (ustaloną przed yołaniem algorytmu), od których zaczyna się poszukianie roziązania najlepszego roziązania globalnego dalszych instrukcjach [1], [7]. Schemat blokoy algorytmu przeszukiania iązkoego zaadoptoanego na potrzeby problemu synchronizacji interałoej przedstaiono na rysunku 3. Zakłada się pononie, że dany jest zbiór L = {l 1, l 2,, l m,, l } szystkich linii sieci komunikacji miejskiej (liczność zbioru linii ynosi L ). Dla pierszej linii komunikacyjnej (o indeksie m = 1) algorytm oblicza artość funkcji celu dla każdego możliego czasu odjazdu tej linii z przystanku początkoego. Pozostałe linie komunikacyjne odjeżdżają chili 0. Spośród uzyskanych roziązań zapamiętuje się X roziązań o najmniejszej artości funkcji celu. Dla każdej kolejnej linii komunikacyjnej lm (m > 1) następuje najpier przypisanie czasó odjazdu linii ln (dla n < m) z każdego uprzednio zapamiętanego roziązania (t(l1),, t(ln)), po czym generuje się możlie czasu odjazdu linii lm z przystanku początkoego i oblicza artość funkcji celu (linie ln, dla których n > m odjeżdżają chili 0). Po ykonaniu poyższego bloku instrukcji gdy m pononie zapamiętuje się X roziązań o najmniejszej artości funkcji celu. W przypadku gdy m >, to algorytm zraca roziązanie (lub zbiór rónoażnych roziązań) o najmniejszej artości funkcji celu. Liczba iteracji niezbędnych do yznaczenia roziązania problemu synchronizacji interałoej z ykorzystaniem metody przeszukiania iązkoego ynika ze zoru: c 1 + X c 2 + X c X c = c 1 + X c p p=2 gdzie: c p liczba możliych momentó odjazdu z przystanku początkoego linii l p, X liczba zapamiętyanych najlepszych roziązań. Na liczbę iteracji ykonanych przez algorytm przeszukiania iązkoego pły ma sposób uszeregoania linii ze zględu na liczbę możliych momentó odjazdu. Zakładając, że linie uszeregoane są kolejności rosnącej liczby możliych momentó odjazdu, tzn. c 1 < c 2 < c 3 < < c 1 < c, to algorytm ten ygeneruje: I = c 1 + X c 2 + X c X c 1 + X c roziązań dopuszczalnych przypadku, gdy działanie algorytmu rozpoczęto od pierszej linii komunikacyjnej i kontynuoano kolejności l 1 l 2 l 3 l 1 l, I = c + X c X c 3 + X c 2 + X c 1 roziązań dopuszczalnych przypadku, gdy działanie algorytmu rozpoczęto od ostatniej linii komunikacyjnej i kontynuoano kolejności l l 1 l 3 l 2 l 1. Łato zauażyć, że przy założeniu c 1 < c 2 < c 3 < < c 1 < c i dla X > 1 pradzia jest nieróność I > I. (3) BIBLIOGRAFIA 1. Cormen T. H., Leiserson Ch. E., Rivest R., L., Wproadzenie do algorytmó, Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa McConnell J. J., Analysis of Algorithms: An Active Learning Approach, Jones and Bartlett Publishers, Sudbury Michaleicz Z., Fogel D., Jak to roziązać, czyli nooczesna heurystyka, Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa Motani R., Raghavan P., Randomized Algorithms, Cambridge University Press, Melbourne Oziomek J., Rogoski A., Alternatyna miara synchronizacji rozkładó jazdy, Autobusy. Technika, Eksploatacja, Systemy Transportoe, 6/2016, Instytut Naukoo-Wydaniczy SPATIUM, s Oziomek J., Rogoski A., Synchronizacja miejskich linii komunikacyjnych z ykorzystaniem ielu kryterió. Autobusy. Technika, Eksploatacja, Systemy Transportoe, 12/2016, Instytut Naukoo-Wydaniczy SPATIUM, s Tyugu E., Algorithms and Architectures of Artifical Intelligence, IOS Press, Amsterdam Zabinsky Z., Random Search Algorithms. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science, 8 Vols, Wiley & Sons, Selected methods of searching of solution to bus synchronization problem The article describes the selected methods used to solve the problem of synchronization of the timetables in urban public transport. One exact method (brute force) and to heuristic methods (random search and beam search) ere characterized. The first method (brute force) allos to find the best solution of the problem but generally ith a considerable duration of the calculations for the non-trivial problems. The other methods are usually faster - in random search method the feasible solutions are generated randomly hile beam search method is a kind of greedy algorithm in hich the solutions are generated step-by-step. Both heuristic methods do not provide the optimal solution, but only approximate. There is a ide range of the optimization problems for hich the choice of the solution method is not clear. The problem of synchronization of the timetables in urban public transport is one of those for hich it is necessary to find a compromise beteen the duration of the calculation and their accuracy. Autorzy: mgr inż. Jakub Oziomek Uniersytet Technologiczno-Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego Radomiu, Wydział Transportu i Elektrotechniki dr hab. inż. Andrzej Rogoski Uniersytet Technologiczno- Humanistyczny im. Kazimierza Pułaskiego Radomiu, Wydział Transportu i Elektrotechniki 620 AUTOBUSY 12/2017