O objętościach brył. Tomasz Tkocz

Transkrypt

1 O objętościach brył Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonegonakółkuwiilowrybniku,pokazująjakjużstarożytniwyprowadzili wzory na objętość czworościanu, kuli i na pole powierzchni kuli. Autor oparł je w całości na odpowiednich rozdziałach z książki [Kor06]. 0.Czy wewzorzenapoletrójkątanasdziwi?oczywiście,nie 2 wystarczy dobrze pociąć trójkąt(por. rysunek). Czy potrafimy podobnie zrobić z czworościanem, tzn. pociąć go tak, żeby zbudować z niego graniastosłup i przekonaćsiętymsamymopraw- dziwości 3 wewzorzenajego objętość? Okazuje się, że nie zawsze(problem Hilberta rozwiązany przez Dehna, por. [Kor08, AiZi])! Mimo to, już Euklides w Elementach (IV w. p.n.e.) dowodzi wzoru Rysunek.Jakztrójkąta zrobić równoległobok V czworościan = 3 polepodstawy wysokość. Spróbujemy dzisiaj prześledzić jego tok rozumowania..podobnie,intrygującewydająsię 4 3 i4wewzorachzkulą.tutaj pujdziemyzapracąarchimedesa(iiiw.p.n.e.)okuliiwalcu,aby zobaczyć skąd się biorą te nieoczywiste współczynniki liczbowe. Euklides korzysta z metody wyczerpywania Eudoksosa, inaczej zwaną też całką Eudoksosa lub całkowaniem starożytnych. Chodzioto,żechcemyzmierzyćfigurę(albobryłę) F.Wtymcelu wyjmujemyzniejjejczęść F,którejmiaręznamy(np.graniastosłup) przyczymmusibyćonawiększaodpołowymiarycałejfigury(co

2 Rysunek 2. Wyczerpywanie trzebaudowodnićitomożeniebyćłatwe,wszaknieznamy F ).Z pozostałączęścią F\F odgrzewamydowcip wyjmujemy F 2,przy czym F 2 > 2 F\F,itd.dostającfigury F, F 2,...Zauważmy,że Istotnie, wiemy, że F + F F n +...= F. F F + + F n, bokolejnefigury F k sąwyjmowanezfisąrozłączne.zdrugiejstrony F > 2 F, F + F 2 > F + 2 F\F = 2 F + 2 F > 2 F F, F + F 2 + F 3 > F + F F\(F F 2 ) = 2 F + 2 ( F + F 2 )= 2 F F F, F F n > 2 F n F = ( n ) F. Wypisując liczby,2,... po kolei, ale każdą następną dwa razy szybciej wypiszemy je wszystkie w skończonym czasie! $/2 /4 /8 / Aleprzecież =, 2 2 n bo ( + + ) 2 2 = (por. n 2 n rysunek),więcliczba n...różnisiędowolniemałood, więc te liczby muszą być równe!

3 A N M K D Q C P L B 2. Zobaczmy teraz jak Euklides wyczerpuje czworościan F=ABCD,abyobliczyćjego miarę(objętość). Wyjmujemy F := graniastosłupy KNMLQC, KBLNP Q. Wyjęliśmy więcej jak połowa, bo pozostałe czworościany AKMN,NPQDmożnazmieścić odpowiednio w tych graniastosłupach (wystarczy przesunąć równolegle by to zobaczyć). Z każdym z czworościanów AKMN, NP QD odgrzewamy dowcip wyjmujemyznichodpowiedniegraniastosłupydostając F 2, itd. Zatem F = F + F F n +... Ale F 2 =2 F 8 = F 4,bokażdyzczworościanówAKMN, NPQDtoczworościanABCDwskali:2,czyliwyjmowanezadrugimrazemgraniastosłupymająobjętość2 = objętościgrania- stosłupów wyjmowanych za pierwszym razem. Zupełnie analogicznie 8 4 mamy itd. więc Ale F 3 = 4 F 2 = 4 2 F, F = F (+ ) = 4 3 F. F = KNMLQC + KBLNPQ = 2 ABC 2 2 wysokość + ABC 4 2 wysokość= 4 ABC wysokość, bo KNMLQC to połowa graniastosłupa o podstawie KLCM(który jest równoległobokiem o polu będącym połową pola trójkąta ABC) i wysokości stanowiącej połowę wysokości czworościanu ABCD opuszczonej z wierzchołka D, zaś graniastosłup KBLNP Q ma podstawę KLB ćwiartka trójkąta ABC. Ostatecznie F = 4 ABC wysokość= polepodstawy wysokość. 2.Właściwieistotąpowyższegodowoduniejestwspółczynnik, 3 któryłatwowidziećzrysunku,alepostaćwzorunaobjętość żejest ona proporcjonalna do iloczynu pola podstawy i wysokości. 3

4 Rysunek3.Skąd 3? h S A Q P B O Rysunek 4. Aproksymacja powierzchni kuli stożkami ściętymi 3.Spróbujmyzmierzyćsięzkuląizacznijmyodwzorunajejpole powierzchni. Archimedes wpisuje ją w walec o wysokości 2R i promieniu podstawy R. Prowadzimy dwie płaszczyzny równoległe do podstawy walca odległe o h i w połowie odległości między nimi prowadzimy płaszczyznę styczną do kuli powstaje powierzchnia boczna stożka ściętego.jejpolepowierzchniwynosiπ SP AB,ale SA = SO,skąd(SA= AQ SP 4

5 AB)SP AB=2SO AQ=2R h=rh,więctopolewynosi2πrh= 2 2 pole powierzchni bocznej walca wyciętej przez te płaszczyzny. Kulę można przybliżać dowolnie dokładnie powierzchniami bocznymi coraz mniejszych stożków ściętych, więc pole powierzchni kuli = pole powierzchni bocznej walca =2πR 2R=4πR 2. Rysunek 5. Objętość kuli Jeśli chodzi o objętość, to Archimedes rozumuje jak następuje. Wpiszmyjeszczewwalecstożkijaknarysunku??iznowurozważmy przekrój płaszczyzną równoległą do podstaw walca, odległą o x od środka walca. Tym razem jednak patrzymy na pole powierzchni odpowiednich przekrojów. Widzimy, że są jednakowe dla dowolnego x, stąd objętości są równe(jak będziemy nalewać wody do obu naczyć równocześnieztąsamąprędkością,tobędziesięonawobunaczyniach podnosić tak samo szybko, więc nalejemy jej tyle samo). Zatem V kula =V walec 2V stożek =πr 2 2R 2 3 πr2 = 4 3 πr3. Literatura [AiZi] M. Aigner, G. M. Ziegler, Dowody z księgi, PWN, Warszawa 2004 [Kor06] M. Kordos, Wykłady z historii matematyki, Script, Warszawa 2006 [Kor08] M. Kordos, Pole i objętość, Delta 44(8/2008), 4 8 5