Bisymulacja, automaty czasowe

Transkrypt

1 Krzysztof Nozderko 13 grudzień 2005

2 Plan wykładu 1 Automaty czasowe 2 Regiony 3 Bisymulacja

5 Automaty czasowe Automat czasowy to model matematyczny do modelowania zachowań w systemach zależnych od czasu.

6 Automaty czasowe Automat czasowy to model matematyczny do modelowania zachowań w systemach zależnych od czasu. Automat czasowy = +

7 Automaty czasowe - przykład start Zwróćmy uwagę na: a x:=0, y:=0 miejsca/lokacje: start, loop, end zegary: x, y loop x<=10 c end y>=20 x:=0, y:=0 b x==10 x:=0 niezmiennik lokacji: x<=10 etykiety akcji: a, b, c warunki umożliwienia akcji: x==10, y>=20 resetowanie zegarów: x:=0, y:=0

13 Automaty czasowe - zegary Zegary moga występować zegary - zmienne o wartościach z R + {0} Oznacza się je jako x, y, z,...

14 Przykład z życia podwójne kliknięcie start przyciskam Podwójne kliknięcie wcisnieta_mysz chcemy podwójnie kliknać (ang. doubleclick) w ikonę kursor myszki nieruchomo znajduje się nad ikona puszczam x:=0 zwolniona_mysz przyciskam x>1 przyciskam x<=1 aplikacja

15 Przykład z życia menadżer logowania Menadżer logowania uruchamiamy komputer dostępne: Linux i Windows domyślnie Linux wybór strzałkami i Enterem start x<=10 linux x==10 x<10 Enter Enter start_linuxa strzalka strzalka x<10 strzalka start_windowsa Enter windows

16 Automat czasowy - oznaczenia Wstęp do definicji C - skończony zbiór zegarów, np: {x, y,...} Σ - skończony alfabet, np: {a, b,...} oznaczajacy akcje B(C) - zbiór ograniczeń zegarów; koniunkcja ograniczeń (górnych i/lub dolnych) nakładanych na: poszczególne zegary, np: x > 4, 2 y < 3, z < 20,... różnicę dowolnych dwóch zegarów, np: x y < 3, 1 < y z 7

21 Interpretacja warunku x < 1 y 4 interpretacja warunku x < C = {x, y} x

22 Ograniczenia zegarów B(C) stałe użyte do ograniczania zegarów sa liczbami wymiernymi liczby wymierne występuja dostatecznie gęsto x>3/4 x>9/8 x<7/8 x<4/3 mnożymy wszystkie stałe przez wspólny mianownik ułamków - w efekcie wszystkie stałe sa naturalne x>18 x>27 x<21 x<32

23 Automat czasowy - definicja Definicja Automat czasowy A jest krotka <N, l 0, E, I>, gdzie: N to skończony zbiór lokacji l 0 N to lokacja poczatkowa E N B(C) Σ 2 C N, to zbiór krawędzi Piszemy l g,a,r l gdy (l,g,a,r,l ) E I : N B(C) przyporzadkowuje lokacjom ich niezmienniki;

24 Automat czasowy - semantyka System tranzykcyjny Najprostsza semantyka automatu czasowego jest tzw. system tranzakcyjny, oznaczany jako T (A)

25 Semantyka T (A) stany Stany Stan = (lokacja, wskazania zegarów)

26 Semantyka T (A) stany Stany Stan = (lokacja, wskazania zegarów) Przykłady stanów: a start x:=0, y:=0 (start, [x = 0, y = 0]), (start, [x = π, y = π]), (loop, [x = 3, y = 20+ 3]),... Ile jest stanów? loop x<=10 c end y>=20 x:=0, y:=0 b x==10 x:=0

31 Semantyka T (A) stany Stany Stan = (lokacja, wskazania zegarów) Przykłady stanów: a start x:=0, y:=0 (start, [x = 0, y = 0]), (start, [x = π, y = π]), (loop, [x = 3, y = 20+ 3]),... Ile jest stanów? continuum loop x<=10 c end y>=20 x:=0, y:=0 b x==10 x:=0

32 Semantyka T (A) zwykłe akcje Zwykłe akcje zwykłe akcje składaja się z l0 l1 a x<=7 y:=0 etykiety warunku umożliwienia - określa czy akcja może zaiść zbioru zegarów do zresetowania - zajście akcji ustawia te zegary na 0

33 Semantyka T (A) upływ czasu Upływ czasu to rodzaj akcji, których na rysunku się nie zaznacza upłynięcie t R + jednostek czasu oznacza zwiększenie wartości wszystkich zegarów o t zegary tykaja więc w tym samym tempie upływ czasu nie zmienia lokacji - czas płynie w miejscu

34 Semantyka T (A) upływ czasu Upływ czasu to rodzaj akcji, których na rysunku się nie zaznacza upłynięcie t R + jednostek czasu oznacza zwiększenie wartości wszystkich zegarów o t zegary tykaja więc w tym samym tempie upływ czasu nie zmienia lokacji - czas płynie w miejscu Ile jest takich akcji?

35 Semantyka T (A) upływ czasu Upływ czasu to rodzaj akcji, których na rysunku się nie zaznacza upłynięcie t R + jednostek czasu oznacza zwiększenie wartości wszystkich zegarów o t zegary tykaja więc w tym samym tempie upływ czasu nie zmienia lokacji - czas płynie w miejscu Ile jest takich akcji? continuum

36 Semantyka T (A) niezmienniki Niezmienniki lokacji to warunki, które musza być prawdziwe, gdy system znajduje się w danej lokacji

37 Semantyka T (A) niezmienniki Niezmienniki lokacji to warunki, które musza być prawdziwe, gdy system znajduje się w danej lokacji wymuszaja postęp, ograniczajac możliwość upływu czasu l0 x<=5 l1

38 Semantyka T (A) niezmienniki Niezmienniki lokacji to warunki, które musza być prawdziwe, gdy system znajduje się w danej lokacji wymuszaja postęp, ograniczajac możliwość upływu czasu ograniczaja też zwykłe akcje, akcja a nigdy nie zajdzie l0 x<=5 l0 a x>5 l1 l1 x<=5

39 Przykład z życia przejazd kolejowy Zautomatyzowany przejazd kolejowy automatycznie podnoszony i opuszczany szlaban automat produktowy, składajacy się z komponentów: Pociag, Szlaban, Kontroler wymóg bezpieczeństwa: gdy pociag przejeżdża przez przejazd, szlaban jest opuszczony

40 Przykład z życia przejazd kolejowy Pociag Szlaban s0 approach x:=0 s1 x<=5 t0 lower y:=0 t1 y<=1 exit in x>2 up y>=1 down out raise x<=5 s3 s2 x<=5 y<=2 t3 y:=0 t2 Kontroler exit approach u2 z:=0 u0 z:=0 u1 z<=1 raise lower z<=1 z=1 bezpieczeństwo: Pociag w s2 Szlaban w t2

41 Potrzeba abstrakcji Weryfikacja sprawdzenie, czy T (A) = ϕ? własności bezpieczeństwa sprowadzaja się do pytania o osiagalność czy osiagalny jest zły stan? EFźle T (A) jest ogromne (nieskończone) rozwiazanie: abstrakcja

42 Regiony Idea y utożsamiamy wartościowania nierozróżnialne ze względu na wykonalność dalszych przejść chcemy podzielić przestrzeń na skończona ilość klas abstrakcji region [1<x<2; 1<y<2; x>y] 2 1 punkt [x=1,5; y=1,25] x

43 Regiony wstęp do definicji Przekształćmy automat tak, by wszystkie stałe były naturalne. Oznaczenia k max := największa ze stałych w A lub w ϕ frac(r) część ułamkowa liczby r R

44 Regiony intuicje Intuicje wskazania zegarów k MAX można utożsamić wskazania zegarów maja część całkowita i ułamkowa część całkowita musimy ja znać dokładnie abstrahujemy od dokładnej warości części ułamkowej nt. części ułamkowej wystarczy, że wiemy czy jest zerowa w jakiej kolejności zegary wraz z upływem czasu będa przechodzić do kolejnych wartości całkowitych

49 Regiony def. dla automatu bezprzekatniowego Rownoważność wartościowań zegarów Niech v, v - wartościowania zegarów. Wartościowania sa równoważne (oznaczamy v v ) wtw, gdy x, y C 1 v(x) > k max v (x) > k max 2 jeżeli v(x) k max i v(y) k max, to a) v(x) = v (x) b) frac(v(x)) = 0 frac(v (x)) = 0 c) frac(v(x)) frac(v(y)) frac(v (x)) frac(v (y))

50 Automat bezprzekatniowy przykład regionów y 3 2 C = {x, y} k MAX = x

51 Automat przekatniowy przykład regionów y 3 2 C = {x, y} k MAX = x

52 Regiony klasy abstrakcji Ile jest regionów?

53 Regiony klasy abstrakcji Ile jest regionów? Skończenie wiele

54 Regiony klasy abstrakcji Ile jest regionów? Skończenie wiele A ile dokładniej?

55 Regiony klasy abstrakcji Ile jest regionów? Skończenie wiele A ile dokładniej? wykładniczo względem ilości zegarów można szacować O(k MAX C )

56 Automat regionów R(A) R(A) Automat regionów oznaczamy jako R(A). Stany Stan = (lokacja, region) Relacja przejścia upływ czasu (l, [u]) (l, [v]) jeśli t R +, t. że (l, u) t (l, v) w T (A) zwykłe akcje (l, [u]) a (l, [v]) jeśli akcja a, t. że (l, u) a (l, v) w T (A)

57 Przykład R(A) Automat A l x>=2 x:=0 Automat R(A) l x = 0

58 Przykład R(A) Automat A l x>=2 x:=0 Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1

59 Przykład R(A) Automat A l x>=2 x:=0 Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1 l x = 1

60 Przykład R(A) Automat A Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1 l x = 1 l x>=2 x:=0 l 1 < x < 2

61 Przykład R(A) Automat A Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1 l x = 1 l x>=2 x:=0 l x = 2 l 1 < x < 2

62 Przykład R(A) Automat A Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1 l x = 1 l x>=2 x:=0 l x > 2 l x = 2 l 1 < x < 2

63 Przykład R(A) Automat A Automat R(A) l l x = 0 0 < x < 1 l x = 1 l x>=2 x:=0 l x > 2 l x = 2 l 1 < x < 2

64 Poprawność abstrakcji R(A) ϕ formuła TCTL (TCTL = rozszerzenie CTL X ; operatory wzbogacone o przedziały czasowe) Poprawność abstrakcji R(A) T (A) = ϕ R(A) = ϕ

65 Bisymualcja jako gra Weżmy dwa modele. Żeby rozstrzygnać, czy sa one z punktu widzenia obserwatora nierozróżnialne, zagramy w pewna grę.

66 Bisymualcja jako gra Weżmy dwa modele. Żeby rozstrzygnać, czy sa one z punktu widzenia obserwatora nierozróżnialne, zagramy w pewna grę. Gra w bisymulację jest dwóch graczy gracz Odróżniajacy chce udowodnić różność modeli gracz Broniacy chce obronić tezę o równoważności modeli jeśli graczowi Odróżniajacemu uda się odróżnić modele w skończonej liczbie kroków wygrywa, modele nie sa w bisymulacji wpp. wygrywa gracz Broniacy modele sa w bisymulacji

71 Gra w bisymulację Zasady gry W pętli: gracz Odróżniajacy wybiera sobie 1 z modeli i wykonuje w nim jakaś akcję gracz Broniacy w drugim z modeli wykonuje akcję o takiej samej etykiecie jeśli nie potrafi to przegrywa

72 Gra w bisymulację Zasady gry W pętli: gracz Odróżniajacy wybiera sobie 1 z modeli i wykonuje w nim jakaś akcję gracz Broniacy w drugim z modeli wykonuje akcję o takiej samej etykiecie jeśli nie potrafi to przegrywa Uwaga: W kolejnych turach gracz Odróżniajacy może wybierać różne modele.

73 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 s3 w2 b b b b b s4 s5 s6 s7 w3

74 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 s3 w2 b b b b b s4 s5 s6 s7 Bisymulacja: {(s 1, w 1 ), (s 2, w 2 ), (s 3, w 2 ), (s 4, w 3 ), (s 5, w 3 ), (s 6, w 3 ), (s 7, w 3 )} w3

75 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 w2 w3 b c b c s3 s4 w4 w5

76 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 w2 w3 b c b c s3 s4 w4 w5 Nie ma bisymulacji.

77 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 b s3 b w2 b

78 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 b s3 b w2 b Bisymulacja: {(s 1, w 1 ), (s 2, w 2 ), (s 3, w 2 )}

79 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 b w2 b s3 b b s4 w3

80 Bisymulacja przykład s1 w1 a a a s2 b w2 b s3 b b s4 w3 Nie ma bisymulacji.

81 Bisymulacja trochę głębiej strategia wygrywajaca gracza Broniacego to relacja bisymulacji jeśli by zabronić graczowi Odróżniajacemu zmienianie stron, mielibyśmy symulację jeśli system A symuluje B oraz B symuluje A, to systemy sa symulacyjnie równoważne jeśli A i B sa symulacyjnie równoważne A symuluje B przy pomocy relacji R B symuluje A przy pomocy relacji R 1, to systemy sa w bisymulacji

85 Bisymulacja w systemach zależnych od czasu Rodzaje tranzycji t = upływ t jednostek czasu a = zajście akcji a = = t t = a = t t a Przypomnienie w T (A) mamy do dyspozycji: t i a w R(A) mamy do dyspozycji: = i a

86 Bisymulacja w systemach zależnych od czasu Timed-bisimulation Relacja w T (A). Gra w bisymulacje, w której alfabetem akcji, który bisymulacja ma zachowywać jest Σ R + {0}. Trzeba dbać zarówno o przejścia a jak i t. Intuicja Dwa automaty sa timed-bisimilar wtw wykonuja takie same przejścia a w tym samym czasie.

87 Bisymulacja w systemach zależnych od czasu Untimed-bisimulation Relacja w T (A). Gra w bisymulacje, w której alfabetem akcji, który bisymulacja ma zachowywać jest Σ {τ}. τ to specjalna etykieta symbolizujaca upływ czasu Fakt Abstrakcja wykorzystywana do tworzenia regionów jest bisymulacja w T (A) względem tranzycji = a i = i a, ale nie t

88 Osiagalność w systemach zależnych od czasu Bisymulacja jest słaba Żeby testować osiagalność można używać silniejszych abstrakcji niż bisymulacja. Można użyć np. symulacji pseudo-bisymulacji pseudo-symulacji