PL ISSN SUPLEMENT POD PATRONATEM STOWARZYSZENIA IN YNIERÓW I TECHNIKÓW MECHANIKÓW POLSKICH

Transkrypt

1 5 07 PL ISSN SUPLEMENT POD PATRONATEM STOWARZYSZENIA IN YNIERÓW I TECHNIKÓW MECHANIKÓW POLSKICH

2

3

4 Modelowanie rozmyte i programowanie z ograniczeniami w sterowaniu systemem transportu wewnàtrzzak adowego GRZEGORZ BOCEWICZ IRENA BACH PAWE SITEK Mgr in. Grzegorz Bocewicz i mgr in. Irena Bach sà pracownikami Katedry Podstaw Informatyki i Zarzàdzania Politechniki Koszaliƒskiej a dr in. Pawe Sitek jest pracownikiem Samodzielnego Zak adu Systemów Sterowania i Zarzàdzania Politechniki Âwi tokrzyskiej. Artyku przedstawia zagadnienia zwiàzane z modelowaniem mechanizmów synchronizacji pracy Êrodków transportu wewnàtrzzak adowego w warunkach istniejàcych ograniczeƒ logistycznych zwiàzanych np. z przepustowoêcià tras jezdnych mo liwoêciami omijania i/lub wyprzedzania si wózków dost pnoêcià ramp (punktów za adunku/roz adunku materia ów) itp. [1 2]. Zaproponowany model opisuje struktur i zachowanie modelowanego systemu transportowego w postaci odpowiedniej bazy wiedzy w szczególnoêci opisujàcej niepewny (rozmyty) charakter niektórych zmiennych decyzyjnych. Rozwa any na jego gruncie problem wyznaczania zasad koordynujàcych dost p wózków do wspó dzielonych zasobów systemu [3] (odcinków tras jezdnych) gwarantujàcych bezkolizyjny i bezblokadowy przebieg realizowanych procesów transportowych nale y do klasy NP-trudnych. W niniejszej pracy problem ten sprowadza si do wyznaczania warunków wystarczajàcych postaci pary (stan poczàtkowej alokacji zasobów zbiór regu priorytetowania). Przyj cie struktury bazy wiedzy jako sposobu reprezentacji podsystemu transportowego sprowadza ten problem z kolei do odpowiedniego problemu decyzyjnego wyra onego w terminach metody logiczno-algebraicznej [4 5]. Do rozwiàzania tak sformu owanego problemu wykorzystywane sà ostatecznie techniki programowania z ograniczeniami (Constraints Programming (CP)) [6 9]. Przedstawione zagadnienie pokazane zosta o w dwóch podejêciach: standardowym specyfikujàcym problem decyzyjny w terminach danych o charakterze ostrym rozmytym przedstawiajàcym problem decyzyjny w terminach danych niepewnych. Za àczone przyk ady ilustrujà sposób wyznaczania warunków wystarczajàcych których spe nienie gwarantuje bezkolizyjnà i bezblokadowà prac w systemie obs ugi wózków samojezdnych w obu przypadkach opisywanym danymi o charakterze ostrym oraz niepewnym. Sformu owanie problemu Systemy transportu wewnàtrzzak adowego pracujàce w warunkach ograniczonego dost pu do wspó dzielonych zasobów nale à do klasy Systemów Wspó bie nych Procesów Cyklicznych (SWPC) [10 11]. W modelu SWPC wykorzystywane sà m.in. poj cia [10]: Procesu cyklicznego P i = (p i1 p i2... p in ) gdzie: p ij oznacza numer zasobu wykorzystywanego przez i-ty proces w j-tej operacji. Sekwencja okreêla porzàdek w jakim wykonywany jest dany proces. Reprezentacji czasowej i-tego procesu cyklicznego stanowiàcej sekwencj której elementy okreêlajà czasy wykonywania poszczególnych operacji tego procesu: T i = (t i1 t i2... t in ) gdzie: t ij oznacza czas wykonywania j-tej operacji w i-tym procesie. Sekwencji dost pu procesów do wspó dzielonych zasobów podsystemu transportowego: Θ = (σ j σ... σ ) gdzie: σ = (s s... s ) jest sekwencjà której elementy okreêlajà kolejnoêç obs ugi k z i j k l procesów przez i-ty zasób. Stanu poczàtkowego podsystemu transportowego stanowiàcego sekwencj elementami której sà numery zasobów rozpoczynajàce marszruty transportowe procesów. = (R i R j... R k ) gdzie: crd i = R j oznacza e i-ty proces rozpoczynany jest od operacji realizowanej na zasobie R j ; crd i oznacza i-tà wspó rz dnà wektora. Sekwencji p wszystkich procesów cyklicznych wyst pujàcych w systemie definiowanej nast pujàco: p = (P 1 P 2 P r ) = (p 11 p p 1 n1 p 21 p p 2 n2 p r1 p r2... p r ni ) gdzie: p ij oznacza j-tà operacje i-tego procesu. Sekwencji t stanowiàcej reprezentacj czasowà wszystkich procesów cyklicznych wyst pujàcych w systemie definiowanej nast pujàco: t = (T 1 T 2 T r ) = (t 11 t t 1 n1 t 21 t t 2 n2 t r1 t r2... t r ni ) gdzie: t ij oznacza czas wykonywania j-tej operacji w i-tym procesie (czas wykonania operacji p ij ). 24 ROK WYD. LXVI ZESZYT 5S/2007

5 Sekwencji stanu: x = (x 1 x 2 x 3... x l ) gdzie: x i oznacza termin rozpocz cia operacji na zasobie okreêlonym przez wartoêç p i sekwencji p. Dla tak opisywanego systemu definiuje si nast pujàcà postaç problemu: Dany jest system klasy SWPC odwzorowujàcy prac wózków samojezdnych. Znana jest struktura systemu oraz parametry procesów w postaci wektorów P i okreêlajàcych trasy wózków oraz czasy T i obs ugi wózków w kolejnych stacjach. Nale y odpowiedzieç na pytanie: Czy w systemie transportowym mo liwa jest bezkolizyjna i bezblokadowa realizacja procesów (praca wózków samojezdnych)? a jeêli tak to: Jaka jest wartoêç czasu trwania pojedynczego cyklu? Rozwiàzanie tak sformu owanego problemu sprowadza si do odpowiedzi na pytanie: Czy istniejà warunki wystarczajàce których spe nienie gwarantuje cyklicznà (tzn. bezblokadowà) realizacj procesów wspó bie nych? W celu zilustrowania problemu rozwa my przyk ad. Przyk ad PODEJÂCIE STANDARDOWE Dany jest system wspó bie nych procesów cyklicznych którego struktur ilustruje rys. 1. Procesy P 1 P 2 P 3 realizowane sà przez punkty obs ugi R 1 R 2 które stanowià wspó dzielone zasoby systemu. P 1 = (R 1 R 2 ) P 2 = (R 2 R 3 ) P 3 = (R 3 R 4 ) p = (R 1 R 2 R 2 R 3 R 3 R 4 ) x = (x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 ). Czasy poszczególnych operacji sà nast pujàce: T = (t t t t t t t t t ) gdzie: t 1 = 3; t 2 = 2; t 3 = 4; t 4 = 3; t 5 = 2 ; t 6 = 3; t 7 = 1; t 8 = 4; t 9 = 2. Dany jest stan poczàtkowy = (R i R j R k ) gdzie: R i {R 1 R 2 } R j {R 2 R 3 } R k {R 3 R 4 }. Dany jest zbiór regu priorytetowania: Θ = (σ 2 σ 3 σ 5 ) gdzie: σ 2 = (s 21 s 22 ) σ 3 = (s 31 s 32 ) σ 5 = (s 51 s 52 s 53 ). Wszystkie parametry systemu posiadajà precyzyjne wartoêci. Poszukiwane sà warunki wystarczajàce gwarantujàce cyklicznà (bezblokadowà) realizacj procesów w tym systemie. Przyj ty sposób reprezentacji wiedzy opisu rozwa onego systemu transportowego ma postaç [11]: RW = <S0 Σ X; R> gdzie: S0 zbiór wszystkich mo liwych stanów poczàtkowych (zmienne wejêciowe) Σ zbiór wszystkich mo liwych regu dost pu do zasobów wspó dzielonych Θ (zmienne wejêciowe) X zbiór wszystkich mo liwych postaci wektora stanów x (zmienne wyjêciowe) R = {( Θ x): F( Θ x) = 1} relacja okreêlajàca wartoêci Θ x dla których prawdziwe sà fakty F( Θ x). F( Θ x) zestaw faktów b dàcych zdaniami logicznymi które opisujà w aêciwoêci systemu w zale noêci od stanu poczàtkowego regu dost pu do zasobów wspó dzielonych Θ i terminów rozpocz cia poszczególnych operacji x. Dla danego SWPC opisanego RW poszukiwana jest taka postaç relacji wejêciowej R x która gwarantuje spe nienie znanej relacji wyjêciowej R y. Relacje R x i R y sà definiowane nast pujàco: R x = {( Θ): F c ( Θ) = 1} zbiór wartoêci Θ dla których spe niona jest w aêciwoêç wejêciowa systemu F c ( Θ); R y = {x: F y (x) = 1} zbiór wartoêci x dla których spe niona jest w aêciwoêç wyjêciowa F y (x); gdzie: F c ( Θ) jest zestawem zdaƒ logicznych opisujàcych zale ne od stanu poczàtkowego i regu dost pu do zasobów wspó dzielonych Θ w aêciwoêci wejêciowe systemu F y (x) jest zestawem zdaƒ logicznych opisujàcych w zale noêci od wartoêci sekwencji x w aêciwoêci wyjêciowe systemu. Wyznaczenie relacji R x (a tym samym F c ( Θ)) oparte na metodzie logiczno-algebraicznej odbywa si z wykorzystaniem uprzednio wyznaczonych zbiorów S x1 i S x2 S x1 = {( Θ): F( Θ x) = 1 F y (x) = 1} S x2 = {( Θ): F( Θ x) = 1 F y (x) = 0} R x = S x1 S x2 Wyznaczenie zbiorów S x1 i S x2 odbywa si poprzez rozwiàzanie odpowiednich problemów Problemu Spe niania Ograniczeƒ (PSO) gdzie: PSO = ((Q D) C o ) Rys. 1. System wspó bie nych procesów cyklicznych ROK WYD. LXVI ZESZYT 5S/

6 definiowany jest nast pujàco: Dany jest skoƒczony zbiór dyskretnych zmiennych decyzyjnych Q = {q 1 q 2... q g } rodzina skoƒczonych dziedzin zmiennych D = {D i D i = {d i1 d i2... d ij... d ih } i = 1... g} oraz skoƒczony zbiór ograniczeƒ C O = {C Oi i = 1... L} limitujàcych wartoêci zmiennych decyzyjnych. Poszukiwane jest rozwiàzanie dopuszczalne tzn. rozwiàzanie w którym wartoêci wszystkich zmiennych spe niajà wszystkie ograniczenia zbioru C O. W przypadku problemu PSO odwzorowujàcego RW rol ograniczeƒ C O spe niajà fakty wchodzàce w sk ad F( Θ x) rol zmiennych Q wartoêci zmiennych Θ x. Dziedziny zmiennej sà w postaci zbiorów D S0 D Q D x. Ostatecznie rozwa any problem PSO przyjmuje postaç: a) b) PSO = ((( Θ x) D) {F( Θ x) = 1}) Oznacza to e rozwiàzanie problemu decyzyjnego (wyznaczenie relacji R x ) wymaga rozwiàzania problemów: PSO Sx1 = (( Θ x) D) {F( Θ x)=1 F y (x) = 1}) PSO Sx2 = (( Θ x) D) {F( Θ x)=1 F y (x) = 0}) Rozwiàzaniami PSO Sx1 PSO Sx2 sà zbiory S x1 i S x2 umo liwiajàce wyznaczenie zbioru warunków wystarczajàcych R x. Zbiór R x zawiera pary (stan poczàtkowy sekwencja regu dost pu procesów do zasobów dzielonych Θ) stanowiàce alternatywne rozwiàzania gwarantujàce bezblokadowà i bezkolizyjnà prac systemu. Wykorzystanie systemu Oz Mozart doprowadzi o do pi ciu alternatywnych warunków wystarczajàcych przyk adowe rozwiàzanie ma postaç: ( = (R 2 R 3 ) {σ 5 = (P 2 P 1 P 3 ) σ 2 = (P 1 P 2 ) σ 3 = (P 3 P 2 )}). Harmonogram odpowiadajàcy przedstawionemu warunkowi (charakteryzuje si cyklem wynoszàcym 9 jednostek czasu) zosta przedstawiony na rys. 2. PODEJÂCIE ROZMYTE Przedstawione podejêcie mo e zostaç równie wykorzystane w problemach z danymi niepewnymi. W celu ilustracji rozwa my system w którym zmienne okreêlajàce czas trwania operacji elementarnych (sekwencja T) majà charakter rozmyty: T = (t t 1 n1 t t 2 n2... t r1... t r nr ); gdzie: t ij rozmyta zmienna okreêlajàca czas trwania operacji j procesu P i ; t ij = {(µ ij (t) t)} t Tt ij ; µ(t) funkcja przynale noêci przypisuje ka demu elementowi x stopieƒ przynale noêci do zbioru t ij µ(t) [0 1]. Dla uproszczenia przyj to e funkcja przynale noêci jest funkcjà dyskretnà. Zatem czasy rozmyte mogà byç reprezentowane w postaci nast pujàcych zbiorów dyskretnych [12] gdzie: t 1 t 2 t k Tt ij Tt ij N. Rys. 2. Zbiór H wyznaczony przy u yciu operatora max (a) zbiór H wyznaczony przy zastosowaniu operacji iloczynu (b) W ogólnoêci sekwencja T stanowi sekwencj zmiennych rozmytych opisanych na zbiorze Tt = {Tt Tt 1 n1 Tt Tt 2 n2... Tt r1... Tt r nr }. Inaczej mówiàc zmiennej t ij odpowiada dziedzina zmiennych dyskretnych: Tt ij = {t 1 t 2 t k } oraz zbiór wartoêci M ij = {µ ij (t 1 ) µ ij (t 2 ) µ ij (t k )} M = {M M 1 n1 M M 2 n2... M r1... M r nr } przyporzàdkowujàcych ka demu elementowi t q stopieƒ przynale noêci µ ij (t q ). Za o ono e pozosta e zmienne charakteryzujàce system transportowy: stan poczàtkowy regu y priorytetowania Θ terminy rozpocz cia operacji elementarnych x itp. majà charakter ostry. Podobnie jak poprzednio dla tak scharakteryzo- 26 ROK WYD. LXVI ZESZYT 5S/2007

7 Rys. 3. Harmonogram pracy procesów wanych systemów poszukiwane sà warunki wystarczajàce gwarantujàce cyklicznoêç i bezkolizyjnoêç pracy systemu. Uwzgl dniajàc rozmyty charakter czasów trwania operacji elementarnych reprezentacja wiedzy opisujàca system jest definiowana nast pujàco: RW = <S0 Σ X Tt M; R> gdzie: R = {( Θ x d m F( Θ x d m:) = 1}; d = { d d 1 n1 d d 2 n2... d r1... d r nr } d ij Tt ij Tt ij = {t 1 t 2 t k } Tt = {Tt Tt 1 n1 Tt Tt 2 n2... Tt r1... Tt r nr }; m = {m m 1 n1 m m 2 n2... m r1... m r nr } m ij M ij M ij = {µ ij (t 1 ) µ ij (t 2 ) µ ij (t k )} M = { M M 1 n1 M M 2 n2... M r1... M r nr } sekwencja wartoêci funkcji przynale noêci dla elementów sekwencji T. Wyznaczenie warunków wystarczajàcych w postaci zbioru stanu poczàtkowego i regu priorytetowania (zbiór R x ) odbywa si na tej samej zasadzie jak w przypadku problemu opisanego zmiennymi ostrymi z tà ró nicà e dla wyznaczonych warunków harmonogramy muszà spe niaç warunek bezblokadowoêci bez wzgl du na wartoêç czasu trwania poszczególnych operacji. Zbiór warunków wystarczajàcych wyznaczany jest ze zbiorów: A x1 = {( Θ d): F( Θ x d m) = 1 F y (x) = 1} A x2 = {( Θ d): F( Θ x d m) = 1 F y (x) = 0} RA x = A x1 A x2. Zak adajàc e: T k = { d : d RA x }; T r = {d = {d d 1 n1 d d 2 n2... d r1... d r nr }: d ij Tt ij Tt ij Tt} to: T k = Tr R x = {( Θ): Θ RA x } T k Tr R x =. Podobnie jak w przypadku zmiennych ostrych zbiory A x1 i A x2 wyznaczane sà w wyniku rozwiàzania problemów: PSO Ax2 = (( Θ x d) D) {F( Θ x d m) = = 1F y (x) = 0}) PSO Ax1 = (( Θ x d) D) {F( Θ x d m) = = 1 F y (x) = 1}) Zbiory A x1 i A x2 stanowiàce rozwiàzanie tych problemów prowadzà do R x który z kolei pozwala wyznaczyç wartoêci czasu trwania cyklu realizowanych procesów H wed ug zale noêci: H = min{x 1 + t 11 min{x 2 + t 12 min{ min{x r +t r nr }} }}} Ze wzgl du na to e czasy t ij sà zmiennymi rozmytymi cykl H b dzie równie zmiennà rozmytà: H = {(µ H (h) h)} WartoÊciom zmiennej h przyporzàdkowane sà stopnie przynale noêci µ H (h) wyznaczane z jednej z zale noêci: wykorzystujàcej operator min: µ H (h) = min {µ 11 (t 11 ) min{µ 12 (t 12 ) min { min{µ r nr (t )}} }}} bàdê r nr wykorzystujàcej iloczyn funkcji przynale noêci: µ H (h) = µ 11 (t 11 ) 12 (t 12 ) µ r nr (t ). r nr Okazuje si e jednej wartoêci cyklu H mogà odpowiadaç ró ne wartoêci stopnia przynale noêci z tego te wzgl du wartoêci cyklu tworzà rodzin zmiennych rozmytych H *. W celu wyznaczenia stopnia przynale noêci oraz wartoêci cyklu H konieczne jest posiadanie wartoêci terminów rozpocz cia operacji elementarnych x i wartoêci spe nienia czasu trwania poszczególnych operacji. W tym celu rozwiàzywany jest problem PSO I =((x T) D){F( Θ x T µ) = 1F u ( Θ) = 1}). Na podstawie wyznaczonych wartoêci zmiennych x i t wyznaczany jest cykl H oraz stopieƒ jego spe nienia. Przyjmijmy e dane czasy trwania operacji sà okreêlone przez zmienne rozmyte: T = (t 1 t 2 t 3 t 4 t 5 t 6 t 7 t 8 t 9 ) gdzie: t 1 = {05/2; 1/3; 08/4}; t 2 = {1/2; 08/3; 06/4}; t 3 = {05/3; 1/4; 08/5}; t 4 = {08/2; 1/3; 08/4}; t 5 = {05/1; 1/2; 08/3}; t 6 = {05/2; 1/3 08/4}; t 7 = {1/1; 09/2; 02/3}; t 8 = {05/3; 1/4; 08/5}; t 9 = {1/2 09/4 02/3}; Stan poczàtkowy ma postaç = (R i R j R k ) gdzie: R i {R 1 R 2 } R j {R 2 R 3 } R k {R 3 R 4 }. ROK WYD. LXVI ZESZYT 5S/

8 Regu y priorytetowania przyjmujà postaç: Θ = (σ 2 σ 3 σ 5 ) gdzie σ 2 = (s 21 s 22 ) σ 3 = (s 31 s 32 ) σ 5 = (s 51 s 52 s 53 ). Dla tak zdefiniowanego systemu jak poprzednio poszukiwane sà warunki wystarczajàce. Rozwiàzujàc problemy PSO Ax1 PSO Ax2 (system OZ Mozart) wyznaczonych zosta o pi ç warunków wystarczajàcych. Przyk adowy warunek ma postaç: { = (R 2 R 3 ) σ 5 = (P 2 P 1 P 3 ) σ 2 = (P 1 P 2 ) σ 3 = (P 3 P 2 )}. Wykorzystujàc ten warunek oraz rozwiàzujàc problem PSO I wyznaczona zosta a postaç zmiennej H. Ze wzgl du na rozmiar otrzymanego zbioru ( rozwiàzaƒ) rozmyta zmienna H zosta a przedstawiona w postaci graficznej (rys. 3). Obszary ograniczone czarnà linià okreêlajà dyskretnà przestrzeƒ wartoêci i stopnia spe nienia jakie mo e przyjàç zmienna H dla zadanych zmiennych rozmytych czasów trwania operacji elementarnych oraz wyznaczonego warunku wystarczajàcego. W obu przypadkach dla przyj tego warunku prace wózków b dà realizowane z cyklem oko o 9 jednostek czasu. Otrzymane zbiory rozmyte czasów trwania cykli H nie sà symetryczne. W szczególnoêci oznacza to e dla zadanych zmiennych rozmytych czasów trwania operacji elementarnych z przedzia u 1 5 rozwa any system transportowy pracowa b dzie z cyklem z przedzia u 9 12 jednostek czasu. Analogiczne pytanie mo na odnieêç do sytuacji gdy dany jest dopuszczalny przedzia zmiennoêci cyklu (i np. zwiàzany z tym takt systemu produkcyjnego) np.: Jakie przedzia y zmiennoêci czasów trwania operacji elementarnych nie wyprowadzajà poza okreêlony zakres zmiennoêci cyklu H? KorzyÊci wynikajàce z przedstawionego podejêcia atwo zauwa yç na przyk adzie pytania: Czy w zadanym stanie poczàtkowym i przy wybranych regu ach priorytetowania dla przyj tych czasów jednostkowych t 1 = 3; t 2 = 2; t 3 = 4; t 4 = 3; t 5 = 2; t 6 = 3; t 7 = 1; t 8 = 4; t 9 = 2; system b dzie pracowa z cyklem 10? W przypadku danych ostrych odpowiedê jest e nie; w przypadku zmiennych rozmytych odpowiedê jest e tak (ze stopniem spe nienia 08) co odpowiada wartoêciom czasów jednostkowych: t 1 = 4; t 2 = 2; t 3 = 4; t 4 = 5; t 5 = 2; t 6 = 3; t 7 = 1; t 8 = 4; t 9 = 2. Z innych przeprowadzonych eksperymentów wynika e zmiany czasów nale àcych do Êcie ki krytycznej wp ywajà na postaç otrzymanego zbioru H. Fakt ten t umaczy wyniki eksperymentów w których wszystkie czasy jednostkowe by y w niewielkim stopniu skracane bàdê te wyd u ane wynikowe czasy cykli odpowiednio skraca y si bàdê te wyd u a y. Podsumowanie Przedstawiony sposób modelowania systemów transportowych pozwala uwzgl dniç zarówno ostry jak i rozmyty charakter opisujàcych je zmiennych. Wymienione cechy reprezentowane sà we wspólnym formalizmie metody logiczno-algebraicznej umo liwiajàcym wykorzystanie jednolitej platformy obliczeniowej j zyków programowania z ograniczeniami. G ównà zaletà proponowanego podejêcia jest mo liwoêç wielokryterialnej oceny planowanych realizacji procesów transportowych. Mo liwoêç ta wyra a si m.in. w mo liwoêci poszukiwania odpowiedzi na pytania typu: Jakie przedzia y zmiennoêci wartoêci wybranych zmiennych decyzyjnych gwarantujà e wybrany zbiór kryteriów (np. czas cyklu stopieƒ wykorzystania wózka terminowoêç) nie przekroczy zadanych przedzia ów wartoêci. LITERATURA 1. Lawley M. A. Reveliotis S. A. Ferreira P. M.: A correct and scalable deadlock avoidance policy for flexible manufacturing systems. IEEE Trans. on Robotics and Automation; Vol. 14 No pp Lee T. Song J.: Petri net modeling and scheduling of periodic job shops with blocking. In: Proc. of the Workshop on Manufacturing and Petri nets Osaka Japan 25 June 1996 pp Ramamritham K.: Allocation and scheduling of precedence-related periodic tasks IEEE Trans. on Parallel and Distributed Systems Vol. 4 No. 6/1995 pp Bubnicki Z.: Wprowadzenie do systemów ekspertowych. PWN Warszawa Bubnicki Z.: Learning processes and logic-algebraic method for the systems with knowledge representation. Systems analysis and management. Systems Research Inst. PAS. 6. Banaszak Z. Zaremba M. Muszyƒski W.: CP-based decision making for SME. Preprints of the 16 th IFAC World Congres (Eds. P. Horacek M. Simandl) P. Zitek DVD Prague Czech Republic Barták R.: Incomplete Depth-First Search Techniques. A Short Survey. Proceedings of the 6 th Workshop on Constraint Programming for Decision and Control. (Ed. Figwer J.) 2004 pp Bocewicz G. Wójcik R. Banaszak Z.: Zastosowanie technik programowania z ograniczeniami do rozstrzygania konfliktów zasobowych w ESP. In ynieria Maszyn 2006 pp Sitek P. Wikarek J.: Zastosowanie metodyki programowania z ograniczeniami do modelowania i rozwiàzywania problemów decyzyjnych sterowania produkcjà. In ynieria Produkcji technologia innowacja informacja. Uniwersytet Zielonogórski Zielona Góra pp Polak M. Majdzik P. Banaszak Z. A. Wójcik R.: The performance evaluation tool for automated prototyping of concurrent cyclicproces. Fundamenta Inf. Vol. 60 No. 1-4/2000 pp Wójcik R. Bacewicz G. Banaszak Z.: Harmonogramowanie pracy wózków samojezdnych w warunkach ograniczonego dost pu do wspóldzielonych zasobów ESW (Model logiczno-algebraiczny). Krajowa Konferencja Robotyki Wroc aw 2006 pp Piegat A.: Modelowanie i sterowanie rozmyte. Warszawa ROK WYD. LXVI ZESZYT 5S/2007