Od równania falowego do równania Schrödingera

Transkrypt

1 Od równania falowego do równania Schrödingera Włodzimierz Salejda Plan 1. Ciekawe doświadczenie. Dualizm korpuskularno-falowy 3. Hipoteza de Broglie a 4. Doświadczenie dra A. Tonomury i dra Quantum 5. Równanie falowe 6. Równanie Schrödingera 7. Ciekawe doświadczenie i standardowy wykład 1

2 Ciekawe zjawisko

3 Klasyczne doświadczenie Younga

4 Dualizm korpuskularno-falowy Energiai pędfotonu E fotonu = h ν fotonu = p fotonu c p = h ν /c = fotonu fotonu h/(c/ν fotonu ) = h/λ fotonu λ fotonu =h/p fotonu

5 Dualizm korpuskularno-falowy Postulat (sugestia) L. de Broglie a p = h/λ cząstki falistowarzyszonej λ falistowarzyszonej = h/p cząstki

6 Animacja komputerowa doświadczenia Younga E:\XLO\Young\Doppelspaltversuch.exe

7 Animacja komputerowa interferencji światła E:\XLO\Young\Interferometer.exe

8 Doświadczenie z dwoma szczelinami (double-slit experiment) i elektronami Dr Akira TONOMURA Autor dyfrakcyjnego doświadczenia z elektronami

9 Double-slit experiment doświadczenie z dwoma i elektronami Być może znasz doświadczenie z dwoma szczelinami, które omawiane jest na wstępie kursu/podręczników mechaniki kwantowej. Układ doświadczalny przedstawia rysunek. Elektrony są emitowane jeden za/po drugim z mikroskopu elektronowego. Przelatują przez urządzenie zwane elektronowym bipryzmatem, który składa się z dwóch równoległych płytek, pośrodku których umieszczony jest cieniutki drucik/cieniutkie włókno. Średnica włókna jest mniejsza od 1 mikrona (1/1000 mm). Detekcji pojedynczych elektronów, tj. jeden po drugim, przechodzących po jednej ze stron włókna, dokonujemy za pomocą wykrywacza elektronów (detektora), którym jest specjalne urządzenie firmy Hamamatsu Photonics (PIAS). Pierwotnie stosowano to urządzenie do detekcji fotonów. Zaskakujące jest to, że detektor ten wykrywa elektronyw100%.

10 Double-slit experiment doświadczenie z dwoma szczelinami i elektronami You may be familiar with an experiment known as the " double-slit experiment," as it is often introduced at the beginning of quantum-mechanics textbooks. The experimental arrangement can be seen in figure. Electrons are emitted one by one from the source in the electron microscope. They pass through a device called the "electron biprism", which consists of two parallel plates and a fine filament at the center. The filament is thinner than 1 micron (1/1000 mm) in diameter. Electrons having passed through on both sides of the filament are detected one by one as particles at the detector. This detector was specially modified for electrons from the photon detector produced by Hamamatsu Photonics (PIAS). To our surprise, it could detect even a single electron with almost 100% detection efficiency.

11 Double-slit experiment doświadczenie z dwoma szczelinami i elektronami

12

13 Dr. TONOMURA Akira Fig. 1. Experimental setup - układ doświadczalny

14 Double-slit experiment with electrons Let's start the experiment and look at the monitor (video clip) Rozpoczynamy eksperyment patrząc na ekran monitora (uruchamiamy wideo clip). Z pojedynczych zderzeń elektronów na ekranie powstaje obraz interferencyjny, podobny do obrazu prąŝków w doświadczeniu Younga z dwoma szczelinami. Fig. Single electron events build up to form an interference pattern in the double-slit experiments.

15 Dr. TONOMURA Akira

16 Dualizm korpuskularno-falowy. Doświadczenie A. Tonomury 16

17 Double-slit experiment with electrons Na początku eksperymentu obserwujemy jasne plamki, które pojawiają się tu i tam na ekranie monitora; patrz dalej Rys. (a) i (b). To są elektrony, które są wykrywane (rejestrowane) jako cząstki. Na tyle na ile rysunki te pokazują możesz mieć pewność, że elektrony są cząsteczkami. Elektrony były przyspieszane napięciem 50 kv, a ich prędkość wynosiła około 40 % prędkości światła, co daje wartość km/s. Takie elektrony są w stanie okrążyć Ziemię trzykrotnie w ciągu jednej sekundy. Przebywają one odległość jednego metra w czasie 1/ sekundy. Można więc uważać, że są wykrywane natychmiast po wyemitowaniu. Prążki interferencyjne powstają tylko wtedy, gdy dwa elektrony przechodzą po dwóch stronach bipryzmatu jednocześnie. Gdyby w mikroskopie elektronowym były w tym samym czasie dwa elektrony, to prążki interferencyjne mogłyby się pojawić. Ale to nie zdarza się, ponieważ nie więcej niż jeden elektron znajduje się w mikroskopie w tej samej chwili czasu, gdyż tylko 10 elektronów jest emitowanych w czasie jednej sekundy. Ponadto na monitorze nie obserwujemy jednoczesnych błyśnięć!

18 Double-slit experiment with electrons At the beginning of the experiment, we can see that bright spots begin to appear here and there at random positions (Fig. (a) and (b)). These are electrons. Electrons are detected one by one as particles. As far as these micrographs show, you can be confident that electrons are particles. These electrons were accelerated to V, and therefore the speed is about 40% of the speed of the light, i.e., it is km/second. These electrons can go around the earth three times in a second. So, they pass through a one-meter-long electron microscope in 1/ of a second. It is all right to think that each electron is detected inaninstantafteritisemitted. Interference fringes are produced only when two electrons pass through both sides of the electron biprism simultaneously. If there were two electrons in the microscope at the same time, such interference might happen. But this cannot occur, because there is no more than one electron in the microscope at one time, since only 10 electrons are emitted per second.

19 Double-slit experiment with electrons Proszę obserwować monitor przez dłuższy okres czasu. Po wyemitowaniu i zarejestrowaniu bardzo wielu elektronów, można zaobserwować coś w rodzaju regularnych pionowych prążków, jak to widać na Rys. (c). Wyraźnie widać interferencyjne prążki po upływie 0 minutach Rys. (d). Odnotujmy, że prążki interferencyjne składają się z jasnych plamek, z których każda jest zapisem detekcji elektronu na powierzchni ekranu monitora. Doszliśmy do mistycznej konkluzji. Mimo, że elektrony były wysyłane pojedynczo, jeden po drugim, to prążki interferencyjne są obserwowane. Prążki te powstają tylko wówczas, gdy fale elektronowe omijają bipryzmat z obu stron jednocześnie i w żadnym innym przypadku. Obojętnie kiedy obserwujemy elektrony, to zawsze widzimy je jako pojedyncze cząstki. Jednakże, gdy tylko zaczną się gromadzić, to prążki interferencyjne pojawiają się. Przypominamy, że w danej chwili w mikroskopie był obecny tylko jeden elektron. Doszliśmy do wniosku, który jest daleko od tego co podpowiada nam zdrowy rozsądek.

20 Double-slit experiment Please keep watching the experiment a little longer. When a large number of electrons is accumulated, something like regular fringes begin to appear in the perpendicular direction as Fig. (c) shows. Clear interference fringes can be seen in the last scene of the experiment after 0 minutes (Fig. (d)). It should also be noted that the fringes are made up of bright spots, each of which records the detection of an electron. We have reached a mysterious conclusion. Although electrons were sent one by one, interference fringes could be observed. These interference fringes are formed only when electron waves pass through on both sides of the electron biprism at the same time but nothing other than this. Whenever electrons are observed, they are always detected as individual particles. When accumulated, however, interference fringes are formed. Please recall that at any one instant there was at most one electron in the microscope. We have reached a conclusion which is far from what our common sense tells us.

21 Dualizm korpuskularno-falowy. Doświadczenia dra Quantum 1

22 Richard P. Feynman ( ) Charakter praw fizycznych (...) Gdy Heisenberg odkrył prawa mechaniki kwantowej, zauważył, że ich wewnętrzna spójność wymaga, aby istniało pewne podstawowe ograniczenie dokładności możliwych pomiarów, z którego wcześniej fizycy nie zdawali sobie sprawy. Innymi słowy, nie można przeprowadzić eksperymentu z taką dokładnością, jaką sobie wymarzymy. Heisenberg sformułował zasadę nieoznaczoności, która w wersji zaadaptowanej do naszego doświadczenia wygląda następująco: (Heisenberg podał inne, w pełni równoważne sformułowanie) Jest rzeczą niemożliwą skonstruować aparat pozwalający określić, przez którą szczelinę przeleciał elektron, nie zaburzając przy tym jego ruchu na tyle, że spowodowałoby to zniszczenie obrazu interferencyjnego Nikomu jeszcze nie udało się ominąć takiego ograniczenia. Jestem pewny, że wszyscy macie już w głowach pomysły, jak stwierdzić, przez którą szczelinę przeleciał elektron, ale jeśli uważnie je przeanalizujecie, przekonacie się, iż są błędne. Możecie sobie wyobrażać, że da się to zrobić bez zaburzania ruchu elektronu, ale zawsze się okaże, że była jakaś trudność i że można wyjaśnić zmianę rozkładu elektronów jako konsekwencję zaburzeń spowodowanych przez instrumenty użyte do określenia, przez którą szczelinę przeleciał elektron. (...)

23 Richard P. Feynman ( ) Charakter praw fizycznych (...) mogę bezpiecznie stwierdzić, iż nikt nie rozumie mechaniki kwantowej. Proszę zatem nie traktować tego wykładu zbyt poważnie i nie próbować zrozumieć tego, co będę mówił, przez odwołanie się do pewnego modelu. Zamierzam powiedzieć, jak zachowuje się natura. Jeśli jesteście gotowi po prostu przyjąć, że może właśnie tak się ona zachowuje, to przekonacie się, że natura jest czarująca i zachwycająca. Nie powtarzajcie sobie, o ile tylko potraficie ale jak to możliwe?, ponieważ wpadniecie w przepaść, w ślepą uliczkę, z której nikomu jeszcze nie udało się uciec. Nikt nie wie, jak to jest możliwe.

24 Równanie falowe f 1 = x c t f Rozwiązaniem jest każda funkcja postaci f ( x ± ct ) 4

25 Równanie falowe; sens operacji f 1 f = x x c t t 5

26 Poszukajmy rozwiązania równania falowego o postaci ( ) = i t Ψ ( ) f x,t e ω x x f Ψ = iωt ( x) e ; x t f ( i ) e iωt Ψ ( x) = ω 6

27 Poszukajmy rozwiązania równania falowego; przekształcenia f x,t = e Ψ x ( ) iωt ( ) x f t Ψ ( x) e ; x f iωt = = iω e Ψ x ( ) iωt ( ) f 1 = x c t f ( ) i t Ψ x 1 i t ω ω ω iωt e = i e x = e x x c c ( ω) Ψ ( ) Ψ ( ) 7

28 Równanie falowe d Ψ x ω Ψ dx c ( ) + ( x) 0 = ω π π π ω λ = ;k = c = T = T k π T λ ω = kc k = ω c λ 8

29 Równanie falowe d Ψ x ω Ψ dx c ( ) + ( x) 0 = π ω = π ;k = π c = ω T = λ T λ k π T λ ω = kc k = ω c d Ψ dx x ( ) + k Ψ ( x) = 0 9

30 Równanie falowe d Ψ dx x ( ) + k Ψ ( x) = 0 Hipoteza de Broglie a Wielkość korpuskularna Wielkość falowa p h h π π = = = ħ = λ λ λ π ħk 30

31 Jakie równanie spełnia funkcja stowarzyszona z cząstka kwantową? 31

32 Równanie falowe jednowymiarowe d Ψ dx x ( ) + k Ψ ( x) = 0 Ruch cząstki w polu siły potencjalnej p ( ) v m p = mv,e = m + U ( r ) = m + U ( x) ( p) ( ħk ) E = + U ( x) = + U ( x ); m m m ( ( )) ħ k = E U x. 3

33 Równanie falowe jednowymiarowe Ruch cząstki w polu siły potencjalnej d Ψ dx x ( ) + k Ψ ( x) = 0 m ħ k = E U ( x ). Równanie Schrödingera ( ) d Ψ x m E U x x dx ( ) Ψ ( ) + = 0 ħ ħ d Ψ ( x) + U x = EΨ x m dx ( ) ( ) 33

34 Równanie falowe jednowymiarowe Ψ x x ( ) + k Ψ ( x) = 0 Równanie Schrödingera jednowymiarowe Ψ ( x) ħ + = m x ( ) Ψ ( ) U x E x 34

35 Równanie falowe 3-wymiarowe Ψ r Ψ r Ψ r ( ) ( ) ( ) k Ψ ( x) = 0 x y z Równanie Schrödingera ( ) ( ) ( ) Ψ r Ψ r Ψ r m ( ) ( ) 0 E U r Ψ r = x y z ħ ( r) ( r) ( r) ħ Ψ Ψ Ψ + + U r EΨ r + = m x y z ( ) ( ) m ħ k = E U ( x ). 35

36 Interpretacja funkcji falowej 36

37 Interpretacja funkcji falowej Ψ ( r,t ) i Hˆ ħ = Ψ r,t t ( ) 37

38 38

39 39