Zakład Hydrologii i Hydrodynamiki, Instytut Geofizyki PAN Department of Hydrology and Hydrodynamics, Institute of Geophysics PAS
|
|
- Aleksandra Brzezińska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 PRACE ORYGINALNE Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr 1, 2011: 3 14 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. 1, 2011) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No 1, 2011: 3 14 (Sci. Rev. Eng. Env. Sci. 1, 2011) Magdalena MROKOWSKA, Marzena OSUCH Zakład Hydrologii i Hydrodynamiki, Instytut Geofizyki PAN Department of Hydrology and Hydrodynamics, Institute of Geophysics PAS Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych z uwzględnieniem niepewności na przykładzie modelu martwych stref Modelling pollutant transport in rivers including uncertainty analysis: application of dead zone model Słowa kluczowe: model martwych stref, GLUE, szacowanie niepewności, analiza wrażliwości Key words: dead zone model, GLUE, uncertainty assessment, sensitivity analysis Wprowadzenie Klasyczne, deterministyczne podejście do modelowania (Ozga-Zielińska i Brzeziński 1994, Byczkowski 1999) może okazać się niewystarczające do opracowania złożonych problemów środowiskowych. Błędy obserwacyjne oraz błędy strukturalne i numeryczne modelu powodują, że wyniki są zawsze obarczone niepewnością (Beven 2001, Blasone i in. 2008). Korzystając z metod szacowania niepewności, można określić rozrzut uzyskiwanych symulacji, tzn. określić szerokość przedziału, w którym można z zadowalającym prawdopodobieństwem estymować wartość wielkości symulowanej. Określone w ten sposób błędy predykcji stanowią niezwykle cenną informację o jakości wyników modelowania. Często do opisu problemu stosowane są złożone, wieloparametrowe modele, dla których przy dostępnych obserwacjach nie jest możliwa jednoznaczna identyfikacja ich parametrów. W takim przypadku ocenę tego, które z procesów są nieistotne do opisu analizowanego zjawiska, umożliwia analiza wrażliwości. Metoda ta, rozszerzona dodatkowo o analizę niepewności, umożliwia uproszczenie modelu oraz pozwala na jego prawidłową kalibrację. Celem artykułu jest przedstawienie metodyki modelowania transportu zanieczyszczeń na przykładzie modelu martwych stref. Szczególną uwagę poświę- Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych... 3
2 cono takim aspektom, jak: dobór odpowiedniej metody identyfikacji parametrów, sprawdzenie wpływu parametrów na wyjście z modelu oraz określenie niepewności szacowanych wyników. Dane pomiarowe Opisywana metodyka została zastosowana do opisu transportu zanieczyszczeń rozpuszczonych na -kilometrowym odcinku Wkry, w jej środkowym biegu. W pracy wykorzystano wyniki z eksperymentu znacznikowego przeprowadzonego wspólnie przez IGF PAN oraz WIKŚ SGGW (Owczarczyk i in. 1997). Eksperyment ten polegał na impulsowym zrzucie konserwatywnego (zachowującego stałą masę) i pasywnego (niezmieniającego pola prędkości wody) znacznika rodaminy B, w profilu P-0 i pomiarze zmiany koncentracji znacznika w pięciu profilach pomiarowych (od P-1 do P-) rysunek 1. Eksperyment znacznikowy był przeprowadzony trzykrotnie przy różnych wartościach natężenia przepływu: pomiar 1 Q = 4,18 m3 s (Q1), pomiar 2 Q = 3,97 m 3 s 1 (Q2), 1 pomiar 3 Q = 4,32 m 3 s 1 (Q3). W wyniku eksperymentu otrzymano krzywe stężenia rodaminy B w funkcji czasu. Na potrzeby analiz dane pomiarowe poddano normalizacji. Opracowanie wyników przedstawionego eksperymentu znacznikowego było przedmiotem dwóch wcześniejszych prac: Krukowskiego i Kurzawskiego (2001) model Ficka, oraz Rowińskiego i innych (2004) model martwych stref. Specyfikacja modelu Pierwszym etapem modelowania jest specyfikacja modelu, podczas której jest określany cel i przedmiot modelowania oraz wybierany jest model. W pracy celem modelowania był opis transportu zanieczyszczeń rozpuszczonych na analizowanym odcinku Wkry. Ze względu Gdynia Gdańsk Olsztyn Odra Poznań Wrocław Wisła Łódz Wkra Częstochowa Warszawa Białystok Lublin zrzut znacznika P-0 P-2 P-1 P-3 P-4 P- Wkra Kraków Rzeszów Kilometry RYSUNEK 1. Odcinek Wkry z oznaczeniem profili pomiarowych FIGURE 1. The Wkra River reach under study with cross sections 4 M. Mrokowska, M. Osuch
3 na charakter rzeki oraz dostępne dane pomiarowe zastosowano model martwych stref. Jest to model jednowymiarowy, w którym zmiana koncentracji zanieczyszczeń rozpatrywana jest jedynie wzdłuż biegu rzeki, przy założeniu, że zanieczyszczenia są wymieszane równomiernie w profilu poprzecznym koryta (Rutherford 1994). Model martwych stref jest ciągłym modelem deterministycznym, bazującym na zasadzie zachowania masy, uwzględniającym przejściowe magazynowanie zanieczyszczeń w miejscach, w których woda ulega okresowej stagnacji, czyli w tzw. martwych strefach. Model składa się z układu dwóch równań (Bencala i Walters 1983, Runkel 1998), które w rozpatrywanym przypadku przyjmują postać: C Q C 1 C = + AK x + t A x A x x +α ( C C) S CS A =α C S C t AS ( ) (1) (2) gdzie: A pole powierzchni przekroju poprzecznego koryta głównego [m 2 ], A S pole powierzchni przekroju poprzecznego martwych stref [m 2 ], C masowa koncentracja zanieczyszczenia w korycie głównym [kg m 3 ], C S masowa koncentracja zanieczyszczenia w martwych strefach [kg m 3 ], K x współczynnik dyspersji podłużnej [m 2 s 1 ], Q natężenie przepływu [m 3 s 1 ], t czas [s], x odległość od zrzutu zanieczyszczenia [m], α współczynnik wymiany między korytem głównym a martwymi strefami [s 1 ]. Równanie (1) opisuje rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń w korycie głównym, natomiast równanie (2) opisuje zachowanie masy w martwych strefach. Kalibracja modelu (identyfikacja parametrów modelu) Kolejnym etapem deterministycznego podejścia do modelowania jest identyfikacja, która polega na określeniu liczbowych wartości parametrów modelu. W przypadku gdy parametry mają fizyczną interpretację i wyniki są dostępne, identyfikacja polega na przyjęciu wartości parametrów pochodzących z pomiarów (Ozga-Zielińska i Brzeziński 1994, Byczkowski 1999). W przeciwnym razie trzeba wybrać inną metodę identyfikacji. W przypadku transportu zanieczyszczeń stosuje się wzory empiryczne, za pomocą których można obliczyć wartości parametrów (współczynnika dyspersji podłużnej) na podstawie danych hydrometrycznych (Rutherford 1994). Jeżeli dla rozpatrywanego odcinka rzeki był przeprowadzony eksperyment znacznikowy, to do wyznaczenia wartości parametrów można wykorzystać metodę momentów statystycznych (Rutherford 1994, Schmid 2003). Te metody identyfikacji parametrów nie dają jednak zadowalających rezultatów (Krukowski 2002, Mrokowska 2010). Znacznie lepsze wyniki można otrzymać, stosując metody optymalizacyjne. Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych...
4 Za pomocą tych metod poszukiwany jest zestaw parametrów, dla którego otrzymywane jest najlepsze dopasowanie wartości symulowanych do obserwacji. Ze względu na różne zastosowania modeli używane są różne funkcje celu, opisujące jakość dopasowania. W rozpatrywanym przypadku przeprowadzono minimalizację funkcji celu w postaci sumy kwadratów różnic między symulowanymi i obserwowanymi koncentracjami znacznika. Zastosowanie metod optymalizacyjnych wymaga aplikacji jednego z algorytmów obliczeniowych. W przypadku gdy funkcja celu ma wiele minimów lokalnych, zidentyfikowanie najlepszego zestawu parametrów za pomocą algorytmów optymalizacji lokalnej (np. SIMPLEX) może okazać się niemożliwe (Stachurski i Wierzbicki 2001). Wtedy pomimo większych kosztów obliczeniowych uzasadnione jest zastosowanie algorytmów optymalizacji globalnej, na przykład Differential Evolution (Price i in. 200). Differential Evolution jest algorytmem ewolucyjnym, bazującym na populacji S, która składa się z m losowo wybranych osobników, będących N-wymiarowymi wektorami parametrów. Zalecane jest, aby liczba m osobników populacji S była 10-krotnie większa niż liczba parametrów N (Price i in. 200). Wybór populacji początkowej nosi nazwę inicjacji. Populacja ewoluuje w wyniku mutacji, rekombinacji i selekcji. W procesie obliczeniowym wektory populacji S są modyfikowane w każdej kolejnej iteracji, zmierzając do znalezienia takiego zestawu osobników, który umożliwi osiągnięcie globalnego minimum funkcji celu (Price i in. 200). W tej pracy wartości parametrów modelu martwych stref zostały zidentyfikowane za pomocą metody Differential Evolution. Ze względu na dostępne dane pomiarowe model martwych stref był kalibrowany niezależnie dla czterech odcinków (1-2, 2-3, 3-4 i 4-) dla dwóch różnych wartości natężenia przepływu (Q2 i Q3). Wyniki identyfikacji zostały przedstawione na rysunku 2. Wartości parametrów były poszukiwane w zakresie (0, 100) dla współczynnika dyspersji podłużnej (K ), pola przekroju x poprzecznego koryta głównego (A) oraz powierzchni przekroju poprzecznego martwych stref (A S ) i w zakresie (0, 2) dla współczynnika wymiany między korytem głównym a martwymi strefami (α). Porównanie symulowanych rozkładów stężeń znacznika dla optymalnych zestawów parametrów i obserwacji dla czterech analizowanych odcinków przy natężeniu przepływu Q3 jest przedstawione na rysunku 3. Otrzymane wyniki wskazują na bardzo dobre dopasowanie. Wyniki uzyskane za pomocą metody DE zweryfikowano, korzystając z wyników symulacji Monte Carlo (MC) przeprowadzonych podczas szacowania niepewności przedstawionej w jednym z kolejnych rozdziałów. Symulacje MC umożliwiają wizualną ocenę całej przestrzeni odpowiedzi modelu (np. funkcji celu) na zmiany wartości parametrów i są szczególnie przydatne w przypadku istnienia wielu optymalnych zestawów parametrów. Rysunek 4 przedstawia porównanie wyników symulacji MC oraz wyników optymalizacji metodą DE dla funkcji celu w postaci współczynnika determinacji (R 2 ). 6 M. Mrokowska, M. Osuch
5 a Kx[m 2 s 1 ] Q3=4,32 m 3 s 1 Q2=3,97 m 3 s b A[m 2 ] odcinek/sub-reach odcinek/sub-reach c 0.03 d As[m 2 ] 0.01 α [s 1 ] odcinek/sub-reach odcinek/sub-reach RYSUNEK 2. Optymalne wartości parametrów modelu martwych stref uzyskane za pomocą metody Differential Evolution FIGURE 2. Optimal values of the dead zone model parameters derived by means of Differential Evolution method 0,7 0,6 0, P 2 obserwowane/observed symulowane/simulated koncentracja [ ] concentration 0,4 0,3 P 3 P 4 P 0,2 0,1 0,0 0,0 0, 1,0 1, 2,0 2, 3,0 3, 4,0 czas [h] time RYSUNEK 3. Porównanie obserwowanych i symulowanych modelem martwych stref (z optymalnymi wartościami parametrów uzyskanymi metodą Differential Evolution) wartości zmian koncentracji znacznika w czasie dla przepływu Q3 FIGURE 3. Observed and simulated (Differential Evolution method) concentrations time distributions for flow rate Q3 Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych... 7
6 a b 1,000 1,000 0,99 0,99 R 2 0,990 R 2 0,990 0,98 0,98 c 0, ,000 K x [m 2 s 1 ] 0, A [m 2 ] symulacja MC/MC simulation kalibracja DE/DE calibration d 1,000 0,99 0,99 R 2 0,990 0,98 R 2 0,990 0,98 0, A s [m 2 ] 0,980 0,0 0, 1,0 1, 2,0 α[s 1 ] RYSUNEK 4. Porównanie wyników optymalizacji parametrów modelu martwych stref metodą DE z wynikami symulacji MC dla odcinka 1-2 przy natężeniu przepływu Q3 przedstawioną miarą dopasowania jest współczynnik determinacji (R 2 ) FIGURE 4. Comparison of optimal values of parameters (stars) with results of MC simulations for river reach 1-2, flow rate Q3. Coefficient of determination (R 2 ) is a performance measure Na każdym z czterech wykresów rysunku przedstawiona jest zależność między wartościami parametrów a otrzymywanymi dla nich wartościami współczynnika R 2. Z analizy symulacji MC wynika, że dla wszystkich analizowanych parametrów istnieje wiele wartości dających dobrą zgodność wartości symulowanych i obserwowanych. Dla pola powierzchni przekroju poprzecznego martwych stref (A S ) oraz współczynnika wymiany między korytem głównym a martwymi strefami (α ) maksymalne wartości funkcji celu (współczynnik R 2 ) są osiągane na całym przedziale zmienności parametrów. Dla współczynnika dyspersji podłużnej (K x ) oraz pola przekroju poprzecznego koryta (A) zakres ten jest węższy, jednak również nie umożliwia jednoznacznej identyfikacji parametrów. Weryfikacja Kolejnym etapem modelowania jest weryfikacja, czyli sprawdzenie poprawności modelu na danych, które nie były wykorzystane podczas kalibracji modelu. 8 M. Mrokowska, M. Osuch
7 W rozpatrywanym przypadku model martwych stref został zweryfikowany na podstawie wyników eksperymentu przy przepływie Q1. Wartości parametrów opisujących rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń zależą od rozkładu prędkości w korycie rzecznym (Deng i in. 2001) i zmieniają się wraz z wartością natężenia przepływu (Osuch i in. 2008, Schmid i in. 2010). W celu przeprowadzenia weryfikacji modelu martwych stref dla analizowanego odcinka Wkry wartości parametrów modelu przy przepływie Q1 (Q = 4,18 m 3 s 1 ) wyznaczono poprzez interpolację wartości parametrów przy skrajnych wartościach przepływu Q2 (Q = 3,97 m 3 s 1 ) i Q3 (Q = 4,32 m 3 s 1 ). Założono przy tym liniową zależność między wartościami parametrów a natężeniem przepływu. Następnie przeprowadzono symulacje modelu przy przepływie Q1 i porównano je z obserwacjami. Wyniki weryfikacji przedstawiono na rysunku. Jakość dopasowania wartości koncentracji symulowanych do obserwacji została określona na podstawie wartości współczynnika R 2, które wynoszą: 0,9604 dla przekroju pomiarowego P-2, 0,9910 dla przekroju pomiarowego P-3, 0,9946 dla przekroju P-4 oraz 0,962 dla przekroju P-. 0,7 0,6 P 2 symulowane/simulated obserwowane/observed 0, koncentracja [ ] concentration 0,4 0,3 P 3 P 4 P 0,2 0,1 0,0 0,0 0, 1,0 1, 2,0 2, 3,0 3, 4,0 czas [h] time RYSUNEK. Weryfikacja modelu martwych stref dla przepływu Q1 obserwowane koncentracje zaznaczono kropkami, symulowane linią ciągłą FIGURE. Validation of dead zone model simulated and observed concentrations for flow rate Q1 Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych... 9
8 Szacowanie niepewności Zastosowany w pracy model martwych stref jest modelem deterministycznym. Wyniki uzyskiwane za jego pomocą zależą wyłącznie od parametrów modelu, warunków brzegowych i początkowych. Niepewność symulowanych koncentracji znacznika zależy od liczby i jakości dostępnych danych obserwacyjnych oraz od przyjętego modelu (np. struktury modelu, liczby estymowanych parametrów). W pracy zastosowano uogólnioną metodę estymacji niepewności za pomocą funkcji wiarygodności (GLUE), którą można badać niepewność parametryczną. Podstawę tej metody stanowi założenie, że różne zestawy parametrów mogą dawać równie dobre wyniki na wyjściu z modelu (Beven 2001, Blasone i in. 2008). W metodzie tej nie poszukuje się jednego optymalnego zestawu parametrów, lecz ich zbioru wraz z rozkładem prawdopodobieństwa, opisującym błędy predykcji na podstawie wybranej funkcji wiarygodności oraz rozkładów a priori parametrów modelu. Metoda GLUE jest nieformalną wersją bayesowskiej analizy niepewności (Romanowicz i in. 1994). W metodzie tej wykonywane są symulacje Monte Carlo losowo wybranych zestawów parametrów, zgodnie z przyjętymi rozkładami a priori parametrów modelu. Rozkłady prawdopodobieństwa są określane osobno dla każdego z parametrów i odpowiadają niepewności danych oraz fizycznej zmienności parametrów. W przytoczonym przykładzie wartości pola przekroju poprzecznego koryta głównego (A) oraz współczynnika dyspersji podłużnej (K x ) były próbkowane z rozkładu normalnego. Przyjęto, że wartość średnia równa jest wartości uzyskanej za pomocą optymalizacji metodą DE, natomiast odchylenie standardowe związane jest z błędami obserwacyjnymi i wynosi 10 i 20% wartości średniej, odpowiednio dla pola przekroju poprzecznego koryta głównego i współczynnika dyspersji podłużnej. W przypadku dwóch parametrów, opisujących martwe strefy, ich wartości były próbkowane z rozkładu jednostajnego [0,001; 0,] dla pola powierzchni przekroju poprzecznego martwych stref (A S ) i [0,03; 3] dla współczynnika wymiany między korytem głównym a martwymi strefami (α). W metodzie GLUE do oceny dopasowania wyników symulacji do danych pochodzących z obserwacji wykorzystuje się funkcję wiarygodności. Można stosować różne miary oceny, a jedynym ograniczeniem jest założenie, że wartości funkcji wiarygodności powinny rosnąć monotonicznie wraz ze wzrostem zgodności z obserwacjami (Romanowicz i Beven 2006, Smith i in. 2008). Na podstawie wartości przyjętej funkcji wiarygodności oraz na podstawie rozkładu a priori parametrów modelu wyznaczane jest prawdopodobieństwo a posteriori, które służy do określenia prawdopodobieństwa błędu predykcji. W artykule zastosowano funkcję wiarygodności proporcjonalną do rozkładu normalnego (Romanowicz i Beven 2006). 10 M. Mrokowska, M. Osuch
9 0,7 0,6 P 2 0, P 3 koncentracja [ ] concentration 0,4 0,3 P 4 P 0,2 0,1 0,0 0,0 0, 1,0 1, 2,0 2, 3,0 3, 4,0 czas [h] time RYSUNEK 6. Porównanie obserwowanych i symulowanych wartości zmian koncentracji znacznika w czasie dla przepływu Q3 kropki oznaczają wyniki pomiarów, linia ciągła medianę symulacji, a szary obszar 9-procentowy przedział ufności symulacji FIGURE 6. Comparison of observed (dots) and simulated (solid line) concentrations of tracer at crosssection 2, 3, 4 and with 9% confidence bounds shown as shaded areas Wyniki szacowania niepewności dla symulowanych koncentracji znacznika dla przepływu Q3 przedstawione są na rysunku 6. Błędy predykcji, opisujące niepewność parametryczną i obserwacyjną, przedstawiono jako 9-procentowe przedziały ufności. Analiza wrażliwości modelu Do opisu problemów środowiskowych stosuje się często złożone modele o dużej liczbie parametrów. W wielu przypadkach ze względu na niewystarczające dane obserwacyjne nie jest możliwa jednoznaczna identyfikacja parametrów modelu. Dodatkowo niektóre z uwzględnionych w opisie procesów mogą okazać się nieistotne do realizacji celu budowanego modelu. Na podstawie analizy wrażliwości można ocenić, które z procesów/parametrów są nieistotne i mogą zostać pominięte podczas modelowania (Saltelli i in. 2004). W opisywanym przykładzie zastosowana została metoda Sobola (Archer i in. 1997, Saltelli i in. 2004), bazująca na analizie wariancji wyjścia z modelu. Wrażliwość modelu na parametry jest Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych... 11
10 określana na podstawie indeksów wrażliwości. Indeks wrażliwości pierwszego rzędu (S i ) przedstawia bezpośredni wpływ parametru i na wyjście z modelu. Indeksy wrażliwości wyższych rzędów określają wpływ interakcji między parametrami na wyjście z modelu, natomiast indeks wrażliwości całkowitej (S Ti ) określa całkowity wpływ parametru i oraz jego interakcji z innymi parametrami na wyjście z modelu. Małe wartości indeksu wrażliwości świadczą o małym wpływie parametru na wyjście, natomiast duże wartości oznaczają duży wpływ. W pracy analizowanym wyjściem z modelu są maksymalne koncentracje znacznika (C max ). Wyniki analizy wrażliwości maksymalnych koncentracji na parametry modelu martwych stref przedstawione są w tabeli 1. Indeksy wrażliwości przyjmują znaczące wartości dla dwóch z czterech parametrów modelu: dla współczynnika dyspersji podłużnej (K x ) oraz dla pola przekroju poprzecznego koryta głównego (A). Dwa pozostałe parametry pole powierzchni przekroju poprzecznego martwych stref (A S ) i współczynnik wymiany między korytem głównym a martwymi strefami (α), przyjmują wartości bliskie zeru, co świadczy o tym, że ich bezpośredni wpływ na wyjście z modelu jest znikomy. Oznacza to, że podczas kalibracji mogą wystąpić problemy z ich identyfikacją. W tej sytuacji wystarczające do opisu transportu zanieczyszczeń są dwa parametry pole przekroju poprzecznego koryta głównego (A) i współczynnik dyspersji podłużnej (K x ). Podsumowanie W pracy przedstawiono metodykę opracowania modelu transportu zanieczyszczeń na podstawie pomiarów znacznikowych. Została ona zilustrowana na przykładzie modelu martwych stref, opracowanego dla odcinka rzeki Wkry. Standardowe etapy opracowania TABELA 1. Wartości indeksów wrażliwości pierwszego rzędu i indeksów wrażliwości całkowitej maksymalnej koncentracji na parametry modelu TABLE 1. Results of the sensitivity analysis on maximum concentration Odcinek Subreach Przepływ Flow rate K x S i A [m 2 ] A S [m 2 ] α[s 1 ] K x S Ti A [m 2 ] A S [m 2 ] α[s 1 ] [m 2 s 1 ] [m 2 s 1 ] Q1 0,296 0,702 0,01 0,000 0,298 0,701 0,01 0,000 Q2 0,317 0,677 0,014 0,000 0,320 0,674 0,016 0,000 Q3 0,318 0,682 0,012 0,000 0,320 0,682 0,012 0,000 Q1 0,31 0,680 0,008 0,000 0,320 0,682 0,008 0,000 Q2 0,303 0,701 0,009 0,000 0,304 0,699 0,009 0,000 Q3 0,31 0,684 0,007 0,000 0,318 0,684 0,008 0,000 Q1 0,310 0,690 0,007 0,000 0,313 0,690 0,007 0,000 Q2 0,316 0,677 0,007 0,000 0,324 0,680 0,007 0,000 Q3 0,318 0,680 0,006 0,000 0,323 0,681 0,007 0,000 Q1 0,314 0,681 0,009 0,000 0,320 0,683 0,009 0,000 Q2 0,32 0,66 0,010 0,000 0,342 0,666 0,010 0,000 Q3 0,313 0,684 0,006 0,000 0,319 0,68 0,007 0, M. Mrokowska, M. Osuch
11 modelu specyfikacja, kalibracja oraz weryfikacja, zostały rozszerzone o analizę wrażliwości i szacowanie niepewności. Pokazano, że analiza wrażliwości jest bardzo ważnym etapem modelowania. Wyniki przeprowadzonej analizy umożliwiają uproszczenie zaproponowanego na etapie specyfikacji modelu, co ułatwia jego kalibrację. Ponadto analiza wrażliwości dostarcza informacji o dominujących procesach (parametrach), wpływających na modelowane zjawisko. W przedstawionym przykładzie wyniki analizy wrażliwości wskazują, że przejściowe magazynowanie nie pełni istotnej roli w transporcie zanieczyszczeń w rozpatrywanym odcinku rzeki. W związku z tym model opisujący transport zanieczyszczeń rozpuszczonych może zostać uproszczony. Pokazano również, że w algorytmie opracowania modelu powinno być uwzględnione szacowanie niepewności. W ten sposób przekazywana jest istotna informacja o jakości modelu, a także o przenoszeniu niepewności pomiarowych na symulowane wyjścia z modelu. W pracy do wyznaczenia niepewności symulowanych wartości znacznika zastosowano metodę GLUE. Przedstawiony przykład pokazuje, że wprowadzenie dodatkowych etapów w algorytmie opracowania modelu pozwala na ujawnienie właściwości modelu, które mogłyby zostać pominięte przy zastosowaniu standardowej procedury. Literatura ARCHER G., SALTELLI A., SOBOL I.M. 1997: Sensitivity measures, anova-like techniques and the use of bootstrap. Journal of Statistical Computation and Simulation 8: BENCALA K.E., WALTERS R.A. 1983: Simulation of solute transport in a mountain pool and riffle stream: a transient storage model. Water Resources Research 19, 3: BEVEN K.J. 2001: Rainfall-Runoff Modelling. The Primer. John Wiley & Sons, Chichester. BLASONE R-S., VRUGT J.A., MADSEN H., ROSBJERG D., ROBINSON B.A., ZYVO- LOSKI G.A. 2008: Generalized likelihood uncertainty estimation (GLUE) using adaptive Markov Chain Monte Carlo sampling. Advances in Water Resources 31: BYCZKOWSKI A. 1999: Hydrologia. T. 2. Wydawnictwo SGGW, Warszawa. DENG Z-Q., SIGH V.P., BENGTSSON L. 2001: Longitudinal dispersion coefficient in straight rivers. Journal of Hydraulic Engineering 127, 11: KRUKOWSKI M. 2002: Porównanie wartości współczynników dyspersji zanieczyszczeń pasywnych wyznaczonych z pomiarów na rzece Wkrze z obliczeniami zależności empirycznych. Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska 1, 24: KRUKOWSKI M., KURZAWSKI G. 2001: Rozprzestrzenianie się zanieczyszczeń pasywnych w rzece nizinnej. Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska 23: MROKOWSKA M. 2010: Modelowanie transportu zanieczyszczeń pasywnych na rzece Wkrze metodą eksperymentu znacznikowego. Praca magisterska. Międzywydziałowe Studium Ochrony Środowiska SGGW, Warszawa. OSUCH M., ROMANOWICZ R.J., WALLIS S. 2008: Uncertainty in relationship between flow and parameters in models of pollutant transport. Publications of Geophysics Institute Polish Academy of Sciences E-10 (406). OWCZARCZYK A., WIERZCHNICKI R., PA- LIGE J. 1997: Wykonanie pomiaru znacznikowego dyspersji podłużnej na wybranym odcinku rzeki Wkry. Raport IChTJ C/2/97. Instytut Chemii i Techniki Jądrowej, Warszawa. OZGA-ZIELIŃSKA M., BRZEZIŃSKI J. 1994: Hydrologia stosowana. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. PRICE K.H., STORN R.M., LAMPINEN J.A. 200: Differential Evolution a Practical Approach to Global Optimization. Springer, Berlin. Modelowanie transportu zanieczyszczeń w korytach rzecznych... 13
12 ROMANOWICZ R., BEVEN K. 2006: Comments on generalized likelihood uncertainty estimation. Reliability Engineering and System Safety 91: ROMANOWICZ R., BEVEN K.J., TAWN J. 1994: Evaluation of predictive uncertainty in nonlinear hydrological models using a Bayesian approach. In: Statistics for the Environment. II. Water Related Issues. John Wiley, Chichester: ROWIŃSKI P.M., DYSARZ T., NAPIÓRKOW- SKI J.J. 2004: Estimation of longitudinal dispersion and storage zone parameters. In: River Flow. Eds. M. Greco, A. Caravetta, R. Della Morte. Taylor & Francis Group, London: RUNKEL R.L. 1998: One dimensional transport with inflow an storage (OTIS): a solute transport model for streams and rivers: U.S. Geological Survey water Resources Investigation Report: ( otis/documentation/primary/; ). RUTHERFORD J.C. 1994: River Mixing. Niva Ecosystems National Institute of Water and Atmospheric Research Hamilton, New Zeland. John Wiley & Sons, Chichester. SALTELLI A., TARANTOLA A., CAMPOLON- GO F., RATTO M. 2004: Sensitivity Analysis in Practice a Guide to Assessing Scientific Models. John Willey & Sons, Chichester. SCHMID B.H. 2003: Temporal moments routing in streams and rivers with transient storage. Advances in Water Resources 26: SCHMID B.H., INNOCENTI I., SANFILIPPO U. 2010: Characterizing solute transport with transient storage across a range of flow rates: The evidence of repeated tracer experiments in Austrian and Italian streams. Advances in Water Resources (doi: /j.advwatres ). SMITH P., BEVEN K.J., TAWN J. 2008: Informal likelihood measures in model assessment: Theoretic development and investigation. Advances in Water Resources 31: STACHURSKI A., WIERZBICKI A.P. 2001: Podstawy optymalizacji. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa. Summary Modelling pollutant transport in rivers including uncertainty analysis: application of dead zone model. In this study a methodology of contaminants transport in rivers is presented. Comparing to the traditional approach, presented methodology is extended to uncertainty assessment and sensitivity analysis. The one-dimensional dead zone model is applied to describe solute transport. The model parameters are estimated from the results of a tracer experiment carried out on Wkra River. The identification of parameters is followed by uncertainty assesment and sensitivity analysis. The results show that dead zones have no impact on the model predictions. To conclude, in this case, the Fickian model is sufficient to characterize transport of pollutants. Authors address: Magdalena Mrokowska, Marzena Osuch Instytut Geofizyki PAN ul. Księcia Janusza 64, Warszawa Poland m.mrokowska@igf.edu.pl marz@igf.edu.pl 14 M. Mrokowska, M. Osuch
Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW Department of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WULS
Zbigniew POPEK Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW Department of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WULS Weryfikacja wybranych wzorów empirycznych do określania
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR. Wojciech Zieliński
PRZYKŁAD ZASTOSOWANIA DOKŁADNEGO NIEPARAMETRYCZNEGO PRZEDZIAŁU UFNOŚCI DLA VaR Wojciech Zieliński Katedra Ekonometrii i Statystyki SGGW Nowoursynowska 159, PL-02-767 Warszawa wojtek.zielinski@statystyka.info
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ. Dr Wioleta Drobik-Czwarno
WSTĘP DO REGRESJI LOGISTYCZNEJ Dr Wioleta Drobik-Czwarno REGRESJA LOGISTYCZNA Zmienna zależna jest zmienną dychotomiczną (dwustanową) przyjmuje dwie wartości, najczęściej 0 i 1 Zmienną zależną może być:
INTENSYWNOŚĆ TURBULENCJI W RÓŻNYCH JEDNOSTKACH MORFOLOGICZNYCH NA PRZYKŁADZIE RZEKI SKAWY
INTENSYWNOŚĆ TURBULENCJI W RÓŻNYCH JEDNOSTKACH MORFOLOGICZNYCH NA PRZYKŁADZIE RZEKI SKAWY BM 4327 MGR INŻ. AGNIESZKA HAWRYŁO KATEDRA INŻYNIERII WODNEJ I GEOTECHNIKI PLAN Wprowadzenie Metodyka Wyniki Dyskusja
1. Symulacje komputerowe Idea symulacji Przykład. 2. Metody próbkowania Jackknife Bootstrap. 3. Łańcuchy Markova. 4. Próbkowanie Gibbsa
BIOINFORMATYKA 1. Wykład wstępny 2. Bazy danych: projektowanie i struktura 3. Równowaga Hardyego-Weinberga, wsp. rekombinacji 4. Analiza asocjacyjna 5. Analiza asocjacyjna 6. Sekwencjonowanie nowej generacji
PORÓWNANIE ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ W MODELOWANIU ODWROTNYM PROCESÓW SUSZENIA PRODUKTÓW ROLNICZYCH
Inżynieria Rolnicza 7(125)/2010 PORÓWNANIE ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI GLOBALNEJ W MODELOWANIU ODWROTNYM PROCESÓW SUSZENIA PRODUKTÓW ROLNICZYCH Michał Siatkowski, Jerzy Weres, Sebastian Kujawa Zakład Informatyki
Współczesna technika inwersyjna - dokad zmierzamy? Wojciech Dȩbski
Współczesna technika inwersyjna - dokad zmierzamy? Wojciech Dȩbski 24.5.2 Pomiar bezpośredni IGF, 24.5.2 IGF - Pomiar pośredni IGF, 24.5.2 IGF - 2 Interpretacja matematyczna m m + dm m d + dd d = G(m)
Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle
231 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 7, nr 3-4, (2005), s. 231-236 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle JERZY CYGAN Instytut Mechaniki Górotworu PAN,
Katedra InŜynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW Department of Hydraulic Enginieering and Environmental Recultivation WAU
Marcin KRUKOWSKI Katedra InŜynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW Department of Hydraulic Enginieering and Environmental Recultivation WAU Zastosowanie modelu Ficka do opisu transportu zanieczyszczeń
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(x), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(x), zwaną funkcją aproksymującą
Analiza możliwości szacowania parametrów mieszanin rozkładów prawdopodobieństwa za pomocą sztucznych sieci neuronowych 4
Wojciech Sikora 1 AGH w Krakowie Grzegorz Wiązania 2 AGH w Krakowie Maksymilian Smolnik 3 AGH w Krakowie Analiza możliwości szacowania parametrów mieszanin rozkładów prawdopodobieństwa za pomocą sztucznych
Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa
BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium BŁĘDY W POMIARACH BEZPOŚREDNICH Instrukcja do ćwiczenia nr 2 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy Metrologii
Porównanie wartości współczynników dyspersji zanieczyszczeń pasywnych wyznaczonych z pomiarów na rzece Wkrze z obliczonymi zależnościami empirycznymi
Marcin KRKOWSKI Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska epartment of Hydraulic Engineering and Environmental Recultivation WA Porównanie wartości współczynników dyspersji zanieczyszczeń pasywnych
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE
5. WNIOSKOWANIE PSYCHOMETRYCZNE Model klasyczny Gulliksena Wynik otrzymany i prawdziwy Błąd pomiaru Rzetelność pomiaru testem Standardowy błąd pomiaru Błąd estymacji wyniku prawdziwego Teoria Odpowiadania
STATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA 1. Wykład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5.
Modele DSGE. Jerzy Mycielski. Maj Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj / 11
Modele DSGE Jerzy Mycielski Maj 2008 Jerzy Mycielski () Modele DSGE Maj 2008 1 / 11 Modele DSGE DSGE - Dynamiczne, stochastyczne modele równowagi ogólnej (Dynamic Stochastic General Equilibrium Model)
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp
tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc
Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,
Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych
inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule
ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE
ISSN 1733-8670 ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA EXPLO-SHIP 2006 Paweł Zalewski, Jakub Montewka Weryfikacja metody wyznaczania akwenu
ANALIZA METROLOGICZNA WYNIKÓW BADAŃ NA PRZYKŁADZIE ŁOŻYSK ŚLIZGOWYCH
PROBLEMY NIEKONWENCJONALNYCH UKŁADÓW ŁOŻYSKOWYCH Łódź 09-10 maja 1995 roku Jadwiga Janowska(Politechnika Warszawska) ANALIZA METROLOGICZNA WYNIKÓW BADAŃ NA PRZYKŁADZIE ŁOŻYSK ŚLIZGOWYCH SŁOWA KLUCZOWE
w analizie wyników badań eksperymentalnych, w problemach modelowania zjawisk fizycznych, w analizie obserwacji statystycznych.
Aproksymacja funkcji a regresja symboliczna Problem aproksymacji funkcji polega na tym, że funkcję F(), znaną lub określoną tablicą wartości, należy zastąpić inną funkcją, f(), zwaną funkcją aproksymującą
MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ
Jarosław MAŃKOWSKI * Andrzej ŻABICKI * Piotr ŻACH * MODELOWANIE POŁĄCZEŃ TYPU SWORZEŃ OTWÓR ZA POMOCĄ MES BEZ UŻYCIA ANALIZY KONTAKTOWEJ 1. WSTĘP W analizach MES dużych konstrukcji wykonywanych na skalę
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Inżynieria Materiałowa Studia II stopnia Specjalność: Inżynieria Powierzchni
Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Inżynieria Materiałowa Studia II stopnia Specjalność: Inżynieria Powierzchni Przedmiot: Statystyczne Sterowanie Procesami Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu:
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
WYZNACZANIE MAP ZAGROŻENIA POWODZIOWEGO: TEORIA I PRAKTYKA
337 WYZNACZANIE MAP ZAGROŻENIA POWODZIOWEGO: TEORIA I PRAKTYKA Renata J. Romanowicz 1, Adam Kiczko 2, Marzena Osuch 3 Streszczenie: W niniejszej pracy przedstawiony jest wpływ niepewności na wyznaczanie
PRZYGOTOWANIE DANYCH HYDROLOGICZNYCH W ZAKRESIE NIEZBĘDNYM DO MODELOWANIA HYDRAULICZNEGO
PRZYGOTOWANIE DANYCH HYDROLOGICZNYCH W ZAKRESIE NIEZBĘDNYM DO MODELOWANIA HYDRAULICZNEGO Tamara Tokarczyk, Andrzej Hański, Marta Korcz, Agnieszka Malota Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej Państwowy
Mikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Rozkłady prędkości przepływu wody w korytach z roślinnością wodną Distributions of water velocities in open-channels with aquatic vegetation
Adam WÓJTOWICZ, Elżbieta KUBRAK, Marcin KRUKOWSKI Katedra Inżynierii Wodnej i Rekultywacji Środowiska SGGW w Warszawie Department of Hydraulic Engineering and Environmental Restoration WULS SGGW Rozkłady
Optymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Analiza wpływu sterowania retencją korytową małego cieku na redukcję fal wezbraniowych przy wykorzystaniu modeli Hec Ras i Hec ResSim
Analiza wpływu sterowania retencją korytową małego cieku na redukcję fal wezbraniowych przy wykorzystaniu modeli Hec Ras i Hec ResSim mgr inż. Bartosz Kierasiński Zakład Zasobów Wodnych Instytut Technologiczno-Przyrodniczy
Analiza i monitoring środowiska
Analiza i monitoring środowiska CHC 017003L (opracował W. Zierkiewicz) Ćwiczenie 1: Analiza statystyczna wyników pomiarów. 1. WSTĘP Otrzymany w wyniku przeprowadzonej analizy ilościowej wynik pomiaru zawartości
REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ. Analiza regresji i korelacji
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 5 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA I KORELACJA MODEL REGRESJI LINIOWEJ MODEL REGRESJI WIELORAKIEJ MODEL REGRESJI LINIOWEJ Analiza regresji
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI
WYZNACZANIE NIEPEWNOŚCI POMIARU METODAMI SYMULACYJNYMI Stefan WÓJTOWICZ, Katarzyna BIERNAT ZAKŁAD METROLOGII I BADAŃ NIENISZCZĄCYCH INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI ul. Pożaryskiego 8, 04-703 Warszawa tel. (0)
Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński
Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia
NAPRĘŻENIA ŚCISKAJĄCE PRZY 10% ODKSZTAŁCENIU WZGLĘDNYM PRÓBEK NORMOWYCH POBRANYCH Z PŁYT EPS O RÓŻNEJ GRUBOŚCI
PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK 1 (145) 2008 BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY No 1 (145) 2008 Zbigniew Owczarek* NAPRĘŻENIA ŚCISKAJĄCE PRZY 10% ODKSZTAŁCENIU WZGLĘDNYM PRÓBEK NORMOWYCH
CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ. E. ZIÓŁKOWSKI 1 Wydział Odlewnictwa AGH, ul. Reymonta 23, Kraków
36/3 Archives of Foundry, Year 004, Volume 4, 3 Archiwum Odlewnictwa, Rok 004, Rocznik 4, Nr 3 PAN Katowice PL ISSN 64-5308 CHARAKTERYSTYKA I ZASTOSOWANIA ALGORYTMÓW OPTYMALIZACJI ROZMYTEJ E. ZIÓŁKOWSKI
ANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI O UWARUNKOWANEJ PREMII
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 31 Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu ANALIZA WRAŻLIWOŚCI CENY OPCJI O UWARUNKOWANEJ PREMII Streszczenie W artykule przedstawiono
PRACE NAUKOWO-PRZEGLĄDOWE
PRACE NAUKOWO-PRZEGLĄDOWE Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr (47), 00: 43 5 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. (47), 00) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No (47),
WPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM
2/1 Archives of Foundry, Year 200, Volume, 1 Archiwum Odlewnictwa, Rok 200, Rocznik, Nr 1 PAN Katowice PL ISSN 1642-308 WPŁYW SZYBKOŚCI STYGNIĘCIA NA WŁASNOŚCI TERMOFIZYCZNE STALIWA W STANIE STAŁYM D.
Rozdział 8. Regresja. Definiowanie modelu
Rozdział 8 Regresja Definiowanie modelu Analizę korelacji można traktować jako wstęp do analizy regresji. Jeżeli wykresy rozrzutu oraz wartości współczynników korelacji wskazują na istniejąca współzmienność
Dobór parametrów algorytmu ewolucyjnego
Dobór parametrów algorytmu ewolucyjnego 1 2 Wstęp Algorytm ewolucyjny posiada wiele parametrów. Przykładowo dla algorytmu genetycznego są to: prawdopodobieństwa stosowania operatorów mutacji i krzyżowania.
MODELE LINIOWE. Dr Wioleta Drobik
MODELE LINIOWE Dr Wioleta Drobik MODELE LINIOWE Jedna z najstarszych i najpopularniejszych metod modelowania Zależność między zbiorem zmiennych objaśniających, a zmienną ilościową nazywaną zmienną objaśnianą
Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna
Regresja wieloraka Regresja wieloraka Ogólny problem obliczeniowy: dopasowanie linii prostej do zbioru punktów. Najprostszy przypadek - jedna zmienna zależna i jedna zmienna niezależna (można zobrazować
Kontekstowe wskaźniki efektywności nauczania - warsztaty
Kontekstowe wskaźniki efektywności nauczania - warsztaty Przygotowała: Aleksandra Jasińska (a.jasinska@ibe.edu.pl) wykorzystując materiały Zespołu EWD Czy dobrze uczymy? Metody oceny efektywności nauczania
Statystyka opisowa. Wykład V. Regresja liniowa wieloraka
Statystyka opisowa. Wykład V. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Prosta regresji cechy Y względem cech X 1,..., X k. 2 3 Wyznaczamy zależność cechy Y od cech X 1, X 2,..., X k postaci Y = α 0 +
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH
WSKAZÓWKI DO WYKONANIA SPRAWOZDANIA Z WYRÓWNAWCZYCH ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH Dobrze przygotowane sprawozdanie powinno zawierać następujące elementy: 1. Krótki wstęp - maksymalnie pół strony. W krótki i zwięzły
ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH
Małgorzata Szerszunowicz Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach ANALIZA ZDOLNOŚCI PROCESU O ZALEŻNYCH CHARAKTERYSTYKACH Wprowadzenie Statystyczna kontrola jakości ma na celu doskonalenie procesu produkcyjnego
Hydrologia Tom I - A. Byczkowski
Hydrologia Tom I - A. Byczkowski Spis treści 1. Wiadomości wstępne 1.1. Podział hydrologii jako nauki 1.2. Hydrologia krąŝenia 1.2.1. Przyczyny ruchu wody na Ziemi 1.2.2. Cykl hydrologiczny 1.3. Zastosowanie
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice
Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 15. Obliczanie całek metodami Monte Carlo Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Nauka Przyroda Technologie
Nauka Przyroda Technologie ISSN 1897-7820 http://www.npt.up-poznan.net Dział: Melioracje i Inżynieria Środowiska Copyright Wydawnictwo Uniwersytetu Przyrodniczego w Poznaniu 2011 Tom 5 Zeszyt 4 MACIEJ
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów
Pomiary hydrometryczne w zlewni rzek
Pomiary hydrometryczne w zlewni rzek Zagożdżonka onka i Zwoleńka Hydrometric measurements in Zwoleńka & Zagożdżonka onka catchments Anna Sikorska, Kazimierz Banasik, Anna Nestorowicz, Jacek Gładecki Szkoła
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie Przeprowadziliśmy 200 powtórzeń przebiegu próbnika dla tego samego zestawu parametrów modelowych co w Rozdziale 1, to znaczy µ = 0, s = 10, v = 10, n i = 10 (i = 1,...,
Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Próba własności i parametry
Próba własności i parametry Podstawowe pojęcia Zbiorowość statystyczna zbiór jednostek (obserwacji) nie identycznych, ale stanowiących logiczną całość Zbiorowość (populacja) generalna skończony lub nieskończony
Karta (sylabus) przedmiotu
WM Karta (sylabus) przedmiotu MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Studia I stopnia o profilu: A P Przedmiot: Wybrane z Kod ECTS Status przedmiotu: obowiązkowy MBM S 0 5 58-4_0 Język wykładowy: polski, angielski
NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ SERII NORM PN-EN ISO 3740
PRACE INSTYTUTU TECHNIKI BUDOWLANEJ - KWARTALNIK BUILDING RESEARCH INSTITUTE - QUARTERLY 2 (162) 2012 ARTYKUŁY - REPORTS Anna Iżewska* NIEPEWNOŚĆ POMIARÓW POZIOMU MOCY AKUSTYCZNEJ WEDŁUG ZNOWELIZOWANEJ
Monte Carlo, bootstrap, jacknife
Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia
Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej
Modelowanie efektów fizycznych i skutków awaryjnych uwolnień LNG do środowiska
Modelowanie efektów fizycznych i skutków awaryjnych uwolnień LNG do środowiska Dorota Siuta, Adam S. Markowski Katedra Inżynierii Bezpieczeństwa Pracy Politechniki Łódzkiej XI Konferencja Naukowo - Techniczna
Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:
Zadania ze statystyki cz. 7. Zad.1 Z populacji wyłoniono próbę wielkości 64 jednostek. Średnia arytmetyczna wartość cechy wyniosła 110, zaś odchylenie standardowe 16. Należy wyznaczyć przedział ufności
Mikroekonometria 6. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 6 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Metody symulacyjne Monte Carlo Metoda Monte-Carlo Wykorzystanie mocy obliczeniowej komputerów, aby poznać charakterystyki zmiennych losowych poprzez
Weryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych
Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności statystycznych Dr inż. Marcin Zieliński I Pracownia Fizyczna dla Biotechnologii, wtorek 8:00-10:45 Konsultacje Zakład Fizyki Jądrowej
Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiarów w układzie cieplnym bloku energetycznego siłowni parowej
Marcin Szega Zastosowanie rachunku wyrównawczego do uwiarygodnienia wyników pomiarów w układzie cieplnym bloku energetycznego siłowni parowej (Monografia habilitacyjna nr 193. Wydawnictwo Politechniki
Kombinacja jądrowych estymatorów gęstości w klasyfikacji - zastosowanie na sztucznym zbiorze danych
Kombinacja jądrowych estymatorów gęstości w klasyfikacji - zastosowanie na sztucznym zbiorze danych Mateusz Kobos, 07.04.2010 Seminarium Metody Inteligencji Obliczeniowej Spis treści Opis algorytmu i zbioru
Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach
Adam Stawowy Algorytm hybrydowy dla alokacji portfela inwestycyjnego przy ograniczonych zasobach Summary: We present a meta-heuristic to combine Monte Carlo simulation with genetic algorithm for Capital
Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X1, X2, X3,...) na zmienną zależną (Y).
Statystyka i opracowanie danych Ćwiczenia 12 Izabela Olejarczyk - Wożeńska AGH, WIMiIP, KISIM REGRESJA WIELORAKA Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych
WIELOKRYTERIALNY DOBÓR ROZTRZĄSACZY OBORNIKA
Inżynieria Rolnicza 7(95)/2007 WIELOKRYTERIALNY DOBÓR ROZTRZĄSACZY OBORNIKA Andrzej Turski, Andrzej Kwieciński Katedra Maszyn i Urządzeń Rolniczych, Akademia Rolnicza w Lublinie Streszczenie: W pracy przedstawiono
Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji
Monitorowanie i Diagnostyka w Systemach Sterowania na studiach II stopnia specjalności: Systemy Sterowania i Podejmowania Decyzji Analiza składników podstawowych - wprowadzenie (Principal Components Analysis
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji
Walidacja metod analitycznych Raport z walidacji Małgorzata Jakubowska Katedra Chemii Analitycznej WIMiC AGH Walidacja metod analitycznych (według ISO) to proces ustalania parametrów charakteryzujących
Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
ANALIZA OCENY WSKAŹNIKA SZORSTKOŚCI NAWIERZCHNI DROGOWEJ WAHADŁEM ANGIELSKIM NA DRODZE KRAJOWEJ DK-43 W OKRESIE UJEMNEJ I DODATNIEJ TEMPERATURY
Budownictwo 20 Mariusz Kosiń, Alina Pietrzak ANALIZA OCENY WSKAŹNIKA SZORSTKOŚCI NAWIERZCHNI DROGOWEJ WAHADŁEM ANGIELSKIM NA DRODZE KRAJOWEJ DK-43 W OKRESIE UJEMNEJ I DODATNIEJ TEMPERATURY Wprowadzenie
INFOBAZY 2014 VII KRAJOWA KONFERENCJA NAUKOWA INSPIRACJA - INTEGRACJA - IMPLEMENTACJA
Centrum Informatyczne TASK Politechnika Gdańska Instytut Oceanologii Polskiej Akademii Nauk (IO PAN) INFOBAZY 2014 VII KRAJOWA KONFERENCJA NAUKOWA INSPIRACJA - INTEGRACJA - IMPLEMENTACJA Gdańsk Sopot,
Charakterystyka mierników do badania oświetlenia Obiektywne badania warunków oświetlenia opierają się na wynikach pomiarów parametrów świetlnych. Podobnie jak każdy pomiar, również te pomiary, obarczone
Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817
Analiza Danych Sprawozdanie regresja Marek Lewandowski Inf 59817 Zadanie 1: wiek 7 8 9 1 11 11,5 12 13 14 14 15 16 17 18 18,5 19 wzrost 12 122 125 131 135 14 142 145 15 1 154 159 162 164 168 17 Wykres
Wstęp. Jerzy WYSOCKI, Paweł ORŁOWSKI
Przegląd Naukowy Inżynieria i Kształtowanie Środowiska nr 56, 2012: 58 64 (Prz. Nauk. Inż. Kszt. Środ. 56, 2012) Scientific Review Engineering and Environmental Sciences No 56, 2012: 58 64 (Sci. Rev. Eng.
Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.
Wnioskowanie statystyczne obejmujące metody pozwalające na uogólnianie wyników z próby na nieznane wartości parametrów oraz szacowanie błędów tego uogólnienia. Przewidujemy nieznaną wartości parametru
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów
Statystyczne Metody Opracowania Wyników Pomiarów dla studentów ZMIN Teresa Jaworska-Gołąb 2018/19 Co czytać [1] I Pracownia fizyczna, Andrzej Magiera red., Oficyna Wydawnicza IMPULS, Kraków 2006; http://www.1pf.if.uj.edu.pl/materialy/zalecana-literatura
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych.
Ćwiczenie 1 Metody pomiarowe i opracowywanie danych doświadczalnych. Ćwiczenie ma następujące części: 1 Pomiar rezystancji i sprawdzanie prawa Ohma, metoda najmniejszych kwadratów. 2 Pomiar średnicy pręta.
Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5
Wnioskowanie statystyczne tatystyka w 5 Rozkłady statystyk z próby Próba losowa pobrana z populacji stanowi realizacje zmiennej losowej jak ciąg zmiennych losowych (X, X,... X ) niezależnych i mających
Metody Ilościowe w Socjologii
Metody Ilościowe w Socjologii wykład 2 i 3 EKONOMETRIA dr inż. Maciej Wolny AGENDA I. Ekonometria podstawowe definicje II. Etapy budowy modelu ekonometrycznego III. Wybrane metody doboru zmiennych do modelu
OPIS UKŁADU POZIOMEGO ZAKOLI RZEKI PROSNY PRZY WYKORZYSTANIU KRZYWEJ COSINUSOIDALNEJ
INFRASTRUKTURA I EKOLOGIA TERENÓW WIEJSKICH Nr 4/2/2006, POLSKA AKADEMIA NAUK, Oddział w Krakowie, s. 203 212 Komisja Technicznej Infrastruktury Wsi Michał Wierzbicki, Bogusław Przedwojski OPIS UKŁADU
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne
PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM
Mostefa Mohamed-Seghir Akademia Morska w Gdyni PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM W artykule przedstawiono propozycję zastosowania programowania dynamicznego do rozwiązywania
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
WYDZIAŁ GEOINŻYNIERII, GÓRNICTWA I GEOLOGII KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim: Statystyka matematyczna Nazwa w języku angielskim: Mathematical Statistics Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Górnictwo
Modelowanie procesów transportu zanieczyszczeń. Seminarium
Modelowanie procesów transportu zanieczyszczeń Seminarium Systemy eksperckie przeznaczone do analizy stref mieszania i wspomagające projektowanie inżynierskie System ekspercki System ekspercki strukturalny
WYRAŻANIE NIEPEWNOŚCI ZA POMOCĄ PRZEDZIAŁÓW
PROBLEMS AND PROGRESS IN METROLOGY PPM 18 Conference Digest Wojciech TOCZEK Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki WYRAŻANIE NIEPEWNOŚCI ZA POMOCĄ PRZEDZIAŁÓW Z perspektywy