Wyznaczanie stałej sieci metodą Debye a-scherrera-hulla (DSH)

Transkrypt

1 Wyznaczanie stałej sieci metodą Debye a-scherrera-hulla (DSH) Tomasz Früboes Streszczenie Doświadczenie miało na celu wyznaczenie stałych sieci a drucika miedzianego i sproszkowanej substancji o strukturze typu soli NaCl. W tym celu zastosowaliśmy metodę Debye a-scherrera-hulla (DSH). W metodzie tej badana próbkę oświetla się (monochromatycznym) promieniowaniem rentgenowskim, które zostaje ugięte przez próbkę. Charakterystyczny rozkład maksimów ugiętego promieniowania pozwala określić m.in. stała sieci badanej próbki. Wyznaczona stała sieci substancji o strukturze soli typu NaCl umożliwiła nam identyfikację tej substancji. Otrzymaliśmy następujace wyniki Badana substancja był tlenek magnezu (MgO). 1 Wstęp Zastosowana metoda Debye a-scherrera-hulla (DSH) umożliwia wstępne określenie struktury krystalicznej badanej substancji - znalezienie kształtu komórki elementarnej i określenie jej rozmiarów. Poznanie wewnętrznej struktury substancji jest ważne, gdyż w dużej mierze pozwala ona określić własności substancji. Poza określaniem struktur nieznanych substancji metoda DSH ma szereg innych zastosowań, takich jak określanie koncentracji roztworów stałych (stała sieci zmienia się wraz ze zmianą koncentracji roztworu), precyzyjny pomiar współczynników rozszerzalności cieplnej, wreszcie pomiar naprężeń danego materiału. Przy tym metoda DSH jest wyjątkowo dokładna, bez większych problemów udało nam się osiągnąć dokładność rzędu 0,007 %. Aby pokazać możliwości metody w przeprowadzonym doświadczeniu wyznaczyliśmy stałą sieci drucika miedzianego oraz nieznanej substancji. Na podstawie wyznaczonej stałej sieci określiliśmy jaka to substancja. 1.1 Podstawy teoretyczne, stosowane wzory Każdy kryształ traktować możemy jako zbiór periodycznie powtarzających się równoległoboków, nazywanych komórkami elementarnymi. Komórkę elementarną możemy w pełni scharakteryzować przy pomocy sześciu parametrów - długości krawędzi (a,b,c) oraz kątów między odpowiednimi krawędziami (α, β, γ) (patrz rysunek 2 ). Parametry te nazywamy stałymi sieci. Krawędzie komórki elementarnej nazywamy osiami krystalograficznymi. W danym krysztale z każdą komórką elementarną w dokładnie określony sposób wiąże się rozmieszczenie przestrzenne atomów. a cu = 3, ± 0, A a s = 4, 2108 ± 0, 0012 A Wartości (a,b,c) i (α, β, γ) pozwalają przyporządkować typ komórki jednemu z siedmiu układów krystalograficznych. Układ krystalograficzny badanych substancji jest układem regularnym, w którym a=b=c oraz α = β = γ = 90, dlatego ograniczymy się do opisu tego układu. Więcej informacji patrz [1]. Położenie atomu w komórce elementarnej określamy za pomocą trzech liczb (uvw) będącymi współrzędnymi w układzie wyznaczonym przez osie krystalograficzne. Osie krystalograficzne wyznaczają układ współrzędnych (patrz rysunek 3). W układzie tym osie a, b, c traktujemy jako wektory jednostkowe. Płaszczyzną sieciową nazywamy taką płaszczyznę, w której leży nieskończenie wiele atomów. Trzy dowolnie wybrane, niewspółosiowe atomy jednoznacznie wyznaczają płaszczyznę sieciową. Dla danej płaszczyzny zawsze jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele innych płaszczyzn do niej równoległych. Aby określić orientację płaszczyzny w przestrzeni podajemy trzy liczby całkowite względem siebie [hkl] nazywane wskaźnikami Millera, dane przez h = a x k = b y l = c z gdzie x,y,z są odległościami odciętymi na osiach krystalograficznych przez daną płaszczyznę (patrz rysunek 3). Jeśli płaszczyzna nie przecina danej osi krystalograficznej przyjmujemy, że dany wskaźnik jest równy zero. Może się zdarzyć, że otrzymane z powyższych wzorów liczby nie będą liczbami całkowitymi, np. [hkl]= 1 2. Uzyskane ułamki należy wtedy tak przekształcić, aby otrzymać trzy liczy całkowite względnie pierwsze (w powyższym przypadku [521]). 1

2 Rysunek 1: Kamera stosowana w metodzie Debye a- Scherrera-Hulla. Na rysunku przedstawiony jest jeden ze stożków dyfrakcyjnych. Zwróć uwagę, jak liczony jest kąt θ (źródło [4])

3 zależności tej będziemy korzystać aby określić względem którego z otworów liczyć będziemy kąt θ. Ważną fazą obróbki danych doświadczalnych było określenie od jakiej rodziny płaszczyzn pochodzi dany stożek (refleks). Skorzystajmy z równania Bragga i wstawmy do niego wyrażenie na odległość międzypłaszczyznową a nλ = 2 h2 + k 2 + l sin(θ) 2 Rysunek 5: Sieci Bravais ego układu regularnego (nie przedstawiono sieci o centrowanych ścianach). φ promieniowania rozproszonego przez atom o współrzędnych (000) oraz przez atom o współrzędnych (uvw) dana będzie przez φ = 2π(hu + kv + lw) W celu ułatwienia rachunków falę F rozproszoną przez dany atom opiszemy przy pomocy dobrze znanego formalizmu zespolonego. Dla danego atomu mamy F = fe iφ = fe 2πi(hu+kv+lw) gdzie f nazywamy czynnikiem atomowym (określonym dla danego pierwiastka i danego kierunku). Natężenie I wiązki rozproszonej przez dany atom jest proporcjonalne do F 2. Fala będąca interferencją (sumą) fal rozproszonych na wszystkich atomach komórki elementarnej nazywana jest czynnikiem struktury (ozn. F hkl ). Mamy F hkl = i f i e 2πi(hui+kvi+lwi) gdzie sumowanie odbywa się po wszystkich atomach w komórce elementarnej, f i jest czynnikiem atomowym n-tego atomu, zaś (u i v i w i ) określa jego położenie. Natężenie danego refleksu proporcjonalne jest do F hkl 2. Bardziej szczegółowe i ścisłe wyprowadzenie powyższych zależności znajduje się w [1]. W zastosowanej metodzie wiązki ugięte przez badany preparat tworzą stożki interferencyjne, widoczne na błonie fotograficznej jako zbiór wycinków okręgów (prążków; patrz rysunki 1, 6, 7). Wynika to z faktu, że badane substancje są polikrystaliczne (tj. składają się z ogromnej liczby małych kryształków), a orientacja pojedynczego kryształku w badanych substancjach jest losowa. W przeciwnym razie mówimy, że dana próbka posiada teksturę, tj. że pewne orientacje kryształków są preferowane, nie dotyczy to jednak badanych substancji. Każdy ze stożków pochodzi od rodziny płaszczyzn o takiej samej odległości międzypłaszczyznowej d (patrz warunek Bragga). Zdolność rozdzielcza jest cechą która określa czy będziemy w stanie rozróżnić dwa leżące blisko siebie szczegóły, np. czy dwa leżące blisko siebie prążki będą rozróżnialne, czy też zleją się w jeden. W metodzie DSH zdolność rozdzielcza proporcjonalna jest do tg(θ) (za [1]). Z Jeśli powyższe wyrażenie podniesiemy stronami do kwadratu, to po drobnych przekształceniach otrzymamy λ 2 4a 2 = sin2 (θ) s gdzie s = (nh) 2 + (nk) 2 + (nl) 2. Aby określić od jakiej rodziny płaszczyzn pochodzi dany stożek posłużyliśmy się powyższą zależnością. W obrębie rodziny stożków o tym samym λ staraliśmy się przyporządkować każdemu ze stożków liczbę s taką, aby iloraz sin2 (θ) s był stały. Procedura ta nazywana jest wskaźnikowaniem. Liczby nh nk nl nazywamy wskaźnikami refleksu. W przeciwieństwie do wskaźników Millera nie muszą być liczbami względnie pierwszymi. Wskaźnik refleksu zawiera informacje od jakiej płaszczyzny pochodził refleks, a także którego był rzędu. Np. wskaźniki [646] oznaczają 2 rząd refleksu pochodzącego od płaszczyzny [323]. Wzór określający czynnik struktury można stosować podstawiając zamiast wskaźników Millera odpowiednie wskaźniki refleksu. 1.2 Technika pomiarów, przebieg doświadczenia W doświadczeniu wykorzystaliśmy Lampę rentgenowską z anodą miedzianą (Cu). Oprócz ciągłego widma promieniowania daje ona fale widma charakterystycznego o następujących długościach fali: K α1 K α2 = 1, A = 1, A K β = 1, A Widmo ciągłe promieniowania traktujemy jako tło. Kamerę debajowską (patrz rysunek 1) - składa się ona z zamykanego cylindrycznego korpusu, kolimatora i pochłaniacza wiązki ugiętej. Błonę fotograficzną umieszcza się w taki sposób, aby ściśle przylegała do wewnętrznej strony korpusu. Zastosowanie kolimatora pozwala odpowiednio skupić (skolimować) wchodzącą wiązkę promieniowania rentgenowskiego. Pochłaniacz wiązki ugiętej odprowadza 3

4 promieniowanie w taki sposób, aby na kliszy uwidoczniło się tylko promieniowanie ugięte w próbce. Próbkę umieszcza się możliwie dokładnie w osi kamery. Komparator - umożliwił nam zmierzenie położeń maksimów natężeń promieniowania na wywołanej wcześniej kliszy. Składa się on z podświetlanej od dołu szyby na której umieszcza się kliszę, oraz z precyzyjnego układu optycznego, umożliwiającego pomiar położenia danego prążka z dokładnością 0,001 mm. W praktyce ogromny wpływ na niepewność pomiaru ma rozmycie mierzonych prążków, stąd nie osiąga się nigdy podanej dokładności. W doświadczeniu rejestrowaliśmy stożki interferencyjne przy pomocy kliszy w kamerze debajowskiej (rysunek 1). Do umieszczenia próbki substancji o strukturze soli typu NaCl w kamerze wykorzystaliśmy cienką kapilarę, wykonaną z substancji organicznej. Kamerę z umieszczoną kliszą i próbką montowaliśmy następnie przy okienku lampy rentgenowskiej i pozostawialiśmy do naświetlania. Dla każdej kliszy czas ekspozycji wynosił około czterech godzin. W celu określenia położenia prążków (a więc i kątów θ) wykorzystaliśmy precyzyjny komparator. Dla każdej kliszy wykonaliśmy trzy serie pomiarów położeń prążków. W obrębie każdej serii wyznaczaliśmy położenie w którym wiązka weszła do kamery (uśredniając położenia prążków leżących symetrycznie względem otworu w kliszy, tutaj a1 i b1, oraz a2 i b2 - patrz rysunek 6) oraz położenie w którym z niej wyszła (uśrednienie odpowiednio a4 i b4, a5 i b5, a6 i b6). Umożliwiło nam to wyznaczenie efektywnego Rysunek 6: Przykładowy debajogram. obwodu kamery wraz z jego błędem. Dzięki temu dla każdej pary prążków (jeden stożek) w obrębie serii mogliśmy wyznaczyć odpowiadający jej kąt θ. Ponieważ wykonane zostały trzy serie pomiarów dla każdego stożka otrzymywaliśmy trzy zbliżone kąty θ 1, θ 2, θ 3, co po uśrednieniu dało nam ostatecznie odpowiadający stożkowi (refleksowi) kąt θ i jego niepewność (patrz Dyskusja niepewności wyników). Przy wyznaczaniu kątów θ na podstawie kliszy ważne jest określenie względem którego z otworów liczymy kąt θ (którym otworem wiązka pierwotna weszła do kamery, a którym wyszła). Można ustalić to korzystając z faktu, że wraz ze wzrostem kąta θ wzrasta zdolność rozdzielcza. Zatem stożki pochodzące od linii K α1 i K α2 dla dużych θ będziemy wstanie obserwować oddzielnie (patrz rysunek 7), dla małych θ zleją się one w jeden stożek. W przypadku, Rysunek 7: Wzrost zdolności rozdzielczej dla dużych θ - stożki pochodzące od linii K α1 i K α2 jesteśmy wstanie obserwować oddzielnie, co nie zachodzi dla małych θ (źródło [5]). gdy stożki pochodzące od linii K α1 i K α2 były nierozróżnialne, przyjmowaliśmy, że długość fali K α odpowiadająca danemu stożkowi proporcjonalna jest do średniej ważonej (względnymi) natężeniami linii K α1 i K α2 : K α = 2K α 1 + K α2 3 = 1, A (natężenie K α1 jest około 2 razy większe niż K α2 ) Linie K α mają w sumie około pięciokrotnie wyższe natężenie od linii K β. Wynika stąd, że zaczernienie kliszy dla linii K α będzie znacznie większe niż dla linii K β. Właściwość ta bardzo ułatwiła nam określenie od jakiej linii (tj. długości fali λ) pochodził dany prążek. 2 Wyniki 2.1 Miedź Wyniki pomiarów przedstawia tabela 1. Uwagę λ θ [rad] θ [rad] s 4a 2 linia a [ A] a [ A] 0, , ,03774 K β 3,5832 0,0012 0, , ,04617 K α 3,5877 0,0015 0, , ,03756 K β 3,5919 0,0013 0, , ,04604 K α 3,5926 0,0020 0, , ,03744 K β 3,5975 0,0023 0, , ,04585 K α 3,6002 0,0014 0, , ,03730 K β 3,6043 0,0021 0, , ,03737 K β 3,6007 0,0040 0, , ,04578 K α 3,6031 0,0012 0, , ,04580 K α 3,6020 0,0014 0, , ,03722 K β 3,6081 0,0045 0, , ,03723 K β 3, , , , ,04555 K α1 3, , , , ,04582 K α2 3, , , , ,03719 K β 3, , , , ,04546 K α1 3, , , , ,04570 K α2 3, , , , ,03714 K β 3,6120 0,0014 1, , ,04545 K α1 3, , , , ,04569 K α2 3, ,00053 Tablica 1: Wyniki pomiarów dla drucika miedzianego. Liczba s jest wskaźnikiem refleksu. Przy określaniu s korzystamy z zależności sin2 (θ) s = const = λ2 4a dla ustalonego 2 λ. 4

5 a [ A] ϕ Rysunek 8: Zależność a(ϕ) dla miedzi. Punkty układają się na prostej. zwraca fakt, że obserwujemy jedynie pewne wartości s (3,4,8,11,12,...). Jeśli przyjrzymy się bliżej obserwowanym wartościom s, okaże się że obserwowane wartości s możemy zapisać jako sumę kwadratów trzech liczb parzystych, lub jako sumę kwadratów trzech liczb nieparzystych. Nie obserwujemy natomiast wartości s mieszanych - tj. takich, które są sumą kwadratów liczb zarówno parzystych jak i nieparzystych. Jest to typowe dla sieci płasko centrowanej układu regularnego. Wyprowadzenie tej zależności znajduje się w Dodatku A. Obserwowane natężenia prążków dla linii K α były znacznie silniejsze niż dla prążków dla linii K β. Odpowiada to znacznie większemu (około 5 razy) natężeniu promieniowania linii K α niż K β. Do danych dopasowaliśmy funkcję a(ϕ) = Aϕ + B (patrz rysunek 8) gdzie ( cos 2 (θ) ϕ := sinθ Parametry dopasowania wyniosły + cos2 (θ) ) θ A = 0, ± 0, A B = 3, ± 0, A skąd stała sieci dla miedzi wynosi a cu = 3, ± 0, A (patrz dyskusja niepewności wyników). Otrzymaną wielkość odnieść możemy do danych tablicowych (za [1]) a cutab = 3, 6153 A wyniki te nie są zgodne. Brak zgodności tłumaczymy różnymi właściwościami różnych próbek. 2.2 Substancja o strukturze typu NaCl Wyniki pomiarów przedstawia tabela 2. Otrzymany debajo- λ θ [rad] θ [rad] s 4a 2 linia a [ A] a [ A] 0, , ,02725 K β 4,2168 0,0047 0, , ,03376 K α 4,1954 0,0035 0, , ,02779 K β 4,1756 0,0034 0, , ,03364 K α 4,2032 0,0036 0,5832 0, ,02757 K β 4,192 0,022 0, , ,03352 K α 4,2104 0,0030 0, , ,03361 K α 4,2047 0,0034 0, , ,03367 K α 4,2012 0,0033 0,9257 0, ,03360 K α 4,2053 0,0033 0, , ,03355 K α 4,2086 0,0026 1, , ,03353 K α 4,2099 0,0020 1,2069 0, ,02729 K β 4,2136 0,0038 1,2553 0, ,03347 K α 4,2136 0,0023 Tablica 2: Wyniki pomiarów dla substancji o strukturze soli NaCl. gram zawierał kilka linii, których nie umieliśmy powskaźnikować. Przyjęliśmy, że pochodzą one od użytej kapilary. Dla θ mniejszych niż 0,55 radiana prążki upakowane były bardzo gęsto, co utrudniało pomiary. Obserwujemy głównie refleksy, dla których s jest parzyste. Dla substancji o strukturze soli NaCl jest to typowe, gdyż dla s nieparzystych refleksy są znacznie słabsze (patrz Dodatek B) niż dla s parzystych. Wyjątkiem są zmierzone refleksy o s równym 11 i 27. Dla s równych 11 i 19 obserwowane refleksy są bardzo słabe (najsłabsze jakie udało się zmierzyć). Są one jednak dobrze izolowane (w ich 5

6 4.23 a [ A] ϕ Rysunek 9: Zależność a(ϕ) dla nieznanej substancji o strukturze typu soli NaCl. Uwagę zwraca spory rozrzut punktów. najbliższym sąsiedztwie nie ma innych prążków), tło w ich otoczeniu jest stosunkowo małe. Powyższe czynniki umożliwiły pomiar tych prążków. Ciekawy jest prążek o s równym 27. Jest on znacznie silniejszy od pozostałych prążków o nieparzystym s. Wynika to z faktu, że liczbie 27 odpowiadają aż dwie rodziny płaszczyzn sieciowych o wskaźnikach [511] oraz [333]. Tak jak dla debajogramu drucika miedzianego obserwowane natężenia prążków dla linii K α były zwykle znacznie silniejsze niż dla prążków dla linii K β. Do danych dopasowaliśmy funkcję a(ϕ) = Aϕ + B (patrz rysunek 9) gdzie ( cos 2 (θ) ϕ := sinθ + cos2 (θ) ) θ (patrz Dyskusja niepewności wyników). Parametry dopasowania wyniosły A = 0, ± 0, A B = 4, 2108 ± 0, 0012 A stąd stała sieci nieznanej substancji wynosi a s = 4, 2108 ± 0, 0012 A Odnosząc otrzymaną wielkość do danej tablicowej a MgO stałej sieci tlenku magnezu a MgO = 4, 2119 A (za [2]) wnioskujemy, że badaną substancją był właśnie tlenek magnezu (MgO). 3 Dyskusja niepewności wyników Przy określaniu niepewności x wyznaczonych wartości średnich (wyznaczanie położeń punktów wejścia/wyjścia wiązki) posługiwaliśmy się wzorem ( x) 2 = σ 2 std = 1 n 1 n ( x x i ) 2 i=1 (patrz [3]) gdzie n jest ilością punktów, x wyznaczoną wartością średnią, x i i-tym pomiarem. Jeśli dodatkowo wartości x i znane były z dokładnościami x i porównywalną z otrzymaną wartością σstd 2 (tak jak w przypadku wyznaczania kątów θ) za niepewność średniej x braliśmy ( x) 2 = σstd n ( x i ) 2 n i=1 W przypadku, gdy szukana wielkość x była funkcją pomiarów pośrednich x i x = f(x 1,..., x n ) przy obliczaniu niepewności x tak określonego x korzystaliśmy ze znanego wzoru n ( x) 2 = ( df ) 2 ( x i ) 2 dx i i=1 Jeśli dokładnie przyjrzeć się wyznaczonym wartościom stałej sieciowej a (patrz tablice 1 i 2) okazuje się, że wyznaczone wartości a rosną wraz ze wzrostem kąta θ. Nie jest to dziwne, gdyż jeśli spojrzymy na wyrażenie określające błąd względny a a = ctg(θ) (θ) 6

7 zobaczymy, że niepewność a dąży do zera gdy θ dąży do 90 (niezależnie od niepewności θ). Optymalnie zatem było by jako wynik podawać wielkości a wyznaczone dla prążków z kątem θ bliskim lub równym 90. Nie jest to jednak możliwe, gdyż kąt ten odpowiada położeniu otworu w kliszy, przez który do kamery wchodzi wiązka. Standardowymi postępowaniem w tym przypadku jest wykreślenie wartości a w funkcji kąta θ, a następnie ekstrapolacja do θ = 90. Otrzymana linia nie będzie jednak liną prostą. Przyjmujemy, że wyznaczona wartość kąta θ obarczona będzie błędem systematycznym różnym dla różnych θ (tj. błąd systematyczny θ będzie funkcją samego θ). W metodzie DSH główne przyczyny błędu wielkości θ to: Kurczenie się kliszy w procesie wywoływania Błąd wyznaczenia efektywnego obwodu kamery Absorpcja promieniowania w próbce Niecentryczność próbki w kamerze Po uwzględnieniu tych źródeł błędu okazuje się, że a a ϕ := ( cos 2 (θ) sinθ + cos2 (θ) ) θ (wzór podajemy za [1]). Otrzymane wartości a powinny zatem układać się na prostej w funkcji wyżej zdefiniowanej wartości ϕ a(ϕ) = Aϕ + B gdzie A,B są parametrami prostej. Mamy ϕ = 0 gdy θ = 90, stąd współczynnik B jest szukaną wartością ekstrapolacyjną a dla θ = 90. Proste dopasowaliśmy tak, jak opisane jest to w [3]. 4 Wnioski Zastosowana metoda pozwala na wyjątkowo dokładne wyznaczenie stałej sieci. Dla miedzi udało nam się osiągnąć dokładność 0,007 %, dla nieznanej substancji o strukturze typu NaCl wyniosła ona 0,029 %. Na dokładność pomiaru ogromny wpływ ma rozmycie prążków utrwalonych na kliszy - dla miedzi były one znacznie ostrzejsze niż dla nieznanej substancji, stąd dokładność wyznaczenia stałej sieci miedzi jest ponad cztery razy lepsza. Znaczący wpływ na rozmycie prążków ma rozmiar próbki. Próbka nieznanej substancji umieszczona w kapilarze była znacznie szersza od drucika miedzianego, stąd większe rozmycie prążków. Na kliszy wykonanej dla nieznanej substancji zaobserwowaliśmy szereg prążków, których nie potrafiliśmy sensownie powskaźnikować (przypisać liczby s). Przyjęliśmy, że pochodzą one od kapilary wykonanej z nieznanej nam substancji organicznej i nie uwzględnialiśmy ich w dalszych obliczeniach. W przypadku substancji proszkowych ważny może być zatem dobór materiału z którego wykonana będzie użyta kapilara. Na zakończenie doświadczenia wykonaliśmy dodatkowy debajogram nieznanej substancji stosując kolimator o mniejszej średnicy oraz zwiększając czas naświetlania do około 6 godzin. Prążki widoczne na zdjęciu były znacznie ostrzejsze niż dla wcześniejszych zdjęć. Widać stąd, że odpowiedni dobór kolimatora (kształtu wiązki) i czasu naświetlania ma znaczący wpływ na jakość pomiarów. Okazało się jednak, że użyta klisza była lekko przydymiona (prześwietlona), stąd nie mogliśmy pomierzyć utrwalonych tam prążków. Podczas wskaźnikowania kliszy wykonanej dla nieznanej substancji o strukturze typu soli NaCl natrafiliśmy na nieoczekiwaną trudność - nie potrafiliśmy określić względem którego otworu w kliszy liczyć należy kąt θ (czyli którędy wiązka wyszła z kamery). Jedynym rozwiązaniem okazało się dwukrotne przeprowadzenie obliczeń dla obydwu możliwości. Do zalet metody DSH należą łatwość przygotowania próbki stosunkowo krótki czas potrzebny do wykonania doświadczenia możliwość powtórzenia doświadczenia dla tej samej samej próbki (metoda DSH nie niszczy próbki) wysoka precyzja sprawdza się dla substancji proszkowych 5 Dodatek A: Czynnik struktury układu regularnego płasko centrowanego Komórka elementarna układu regularnego płasko centrowanego zawiera cztery atomy (jednej substancji) umieszczone 1 1 w pozycjach 000, 2 2 0, oraz (patrz rysunek 5). Jej czynnik struktury wynosi F hkl = fe 2π(0) + fe 2π( h 2 + k 2 ) + fe 2π( l 2 + h 2 ) + fe 2π( k 2 + l 2 ) = f(1 + e π(h+k) + e π(l+h) + e π(k+l) ) 7

8 gdzie f jest czynnikiem atomowym danego atomu. Widać stąd, że jeżeli wskaźniki h, k i l (lub odpowiadające im wskaźniki refleksu) są niemieszane (czyli wszystkie są liczbami parzystymi lub nieparzystymi) to F hkl = 4f czyli obserwowany będzie refleks, w przeciwnym razie (h, k, l mieszane) F hkl = 0 czyli refleksu nie zaobserwujemy. Możliwe do obserwowania wartości wskaźników refleksu dla układu regularnego płasko centrowanego przedstawia tablica 3. s wskaźnik refleksu 3 [111] 4 [200] 8 [220] 11 [311] 12 [222] 16 [400] 19 [331] 20 [420] 24 [422] 27 [511],[333].. gdy h+k+l (lub nh+nk+nl jeśli rozpatrujemy wskaźniki refleksu) jest liczbą parzystą, oraz F hkl = 4(f Na f Cl ) gdy h+k+l (jw.) jest liczbą nieparzystą. Literatura [1] Cullity B. D.: Podstawy dyfrakcji promieni rentgenowskich, PWN 1964 [2] Bojarski Z., Habla H., Surowiec M.: Materiały do nauki krystalografii PWN 1986 [3] Majhofer A.: Skrypt do wykładu Wstęp do analizy błędu pomiarowego, pkrusz/ [4] kap_3/illustr/debye1.gif [5] Eppzwm/ labphotos/xraypics/film2.jpg Tablica 3: Możliwe do obserwowania wartości s dla układu regularnego płasko centrowanego 6 Dodatek B: Czynnik struktury dla sieci o strukturze typu soli NaCl Sieć o strukturze typu soli NaCl jest siecią regularną typu płasko centrowanego. Zawiera ona osiem atomów (cztery atomy sodu oraz cztery atomy chloru) umieszczone w pozycjach 1 1 Na Cl Jej czynnik struktury wynosi F hkl = f Na (1 + e π(h+k) + e π(l+h) + e π(k+l) )+ + f Cl (e π(h+k+l) + e π(h) + e π(k) + e π(l) ) co możemy przekształcić do postaci F hkl = (1+e π(h+k) +e π(l+h) +e π(k+l) )(f Na +f Cl e π(h+k+l) ) widać stąd, że dla wskaźników mieszanych nie obserwujemy refleksu: F hkl = 0 (co jest zgodne z wcześniej otrzymanym wynikiem dla zwykłej sieci regularnej płasko centrowanej). Dla wskaźników niemieszanych mamy F hkl = 4(f Na + f Cl ) 8