POLITECHNIKA WARSZAWSKA. Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA. mgr inż. Mateusz Malanowski

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA Wydział Elektroniki i Technik Informacyjnych ROZPRAWA DOKTORSKA mgr inż. Mateusz Malanowski Optymalizacja przetwarzania sygnałów w radarach z pasywną koherentną lokalizacją obiektów Promotor dr hab. inż. Krzysztof Kulpa Warszawa, 29

2 Podziękowania Pragnę wyrazić podziękowania mojemu promotorowi dr. hab. inż. Krzysztofowi Kulpie, mojej żonie Magdalenie Purchli-Malanowskiej oraz kolegom z Zakładu Teorii Obwodów i Sygnałów Instytutu Systemów Elektronicznych, którzy przyczynili się do ostatecznego kształtu pracy. Serdecznie dziękuję Fundacji Wspierania Radiokomunikacji i Technik Multimedialnych za wsparcie finansowe w postaci stypendium naukowego, które przyspieszyło finalizację niniejszej rozprawy. Praca była częściowo finansowana przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego w ramach grantu nr 31/B/T/28/35 oraz przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego, projekt Program Rozwojowy Politechniki Warszawskiej. 2

3 Streszczenie W rozprawie przedstawiono zagadnienie optymalizacji parametrów przetwarzania sygnałów w radarze z pasywną koherentną lokalizacją obiektów (ang. Passive Coherent Location PCL). Radar PCL, nazywany również radarem pasywnym, wykorzystuje w celu detekcji obiektów zewnętrzne źródła promieniowania elektromagnetycznego, takie jak nadajniki radiowe, telewizyjne lub stacje bazowe telefonii komórkowej. Radiolokacja pasywna stanowi stosunkowo mało zbadany obszar wiedzy. Jednym z zagadnień, które nie doczekały się dotychczas wystarczającej uwagi naukowców jest dobór parametrów przetwarzania zapewniających pożądane osiągi systemu. Temu tematowi jest poświęcona niniejsza praca. Celem rozprawy było opracowanie metod optymalizacji wybranych parametrów dotyczących śledzenia obiektu. W pracy przeprowadzono analizę przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym, uwzględniającą korelację, detekcję, estymację parametrów oraz śledzenie we współrzędnych bistatycznych. Otrzymane związki umożliwiły sformułowanie konkretnych problemów optymalizacji. Do parametrów przetwarzania dobieranych optymalnie należały czas integracji, prawdopodobieństwo fałszywego alarmu oraz parametry logiki inicjalizacji i kasowania trasy. Jako funkcje celu przyjęto średni czas inicjalizacji trasy oraz dokładność śledzenia, rozumianą jako odchylenie standardowe błędu estymacji bistatycznej odległości. Do wielkości, na które w czasie optymalizacji narzucono ograniczenia, należały średnia częstość inicjalizacji trasy fałszywej, prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy fałszywej. Ponadto nałożono kostkowe ograniczenia na wszystkie parametry przetwarzania. W rezultacie uzyskano zestaw metod służących do wyznaczania wartości parametrów przetwarzania sygnału zapewniających optymalne (w określonym sensie) osiągi radaru. Otrzymane w pracy wyniki można również wykorzystać do przewidywania zachowania się radaru pasywnego w zależności od parametrów przetwarzania oraz właściwości obserwowanych obiektów. Uzyskane rezultaty teoretyczne zostały zweryfikowane za pomocą przeprowadzonych symulacji komputerowych. Wyniki symulacji potwierdziły zarówno poprawność analizy teoretycznej, jak i słuszność przyjętych założeń upraszczających. W pracy przedstawiono także wyniki przetwarzania rzeczywistego sygnału z radaru pasywnego PaRaDe projektowanego w Instytucie Systemów Elektronicznych Politechniki Warszawskiej przy istotnym wkładzie autora. 3

4 Abstract In this thesis, the problem of optimization of signal processing parameters in passive coherent location (PCL) radar is addressed. In order to detect targets, PCL radar, also called passive radar, utilizes external sources of electromagnetic radiation, such as radio and television transmitters or cellular telephony base stations. Passive radar technology is a relatively new field of knowledge. One of the issues, which did not receive much attention among the scientists, is the choice of the values of processing parameters ensuring desired system performance. This is the subject of this dissertation. The objective of the dissertation was to develop methods for optimization of certain parameters concerning target tracking. To accomplish this, the analysis of signal processing in passive radar was carried out, in which correlation, detection, parameter estimation and target tracking in the bistatic coordinates were taken into account. The obtained relationships allowed us to define concrete optimization problems. The following processing parameters were optimized: the integration time, the probability of false alarm and the parameters of track initialization and termination logic. Cost functions were defined as the average track initialization time and the tracking accuracy measured as the standard deviation of the estimation error of the bistatic range. The constraints included the average rate of false track initialization, the probability of true track termination and the average false track termination time. Furthermore, box constraints on all processing parameters have been imposed. As a result, a set of methods for determining the values of processing parameters providing optimal performance of the radar was obtained. The findings can also be used to predict performance of the passive radar depending on processing parameters as well as properties of observed targets. The obtained theoretical results were verified via computer simulations. The results of simulation experiments showed both correctness of the theoretical analysis and pertinence of simplifying assumptions made during the analysis. In the dissertation, the results of processing of real-life signals from the passive radar system PaRaDe are presented as well. The system is being developed at the Institute of Electronic Systems, Warsaw University of Technology, with a significant contribution of the author. 4

5 Spis treści 1 Wstęp Wprowadzenie Motywacje Cel i teza pracy Wkład własny Układ pracy Zasada pracy radaru pasywnego Źródła sygnału dla radaru pasywnego Geometria bistatyczna Równanie zasięgu Model sygnału odebranego Funkcja nieoznaczoności Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym Odbiór sygnału Formowanie wiązki Wstępne przetwarzanie sygnału Filtracja adaptacyjna Korelacja Detekcja i estymacja parametrów Śledzenie we współrzędnych bistatycznych Lokalizacja oraz śledzenie we współrzędnych kartezjańskich Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Stosunek sygnału do szumu Prawdopodobieństwo fałszywego alarmu oraz prawdopodobieństwo detekcji Dokładność estymacji bistatycznych parametrów ruchu

6 Spis treści 4.4 Model dynamiczny ruchu obiektu oraz model pomiaru Filtr Kalmana Bramka asocjacyjna Algorytm śledzenia Sformułowanie zagadnienia optymalizacji przetwarzania sygnałów Przegląd metod śledzenia obiektów Metody estymacji stanu Metody asocjacji danych Metody inicjalizacji oraz kasowania trasy Optymalizacja przetwarzania sygnałów Analiza inicjalizacji trasy Średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej Częstość inicjalizacji trasy fałszywej Analiza dokładności śledzenia Analiza kasowania trasy Prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej Średni czas kasowania trasy fałszywej Optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy Optymalizacja czasu inicjalizacji trasy uśrednionego w przedziale zmian SNR in Równoległa struktura układu inicjalizacji tras Optymalizacja dokładności śledzenia Łączna optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy i dokładności śledzenia Ograniczenia i zakres stosowalności Wyniki eksperymentów symulacyjnych Korelacja Detekcja Estymacja Inicjalizacja trasy Śledzenie we współrzędnych bistatycznych Kasowanie trasy Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych Eksperymentalny system pasywny PaRaDe

7 Spis treści 7.2 Analiza sygnałów rzeczywistych Analiza inicjalizacji trasy Analiza dokładności śledzenia Podsumowanie i uwagi końcowe Dodatki Rozkład prawdopodobieństwa wartości kwadratu modułu funkcji nieoznaczoności wzajemnej Średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej w strukturze równoległej Bibliografia 157 7

8 Wykaz stosowanych skrótów CFAR CUT DAB DVB-T EKF FFT FM FMCW FPGA GPS HYCA IFF IMM LMS LSL MHT MIMO układ stabilizacji poziomu fałszywego alarmu (ang. Constant False Alarm Rate) testowana komórka (ang. Cell Under Test) standard radia cyfrowego (ang. Digital Audio Broadcasting) standard telewizji cyfrowej naziemnej (ang. Digital Video Broadcasting Terrestrial) rozszerzony filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter) szybka transformata Fouriera (ang. Fast Fourier Transform) transmisja radiowa z modulacją częstotliwości (ang. Frequency Modulation) radar ze zmodulowaną falą ciągłą (ang. Frequency Modulated Continuous-Wave) programowalny układ logiczny (ang. Field Programmable Gate Array) system nawigacji satelitarnej (ang. Global Positioning System) technika hybrydowego warunkowego uśredniania (ang. Hybrid Conditional Averaging) system identyfikacji swój-obcy (ang. Identification Friend or Foe) modele wzajemnie oddziałujące (ang. Interacting Multiple Models) algorytm najmniejszego kwadratu (ang. Least Mean Square) algorytm najmniejszych kwadratów w realizacji kratowej (ang. Least Squares Lattice) śledzenie wielohipotezowe (ang. Multiple Hypothesis Tracking) układ o wielu wejściach i wielu wyjściach (ang. Multiple-Input and Multiple-Output) 8

9 Wykaz stosowanych skrótów MMSE NNF OFDM PaRaDe PCR PBR PCL PDAF PNFR PNNF RCS RLS ROC SDR SNF SNR TOC kryterium minimum błędu średniokwadratowego (ang. Minimum Mean Square Error MMSE) algorytm najbliższego sąsiada (ang. Nearest Neighbor Filter) modulacja wykorzystująca wiele ortogonalnych podnośnych (ang. Orthogonal Frequency-Division Multiplexing) system pasywny opracowywany na Politechnice Warszawskiej (ang. Passive Radar Demonstrator) pasywny radar trudnowykrywalny (ang. Passive Covert Radar) pasywny radar bistatyczny (ang. Passive Bistatic Radar) radar z pasywną koherentną lokalizacją obiektów (ang. Passive Coherent Location) probabilistyczny algorytm asocjacyjny (ang. Probabilistic Data Association Filter) stosunek maksimum do poziomu listków bocznych (ang. Peak-to-Noise-Floor Ratio) probabilistyczny algorytm najbliższego sąsiada (ang. Probabilistic Nearest Neighbor Filter) powierzchnia skuteczna obiektu (ang. Radar Cross Section) rekursywny algorytm najmniejszych kwadratów (ang. Recursive Least Squares) charakterystyka operacyjna odbiornika (ang. Receiver Operating Characteristic) odbiornik radiowy oparty na oprogramowaniu (ang. Software Defined Radio) algorytm najsilniejszego sąsiada (ang. Strongest Neighbor Filter) stosunek sygnału do szumu (ang. Signal-to-Noise Ratio) charakterystyka operacyjna układu śledzenia (ang. Tracker Operating Characteristic) 9

10 Wykaz najważniejszych symboli R V A f c λ c B P fa P d SNR in SNR T T c N f T trm P tl σ RT x(k) z(k) Q R F H P(k + 1 k) P(k + 1 k + 1) K(k) S(k) σ R σ V σ A R V odległość bistatyczna prędkość bistatyczna przyspieszenie bistatyczne częstotliwość nośna długość fali prędkość światła szerokość pasma sygnału prawdopodobieństwo fałszywego alarmu prawdopodobieństwo detekcji stosunek sygnału do szumu przed korelacją stosunek sygnału do szumu po korelacji czas integracji średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej średnia częstość potwierdzania tras fałszywych średni czas kasowania trasy fałszywej prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości wektor stanu w filtrze Kalmana wektor pomiarowy w filtrze Kalmana macierz kowariancji procesu w filtrze Kalmana macierz kowariancji błędu pomiaru w filtrze Kalmana macierz przejścia w filtrze Kalmana macierz transformacji wektora stanu na wektor pomiarowy w filtrze Kalmana macierz kowariancji estymaty stanu a priori w filtrze Kalmana macierz kowariancji estymaty stanu a posteriori w filtrze Kalmana wzmocnienie filtru Kalmana macierz kowariancji wektora innowacji w filtrze Kalmana odchylenie standardowe błędu pomiaru bistatycznej odległości odchylenie standardowe błędu pomiaru bistatycznej prędkości odchylenie standardowe rozrzutu wartości bistatycznego przyspieszenia rozmiar komórki rozróżnialności odległości bistatycznej rozmiar komórki rozróżnialności prędkości bistatycznej 1

11 Wykaz najważniejszych symboli R sp V sp N R N V D M c N c M t N t S s S c S t π ij Π zakres odległości bistatycznych, dla których obliczana jest funkcja nieoznaczoności zakres prędkości bistatycznych, dla których obliczana jest funkcja nieoznaczoności liczba komórek rozróżnialności odległościowej liczba komórek rozróżnialności prędkościowej próg detekcji liczba wykryć w oknie obserwacji konieczna do inicjalizacji trasy długość okna obserwacji przy inicjalizacji trasy liczba wykryć w oknie obserwacji konieczna do skasowania trasy długość okna obserwacji przy kasowaniu trasy stan początkowy łańcucha Markowa stan potwierdzenia trasy w łańcuchu Markowa stan skasowania trasy w łańcuchu Markowa prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do stanu j w łańcuchu Markowa macierz prawdopodobieństw przejść w łańcuchu Markowa µ i (k) kumulacyjne prawdopodobieństwo osiągnięcia stanu i do chwili k-tej w łańcuchu Markowa m i (k) prawdopodobieństwo osiągnięcia stanu i w chwili k-tej w łańcuchu Markowa 11

12 Rozdział 1 Wstęp 1.1 Wprowadzenie Radar stał się obecnie niezastąpionym urządzeniem w wielu dziedzinach zarówno militarnych, jak i cywilnych. Dzisiejsze zastosowania radaru mają o wiele szerszy zakres, niż wskazywałoby na to pochodzenie nazwy: RAdio Detection And Ranging, oznaczającej urządzenie do wykrywania obiektów oraz określania ich odległości za pomocą fal radiowych. Współczesne radary są wykorzystywane również do pomiaru kierunku ruchu i prędkości obiektu, przeprowadzania identyfikacji oraz tworzenia obrazu powierzchni ziemi i obiektów [93], [89], [12]. Pomimo dynamicznego rozwoju radiolokacji przez ostatnie sto lat, nieustannie pojawiają się nowe wyzwania i nowe kierunki badań. Jednym z nich są radary pasywne. W języku angielskim radary te określa się mianem Passive Coherent Location (PCL) [3], [39], Passive Bistatic Radar (PBR) [16], Passive Covert Radar (PCR) [51] lub krótko passive radar [14]. W tej pracy będzie stosowana nazwa: radar pasywny lub radar PCL. W celu detekcji oraz śledzenia obiektów ruchomych radary pasywne wykorzystują obce źródła promieniowania. Znane są także inne zastosowania radarów pasywnych, np. obserwacji jonosfery [84], [62] lub obrazowania powierzchni ziemi [35], ale wychodzą one poza tematykę tej pracy i nie będą w niej rozpatrywane. Schemat ideowy radarowego systemu pasywnego przedstawia rys Sygnał pomiarowy, odebrany za pomocą anteny skierowanej w stronę obszaru zainteresowania, jest porównywany z sygnałem odniesienia pochodzącym z anteny referencyjnej skierowanej bezpośrednio na źródło sygnału. Antena pomiarowa, oprócz interesujących ech obiektów latających, odbiera również sygnał bezpośredni oraz odbicia pochodzące od obiektów sta- 12

13 Wstęp Obiekt ruchomy Obiekt stacjonarny Nadajnik Antena referencyjna Antena pomiarowa Rys Schemat typowej sytuacji radiolokacyjnej w przypadku radaru pasywnego cjonarnych (nazywane tutaj clutterem). Ze względu na duże różnice poziomów mocy między niepożądanymi a pożądanymi składnikami odebranego sygnału (na niekorzyść tych drugich), konieczne jest zapewnienie bardzo dużej dynamiki systemu, niejednokrotnie przekraczającej 1 decybeli. Detekcja oraz śledzenie obiektów są możliwe dzięki koherentnemu przetwarzaniu odebranych sygnałów. Najczęściej wykorzystywanymi nadajnikami są stacje radiowe, telewizyjne, stacje bazowe telefonii komórkowej oraz nadajniki satelitarne [3]. Ponieważ sygnał z tych nadajników jest transmitowany w sposób ciągły, mamy tu do czynienia z radarem z falą ciągłą. Idea radaru pasywnego sięga lat 3. XX wieku. Jednym z pierwszych eksperymentów w radiolokacji była udana próba wykrycia samolotu bombowego przy użyciu zewnętrznego sygnału radiowego przeprowadzona przez R.A. Watsona-Watta w 1935 roku [4]. Jednak na skutek trudności technicznych (związanych głównie z tłumieniem silnego sygnału bezpośredniego) pomysł ten został zapomniany na dziesięciolecia, a w tym czasie zwrócono się w kierunku rozwoju aktywnych radarów monostatycznych. Gwałtowny rozwój techniki cyfrowej obserwowany w ostatnich latach oraz nowe wymagania stawiane radarom spowodowały powtórne zainteresowanie tematyką radarów pasywnych. Radar pasywny charakteryzuje się szeregiem interesujących cech, które odróżniają go od klasycznego radaru aktywnego. Do zalet zaliczyć można: 13

14 Wstęp Niski koszt budowy oraz utrzymania. Ponieważ radar pasywny nie posiada nadajnika oraz towarzyszących mu złożonych części sterujących, jego konstrukcja jest dużo prostsza niż klasycznego radaru aktywnego. Ponadto częstotliwości wykorzystywane w radarach pasywnych są zazwyczaj dużo niższe w porównaniu z radarami aktywnymi (kilkadziesiąt lub kilkaset megaherców w radarach pasywnych przy kilku gigahercach w radarach aktywnych), co eliminuje konieczność stosowania skomplikowanych i drogich części mikrofalowych w układzie odbiorczym. Również koszt utrzymania radaru pasywnego jest mniejszy, gdyż nie posiada on ruchomych części w układzie antenowym oraz podatnych na uszkodzenie układów nadawczych; Niewykrywalność. Z uwagi na fakt, że radar pasywny nie posiada nadajnika, nie można go wykryć i zlokalizować na podstawie emitowanej energii. Z kolei nadajniki używane do celów radiolokacji pasywnej emitują sygnał w sposób ciągły i ich główne przeznaczenie jest inne niż wykrywanie obiektów. Dlatego też obserwator nie jest w stanie rozróżnić, które sygnały są wykorzystywane w celach detekcji obiektów, a które nie. Ta cecha jest szczególnie korzystna z punktu widzenia zastosowań militarnych; Brak konieczności alokacji odrębnego pasma częstotliwości. Radar pasywny korzysta z istniejących już nadajników, co eliminuje konieczność ubiegania się o zgodę na emisję w danym paśmie częstotliwości. W dobie dzisiejszego dużego zapotrzebowania na pasmo elektromagnetyczne cecha ta jest szczególnie istotna; Możliwość wykrywania obiektów typu stealth (obiektów trudno wykrywalnych przez radar) [29]. Obiekty typu stealth są projektowane w taki sposób, aby zminimalizować prawdopodobieństwo wykrycia przez radar poprzez zmniejszanie ich powierzchni skutecznej (ang. Radar Cross Section RCS). Efekt ten osiąga się, stosując specjalne materiały, którymi pokrywana jest powierzchnia obiektu, oraz specjalnie kształtując obiekt. Zwykle radary pasywne pracują na dużo niższych częstotliwościach niż ich odpowiedniki aktywne, co w znaczący sposób zmniejsza efektywność zastosowanych materiałów w absorbowaniu padającego promieniowania elektromagnetycznego. Z kolei specyficzne kształty obiektu stealth mają na celu odbicie padającego promieniowania w stronę inną niż tę, z której zostało wyemitowane. Taki zabieg jest skuteczny w przypadku radarów monostatycznych, gdzie nadajnik i odbiornik znajdują się w tym samym miejscu. Radar pasywny charakteryzuje się geometrią bistatyczną (lub multistatyczną), a więc odbicie ener- 14

15 Wstęp gii w kierunku innymi niż kierunek nadajnika nie musi oznaczać zmniejszenia prawdopodobieństwa wykrycia; Duża częstotliwość odświeżania informacji. W aktywnym monostatycznym radarze, działającym w trybie track-while-scan, częstotliwość odświeżania informacji o obiekcie jest zależna od szybkości obracania się anteny. Czas ten wynosi zazwyczaj od kilku do kilkudziesięciu sekund. W radarze pasywnym częstotliwość odświeżania danych jest zależna od ustalonej przez projektanta systemu długości bloku przetwarzanych danych. Typowo przetwarza się bloki danych o długości od dziesiątych części sekundy do kilku sekund. Zatem szybkość odświeżania danych jest dużo większa niż w klasycznym radarze, co ma korzystny wpływ na jakość śledzenia obiektów; Brak niejednoznaczności pomiaru odległości i prędkości. W sytuacji idealnej, gdy nadawany sygnał ma charakter podobny do szumowego i nie zawiera żadnych składników okresowych, pomiar odległości oraz prędkości obiektu dokonywany metodą korelacyjną jest jednoznaczny. Oznacza to, że nie występują tutaj zjawiska typowe dla radarów impulsowych, gdzie konieczne jest wybranie rozwiązania kompromisowego między dużym zakresem jednoznaczności pomiaru odległości (mała częstotliwość powtarzania impulsów) a dużym zakresem jednoznaczności pomiaru prędkości (duża częstotliwość powtarzania impulsów). W praktyce wykorzystywane sygnały, zwłaszcza cyfrowe, mogą zawierać pewne składniki okresowe, co może stać się źródłem niejednoznaczności pomiaru, jednak znane są metody przeciwdziałania takim efektom. Radar pasywny posiada także szereg wad: Zależność od zewnętrznych nadajników. Użytkownik radaru pasywnego nie ma wpływu na postać nadawanego sygnału ani na rozmieszczenie, moc i inne parametry nadajników. Sygnały wykorzystywane w systemach telekomunikacyjnych są projektowane z myślą o przekazywaniu informacji, a nie o detekcji obiektów. Dlatego też sygnały te mogą być nieoptymalne z punku widzenia radiolokacji. Ponadto ustalone rozmieszczenie nadajników może w istotny sposób ograniczyć pozycję odbiornika, korzystną ze względu na ukształtowanie terenu lub propagację fal elektromagnetycznych; Niski stopień zaawansowania technologii. Proces projektowania oraz wytwarzania aktywnych radarów monostatycznych był doskonalony przez całe dekady. Obecnie można uznać, iż jest to technologia dobrze znana i opracowana. Sytuacja wy- 15

16 Wstęp gląda inaczej w przypadku radarów pasywnych. Wiele problemów związanych np. z detekcją lub śledzeniem obiektów jest wciąż nie do końca rozwiązanych. Może to stanowić poważną wadę z punktu widzenia użytkownika końcowego, który oczekuje niezawodnego i sprawdzonego produktu; Skomplikowane przetwarzanie sygnałów. Na proces przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym składa się wiele etapów, które nie mają swojego odpowiednika w klasycznym przetwarzaniu sygnału radiolokacyjnego. Przykładem może tu być filtracja adaptacyjna czy lokalizacja obiektów na podstawie pomiarów z wielu par nadajnik-odbiornik. Te dodatkowe operacje prowadzą do dosyć dużej komplikacji procesu przetwarzania sygnału, co wiąże się też ze wzrostem zapotrzebowania na moc obliczeniową. W świetle przedstawionych właściwości radaru pasywnego powstaje pytanie o możliwości użycia tego typu radaru w praktyce. Z punktu widzenia zastosowań militarnych bardzo ważnymi cechami są niewykrywalność oraz możliwość detekcji obiektów typu stealth. Wątpliwości może budzić skuteczność działania systemu pasywnego podczas konfliktu zbrojnego, zwłaszcza na terenie wroga. W czasie wojny nadajniki wykorzystywane przez system pasywny są nie tylko poza bezpośrednią kontrolą operatora radaru, ale mogą też znaleźć się w rękach wroga i zostać całkowicie wyłączone. Eksperci są zdania, że mimo tych wad radar pasywny jest atrakcyjnym rozwiązaniem dla wojska, gdyż możliwe jest np. wykorzystanie nadajników znajdujących się na terenie sąsiednich krajów, nie objętych działaniami zbrojnymi [5]. Z punktu widzenia zastosowań cywilnych i przez służby państwowe (policja, straż graniczna) niski koszt systemu pasywnego wydaje się być najbardziej istotną cechą. Według autora systemy pasywne stanowią doskonałe uzupełnienie systemów aktywnych, szczególnie w zastosowaniach militarnych. Ponadto niski koszt radaru pasywnego może pozwolić na jego zakup przez jednostki lub instytucje, w których radar nie jest niezbędny, ale pożądany. Do takich instytucji można zaliczyć duże fabryki, ośrodki rządowe, elektrownie (zwłaszcza atomowe) itp., gdzie radar stanowiłby istotną część systemu ochrony. 1.2 Motywacje Motywacje autora do podjęcia badań nad zagadnieniami opisanymi w pracy wynikają z dwóch głównych przesłanek. Pierwszą z nich była chęć udoskonalenia rzeczywistego radaru pasywnego PaRaDe (ang. Passive Radar Demonstrator) [81], [77], [79]. 16

17 Wstęp Radar ten, opracowany w Instytucie Systemów Elektronicznych Politechniki Warszawskiej przy istotnym wkładzie autora, jest pierwszym w Polsce systemem pasywnym. Wstępne testy i pomiary wykonane za pomocą radaru wykazały, iż dobór parametrów przetwarzania, takich jak długość przetwarzanego bloku danych czy próg detekcji, mają istotny wpływ na osiągi systemu. Zawiłość zależności między poszczególnymi etapami przetwarzania a ich parametrami stanowiła motywację do podjęcia prac mających na celu usystematyzowanie oraz sformalizowanie metod analizy systemów pasywnych. Na podstawie opracowanych metod analizy możliwe jest stworzenie narzędzi pozwalających na optymalizację osiągów systemu w określonym sensie. Z kolei optymalizacja przetwarzania sygnałów w znaczący sposób przyczynia się do zwiększenia funkcjonalności oraz wartości użytkowej radaru. Drugą przesłanką jest znikoma liczba publikacji w literaturze fachowej dotyczących łącznej analizy pracy radaru jako systemu złożonego z wielu bloków przetwarzania. W opinii autora jest to bardzo istotny temat, a uzyskane w wyniku takiej analizy rezultaty pozwalają na znaczącą poprawę osiągów systemu. Proces przetwarzania sygnałów w radarze składa się z wielu etapów, takich jak detekcja, estymacja czy śledzenie, a każdy z nich jest zwykle analizowany osobno. Podejście takie prowadzi do wyników, które mogą być dalekie od optymalnych z punktu widzenia całego systemu. Łączna analiza pozwala na zbadanie wpływu parametrów poszczególnych części systemu na wybrane osiągi końcowe, np. dokładność określenia pozycji. 1.3 Cel i teza pracy Celem niniejszej rozprawy jest opracowanie metod optymalizacji wybranych osiągów radaru pasywnego poprzez odpowiedni dobór parametrów przetwarzania sygnałów. Do optymalizowanych parametrów systemu należą średni czas inicjalizacji (potwierdzenia) trasy bistatycznej oraz dokładność śledzenia bistatycznej odległości. Ponadto nakładane są ograniczenia na maksymalną częstość potwierdzania tras fałszywych, maksymalne prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej oraz średni czas kasowania trasy fałszywej. Parametry przetwarzania sygnałów dobierane w procesie optymalizacji to czas integracji sygnału, prawdopodobieństwo fałszywego alarmu oraz parametry algorytmu inicjalizacji i kasowania trasy. Główne tezy pracy można sformułować następująco: 17

18 Wstęp Możliwe jest dobranie takich parametrów układu inicjalizacji trasy w radarze pasywnym, aby zminimalizować średni czas potrzebny na potwierdzenie trasy prawdziwej przy założonej częstości inicjalizacji tras fałszywych. Możliwe jest dobranie takich parametrów przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym, aby zminimalizować błąd śledzenia bistatycznej odległości przy zachowaniu określonego prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej po ustalonym czasie oraz średniego czasu życia trasy fałszywej. W pracy przedstawiono zarówno oddzielną optymalizację średniego czasu potwierdzenia trasy i dokładności śledzenia, jak również optymalizację łączną, obejmującą obydwie wielkości i wszystkie ograniczenia. 1.4 Wkład własny Do głównych dokonań własnych autora zaliczyć można: Przeprowadzenie kompleksowej analizy przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym; Rozszerzenie znanej z literatury [14], [9] analizy łańcuchów Markowa do wyznaczenia parametrów kasowania trasy, tj. prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średniego czasu kasowania trasy fałszywej; Zaproponowanie doboru parametrów przetwarzania sygnałów w celu optymalizacji wybranych wskaźników w radarze pasywnym; Zaproponowanie równoległej struktury układu inicjalizacji trasy; Wykorzystanie znanych z literatury wzorów określających uśrednione zachowanie się algorytmu najbliższego sąsiada (ang. Nearest Neighbor Filter NNF) [6] w celu optymalizacji dokładności śledzenia; Współudział w konstrukcji demonstratora radaru pasywnego PaRaDe, wykorzystanego do rejestracji sygnałów rzeczywistych; Weryfikację wybranych wyników za pomocą rzeczywistych sygnałów pochodzących z radaru pasywnego. 18

19 Wstęp 1.5 Układ pracy Praca jest podzielona na osiem rozdziałów. W rozdziale drugim podano podstawowe informacje na temat radaru pasywnego, a w szczególności omówiono cechy odróżniające go od klasycznego monostatycznego radaru aktywnego. Opisano tutaj między innymi źródła sygnału wykorzystywane w radiolokacji pasywnej, geometrię bistatyczną oraz równanie zasięgu w formie bistatycznej. Rozdział trzeci zawiera opis poszczególnych etapów przetwarzania sygnału w radarze pasywnym, na które składa się: odbiór sygnału, formowanie wiązki, wstępne przetwarzania sygnału, filtracja adaptacyjna, korelacja, detekcja i estymacja parametrów, śledzenie we współrzędnych bistatycznych oraz lokalizacja obiektów. W rozdziale czwartym przedstawiono analizę wiążącą parametry systemu na różnych etapach przetwarzania: korelacji, detekcji, estymacji i śledzenia. Ponadto zamieszczono krótki przegląd algorytmów stosowanych w celu śledzenia obiektów przez radar ze wskazaniem na metody stosowane w pracy. W rozdziale piątym wyprowadzono zależności opisujące średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej, częstość inicjalizacji trasy fałszywej, dokładność śledzenia, prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy fałszywej. Wyznaczone zależności są następnie użyte w celu sformułowania oraz rozwiązania dwóch problemów optymalizacji: minimalizacji średniego czasu inicjalizacji trasy oraz minimalizacji miary dokładności śledzenia. W ostatniej części rozdziału przedstawiono rozwiązanie problemu łącznej optymalizacji czasu inicjalizacji trasy oraz dokładności śledzenia. W rozdziale szóstym przedstawiono wyniki symulacji komputerowych. Celem eksperymentów było potwierdzenie słuszności istotnych założeń przyjętych w pracy, jak również weryfikacja wyników analizy teoretycznej. W rozdziale siódmym zaprezentowano wyniki przetwarzania sygnałów rzeczywistych zarejestrowanych za pomocą radaru PaRaDe. Dane pochodzące z radaru posłużyły do potwierdzenia wybranych wyników otrzymanych w pracy. W rozdziale ósmym przedstawiono uwagi końcowe oraz wnioski. 19

20 Rozdział 2 Zasada pracy radaru pasywnego W rozdziale omówiono zasadę działania radaru pasywnego, z uwzględnieniem aspektów odróżniających go od klasycznego monostatycznego radaru aktywnego. W szczególności omówiono zewnętrzne źródła promieniowania wykorzystywane przez radary pasywne oraz geometrię bistatyczną związaną z fizycznym odseparowaniem nadajnika i odbiornika. 2.1 Źródła sygnału dla radaru pasywnego Radar pasywny może wykorzystywać rozmaite źródła promieniowania. Na przydatność danego źródła energii z punku widzenia radiolokacji pasywnej wpływają przede wszystkim moc nadajnika, szerokość pasma sygnału, częstotliwość pracy oraz rodzaj nadawanego sygnału. Moc nadajnika decyduje o zasięgu systemu, który wynika z bistatycznego równania zasięgu (por. p. 2.3). Szerokość pasma sygnału wpływa na rozdzielczość odległościową systemu. Z kolei częstotliwość pracy określa tłumienie sygnału. Istotną kwestią jest również postać sygnału pochodzącego z zewnętrznego źródła promieniowania, w tym rodzaj zastosowanej modulacji. Z punktu widzenia odbioru korelacyjnego, jaki jest typowo stosowany w radarach pasywnych, najbardziej korzystny jest sygnał o charakterze szumowym. Sygnał taki zapewnia wąskie maksimum modułu funkcji korelacji oraz niski poziom jego listków bocznych. Do oceny właściwości sygnału wykorzystywanego przez radar pasywny stosuję się zwykle funkcję nieoznaczoności (por. p. 2.5). Jako jedne z pierwszych źródeł promieniowania w radiolokacji pasywnej wykorzystywane były nadajniki telewizji analogowej [33], [38]. Sygnał telewizyjny charakteryzuje się stosunkowo szerokim pasmem (ok. 8 MHz), a nadawana moc (rzędu kilkudzie- 2

21 Zasada pracy radaru pasywnego sięciu lub kilkuset kilowatów) zapewnia dobre pokrycie terenu. Jednakże duża część mocy sygnału jest zgromadzona w wąskim otoczeniu częstotliwości nośnej, przez co efektywna rozdzielczość odległościowa jest niska. Ponadto specyficzna struktura sygnału, wykazująca cechy okresowości związanej z kolejnymi liniami oraz klatkami obrazu, powoduje powstawanie powtarzających się maksimów w funkcji korelacji, co w istotny sposób utrudnia jednoznaczną detekcję obiektów. Wprawdzie były prowadzone prace nad systemami pasywnymi wykorzystującymi sygnał telewizyjny tylko w celu estymacji kierunku nadejścia sygnału oraz częstotliwości dopplerowskiej [38], jednak ten typ transmisji nie jest współcześnie chętnie wykorzystywany w radiolokacji. Obecnie dosyć dużą popularnością cieszą się nadajniki analogowego radia FM (ang. Frequency Modulation) działające w paśmie MHz. Dzięki ich dużej liczbie oraz stosunkowo dużej mocy (typowo kilkadziesiąt kilowatów) zapewniają one dobre pokrycie terenu. Sygnał radia FM posiada funkcję nieoznaczoności o wąskim listku głównym oraz niskim poziomie listków bocznych, co ułatwia proces detekcji. Do wad sygnału radia analogowego FM zaliczyć można małą szerokość pasma wynoszącą od kilkudziesięciu do kilkuset kiloherców, co odpowiada rozdzielczości kilku kilometrów. Ponadto szerokość pasma zależy od treści aktualnie nadawanego programu; dla sygnału mowy jest mała, dla szybkiej muzyki duża [6]. Pomimo wymienionych wad, nadajniki radia FM pozwalają na budowę systemu pasywnego charakteryzującego się dobrymi osiągami, o czym świadczą liczne przykłady konstrukcji na całym świecie [39], [86], [51], [91], [53], [77]. Zgodnie z ogólnie postępującym trendem technika nadawania i odbioru analogowego jest stopniowo wypierana przez metody cyfrowe. Radio analogowe FM jest zastępowane systemem DAB (ang. Digital Audio Broadcasting), a telewizja analogowa przez system DVB-T (ang. Digital Video Broadcasting Terrestrial). W rezultacie powstają również radary pasywne wykorzystujące sygnały transmitowane w tych systemach [28], [16], [5], [91]. W obydwu systemach stosowana jest modulacja OFDM (ang. Orthogonal Frequency Division Multiplexing). Zmodulowane sygnały wykazują cechy sygnału szumowego (pasmowego), chociaż stosowane częstotliwości pilotowe oraz prefiksy powodują powstawanie niepożądanych w radiolokacji okresowości funkcji korelacji. Wymusza to konieczność wstępnego przetwarzania sygnałów OFDM, mającego na celu usunięcie z nich wybranych składowych [97]. Oprócz wymienionych już typów transmisji wykorzystuje się także telefonię komórkową [14], [63], [78] oraz nadajniki satelitarne [43], [35], [15], [31]. Porównanie różnych typów nadajników pod kątem wykorzystania przez radar pasywny, uwzględ- 21

22 Zasada pracy radaru pasywnego niające nadawaną moc, szerokość pasma sygnału, częstotliwość nośną oraz stosowany typ modulacji, można znaleźć w [3] i [29]. Obecnie na świecie prowadzi się intensywne prace nad wykorzystaniem sygnałów z modulacją cyfrową do celów radiolokacji pasywnej. W Polsce, ze względu na wolno postępujące wdrażanie systemów cyfrowych, głównym źródłem sygnału dla radaru pasywnego pozostają nadal nadajniki analogowe FM. W chwili pisania pracy funkcjonowały jedynie testowe nadajniki DVB-T o małej mocy zlokalizowane w dużych miastach. Transmisja cyfrowego radia DAB jeszcze nie została wdrożona. Z tego względu w pracy rozważania będą prowadzone dla parametrów typowych dla sygnału radia analogowego FM (ponieważ jest ono powszechne obecnie) oraz telewizji cyfrowej DVB-T (ponieważ będzie ona powszechna w niedalekiej przyszłości). Z uwagi na ograniczoną dostępność źródeł sygnału DVB-T opracowane algorytmy zostały przetestowane na danych rzeczywistych pochodzących z nadajników radia FM. W tablicy 2.1 zestawiono typowe wartości parametrów dla wymienionych typów transmisji. Parametr Radio FM Telewizja DVB-T Rodzaj modulacji FM OFDM Szerokość pasma (B) 5 khz 8 MHz Częstotliwość nośna (f c ) 1 MHz 6 MHz Długość fali (λ) 3 m.5 m Moc nadajnika (P t ) 1 1 kw 1 5 kw Tablica 2.1. Typowe wartości parametrów sygnału radia FM oraz telewizji DVB-T 2.2 Geometria bistatyczna W klasycznym radarze aktywnym nadajnik i odbiornik znajdują się w tym samym miejscu. Mamy więc do czynienia z geometrią monostatyczną. W radarze pasywnym odbiornik jest zwykle zlokalizowany w innym miejscu niż nadajnik, zatem występuje tu geometria bistatyczna. W celu przeanalizowania geometrii bistatycznej wykorzystany zostanie rys Nadajnik (Tx) znajduje się na współrzędnych (x t, y t, z t ), odbiornik (Rx) na współrzędnych (x r, y r, z r ), natomiast obiekt (Tr) na współrzędnych [x(t), y(t), z(t)], a jego wektor prędkości wynosi [V x (t), V y (t), V z (t)]. Zakłada się, że pozycja nadajnika i odbiornika jest stała. Pozycja obiektu zmienia się z czasem. Odległości od nadajnika do obiektu oraz od obiektu do odbiornika wyrażone są następującymi wzorami: r 1 (t) = [x(t) x t ] 2 + [y(t) y t ] 2 + [z(t) z t ] 2, (2.1) 22

23 Zasada pracy radaru pasywnego [ ] x( t), y( t), z( t) Tr r t 1( ) [ V ( t), V ( t), V ( t) ] r t 2( ) x y z Tx ( xt, yt, zt) R b Rx ( xr, yr, zr) r 2 (t) = Rys Geometria bistatyczna [x(t) x r ] 2 + [y(t) y r ] 2 + [z(t) z r ] 2. (2.2) Odległość mierzona przez radar bistatyczny jest sumą odległości r 1 (t) i r 2 (t) pomniejszoną o odległość bazową R b : r(t) = r 1 (t) + r 2 (t) R b, (2.3) gdzie: R b = (x t x r ) 2 + (y t y r ) 2 + (z t z r ) 2. (2.4) W pracy tej dystans r(t) będzie nazywany chwilową odległością bistatyczną. Chwilową prędkość bistatyczną definiuje się jako pierwszą pochodną odległości bistatycznej po czasie: v(t) = dr(t) dt = [x(t) x t] V x (t) + [y(t) y t ] V y (t) + [z(t) z t ] V z (t) [x(t) x t ] 2 + [y(t) y t ] 2 + [z(t) z t ] [x(t) x r] V x (t) + [y(t) y r ] V y (t) + [z(t) z r ] V z (t) [x(t) x r ] 2 + [y(t) y r ] 2 + [z(t) z r ] 2, (2.5) gdzie V x (t) = dx(t)/dt, V y (t) = dy(t)/dt i V z (t) = dz(t)/dt. W podobny sposób można zdefiniować przyspieszenie, zmianę przyspieszenia, itd., licząc pochodne odpowiedniego rzędu chwilowej odległości bistatycznej. Warto tutaj zwrócić uwagę na fakt, że we wzorach (2.3) i (2.5) (oraz powiązanych wzorach w dalszej części pracy) nie występuje charakterystyczny dla radiolokacji monostatycznej 23

24 Zasada pracy radaru pasywnego współczynnik 2 wynikający z drogi pokonywanej przez sygnał od radaru do obiektu i z powrotem. W radarze monostatycznym stała odległość definiuje okrąg (w przypadku dwuwymiarowym) lub sferę (w przypadku trójwymiarowym) o środku w miejscu położenia radaru. W radarze bistatycznym miejsce geometryczne wyznaczane przez stałą odległość definiuje elipsę (w przypadku dwuwymiarowym) lub elipsoidę (w przypadku trójwymiarowym) o ogniskach w miejscu położenia nadajnika i odbiornika. Na rysunku 2.2 przedstawiono przykładowe elipsy bistatyczne odpowiadające stałym odległościom bistatycznym (linie ciągłe). Na tym samym rysunku pokazano również miejsca geometryczne punktów odpowiadające kierunkom ruchu obiektu wywołującym maksymalną prędkość bistatyczną (linie przerywane). Miejsca te tworzą hiperbole przecinające elipsy bistatyczne pod kątem prostym. 4 3 Nadajnik Odbiornik 2 1 y [km] x [km] Rys Przykładowe elipsy bistatyczne (linie ciągłe) oraz hiperbole maksymalnej prędkości bistatycznej (linie przerywane) Chwilowa odległość bistatyczna r(t) jest skomplikowaną, nieliniową funkcją położenia obiektu, nadajnika oraz odbiornika. Do celów dalszej analizy, a w szczególności na potrzeby zdefiniowania układu śledzenia we współrzędnych bistatycznych, odległość r(t) zostanie przedstawiona w postaci wielomianu: r(t) = k= 24 r k k! tk, (2.6)

25 Zasada pracy radaru pasywnego gdzie r k to współczynniki określone następującą zależnością: r k = dk r(t) dt k t=. (2.7) W ogólnym przypadku jest to wielomian nieskończonego stopnia. Jednak na poszczególnych etapach przetwarzania przyjmuje się pewne upraszczające założenia co do postaci odległości bistatycznej, co zostanie wyraźnie zaznaczone w dalszej części pracy. Przyjęte zostaną następujące oznaczenia: r = R (bistatyczna odległość), r 1 = V (bistatyczna prędkość) oraz r 2 = A (bistatyczne przyspieszenie). Zakładając, że równanie (2.3) można przybliżyć wielomianem pierwszego stopnia, otrzymuje się: r(t) R + V t, (2.8) natomiast wykorzystując wielomian drugiego stopnia, chwilową odległość bistatyczną można wyrazić jako: r(t) R + V t + At2 2. (2.9) 2.3 Równanie zasięgu Podobnie jak w radarze monostatycznym, tak w radarze bistatycznym jedną z podstawowych zależności jest równanie zasięgu. Moc sygnału odbitego od obiektu można określić za pomocą zależności [99], [3]: P r = P tg t σ b G r λ 2 (4π) 3 r1 2 L, (2.1) r2 2 gdzie P t jest mocą nadajnika, G t jest zyskiem kierunkowym anteny nadawczej, σ b jest bistatyczną powierzchnią skuteczną obiektu, G r jest zyskiem kierunkowym anteny odbiorczej, λ jest długością fali, L jest współczynnikiem tłumienia, r 1 jest odległością od nadajnika do obiektu oraz r 2 jest odległością od obiektu do odbiornika (w tym przypadku pominięto zależności odległości od czasu). Stosunek mocy sygnału do mocy szumu odbiornika można wyrazić jako: SNR in = P r = P tg t σ b G r λ 2 1 P n (4π) 3 r1 2 L, (2.11) r2 2 k B T B r 25

26 Zasada pracy radaru pasywnego gdzie P n jest mocą szumu, k B jest stałą Boltzmanna, T jest temperaturą szumową, zaś B r jest szerokością pasma odbiornika. Przykładowe wykresy stosunku sygnału do szumu wyznaczone za pomocą równania (2.11) dla parametrów typowych dla nadajnika FM i DVB-T przedstawiono na rys Miejsca geometryczne stałego stosunku sygnału do szumu tworzą tzw. owale Cassiniego [99]. Otrzymane wartości SNR in są znacznie poniżej db i detekcja sygnału w tej postaci nie jest możliwa. W praktyce stosuje się koherentną integrację sygnału (realizowaną za pomocą korelacji), przez co stosunek sygnału do szumu zwiększa się o iloczyn BT, gdzie B jest szerokością pasma sygnału a T czasem integracji. Zwykle iloczyn BT osiąga wartość kilkudziesięciu decybeli, dzięki czemu stosunek sygnału do szumu po przetwarzaniu osiąga wartości umożliwiające detekcję. 2.4 Model sygnału odebranego Przyjęto, że nadawany sygnał x t (t) ma ograniczone pasmo oraz że szerokość B tego pasma jest dużo mniejsza od częstotliwości nośnej. Upoważnia to do opisu sygnału modelem wąskopasmowym, co w znaczący sposób ułatwia analizę teoretyczną. Założenie takie jest słuszne dla większości typów sygnałów wykorzystywanych w radarach pasywnych. Przy założeniu pojedynczego obiektu odebrany przez radar i zdemodulowany sygnał x recv (t) można modelować jako: [ x recv (t) = C x t t r(t) + R ] { b exp j 2π } c λ [r(t) + R b] + w(t), (2.12) gdzie x t (t) jest sygnałem nadawanym (w reprezentacji zespolonej po sprowadzeniu do pasma podstawowego), C jest zespoloną amplitudą, której moduł jest proporcjonalny do mocy sygnału C P r, c jest prędkością światła, a w(t) jest białym szumem gaussowskim. Zazwyczaj na tym etapie przyjmuje się, że zależność drogi r(t) od czasu może być przybliżona za pomocą wielomianu pierwszego stopnia, tzn. jest uwzględniona tylko odległość i prędkość bistatyczna. Ze wzoru (2.12) widać, że zmienna w czasie droga wpływa zarówno na zmianę fazy sygnału nadanego, jak i na zmianę skali czasu tego sygnału. O ile faza sygnału jest bardzo istotna, ponieważ umożliwia wyznaczenie prędkości obiektu, zmiana skali czasu przy stosowanych typowo czasach integracji jest praktycznie niezauważalna [72]. Dlatego też wpływ odległości na obwiednię sygnału nadawanego x t (t) będzie uproszczony poprzez uwzględnienie tylko stałego składnika 26

27 Zasada pracy radaru pasywnego (a) y [km] SNR in [db] (oznaczenia na poziomicach) Nadajnik Odbiornik (b) y [km] x [km] SNR in [db] (oznaczenia na poziomicach) Nadajnik Odbiornik x [km] Rys Przykładowy wykres stosunku sygnału do szumu; wartości na poziomicach w db (P t = 1 kw, G t = 1, σ b = 1 m 2, G r = 1, L = 2 db, T = 29 K); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B r = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B r = 8 MHz, f c = 6 MHz) we wzorze (2.6). Z kolei zmiana fazy sygnału wynikająca ze stałego składnika odległości jest mało istotna. Z tego powodu stały składnik fazy będzie włączony do zespolonej amplitudy. Stosując powyższe uproszczenia, można na nowo zapisać sygnał odebrany w postaci: ( x recv (t) = A x t t R + R ) b exp (j2π Vλ ) c t + w(t), (2.13) 27

28 Zasada pracy radaru pasywnego gdzie A = C exp [ j 2π λ (R + R b) ]. 2.5 Funkcja nieoznaczoności Funkcja nieoznaczoności (lub niejednoznaczności) jest klasycznym narzędziem stosowanym przy ocenie sygnałów pod względem przydatności w technice radarowej [1], [93], [89]. Definicja funkcji nieoznaczoności używana w radiolokacji odbiega nieco od tej stosowanej w teorii przetwarzania sygnałów i ma następującą postać: χ(τ, f) = x(t)x (t τ) exp (j2πft) dt, (2.14) gdzie x(t) jest analizowanym sygnałem. Różnica pomiędzy wzorem (2.14) a klasyczną formułą funkcji nieoznaczoności polega na odmiennej definicji opóźnienia sygnału. Użyta tutaj postać jest jednak dużo bardziej naturalna w radiolokacji, gdzie opóźnieniu ulega jedna z kopii sygnału, odpowiadająca sygnałowi odebranemu. Funkcja (2.14) ma postać zbliżoną do funkcji korelacji z dodatkowo wprowadzonym przesunięciem częstotliwości. Analiza dwuwymiarowej funkcji nieoznaczoności pozwala na określenie osiągalnej rozdzielczości, poziomu listków bocznych oraz okresowości występujących w sygnale. Po przeskalowaniu opóźnienia na odległość bistatyczną R, a częstotliwości na prędkość bistatyczną V otrzymuje się: χ(r, V ) = ( x(t)x t R ) exp (j2π Vλ ) c t dt. (2.15) Na rysunku 2.4 przedstawiono moduł przykładowej funkcji nieoznaczoności policzonej dla rzeczywistego sygnału radia FM oraz telewizji DVB-T. Obliczenia wykonano zgodnie z dyskretną wersją wzoru (2.15) dla skończonego czasu integracji T. Ze względu na sposób modulacji sygnał radia FM charakteryzuje się dużą zmiennością w zależności od nadawanej treści. Efekt ten przeanalizowano w [32] i [6]. W zaprezentowanym przykładzie badany fragment sygnału zawierał stosunkowo szybką muzykę popularną, dlatego też moduł funkcji nieoznaczoności ma wąskie maksimum dla R = km i V = m/s oraz niski poziom listków bocznych (ok. 45 db względem maksimum). W przypadku sygnału telewizji DVB-T widoczny jest wysoki prążek dla R = km i V = m/s oraz niski poziom podłogi szumowej (ok. 6 db względem maksimum). Ponadto, ze względu na prostokątny kształt widma sygnału z modula- 28

29 Zasada pracy radaru pasywnego cją OFDM, dla V = m/s występują listki boczne o wysokim poziomie (można je wyeliminować, stosując odpowiednią filtrację sygnału). (a) 6 χ(r, V) [db] R [km] 8 1 V [m/s] 1 (b) 6 χ(r, V) [db] R [km] 2 1 V [m/s] 1 2 Rys Moduł przykładowej funkcji nieoznaczoności dla sygnałów rzeczywistych; (a) radia FM (T = 1 s, B 5 khz, f c = 91 MHz), (b) telewizji DVB-T (T =.1 s, B 7.6 MHz, f c = 746 MHz) W artykule [16] opisano funkcję nieoznaczoności w przypadku radaru bistatycznego. Wykazano w nim między innymi, że bezpośrednie wykorzystanie funkcji nieoznaczoności w celu określania rozdzielczości we współrzędnych kartezjańskich przy geometrii bistatycznej jest podejściem niewłaściwym i może prowadzić do błędnych wniosków. W niniejszej pracy nie będzie jednak poruszany temat konwersji współrzędnych bistatycznych na kartezjańskie. Analizowane będą jedynie takie parametry, jak bistatyczna odległość (proporcjonalna do opóźnienia sygnału) oraz bistatyczna prędkość 29

30 Zasada pracy radaru pasywnego (proporcjonalna do częstotliwości Dopplera). Parametry te nie są zależne od geometrii, a więc analiza abstrahująca od wzajemnego rozmieszczenia nadajnika, obiektu oraz odbiornika jest w pełni uzasadniona. 3

31 Rozdział 3 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym Kolejne etapy przetwarzania sygnału w radarze aktywnym są powszechnie znane, a ich opis można znaleźć w licznych książkach [89], [99], [23]. Inaczej wygląda sytuacja w przypadku radarów pasywnych. Pomimo wielu cech wspólnych przetwarzanie sygnału w radarach pasywnych różni się od klasycznego schematu przetwarzania w przypadku radarów aktywnych. Co więcej, ze względu na niski stopień zaawansowania technologii radaru pasywnego brak jest jednego ustalonego schematu przetwarzania. Niniejszy rozdział spełnia dwojaką funkcję. Po pierwsze, przedstawia wszystkie etapy procesu przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym, gdyż nie są one powszechnie znane. Po drugie zaś, jest próbą usystematyzowania metod przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym na podstawie wiedzy i doświadczenia autora oraz doniesień literaturowych. Proces przetwarzania sygnału w radarze pasywnym można podzielić na następujące etapy: Odbiór sygnału; Formowanie wiązki; Wstępne przetwarzanie sygnału; Filtracja adaptacyjna; Korelacja; Detekcja i estymacja parametrów; 31

32 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym Śledzenie we współrzędnych bistatycznych; Lokalizacja oraz śledzenie we współrzędnych kartezjańskich. Poniżej zamieszczono opis poszczególnych operacji. 3.1 Odbiór sygnału Radar pasywny jest współcześnie konstruowany w dużej mierze w oparciu o koncepcję Software Defined Radio (SDR), tzn. część analogowa systemu jest ograniczona do minimum na rzecz przetwarzania cyfrowego realizowanego przez oprogramowanie. Oznacza to, że próbkowanie sygnału jest dokonywane we wczesnej fazie przetwarzania sygnału. Podejście takie, w przeciwieństwie do klasycznego odbioru sygnału opartego na technice analogowej, zapewnia nieodzowne zalety, takie jak dokładność oraz powtarzalność wykonywanych operacji. Ponadto technika SDR jest w dużej mierze realizowana za pomocą programowalnych układów FPGA (ang. Field Programmable Gate Array) oraz procesorów sygnałowych, co daje możliwość rekonfiguracji systemu poprzez zmianę oprogramowania, bez konieczności ingerencji w część sprzętową. Takie rozwiązanie wymusza jednak konieczność przetwarzania dużych strumieni danych w czasie rzeczywistym, co pociąga za sobą znaczące zapotrzebowanie na moc obliczeniową oraz pamięć układów cyfrowych. Zwykle sygnał z anteny jest wzmacniany i filtrowany, a następnie poddaje się go przemianie częstotliwości, po czym sygnał częstotliwości pośredniej jest próbkowany [39], [14]. Kolejne operacje, takie jak detekcja kwadraturowa, filtracja czy demodulacja wykonuje się w sposób cyfrowy. Istnieją także zrealizowane praktycznie systemy, gdzie nie występuje przemiana częstotliwości, a próbkowanie sygnału odbywa się bezpośrednio na częstotliwości radiowej (po uprzedniej filtracji pasmowej sygnału) [5], [83], [77]. Na rysunku 3.1 przedstawiono przykładowe struktury odbiornika pracującego w konfiguracji z przemianą częstotliwości oraz bez niej. Pierwszy układ [ 3.1 (a) ] jest zbudowany z anteny (A Antenna), wzmacniacza niskoszumnego (LNA Low-Noise Amplifier), filtru pasmowo-przepustowego częstotliwości radiowej (RF BPF Radio-Frequency Band-Pass Filter), mieszacza (M Mixer), generatora częstotliwości demodulującej (LO Local Oscillator), filtru pasmowo-przepustowego częstotliwości pośredniej (IF BPF Intermediate-Frequency Band-Pass Filter) oraz przetwornika analogowo-cyfrowego (A/D Analog/Digital Converter). W skład drugiego schematu [ 3.1 (b) ] wchodzi antena (A), wzmacniacz niskoszumny (LNA), filtr pasmowo-przepustowy częstotliwości radiowej (RF BPF) i przetwornik analogowo- 32

33 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym (a) A LNA RF BPF IF BPF M A/D (b) A LNA LO RF BPF A/D Rys Struktura odbiornika; (a) z przemianą częstotliwości, (b) z próbkowaniem bezpośrednio na częstotliwości radiowej cyfrowy (A/D). W obydwu omawianych przypadkach częstotliwość próbkowania jest zazwyczaj mniejsza od maksymalnej częstotliwości próbkowanego sygnału, zatem nie jest spełniony warunek Nyquista. Jednakże dzięki wąskopasmowemu charakterowi próbkowanego sygnału oraz odpowiednio dobranej częstotliwości próbkowania negatywne skutki zjawiska aliasingu są minimalizowane. Do głównych wyzwań stojących przed projektantem układu odbiorczego radaru pasywnego należy zapewnienie odpowiedniej dynamiki systemu przy założonym paśmie sygnału. W systemach z analogową przemianą częstotliwości głównym ograniczeniem są zazwyczaj zniekształcenia wprowadzane przez demodulator, spowodowane nieliniowościami odbiornika heterodynowego. W przypadku bezpośredniego próbkowania na częstotliwości radiowej wymagane jest zastosowanie odpowiedniego filtru pasmowoprzepustowego, zapewniającego duże tłumienie w paśmie zaporowym, aby zapobiec przeciekaniu składowych sygnału spoza pasma na skutek efektu aliasingu. Dodatkowym problemem jest zapewnienie koherencji fazowej między kanałami odbiorczymi, jeśli wykorzystuje się cyfrowe formowanie wiązki bądź pomiar kierunku przyjścia sygnału z użyciem interferometrii (porównania fazy sygnałów z dwóch anten). Jest to zadanie szczególnie trudne w przypadku demodulacji analogowej, gdyż wymagana jest wtedy nie tylko synchronizacja sygnału zegarowego układów próbkujących, ale także synchronizacja generatora częstotliwości demodulującej (LO). 33

34 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym 3.2 Formowanie wiązki Radar pasywny posiada co najmniej dwa kanały: jeden referencyjny oraz jeden lub więcej pomiarowych. Kanały te powstają przez skierowanie wiązki antenowej odpowiednio w kierunku nadajnika oraz na obszar, na którym wykrywane są obiekty. Jednym ze sposobów uzyskania dwóch kanałów jest zastosowanie anten kierunkowych [39], [51]. Takie podejście jest jednak mało efektywne w przypadku wykorzystywania wielu nadajników równocześnie. Oznaczałoby to bowiem, że używane jest to samo ustawienie anten dla różnych nadajników, co nie byłoby rozwiązaniem optymalnym. Można by również stosować wiele anten, przełączając źródło sygnału w zależności od wykorzystywanego w danym momencie nadajnika. To z kolei komplikowałoby cały system. Alternatywną metodą jest zastosowanie szyku antenowego wraz z cyfrowym formowaniem wiązki [5], [86], [77], [73]. W takiej konfiguracji system antenowy składa się z wielu elementów o małej kierunkowości, podłączonych do pracujących koherentnie odbiorników sygnału. Po spróbkowaniu sygnały z poszczególnych elementów szyku są sumowane z odpowiednimi wagami w celu uzyskania pożądanego kierunku oraz kształtu wiązki. Takie rozwiązanie umożliwia dowolne formowanie wielu wiązek w sposób programowy, w zależności od wykorzystywanego nadajnika oraz obszaru obserwacji. Rysunek 3.2 przedstawia przykładowy liniowy szyk antenowy składający się z czterech elementów podłączonych do odbiorników. Na rysunku zaznaczono symbolicznie dwie uformowane wiązki. Sygnał referencyjny x r (t) oraz pomiarowy x e (t) powstają jako sumy ważone sygnałów ze wszystkich elementów szyku z n (t): x r (t) = w rz(t), (3.1) x e (t) = w ez(t), (3.2) gdzie z(t) = [z 1 (t),..., z NA (t)] jest wektorem sygnałów odebranych z poszczególnych anten, w r = [w r1,..., w rna ] i w e = [w e1,..., w ena ] są wektorami zespolonych wag odpowiednio dla wiązki referencyjnej i pomiarowej, a N A jest liczbą elementów w szyku (znak oznacza transpozycję). Wartości wektorów wagowych w r oraz w e są dobierane tak, aby uzyskać odpowiedni kierunek oraz kształt wiązki [88]. Istotnym problemem towarzyszącym cyfrowemu formowaniu wiązki jest uwzględnienie sprzężeń między poszczególnymi elementami szyku. Dotyczy to zwłaszcza sy- 34

35 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym wi¹zka referencyjna wi¹zka pomiarowa z t 1( ) z t 2( ) z t 3( ) z t 4( ) Odb. 1. Odb. 2. Odb. 3. Odb. 4. w r w e x t r( ) x t e( ) Rys Schemat procesu cyfrowego formowania wiązki tuacji, w której odległości pomiędzy elementami są stosunkowo małe w porównaniu z długością fali. Zwykle w analizie teoretycznej zakłada się, że w każdym elemencie szyku wzbudza się prąd wynikający z geometrii oraz kierunku padania fali. W rzeczywistości prądy płynące w danym elemencie powodują wzbudzanie się prądu w elementach sąsiednich. Zjawisko to, nazywane sprzęganiem, można opisać matematycznie jako mnożenie wektora odebranych sygnałów z(t) przez macierz sprzężeń C, w efekcie czego powstaje zmodyfikowany wektor odebranych sygnałów z C (t): z C (t) = Cz(t). (3.3) Zazwyczaj wyznaczenie macierzy C jest bardzo skomplikowane i wymaga zastosowania zaawansowanych narzędzi analizy elektromagnetycznej. Dla szczególnych przypadków (np. równoległych dipoli) istnieją przybliżone wzory pozwalające wyznaczyć macierz sprzężeń [88]. Możliwe jest także zmierzenie sprzężenia w zrealizowanym fizycznie układzie. W [73] autor przedstawił własną procedurę kalibracyjną umożliwiającą pomiar oraz kompensację sprzężeń wzajemnych dla kołowego szyku antenowego wykorzystywanego przez system pasywny PaRaDe. 35

36 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym Zastosowanie szyku antenowego daje również możliwość wykorzystania adaptacyjnego formowania wiązki, co jest potencjalnie bardzo korzystne przy tłumieniu silnego sygnału bezpośredniego w kanale pomiarowym [22]. Prowadzi to jednak do znaczącego wzrostu nakładu obliczeniowego, a mimo to nie eliminuje problemu ze względu na występujące w kanale pomiarowym silne echa pochodzące od obiektów stałych z kierunków innych niż kierunek nadajnika. Kwestię powyższą można efektywnie rozwiązać za pomocą filtru adaptacyjnego stosowanego na dalszym etapie przetwarzania, dlatego też adaptacyjne formowanie wiązek jest metodą rzadko stosowaną. Zamiast tradycyjnego szyku antenowego stosuje się również szyk z dużą separacją pomiędzy elementami, co rozważać można jako formę techniki MIMO (ang. Multiple-Input and Multiple-Output), znanej z telekomunikacji. W klasycznym szyku antenowym poszczególne elementy promieniujące nie powinny być od siebie zbytnio oddalone, aby uniknąć powstawania listków bocznych o wysokim poziomie [88]. Fakt ten ogranicza rozmiar szyku przy ustalonej liczbie elementów. W praktyce prowadzi to do wytworzenia szerokich wiązek odbiorczych. W wyniku procesu usuwania sygnału referencyjnego z sygnału pomiarowego następuje redukcja efektywnego pokrycia radaru im szersza jest wiązka referencyjna, tym większa będzie redukcja. Przy zastosowaniu dużej separacji pomiędzy elementami szyku możliwej jest otrzymanie wąskiej wiązki referencyjnej co, pomimo powstawania wysokich listków bocznych, powoduje zwiększenie efektywnego pokrycia radaru. Koncepcja ta została opisana przez autora w [48] i [69]. 3.3 Wstępne przetwarzanie sygnału Sygnały wykorzystywane przez radar pasywny nie są projektowane z myślą o detekcji obiektów, lecz o efektywnym przekazywaniu informacji. Z tego powodu właściwości tych sygnałów nie są optymalne z punktu widzenia radiolokacji. Dotyczy to głównie charakteru funkcji nieoznaczoności, a w szczególności wszelkich okresowości, poziomu listków bocznych oraz szerokości listka głównego. Idealny sygnał powinien charakteryzować się wąskim maksimum i brakiem okresowości w funkcji nieoznaczoności, a także niskim poziomem listków bocznych. Wymagania takie spełnia sygnał szumowy. Z uwagi na fakt, że spotykane w praktyce sygnały często nie spełniają tych kryteriów, stosuje się niekiedy metody mające na celu poprawę sygnału. W [27] przedstawiono metodę wybielania sygnału podczas procesu korelacji, czego wynikiem jest uzyskanie niemal idealnej odpowiedzi od punktowego obiektu 36

37 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym nawet dla sygnałów o strukturze bardzo niekorzystnej z punktu widzenia detekcji (np. sygnałów telewizji analogowej). Konsekwencją są jednak znaczne straty detekcji sięgające nawet kilkudziesięciu decybeli. Z kolei w [97] zaprezentowano metodę modyfikacji sygnału telewizji cyfrowej DVB-T w celu usunięcia niepożądanych maksimów z funkcji nieoznaczoności wywołanych podnośnymi pilotowymi oraz prefiksem cyklicznym. Sygnał radia FM w zasadzie nie wymaga dodatkowego przetwarzania ze względu na właściwości podobne do szumu pasmowego. Problem stanowi tu jedynie wspomniana wcześniej zależność pasma sygnału od nadawanej aktualnie treści programu. Prowadzi to do zmian funkcji nieoznaczoności sygnału, a w szczególności do pogorszenia rozróżnialności [6]. 3.4 Filtracja adaptacyjna Pomimo procesu formowania wiązki, którego jednym z celów jest separacja sygnału referencyjnego i sygnału użytecznego, sygnał pomiarowy często zawiera składową bezpośrednią. Jest ona zazwyczaj dużo silniejsza od słabych ech obiektów ruchomych. Ponadto sygnał pomiarowy może zawierać również silne echa od obiektów stałych, które nie są interesujące z punku widzenia użytkownika (z założenia radar powinien wykrywać obiekty ruchome). Wymienione tu składowe sygnału mogą utrudnić lub wręcz uniemożliwić wykrywanie obiektów ruchomych, ponieważ poziom korelacyjnych listków bocznych pochodzących od tych składowych może być wyższy niż maksima modułu funkcji korelacji odpowiadające obiektom. Z tego powodu konieczne jest posłużenie się metodą usuwającą niepożądane składniki z sygnału pomiarowego. Jedną z możliwości jest zastosowanie analogowych metod tłumienia [98], [87], aczkolwiek nie są one uniwersalne, a ponadto nie rozwiązują problemu do końca, usuwana jest bowiem tylko składowa bezpośrednia, a nie silne echa od obiektów stałych. Obecnie najchętniej wykorzystuje się algorytmy działające w dziedzinie dyskretnej, tj. na sygnale spróbkowanym. Przykładem może tu być np. metoda sekwencyjna, w której usuwa się poszczególne silne echa pochodzące od obiektów stałych [19]. Jednak metoda ta jest bardziej skuteczna w przypadku usuwania silnych ech pojedynczych obiektów ruchomych, jak pokazano to w [46]. Bardziej uniwersalną metodą jest filtracja adaptacyjna [17], [64]. Zadaniem filtru adaptacyjnego jest usunięcie składowej bezpośredniej oraz ech obiektów stałych z sygnału pomiarowego. Korzystając ze wzoru (2.13), można zapisać 37

38 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym bardziej ogólną postać sygnału odebranego: ( x e (t) =A x t t R ) K 1 ( b + A k x t t R ) k + R b + c c L 1 + l= k=1 B l x t ( t R l + R b c ) ( exp j2π V ) l λ t + w e (t). (3.4) Pierwszy ze składników po prawej stronie znaku równości odpowiada składowej bezpośredniej. Pierwsza suma reprezentuje echa pochodzące od obiektów stałych (nie występuje tutaj dopplerowskie przesunięcie częstotliwości). Druga z sum modeluje echa pochodzące od obiektów ruchomych. Ostatni składnik to szum odbiorczy. Można przyjąć, że sygnał bezpośredni stanowi odbicie od hipotetycznego obiektu znajdującego się na odległości R = m i zapisać wzór (3.4) w postaci: K 1 ( x e (t) = A k x t t R ) k + R b + c k= L 1 ( + B l x t t R ) ( l + R b exp j2π V ) l c λ t + w e (t), l= (3.5) gdzie R = m. Występują tu zatem trzy składowe sygnału: echa obiektów stałych (bez przesunięcia Dopplera) clutter, echa obiektów ruchomych (z przesunięciem Dopplera) oraz szum: x e (t) = x clutt (t) + x targ (t) + w e (t). (3.6) Celem zastosowania filtru adaptacyjnego jest usunięcie składnika x clutt (t) z sygnału pomiarowego x e (t). Zakłada się przy tym, że sygnał x t (t) nie jest skorelowany z samym sobą po przesunięciu w dziedzinie częstotliwości. Dzięki temu eliminowane są tylko sygnały pochodzące od obiektów stałych. Konfiguracja filtru adaptacyjnego używanego w tym zastosowaniu jest pokazana na rys Jest to klasyczna struktura do usuwania zakłóceń (ang. interference canceller) [34]. Jako sygnał wejściowy filtru służy spróbkowana wersja sygnału z kanału referencyjnego x r (n), gdzie n jest czasem dyskretnym unormowanym względem okresu próbkowania. Zwykle przyjmuje się, że sygnał x r (n) jest opóźnioną wersją sygnału nadawanego x t (n), natomiast moc szumu w kanale referencyjnym w r (n) jest pomijalnie mała w stosunku do mocy sygnału x r (n). Na wyjściu filtru otrzymuje się estymatę składowej clutteru ˆx clutt (n), która jest odejmowana od sygnału pomiarowego x e (n). 38

39 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym x t ( n) h( n) xtarg( n) we( n) x n e( ) n ĥ( n) xr( n) w n r( ) xˆ clutt n - + xef( n) model kana³u filtr adaptacyjny Rys Struktura filtru adaptacyjnego służącego do usuwania niepożądanych składników sygnału pomiarowego Algorytm sterujący filtrem adaptacyjnym dąży do minimalizacji sygnału błędu (np. w sensie najmniejszych kwadratów), który jest zarazem sygnałem wyjściowym całej struktury: x ef (n) = x e (n) ˆx clutt (n) = x e (n) ĥ(n) x r(n), (3.7) gdzie ĥ(n) jest odpowiedzią impulsową filtru, stanowiącą estymatę odpowiedzi impulsowej kanału h(n), a oznacza operację splotu. Gdy odpowiedź impulsowa filtru jest dokładnie równa odpowiedzi impulsowej kanału, wtedy sygnał wyjściowy x ef (n) zawiera jedynie sygnał echa obiektów ruchomych x targ (n), szum odbiorczy w e (n) oraz składnik związany z w r (n), jeśli szum w kanale referencyjnym nie jest pomijalny. Do operacji filtracji można wykorzystać powszechnie znane algorytmy filtracji adaptacyjnej, takie jak LMS (ang. Least Mean Square) [17], [13], RLS (ang. Recursive Least Squares) bądź LSL (ang. Least Squares Lattice). Opis wymienionych algorytmów można znaleźć w [34]. W [64] autor niniejszej pracy porównał najbardziej popularne algorytmy adaptacyjne służące do usuwania sygnału bezpośredniego oraz clutteru. W wyniku przeprowadzonych badań można stwierdzić, że w rozważanym zastosowaniu najlepszą spośród przetestowanych metod jest filtracja realizowana w strukturze kratowej LSL, która charakteryzuje się osiągami zbliżonymi do bardzo efektywnej filtracji RLS, a przy tym wymaga stosunkowo małego nakładu obliczeniowego. Oprócz wymienionych powyżej algorytmów rekursywnych (tj. przeliczających współczynniki filtru po nadejściu każdej nowej próbki sygnału) możliwe jest także zastosowania algorytmów blokowych, gdzie oblicza się jeden zestaw współczynników dla całego bloku sygnału [44]. Długość bloku może odpowiadać całemu czasowi integracji bądź jego części, tj. blok danych poddawany korelacji może być filtrowany w całości 39

40 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym lub może być podzielony na mniejsze bloki. Stosując krótsze bloki, można uzyskać szybszą adaptację filtru do zmieniających się w czasie warunków. Jednym z istotnych problemów związanych z filtracją adaptacyjną, który nie został jeszcze definitywnie rozwiązany, jest usuwanie clutteru o poszerzonym widmie dopplerowskim. W wielu sytuacjach, zwłaszcza przy długich czasach integracji, echo sygnału odbitego od obiektów stacjonarnych wykazuje właściwości echa obiektów wolno poruszających się. Może to wynikać np. ze zmian właściwości kanału radiowego lub z nieznacznego ruchu elementów obiektów stacjonarnych, takich jak gałęzie drzew. Sytuacja taka prowadzi do rozlewania się energii sygnału poza komórkę odpowiadającą zerowej częstotliwości Dopplera. Zastosowanie w takim przypadku filtru adaptacyjnego, który usuwa wyłącznie echo obiektów stacjonarnych, nie przyniesie spodziewanego efektu, gdyż pozostałości clutteru w komórkach o niezerowych przesunięciach Dopplera mogą prowadzić do maskowania słabych ech obiektów ruchomych. Przedstawiony problem można częściowo rozwiązać, posługując się rekursywnymi algorytmami opisanymi przez autora w [64]. W pracy tej pokazano, że oprócz usuwania sygnału o zerowym przesunięciu Dopplera, rekursywny filtr adaptacyjny tłumi również echo wolno poruszających się obiektów. Szerokość oraz głębokość powstałego ostrza w charakterystyce częstotliwościowej filtru może być zmieniana za pomocą współczynnika zapominania filtru adaptacyjnego. Nie daje to jednak pełnej kontroli nad zakresem przesunięć Dopplera, dla którego następuje silne tłumienie sygnału. Innym podejściem znanym z literatury, np. z [45], jest suboptymalna metoda oparta na blokowym filtrze kratowym. Z powodu braku ortogonalności zmodulowanych sygnałów błędu wstecznej predykcji wykorzystywanych w tej metodzie, wymagane jest kilkukrotne powtórzenie filtracji w celu otrzymania zadowalających rezultatów. 3.5 Korelacja Kolejnym etapem przetwarzania sygnału w radarze pasywnym jest obliczenie funkcji nieoznaczoności wzajemnej sygnału referencyjnego i sygnału pomiarowego. Jest to równoważne obliczeniu korelacji opóźnionego i przesuniętego w dziedzinie częstotliwości sygnału referencyjnego z sygnałem pomiarowym dla określonego zakresu opóźnień oraz przesunięć częstotliwości. Funkcję nieoznaczoności wzajemnej dla sygnałów ciągłych x(t) i y(t) można zdefiniować jako następującą funkcję korelacji: ψ(r, V ) = ( y(t)x t R ) exp ( j2π Vλ ) c t dt. (3.8) 4

41 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym Warto tutaj zwrócić uwagę na podobieństwo powyższej definicji do funkcji nieoznaczoności własnej (2.15). W praktyce funkcja korelacji (3.8) jest obliczana dla sygnałów dyskretnych w skończonym przedziale integracji. Po uwzględnieniu dyskretnego charakteru przetwarzania oraz podstawieniu odpowiednich sygnałów otrzymuje się: ψ(r, V ) = N s/2 1 n= N s/2 x ef (n)x r ( n Rf ) ( s exp j2π V ) n, (3.9) c λf s gdzie N s jest liczbą (parzystą) przetwarzanych próbek sygnału, zaś f s jest częstotliwością próbkowania. W przypadku pokrywania się wielkości (R, V ) z odpowiednimi parametrami któregoś z obiektów ruchomych, w module funkcji (3.9) występuje maksimum, co umożliwia detekcję obiektów i jednocześnie zgrubną estymację ich parametrów. Zwykle liczba przetwarzanych próbek N s sięga kilkuset tysięcy, co stwarza nietrywialny problem przy obliczaniu korelacji (3.9). Można jednak zauważyć, iż zakres zmian odległości R i prędkości V, interesujący z punktu widzenia detekcji obiektów, jest stosunkowo mały. Zwykle maksymalne opóźnienie sygnału referencyjnego, określające zasięg instrumentalny radaru, wynosi kilkaset próbek. Z kolei częstotliwość Dopplera obiektów w typowych dla systemów pasywnych pasmach sięga kilkuset herców. Korzystając z tych faktów, możliwe jest opracowanie efektywnych oraz szybkich metod obliczania funkcji (3.9). Przykładowo w [39] opisano algorytm, w którym dla każdego opóźnienia liczony jest iloczyn sygnału referencyjnego i pomiarowego, a wynik jest poddawany filtracji dolnopasmowej oraz decymacji. Następnie obliczana jest szybka transformata Fouriera (ang. Fast Fourier Transform FFT) otrzymanego sygnału. Prowadzi to do znaczących oszczędności w zapotrzebowaniu na moc obliczeniową w porównaniu z obliczeniami przeprowadzonymi wprost z definicji (3.9). 3.6 Detekcja i estymacja parametrów Detekcja obiektów w radarze pasywnym opiera się na klasycznym kryterium Neymana-Pearsona, w którym maksymalizuje się prawdopodobieństwo detekcji przy założonym prawdopodobieństwie fałszywego alarmu [93], [37]. W praktyce sprowadza się to do porównania wartości modułu funkcji nieoznaczoności (3.9) z obliczonym progiem. Próg jest wyznaczany na podstawie znajomości rozkładu prawdopodobieństwa wartości funkcji nieoznaczoności przy hipotezie zerowej, tzn. braku echa obiektu 41

42 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym w odebranym sygnale. W przypadku radarów pasywnych kształt tego rozkładu jest zazwyczaj bardzo dobrze znany: moduł funkcji nieoznaczoności dla szumu ma rozkład Rayleigha, natomiast kwadrat modułu ma rozkład wykładniczy. W niniejszej pracy wykorzystywany będzie kwadrat modułu funkcji niejednoznaczności. Do praktycznego wyznaczenia wartości progu detekcji konieczna jest znajomość jednego parametru rozkładu wykładniczego, tj. wartości średniej. W klasycznych impulsowych radarach aktywnych parametry rozkładu szumu zmieniają się w czasie i przestrzeni. Z tego powodu stosuje się adaptacyjny algorytm detekcji, w którym próg detekcji jest dostosowywany do charakteru szumu w sąsiedztwie badanego obszaru. Algorytm taki jest nazywany CFAR (ang. Constant False Alarm Rate), a jego najprostsza wersja to Cell Averaging CFAR CA-CFAR [1], [93]. Polega on na określaniu poziomu mocy szumu wokół testowanej komórki CUT (ang. Cell Under Test) na podstawie średniej arytmetycznej wartości z sąsiednich komórek. Często stosowanym zabiegiem jest wprowadzanie tzw. komórek ochronnych (ang. guard cell), przylegających bezpośrednio do testowanej komórki, które nie są brane pod uwagę przy estymacji poziomu szumu. Dokonuje się tego w celu zapobieżenia zawyżania wyestymowanej wartości przez echo obiektu obejmujące kilka sąsiednich komórek. Bardziej zaawansowane algorytmy CFAR opierają się na dogłębnej analizie właściwości statystycznych obserwowanego szumu. Drugim problemem znanym z klasycznej teorii detekcji w radiolokacji aktywnej jest wybór odpowiedniego modelu rozkładu zakłóceń. Założenie o gaussowskim charakterze szumu, przyjmowane zazwyczaj z racji łatwości analizy teoretycznej, często nie jest spełnione w praktyce. Dotyczy to zwłaszcza zakłóceń pochodzących od powierzchni morza, które charakteryzują się dużą impulsowością. Zastosowanie w takich przypadkach nieadekwatnych metod detekcji prowadzi do zwiększenia prawdopodobieństwa fałszywego alarmu lub znaczących strat detekcji. Przedstawione powyżej dwa zagadnienia, tj. zmienność parametrów rozkładu oraz określenie modelu rozkładu zakłóceń, nie są w radiolokacji pasywnej tak istotne, jak w przypadku radarów impulsowych, co zostanie pokrótce uzasadnione. Funkcja nieoznaczoności (3.9) jest obliczana dla sygnału referencyjnego x r (n) oraz sygnału pomiarowego pochodzącego z wyjścia filtru adaptacyjnego x ef (n). Zakładając hipotezę zerową, tzn. że sygnał pomiarowy nie zawiera echa obiektu x targ (n), sygnał wyjściowy filtru adaptacyjnego będzie zawierał tylko szum odbiorczy w e (n). Ponieważ szum ten nie jest skorelowany z sygnałem referencyjnym, funkcja nieoznaczoności będzie się charakteryzowała losowymi fluktuacjami, niezależnymi od bistatycznej odległości R ani od bistatycznej prędkości V. Dzięki temu w większości sytuacji, można 42

43 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym zastosować uproszczoną metodę detekcji, w której używa się jednej wartości progu dla całego zakresu zmian odległości i prędkości, co eliminuje konieczność adaptacyjnego dostosowywania wartości progu. Oczywiście detekcja z użyciem algorytmu CFAR może być również stosowana w radarach pasywnych, dzięki czemu system jest bardziej odporny na nieprzewidziane zmiany parametrów rozkładu zakłóceń. Drugi z wymienionych problemów, dotyczący rozkładów szumu odbiegających od rozkładu normalnego, jest w radarze pasywnym również mniej dotkliwy niż w klasycznych radarach impulsowych. Dzieje się tak dlatego, iż proces detekcji w radarze PCL jest przeprowadzany z wykorzystaniem funkcji nieoznaczoności obliczanej na podstawie setek tysięcy próbek sygnału. W praktyce obliczanie funkcji nieoznaczoności polega na sumowaniu odpowiednio przetworzonych próbek sygnału. Dlatego też, nawet w przypadku występowania impulsowego szumu w odebranym sygnale, ulega on ugaussowieniu na mocy centralnego twierdzenia granicznego. W rezultacie kwadrat modułu funkcji nieoznaczoności ma rozkład wykładniczy z bardzo dużą dokładnością, co zostanie pokazane w dalszej części pracy. Pozycja echa przekraczającego próg detekcji na płaszczyźnie R V wskazuje zgrubne estymaty bistatycznej odległości oraz prędkości. Dokładność takiej estymacji jest ograniczona do rozmiaru komórki rozdzielczości. W celu uzyskania większej dokładności można zastosować metodę dopasowywania kształtu echa od pojedynczego obiektu do zmierzonych wartości funkcji nieoznaczoności wzajemnej. W [85] przedstawiono uproszczony algorytm oparty na dopasowywaniu paraboli (ang. parabola fitting), który został wykorzystany w niniejszej pracy. Wynikiem działania procesu detekcji oraz estymacji są estymaty bistatycznej odległości ˆR oraz bistatycznej prędkości ˆV. Możliwe jest także estymowanie kolejnych współczynników wielomianowej fazy sygnału, np. bistatycznego przyspieszenia. W [71] autor pracy zaproponował efektywną metodę estymacji bistatycznego przyspieszenia opartą na filtracji obliczonej funkcji nieoznaczoności. 3.7 Śledzenie we współrzędnych bistatycznych Kolejnym krokiem w przetwarzaniu jest śledzenie obiektów. Wprawdzie możliwe jest bezpośrednie wykorzystanie wykryć pochodzących z układu detekcji i estymacji do śledzenia obiektu we współrzędnych kartezjańskich, jednak zastosowanie pośredniego etapu śledzenia we współrzędnych bistatycznych przynosi lepsze rezultaty. Przy takim podejściu wykrycia z układu detekcji są najpierw przetwarzane przez układ śledzenia 43

44 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym działający we współrzędnych bistatycznych. Następnie parametry trasy z tego układu śledzenia (bistatyczna odległość oraz prędkość) stanowią dane wejściowe dla układu lokalizacji i śledzenia obiektów we współrzędnych kartezjańskich. Taki dwustopniowy proces śledzenia charakteryzuje się szeregiem zalet. Lokalizacja obiektów w radarze pasywnym jest dosyć skomplikowana, głównie ze względu na niejednoznaczności występujące w procesie kojarzenia poszczególnych pomiarów ze śledzonymi obiektami. Dodatkowe trudności są powodowane obecnością fałszywych wykryć oraz prawdopodobieństwem detekcji obiektu mniejszym od jedności. Wprowadzenie dodatkowego etapu śledzenia we współrzędnych bistatycznych w istotny sposób upraszcza wymienione problemy. Jedną z podstawowych funkcji układu śledzenia jest odróżnianie ech prawdziwych obiektów od fałszywych alarmów. Dzięki temu w procedurze lokalizacji z dużą dozą pewności operuje się na pomiarach odpowiadających prawdziwym obiektom. Ponadto śledzenie obiektu pozwala na estymowanie pozycji w przypadku braku bezpośredniego pomiaru w danej chwili, tj. możliwe jest, dzięki predykcji, określenie parametrów obiektu między momentami pomiaru. Jest to szczególnie istotne przy wykorzystaniu wielu nadajników w sposób cykliczny, tzn. w sytuacjach gdy odbiornik jest przełączany między różnymi nadajnikami i pomiary są dokonywane w różnych momentach. Pozwala to również przewidzieć pozycję obiektu, nawet gdy nie został on wykryty w danej obserwacji. Dodatkowo śledzenie pozwala na zmniejszenie błędu pomiaru na skutek wykorzystania informacji z bieżącego pomiaru oraz historii stanu obiektu. Dodanie pośredniego układu śledzenia ma również swoje wady. Najistotniejszą jest wprowadzenie opóźnienia do toru przetwarzania. Dzieje się tak dlatego, że układ śledzenia potrzebuje określonego czasu na uznanie trasy za wiarygodną. Z tego powodu bardzo istotną kwestią staje się czas potrzebny do uznania trasy za odpowiadającą prawdziwemu obiektowi. Z tego względu analiza oraz optymalizacja czasu inicjalizacji trasy są jednym z dwóch podstawowych problemów rozważanych w niniejszej pracy. Proces śledzenia obiektów w radarze składa się z dwóch głównych elementów: estymacji stanu obiektu oraz przyporządkowywania pomiarów do tras (asocjacji danych). Estymacja stanu polega na obliczaniu wektora stanu obiektu x na podstawie wektora pomiarowego z. Ponieważ jednocześnie może być dostępnych wiele wektorów stanu x i oraz wektorów pomiarowych z j, do zadań układu śledzenia należy również decyzja o przyporządkowaniu pomiaru j do obiektu i. Proces śledzenia zostanie dokładnie opisany w rozdziale czwartym. 44

45 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym 3.8 Lokalizacja oraz śledzenie we współrzędnych kartezjańskich W klasycznym radarze aktywnym pozycja jest określana na podstawie pomiaru odległości między radarem a obiektem oraz pomiaru kierunku obiektu odpowiadającego danemu położeniu anteny. Ustalona odległość w radarze monostatycznym definiuje okrąg (w przypadku dwuwymiarowym) lub sferę (w przypadku trójwymiarowym), na której znajduje się obiekt. Położenie anteny określa kierunek obiektu z dokładnością do szerokości wiązki (zwykle kilku stopni). Połączenie tych dwóch informacji jednoznacznie wyznacza położenie obiektu. W bistatycznym radarze pasywnym sytuacja jest bardziej skomplikowana. Stała odległość bistatyczna określa elipsę (w przypadku dwuwymiarowym) lub elipsoidę (w przypadku trójwymiarowym), na której znajduje się obiekt. Ogniska elipsy bądź elipsoidy są zlokalizowane w punktach położenia nadajnika oraz odbiornika. Określenie kierunku obiektu nie jest tak proste jak w klasycznym radarze. Jest to spowodowane między innymi niskimi częstotliwościami stosowanymi w radarach pasywnych. Wykorzystuje się tu bowiem częstotliwości rzędu kilkudziesięciu lub kilkuset megaherców. Duża długość fali sprawia, że konstrukcja anten o wąskiej wiązce jest utrudniona ze względu na wymagane duże rozmiary. Dlatego też określanie kierunku w radarze pasywnym analogicznie do klasycznych radarów jest utrudnione. Dosyć popularną metodą określania kierunku nadejścia sygnału w radarach pasywnych jest interferometria [39], [38]. Stosuje się wtedy dwie anteny pomiarowe i jedną referencyjną. Kierunek nadejścia sygnału jest estymowany na podstawie różnicy fazy sygnałów docierających do dwóch anten pomiarowych. Pozycja obiektu może być wtedy wyznaczona jako przecięcie bistatycznej elipsy z półprostą odpowiadającą kierunkowi obiektu [ rys. 3.4 (a) ]. Wadą tej metody jest stosunkowo duży błąd określenia pozycji wynikający z błędu estymacji kierunku. Ponadto metoda ta działa tylko w dwóch wymiarach (nie jest określana wysokość obiektu). Najbardziej obiecującym sposobem lokalizacji obiektów jest wykorzystanie wielu par odbiornik-nadajnik. Pozycja obiektu jest wtedy wyznaczana z przecięcia bistatycznych elips lub elipsoid odpowiadających różnym nadajnikom [ rys. 3.4 (b) ]. Największym problemem tej metody jest przyporządkowywanie pomiarów pochodzących od różnych nadajników odpowiednim obiektom. Ta niejednoznaczność przypisania wymaga zastosowania skomplikowanych metod śledzenia uwzględniających dynamikę obiektu, jak również niepewność co do źródła pomiaru. W [36] oraz [15] przedstawiono układy śledzenia dokonujące jednocześnie lokalizacji obiektów we współ- 45

46 Etapy przetwarzania sygnału w radarze pasywnym (a) kierunek obiektu Tr Rx Tx elipsa bistatyczna (b) Tx 1 Tr elipsy bistatyczne Rx Tx 2 Tx 3 Rys Schemat lokalizacji obiektu w radarze pasywnym; (a) na podstawie elipsy bistatycznej oraz kierunku przyjścia sygnału, (b) na podstawie przecięcia elips bistatycznych rzędnych kartezjańskich, oparte odpowiednio na filtrze cząsteczkowym i rozszerzonym filtrze Kalmana. Wyniki badań autora dotyczące trójwspółrzędnej lokalizacji oraz śledzenia obiektów przedstawiono w [67], [68] i [8]. W pracy [67] autor zaproponował metodę służącą do trójwspółrzędnej lokalizacji obiektów na podstawie pomiarów uzyskanych z radaru pasywnego. Może ona być użyta w celu inicjalizacji tras we współrzędnych kartezjańskich. W artykule [68] opisano sposób wykorzystania rozszerzonego filtru Kalmana do śledzenie obiektów w radarze pasywnym. Z kolei w [8] przedstawiono dwustopniowy algorytm śledzenia oparty na układzie śledzenia działającym we współrzędnych bistatycznych oraz we współrzędnych kartezjańskich. 46

47 Rozdział 4 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym W rozdziale przedstawiono analizę poszczególnych etapów przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym. Analiza ta pozwoli na powiązanie odpowiednich parametrów obiektu oraz parametrów przetwarzania sygnałów z wybranymi osiągami systemu. 4.1 Stosunek sygnału do szumu Wzór (2.11) określa stosunek sygnału do szumu bezpośrednio po odebraniu sygnału. Na skutek procesu koherentnej integracji, realizowanego w wyniku obliczania korelacji (3.9), stosunek sygnału do szumu zwiększa się. W idealnym przypadku stosunek sygnału do szumu po integracji SNR wynosi [3], [4]: SNR = B T SNR in = G i SNR in, (4.1) gdzie T jest czasem integracji (korelacji). Iloczyn G i = B T jest nazywany zyskiem integracji. W dalszej części pracy wartość SNR in będzie określana mianem wejściowego stosunku sygnału do szumu, natomiast SNR wyjściowym stosunkiem sygnału do szumu. Rysunek 4.1 przedstawia przykładowe przebiegi SNR dla różnych wartości SNR in w funkcji czasu integracji T. Obliczenia przeprowadzono dla parametrów typowych dla sygnału radia FM [ rys. 4.1(a) ] oraz sygnału telewizji cyfrowej DVB-T [ rys. 4.1(b) ]. Warto tutaj zwrócić uwagę na różne zakresy czasów integracji oraz różne wartości SNR in użyte przy obliczeniach w dwóch rozważanych przypadkach. To wynik znacz- 47

48 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym (a) SNR [db] 15 1 (b) 5 SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db T [s] SNR [db] SNR in = 54.5 db SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db T [s] Rys Wyjściowy stosunek sygnału do szumu w funkcji czasu integracji T ; (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz) nie różniących się szerokości pasma sygnału, a co za tym idzie, różnych zysków integracji. Aby otrzymać podobne wartości SNR, które decydują o prawdopodobieństwie detekcji, wymagane wartości SNR in powinny być znacznie większe w przypadku radia FM niż telewizji DVB-T. Inne są również zastosowane zakresy czasów integracji, będące konsekwencją przede wszystkim innej częstotliwości nośnej, co przekłada się na maksymalny czas integracji ograniczony przyspieszeniem bistatycznym. Zagadnienie to będzie omówione w dalszej części tego punktu. Można pokazać [3], [4], że średni stosunek maksimum kwadratu modułu funkcji korelacji wzajemnej do poziomu podłogi szumowej (ang. Peak-to-Noise-Floor Ratio PNFR) wynosi: PNFR = BT 1 + SNR 1. (4.2) in 48

49 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Zakładając, że wejściowy stosunek sygnału do szumu SNR in jest odpowiednio mały, można przyjąć, iż pomiar PNFR jest równoważny z pomiarem SNR: PNFR B T SNR in = SNR. (4.3) Założenie o małej wartości SNR in oznacza, że średni poziom podłogi szumowej wynika z fluktuacji modułu funkcji nieoznaczoności spowodowanych składnikiem szumowym odebranego sygnału, a nie listkami bocznymi samego sygnału. Z drugiej strony, wartość SNR in powinna być na tyle duża, aby pomiar wartości maksymalnej modułu funkcji nieoznaczoności nie był nadmiernie zaburzony przez szum. W praktyce średni poziom podłogi szumowej oblicza się, uśredniając funkcję nieoznaczoności w zakresie odległości R oraz prędkości V, w którym nie występują żadne echa obiektów. W dalszej części pracy stosunek sygnału do szumu SNR będzie mierzony w taki właśnie sposób. Zgodnie ze wzorem (4.1) dłuższy czas korelacji powinien prowadzić do większego zysku integracji. W praktyce istnieją jednak pewne czynniki ograniczające czas integracji T. Wzór (4.1) jest słuszny, gdy spełnione są określone założenia. Wymaga się przede wszystkim, aby amplituda sygnału była stała, zmiana skali czasu sygnału odebranego (na skutek ruchu obiektu) była zaniedbywalna oraz model ruchu obiektu opisywał adekwatnie rzeczywisty ruch. Autor pracy w [72] przeanalizował powyższe założenia oraz przedstawił metody, dzięki którym możliwe jest zastosowanie dłuższego czasu integracji, a przez to osiągnięcie większego zysku integracji. Z badań autora wynika, że dla parametrów systemu opartego na sygnałach radia FM oraz telewizji DVB-T głównym ograniczeniem czasu korelacji przy zastosowaniu funkcji nieoznaczoności (3.9) jest przyspieszenie bistatyczne obiektu. Poniżej przedstawiono krótką analizę tego zjawiska. Wzór (3.9) jest wyprowadzony przy założeniu liniowego bistatycznego modelu ruchu, tzn. przyjmuje się przybliżenie chwilowej bistatycznej odległości za pomocą wielomianu pierwszego stopnia. W rzeczywistości ruch obiektu może być opisany bardziej skomplikowaną formułą, tj. wielomian (2.6) może zawierać wyrazy wyższego rzędu, np. wyraz drugiego rzędu związany z przyspieszeniem obiektu. Niezgodność założonego modelu z rzeczywistym ruchem obiektu prowadzi do strat integracji wynikających z braku pełnej kompensacji fazy sygnału referencyjnego oraz odebranego. Przyjmując, że różnica fazy korelowanych sygnałów na końcach przedziału integracji nie może przekroczyć π/2, można określić maksymalny czas integracji, który, przy ustalonym 49

50 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym przyspieszeniu obiektu, nie prowadzi do istotnych strat zysku integracji [72]: T max = 2λ A. (4.4) Wykorzystując tę zależność, można również obliczyć maksymalne przyspieszenie obiektu dla ustalonego czasu integracji T : A max = 2λ T 2. (4.5) Powyższe ograniczenie można odrzucić, rozszerzając model sygnału w procesie detekcji o przyspieszenie bistatyczne. W [71] i [72] autor przedstawił metodę kompensacji, a jednocześnie estymacji przyspieszenia bistatycznego, pozwalającą na wydłużenie czasu integracji w przypadku obiektu o niezerowym przyspieszeniu bistatycznym. Metoda ta opiera się na modyfikacji wzoru (3.9) definiującego funkcję korelacji i uwzględnieniu w fazie składnika będącego kwadratową funkcją dyskretnego czasu n. Wymienione powyżej powody, a także względy techniczne skutkują tym, że w praktyce czas integracji nie może by dowolnie długi. Stąd też wynika ograniczenie od dołu mocy echa obiektu, który może być wykryty przez radar pasywny. W dalszej części pracy założono, iż maksymalny czas integracji jest wyznaczany z równości (4.4). Zazwyczaj parametrem określającym siłę sygnału jest stosunek sygnału do szumu po korelacji SNR. Jest to całkowicie uzasadnione przy ustalonym paśmie sygnału oraz czasie integracji. W niniejszej pracy sytuacja jest nieco inna. Czas integracji będzie zmieniany podczas procesu optymalizacji, co wpływa na SNR zgodnie ze wzorem (4.1). Z tego powodu jako wartość determinującą siłę sygnału używany będzie stosunek sygnału do szumu przed korelacją SNR in, co umożliwi porównanie wyników uzyskanych przy różnych czasach integracji. 4.2 Prawdopodobieństwo fałszywego alarmu oraz prawdopodobieństwo detekcji Zwykle przyjmuje się następujące założenia dotyczące fałszywych wykryć. Po pierwsze zakłada się, że fałszywe wykrycia występują niezależnie w każdej komórce rozróżnialności, po drugie zaś, że prawdopodobieństwo wystąpienia fałszywego wykrycia w każdej komórce jest identyczne i wynosi P fa. Wychodząc z tych założeń, rozkład prawdopodobieństwa liczby fałszywych wykryć n fa w N komórkach można 5

51 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym wyrazić za pomocą rozkładu Bernoulliego [12]: P { n fa = m } = µ fa (m) = ( N m ) P m fa (1 P fa) N m. (4.6) Wzór (4.6) będzie wykorzystany w dalszej części pracy do określenia prawdopodobieństwa wystąpienia fałszywego wykrycia w bramce asocjacyjnej. Często spotykanym w radiolokacji przybliżeniem powyższego wzoru jest rozkład Poissona [12]. To przybliżenie nie będzie jednak stosowane w pracy. Oprócz rozkładu prawdopodobieństwa liczby fałszywych alarmów opisanej wzorem (4.6), istotny jest także rozkład wartości fałszywych wykryć. W dodatku 9.1 pokazano, że wartości kwadratu modułu funkcji niejednoznaczności ψ(r, V ) 2 (przy braku echa obiektu w sygnale) mają rozkład wykładniczy o postaci: { x < f(x) = 1 x µ e µ x, (4.7) gdzie µ jest parametrem określającym wartość średnią rozkładu. Prawdopodobieństwo fałszywego alarmu można wyznaczyć jako następującą całkę: P fa = D f(x)dx = e D µ, (4.8) gdzie D > jest wybranym progiem detekcji. Przekształcając powyższą zależność, możemy obliczyć wartość progu dla zadanego prawdopodobieństwa fałszywego alarmu [93]: D = µ ln ( P fa ). (4.9) Wartość progu detekcji określa prawdopodobieństwo fałszywego alarmu, ale wpływa również na prawdopodobieństwo detekcji obiektu. Można pokazać, że dla echa obiektu ze stałą (niefluktuującą) amplitudą, prawdopodobieństwo detekcji wynosi [37], [93]: [ 2SNR, P d = Q 2 ln ( ) ] P fa, (4.1) gdzie Q( ) jest funkcją Marcuma. Przykładowe krzywe prawdopodobieństwa detekcji dla różnych wartości P fa przedstawiono na rys Na wykresach widać, że prawdopodobieństwo detekcji zmienia się prawie w całym zakresie od do 1 dla SNR od 5 do 15 db. 51

52 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Stosując wzór (4.1) można obliczyć prawdopodobieństwo detekcji dla zadanego SNR in w funkcji czasu integracji T. Tak wyliczone krzywe dla parametrów radia FM oraz telewizji DVB-T pokazano na rys Ze względu na istotne różnice w szerokości pasma sygnału dla obydwu przypadków, uzyskanie podobnego prawdopodobieństwa detekcji wymaga znacznie różniących się czasów integracji oraz wejściowego stosunku sygnału do szumu. W przypadku radia FM konieczne są dłuższe czasy integracji oraz większe poziomy wejściowego stosunku sygnału do szumu niż dla telewizji DVB-T. Założenie o stałej amplitudzie echa sygnału jest w radiolokacji założeniem dosyć mocnym. W praktyce często występują fluktuacje powierzchni skutecznej w wyniku wielodrogowości, zmiany kąta obserwacji oraz zmiany warunków propagacyjnych. Efekty te nasilają się wraz ze wzrostem częstotliwości. Ponieważ radary pasywne pracują na stosunkowo niskich częstotliwościach (rzędu kilkuset megaherców), większość z tych efektów może być zaniedbanych. W [72] autor przeanalizował średnie czasy fluktuacji związane z wielodrogowością i zmianą kąta obserwacji dla ruchu prostoliniowego oraz skrętu po okręgu. Otrzymane wyniki pozwalają stwierdzić, że w typowych sytuacjach i przy typowych dla radaru pasywnego parametrach czas fluktuacji wynosi od kilku do kilkudziesięciu sekund, co z powodzeniem upoważnia do stosowania założenia o stałej amplitudzie echa P d.4 P fa = P fa = 1 5 P fa = SNR [db] 15 2 Rys Prawdopodobieństwo detekcji w funkcji SNR 52

53 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym (a) 1.8 (b) P d SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db T [s] P d.4.2 SNR in = 54.5 db SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db T [s] Rys Prawdopodobieństwo detekcji w funkcji czasu integracji T (P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz) 4.3 Dokładność estymacji bistatycznych parametrów ruchu Pozycja wykrycia na dwuwymiarowej powierzchni modułu funkcji nieoznaczoności (3.9) określa zgrubne estymaty bistatycznej odległości oraz prędkości obiektu. Dokładność wyznaczenia parametrów ruchu na podstawie pozycji komórki zawierającej wykrycie jest ograniczona do rozmiaru komórek rozróżnialności zdefiniowanych za pomocą wzorów: R = c B, (4.11) V = λ T, (4.12) gdzie R jest rozmiarem komórki rozróżnialności odległościowej, a V jest rozmiarem komórki rozróżnialności prędkościowej. 53

54 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Osiągalna dokładność estymacji parametru jest zazwyczaj dużo lepsza niż wynikałoby to ze wzorów (4.11) oraz (4.12) i jest zależna od stosunku sygnału do szumu. Zwykle przyjmuje się, że odchylenie standardowe błędu estymacji jest odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka ze stosunku sygnału do szumu [1], [89]. W niniejszej pracy przyjęto, że dokładność pomiaru może być modelowana jako: σ R = C R SNR R (4.13) oraz σ V = C V SNR V, (4.14) gdzie C R i C V są pewnymi współczynnikami zależnymi od zastosowanej metody estymacji 1. W pracy [96] wyprowadzono granice Craméra-Rao dla estymacji parametrów obiektów ruchomych w radarze FMCW (ang. Frequency Modulated Continuous Wave). Mają one postać zgodną ze wzorami (4.13) i (4.14), a wyznaczone współczynniki proporcjonalności C R i C V mają wartość ok..4. W niniejszej pracy autor wyznaczył wartości współczynników dla radaru pasywnego przez porównanie wyników symulacji wybranej metody estymacji z modelem określonym wzorami (4.13) i (4.14) (por. p. 6.3). Wykresy miary dokładności pomiaru bistatycznych parametrów ruchu obliczonej według zależności (4.13) i (4.14) dla C R = 1. i C V = 1. przedstawiono na rysunkach 4.4 i 4.5. Obliczenia wykonano dla parametrów typowych dla sygnału radia FM [ ] [ ] rys. 4.4(a) i 4.5(a) oraz dla sygnału telewizji DVB-T rys. 4.4(b) i 4.5(b). Ponadto przyjęto, że czas integracji T wynosi 1 s dla radia FM oraz.1 s dla telewizji DVB- T. W rezultacie rozmiar komórki odległościowej R wynosi 6 km (FM) i 37.5 m (DVB-T), natomiast komórki prędkościowej V 3 m/s (FM) i 5 m/s (DVB-T). Wykresy pokazują, że możliwa do osiągnięcia dokładność estymacji jest znacznie lepsza niż rozmiar komórki rozdzielczości. Dla SNR = 2 db osiągalna dokładność wynosi.1 rozmiaru komórki rozdzielczości. 4.4 Model dynamiczny ruchu obiektu oraz model pomiaru Podstawowym elementem większości układów śledzenia jest filtr Kalmana lub jego odmiana. Filtr Kalmana jest oparty na określonym modelu dynamicznym śledzonego 1 Warto nadmienić, że w niniejszej pracy dokładność estymacji parametru odnosi się do przypadku, w którym obiekt jest wykryty. Inaczej mówiąc, jest to dokładność estymacji pod warunkiem detekcji obiektu. 54

55 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym (a) 2 15 σ R [m] 1 5 (b) SNR [db] 1 5 σ R [m] SNR [db] Rys Odchylenie standardowe błędu estymacji bistatycznej odległości w funkcji SNR (C R = 1.); (a) dla parametrów sygnału radia FM ( R = 6 km), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T ( R = 37.5 m) procesu oraz na modelu pomiaru. W niniejszym punkcie przedstawiono model ruchu oraz pomiaru wykorzystywany w dalszej części pracy. Ze względu na dyskretny charakter pomiaru parametrów ruchu obiektu, wynikający z podziału sygnału na przedziały obserwacji, należy rozpatrywać model ruchu w dziedzinie czasu dyskretnego. Istnieją dwie metody otrzymywania modelu ruchu. Można go skonstruować bezpośrednio w dziedzinie dyskretnej bądź w wyniku dyskretyzacji modelu ciągłego [11]. W pracy przyjęto drugie podejście ze względu na bliższe relacje między fizycznymi parametrami ruchu a parametrami modelu. W przypadku braku wiedzy o deterministycznym wymuszeniu równanie stanu można zapisać w postaci równania różniczkowego pierwszego rzędu [61], [11]: ẋ c (t) = Ax c (t) + Bu(t), (4.15) 55

56 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym (a) 1.8 σ V [m/s] (b) SNR [db] σ V [m/s] SNR [db] Rys Odchylenie standardowe błędu estymacji bistatycznej prędkości w funkcji SNR (C V = 1.); (a) dla parametrów sygnału radia FM ( V = 3 m/s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T ( V = 5 m/s) gdzie x c (t) jest wektorem stanu, A jest macierzą przejścia, B jest wektorem wzmocnienia szumu, a u(t) jest białym gaussowskim szumem procesu o zerowej wartości średniej. Szum procesu reprezentuje nieznane dla obserwatora zmiany wektora stanu. Przyjmując wielomianowy model ruchu trzeciego stopnia i stosując dobrze znany z literatury model z prawie stałym przyspieszeniem [61], powyższe równanie można przedstawić jako: Ṙ(t) V (t) A(t) = 1 R(t) 1 V (t) A(t) + 1 u(t). (4.16) Aby zastosować filtr Kalmana do śledzenia obiektów w radarze, należy powyższy model zdyskretyzować. Procedura ta polega na rozwiązaniu równania różniczkowego, 56

57 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym a następnie wyznaczeniu odpowiednich wielkości w następującym modelu dyskretnym [11]: x(k + 1) = Fx(k) + u(k), (4.17) gdzie x(n) jest wektorem stanu w dziedzinie czasu dyskretnego, F jest macierzą przejścia w dziedzinie czasu dyskretnego, natomiast u(k) jest szumem procesu w dziedzinie czasu dyskretnego. Po odpowiednich obliczeniach dyskretny model można zapisać w postaci [11]: R(k + 1) V (k + 1) A(k + 1) = 1 T T 2 /2 R(k) 1 T V (k) 1 A(k) + u(k), (4.18) gdzie u(k) jest wektorem dyskretnego szumu procesu o macierzy kowariancji: E [ u(k)u (j) ] = δ(k, j)q, (4.19) δ(k, j) jest funkcją Kroneckera zdefiniowaną jako: δ(k, j) = { 1 k = j k j, (4.2) a Q = q T 5 /2 T 4 /8 T 3 /6 T 4 /8 T 3 /3 T 2 /2 T 3 /6 T 2 /2 T, (4.21) gdzie q jest widmową gęstością mocy szumu procesu, określającą jego intensywność. Pomiar jest modelowany przez: z(k) = Hx(k) + w(k), (4.22) gdzie z(k) jest wektorem pomiarowym, H jest macierzą wyjściową (transformującą wektor stanu w wektor pomiarowy), a w(k) jest wektorem błędu pomiaru o rozkładzie normalnym i macierzy kowariancji E [ w(k)w (j) ] = δ(k, j)r, (4.23) 57

58 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym gdzie R = [ σ 2 R σ 2 V ], (4.24) zaś σ R i σ V są odpowiednio dokładnościami pomiaru bistatycznej odległości oraz bistatycznej prędkości, wyrażonymi wzorami (4.13) i (4.14). Zgodnie z opisanym wcześniej schematem detekcji i estymacji, radar pasywny mierzy bezpośrednio bistatyczną odległość i prędkość, zatem równanie pomiarowe można zapisać jako: [ ˆR(k) ˆV (k) ] = [ 1 1 ] R(k) V (k) A(k) + [ nr (k) n V (k) ], (4.25) gdzie n R (k) jest błędem pomiaru bistatycznej odległości o odchyleniu standardowym σ R, natomiast n V (k) jest błędem pomiaru bistatycznej prędkości o odchyleniu standardowym σ V. 4.5 Filtr Kalmana Przyjmując model dynamiczny stanu oraz model pomiaru przedstawiony w poprzednim punkcie, optymalnym rozwiązaniem zagadnienia estymacji wektora stanu w sensie kryterium minimum błędu średniokwadratowego (ang. Minimum Mean Square Error MMSE) jest filtr Kalmana. Optymalna filtracja kalmanowska składa się z dwóch kroków: predykcji oraz filtracji [41], [12], [1]. Predykcja stanu obiektu na następną obserwację jest dokonywana zgodnie z modelem (4.17) z pominięciem nieznanego składnika szumowego: ˆx(k + 1 k) = Fˆx(k k), (4.26) gdzie ˆx(k +1 k) jest estymatą a priori wektora stanu, a ˆx(k k) jest estymatą a posteriori wektora stanu. Macierz kowariancji estymaty procesu zmienia się zgodnie z równaniem: P(k + 1 k) = FP(k k)f + Q, (4.27) 58

59 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym gdzie P(k + 1 k) = E [x(k + 1 k)x (k + 1 k)] jest macierzą kowariancji estymaty stanu a priori, natomiast P(k k) = E [x(k k)x (k k)] jest macierzą kowariancji estymaty stanu a posteriori. W fazie filtracji informacja o estymowanym procesie pochodząca z przeszłych obserwacji jest łączona z bieżącym pomiarem. Różnica pomiędzy rzeczywistym i predykowanym pomiarem, nazywana innowacją, jest obliczana jako: v(k + 1) = z(k + 1) Hˆx(k + 1 k). (4.28) Niepewność związana z innowacją jest wyrażana przez macierz kowariancji innowacji: S(k + 1) = E [ v(k + 1)v (k + 1) ] = HP(k + 1 k)h + R. (4.29) Stopnień, w jakim nowy pomiar powinien być brany pod uwagę, jest określany przez wzmocnienie Kalmana: K(k + 1) = P(k + 1 k)h S 1 (k + 1). (4.3) Zaktualizowana estymata stanu obliczana jest następująco: ˆx(k + 1 k + 1) = ˆx(k + 1 k) + K(k + 1)v(k + 1), (4.31) natomiast macierz kowariancji estymaty zmienia się z zgodnie z zależnością: P(k + 1 k + 1) = P(k + 1 k) K(k + 1)HP(k + 1 k). (4.32) Wektor stanu w filtrze Kalmana jest inicjalizowany pierwszym pomiarem. Ponieważ wektor pomiarowy składa się z bistatycznej odległości oraz bistatycznej prędkości, w pierwszej obserwacji informacja o bistatycznym przyspieszeniu nie jest dostępna. W pracy przyjęto, że przyspieszenie bistatyczne w zainicjalizowanym wektorze stanu jest równe zeru: ˆx( ) = [ z() ] = ˆR() ˆV (). (4.33) Ewentualne zmiany prędkości wywołane przyspieszeniem są uwzględnianie w macierzy kowariancji poprzez ustalenie określonej wariancji. Alternatywnym rozwiązaniem jest 59

60 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Inicjalizacja: ˆx( ) = z() σ R 2 P( ) = σ V 2 σa 2 Predykcja: ˆx(k + 1 k) = Fˆx(k k) P(k + 1 k) = FP(k k)f + Q Filtracja: S(k + 1) = HP(k + 1 k)h + R K(k + 1) = P(k + 1 k)h S 1 (k + 1) v(k + 1) = z(k + 1) Hˆx(k + 1 k) ˆx(k + 1 k + 1) = ˆx(k + 1 k) + K(k + 1)v(k + 1) P(k +1 k +1) = P(k +1 k) K(k +1)HP(k +1 k) początkowa estymata wektora stanu początkowa macierz kowariancji estymata wektora stanu a priori macierz kowariancji a priori macierz kowariancji innowacji wzmocnienie Kalmana wektor innowacji estymata wektora stanu a posteriori macierz kowariancji a posteriori Tablica 4.1. Równania filtru Kalmana inicjalizacja dwupunktowa, co oznacza, że potrzebne są dwa pomiary do inicjalizacji wektora stanu, przy czym przyspieszenie jest obliczane z różnicy prędkości w kolejnych pomiarach. Początkowa wartość macierzy kowariancji estymaty procesu ma postać: P( ) = σ 2 R σ 2 V, (4.34) σ 2 A gdzie σa 2 jest parametrem projektowym filtru odzwierciedlającym spodziewany zakres występujących przyspieszeń bistatycznych. Przy założeniu, że przyspieszenie jest zmienną losową rozłożoną równomiernie w przedziale A max, A max, otrzymuje się: σ 2 A = A2 max 3. (4.35) Równania opisujące filtrację kalmanowską zestawiono w tablicy

61 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym W procesie śledzenia obiektów w radarze każdemu obiektowi przyporządkowuje się trasę określającą estymatę wektora stanu ˆx(k k) oraz macierz kowariancji estymaty P(k k). W realistycznym scenariuszu śledzenia obiektu pomiar z(k) może nie być dostępny w każdej obserwacji. Brak pomiaru może wynikać z braku wykrycia obiektu w danej obserwacji lub braku obecności wykrycia wewnątrz w odpowiedni sposób zdefiniowanej bramki asocjacyjnej (por. p. 4.6). W przypadku braku pomiaru przyporządkowanego do danej trasy stosuje się tylko równania predykcyjne filtru Kalmana, bez równań filtracji. 4.6 Bramka asocjacyjna Jak wcześniej wspomniano, kojarzenie (nazywane również asocjacją lub korelacją) wykryć z trasami odbywa się na podstawie bramek asocjacyjnych. Bramka asocjacyjna jest to obszar wokół przewidywanej pozycji obiektu. Gdy wykrycie znajdzie się w obszarze bramki asocjacyjnej, jest ono przypisywane do danej trasy. Bramka asocjacyjna G jest definiowana następująco: G(k) = { v(k) : v (k)s 1 (k)v(k) γ }, (4.36) gdzie γ jest progiem określającym prawdopodobieństwo znalezienia się pomiaru wewnątrz bramki, pod warunkiem wystąpienia detekcji. Na podstawie założeń przyjętych o estymowanym procesie wektor innowacji v(k) jest dwuwymiarową zmienną losową o rozkładzie gaussowskim i macierzy kowariancji S(k). Wynika z tego, że forma kwadratowa po lewej stronie nierówności w (4.36) ma rozkład χ 2 o n z stopniach swobody, gdzie n z oznacza wymiar wektora z(k). Można zatem odpowiednio dobrać próg γ, tak aby w przypadku wystąpienia detekcji wykrycie znalazło się wewnątrz bramki asocjacyjnej z założonym prawdopodobieństwem P g (np..99). Prawdopodobieństwo P g można więc zapisać jako: P g = P {v (k)s 1 (k)v(k) γ obiekt wykryty}, (4.37) gdzie P {A B} oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B. Objętość bramki korelacyjnej wyznacza się zgodnie ze wzorem [12]: V G (k) = c nz γs(k), (4.38) 61

62 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym gdzie c nz jest objętością kuli o wymiarze n z. Stałą c nz można wyznaczyć ze wzoru: c n = π n/2 Γ(n/2 + 1), (4.39) gdzie Γ( ) jest funkcją gamma Eulera [11]. W rozważanym przypadku n z = 2, a więc c nz = π. Liczbę komórek rozróżnialności wewnątrz bramki można obliczyć następująco: Wartość N G (k) nie musi być liczbą całkowitą. N G (k) = V G(k) R V. (4.4) 4.7 Algorytm śledzenia Schemat działania rozważanego w pracy układu śledzenia przedstawiono na rys Wykrycia pochodzące z układu detekcji są w pierwszym etapie przyporządkowywane do tras potwierdzonych tras, które zostały uznane za odpowiadające prawdziwym obiektom. Wektor stanu danej trasy jest aktualizowany pomiarem zgodnie z równaniami filtracji z tablicy 4.1. Status tras nieskojarzonych z żadnymi wykryciami jest badany pod kątem ich skasowania. Jeśli trasa nie była aktualizowana zbyt długo, jest ona usuwana. Wykrycia, które nie zostały przypisane do tras potwierdzonych, są następnie kojarzone z trasami tymczasowymi trasami, co do których nie ma pewności, czy odpowiadają prawdziwym obiektom. Tu również wykorzystuje się równania filtracji. Trasy tymczasowe są potwierdzane lub kasowane w zależności od spełnienia warunku określającego minimalną liczbę aktualizacji w oknie obserwacji. Wykrycia nieprzypisane ani do tras potwierdzonych, ani tymczasowych są źródłem nowych tras tymczasowych. Nowe trasy są tworzone zgodnie z równaniami inicjalizacji z tablicy 4.1. Wszystkie trasy są następnie przewidywane na kolejną obserwację zgodnie z równaniami predykcji z tablicy Sformułowanie zagadnienia optymalizacji przetwarzania sygnałów Wynikiem końcowym działania współczesnego radaru jest zobrazowanie tras obiektów określających ich położenie, prędkość, kierunek ruchu, itp. Dlatego też, określając osiągi systemu, będące miarodajnym wyznacznikiem jakości działania całego radaru, 62

63 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym wykrycia trasy potwierdzone asocjacja nieprzypisane trasy kasowanie tras nieprzypisane wykrycia przypisane trasy trasy tymczasowe asocjacja nieprzypisane trasy przypisane trasy potwierdzanie /kasowanie tras predykcja nieprzypisane wykrycia inicjalizacja nowe trasy Rys Algorytm działania układu śledzenia należy brać pod uwagę właśnie trasy obiektów, a nie np. wykrycia, które są wynikiem pośrednim. W pracy skupiono się na analizie przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym począwszy od korelacji, na śledzeniu we współrzędnych bistatycznych kończąc. Ostatni etap przetwarzania, jakim jest lokalizacja obiektów we współrzędnych kartezjańskich, nie wchodzi w jej zakres. Można jednakże stwierdzić, iż jakość śledzenia we współrzędnych bistatycznych będzie mała jednoznaczny wpływ na proces lokalizacji obiektów na podstawie danych pochodzących z wielu par nadajnik-odbiornik, tzn. optymalizacja dokładności śledzenia we współrzędnych bistatycznych przyczyni się do zwiększenia dokładności lokalizacji obiektów we współrzędnych kartezjańskich. Ponadto ograniczenie się do analizy śledzenia we współrzędnych bistatycznych prowadzi do wyników niezależnych od geometrii sytuacji radiolokacyjnej, co nie byłoby prawdą przy analizie śledzenia we współrzędnych kartezjańskich. Proces śledzenia obiektów można podzielić na następujące etapy: inicjalizacja, utrzymanie oraz kasowanie trasy. W niniejszej pracy skupiono się na optymalizacji dwóch wybranych parametrów systemu: minimalizacji średniego czasu potwierdzenia trasy prawdziwej 2 oraz minimalizacji błędu śledzenia bistatycznej odległości. Uwzględ- 2 Trasa prawdziwa odpowiada rzeczywistemu obiektowi, w przeciwieństwie do trasy fałszywej powstałej wyłącznie na skutek występowania fałszywych wykryć. 63

64 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym niane w trakcie optymalizacji dodatkowe ograniczenia częstości inicjalizacji tras fałszywych, prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej oraz średniego czasu kasowania trasy fałszywej dają w rezultacie całościowe podejście do procesu śledzenia, obejmujące wszystkie fazy życia trasy. Poniżej przedstawiono uzasadnienie wyboru wymienionych parametrów. Przy tworzeniu nowej trasy na podstawie wykryć istotnymi wyznacznikami jakości działania mogą być: szybkość inicjalizacji trasy, prawdopodobieństwo inicjalizacji trasy po określonym czasie, prawdopodobieństwo inicjalizacji trasy fałszywej, itp. W pracy zdecydowano się na definicję jakości inicjalizacji na podstawie średniego czasu potrzebnego na inicjalizację trasy prawdziwej. Jak wspomniano wcześniej, wprowadzenie dodatkowego etapu śledzenia we współrzędnych bistatycznych w znaczący sposób ułatwia lokalizację oraz śledzenie obiektów we współrzędnych kartezjańskich. Wadą takiego rozwiązania jest jednak opóźnienie czasowe wynikające z procesu inicjalizacji trasy. Opóźnienie to może mieć istotne negatywne konsekwencje z punktu widzenia efektywności działania całego systemu. W zastosowaniach militarnych ma to szczególnie duże znaczenie przy wykrywaniu obiektów potencjalnie niebezpiecznych. W takiej sytuacji opóźnienie rzędu kilku lub kilkunastu sekund może decydować o przetrwaniu na polu walki. Zbyt długi proces inicjalizacji trasy może być czynnikiem redukującym efektywne pole pokrycia radaru, ze względu na fakt, że drogę przebytą przez obiekt w czasie potrzebnym do potwierdzenia trasy należy uwzględnić przy obliczaniu efektywnego zasięgu radaru. Ponadto, jak zostanie to pokazane, w pewnych sytuacjach czas potwierdzenia trasy jest dosyć wrażliwy na dobór parametrów przetwarzania. Zastosowanie nieodpowiednich parametrów może doprowadzić do znaczącego wzrostu czasu inicjalizacji trasy, co w praktyce może prowadzić do małego prawdopodobieństwa potwierdzenia trasy, a tym samym małego prawdopodobieństwa wykrycia obiektu przez system. Chcąc zminimalizować wyłącznie średni czas inicjalizacji trasy, należałoby obniżyć próg detekcji oraz zastosować prostą metodę inicjalizacji trasy: każde wykrycie generuje potwierdzoną trasę. Takie podejście doprowadziłby do częstego potwierdzania tras wywołanych fałszywymi wykryciami. Ponieważ do podstawowych funkcji układu śledzenia należy rozróżnianie fałszywych i prawdziwych wykryć, rozwiązanie takie jest nieakceptowalne. Z tego powodu przyjęto ograniczenie stosowane w procesie minimalizacji średniego czasu potwierdzenia trasy prawdziwej, zakładając że częstość inicjalizacji tras fałszywych nie może przekroczyć założonego progu. Dzięki temu trasy potwierdzone na wyjściu układu inicjalizacji z dużą dozą prawdopodobieństwa odpowiadają prawdziwym obiektom. 64

65 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Proces, w którym już zainicjalizowana trasa jest aktualizowana wykryciami z bieżącej obserwacji, jest nazywany utrzymywaniem trasy. W tym przypadku, podobnie jak przy inicjalizacji trasy, również można wymienić szereg parametrów określających jakość działania systemu: dokładność śledzenia, prawdopodobieństwo utracenia trasy, średni czas życia trasy, itp. Autor zdecydował się przyjąć dokładność śledzenia jako najistotniejszy wskaźnik określający śledzenie. Dokładność określenia odległości bistatycznej ma bowiem kluczowe znaczenie w procesie lokalizacji obiektów we współrzędnych kartezjańskich. Ścisła definicja miary dokładności będzie podana w dalszej części pracy. W trakcie utrzymywania trasy jej status jest analizowany na podstawie liczby aktualizacji w określonym przedziale czasu. Jeśli trasa nie została zaktualizowana nowym wykryciem przez zbyt długi czas, jest ona kasowana. Parametry przetwarzania powinny być dobrane w taki sposób, aby skasowanie prawdziwej trasy było mało prawdopodobne. Z drugiej strony, w sytuacji gdy obiekt przestaje być widoczny dla radaru, jego trasa nie powinna istnieć zbyt długo, gdyż może wprowadzać operatora radaru w błąd. Obydwa parametry dotyczące kasowania trasy, tj. prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej oraz średni czas życia trasy fałszywej, zostały wzięte pod uwagę w procesie minimalizacji błędu śledzenia bistatycznej odległości jako ograniczenia. Optymalizacja wybranych wskaźników jakości śledzenia będzie przeprowadzona na podstawie łącznej analizy następujących etapów przetwarzania: korelacji, detekcji i estymacji oraz śledzenia we współrzędnych bistatycznych. W przypadku minimalizacji średniego czasu inicjalizacji trasy dostosowywanymi parametrami przetwarzania sygnałów będą: czas integracji (parametr korelatora), próg detekcji określony przez prawdopodobieństwo fałszywego alarmu (parametr detektora) oraz parametry układu inicjalizacji trasy. Przy minimalizacji błędu śledzenia bistycznej odległości analizowany będzie wpływ następujących parametrów: czasu integracji, progu detekcji oraz parametrów układu kasowania trasy. W pierwszej kolejności przedstawione zostaną dwa osobne problemy optymalizacji: średniego czasu inicjalizacji trasy (por. p. 5.4) oraz dokładności śledzenia (por. p. 5.5). Następnie opisane zostanie zagadnienie łącznej optymalizacji tych dwóch wskaźników (por. p. 5.6). 65

66 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym 4.9 Przegląd metod śledzenia obiektów W literaturze fachowej na temat śledzenia obiektów w radarze wyróżnia się określone klasy zagadnień, w zależności od braku lub występowania fałszywych wykryć, liczby sensorów oraz liczby śledzonych obiektów [12]. Problem inicjalizacji trasy oraz śledzenia rozważany w tej pracy mieści się w obszarze zagadnień dotyczących śledzenia pojedynczego obiektu za pomocą pojedynczego sensora w obecności zakłóceń (ang. single-sensor single-target tracking in clutter). Ponieważ śledzenie we współrzędnych bistatycznych odpowiada jednej parze nadajnik-odbiornik, mamy tutaj do czynienia z pojedynczym sensorem (ang. single-sensor). Wyjątkiem są tzw. single frequency networks, czyli sieci nadajników transmitujące ten sam sygnał na tej samej częstotliwości nośnej. Rozwiązanie takie jest stosowane np. w telewizji cyfrowej DVB-T w niektórych krajach, ale nie będzie ono dalej analizowane. W praktyce, oprócz wykryć spowodowanych obecnością obiektu, występują również fałszywe alarmy powstałe na skutek przypadkowych fluktuacji w sygnale odebranym. Układ śledzenia powinien odróżnić przypadkowe wykrycia od wykryć pochodzących od obiektu prawdziwego. Dlatego zagadnienie śledzenia obiektu będzie rozpatrywane przy założeniu obecności zakłóceń (ang. target tracking in clutter). W ogólności może zaistnieć sytuacja, w której obszary bramek asocjacyjnych wielu tras zachodzą na siebie. Powstaje wtedy niejednoznaczność w przypisywaniu wykryć do poszczególnych tras. Takie zagadnienie nazywa się śledzeniem wielu obiektów (ang. multi-target tracking). W niniejszej pracy ograniczono się do analizy śledzenia pojedynczego obiektu (ang. single-target tracking), tzn. zakłada się, że w systemie może istnieć wiele tras jednocześnie, ale bramki asocjacyjne tych tras nie zachodzą na siebie. Poniżej przedstawiono krótki przegląd algorytmów stosowanych we współczesnych układach śledzenia. Metody podzielono na trzy grupy: metody estymacji stanu, metody asocjacji danych oraz metody inicjalizacji i kasowania trasy. W każdej z nich przedstawiono najpopularniejsze algorytmy opisywane w literaturze, a następnie wskazano algorytmy wykorzystywane przez autora, uzasadniając przy tym ich wybór. W rozdziale piątym algorytmy te posłużyły do skonstruowania układu śledzenia, a w dalszej kolejności do optymalizacji jego wybranych parametrów Metody estymacji stanu Układ śledzenia obiektów w radarze realizuje dwa główne zadania: estymację stanu obiektu oraz asocjację danych (przypisywanie wykryć do tras). Estymacja stanu jest 66

67 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym zazwyczaj dokonywana przez zastosowanie filtru Kalmana lub jego odmian. Przy spełnieniu wszystkich założeń poczynionych przy wyprowadzaniu równań filtru Kalmana, otrzymuje się rozwiązanie optymalne (w sensie kryterium MMSE). Głównymi założeniami są: gaussowski charakter błędu pomiaru i szumu procesu, brak korelacji błędów pomiaru i szumu procesu oraz zgodność założonego modelu ruchu z rzeczywistym ruchem obiektu. Do głównych odmian filtru Kalmana stosowanych w praktycznych zagadnieniach śledzenia należą: Rozszerzony filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter EKF); Filtr Alfa-Beta lub filtr Alfa-Beta-Gamma; Modele wzajemnie oddziałujące (ang. Interacting Multiple Models IMM). W przypadku kiedy związek wektora stanu oraz wektora pomiarowego lub/i ewolucja wektora stanu są opisane za pomocą funkcji nieliniowej, stosuje się rozszerzony filtr Kalmana (ang. Extended Kalman Filter EKF) [12]. Sam filtr działa identycznie z podstawową wersją filtru Kalmana, przy czym macierze używane przy filtracji powstają przez linearyzację odpowiednich równań nieliniowych. Rozwiązanie takie jest często stosowane w radarach monostatycznych do konwersji pomiarów ze współrzędnych biegunowych do kartezjańskich. Filtry Alfa-Beta i Alfa-Beta-Gamma są uproszczonymi (suboptymalnymi) wersjami filtru Kalmana, używanymi w przypadku wektorów stanu składających się odpowiednio z położenia i prędkości oraz położenia, prędkości i przyspieszenia [12], [11]. W filtrach tych wzmocnienia są stałe i oblicza się je na etapie projektowania. Jest to równoważne przyjęciu wzmocnienia jak w standardowym filtrze Kalmana pracującym w stanie ustalonym. Ich działanie jest suboptymalne, gdyż nie bierze się tutaj pod uwagę zmiany wartości macierzy kowariancji wektora stanu w trakcie śledzenia. Ten typ filtru był popularny w czasach, kiedy implementacja pełnego filtru Kalmana była trudna ze względu na duży nakład obliczeniowy. Obecnie filtry Alfa-Beta(-Gamma) spotyka się jeszcze w prostych układach śledzenia. Ponieważ obiekt może charakteryzować się różnymi parametrami ruchu w zależności od aktualnie wykonywanego manewru, niekiedy trudno jest dobrać jeden odpowiedni model ruchu. Jednym z rozwiązań tego problemu jest technika IMM [12], [82]. W metodzie tej projektant systemu wybiera kilka modeli ruchu, które w możliwie pełny sposób opisują wszystkie potencjalne manewry obiektu. Każdy z tych modeli jest aktualizowany bieżącym pomiarem, a estymata stanu obiektu jest sumą ważoną wszystkich modeli. Wagi są uzależnione od wyliczonego prawdopodobieństwa poprawności 67

68 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym danego modelu. Algorytm IMM jest popularny w radarach monostatycznych, gdzie zależności między parametrami obiektu we współrzędnych kartezjańskich i współrzędnych biegunowych (mierzonych przez radar) są dosyć proste. Najczęściej stosowane modele to ruch prostoliniowy, skręt po okręgu lub modele o znacznie różniącej się intensywności szumu procesu. W pracy przyjęto, że wykorzystywaną metodą estymacji stanu będzie podstawowa (liniowa) wersja filtru Kalmana operująca we współrzędnych bistatycznych. W przypadku radaru bistatycznego zależności między parametrami ruchu we współrzędnych kartezjańskich i bistatycznych wyrażają się skomplikowanymi funkcjami nieliniowymi (2.1), (2.2) i (2.5). Z tego powodu przyjęto model ruchu oparty na uogólnionej postaci odległości bistatycznej wyrażonej przez wielomian (2.6). Założono, iż wielomian drugiego stopnia będzie wystarczająco dokładnie opisywał ruch obiektu. Słuszność takiego założenia została potwierdzona przez autora na podstawie symulacji oraz zarejestrowanych danych rzeczywistych, jak również przez innych autorów, np. w [39]. Przy estymacji stanu we współrzędnych bistatycznych zarówno wektor stanu, jak i wektor pomiarowy wyrażone są w tych samych współrzędnych. Oznacza to, że są one powiązane przekształceniem liniowym i uzasadnione jest wykorzystanie liniowego filtru Kalmana Metody asocjacji danych Drugie z głównych zadań układu śledzenia, tj. asocjacja danych, może stanowić poważne wyzwanie, zwłaszcza przy dużej liczbie fałszywych wykryć, wielu obiektach oraz wielu sensorach. W pracy zagadnienie śledzenia jest ograniczone do klasy problemów śledzenia pojedynczego obiektu przez jeden sensor w obecności zakłóceń. W takim przypadku dla każdej trasy tworzy się bramkę asocjacyjną, będącą obszarem wokół przewidywanej pozycji obiektu. Wykrycie (lub wykrycia) znajdujące się wewnątrz bramki są przypisywane do danej trasy. Różne metody asocjacji danych w odmienny sposób uwzględniają obecność wielu wykryć wewnątrz bramki asocjacyjnej. Do najpopularniejszych metod asocjacji należą: NNF (ang. Nearest Neighbor Filter) algorytm najbliższego sąsiada; SNF (ang. Strongest Neighbor Filter) algorytm najsilniejszego sąsiada; PDAF (ang. Probabilistic Data Association Filter) probabilistyczny algorytm asocjacyjny; 68

69 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym PNNF (ang. Probabilistic Nearest Neighbor Filter) probabilistyczny algorytm najbliższego sąsiada. W metodzie NNF do aktualizacji trasy wykorzystuje się tylko wykrycie znajdujące się najbliżej przewidywanej pozycji obiektu [6]. Pozostałe wykrycia z bramki są ignorowane. Zakłada się, że wszystkie wykrycia służące do aktualizacji trasy pochodzą od prawdziwego obiektu nie stosuje się mechanizmu zwiększania niepewności estymaty wynikającej z potencjalnej możliwości błędnego przypisania fałszywych wykryć do trasy. Jest to cecha niepożądana, zwłaszcza przy dużej gęstości fałszywych wykryć. W algorytmie SNF do aktualizacji trasy wykorzystuje się najsilniejsze wykrycie spośród wszystkich znajdujących się wewnątrz bramki asocjacyjnej [59]. Podczas gdy metoda NNF jest używana do śledzenia obiektów w radarze, SNF znajduje zastosowanie głównie w sonarach. W metodzie PDAF aktualizacja wektora stanu odbywa się na podstawie wszystkich wykryć wewnątrz bramki asocjacyjnej [56]. Poszczególne wykrycia są uwzględniane z wagami zależnymi między innymi od odległości od przewidywanej pozycji obiektu. Obliczane jest także prawdopodobieństwo tego, że żadne z wykryć nie pochodzi od obiektu. Metoda ta charakteryzuje się stosunkowo dużą odpornością na fałszywe wykrycia. Algorytm PNNF jest modyfikacją algorytmu NNF polegającą na uwzględnieniu możliwości występowania fałszywych wykryć w bramce asocjacyjnej [55], [12]. Gdy w danej obserwacji znajduje się przynajmniej jedno wykrycie wewnątrz bramki, wyznaczane jest prawdopodobieństwo tego, że jest to wykrycie fałszywe. Obliczone prawdopodobieństwo jest wykorzystywane przy aktualizacji wektora stanu oraz jego macierzy kowariancji. W dalszych rozważaniach zastosowano pierwszą z wymienionych metod asocjacji danych (NNF). Fakt, że należy ona do najprostszych, nie stanowi istotnego ograniczenia w analizowanym problemie śledzenia obiektu. Bardziej zaawansowane metody asocjacji danych, takie jak PDAF, wykazują przewagę nad swoimi prostszymi odpowiednikami w sytuacjach, gdy prawdopodobieństwo wystąpienia wielu fałszywych wykryć w bramce nie jest pomijalne. W radarze pasywnym, ze względu na dużą częstość odświeżania danych, rozmiar bramki asocjacyjnej (wyrażony w komórkach rozróżnialności) jest mały. Dzięki temu prawdopodobieństwo znalezienia się fałszywego wykrycia wewnątrz bramki, zależne od rozmiaru bramki i prawdopodobieństwa fałszywego alarmu, są znikome. 69

70 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym Metody inicjalizacji oraz kasowania trasy Proces tworzenia nowych tras na podstawie nieprzyporządkowanych wykryć jest nazywany inicjalizacją lub potwierdzaniem trasy. Zwykle nieprzypisane wykrycia są źródłami nowych, tymczasowych tras. Po pewnej liczbie obserwacji trasa tymczasowa jest potwierdzana lub kasowana, w zależności od spełnienia określonego warunku. Istnieje wiele metod służących do inicjalizacji trasy, spośród których najpopularniejsze to [12]: Logika kaskadowa potwierdzanie trasy na podstawie liczby aktualizacji trasy w określonej liczbie obserwacji; Logika kaskadowa z obliczaniem logarytmicznej funkcji wiarygodności logika kaskadowa z obliczaniem sumy znormalizowanych odległości wykryć od przewidywanej pozycji; IMMPDAF (ang. Interactive Multiple Model Probabilistic Data Association Filter) zastosowanie dwóch modeli: brak obiektu i obiekt obecny ; IMMPDAFAI (ang. IMMPDAF Amplitude Information) metoda IMMPDAF z dodatkowym zastosowaniem informacji o amplitudzie echa; MHT (ang. Multiple Hypothesis Tracking) ewaluacja wszystkich możliwych sekwencji pomiarów. W pierwszej metodzie potwierdzenia trasy dokonuje się, biorąc pod uwagę liczbę aktualizacji trasy w kolejnych obserwacjach w określonym oknie obserwacji o długości N c [23]. Jeśli w N c kolejnych obserwacjach trasa była zaktualizowana na podstawie wykrycia przynajmniej M c razy, to jej status jest zmieniany z tymczasowej na potwierdzony. W innym przypadku trasa jest kasowana. Jest to tzw. logika M c /N c 3. Istnieje także odmiana tej techniki, na którą składają się dwa etapy inicjalizacji: w pierwszym wymagane jest wystąpienie wykryć w dwóch kolejnych obserwacjach (logika 2/2 ), natomiast w drugim etapie stosowana jest klasyczna logika M c /N c. W rezultacie powstaje algorytm 2/2xM c /N c [9]. Rozwiązanie takie jest zwykle stosowane w radarach, w których mierzona jest tylko odległość i konieczne są dwa kolejne pomiary w celu określenia prędkości obiektu (inaczej rozmiar bramki uległby niedopuszczalnemu powiększeniu). 3 W literaturze zwykle spotyka się oznaczenie M/N, ale w niniejszej pracy wprowadzono rozróżnienie na logikę inicjalizacji trasy M c /N c óraz logikę kasowania trasy M t /N t. 7

71 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym bramka asocjacyjna k = 3 k = 4 k = 2 przewidywana pozycja k = k = 1 wykrycie okno o d³ugoœci 4 k = (utworzenie trasy tymczasowej) k = 3 (potwierdzenie trasy tymczasowej) k (numer obserwacji) Rys Przykład inicjalizacji trasy przy zastosowaniu logiki kaskadowej 3/4. Ilustrację inicjalizacji trasy przy zastosowaniu logiki kaskadowej 3/4 przedstawiono na rys Wykrycie w chwili k = powoduje wygenerowanie trasy tymczasowej. Tworzona jest również bramka asocjacyjna, w której spodziewane są następne wykrycia. W kolejnych krokach zliczana jest liczba obserwacji, w których wykrycie wystąpiło w bramce. W chwili k = 3 liczba aktualizacji trasy na podstawie wykrycia wynosi 3, a więc warunek potwierdzenia trasy 3/4 został spełniony. W metodzie drugiej uwzględnia się dodatkowo informację o rozmieszczeniu wykryć wewnątrz bramki asocjacyjnej [1]. W celu poprawienia zdolności odróżniania wykryć prawdziwych od fałszywych wykorzystuje się ich różne rozkłady prawdopodobieństwa położenia. Przy założeniach o gaussowskim charakterze błędów pomiaru oraz szumu procesu, funkcja gęstości prawdopodobieństwa wektora innowacji odpowiadającego obiektowi ma wielowymiarowy rozkład normalny o zerowej wartości średniej. Z kolei fałszywe wykrycia mają rozkład równomierny. Fakt ten pozwala na rozróżnienie (w sensie statystycznym) sekwencji przypadkowych fałszywych alarmów i wykryć pochodzących od prawdziwego obiektu. Metoda IMMPDAF jest połączeniem techniki wielu modeli IMM oraz probabilistycznej asocjacji danych PDAF [8]. W metodzie tej przyjmuje się dwa modele: brak obiektu oraz obiekt obecny. Różnią się one założonym prawdopodobieństwem de- 71

72 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym tekcji. W pierwszym przypadku prawdopodobieństwo detekcji jest zerowe, a w drugim różne od zera. Początkowo zakłada się, że prawdopodobieństwo poprawności obydwu modeli jest jednakowe i równe.5. W kolejnych obserwacjach prawdopodobieństwo poprawności modeli jest modyfikowane za pomocą wartości funkcji wiarygodności obliczanej w dwóch działających równolegle filtrach PDAF. Po określonej liczbie obserwacji prawdopodobieństwo prawdziwości modelu obiekt obecny jest porównywane z ustalonym progiem i na tej podstawie trasa tymczasowa jest potwierdzana lub odrzucana. IMMPDAFAI jest modyfikacją powyższej metody polegającą na dodatkowym wykorzystaniu informacji o amplitudzie wykrycia [52]. Dokładniej rzecz biorąc, oblicza się amplitudowy iloraz wiarygodności będący stosunkiem funkcji gęstości prawdopodobieństwa szumu i echa oraz samego szumu. Następnie iloraz wiarygodności jest stosowany w filtrze PDAF jako waga, dzięki czemu silniejsze wykrycia mają większy wpływ na łączną estymatę stanu oraz macierz kowariancji. W metodzie MHT obliczane jest prawdopodobieństwo wystąpienia wszystkich możliwych sekwencji pomiarów, co może również stanowić podstawę do stworzenia algorytmu inicjalizacji nowych tras [12]. Złożoność obliczeniowa tej metody rośnie z czasem bardzo szybko, dlatego stosuje się zabiegi mające na celu ograniczenie liczby możliwych hipotez, np. przez eliminację hipotez o znikomym prawdopodobieństwie. Ostatnia z metod, jak również liczne modyfikacje metod wymienionych wcześniej [12], dotyczą klasy algorytmów śledzenia wielu obiektów (ang. multi-target tracking), która wykracza poza zakres tej pracy. W pracy zdecydowano się na wykorzystanie pierwszej z metod inicjalizacji trasy. Pomimo swojej prostoty, jest ona nadal często stosowana, a w rozważanym przypadku radaru pasywnego charakteryzuje się dużą efektywnością. Wynika to przede wszystkim ze specyficznych parametrów radaru pasywnego oraz postawionego zadania, tj. szybkiej inicjalizacji trasy. W typowym radarze aktywnym komórka rozróżnialności odległościowej jest stosunkowo mała (na poziomie dziesiątek metrów), natomiast częstość odświeżania danych jest niska (rzędu dziesiątek sekund). Wskutek tego rozmiar bramki asocjacyjnej (wyrażony w komórkach rozróżnialności) musi być duży, aby uwzględnić manewry obiektu oraz długi czas odświeżania. W takim przypadku prosta inicjalizacja trasy na podstawie logiki kaskadowej może być zbyt wrażliwa na fałszywe wykrycia. W radarze pasywnym komórka rozróżnialności jest stosunkowo duża (szczególnie dla radia FM), a czas między poszczególnymi pomiarami krótki. Dzięki temu bramka asocjacyjna 72

73 Analiza przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym (wyrażona w komórkach rozróżnialności) jest dosyć mała. To z kolei przyczynia się do dużej odporności na fałszywe wykrycia. Drugim powodem, dla którego stosowanie bardziej wyrafinowanych metod inicjalizacji nie jest konieczne, jest specyfika zagadnienia sformułowanego w pracy. Jak zostanie to wykazane w dalszej części pracy, wiarygodnej inicjalizacji można dokonać już na podstawie 2 4 obserwacji. W takiej sytuacji przewaga bardziej skomplikowanych metod inicjalizacji nad prostą logiką kaskadową nie jest zauważalna. Przykładowo, wykorzystanie drugiej z wymienionych metod (logiki kaskadowej z obliczaniem funkcji wiarygodności) ma sens dopiero wtedy, gdy dostępne są dwie innowacje, a więc po trzech obserwacjach. Istotną różnicę zauważa się jednak przy większej liczbie obserwacji (powyżej 5) [1]. Zagadnienie kasowania potwierdzonej trasy jest komplementarne wobec inicjalizacji trasy. Gdy trasa zostanie potwierdzona, jej status jest badany w każdej obserwacji. W przypadku spełnienia odpowiedniego warunku, zależnego od zastosowanego algorytmu kasowania, trasa jest usuwana. Przykładowo, dla logiki kaskadowej M t /N t 4 warunkiem skasowania trasy jest M t braków wykryć wewnątrz bramki asocjacyjnej w trakcie ostatnich N t obserwacji. W pracy zastosowano algorytm kasowania trasy oparty na logice kaskadowej M t /N t. 4 Jak już wspomniano, logika kaskadowa w kontekście kasowania trasy będzie oznaczana przez M t /N t. 73

74 Rozdział 5 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Optymalny dobór parametrów przetwarzania sygnałów w radarze był poruszany w literaturze wielokrotnie. Jednak zdaniem autora dostępne publikacje nie wyczerpują tematu, zwłaszcza w przypadku radarów pasywnych. W [25] i [24] przeprowadzono dobór progu detekcji w celu minimalizacji błędu śledzenia na podstawie graficznej metody optymalizacyjnej wykorzystującej krzywe ROC (ang. Receiver Operating Characteristic) i TOC (ang. Tracker Operating Characteristic). Zastosowano przy tym algorytm PDAF oraz metodę globalnego uśredniania służącą do przewidywania zachowania się tego algorytmu w średnim sensie. W [58] posłużono się bardziej wyrafinowaną metodą predykcji zachowania się algorytmu PDAF hybrydowego warunkowego uśredniania HYCA (ang. Hybrid Conditional Averaging). Jako przykład zastosowania tej techniki pokazano dobór progu detekcji w celu optymalizacji czasu życia trasy oraz dokładności śledzenia. Problem optymalizacji rozszerzono na przypadek zmiennej w czasie sytuacji w [26]. Dobierano tam próg detekcji adaptacyjnie tak, aby zminimalizować błąd estymacji a priori (błąd predykcji) lub a posteriori (błąd filtracji). W przytoczonych pracach skupiono się na doborze progu detekcji podstawowego parametru przetwarzania sygnału w radarze. Bardziej rozbudowaną analizę, która uwzględnia również parametry transmitowanego sygnału, takie jak amplituda impulsu, czas jego trwania oraz szybkość zmiany częstotliwości na jednostkę czasu, przeprowadzono w [92], [42] i [13]. Funkcję kosztu w tych publikacjach zdefiniowano jako sumę ważoną dokładności śledzenia (wyrażoną przez pewną funkcję macierzy kowariancji) oraz prawdopodobieństwa utraty trasy. Według wiedzy autora brak jest doniesień literaturowych dotyczących optymalizacji przetwarzania sygnałów w radarach pasywnych. Ze względu na specyfikę tego typu radarów, polegającą na wykorzystaniu zewnętrznych źródeł promieniowania, optyma- 74

75 Optymalizacja przetwarzania sygnałów lizacja parametrów sygnału transmitowanego przez te źródła nie jest możliwa. Radar pasywny oferuje jednak inne możliwości wpływania na osiągi systemu. Dotyczy to głównie czasu integracji, który może być zmieniany w szerokim zakresie. Przyjęte w pracy podejście do zagadnienia optymalizacji różni się nieco od spotykanych w literaturze. Po pierwsze, uwzględniany jest problem inicjalizacji trasy zarówno szybkość inicjalizacji trasy, jak i ograniczenie liczby inicjalizowanych tras fałszywych. Autor nie zetknął się dotychczas z tak postawionym zagadnieniem w literaturze fachowej. Ponadto, przy analizie dokładności śledzenia brane są pod uwagę także parametry powiązane z kasowaniem trasy, tj. prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy fałszywej, co również jest podejściem nowatorskim. Wzory określające te wielkości zostały wyprowadzone samodzielnie przez autora. W rozdziale wykorzystano zależności z poprzedniego rozdziału w celu powiązania określonych wskaźników systemu z parametrami obiektu oraz przetwarzania sygnału. W pierwszej części przeanalizowano kolejno: inicjalizację trasy, dokładność śledzenia oraz kasowanie trasy. Następnie posłużono się otrzymanymi zależnościami do sformułowania problemów optymalizacji numerycznej dotyczących: czasu inicjalizacji trasy, dokładności śledzenia oraz optymalizacji łącznej wiążącej obydwa zagadnienia. 5.1 Analiza inicjalizacji trasy Powszechnie stosowaną metodą opisu i analizy inicjalizacji oraz kasowania tras przy zastosowaniu logiki kaskadowej są łańcuchy Markowa 1 [14], [23], [9], [12], [21]. Przedstawione w pracy wyniki opierają się w dużej mierze na dostępnej literaturze, ale autor rozbudował tę analizę oraz uwzględnił przypadek kasowania trasy. Przy analizie wykorzystującej łańcuchy Markowa występuje skończona liczba stanów trasy S i z określonymi prawdopodobieństwami przejścia pomiędzy stanami. Każdy ze stanów odpowiada sekwencji (lub sekwencjom) wykryć oraz braków wykryć w oknie obserwacji o długości N c. Kumulacyjne prawdopodobieństwo przyjęcia stanu S i do chwili k włącznie oznaczono przez: µ i (k) = P {łańcuch jest w stanie S i do chwili k}, (5.1) 1 Wprawdzie w przypadku analizy inicjalizacji lub kasowania trasy prawdziwej przy stałym prawdopodobieństwie detekcji można wykorzystać uproszczoną metodę opartą na rozkładzie Bernoulliego [7], łańcuchy Markowa stanowią bardziej uniwersalne narzędzie, które może zostać użyte również w przypadku analizy inicjalizacji lub kasowania trasy fałszywej. 75

76 Optymalizacja przetwarzania sygnałów a wektor kolumnowy złożony z tych prawdopodobieństw przez µ(k). Poszczególne prawdopodobieństwa przejść między stanem i a stanem j oznaczono przez π ij, a macierz prawdopodobieństw przez Π = [π ij ]. Wektor kumulacyjnego prawdopodobieństwa osiągnięcia poszczególnych stanów w chwili k + 1 można obliczyć następująco: µ(k + 1) = Π µ(k). (5.2) Prawdopodobieństwo osiągnięcia stanu i w kroku k + 1 może być obliczone jako: m i (k + 1) = µ i (k + 1) µ i (k). (5.3) Dodatkowo zdefiniowano prawdopodobieństwa: π d = P {wykrycie wystąpiło w bramce asocjacyjnej} (5.4) oraz π nd = 1 π d = P {wykrycie nie wystąpiło w bramce asocjacyjnej}. (5.5) Łańcuch Markowa można przedstawić jako graf skierowany, w którym wierzchołki odpowiadają poszczególnym stanom S i, a krawędziom przyporządkowane są prawdopodobieństwa π ij przejść pomiędzy stanami. Przykładowa reprezentacja łańcucha Markowa oraz odpowiednich stanów dla inicjalizacji trasy przy użyciu logiki 2/3 jest pokazana na rys Tabela na tym samym rysunku przedstawia stany inicjalizacji wraz z odpowiadającą im zawartością okna obserwacji. W analizowanym przykładzie długość okna obserwacji wynosi trzy. Jedynka na wybranej pozycji oznacza obecność wykrycia w danej obserwacji, zaś zero jego brak. Nowe obserwacje pojawiają się w oknie z prawej strony. Stan S 5 reprezentuje potwierdzenie trasy i może odpowiadać wielu sekwencjom wykryć, jeśli spełniają one warunek na liczbę wykryć w oknie obserwacji (w tym przypadku jest to 2 z 3). Przy analizie inicjalizacji trasy stan S 5 potwierdzonej trasy jest stanem absorbującym, tzn. jeżeli jest osiągnięty, to nie jest opuszczany. Przy założeniu, że prawdopodobieństwo π d jest takie samo dla wszystkich stanów, macierz prawdopodobieństw przejść między stanami dla analizowanego 76

77 Optymalizacja przetwarzania sygnałów S 1 S 2 S S 1 25 S 2 1 Stan Zawartość okna S S 4 1 S S 5 11 S 5 11 S 5 11 S S 4 S 3 34 Rys Przykładowy graf reprezentujący łańcuch Markowa oraz tablica stanów dla algorytmu inicjalizacji trasy 2/3 ( brak wykrycia, 1 wykrycie wystąpiło) przykładu ma postać: Π = π nd π d π nd π d π nd π d π nd π d 1. (5.6) Przykładowe krzywe kumulacyjnego prawdopodobieństwa potwierdzenia trasy dla logiki 2/3 przedstawiono na rys Dla małych wartości prawdopodobieństwa wykrycia w pojedynczej obserwacji π d kumulacyjne prawdopodobieństwo potwierdzenia trasy µ 5 (k) rośnie wolno. Natomiast dla dużych wartości π d prawdopodobieństwo osiągnięcia stanu potwierdzenia trasy szybko osiąga wartość bliską jedności. Na rysunku 5.3 wykreślono odpowiadające przebiegi prawdopodobieństwa m 5 (k) potwierdzenia trasy w pojedynczej obserwacji. Dla π d =.9 maksymalne prawdopodobieństwo występuje dla k = 2. Dla mniejszych wartości π d prawdopodobieństwo potwierdzenia trasy w pojedynczej obserwacji osiąga dużo niższe wartości. Przyjęto następujące oznaczenia charakterystycznych stanów. Stan początkowy będzie oznaczany przez S s. W przypadku analizy inicjalizacji trasy stan S s odpowiada brakowi wykryć wewnątrz okna obserwacji {,,..., }, natomiast w przypadku analizy kasowania trasy stanem początkowym jest całe okno wypełnione wykryciami {1, 1,..., 1}. Jeśli analizowana będzie inicjalizacja trasy, stan potwierdzenia, w którym spełniony jest warunek M c /N c (M c wykryć w N c obserwacjach), będzie oznaczany przez S c. Jeśli analizie będzie podlegać kasowanie trasy, stan spełniający warunek M t /N t (M t braków wykryć w N t obserwacjach) będzie oznaczany przez S t. 77

78 Optymalizacja przetwarzania sygnałów µ 5 (k).4.2 π d =.3 π d =.5 π d = k Rys Kumulacyjne prawdopodobieństwo potwierdzenia trasy po k obserwacjach (M c = 2, N c = 3) Średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej W przypadku analizy średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej założone będzie, że źródłem wykryć jest tylko obiekt, tj. fałszywe wykrycia są pomijane. W takiej sytuacji prawdopodobieństwo znalezienia się wykrycia wewnątrz bramki jest zależne od prawdopodobieństwa detekcji P d oraz prawdopodobieństwa P g znalezienia się wykrycia wewnątrz bramki, pod warunkiem jego wystąpienia [ por. def. (4.37) ]. Można zatem napisać, że prawdopodobieństwo przejścia do odpowiedniego stanu po wystąpieniu detekcji wynosi π d = P d P g, a przy braku detekcji π nd = 1 P d P g. Analizę rozpoczyna się od chwili k = i stanu początkowego S s, zatem wektor kumulacyjnego prawdopodobieństwa stanów ma postać µ() = [1,,..., ]. Ponadto, stan potwierdzenia trasy S c jest absorbujący, tzn. stan raz osiągnięty, nie jest zmieniany, zatem π ici c = 1 (gdzie i c oznacza numer stanu potwierdzenia). Jako miarę szybkości inicjalizacji trasy przyjęto wartość średnią czasu potwierdzenia trasy: T c = T km ic (k), 2 (5.7) k=1 gdzie T jest czasem odświeżania danych równym czasowi integracji, a m ic (k) jest prawdopodobieństwem osiągnięcia stanu potwierdzenia S c w k-tym kroku. W tablicy 2 Ważniejsze wzory będą umieszczane w ramkach. 78

79 Optymalizacja przetwarzania sygnałów π d =.3 π d =.5 π d =.9.6 m 5 (k) k Rys Prawdopodobieństwo potwierdzenia trasy w pojedynczej k-tej obserwacji (M c = 2, N c = 3) 5.1 podano algorytm obejmujący wzory potrzebne do wyznaczenia średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej. π d = P d P g π nd = 1 P d P g π ij = π d π ij = π nd π icic = 1 Π = [π ij ] prawdopodobieństwo detekcji w bramce prawdopodobieństwo braku detekcji w bramce dla odpowiednich i oraz j dla odpowiednich i oraz j stan potwierdzenia trasy jest absorbujący macierz przejść µ() = [1,,..., ] początkowy wektor prawdopodobieństw stanów µ(k) = (Π ) k µ() wektor prawdopodobieństw po k obserwacjach m ic (k + 1) = µ ic (k + 1) µ ic (k) prawdopodobieństwo potwierdzenia trasy w chwili k+1 T c = T k=1 km i c (k) średni czas potwierdzenia trasy Tablica 5.1. Algorytm wyznaczania średniego czasu potwierdzenia trasy prawdziwej Korzystając ze wzorów z tablicy 5.1, dokonano analizy wpływu wybranych parametrów na średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej. Na rysunku 5.4 pokazano krzywe średniego czasu potwierdzenia trasy w funkcji czasu integracji przy różnych wartościach SNR in dla parametrów typowych dla radia FM oraz telewizji DVB-T. Ponadto, w obliczeniach przyjęto P fa = 1 6, M c = 2, N c = 3. Na podstawie wykresów można stwierdzić, iż optymalna wartość czasu integracji, odpowiadająca minimalnemu cza- 79

80 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db T c [s] (b) T [s] SNR in = 54.5 db 8 SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db T c [s] T [s] Rys Średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej w funkcji czasu integracji T (M c = 2, N c = 3, P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz) sowi potwierdzenia trasy, zmienia się wraz ze zmianą stosunku sygnału do szumu. Przy dużych wartościach parametru SNR in optymalny czas integracji jest mniejszy, zaś przy małych wartościach SNR in czas ten zwiększa się. Ponadto optymalny czas inicjalizacji trasy rośnie wraz ze zmniejszającym się stosunkiem sygnału do szumu. Na podstawie zaprezentowanych wyników można uznać, iż przy nieodpowiednim doborze parametrów przetwarzania średni czas inicjalizacji trasy może osiągnąć bardzo duże wartości. W praktyce oznaczać to może brak potwierdzenia trasy w rozsądnym czasie, a tym samym niezauważenie obiektu. 8

81 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Częstość inicjalizacji trasy fałszywej W przypadku analizy inicjalizacji trasy fałszywej założono, iż prawdopodobieństwo fałszywego alarmu jest stałe i wynosi P fa na jedną komórkę rozróżnialności oraz że jest ono takie samo dla wszystkich komórek i obserwacji. Zakłada się również, że prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch fałszywych alarmów w jednej komórce rozróżnialności jest pomijalnie małe. Prawdopodobieństwo inicjalizacji trasy fałszywej można obliczyć, opierając się na następującej obserwacji: w każdej komórce rozróżnialności w każdej obserwacji może zacząć się sekwencja, która doprowadzi do potwierdzenia fałszywej trasy bądź doprowadzi z powrotem do stanu początkowego [12]. Przyjęto oznaczenie stanu bez wykryć S s = S 1 = {,,..., } oraz z jednym wykryciem S 2 = {, 1,,..., }. Analiza prawdopodobieństwa inicjalizacji trasy fałszywej zaczyna się w chwili k = 1 przy założeniu wektora prawdopodobieństw stanów o postaci µ(1) = [1 P fa, P fa,,..., ]. Oznacza to, że w chwili k = 1 system znajduje się w stanie S 1 z prawdopodobieństwem 1 P fa, a w stanie S 2 z prawdopodobieństwem P fa. Ponadto, stany S s oraz S c są absorbujące, zatem π isi s = 1 i π ici c = 1. Prawdopodobieństwo przejścia do odpowiedniego stanu przy braku wystąpienia detekcji wynosi µ fa () [ por. wzór (4.6) ], przy liczbie komórek N G wynikających z wielkości bramki V G (k). Zaniedbując dyskretyzację liczby komórek w bramce, można przyjąć, że prawdopodobieństwo wystąpienia fałszywego wykrycia w bramce wynosi: π d = 1 µ fa () = 1 (1 P fa ) NG(k). (5.8) Prawdopodobieństwo tego, że w bramce nie wystąpi wykrycie wynosi π nd = 1 π d. Objętość bramki asocjacyjnej zależy od macierzy kowariancji innowacji S(k), a ta z kolei uzależniona jest od sekwencji obecności i braku wykryć wewnątrz bramki w kolejnych obserwacjach. Macierz S(k) zmienia się zgodnie z równaniami filtru Kalmana z tablicy 4.1, przy czym w sytuacji braku detekcji wykorzystuje się tylko równania predykcji. Można to zapisać za pomocą następujących równań: P(k + 1 k) = FP(k k)f + Q, (5.9) S(k + 1) = HP(k + 1 k)h + R, (5.1) K(k + 1) = P(k + 1 k)h S 1 (k + 1), (5.11) P(k + 1 k + 1) = P(k + 1 k) δ d (k + 1)K(k + 1)HP(k + 1 k), (5.12) 81

82 Optymalizacja przetwarzania sygnałów gdzie δ d (k) jest wskaźnikiem wykrycia zdefiniowanym jako: δ d (k) = { brak wykrycia w bramce asocjacyjnej 1 w przeciwnym przypadku. (5.13) Prawdopodobieństwo, że w danej komórce zostanie zainicjowana sekwencja, która doprowadzi do potwierdzenia fałszywej trasy, wynosi µ ic (k) dla k = N c, gdzie N c jest długością okna obserwacji. Z punktu widzenia użytkownika bardziej informacyjnym parametrem jest średnia liczba potwierdzanych tras fałszywych w systemie na jednostkę czasu (częstość potwierdzania tras fałszywych): N f = E { N af } = µ ic (N c )N R N V T, (5.14) gdzie N af jest zmienną losową określającą liczbę potwierdzonych fałszywych tras w systemie na jednostkę czasu, N R jest liczbą komórek odległościowych, a N V jest liczbą komórek prędkościowych obliczanych ze wzorów: N R = R sp R, 3 (5.15) N V = V sp V, (5.16) gdzie R sp i V sp są zakresami odległości i prędkości bistatycznej, dla których obliczana jest funkcja nieoznaczoności wzajemnej, zaś rozmiary komórek rozróżnialności odległościowej i prędkościowej R i V są określone wzorami (4.11) i (4.12). Warto tutaj nadmienić, że wartość N V zależy od czasu integracji, bowiem dłuższy czas integracji powoduje zmniejszenie się rozmiaru komórki prędkościowej [ zgodnie ze wzorem (4.12) ]. Tablica 5.2 przedstawia schematyczny algorytm wyznaczania średniej liczby tras fałszywych inicjalizowanych w jednostce czasu. Na rysunku 5.5 przedstawiono rodzinę wykresów częstości potwierdzania tras fałszywych w funkcji czasu integracji dla różnych wartości prawdopodobieństwa fałszywego alarmu. Dla krótkiego czasu integracji jego wydłużanie powoduje spadek liczby fałszywych tras. Wiąże się to ze zwiększeniem dokładności pomiaru, a zatem ze zmniejszeniem wielkości bramki asocjacyjnej. Dla dłuższych czasów integracji 3 Liczba komórek odległościowych zależy właściwie od częstotliwości próbkowania, a nie od pasma sygnału, jak wynikałoby to z definicji R. W tym przypadku chodzi jednak o efektywną liczbę komórek, dla których przyjmuje się, że fałszywe wykrycia występują niezależnie. Zakładając zatem, że szerokość pasma (zarówno sygnału, jak i szumu) jest ograniczona przez pewien filtr w odbiorniku, efektywny rozmiar komórki odległościowej jest odwrotnie proporcjonalny do szerokości tego pasma, a nie do częstotliwości próbkowania. 82

83 Optymalizacja przetwarzania sygnałów π d = 1 (1 P fa ) N G(k) π nd = (1 P fa ) N G(k) π ij = π d π ij = π nd π isis = 1 π icic = 1 Π = [π ij ] prawdopodobieństwo detekcji w bramce prawdopodobieństwo braku detekcji w bramce dla odpowiednich i oraz j dla odpowiednich i oraz j stan początkowy jest absorbujący stan potwierdzenia trasy jest absorbujący macierz przejść µ(1) = [1 P fa, P fa,,..., ] początkowy wektor prawdopodobieństw stanów µ(n c ) = (Π ) Nc 1 µ(1) N f = µ ic (Nc)N RN V T wektor prawdopodobieństw stanów po N c obserwacjach częstość potwierdzania tras fałszywych Tablica 5.2. Algorytm wyznaczania średniej częstości potwierdzania tras fałszywych obserwuje się odwrotną tendencję, co jest skutkiem przewagi rosnącej niepewności dotyczącej parametrów obiektu, wynikającej z jego manewrowości nad zwiększoną dokładnością pomiaru. Częstość inicjalizowanych tras fałszywych zależy również od prawdopodobieństwa fałszywego alarmu. Im więcej pojawia się fałszywych alarmów, tym więcej fałszywych tras będzie potwierdzanych. Wzór (5.7) określający średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej jest znany z literatury, np. z [9] lub [12]. Podobnie w literaturze spotkać można definicję prawdopodobieństwa inicjalizacji trasy fałszywej. Autor wprowadził natomiast średnią częstość inicjalizacji tras fałszywych w systemie jako uniwersalny parametr uwzględniający zmienny czas odświeżania danych oraz zmienną wielkość komórki rozróżnialności. Dokładniejszą analizę wpływu wybranych parametrów na średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej oraz częstość inicjalizacji tras fałszywych autor przedstawił w [65]. 5.2 Analiza dokładności śledzenia Podstawowym problemem przy przewidywaniu zachowania się układu śledzenia w sensie średnim jest uwzględnienie dwóch typów niepewności: dotyczących wielkości ciągłych oraz wielkości dyskretnych. Do niepewności wielkości ciągłych zaliczyć można błąd pomiaru oraz szum procesu. Do niepewności wielkości dyskretnych należy liczba wykryć znajdujących się wewnątrz bramki asocjacyjnej (np. dla probabilistycznego algorytmu asocjacyjnego PDAF) lub źródło pomiaru zlokalizowanego najbliżej predykowanej pozycji obiektu (prawdziwy obiekt lub fałszywe wykrycie dla algo- 83

84 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) (b) N f [1/s] P fa = 1 6 P fa = 1 5 P fa = T [s] 1 2 N f [1/s] P fa = 1 6 P fa = 1 5 P fa = T [s] Rys Średnia częstość potwierdzania tras fałszywych w funkcji czasu integracji T (M c = 2, N c = 3, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s) rytmu najbliższego sąsiada NNF). Niepewności typu ciągłego mogą być uśrednione i w łatwy sposób uwzględnione w analizie za pomocą wartości oczekiwanej (tutaj zerowej) oraz macierzy kowariancji odpowiednich wektorów. Inaczej wygląda sytuacja w przypadku niepewności natury dyskretnej. Układ śledzenia oparty na algorytmie NNF będzie zachowywał się w zupełnie inny sposób, gdy trasa jest aktualizowana poprawnym wykryciem, a inaczej gdy najbliżej przewidywanej pozycji znajduje się fałszywe wykrycie. Uśrednianie tych dwóch przypadków nie prowadzi do poprawnych wyników. Zagadnienie dokładnego przewidywania zachowania się układu śledzenia (nie tylko w przypadku algorytmu NNF) zyskało duże zainteresowanie w literaturze fachowej. W [95] i [94] przeanalizowano algorytm NNF, modelując błąd śledzenia jako pro- 84

85 Optymalizacja przetwarzania sygnałów ces dyfuzyjny. W [6] wykorzystano technikę hybrydowego warunkowego uśredniania (ang. Hybrid Conditional Averaging HYCA) również w przypadku algorytmu NNF. Inne artykuły poświęcono analizie algorytmu najsilniejszego sąsiada SNF [59], modeli wzajemnie oddziałujących IMM [57] oraz probabilistycznego filtru asocjacyjnego PDAF [56]. W celu analizy dokładności śledzenia obiektu za pomocą algorytmu NNF w pracy wykorzystano wyniki artykułu [6]. Autorzy posłużyli się techniką HYCA do wyznaczenia prawdopodobieństw trzech możliwych zdarzeń: brak wykrycia, wykrycie jest prawdziwe oraz wykrycie jest fałszywe. W artykule obliczono także warunkowe funkcje gęstości prawdopodobieństwa położenia pomiaru dla dwóch przypadków: prawdziwych i fałszywych wykryć. Na tej podstawie wyprowadzono wzory umożliwiające obliczenie uśrednionej macierzy kowariancji estymaty procesu w kolejnych krokach. Tablica 5.3 zawiera iteracyjne wzory służące do obliczania uśrednionych wartości macierzy kowariancji procesu. Równania są przedstawione w postaci uproszczonej, przy założeniu rozmiaru wektora pomiarowego n z = 2. Kreski nad odpowiednimi wartościami oznaczają wartości uśrednione. Parametr λ f określa przestrzenną gęstość fałszywych wykryć równą P fa / R/ V. β jest średnią liczbą fałszywych wykryć w bramce asocjacyjnej o rozmiarze odpowiadającym rozrzutowi wartości równemu pojedynczemu odchyleniu standardowemu (1σ). W algorytmie NNF nie istnieje mechanizm zwiększania niepewności estymaty związany z możliwością występowania fałszywych wykryć, tzn. macierz kowariancji jest obliczana tak, jakby wszystkie pomiary pochodziły od prawdziwego obiektu. Może to doprowadzić do dużej rozbieżności między prawdziwą macierzą kowariancji a macierzą wyliczoną przez filtr, zwłaszcza przy dużych gęstościach fałszywych wykryć. W równaniach z tablicy 5.3 rzeczywista macierz kowariancji [ P(k + 1 k + 1) ] oraz macierz wyznaczona przez algorytm NNF [ PNNF (k + 1 k + 1) ] są obliczane osobno. W dalszej części pracy rzeczywista macierz kowariancji będzie używana do wyznaczenia miary dokładności śledzenia, zaś macierz wyliczona przez filtr będzie wykorzystywana do określenia wielkości bramki asocjacyjnej. Dokładność śledzenia obiektu może być definiowana w różny sposób. Zwykle w radarach monostatycznych dokładność śledzenia określa się jako błąd wyznaczenia pozycji obiektu w dwu- lub trójwymiarowych współrzędnych kartezjańskich. Czasami do definicji dokładności dołącza się także błąd określenia prędkości. Ponieważ odległość oraz prędkość są wyrażone w innych jednostkach, stosuje się normowanie poszczególnych wielkości do np. rozmiaru komórki rozróżnialności lub dokładności pomiaru. 85

86 Optymalizacja przetwarzania sygnałów P(k + 1 k) = FP(k k)f + Q S(k + 1) = HP(k + 1 k)h + R K(k + 1) = P(k + 1 k)h S 1 (k + 1) β = λ f π S(k) 1/2 α = β + 1/2 { c F (k) = β/2 P d /α [ 2 1 (1 + αγ)e αγ] + macierz kowariancji a priori macierz kowariancji innowacji wzmocnienie Kalmana zmienna pomocnicza zmienna pomocnicza +(1 P d )/β 2 [ 1 (1 + βγ)e βγ ]} zmienna powiązana z fałszywymi wykryciami c T (k) = P d /4α 2 [1 (1 + αγ)e αγ ] P(k + 1 k + 1) = P(k + 1 k) [c T (k) c F (k)] K(k + 1)HP(k + 1 k) P NNF (k + 1 k + 1) = P(k + 1 k)+ ] + [1 (1 P d P g )e βγ K(k + 1)HP(k + 1 k) zmienna powiązana z prawdziwymi wykryciami macierz kowariancji a posteriori (rzeczywista) macierz kowariancji a posteriori (wyliczona przez filtr) Tablica 5.3. Wzory opisujące ewolucję uśrednionej macierzy kowariancji dla algorytmu NNF (dla n z = 2) W pracy dokładność śledzenia będzie określana w odniesieniu do bistatycznej odległości, gdyż jest to wielkość mająca zasadniczy wpływ na proces lokalizacji obiektów we współrzędnych kartezjańskich. Ze względu na stosunkowo długi czas integracji w radarze pasywnym, dokładność określenia bistatycznej prędkości jest zadowalająca w większości przypadków. Dokładność śledzenia obiektu zmienia się z czasem. Macierz kowariancji estymaty procesu jest inicjalizowana z wykorzystaniem wariancji błędów pojedynczego pomiaru [ por. wzór (4.34) ]. W trakcie śledzenia, na skutek połączenia informacji o historii zachowania się obiektu oraz bieżących pomiarów, dokładność określenia parametrów ruchu zwiększa się. Jako definicję skalarnego parametru wyznaczającego dokładność śledzenia obiektu można przyjąć np. dokładność w stanie ustalonym (dla czasu dążącego do nieskończoności). W przypadku radaru pasywnego czas ustalania się dokładności śledzenia odległości jest stosunkowo długi, dlatego też jako skalarną miarę przyjęto dokładność śledzenia po określonym czasie T tr (np. po 3 s). Na rysunku 5.6 przedstawiono przykładowe wykresy miar dokładności filtracji oraz predykcji w funkcji czasu dla typowych parametrów sygnałów radia FM oraz telewizji DVB-T. Obliczenia wykonano, iterując równania z tablicy 5.3. Miara dokładności filtra- 86

87 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 8 F σ RT P σ RT filtracja predykcja F σ RT, P σrt [m] 6 4 T tr = 3 s 2 (b) t [s] 5 4 F σ RT P σ RT filtracja predykcja F σ RT, P σrt [m] 3 2 T tr = 3 s t [s] Rys Miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji czasu (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, SNR in = 32.5 db, T = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, SNR in = 49.5 db, T =.5 s) cji była zdefiniowana jako σ F RT = P 1,1 (k k), natomiast miara dokładności predykcji jako σ P RT = P 1,1 (k + 1 k). Na wykresach można zaobserwować, że czas ustalania się dokładności śledzenia odległości bistatycznej jest stosunkowo długi. Zaznaczono na nich czas T tr = 3 s, po którym analizowana jest dokładność. Różnica między miarą dokładności predykcji oraz filtracji jest nieduża, co wynika z krótkiego czasu odświeżania informacji. W pracy miara dokładności śledzenia będzie określona jako odchylenie standardowe bistatycznej odległości po czasie T tr, zatem liczbę kroków (obserwacji) układu śledzenia można obliczyć jako: K tr = Ttr T, (5.17) 87

88 Optymalizacja przetwarzania sygnałów gdzie operator oznacza zaokrąglenie w dół do najbliższej liczby całkowitej. Warto zwrócić uwagę, że przy przetwarzaniu bloków sygnału o długości T, estymata z danego bloku jest dostępna dopiero po jego zakończeniu, natomiast wartość tej estymaty odpowiada środkowi przedziału obserwacji. Z tego względu, aby określić dokładność po K tr krokach, należy dokonać predykcji na czas T/2 w przód. Przyjmijmy macierze filtru Kalmana odpowiadające predykcji na czas T/2: F T/2 = 1 T/2 (T/2) 2 /2 1 T/2 1 (5.18) oraz: Q T/2 = q (T/2) 5 /2 (T/2) 4 /8 (T/2) 3 /6 (T/2) 4 /8 (T/2) 3 /3 (T/2) 2 /2 (T/2) 3 /6 (T/2) 2 /2 (T/2). (5.19) Macierz kowariancji, służącą do określania dokładności po K tr krokach, można zatem zapisać jako: P = F T/2 P(K tr K tr )F T/2 + Q T/2. (5.2) Jako miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości przyjęte będzie odchylenie standardowe zdefiniowane następująco: σ RT = P 1,1, (5.21) gdzie P 1,1 oznacza pierwszy element macierzy kowariancji, odpowiadający wariancji bistatycznej odległości. Im miara ta jest mniejsza, tym śledzenie jest dokładniejsze. Na rysunku 5.7 przedstawiono przebiegi miary dokładności śledzenia w funkcji czasu integracji T. Dla krótkich czasów integracji dokładność jest stosunkowo mała, czego głównym powodem jest niskie prawdopodobieństwo detekcji. Gdy czas integracji wydłuża się, dokładność poprawia się. W przypadku parametrów radia FM wartości σ RT nasycają się na stałym poziomie (pewne wahania wartości wynikają ze skokowych zmian liczby obserwacji K tr w czasie T tr ). Dla parametrów telewizji DVB-T dokładność maleje przy długich czasach integracji (powyżej 1 s), co jest związane z wpływem manewrowości obiektu, wyrażonej przez parametr q w filtrze Kalamana. Przebiegi miary dokładności w funkcji prawdopodobieństwa fałszywego alarmu wykreślono na rys Niska wartość P fa odpowiada zmniejszonemu prawdopodobieństwu detekcji, co ma negatywny wpływ na dokładność określenia odległości bi- 88

89 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 8 6 SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db σ RT [m] 4 2 (b) T [s] 2.5 SNR in = 54.5 db 2 SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db σ RT [m] T [s] Rys Miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji czasu integracji T (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, P fa = 1 6, T tr = 3 s); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz) statycznej. Przy dużych wartościach P fa istotną rolę zaczynają odgrywać fałszywe wykrycia, które występują w bramce asocjacyjnej na tyle często, iż zakłócają proces śledzenia. W analizowanym przykładzie dla telewizji DVB-T prowadzi to wręcz do rozbieżności algorytmu śledzenia, gdy echo jest słabe [ dla SNR in = 54.5 db na rys. 5.8 (b) ]. Obserwując wykresy miary dokładności śledzenia w funkcji czasu integracji T przy różnych wartościach SNR in, (por. rys. 5.7) można zauważyć istotną różnicę w porównaniu z podobnymi wykresami średniego czasu potwierdzenia trasy prawdziwej (por. rys. 5.4). W przypadku średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej, optymalny czas integracji jest różny, dla różnych wartości SNR in. Z kolei w przypadku miary dokładności śledzenia optymalna wartość czasu integracji nie zmiana się znacząco dla 89

90 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 8 6 SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db σ RT [m] 4 2 (b) P fa SNR in = 54.5 db SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db σ RT [m] Rys Miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji P fa (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, T =.8 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, T =.15 s) P fa różnych wartości SNR in. Przykładowo, przyjmując wartość czasu integracji T = 2 s dla parametrów radia FM oraz T = 1 s dla parametrów telewizji DVB-T, otrzymujemy wartości miary dokładności zbliżone do optimum dla różnych wartości SNR in jednocześnie (por. rys. 5.7). Daje to nadzieję na znalezienie jednego zestawu parametrów przetwarzania sygnału, który zapewni bliskie optymalnym wyniki w szerokim zakresie SNR in. Jak zostanie pokazane w dalszej części pracy, jest tak w istocie. Wzory określające uśrednione wartości macierzy kowariancji estymaty procesu w algorytmie NNF przedstawione w tablicy 5.3 pochodzą z literatury. Wkładem własnym autora jest natomiast zastosowanie tych wzorów do określenia miary dokładności śledzenia oraz zastosowanie ich w celu optymalnego doboru parametrów przetwarzania sygnałów. 9

91 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Autor przeprowadził podobną do przedstawionej powyżej analizę wpływu różnych parametrów na dokładność śledzenia w radarze pasywnym w pracy [74]. Pokazano w niej wyniki eksperymentów symulacyjnych przy założeniu parametrów trzech typów sygnałów często wykorzystywanych do celów radiolokacji pasywnej: radia FM, radia DAB i telewizji DVB-T. Głównym wnioskiem płynącym z dokonanej analizy jest fakt, że możliwe jest wybranie jednego zestawu parametrów przetwarzania (obejmującego czas integracji i prawdopodobieństwo fałszywego alarmu) zapewniającego dobre rezultaty dla różnych wartości stosunku sygnału do szumu oraz manewrowości obiektu. 5.3 Analiza kasowania trasy W sytuacji gdy trasa jest potwierdzona, sekwencje wykryć oraz ich braku w bramce asocjacyjnej są analizowane za pomocą logiki kasowania trasy M t /N t. W przypadku gdy w ostatnich N t obserwacjach trasa nie była zaktualizowana M t razy, jest ona kasowana. Umożliwia to usuwanie tras obiektów, które nie są już w zasięgu widzenia radaru. W sytuacji rzeczywistej, tzn. gdy P d < 1, możliwe jest również skasowanie trasy prawdziwej na skutek sekwencji braku wykryć. Poniżej przeanalizowano dwa parametry związane z kasowaniem trasy: prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy fałszywej Prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej W literaturze fachowej spotyka się pojęcie zgubienia trasy (ang. track loss) [56], [58], [94]. Dotyczy ono zwykle sytuacji, w której na skutek dużej gęstości fałszywych wykryć algorytm śledzenia jest rozbieżny, co w rezultacie prowadzi do usunięcia trasy. W niniejszej pracy pominięto to zjawisko, gdyż jest ono istotne tylko przy bardzo dużych wartościach P fa oraz dużym rozmiarze bramki asocjacyjnej. Skupiono się natomiast na sytuacji, w której prawdziwa trasa jest usuwana w wyniku zbyt dużej liczby braków wykryć. Logika kasowania trasy, która monitoruje sekwencję detekcji w oknie obserwacji o długości N t, zaczyna działać od chwili potwierdzenia trasy. Można przyjąć, że zawartość okna obserwacji jest taka, jak wynika z procesu inicjalizacji, lub też zacząć analizę od nowa. W pierwszym przypadku postać początkowego wektora prawdopodobieństw stanów µ() jest zależna od przebiegu procesu inicjalizacji trasy. Dla uproszczenia można przyjąć drugie z rozwiązań polegające na analizowaniu kasowania trasy rozpoczynającego się od ustalonego stanu początkowego. Zakładając, że początkowy stan 91

92 Optymalizacja przetwarzania sygnałów układu kasowania trasy ma postać S s = {1, 1,..., 1}, otrzymuje się początkowy wektor prawdopodobieństw stanów postaci µ() = [1,,..., ]. Stan kasowania trasy S t odpowiada spełnieniu warunku M t /N t, tzn. brakowi M t wykryć w N t kolejnych obserwacjach. Prawdopodobieństwa przejścia między stanami określa się podobnie, jak przy analizie średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej: π d = P d P g i π nd = 1 P d P g. Stan skasowania trasy jest absorbujący, więc prawdopodobieństwo π iti t przejścia ze stanu S t do stanu S t wynosi 1. Prawdopodobieństwo skasowania prawdziwej trasy P tl po czasie T tr oblicza się jako: P tl = µ it (K tr ), (5.22) gdzie µ it (k) jest prawdopodobieństwem osiągnięcia stanu skasowania trasy S t po k krokach. W tabllicy 5.4 zgromadzono wzory służące do obliczania prawdopodobieństwa skasowania prawdziwej trasy po k obserwacjach. π d = P d P g π nd = 1 P d P g π ij = π d π ij = π nd π itit = 1 Π = [π ij ] prawdopodobieństwo detekcji w bramce prawdopodobieństwo braku detekcji w bramce dla odpowiednich i oraz j dla odpowiednich i oraz j stan skasowania trasy jest absorbujący macierz przejść µ() = [1,,..., ] początkowy wektor prawdopodobieństw stanów µ(k) = (Π ) k µ() P tl = µ it (K tr ) wektor prawdopodobieństw po k obserwacjach prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po K tr obserwacjach Tablica 5.4. Algorytm wyznaczania prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie Na rysunku 5.9 przedstawiono przykładowe krzywe prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej w funkcji czasu integracji T. Krzywe odpowiadają wartości P tl po czasie śledzenia T tr = 3 s. W zależności od czasu integracji, liczba kroków K tr ulegała zmianie. Dla krótkich czasów integracji P tl jest bliskie wartości 1, co wynika z niskiego prawdopodobieństwa detekcji oraz dużej liczby kroków K tr. Po przekroczeniu określonej wartości T (zależnej od SNR in ) prawdopodobieństwo skasowania prawdziwej trasy szybko maleje do zera. 92

93 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) SNR in = 37.5 db SNR in = 32.5 db SNR in = 27.5 db P tl.4.2 (b) T [s] 1 SNR in = 54.5 db.8 SNR in = 49.5 db SNR in = 44.5 db.6 P tl T [s] Rys Prawdopodobieństwo skasowania prawdziwej trasy w funkcji czasu integracji T (M t = 4, N t = 4, P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz) Średni czas kasowania trasy fałszywej Kasowanie trasy fałszywej może odnosić się do dwóch sytuacji: kasowania trasy powstałej wyłącznie w wyniku fałszywych wykryć oraz kasowania trasy prawdziwego obiektu po jego wyjściu z obszaru obserwacji radaru. W obydwu przypadkach pożądane jest jak najszybsze skasowanie fałszywej trasy. W pracy skupiono się na drugiej sytuacji, co można uzasadnić następującym rozumowaniem. Z jednej strony układ śledzenia nie powinien gubić obiektu, gdy jest on w polu obserwacji radaru. Tego aspektu dotyczył poprzedni punkt. Z drugiej strony, trasa odpowiadająca obiektowi, który zniknął z obszaru obserwacji radaru, nie powinna być utrzymywana przez zbyt długi czas, np. na skutek aktualizacji fałszywymi wykryciami. Mogłoby to prowadzić do błędnych wniosków o zachowaniu się obiektu, który tak naprawdę nie jest już obserwowany przez radar. 93

94 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Wielkość bramki V G (k) rozpatrywana przy badaniu czasu kasowania fałszywej trasy, podobnie jak w analizie częstości potwierdzania tras fałszywych, jest zależna od sekwencji wykryć. Istnieje jednak pewna różnica między tymi dwoma przypadkami. Przy inicjalizacji trasy fałszywej analizę prowadzi się dla k = 1,..., N c. W takiej sytuacji każdemu stanowi S i jest jednoznacznie przypisana macierz kowariancji innowacji S(k) uzależniona od sekwencji detekcji w oknie obserwacji o długości N c, a więc również wielkość bramki V G (k). W przypadku obliczania średniego czasu kasowania trasy fałszywej analizę przeprowadza się dla k = 1,...,. Może to doprowadzić do sytuacji, w której ten sam stan S i będzie odpowiadał innej sekwencji wykryć. Wprawdzie sekwencja w oknie o długości N t będzie taka sama, ale wcześniejsza historia detekcji może być inna. Aby dokonać dokładnej analizy, należałoby rozważyć wszystkie możliwe sekwencje wykryć, które mogą po k krokach doprowadzić do stanu S i. Ponieważ wszystkich możliwości jest 2 k, jest to podejście niepraktyczne. Z tego powodu w pracy przyjęto upraszczające założenie, że wielkość bramki asocjacyjnej w danym stanie zależy tylko od sekwencji wykryć w oknie obserwacji o długości N t. W rozdziale poświęconym symulacjom pokazano, że stosowanie takiego uproszczenia jest w zupełności uzasadnione. Za wartość początkową macierzy kowariancji wektora stanu w przypadku analizy średniego czasu skasowania trasy fałszywej przyjmuje się P(K tr K tr ). Jest to uśredniona macierz kowariancji po T tr sekundach śledzenia obliczana na podstawie wzorów z tablicy 5.3. W poszczególnych stanach macierz kowariancji zmienia się zgodnie z równaniami (5.9) (5.12), w zależności od obecności lub braku wykrycia w bramce asocjacyjnej. Podobnie jak w przypadku analizy kasowania trasy prawdziwej, przyjęte zostanie, że stanem początkowym jest S s = {1, 1,..., 1}, a więc µ() = [1,,..., ]. Prawdopodobieństwa detekcji oraz jej braku wewnątrz bramki asocjacyjnej są obliczane jako π d = 1 (1 P fa ) NG(k) oraz π nd = (1 P fa ) NG(k). Stan skasowania trasy S t jest stanem absorbującym, dlatego π iti t = 1. Średni czas kasowania trasy fałszywej można obliczyć w taki sam sposób jak w inicjalizacji trasy prawdziwej: T trm = T km it (k). (5.23) k=1 Algorytm opisujący sposób obliczania średniego czasu kasowania trasy prawdziwej przedstawiono w tablicy

95 Optymalizacja przetwarzania sygnałów π d = 1 (1 P fa ) N G(k) π nd = (1 P fa ) N G(k) π ij = π d π ij = π nd π itit = 1 Π = [π ij ] prawdopodobieństwo detekcji w bramce prawdopodobieństwo braku detekcji w bramce dla odpowiednich i oraz j dla odpowiednich i oraz j stan skasowania trasy jest absorbujący macierz przejść µ() = [1,,..., ] początkowy wektor prawdopodobieństw stanów µ(k) = (Π ) k µ() wektor prawdopodobieństw po k obserwacjach m it (k + 1) = µ it (k + 1) µ it (k) prawdopodobieństwo skasowania trasy w k+1 obserwacji T trm = T k=1 km i t (k) średni czas skasowania trasy fałszywej Tablica 5.5. Algorytm wyznaczania średniego czasu kasowania trasy fałszywej Przykładowe krzywe średniego czasu kasowania trasy fałszywej w funkcji P fa pokazano na rys Zastosowano tutaj logikę 4/4. Dla małych wartości P fa średni czas kasowania trasy jest praktycznie równy 4T, tzn. po czterech obserwacjach trasa jest usuwana, gdyż prawdopodobieństwo wystąpienia fałszywego wykrycia w bramce asocjacyjnej jest znikome. Sytuacja ta zmienia się dla dużych wartości P fa. Zwiększenie zagęszczenia fałszywych alarmów może doprowadzić do podtrzymywania trasy przez długi czas po zniknięciu obiektu. Zależności określające parametry dotyczące kasowania trasy, czyli prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy prawdziwej, nie są znane autorowi z literatury i zostały wyprowadzone samodzielnie. 5.4 Optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy W poprzednich punktach rozdziału wyprowadzono zależności na średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej T c oraz na częstość potwierdzania trasy fałszywej N f. Zadaniem zgodnym z przyjętym założeniem jest minimalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej przy zachowaniu określonej maksymalnej częstości potwierdzania tras fałszywych. Ustalone zostaną przy tym pewne zakresy parametrów przetwarzania, dla których optymalizacja będzie przeprowadzana, wprowadzając ograniczenia na czas integracji, prawdopodobieństwo fałszywego alarmu oraz parametry logiki inicjaliza- 95

96 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 2 1 T =.5 s T = 1. s T = 2. s T trm [s] (b) T =.1 s T =.2 s T =.4 s P fa T trm [s] Rys Średni czas kasowania trasy fałszywej w funkcji P fa (M t = 4, N t = 4, q = 1 m 2 /s 2, A max = 2 m/s 5, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz) P fa cyjnej. Biorąc to pod uwagę, można sformułować zagadnienie optymalizacji w sposób przedstawiony w tablicy 5.6. W tablicy 5.6 jawnie podano w nawiasach wielkości wpływające na T c oraz N f. Jak pokazano w poprzednim rozdziale, wielkość SNR in również wpływa na wartości odpowiednich funkcji, ale jest ona tu traktowana jako parametr, który nie podlega optymalizacji. N f max, T min, T max, P fa min, P fa max, M c min, M c max, N c min, N c max są wartościami minimalnymi i maksymalnymi odpowiednich parametrów przetwarzania. Ograniczenie na maksymalną częstość potwierdzania tras fałszywych N f max było już wyjaśniane wcześniej. Minimalna wartość czasu integracji T min wynika z konieczności zapewnienia określonego zysku integracji oraz rozdzielczości prędkościowej. Zakładając, że wymagana rozdzielczość prędkościowa jest równa 1 m/s, minimalny czas integracji T min dla radia FM wynosi.3 s, a dla telewizji DVB-T.5 s [ por. wzór 96

97 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Optymalizacja: min T c (T, P fa, M c, N c ; SNR in ) średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej Ograniczenia: N f (T, P fa, M c, N c ; SNR in ) N f max T min T T max P fa min P fa P fa max M c min M c M c max N c min N c N c max częstość inicjalizacji trasy fałszywej czas integracji prawdopodobieństwo fałszywego alarmu liczba wykryć koniecznych do inicjalizacji trasy długość okna obserwacji Tablica 5.6. Optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej (4.12) ]. Wartość maksymalna czasu integracji T max jest określona wzorem (4.4) i wynika z przyjętego bistatycznego przyspieszenia obiektu. Przy założeniu A max = 2 m/s 2, maksymalne wartości czasu integracji wynoszą T max = 1.73 s dla radia FM oraz T max =.71 s dla telewizji DVB-T. Podane wyżej wartości T min i T max będą używane w dalszej części pracy. W pracy założono, że prawdopodobieństwo fałszywego alarmu P fa również powinno być ograniczone. W radiolokacji rzadko wymaga się, aby wartość P fa była mniejsza niż 1 7, stąd przyjęto P fa min = 1 7. Z kolei zbyt duża wartość P fa może prowadzić do zakłócenia procesu estymacji parametrów ruchu z uwagi na obecność fałszywych wykryć w sąsiedztwie echa prawdziwego obiektu. Z tego względu ustalono P fa max = 1 2. Ponadto założono, że M c min = N c min = 2 oraz M c max = N c max = 6. Odrzucono tym samym trywialny przypadek logiki 1/1, gdyż byłaby ona zbyt wrażliwa na fałszywe wykrycia występujące częściej, niż wynikałoby to z założonego poziomu P fa. Rozwiązanie postawionego problemu w sposób analityczny jest praktycznie niemożliwe. Wynika to przede wszystkim ze skomplikowanej zależności określającej prawdopodobieństwo detekcji za pomocą funkcji Marcuma oraz sposobu wyznaczania średniego czasu inicjalizacji trasy na podstawie analizy łańcuchów Markowa. Z tych względów w pracy wykorzystane zostaną numeryczne metody optymalizacyjne. Podejście takie jest w zupełności uzasadnione z punktu widzenia praktycznego. Optymalizacja jest bowiem wykonywana jeden raz dla ustalonych parametrów w trybie off-line, a więc szybkość znalezienia rozwiązania nie jest sprawą kluczową. Pewne komplikacje mogą wynikać z odmiennego charakteru parametrów T i P fa (wielkości ciągłe) oraz parametrów M c i N c (wielkości dyskretne). Fakt ten powoduje, że proces optymalizacji jest nieco trudniejszy niż w przypadku optymalizacji ciągłej. Wprawdzie istnieją metody rozwiązywania tego typu problemów, jednakże w pracy 97

98 Optymalizacja przetwarzania sygnałów zdecydowano się na inne podejście. W praktyce długość okna obserwacji N c nie przekracza zwykle 6. Z kolei wartość M c nie może być większa od N c. Dlatego też całkowita liczba kombinacji parametrów M c i N c, którą należy sprawdzić, nie przekracza kilkunastu. Optymalizacja może być zatem przeprowadzona ze względu na dobór T i P fa dla wszystkich dopuszczalnych wartości M c i N c, a następnie najmniejsza spośród otrzymanych wartości stanowić będzie ostateczny wynik optymalizacji. Ponieważ funkcja celu jest dobrze określona i nie występują w niej minima lokalne, zastosowano standardową metodę optymalizacji numerycznej z ograniczeniami, dostępną w środowisku obliczeniowym Matlab [18], [17]. Na rysunkach 5.11 przedstawiono dwuwymiarowe wykresy średniego czasu inicjalizacji trasy T c w funkcji czasu integracji T oraz prawdopodobieństwa fałszywego alarmu P fa przy ustalonej logice inicjalizacji trasy 2/3 dla parametrów typowych dla radia FM oraz telewizji DVB-T. Na tym samym rysunku zaznaczono również liniami przerywanymi ograniczenia zarówno kostkowe ograniczenia wielkości T i P fa, jak i ograniczenie wynikające z maksymalnej dopuszczalnej wartości N f (przyjęto N f max = 1 4 1/s średnio jedna fałszywa trasa na ok. 3 godziny). Dla małych wartości czasu integracji (małego stosunku sygnału do szumu po integracji) oraz dla małych wartości prawdopodobieństwa fałszywego alarmu (wysoki próg detekcji) prawdopodobieństwo detekcji jest bardzo małe, dlatego też czas potrzebny na potwierdzenie trasy jest bardzo długi. Wartość optymalna, określona w wyniku procedury numerycznej z uwzględnieniem wszystkich ograniczeń, jest zaznaczona krzyżykiem w środkowej części wykresu. Po przeprowadzeniu podobnej optymalizacji dla wszystkich rozważanych wartości M c i N c, a następnie wybieraniu najmniejszego uzyskanego czasu potwierdzenia trasy, otrzymuje się rozwiązanie optymalne problemu zdefiniowanego w tablicy 5.6 ze względu na wszystkie cztery parametry: T, P fa, M c i N c dla ustalonej wartości SNR in. Wyniki takiej optymalizacji dla różnych wartości SNR in pokazano na rysunkach 5.12 i Rysunki 5.12 (a) i 5.13 (a) przedstawiają zależność optymalnego czasu inicjalizacji trasy od wartości SNR in otrzymaną poprzez dobór czterech wymienionych parametrów. Zgodnie z intuicją, mniejsza wartość SNR in pociąga za sobą dłuższy czas wymagany do potwierdzenia trasy. Na rysunkach 5.12 (b) i 5.13 (b) pokazano wykresy zależności wartości parametrów przetwarzania od wartości SNR in, otrzymane przy założeniu optymalnego czasu inicjalizacji trasy. Pierwszy z wykresów przedstawia zależność optymalnego czasu integracji T. Wraz z rosnącym SNR in wartości T maleją, gdyż osiągnięcie dużego prawdopodobieństwa detekcji nie wymaga długiego czasu integracji. Z uwagi na przyjęte dopuszczalne przyspieszenie bistatyczne obiektu (A max ), 98

99 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 1 1 T c [s] (oznaczenia na poziomicach) 1 T [s] 1 N f (b) P fa T c [s] (oznaczenia na poziomicach) N f T [s] Rys Średni czas inicjalizacji trasy wraz z naniesionymi ograniczeniami oraz rozwiązaniem optymalnym (M c = 2, N c = 3, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, N f max = 1 4 1/s); (a) dla parametrów sygnału radia FM (SNR in = 32.5 db, B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (SNR in = 49.5 db, B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s) P fa czas integracji jest ograniczony zgodnie ze wzorem (4.4). Dla większości przypadków najlepszą logiką inicjalizacji jest 2/3. Dla małych wartości SNR in próg detekcji musi być obniżony (większe P fa ), aby skompensować małe prawdopodobieństwo detekcji przy ograniczonym czasie integracji. To pociąga za sobą konieczność użycia bardziej restrykcyjnej logiki inicjalizacji 3/4. W obliczeniach przyjęto zakres zmian SNR in sięgający 15 db. Dla mniejszych wartości SNR in uzyskanie dużego prawdopodobieństwa detekcji jest niemożliwe ze względu na ograniczenie czasu integracji. Powoduje to, że średni czas inicjalizacji trasy wydłuża się, osiągając niepraktyczne wartości rzędu kilkudziesięciu sekund. Z kolei dla 99

100 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 15 1 T c [s] 5 (b) SNR in [db] 2 T [s] P fa 1 4 Logika inicjalizacji M c N c SNR in [db] Rys Zoptymalizowany średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej w funkcji SNR in (a) oraz odpowiadające parametry przetwarzania (b) dla parametrów sygnału radia FM (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, N f max = 1 4 1/s, B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s) wartości SNR in większych niż z przyjętego przedziału prawdopodobieństwo detekcji jest duże nawet dla krótkich czasów integracji i wiarygodnego potwierdzenia trasy można dokonać bardzo szybko, dlatego też optymalizacja nie jest potrzebna. Przeprowadzona dotychczas analiza wskazuje, że wyniki optymalizacji średniego czasu inicjalizacji trasy są zależne od SNR in. W praktyce radar obserwuje obiekty o różnej sile echa równocześnie, co sugerowałoby zastosowanie różnych parametrów 1

101 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 5 4 T c [s] SNR in [db] (b) T [s] P fa Logika inicjalizacji SNR in [db] M c N c Rys Zoptymalizowany średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej w funkcji SNR in (a) oraz odpowiadające parametry przetwarzania (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, N f max = 1 4 1/s, B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s). przetwarzania do różnych obiektów. Powstaje pytanie, w jaki sposób wykorzystać otrzymane wyniki optymalizacji w praktyce. Autor proponuje dwa rozwiązania: optymalizację szybkości inicjalizacji trasy uśrednionej w określonym przedziale zmian wartości 11

102 Optymalizacja przetwarzania sygnałów SNR in oraz zastosowanie równoległej struktury układu inicjalizacji. Oba te rozwiązania opisano poniżej Optymalizacja czasu inicjalizacji trasy uśrednionego w przedziale zmian SNR in Postawione zagadnienie optymalizacji można zmodyfikować w taki sposób, żeby łatwiej było wykorzystać otrzymane wyniki w praktyce. Pożądanym rozwiązaniem byłoby wyznaczenie jednego zestawu parametrów przetwarzania sygnałów, korzystnego dla różnych wartości SNR in. Problem optymalizacji można zatem zdefiniować w odniesieniu do wartości T c uśrednionej w pewnym zakresie SNR in min, SNR in max : = T avg c (T, P fa, M c, N c ) = 1 SNR in max SNR in min SNRin max SNR in min T c (T, P fa, M c, N c ; SNR in )dsnr in. (5.24) Ograniczenie częstości inicjalizowanych fałszywych tras jest modyfikowane tak, aby w najgorszym przypadku z analizowanego przedziału wartości SNR in było ono spełnione: N mod f = max SNR in N f (T, P fa, M c, N c ; SNR in ) N f max. (5.25) Nowe zadanie optymalizacji, zdefiniowane w średnim sensie dla przedziału zmian stosunku sygnału do szumu SNR in min, SNR in max, sformułowano w tablicy 5.7. Optymalizacja: min T avg c (T, P fa, M c, N c ) średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej (zmodyfikowany) Ograniczenia: N mod f (T, P fa, M c, N c ) N f max częstość inicjalizacji trasy fałszywej (zmodyfikowana) T min T T max czas integracji P fa min P fa P fa max M c min M c M c max N c min N c N c max prawdopodobieństwo fałszywego alarmu liczba wykryć koniecznych do inicjalizacji trasy długość okna obserwacji Tablica 5.7. Zmodyfikowana optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy W praktyce całkowanie w przedziale SNR in min, SNR in max można zastąpić sumą skończonej liczby wartości z tego przedziału. Podobnie można postąpić w przypadku 12

103 Optymalizacja przetwarzania sygnałów wyznaczania wartości ograniczenia Nf mod. W obliczeniach przyjęto 1 wartości SNR in z określonego przedziału SNR in min, SNR in max rozłożonych równomiernie w skali decybelowej. Wyniki optymalizacji przeprowadzonej zgodnie z tablicą 5.7 przedstawiono na rys Na wykresach widać, że krzywa średniego czasu potwierdzenia trasy przy ustalonych parametrach odbiega od krzywej optymalnej. Wartość SNR in, dla której obydwie krzywe mają podobne wartości, jest blisko dolnej granicy rozważanego przedziału SNR in min, SNR in max. Wynika to z faktu, że przy uśrednianiu większą rolę odgrywają większe wartości czasu potwierdzenia, które odpowiadają mniejszym wartościom SNR in. (a) 2 15 Optymalny Ustalone parametry T c [s] 1 5 (b) SNR in [db] 5 4 Optymalny Ustalone parametry T c [s] SNR in [db] Rys Zoptymalizowany średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej dla zakresu SNR in min, SNR in max (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, N f max = 1 4 1/s); (a) dla parametrów sygnału radia FM (T = 1.73 s, P fa = , M c = 2, N c = 3, SNR in min = 4 db, SNR in max = 25 db, B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (T =.61 s, P fa = , M c = 2, N c = 3, SNR in min = 57 db, SNR in max = 42 db, B = 8 MHz, f c = 6 MHz). 13

104 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Równoległa struktura układu inicjalizacji tras Jak pokazano, zastosowanie jednego zestawu parametrów przetwarzania prowadzi do rezultatów odbiegających od optimum. Jeśli takie rozwiązanie jest dla projektanta systemu nieakceptowalne, można zastosować odmienne podejście. Sygnał odebrany może być przetwarzany w K b równoległych gałęziach, przy czym każda z gałęzi przetwarza sygnał przy założeniu innych parametrów, dopasowanych do ustalonej wartości SNR in. Ostateczny rezultat uzyskuje się przez połączenie wyników (fuzję tras) uzyskanych dla poszczególnych torów przetwarzania. Na rysunku 5.15 przedstawiono przykładową strukturę równoległą złożoną z trzech gałęzi. parametry optymalne dla SNR in1 parametry optymalne dla SNR in2 fuzja tras parametry optymalne dla SNR in3 Rys Przykładowa równoległa struktura układu inicjalizacji tras o trzech gałęziach Parametry przetwarzania sygnału dla każdej z gałęzi otrzymuje się w wyniku procesu optymalizacji dla ustalonych wartości SNR in. Należy tutaj jednak zwrócić uwagę na fakt, że ostateczny rezultat powstaje przez fuzję tras z K b gałęzi. Jeżeli w każdej gałęzi częstość inicjalizacji tras fałszywych wynosi N f max, to na skutek połączenia wyników z K b gałęzi częstość potwierdzania tras fałszywych wzrośnie do K b N f max 4. Problem ten można rozwiązać, modyfikując ograniczenia stosowane podczas optymalizacji. Wiedząc, że wykorzystywane będzie K b gałęzi, ograniczenie na maksymalną częstość inicjalizacji tras fałszywych można ustalić na poziomie N f max /K b w każdej z gałęzi. Możliwe jest również nierównomierne rozłożenie częstości inicjalizacji fałszywych tras między równoległe gałęzie, np. gałęziom odpowiadającym niskim war- 4 Założenie, że częstość potwierdzania tras fałszywych wzrośnie K b -krotnie jest założeniem pesymistycznym, prawdziwym w przypadku niezależności inicjalizacji trasy fałszywej w każdej z gałęzi. W rzeczywistości każda z gałęzi przetwarza ten sam sygnał, więc inicjalizacja fałszywych tras będzie zależna. W rezultacie układ fuzji tras połączy fałszywe trasy pochodzące z różnych gałęzi, przez co sumaryczna częstość potwierdzania fałszywych tras będzie mniejsza niż K b N f max. 14

105 Optymalizacja przetwarzania sygnałów tościom SNR in można przypisać większą wartość N f. W dalszej części założone będzie równomierne rozłożenie N f między różne gałęzie. W strukturze równoległej sygnał zawierający echa obiektów o różnej sile będzie przetwarzany w gałęziach, które są dopasowane do konkretnych wartości SNR in. Powstaje pytanie, co stanie się w sytuacji, gdy echo o konkretnej wartości SNR in będzie przetwarzane przez gałąź projektowaną z myślą o innej wartości stosunku sygnału do szumu. Wartość SNR in jest wykorzystywana przy projektowaniu filtru Kalmana przez określenie dokładności pomiaru w macierzy R. W przypadku gdy rzeczywista wartość SNR in będzie większa niż założona, wielkość bramki wyliczona przez filtr będzie zbyt duża. Nie wpłynie to jednak negatywnie na inicjalizację prawdziwej trasy. W sytuacji odwrotnej, tzn. gdy rzeczywista wartość SNR in jest mniejsza od założonej, bramka asocjacyjna będzie zbyt mała, co może prowadzić do gubienia obiektu i nieudanej inicjalizacji trasy. Można zatem przyjąć, że filtry Kalmana we wszystkich gałęziach struktury równoległej powinny być dopasowane do minimalnej wartości SNR in założonej przez projektanta. Podobnie sytuacja wygląda z manewrowością obiektu określoną przez parametr q w filtrze Kalmana. Wielkość ta powinna być dopasowana do największej spodziewanej manewrowości obiektu. W przypadku obserwacji obiektu o parametrze q mniejszym niż założony przy projektowaniu filtru, proces inicjalizacji trasy nie będzie zakłócony. O ile przy inicjalizacji tras prawdziwych istotne są rzeczywiste wartości parametrów SNR in i q, to w przypadku potwierdzania tras fałszywych znaczenie mają wartości tych parametrów użyte przy projektowaniu filtru, np. wielkość bramki asocjacyjnej będzie uzależniona od wartości q zastosowanej w filtrze Kalmana, a nie od rzeczywistej manewrowości obiektu. Ponieważ optymalizacja a w tym obliczanie częstości potwierdzania tras fałszywych, jest prowadzona na podstawie parametrów założonych a nie rzeczywistych, przyjęcie pesymistycznych wartości SNR in i q będzie uwzględnione w wyznaczonych parametrach przetwarzania. Wynik optymalizacji z założeniem minimalnej wartości SNR in przy wyznaczaniu dokładności pomiaru i ze zmodyfikowanym ograniczeniem dla struktury równoległej przy K b = 3 przedstawiono na rys Dolna krzywa na wykresach, identyczna jak na rys (a) i 5.13 (a), odpowiada rozwiązaniu optymalnemu. Trzy krzywe przerywane odpowiadają wynikom uzyskanym dla pojedynczych torów przetwarzania, optymalizowanych dla SNR in = 4, 32.5 i 25 db w przypadku radia FM oraz SNR in = 57, 49.5 i 42 db dla telewizji DVB-T. Dla trzech wybranych wartości SNR in krzywe odpowiadające poszczególnym torom zbliżają się do przebiegu optymalnego, ale nie osiągają takich samych wartości. Wynika to z przyjęcia zmodyfikowanego ogranicze- 15

106 Optymalizacja przetwarzania sygnałów nia na maksymalną częstość inicjalizacji fałszywych tras (N f max /K b zamiast N f max w każdej z gałęzi). Wynik sumaryczny struktury równoległej, powstały na skutek fuzji tras z trzech gałęzi, wyznaczony na podstawie analizy z dodatku 9.2 jest oznaczony na rysunku krzywą ciągłą. Jak widać, średni czas potwierdzenia trasy dla struktury równoległej odbiega nieco od optimum, ale jest do niego zbliżony. (a) T c [s] dla SNR in = 4dB dla SNR in = 32.5dB Optymalny Pojedynczy tor Struktura równ. dla SNR in = 25dB (b) T c [s] SNR in [db] dla SNR in = 57dB dla SNR in = 49.5dB dla SNR in = 42dB Optymalny Pojedynczy tor Struktura równ SNR in [db] Rys Średni czas inicjalizacji trasy przy zastosowaniu struktury równoległej (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz). Przyjęta tutaj liczba równoległych gałęzi K b = 3 może być zmieniona. Należy jednak podkreślić, że zastosowanie większej liczby gałęzi z jednej strony poprawi możliwość dostosowania krzywych średniego czasu potwierdzenia trasy dla ustalonych parametrów do krzywej optymalnej, ale z drugiej strony konieczne będzie również zmodyfikowanie ograniczenia na częstość inicjalizowanych tras fałszywych w każdej z gałęzi do wartości N f max /K b. W rezultacie może okazać się, że mimo zwiększenia liczby gałęzi K b wyniki nie poprawiają się. 16

107 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Otrzymany wyżej wynik jest jednym z głównych rezultatów pracy, a zarazem udowodnieniem jednej z tez pracy. Pokazano mianowicie, że dobierając parametry przetwarzania sygnałów, można zminimalizować średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej przy ustalonej maksymalnej częstości inicjalizacji tras fałszywych dla określonego SNR in. Ponieważ w rzeczywistym systemie występują echa obiektów o różnych wartościach SNR in, wybór jednego zestawu parametrów przetwarzania nie zapewnia optymalnego zachowania się systemu dla obiektów o różnej sile echa. Dzięki wykorzystaniu zaproponowanej struktury równoległej możliwej jest uzyskanie wyników zbliżonych do optimum dla szerokiego zakresu wartości SNR in. Jak pokazano na rys. 5.15, wynik ostateczny uzyskuje się przez fuzję tras ze wszystkich gałęzi przetwarzania. Fuzja tras polega na wzajemnym przyporządkowywaniu tras pochodzących z różnych źródeł, tj. stwierdzaniu, które z tras odpowiadają temu samemu obiektowi. Najczęściej fuzję tras rozpatruje się w kontekście łączenia informacji z wielu sensorów. Przy założeniu, że estymaty wektorów stanów dwóch tras są niezależne, fuzja tras jest stosunkowo prosta [12] i polega na odpowiednim złożeniu estymaty wektora stanu oraz macierzy kowariancji. Założenie niezależności nie jest jednak spełnione w praktyce. Wprawdzie można przyjąć, że błędy pomiaru są niezależne (dla wielu sensorów), ale na obiekt działa ten sam szum procesu, przez co estymaty stanów są zależne. W takim przypadku fuzja tras jest również możliwa, lecz należy uwzględnić macierz kowariancji wzajemnej obydwu estymat, której wyznaczenie może stwarzać pewne problemy. W rozwiązaniach praktycznych przyjmuje się zwykle proste założenie, że macierz kowariancji wzajemnej jest proporcjonalna do macierzy kowariancji obydwu estymat [12]. Zagadnienie fuzji tras w rozważanej strukturze równoległej może przebiegać w podobny sposób, ale nie wchodzi ono w zakres pracy i nie będzie dalej omawiane. Zastosowanie równoległej struktury układu inicjalizacji wymaga użycia K b torów przetwarzania z odmiennymi parametrami. Potencjalnie może to zwiększyć nakład obliczeniowy K b -krotnie (dodać należy także nakład wynikający z fuzji tras). Warto jednak zauważyć, że pewne elementy przetwarzania sygnałów mogą być wykorzystane we wszystkich gałęziach. Najbardziej czasochłonnymi operacjami są filtracja adaptacyjna oraz obliczanie funkcji niejednoznaczności wzajemnej, dlatego też pożądane byłoby zmniejszenie nakładu obliczeniowego związanego z tymi procedurami. Okazuje się, że jest to możliwe. W przypadku zastosowania rekursywnego filtru adaptacyjnego (przeliczającego współczynniki z próbki na próbkę), podziału na równoległe gałęzie przetwarzania można dokonać po operacji filtracji, tj. można podzielić sygnały z wyjścia filtru na bloki 17

108 Optymalizacja przetwarzania sygnałów o odpowiedniej długości. Jeśli zastosowany jest blokowy filtr adaptacyjny, długość filtrowanych bloków sygnału można dobrać w taki sposób, aby granice bloków odpowiadały podziałowi czasowemu w różnych gałęziach układu inicjalizacji. W takiej sytuacji również można wykorzystać jeden filtr adaptacyjny, a podział na różne tory przetwarzania może odbywać się na dalszym etapie. Obliczanie funkcji nieoznaczoności wzajemnej może być również przeprowadzone tak, aby w równoległych gałęziach toru przetwarzania były wykorzystywane te same wyniki. W jednej z najbardziej wydajnych metod obliczania funkcji nieoznaczoności obydwa sygnały wejściowe (referencyjny i pomiarowy) są dzielone na bloki, a następnie obliczana jest funkcja korelacji dla odpowiednich bloków [84]. Obliczone funkcje korelacji są następnie przetwarzane za pomocą dyskretnej transformaty Fouriera dla każdego z opóźnień z osobna. Stosowanie tej metody umożliwia wykorzystanie wyników obliczeń częściowych funkcji korelacji we wszystkich z równoległych torów przetwarzania, co w istotny sposób zredukuje nakład obliczeniowy związany obliczaniem funkcji niejednoznaczności. Opisana w rozdziale metoda optymalizacji czasu inicjalizacji trasy z zastosowaniem struktury równoległej została przedstawiona przez autora w artykule [7] zgłoszonym do publikacji w czasopiśmie IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems. 5.5 Optymalizacja dokładności śledzenia Drugim wskaźnikiem, który będzie podlegał optymalizacji, jest miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości σ RT określona wzorem (5.21). Oprócz samej dokładności w procesie optymalizacji będą również uwzględniane ograniczenia na prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po ustalonym czasie P tl oraz średni czas kasowania trasy fałszywej T trm. Odpowiednie zależności zostały wyprowadzone w pierwszej części tego rozdziału. Ponadto, podobnie jak przy optymalizacji średniego czasu inicjalizacji trasy, wszystkie parametry przetwarzania będą ograniczone od dołu i od góry. Biorąc powyższe pod uwagę, zagadnienie optymalizacji dokładności śledzenia bistatycznej odległości można sformułować zgodnie z tablicą 5.8. Dla optymalizowanej miary dokładności σ RT oraz ograniczeń na P tl i T trm jawnie podano argumenty, od których wielkości te zależą. Podobnie jak w przypadku średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej oraz częstości inicjalizacji trasy fałszywej, wielkości te uzależnione są od parametru SNR in, który nie podlega optymalizacji. Sama miara dokładności śledzenia σ RT nie zależy od parametrów M t i N t algorytmu kasowania 18

109 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Optymalizacja: min σ RT (T, P fa ; SNR in ) miara dokładności śledzenia Ograniczenia: P tl (T, P fa, M t, N t ; SNR in ) P tl max T trm (T, P fa, M t, N t ; SNR in ) T trm max T min T T max P fa min P fa P fa max M t min M t M t max N t min N t N t max prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej średni czas kasowania trasy fałszywej czas integracji prawdopodobieństwo fałszywego alarmu liczba braków wykryć koniecznych do skasowania trasy długość okna obserwacji Tablica 5.8. Optymalizacja dokładności śledzenia bistatycznej odległości trasy, ale zależą od nich ograniczane funkcje P tl i T trm. Optymalizacja jest prowadzona ze względu na parametry o charakterze ciągłym T oraz P fa dla każdej z kombinacji parametrów dyskretnych M t i N t. W praktyce można uzyskać wiele wyników, które będą równoważne: dla różnych wartości M t i N t optymalna miara dokładności może być taka sama przy spełnieniu wszystkich ograniczeń funkcyjnych. W takiej sytuacji można by dążyć do równoczesnej minimalizacji pierwotnej funkcji celu oraz którejś z ograniczających funkcji. Zagadnienie to wychodzi jednak poza zakres tej pracy i nie będzie opisywane. Podobnie jak w przypadku optymalizacji czasu inicjalizacji trasy, do rozwiązania postawionego problemu wykorzystano numeryczne metody optymalizacji. Istotną różnicą jest to, że minimalizowana miara σ RT może mieć wiele płytkich minimów lokalnych [ por. rys. 5.7 (a) ]. Wynika to z definicji σ RT jako miary dokładności po określonym czasie T tr, przez co liczba obserwacji K tr zmienia się skokowo wraz z T. Towarzyszy temu powstawanie minimów lokalnych. Zastosowanie w takiej sytuacji klasycznej metody optymalizacji (np. gradientowej) przy nieodpowiednim doborze punktu startowego może doprowadzić do zatrzymania się algorytmu w minimum lokalnym. Rozwiązaniem sformułowanego wyżej problemu minimalizacji jest zastosowanie metody optymalizacji globalnej. Autor w obliczeniach wykorzystał algorytm genetyczny [2]. Algorytm genetyczny jest to metoda przeszukiwania przestrzeni inspirowana ewolucją naturalną. W każdej iteracji algorytmu przetwarza się zbiór punków przestrzeni, nazywany populacją. Z populacji wybiera się osobniki (punkty) o największym przystosowaniu (największej wartości funkcji celu w przypadku maksymalizacji), zgodnie z określoną metodą reprodukcji. Następnie osobniki podlegają krzyżowaniu 19

110 Optymalizacja przetwarzania sygnałów i mutacji. Tak określony algorytm jest zdolny do odszukiwania optimum globalnego, nawet jeśli chwilowo cała populacja znajdzie się w okolicy maksimum lokalnego. W obliczeniach wykorzystano algorytm ewolucyjny ze środowiska Matlab. Zastosowano reprodukcję proporcjonalną, mutację gaussowską oraz brak krzyżowania. Liczebność populacji wynosiła 2, a liczba iteracji algorytmu 1. Rysunek 5.17 przedstawia dwuwymiarowy wykres miary dokładności śledzenia σ RT w funkcji czasu integracji T oraz prawdopodobieństwa fałszywego alarmu P fa dla parametrów typowych dla radia FM i telewizji DVB-T. Liniami przerywanymi zaznaczono ograniczenia wynikające z prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej P tl oraz średniego czasu kasowania trasy fałszywej T trm. Wskazano również zakres dopuszczalnych wartości parametrów T i P fa. Rozwiązanie optymalne (z uwzględnieniem ograniczeń) oznaczono krzyżykiem. Wykresy z omawianego rysunku potwierdzają wcześniejsze spostrzeżenie, że wartość σ RT w okolicy minimum jest mało wrażliwa na dobór parametrów przetwarzania. Na wykresach można zaobserwować duże obszary, dla których σ RT praktycznie nie zmienia się. Ponadto, jak pokazano wcześniej, wartości parametrów, dla których osiągane jest minimum σ RT, nie zmieniają się istotnie dla różnych SNR in. Daje to nadzieję na znalezienie jednego zestawu parametrów przetwarzania, dla którego wyniki będą zbliżone do optymalnych w szerokim zakresie zmian wartości SNR in. Mając powyższe na uwadze, zadanie optymalizacji można zmodyfikować podobnie jak w przypadku minimalizacji średniego czasu inicjalizacji trasy. Optymalizowaną wielkością jest miara dokładności śledzenia σ RT uśredniona w pewnym zakresie SNR in min, SNR in max : σ avg RT (T, P fa) = 1 SNR in max SNR in min SNRin max SNR in min σ RT (T, P fa ; SNR in )dsnr in. (5.26) Ograniczenie na prawdopodobieństwo skasowania prawdziwej trasy po określonym czasie jest modyfikowane tak, aby dla najgorszego przypadku odpowiadającego określonej wartości SNR in z przedziału SNR in min, SNR in max było ono spełnione: Ptl mod (T, P fa, M t, N t ) = max P tl (T, P fa, M t, N t ; SNR in ). (5.27) SNR in W zbliżony sposób modyfikowane jest ograniczenie na średni czas kasowania fałszywej trasy: T mod trm (T, P fa, M t, N t ) = max SNR in T trm (T, P fa, M t, N t ; SNR in ). (5.28) 11

111 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 1 1 σ RT [m] (oznaczenia na poziomicach) T trm 5 T [s] e+3 P tl P fa (b) σ RT [m] (oznaczenia na poziomicach) T trm T [s] P tl Rys Miara dokładności śledzenia odległości bistatycznej wraz z naniesionymi ograniczeniami oraz rozwiązaniem optymalnym (M t = 4, N t = 4, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, P tl max =.1); (a) dla parametrów sygnału radia FM (SNR in = 32.5 db, B = 5 khz, f c = 1 MHz, T trm max = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (SNR in = 49.5 db, B = 8 MHz, f c = 6 MHz, T trm max = 5 s). P fa Zmodyfikowany problem optymalizacji przedstawiono w tablicy 5.9. W praktyce całkowanie w przedziale SNR in min, SNR in max jest zastąpione sumą skończonej liczby wartości z tego przedziału. Podobnie można postąpić przy wyznaczaniu wartości funkcji ograniczających P tl i T trm. W obliczeniach przyjęto 1 wartości SNR in z określonego przedziału. Podobnie jak w przypadku inicjalizacji tras, tak i przy utrzymywaniu potwierdzonych tras echa obiektów o różnych wartościach SNR in są przetwarzane przez taki sam filtr Kalmana. Tak jak poprzednio, przyjęte będzie, że dokładność estymacji parametrów ruchu w filtrze Kalmana będzie obliczana dla najgorszego przypadku, tj. przy 111

112 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Optymalizacja: min σ avg RT (T, P fa) Ograniczenia: miara dokładności śledzenia (zmodyfikowana) P mod tl (T, P fa, M t, N t ) P tl max prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej (zmodyfikowane) T mod trm (T, P fa, M t, N t ) T trm max T min T T max P fa min P fa P fa max M t min M t M t max N t min N t N t max średni czas kasowania trasy fałszywej (zmodyfikowany) czas integracji prawdopodobieństwo fałszywego alarmu liczba braków wykryć koniecznych do skasowania trasy długość okna obserwacji Tablica 5.9. Zmodyfikowana optymalizacja dokładności śledzenia bistatycznej odległości najmniejszej założonej wartości SNR in = SNR in min. Dzięki temu unika się sytuacji, w których obiekt znajdzie się poza bramką asocjacyjną na skutek zbyt dużego optymizmu w przewidywaniu dokładności pomiaru. Manewrowość obiektu założona przy projektowaniu filtru Kalamana przez przyjęcie określonej wartości parametru q również jest dostosowywana do najgorszego przypadku, tzn. zostanie przyjęta wartość q odpowiadająca największej spodziewanej manewrowości obiektu. Po rozwiązaniu problemu z tablicy 5.9, otrzyma się minimalny błąd śledzenia w średnim sensie dla zadanego przedziału SNR in. Ograniczenia funkcyjne są spełnione dla całego zakresu analizowanych wartości SNR in. Zastosowanie optymalnych wartości T i P fa przy analizie dokładności w funkcji SNR in, pozwala otrzymać wyniki z rys Przedstawiono na nim miarę dokładności śledzenia przy ustalonych parametrach optymalnych dla wybranego przedziału SNR in oraz, w celu porównania, pokazano krzywe optymalne otrzymane przez minimalizację błędu śledzenia przy zadanej wartości SNR in, zgodnie z tablicą 5.8. Jak widać, wyniki praktycznie pokrywają się z optymalnymi, co potwierdza wcześniejsze przypuszczenia, że w przypadku dokładności śledzenia możliwe jest uzyskanie zadowalających efektów przy ustalonych parametrach dla szerokiego zakresu SNR in. Otrzymany tutaj wynik jest drugim z głównych rezultatów pracy. Jest to zarazem udowodnienie drugiej tezy pracy. Metody optymalizacji czasu inicjalizacji oraz dokładności śledzenia (przy nieco innej definicji funkcji kosztu i ograniczeń) zostały przedstawione przez autora w [66]. 112

113 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 6 5 Optimum Ustalone parametry σ RT [m] b) SNR in [db] 2 Optimum Ustalone parametry 1.5 σ RT [m] SNR in [db] Rys Miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji SNR in (M t = 4, N t = 4, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, P tl max =.1); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, T trm max = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, T trm max = 5 s). 5.6 Łączna optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy i dokładności śledzenia W poprzednich punktach pokazano różne sposoby optymalizacji dwóch parametrów systemu przy założonych ograniczeniach. Optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy i dokładności śledzenia były prowadzone osobno. Jest to uzasadnione, gdyż w praktyce układy realizujące inicjalizację oraz utrzymywanie tras mogą działać niezależnie, a więc mogą charakteryzować się innymi parametrami przetwarzania sygnału. W praktycznej realizacji radaru może okazać się, że ważniejszą od uzyskania optymalnych osiągów systemu jest maksymalna redukcja nakładów obliczeniowych oraz 113

114 Optymalizacja przetwarzania sygnałów uproszczenie przetwarzania sygnałów. W takiej sytuacji korzystne byłoby wykorzystanie jednego zestawu parametrów w całym procesie przetwarzania, zarówno przy inicjalizacji, jak i przy utrzymywaniu tras. Aby uzyskać pożądane wartości parametrów przetwarzania, można przeprowadzić optymalizację łączną, która uwzględniałaby obydwie wielkości średni czas inicjalizacji trasy oraz dokładność śledzenia. Ponadto spełnione powinny być wszystkie ograniczenia: na częstość inicjalizacji tras fałszywych, prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej oraz średni czas kasowania trasy fałszywej. Sformułowany w ten sposób problem zalicza się do klasy optymalizacji wielokryterialnej. Istnieje wiele metod rozwiązywania tego typu zagadnień, z których najprostszą jest przekształcenie wielu optymalizowanych wielkości w jedną za pomocą liniowej funkcji agregującej [2]. Takie właśnie podejście zastosowano w pracy. Ponieważ w rozważanej sytuacji poszukuje się jednego zestawu parametrów przetwarzania, posłużono się uśrednionymi w przedziale zmian SNR in wartościami Tc avg i σ avg RT. W tym celu zdefiniowano funkcję skalarną, będącą sumą ważoną powyższych wielkości: C(T, P fa, M c, N c ) = A T Tc avg (T, P fa, M c, N c ) + A σ σ avg RT (T, P fa), (5.29) gdzie A T [1/s] i A σ [1/m] są pewnymi współczynnikami. Współczynniki te, po sprowadzeniu do wspólnych jednostek, spełniają warunek A T [s] + A σ [m] = 1. Problem optymalizacji łącznej można sformułować zgodnie z tablicą 5.1. Funkcja kosztu C jest zależna od czterech parametrów: czasu integracji T, prawdopodobieństwa fałszywego alarmu P fa oraz parametrów logiki inicjalizacji trasy M c i N c. Ograniczane funkcje P mod tl i T mod trm zależą dodatkowo od parametrów logiki kasowania trasy M t i N t. Optymalizacja jest prowadzona ze względu na parametry o charakterze ciągłym T i P fa dla wszystkich kombinacji parametrów dyskretnych: M c, N c, M t i N t. Łączna liczba wszystkich kombinacji tych parametrów może sięgać dużych wartości, co może znacząco wydłużyć szukanie rozwiązania optymalnego. Można jednak ograniczyć zakres zmienności parametrów dyskretnych na podstawie wcześniejszych rezultatów, uzyskanych w przypadku osobnej optymalizacji rozważanych dwóch wielkości. Na rysunku 5.19 przedstawiono wykresy łącznej funkcji kosztu C wraz z ograniczeniami kostkowymi i funkcyjnymi oraz znalezione optimum. Przyjęto, że średni czas inicjalizacji trasy oraz dokładność śledzenia bistatycznej odległości są uwzględniane w funkcji kosztu z taką samą wagą, tzn. A T =.5 i A σ =.5. Jak widać na wykresach, nałożone ograniczenia w znaczący sposób zawężają zakres dopuszczalnych parame- 114

115 Optymalizacja przetwarzania sygnałów Optymalizacja: min C(T, P fa, M c, N c ) funkcja kosztu Ograniczenia: N mod f (T, P fa, M c, N c ) N f max częstość inicjalizacji trasy fałszywej (zmodyfikowana) P mod tl (T, P fa, M t, N t ) P tl max prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej (zmodyfikowane) T mod trm (T, P fa, M t, N t ) T trm max T min T T max P fa min P fa P fa max M c min M c M c max N c min N c N c max M t min M t M t max N t min N t N t max średni czas kasowania trasy fałszywej (zmodyfikowany) czas integracji prawdopodobieństwo fałszywego alarmu liczba wykryć koniecznych do inicjalizacji trasy długość okna obserwacji (przy inicjalizacji) liczba braków wykryć koniecznych do skasowania trasy długość okna obserwacji (przy kasowaniu) Tablica 5.1. Łączna optymalizacja średniego czasu inicjalizacji trasy i dokładności śledzenia bistatycznej odległości trów przetwarzania. Powoduje to, że samo znalezienie rozwiązania dopuszczalnego może stanowić problem. Ponadto, z uwagi na mały zakres dopuszczalnych zmienności parametrów, możliwości minimalizacji funkcji kosztu są ograniczone. Wykorzystanie parametrów przetwarzania znalezionych podczas optymalizacji łącznej, pozwala osiągnąć wyniki przedstawione na rysunkach 5.2 i Na wykresach przedstawiono dla porównania krzywe optymalne uzyskane dla odpowiednich wartości SNR in oraz krzywe otrzymane przy ustalonych parametrach, optymalne dla przedziału SNR in min, SNR in max. W przypadku średniego czasu inicjalizacji trasy wynik optymalizacji łącznej istotnie odbiega od krzywej optymalnej. Jest to spowodowane otrzymanymi wartościami M c i N c. Natomiast w przypadku dokładności śledzenia bistatycznej odległości, wszystkie trzy krzywe są do siebie zbliżone. Jest to zgodne z wcześniejszymi wynikami z punktu 5.5, gdzie pokazano, że dokładność śledzenia jest mało wrażliwa na niewielkie odstępstwa od optimum. 5.7 Ograniczenia i zakres stosowalności Podsumowując przedstawione wyżej metody optymalizacji wybranych parametrów radaru pasywnego, warto zwrócić uwagę na pewne ograniczenia, które mogą wpłynąć 115

116 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) C(T, P fa, M c, N c ) (oznaczenia na poziomicach) P 2 tl N 5 f 2 T [s] T trm (b) T [s] P fa C(T, P fa, M c, N c ) (oznaczenia na poziomicach) T trm 5 N f 2 P tl Rys Łączna funkcja kosztu z naniesionym ograniczeniami i rozwiązaniem optymalnym (M c = 4, N c = 4, M t = 4, N t = 4, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, N f max = 1 4 1/s, P tl max =.1); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s, T trm max = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s, T trm max = 5 s). P fa na otrzymywane w praktyce rezultaty, jak również skomentować stosowalność tych metod. Po pierwsze, otrzymane wyniki należy rozpatrywać w sensie statystycznym. Czas inicjalizacji trasy, częstość inicjalizacji trasy fałszywej czy prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej są parametrami probabilistycznymi, a więc należy je rozumieć w sensie średnim. Uzyskane wyniki nie są zatem gwarantowane i mogą różnić się od otrzymywanych w praktyce. Będzie to pokazane w rozdziale poświęconym przetwarzaniu danych rzeczywistych. 116

117 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) 2 15 Optymalny Ustalone parametry Laczna T c [s] 1 5 (b) SNR in [db] Optymalna Ustalone parametry Laczna σ TR [m] SNR in [db] Rys Średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej (a) oraz miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości (b) uzyskane w wyniku łącznej optymalizacji dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s). Przy wyprowadzaniu zależności na średnią częstość inicjalizacji trasy fałszywej założono, że fałszywe wykrycia są rozłożone równomiernie w komórkach rozróżnialności. Jeśli fałszywe wykrycia będą występować w sposób deterministyczny, np. jako listek boczny echa obiektu lub w wyniku niedokładnego usunięcia sygnału bezpośredniego i/lub clutteru, częstość inicjalizowanych tras fałszywych może być znacznie większa niż przewiduje to teoria. Jest to cecha wielu algorytmów stosowanych przy śledzeniu obiektu, które opierają się na określonym modelu zakłóceń. Kolejną istotną kwestią jest założenie o stałym stosunku sygnału do szumu. O ile przyjęcie, że pozostaje on na podobnym poziomie przez okres kilku sekund jest racjonalne, o tyle założenie o jego stałości przez dłuższy czas jest nierealistyczne. Można zatem uznać, że w czasie trwania inicjalizacji trasy, na co po procesie optymalizacji wymagane jest najczęściej kilka sekund, stosunek sygnału do szumu nie zmieni się 117

118 Optymalizacja przetwarzania sygnałów (a) T c [s] Optymalny Ustalone parametry Laczna 2 (b) σ TR [m] SNR in [db] Optymalna Ustalone parametry Laczna SNR in [db] Rys Średni czas potwierdzenia trasy prawdziwej (a) oraz miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości (b) uzyskane w wyniku łącznej optymalizacji dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s). znacząco. Z kolei w analizie dokładności śledzenia rozpatruje się obiekt w dłuższym przedziale czasu (kilkadziesiąt sekund). Jednak jak pokazano wyżej, można znaleźć takie wartości parametrów przetwarzania sygnału, aby miara dokładności była zbliżona do optimum dla szerokiego zakresu zmian stosunku sygnału do szumu. Jeśli zatem wartość stosunku sygnału do szumu zmienia się w trakcie śledzenia, otrzymane w wyniku optymalizacji parametry przetwarzania powinny zapewnić dostateczne osiągi radaru. Przedstawione w pracy analizy i metody mogą być stosowane nie tylko w radarze pasywnym. Część z otrzymanych wyników, po odpowiedniej adaptacji, może być z powodzeniem wykorzystana w klasycznym aktywnym radarze monostatycznym. Głównym ograniczeniem stosowalności opracowanych metod jest specyfika przetwarzania sygnału w radarze aktywnym i pasywnym. W radarze aktywnym z mechanicznie obracaną anteną czas obserwacji obiektu jest wyznaczany przez szerokość wiązki anteno- 118

119 Optymalizacja przetwarzania sygnałów wej oraz szybkość obrotu anteny. Z tego względu, możliwe jest ustalenie tylko jednego czasu obserwacji obiektu dla całego systemu. W radarze pasywnym długość czasu obserwacji obiektu może być dobierana arbitralnie na etapie przetwarzania sygnału, przez podział ciągłego sygnału na bloki o odpowiedniej długości. Z tego powodu, stworzenie równoległej struktury układu inicjalizacji trasy zaproponowanej w pracy byłoby w przypadku radaru aktywnego niemożliwe. 119

120 Rozdział 6 Wyniki eksperymentów symulacyjnych W poprzednich rozdziałach przyjęto szereg założeń, które w znaczący sposób upraszczały analizę przetwarzania sygnałów w radarze pasywnym. Niektóre z tych założeń są niemalże standardowe w dziedzinie radiolokacji, niektóre jednak wymagają uzasadnienia. Głównym celem tego rozdziału jest wykazanie słuszności istotnych założeń za pomocą symulacji komputerowych, jak również potwierdzenie wyników analizy teoretycznej. 6.1 Korelacja W punkcie 4.1 stwierdzono, że przy określonych warunkach stosunek sygnału do szumu SNR może być mierzony jako stosunek maksimum modułu funkcji korelacji do średniego poziomu podłogi szumowej PNFR. Założenie to jest kluczowe dla określenia siły echa, zwłaszcza przy przetwarzaniu sygnałów rzeczywistych, kiedy prawdziwe wartości parametrów sygnału są nieznane. Aby ocenić zakres stosowalności tego założenia, przeprowadzono symulacje komputerowe. Jako sygnał referencyjny wykorzystano rzeczywisty sygnał radia FM oraz telewizji DVB-T. W przypadku sygnału radia FM pasmo wynosiło ok. 5 khz, a częstotliwość nośna 91 MHz. Z kolei sygnał telewizji DVB-T charakteryzował się pasmem ok. 7.6 MHz, natomiast częstotliwość nośna wynosiła 746 MHz. Długość bloku przetwarzanych sygnałów wynosiła 1 s dla radia FM i.1 s dla telewizji DVB-T. Sygnał pomiarowy otrzymano przez zsumowanie opóźnionej oraz przesuniętej dopplerowsko kopii sygnału referencyjnego i zespolonego gaussowskiego szumu białego o odpowiedniej amplitudzie. Poziom podłogi szumowej estymowano przez uśrednianie wartości modułu funkcji nieoznaczoności wzajemnej w zakresie odległości R i prędkości V znajdującym się w innym obszarze niż echo obiektu. Na 12

121 Wyniki eksperymentów symulacyjnych rysunku 6.1 przedstawiono wykres PNFR w funkcji SNR. Jak widać, w zakresie od 15 do 4 db dla radia FM i od 15 do 55 db dla telewizji DVB-T wartości SNR i PNFR są bardzo zbliżone. Dla większych wartości SNR wykres PNFR dąży do iloczynu BT. Wynika to z faktu, że przy tak dużych wartościach stosunku sygnału do szumu poziom podłogi szumowej jest określony głównie przez listki boczne sygnału, które znajdują się na poziomie BT poniżej maksimum. Z kolei dla małych wartości SNR, wykres PNFR ustala się na poziomie około 1 db, gdyż maksimum modułu funkcji korelacji staje się porównywalne z wartościami listków bocznych. Na tej podstawie można stwierdzić, że w typowych sytuacjach wartość SNR można przybliżyć przez PNFR. (a) 5 4 PNFR [db] 3 2 (b) 1 PNFR 2 PNFR = SNR 4 6 SNR [db] PNFR [db] PNFR 2 PNFR = SNR SNR [db] Rys Stosunek maksimum modułu korelacji do średniego poziomu podłogi szumowej PNFR w funkcji SNR; (a) dla parametrów sygnału radia FM (T = 1 s, B 5 khz, f c = 91 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (T =.1 s, B 7.6 MHz, f c = 746 MHz) W kolejnym eksperymencie zbadano wpływ bistatycznego przyspieszenia na straty zysku integracji przy wykorzystaniu funkcji nieoznaczoności wzajemnej opisanej wzo- 121

122 Wyniki eksperymentów symulacyjnych rem (3.9). Ponieważ we wzorze tym uwzględniona jest tylko prędkość bistatyczna, obecność niezerowego przyspieszenie bistatycznego może doprowadzić do strat wartości SNR. Zjawisko to będzie się nasilać wraz ze wzrostem czasu integracji T oraz przyspieszenia bistatycznego A. Obliczenia wykonano, wykorzystując jako sygnały referencyjne rzeczywiste sygnały radia FM (B 5 khz, f c = 91 MHz) oraz telewizji DVB-T (B 7.6 MHz, f c = 746 MHz). Sygnał pomiarowy został utworzony przez modulację sygnału referencyjnego zgodnie z założonym przyspieszeniem bistatycznym A. Rysunek 6.2 przedstawia przykładowe wykresy stosunku SNR w funkcji czasu integracji T dla różnych wartości przyspieszenia obiektu. Dla zerowego przyspieszenia bistatycznego SNR rośnie proporcjonalnie do czasu integracji T [ zgodnie z zależnością (4.1) ], tzn. zwiększa się o 3 db dla każdego podwojenia czasu integracji. W przypadku występowania niezerowego przyspieszenia bistatycznego zależność (4.1) określająca SNR przestaje być słuszna. Maksymalny czas integracji T max, dla którego można przyjąć, że SNR rośnie proporcjonalnie do T, wyznaczono zgodnie z równością (4.4). Dla sygnału radia FM maksymalny czas integracji dla A o wartościach 2. i 1. m/s 2 wynosi odpowiednio.8 i 1.8 s. W przypadku sygnału telewizji DVB-T maksymalny czas integracji dla tych samych wartości przyspieszeń wynosi.28 i.63 s. Odpowiednie wartości maksymalnego czasu integracji T max oznaczono na rysunkach. Można zaobserwować, że wykresy SNR zaczynają odbiegać od krzywej idealnej (dla A = m/s 2 ) właśnie przy wyznaczonych wartościach T max. Potwierdza to zatem słuszność przyjętego założenia dotyczącego ograniczenia czasu integracji na skutek przyspieszenia bistatycznego. 6.2 Detekcja Celem następnego eksperymentu była weryfikacja zależności określającej prawdopodobieństwo detekcji za pomocą funkcji Marcuma (4.1). Rysunek 6.3 przedstawia porównanie teoretycznego oraz zmierzonego wykresu prawdopodobieństwa detekcji P d w funkcji SNR dla ustalonego P fa = 1 6. Podobnie jak poprzednio, jako sygnał referencyjny wykorzystano rzeczywisty sygnał radia FM oraz telewizji DVB-T, natomiast sygnał pomiarowy powstał przez opóźnienie oraz przesunięcie w dziedzinie częstotliwości kopii sygnału referencyjnego. Sygnał pomiarowy był zakłócany addytywnym zespolonym szumem gaussowskim o amplitudzie dobranej tak, aby uzyskać pożądany SNR. Detekcja polegała na porównaniu wartości modułu uzyskanej funkcji nieoznaczoności z progiem wyliczonym na podstawie wzoru (4.9), gdzie parametr µ rozkładu 122

123 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) SNR [db] A =. m/s 2 A = 2. m/s 2 A = 1. m/s 2 T max =.8 s (A = 1. m/s 2 ) T max = 1.8 s (A = 2. m/s 2 ) (b) T [s] 5 A =. m/s 2 45 A = 2. m/s 2 A = 1. m/s 2 SNR [db] T max =.28 s (A = 1. m/s 2 ) T max =.63 s (A = 2. m/s 2 ) T [s] Rys Stosunek sygnału do szumu po korelacji SNR w funkcji czasu integracji T dla różnych wartości przyspieszenia obiektu; (a) dla parametrów sygnału radia FM (B 5 khz, f c = 91 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B 7.6 MHz, f c = 746 MHz) obliczano przez uśrednienie wartości modułu funkcji nieoznaczoności dla wybranego obszaru niezawierającego echa obiektu. Eksperyment powtórzono 1 razy, zliczając przypadki przekroczenia progu (dla wartości R i V odpowiadających parametrom symulowanego echa) i porównując ich liczbę z liczbą wykonanych prób. Otrzymany rezultat jest bardzo zbliżony do krzywej teoretycznej obliczonej na podstawie wzoru (4.1). 6.3 Estymacja W punkcie 4.3 założono, iż dokładność estymacji bistatycznych parametrów ruchu może być określona wyrażeniami (4.13) i (4.14). W celu weryfikacji tego założenia 123

124 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) P d.4 (b).2 Teoria 5 1 Symulacja SNR [db] P d.4.2 Teoria 5 1 Symulacja SNR [db] 15 2 Rys Prawdopodobieństwo detekcji w funkcji SNR (P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B 5 khz, f c = 91 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B 7.6 MHz, f c = 746 MHz) przeprowadzono serię eksperymentów komputerowych, wykorzystując metodę estymacji opisaną w [85]. Metoda ta opiera się na aproksymacji kształtu echa obiektu za pomocą paraboli w celu znalezienia dokładnej pozycji maksimum odpowiedzi obiektu. Podczas estymacji wykorzystuje się logarytmiczne wartości modułu funkcji nieoznaczoności w otoczeniu wykrycia. Współczynniki funkcji kwadratowej są obliczane na podstawie wartości maksymalnej oraz dwóch sąsiednich wartości. Estymatę uzyskuje się przez wyliczenie wartości odpowiadającej maksimum paraboli. Tę samą procedurę zastosowano do określania bistatycznej odległości i prędkości obiektu. Błąd pomiaru określano jako różnicę pomiędzy wartością prawdziwą oraz wyestymowaną pod warunkiem detekcji obiektu. W przeprowadzonych eksperymentach wykorzystano rzeczywiste sygnały radia FM oraz telewizji DVB-T. Sygnał pomiarowy uzyskano w wyniku opóźnienia (w przypadku estymacji odległości) lub modulacji w dziedzinie częstotliwo- 124

125 Wyniki eksperymentów symulacyjnych ści (w przypadku estymacji prędkości) sygnału odniesienia. Wyniki przeprowadzonych eksperymentów przedstawiono na rys. 6.4 i 6.5, na których wykreślono zmierzone odchylenie standardowe błędu estymacji w funkcji SNR oraz odchylenie standardowe określone za pomocą wzorów (4.13) i (4.14). Współczynniki proporcjonalności C R i C V dobrano tak, aby uzyskać jak największą zgodność między modelem i pomiarem. Przedstawione wykresy otrzymano dla C R =.85 i C V =.68 w przypadku radia FM oraz C R =.55 i C V =.68 dla telewizji DVB-T. (a) 5 4 Symulacja Model σ R [m] (b) SNR [db] 5 4 Symulacja Model σ R [m] SNR [db] Rys Odchylenie standardowe błędu estymacji bistatycznej odległości; (a) dla parametrów sygnału radia FM (B 5 khz, f c = 91 MHz, T = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B 7.6 MHz, f c = 746 MHz, T =.1 s) 6.4 Inicjalizacja trasy W punkcie 5.1 w celu określenia parametrów inicjalizacji trasy, takich jak średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej oraz częstość inicjalizacji trasy fałszywej, posłu- 125

126 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a).8.6 Symulacja Model σ V [m/s].4.2 (b) SNR [db] 1 Symulacja Model.8 σ V [m/s] SNR [db] Rys Odchylenie standardowe błędu estymacji bistatycznej prędkości; (a) dla parametrów sygnału radia FM (B 5 khz, f c = 91 MHz, T = 1 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B 7.6 MHz, f c = 746 MHz, T =.1 s) żono się analizą łańcuchów Markowa. W tym punkcie rezultaty teoretyczne uzyskane w wyniku tej analizy zostaną potwierdzone za pomocą symulacji komputerowych. W pierwszym z eksperymentów przebadano średni czas inicjalizacji trasy prawdziwej. W tym celu zasymulowano prawdziwy obiekt, którego wektor stanu zmieniał się zgodnie z modelem (4.18). Obiekt był wykrywany z prawdopodobieństwem P d, które wynikało z przyjętych wartości SNR i P fa zgodnie ze wzorem (4.1). Uzyskane wykrycia (obarczone założonym błędem) były wykorzystywane do aktualizacji wektora stanu w filtrze Kalmana. Sekwencję wykryć analizowano za pomocą logiki M c /N c. W każdej realizacji symulację prowadzono aż do potwierdzenia trasy lub przekroczenia założonego maksymalnego czasu. Procedurę tę powtórzono 5 razy, a wartości czasu potwierdzenia trasy z poszczególnych realizacji uśredniono. W symulacjach nie uwzględniono fałszywych wykryć. Rezultaty otrzymane za pomocą opisanej proce- 126

127 Wyniki eksperymentów symulacyjnych dury przedstawiono na rys Na wykresie umieszczono krzywą uzyskaną w wyniku analizy teoretycznej (analogiczną do jednej z krzywych z rys. 5.4) oraz w wyniku przeprowadzonych symulacji. W przypadku parametrów typowych zarówno dla radia FM, jak i telewizji DVB-T, wykresy symulacyjne charakteryzują się dużą zgodnością z wynikami teoretycznymi. Można także zauważyć ponownie, że zastosowanie zbyt krótkiego czasu integracji T może doprowadzić do znaczącego wydłużenia czasu inicjalizacji trasy, co wiąże się ze zbyt małym prawdopodobieństwem detekcji. (a) Teoria Symulacja T c [s] (b) T [s] 1 8 Teoria Symulacja T c [s] T [s] Rys Średni czas potwierdzenia prawdziwej trasy w funkcji czasu integracji T (M c = 2, N c = 3, P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, SNR in = 32.5 db), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, SNR in = 49.5 db) Łańcuchy Markowa były także wykorzystane do określenia średniej częstości inicjalizacji trasy fałszywej. Weryfikacja wyników teoretycznych opierała się na następującej procedurze. Zakładano, że pierwsze fałszywe wykrycie już wystąpiło (z prawdopodobieństwem P fa na komórkę rozróżnialności). Powodowało ono utworzenie trasy tym- 127

128 Wyniki eksperymentów symulacyjnych czasowej. W kolejnych krokach wektor stanu ewoluował zgodnie z równaniami filtru Kalmana. W każdej obserwacji generowano w bramce asocjacyjnej fałszywe wykrycia rozłożone równomiernie, których liczba była określana zgodnie z rozkładem (4.6). Wykorzystano przy tym algorytm 2 z [54]. Sekwencję wykryć w bramce analizowano za pomocą logiki M c /N c. Po spełnieniu odpowiedniego warunku, trasa była potwierdzana. Powtarzając tę procedurę 1 razy, obliczono średnią częstość inicjalizacji trasy fałszywej. Otrzymane w wyniku symulacji komputerowej wyniki przedstawiono na rys Dla porównania na tym samym rysunku wykreślono krzywą teoretyczną (analogiczną do odpowiedniej krzywej z rys. 5.5). Podobnie jak w przypadku inicjalizacji trasy prawdziwej, wyniki symulacyjne pokrywają się z teoretycznymi. (a) 1 Teoria Symulacja N f [1/s] (b) T [s] Teoria Symulacja N f [1/s] T [s] Rys Średnia częstość potwierdzania tras fałszywych w funkcji czasu integracji T (M c = 2, N c = 3, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, P fa = 1 4 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, R sp = 3 km, V sp = 1 m/s) 128

129 Wyniki eksperymentów symulacyjnych W kolejnym eksperymencie przeprowadzono analizę średniego czasu inicjalizacji trasy prawdziwej w strukturze równoległej. Głównym celem tego eksperymentu było wykazanie słuszności analizy teoretycznej przedstawionej w dodatku 9.2. W celu symulacji inicjalizacji trasy w strukturze równoległej wygenerowano sygnał pomiarowy z echem obiektu o zadanym stosunku sygnału do szumu. Następnie ten sam sygnał został podzielony na bloki o długości odpowiadającej czasom integracji T w każdej z gałęzi. Potwierdzenie trasy w całej strukturze było deklarowane, jeśli w którejkolwiek gałęzi był spełniony warunek M c /N c. Procedurę powtórzono 5 razy, a zmierzone czasy potwierdzenia trasy uśredniono. Wyniki eksperymentu przedstawiono na rys Zbliżone wyniki symulacyjne oraz teoretyczne wskazują na poprawność analizy z dodatku 9.2, a w szczególności na uzasadnione użycie założenia przybliżającego dotyczącego niezależności potwierdzania trasy w różnych gałęziach. 6.5 Śledzenie we współrzędnych bistatycznych Celem kolejnego eksperymentu było potwierdzenie słuszności przyjętego bistatycznego modelu ruchu zdefiniowanego wyrażeniem (4.18). Założono przykładowy scenariusz, w którym nadajnik znajduje się na pozycji (x t, y t, z t ) = (5, 5, ) km, a odbiorniki na pozycji (x r, y r, z r ) = (,, ) km. Początkowa pozycja obiektu wynosi [x(), y(), z()] = ( 2, 3, 1) km, zaś jego wektor prędkości (V x, V y, V z ) = (15, 25, ) m/s. Przy podanych warunkach dokonano symulacji trajektorii obiektu w czasie 9 s. Rysunek 6.9 (a) przedstawia otrzymaną trajektorię we współrzędnych kartezjańskich, a rys. 6.9 (b) odpowiadającą jej trajektorię we współrzędnych bistatycznych. Początkową pozycję zaznaczono na rysunku gwiazdką. Parametry ruchu we współrzędnych bistatycznych obliczano zgodnie ze wzorami (2.3) i (2.5). Wykres zrys. 6.9 (b) jest dosyć typowy; w praktyce trajektoria ruchu obiektu we współrzędnych bistatycznych poruszającego się po linii prostej często przypomina wyglądem parabolę (w rzeczywistości krzywa ta nie jest parabolą, co jest widoczne przy dłuższych czasach obserwacji). Na rysunku 6.1 przedstawiono wynik śledzenia obiektu dla parametrów typowych dla radia FM i telewizji DVB-T. Założono P d = 1, a więc obiekt był wykrywany w każdej obserwacji. Idealną trajektorię obiektu we współrzędnych bistatycznych [ z rys. 6.9 (b) ] zakłócono szumem gaussowskim o odchyleniu standardowym σ R = 2 m (dla radia FM) i σ R = 2 m (dla telewizji DVB-T) w przypadku odległości bistatycznej oraz σ V =.5 m (dla radia FM i telewizji DVB-T) w przypadku prędkości 129

130 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) 25 2 Teoria Symulacja T c [s] (b) SNR in [db] 4 2 Teoria Symulacja T c [s] SNR in [db] Rys Średni czas inicjalizacji trasy przy zastosowaniu struktury równoległej w funkcji SNR in (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz) bistatycznej. Na rysunku wykreślono osobno krzywe odległości i prędkości bistatycznej. We wszystkich przypadkach krzywe rzeczywistej oraz śledzonej trajektorii praktycznie pokrywają się. Największe odstępstwa można zaobserwować w początkowej fazie śledzenie bistatycznej odległości dla parametrów radia FM. Jest to spowodowane małą dokładnością estymacji odległości bistatycznej w pojedynczym pomiarze wynikającą z małej szerokości pasma sygnału. Wraz z czasem dokładność śledzenia się zwiększa. W przypadku obydwu zestawów parametrów: radia FM i telewizji DVB-T dokładność estymacji prędkości w pojedynczym pomiarze jest dosyć duża (na skutek długiego czasu integracji) i układ śledzenia nie wprowadza istotnej poprawy dokładności estymacji tego parametru. We wszystkich przypadkach widać, że układ śledzenia poprawnie estymuje wektor stanu i nadąża za jego zmianami. 13

131 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) 6 4 Tx y [km] 2 (b) Rx Nadajnik Odbiornik Trajektoria obiektu x [km] R [km] V [m/s] Rys Przykładowa trajektoria obiektu; (a) we współrzędnych kartezjańskich, (b) we współrzędnych bistatycznych W dwóch kolejnych eksperymentach przebadano dokładność śledzenia bistatycznej odległości w funkcji wybranych parametrów. W szczególności celem było porównanie rzeczywistej dokładności z dokładnością określoną wzorami z tablicy 5.3. W eksperymentach symulowano prawdziwy obiekt, którego wektor stanu ewoluował w czasie zgodnie z założonym modelem. Ponadto w bramce asocjacyjnej generowano fałszywe wykrycia zgodnie z założoną wartością P fa, które powodowały zaburzenie procesu śledzenia. Eksperyment powtórzono 1 razy, a wyniki uśredniono. Otrzymane rezultaty przedstawiono na rys oraz 6.12 (analogiczne do wykresów teoretycznych z rys. 5.7 i 5.8). Na wykresach przedstawiono trzy krzywe. Pierwsza z nich (w opisie na rysunku: Wyliczona przez filtr ) przedstawia uśrednioną miarę dokładności wyliczoną przez filtr Kalmana, tzn. wartość P 1,1 (k k) uśrednioną po wszystkich realizacjach. Druga krzywa (w opisie na rysunku: Rzeczywista ) jest wykresem rzeczywistego odchylenia 131

132 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) R [km] Prawdz. traj. Estym. traj. (b) V [m/s] t [s] 1 Prawdz. traj. 1 Estym. traj. 2 4 t [s] R [km] Prawdz. traj. 39 Estym. traj. 2 4 t [s] 6 7 V [m/s] 8 9 Prawdz. traj. 1 2 Estym. traj. 4 6 t [s] Rys Przykład śledzenia obiektu; (a) dla parametrów sygnału radia FM (T = 2 s, σ R = 2 m, σ V =.5 m), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (T =.2 s, σ R = 2 m, σ V =.5 m) standardowego błędu estymacji obliczonego jako: σ RT = std{x 1 (k) ˆx 1 (k)}, (6.1) gdzie x 1 (k) oznacza pierwszy element wektora stanu, czyli bistatyczną odległość, ˆx 1 (k) oznacza pierwszy element estymaty wektora stanu, a operator std{ } oznacza obliczanie odchylenia standardowego po realizacjach. Trzecią krzywą (w opisie na rysunku: Analityczna ) otrzymano zgodnie ze wzorami z tablicy 5.3. W przypadku wykresów miary dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji czasu integracji T (rys. 6.11) wszystkie trzy krzywe są bardzo zbliżone. Świadczy to o zgodności miary dokładności wyznaczonej przez filtr Kalmana z rzeczywistą oraz z wyliczoną na podstawie wzorów z tablicy 5.3. Ponieważ w rozważanym przypadku 132

133 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) Wyliczona przez filtr Rzeczywista Analityczna σ RT [m] (b) T [s] 5 4 Wyliczona przez filtr Rzeczywista Analityczna σ RT [m] T [s] Rys Miary dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji czasu integracji T (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, P fa = 1 6, T tr = 3 s); (a) dla parametrów sygnału radia FM (SNR in = 37.5 db, B = 5 khz, f c = 1 MHz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (SNR in = 49.5 db, B = 8 MHz, f c = 6 MHz) przyjęte prawdopodobieństwo fałszywego alarmu jest małe (P fa = 1 6 ), wpływ fałszywych wykryć na proces śledzenia jest pomijalny. Jak będzie pokazane dalej, sytuacja może wyglądać inaczej dla dużych wartości P fa. Na rysunku 6.12 przedstawiono wykresy miary dokładności śledzenia w funkcji P fa. Podobnie jak w poprzednim przypadku, wszystkie trzy krzywe są do siebie zbliżone. Wyjątkiem są wyniki dla dużych wartości P fa dla parametrów radia FM. Widać, że wartość miary dokładności wyliczona przez filtr odbiega od wartości rzeczywistej. Jest to następstwem braku mechanizmu zwiększania niepewności estymaty w algorytmie NNF na skutek występujących fałszywych wykryć. W rezultacie filtr oblicza dokładność estymaty zbyt optymistycznie w stosunku do rzeczywistej sytuacji. Można także zauważyć, że miara dokładności obliczona z wykorzystaniem równań z tablicy 133

134 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) 2 15 Wyliczona przez filtr Rzeczywista Analityczna σ RT [m] 1 5 (b) P fa Wyliczona przez filtr Rzeczywista Analityczna σ RT [m] P fa Rys Miara dokładności śledzenia bistatycznej odległości w funkcji P fa (q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16, T tr = 3 s); (a) dla parametrów sygnału radia FM (SNR in = 37.5 db, B = 5 khz, f c = 1 MHz, T =.8 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (SNR in = 49.5 db, B = 8 MHz, f c = 6 MHz, T =.15 s) 5.3 jest zbliżona do wartości prawdziwej, również dla małych wartości P fa. Fakt ten potwierdza dużą adekwatność modelowania procesu śledzenia algorytmu NNF za pomocą użytych wzorów. 6.6 Kasowanie trasy W ostatniej serii eksperymentów symulacyjnych zweryfikowano parametry związane z kasowaniem trasy, tzn. prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie oraz średni czas kasowania trasy fałszywej. W celu obliczenia prawdopodobieństwa skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie zasymulowano obiekt, którego wektor stanu ewoluował zgodnie z zało- 134

135 Wyniki eksperymentów symulacyjnych żonym modelem. Obiekt był wykrywany z przyjętym prawdopodobieństwem detekcji. Wykrycia były wykorzystywane do aktualizacji wektora stanu w filtrze Kalmana. Jeśli w ostatnich N t obserwacjach trasa nie była aktualizowana co najmniej M t razy, trasa była kasowana. Analizę prowadzono do czasu T tr. Prawdopodobieństwo skasowania trasy po czasie T tr obliczano jako stosunek skasowanych trasy do liczby przeprowadzonych prób, która w tym przypadku wynosiła 5. Uzyskane wyniki symulacji przedstawiono na rys wraz z krzywą teoretyczną, analogiczną do krzywej z rys Dla krótkich czasów integracji prawdopodobieństwo skasowania trasy jest bliskie jedności, co wynika z małego prawdopodobieństwa detekcji. Po przekroczeniu określonego czasu integracji prawdopodobieństwo skasowania prawdziwej trasy szybko maleje do wartości bliskiej zeru. Wyniki symulacyjne potwierdzają słuszność analizy teoretycznej, o czym świadczą bardzo zbliżone wykresy na rys (a) 1.8 Teoria Symulacja.6 P tl.4.2 (b) T [s] 1.8 Teoria Symulacja.6 P tl T [s] Rys Prawdopodobieństwo skasowania trasy prawdziwej po określonym czasie w funkcji czasu integracji T (M t = 4, N t = 4, P fa = 1 6 ); (a) dla parametrów sygnału radia FM (SNR in = 32.5 db, B = 5 khz), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (SNR in = 49.5 db, B = 8 MHz) 135

136 Wyniki eksperymentów symulacyjnych Zbadanie drugiego z parametrów charakteryzujących procedurę kasowania tras, tj. średniego czasu kasowania trasy fałszywej, jest szczególnie istotne, ponieważ w analizie teoretycznej przyjęto upraszczające założenie, że wielkość bramki asocjacyjnej uzależniona jest tylko od sekwencji wykryć o długości N t, natomiast nie zależy od wcześniejszej historii. Celem przeprowadzonego eksperymentu było potwierdzenie słuszności tego założenia. W symulacjach przyjęto, że prawdziwy obiekt przestaje być widoczny po czasie T tr. Macierz kowariancji estymaty procesu po czasie T tr obliczono, wykorzystując wzory z tablicy 5.3. W kolejnych obserwacjach generowano jedynie fałszywe wykrycia, zgodnie z przyjętą wartością P fa oraz wielkością bramki asocjacyjnej. Trasa była kasowana, gdy w ostatnich N t obserwacjach nie była ona aktualizowana wykryciami przynajmniej M t razy. Procedurę tę powtórzono 5 razy. Wyniki otrzymane na drodze symulacji oraz wyniki teoretyczne (analogiczne do tych z rys. 5.1) przedstawiono na rys Dla małych wartości P fa średni czas kasowania trasy praktycznie odpowiada czterem obserwacjom, czyli wynosi 8 s dla radia FM i 1.6 s dla telewizji DVB-T. Wynika to z zastosowanej logiki kasowania trasy 4/4 oraz znikomego wpływu fałszywych wykryć na wydłużenie czasu życia trasy. Sytuacja zmienia się dla dużych wartości P fa, gdzie często występujące fałszywe wykrycia potrafią wydłużyć czas kasowania trasy. Jak widać na rys. 6.14, wynik symulowany i teoretyczny są bardzo zbliżone. Ponieważ w symulacjach nie stosowano żadnego uproszczenia dotyczącego wielkości bramki, potwierdza to słuszność przyjętego w analizie teoretycznej założenia. 136

137 Wyniki eksperymentów symulacyjnych (a) 4 3 Teoria Symulacja T trm [s] 2 1 (b) P fa 1.5 T trm [s] 1.5 Teoria Symulacja Rys Średni czas kasowania trasy fałszywej w funkcji P fa (M t = 4, N t = 4, q = 1 m 2 /s 5, A max = 2 m/s 2, γ = 16); (a) dla parametrów sygnału radia FM (B = 5 khz, f c = 1 MHz, T = 2 s), (b) dla parametrów sygnału telewizji DVB-T (B = 8 MHz, f c = 6 MHz, T =.4 s) P fa 137

138 Rozdział 7 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych 7.1 Eksperymentalny system pasywny PaRaDe Jedną z przesłanek do podjęcia badań zaprezentowanych w pracy była chęć udoskonalenia eksperymentalnego radaru pasywnego projektowanego w Instytucie Systemów Elektronicznych Politechniki Warszawskiej. Autor jest członkiem zespołu, który opracował koncepcję, zaprojektował, wykonał oraz udoskonalał ten system. W omawianym radarze pasywnym, nazwanym PaRaDe (ang. Passive Radar Demonstrator), wykorzystywane są sygnały radia FM w celu wykrywania obiektów latających [76], [47], [77], [81], [79]. W skład systemu wchodzi szyk antenowy [73], część odbiorcza [83] oraz oprogramowanie służące do przetwarzania danych, pracujące na komputerze ogólnego przeznaczenia PC. Dzięki modułowej budowie części sprzętowej oraz programowej, system PaRaDe charakteryzuje się uniwersalnością i może być stosowany w wielu konfiguracjach. W ramach prac rozwojowych przeprowadzono próby radaru w konfiguracji stacjonarnej, jak również na platformach ruchomych: samochodzie i samolocie [2], [49]. Opisane poniżej badania eksperymentalne z wykorzystaniem sygnałów rzeczywistych zostały przeprowadzone dla radaru PaRaDe w konfiguracji stacjonarnej. W rozważanym przypadku posłużono się ośmioelementowym szykiem antenowym złożonym z dipoli rozmieszczonych na okręgu o promieniu 1.2 m [ rys. 7.1 (a) ]. Zwykle stosuje się szyki liniowe, czyli takie, w których poszczególne elementy szyku znajdują się w jednej linii. Jest to rozwiązanie bardzo popularne, ale ma istotną wadę, która w rozważanym zastosowaniu jest bardzo ważna. Kształt charakterystyki szyku liniowego jest zależny od kierunku wiązki. W szczególności wiązka ulega poszerzeniu 138

139 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych (a) (b) Rys System PaRaDe; (a) szyk antenowy, (b) część odbiorcza dla kierunków zbliżonych do osi szyku antenowego. Zastosowanie szyku kołowego umożliwia formowanie wiązek w różnych kierunkach, praktycznie bez zmiany kształtu charakterystyk. Sygnały z poszczególnych anten są wzmacniane oraz filtrowane za pomocą aktywnych filtrów pasmowo-przepustowych. Następnie sygnały są doprowadzane do modułów próbkujących [83]. Każdy z modułów posiada dwa wejścia. W celu koherentnej rejestracji sygnału z ośmiu anten wykorzystywane są cztery zsynchronizowane ze sobą moduły. Próbkowanie sygnału odbywa się zgodnie z koncepcją przedstawioną na rys. 3.1 (b), tzn. nie występuje tutaj analogowa przemiana częstotliwości. Rysunek 7.1 (b) przedstawia część odbiorczą systemu PaRaDe. Na zdjęciu widać moduły próbkujące (poziom czwarty najwyższy), odbiornik GPS i układ stabilizacji napięcia (poziom trzeci), układ rozprowadzania zasilania i filtry na pasmo FM (poziom drugi) oraz generator sygnału zegarowego (poziom pierwszy). Po spróbkowaniu sygnał jest przesyłany w postaci cyfrowej do komputera ogólnego przeznaczania PC w celu rejestracji, przetwarzania oraz wizualizacji. 139

140 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych 7.2 Analiza sygnałów rzeczywistych Na wstępie zaprezentowane zostaną wyniki przetwarzania sygnału uzyskane w poszczególnych etapach przetwarzania za pomocą systemu PaRaDe. Jak napisano w rozdziale trzecim, szyk antenowy z cyfrowym formowaniem wiązki daje możliwość tworzenia wiązek w różnych kierunkach bez konieczności ingerencji w część sprzętową systemu. Dzięki temu możliwa jest obserwacja dookólna poprzez formowanie wielu wiązek w różnych kierunkach. Na rysunku 7.2 przedstawiono przykładową koncepcję formowania wiązek w radarze pasywnym. Na wykresie pokazano osiem wiązek o kierunkach maksymalnego promieniowania rozłożonych równomiernie w zakresie od do 36 [ rys. 7.2 (a) we współrzędnych kartezjańskich, rys. 7.2 (b) we współrzędnych biegunowych ]. W celu zmniejszenia szerokości wiązek oraz obniżenia poziomu listków bocznych zastosowano metodę optymalizacji współczynników wykorzystanych do wytworzenia wiązek [73]. Jedna z otrzymanych wiązek jest wyróżniona i stanowi źródło sygnału referencyjnego. Pozostałe używane są do odbierania sygnału pomiarowego. Przetwarzanie, polegające na filtracji adaptacyjnej, korelacji oraz detekcji, odbywa się dla każdego z sygnałów pomiarowych osobno, przy czym we wszystkich przypadkach wykorzystuje się ten sam sygnał referencyjny. Dzięki takiemu sposobowi przetwarzania otrzymuje się możliwość dookólnej obserwacji terenu. Z rys. 7.2 (a) widać, że poszczególne wiązki przecinają się na poziomie ok. 3 db względem maksimum, a więc tłumienie amplitudy echa obiektu dla najmniej korzystnego przypadku (obiekt znajdujący się dokładnie pomiędzy dwoma wiązkami) nie jest duże. Dodatkową korzyścią wytworzenia wielu wiązek pomiarowych jest również możliwość zgrubnej estymacji kierunku przyjścia sygnału przez porównanie amplitudy sygnału z różnych wiązek. Sprawia to, że proces lokalizacji obiektu we współrzędnych kartezjańskich może być znacząco uproszczony dzięki wyeliminowaniu wielu przecięć bistatycznych elips, które nie odpowiadają zmierzonemu kierunkowi nadejścia sygnału. Na rysunku 7.3 przedstawiono porównanie teoretycznej oraz zmierzonej wiązki otrzymanej w wyniku jej cyfrowego formowania. Ze względu na silne sprzężenie między elementami szyku konieczne było zmierzenie macierzy sprzężeń i uwzględnienie jej przy projektowaniu wag zastosowanych do formowania wiązki [73]. Na wykresie można zaobserwować dużą zgodność wyniku teoretycznego z otrzymanym pomiarem. Rysunek 7.4 (a) przedstawia moduł funkcji nieoznaczoności dla sygnału referencyjnego oraz sygnału pochodzącego z jednej z siedmiu wiązek pomiarowych. Skala szarości odpowiada wartościom w decybelach obliczanych względem maksimum modułu funkcji nieoznaczoności. W celu lepszej wizualizacji pokazane wartości są ograniczone 14

141 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych (a) 1 Referencyjna Pomiarowa F(θ) [db] 2 3 (b) θ [ ] Referencyjna 6 Pomiarowa Rys Przykładowa koncepcja wykorzystania cyfrowego formowania wiązek w radarze pasywnym; (a) wiązki pomiarowe oraz referencyjna we współrzędnych kartezjańskich, (b) wiązki pomiarowe oraz referencyjna we współrzędnych biegunowych od dołu średnim poziomem listków bocznych. Ponieważ dominującym składnikiem sygnału pomiarowego jest sygnał bezpośredni, na rysunku widoczne jest maksimum dla zerowej odległości oraz prędkości bistatycznej. Poza tym, można zaobserwować podłogę szumową korelacyjnych listków bocznych na poziomie BT poniżej maksimum. W rozważanym przykładzie pasmo sygnału wynosiło około 5 khz, a czas integracji 1 s, co daje w rezultacie BT 47 db. Z uwagi na duży stosunek mocy sygnału bezpośredniego do mocy ech obiektów, przekraczający znacznie iloczyn BT, wykrycie obiektów jest w tej sytuacji niemożliwe. Dlatego też konieczne jest zastosowanie adaptacyjnej metody usuwania sygnału bezpośredniego oraz clutteru. Zastosowanie filtracji adaptacyjnej powoduje prawie całkowite usunięcie niepożądanych składników sygnału pomiarowego, czego wynik można zaobserwować na 141

142 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych 5 Teoria Pomiar F(θ) [db] θ [ ] Rys Teoretyczna oraz zmierzona wiązka uzyskana w wyniku procesu cyfrowego formowania wiązki rys. 7.4 (b). Widać tutaj jasny pasek dla zerowej częstotliwości sięgający od zera do około 1 km, co jest właśnie wynikiem działania procedury usuwania sygnału bezpośredniego oraz clutteru. Poza tym, można zaobserwować stały, niezależny od odległości i prędkości bistatycznej poziom podłogi szumowej. Na obydwu rysunkach przyjęto tę samą skalę wartości, co pozwala stwierdzić, że poziom podłogi szumowej obniżył się o ok. 45 db. Dzięki temu możliwa jest detekcja obiektów oznaczonych na rysunku elipsami. Zastosowano w tym przypadku próg detekcji 11.4 db względem wartości średniej podłogi szumowej, co odpowiada wartości P fa = 1 6. Na rysunku 7.5 pokazano rozkład prawdopodobieństwa modułu kwadratu funkcji korelacji (3.9) po procedurze filtracji adaptacyjnej. Do analizy wybrany został fragment funkcji nieoznaczoności niezawierający żadnych obiektów. Ponadto, z sygnału usunięto silne echa obiektów, które mogłyby wpłynąć na rozkład prawdopodobieństwa. Można zatem przyjąć, że sygnał pomiarowy zawierał jedynie szum odbiorczy. Zgodnie z teorią, rozkład wartości kwadratu modułu funkcji nieoznaczoności powinien być opisany funkcją wykładniczą (4.7). Na rysunku 7.5 przedstawiono porównanie zmierzonego i teoretycznego rozkładu. Pomiaru rozkładu prawdopodobieństwa dokonano przez obliczenie histogramu. W rozkładzie teoretycznym parametr skali µ dobrano jako odwrotność średniego zmierzonego poziomu szumów. Jak widać na rysunku, występuje duża zgodność między teoretycznym i zmierzonym rozkładem prawdopodobieństwa szumów. 142

143 Weryfikacja zaproponowanych metod za pomocą sygnałów rzeczywistych (a) ψ(r,v) [db] 5 1 R [km] (b) 2 2 V [m/s] ψ(r,v) [db] R [km] V [m/s] Rys Moduł funkcji nieoznaczoności obliczonej dla sygnału referencyjnego oraz jednego z sygnałów pomiarowych; (a) przed zastosowaniem filtru adaptacyjnego, (b) po zastosowaniu filtru adaptacyjnego elipsami zaznaczono wykryte obiekty (B 5 khz, f c = 12.4 MHz, T = 1 s, P fa = 1 6 ) Na podstawie otrzymanego eksperymentalnie rozkładu kwadratu modułu funkcji nieoznaczoności bardzo zbliżonego do rozkładu teoretycznego można spodziewać się, że rzeczywiste prawdopodobieństwo fałszywego alarmu będzie równe założonemu. Wyniki weryfikacji tego przypuszczenia podano na rys. 7.6, gdzie pokazano zmierzony poziom fałszywego alarmu w funkcji wartości założonej. Pomiaru dokonywano poprzez analizę liczby przekroczeń progu w stosunku do liczby wszystkich analizowanych komórek. Wartość progu była obliczana na podstawie wzoru (4.9). Obszar poddawany analizie nie zawierał wykryć pochodzących od obiektów. W celu zwiększenia dokładności pomiar wykonano dla wielu bloków danych, a wyniki uśredniono. Analizę ograniczono do wartości P fa wynoszącej 1 6 ze względu na ilość dostępnych danych. 143