Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 19 luty 2013 Czas 90 minut

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 19 luty 01 Czas 90 minut ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania zadań W zadaniach od 1. do 10. właściwe odpowiedzi zostały zaznaczone Zadanie 1. (1 punkt) Ile jest liczb wymiernych wśród liczb: 9, (11); 0, 5; ; 0; 7; π ; a) b) 5 c) d) 4 e) 0 Zadanie. (1 punkt) Dwa boki trójkąta mają długości 1 i. Trzeci bok trójkąta mający długość n jest liczbą naturalną. 5 % długości obwodu trójkąta jest równe: a) 1 4 (4 + 1 n) b) + n c) 1 4 d) 1, 8 e) Zadanie. (1 punkt) Spośród wierzchołków sześciokąta foremnego wybieramy dwa różne. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrane punkty nie wyznaczą przekątnej tego wielokąta? a) 5 b) 0, 4 c) 5 6 d) 1 e) 1, 5 Zadanie 4. (1 punkt) Aby uruchomić telefon komórkowy Marek musi wpisać czterocyfrowy kod pin. Marek zapomniał, jaki jest kod pin jego telefonu, ale zapamiętał, że pierwsza i ostatnia cyfra kodu jest nieparzysta, a suma dwóch środkowych cyfr jest równa 6. Jaka jest największa ilość prób, które musi Marek wykonać, aby uruchomić telefon? (zakładamy, że ilość prób nie jest ograniczona) a) 15 razy b) 150 razy c) 175 razy d) 100 razy e) 198 razy Zadanie 5. (1 punkt) Kwadrat podzielono na dwa prostokąty, których stosunek obwodów wynosi 5 : 4. Jaki jest stosunek pól tych prostokątów? a) :4 b) 1: c) 4: d) :1 e) 1:5

2 Zadanie 6. (1 punkt) Suma wieku ojca i syna wynosi 60 lat. Za 15 lat ojciec będzie dwa razy starszy od syna. Ile lat ma ojciec? a)5 lat b) 5 lat c) 45 lat d) 40 lat e) 50 lat Zadanie 7. (1 punkt) Iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do 100 przedstawiono jako iloczyn potęg liczb pierwszych. Do jakiej potęgi będzie podniesiona liczba 7? a) 1 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17 Zadanie 8. (1 punkt) Za ołówki i 7 długopisów zapłacono tyle samo ile za 6 ołówków i 1 długopis. Co jest droższe i o ile procent? a) ołówek droższy o 50% b) długopis droższy o 50% c) ołówek droższy o 100% d) za mało jest danych e) ceny są jednakowe Zadanie 9. (1 punkt) Ile wynosi stosunek pól kół opisanego do wpisanego dla trójkąta prostokątnego równoramiennego? a) b) + c) + d) 4 e) 4 Zadanie 10. (1 punkt) Gosia, Julka i Marek sprzątaja razem pokój w czasie 4 godzin. Marek sam sprząta pokój dwa razy dłużej od każdej z dziewczynek. Jak długo sprzątają pokój obie dziewczynki razem? a)10 godzin b) 5 godzin c) 4 godziny d) 8 godzin e) 6 godzin

3 Zadania otwarte11-15 rozwiązane poprawnym sposobem, nie uwzględnionym w schamacie oceniane są indywidualnie. Zadanie 11.( punkty) pozycja drużyna punkty pozycja drużyna punkty 1. Wisła Kraków Widzew Łódź 4. Śląsk Wrocław GKS Bełchatów 40. Legia Warszawa Zagłębie Lubin 9 4. Jagiellonia Białystok Ruch Chorzów 8 5. Lech Poznań Korona Kielce 7 6. Górnik Zabrze Cracovia Kraków 9 7. Polonia Warszawa Arka Gdynia 8 8. Lechia Gdańsk Polonia Bytom 7 Powyższa tabela przedstawia końcową klasyfikację ekstraklasy w sezonie Każda drużyna rozegrała dwa mecze z pozostałymi drużynami (raz jako gospodarz, raz jako gość). Za zwycięstwo drużyna otrzymuje punkty, za remis obie drużyny po 1 punkcie, za porażkę drużyna otrzymuje 0 punktów. Ile było remisów w tym sezonie? Które z drużyn uzyskały na pewno przynajmniej dwa remisy? Każda z drużyn rozegrała 0 meczów 15 jako gospodarz i 15 jako gość. Ilość wszystkich meczów które się odbyły można obliczyć jako 16 0 Dzielenie przez dwa wynika stąd, że każdy mecz liczony jest dwa razy w iloczynie Suma wszystkich punktów które osiągnęły drużyny wynosi: = 660 Suma punktów zdobytych przez drużyny biorące udział w meczu w przypadku remisu wynosi, natomiast w przypadku zwycięstwa jednej z drużyn. Przyjmujemy oznaczenia: x ilość meczów kończących się remisem y ilość meczów kończących się zwycięstwem jednej z drużyn. Otrzymujemuy następujący układ równań: { x + y = 40 x + y = 660 m tego układu równań jest x = 60 oraz y = 180 Na pewno przynajmniej dwa remisy uzyskały drużyny dla których reszta z dzielenia ilości uzyskanych punktów przez wynosi. Odp. W sezonie było 60 remisów. Drużynami, które uzyskały przynajmniej dwa remisy są: Wisła Kraków, Polonia Warszawa, Ruch Chorzów i Cracovia Kraków. Obliczenie ilości łącznej meczów i łącznej ilości punktów 1 punkt. Ułożenie i rozwiązanie układu równań 1 punkt. Wymienienie drużyn z co najmniej dwoma remisami 1 punkt,

4 Zadanie 1.(4 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt koła o promieniu 0 m. Do brzegu łąki przyczepiona jest koza na łańcuchu o długości 0 m. Ile procent łąki znajduje się w zasięgu kozy? (przyjmij w przybliżeniu = 1, 7 π =, 14) Pole łąki w zasięgu kozy składa się z wycinka koła o promieniu 0 m i kącie wewnętrznym 10 o oraz dwóch części koła odciętych cięciwami o długości 0 m oznaczonych na rysynku przez A. Pole figury oznaczonej przez A jest równe różnicy pola wycinka koła o promieniu 0 m i kącie wewnętrznym 60 o i pola trójkąta równobocznego o boku 0 m : Pole łąki w zasięgu kozy P ole A = 1 6 π 0 P = 1 π ( ) 1 6 π P = π 0 0 Pole całej łąki wynosi: PŁ = π 0. Po podzieleniu pól P przez PŁ, uproszczenie przez 0 i pomnożeniu przez 100% otrzymujemy: π π 100% = 6,8 1,7, % = 9% wykonanie poprawnego rysunku i zaznaczenie trójkątów równobocznych 1 punkt. obliczenie pól i stosunku tych pól punkty. 4

5 Zadanie 1.( punkty) Oblicz W obliczeniach pomocny może być wzór (A + B + C) = A + B + C + AB + AC + BC. a + a (a + 1) + (a + 1) 1 = a 4 + a + a + a + 1 = (a + a + 1), (a + a + 1) = a + a + 1, = = wprowadzenie oznaczeń a = 01, a + 1 = 01-1 punkt. zauważenie, że wyrażenie podpierwiastkowe sprowadza się do postaci (a + a + 1), wyliczenie wartości pierwiastka - 1 punkt. lub prawidłowe podanie wartości pierwiastka, wyliczone inną poprawną metodą - punkty. 5

6 Zadanie 14.(4 punkty)w jaki sposób prostokątny tort o wymiarach 8 8 cm można przekroić wzdłuż prostej na dwa kawałki tak, aby zmieściły się one obok siebie na okrągłym talerzu o średnicy 0 cm. Zaznacz na rysunku podział tortu i sposób ułożenia go na talerzu. Oznacz długości odcinków.(rysunek wykonany jest w skali 1:.) za prawidłowe zaznaczenie linii podziału tortu, bez umieszczanie na talerzu oraz podawania konkretnych wymiarów - 1 punkt. za prawidłowe zaznaczenie linii podziału tortu, umieszczanie na talerzu, bez podania konkretnych wymiarów - punkty. prawidłowe zaznaczenie linii podziału, rozmieszczenie na talerzu, wykonanie obliczeń, podanie wymiarów podziału - 4 punkty. 6

7 Zadanie 15.( punkty) Naczynie ma kształt odwróconego stożka o kącie rozwarcia 60 o. Naczynie wypełnione jest cieczą do wysokości cm (wysokość mierzona jest od wierzchołka stożka do górnej powierzchni cieczy). Do naczynia włożono kulkę, która osiadła na dnie. Górna powierzchnia cieczy jest styczna do powierzchni kulki. Oblicz promień kulki. Przekrój osiowy naczynia jest trójkątem równobocznym. Objętość cieczy w naczyniu można obliczyć jako objętość stożka wg wzoru V st = 1 πr h, gdzie r jest promieniem podstawy stożka, a h jego wysokością. Promień podstawy stożka można obliczyć korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym: = r stąd r = cm Tak więc objętość cieczy wynosi V = 1π( ) = π cm Po włożeniu do naczynia kulki o promieniu R wysokość cieczy zwiększy się do wartości H. Przekrój kulki jest okręgiem wpisanym w trójkąt równoboczny, więc zależność między promieniem R i wysokością H jest następująca: H = R. Promień podstawy stożka można obliczyć podobnie jak w poprzednim przypadku r 1 = R. Objętość cieczy łącznie z zanurzoną kulką można obliczyć ze wzoru na objętość stożka V 1 = 1π( R) R co jest równe V 1 = πr Biorąc pod uwagę wzór na objętość kulki otrzymujemy równanie: Przekształcając równanie otrzymujemy: πr = 4 πr + π 5 R = R = 9 5 cm Obliczenie objętości stożka przed włożeniem kulki 1 punkt. wyznaczenia objętości stożka po włożeniu kulki przy użyciu promienia kulki i obliczenie promienia kulki 1 punkt. 7