Odmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
|
|
- Antonina Wilk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Odmiany maszyny Turinga 1
2 Uniwersalna maszyna Turinga Uniwersalna maszyna U nad alfabetem A k jest to maszyna definiująca funkcje: f U, n+1 = {((w(i 1, I 2,..., I n )),y) w - opis maszyny T za pomocą słowa, zaś ((I 1, I 2,..., I n ),y) f T, n } - argument w odpowiada programowi - krotka I 1, I 2,..., I n odpowiada danym wejściowym programu 2
3 Przykład: A 3 = {0, 1, B} słowo w jest opisem maszyny definiującej f T, 1 = E T= {q 0,q 1 }, A 3, B, {q 0 0BRq 0, q 0 1BRq 0, q 0 BBRq 1 }, q 0 wprowadzamy porządek P na zbiorze stanów P: Q N P(q 0 ) = 1, P(q 1 ) = 2 niech S A 3 ; instrukcję qaa Dq wyrażamy: S P(q) aa D S P(q ) 3
4 Przykład c.d. kodujemy instrukcje T nad A 3 {S, L, R}: S0BRSS1BRSSBBRSS niech P 1 będzie porządkiem określonym dla A 3, zaś P 2 niech będzie porządkiem nad A 3 {S, L, R} P2 = P1 {(S, 4), (L, 5), (R, 6)} rozważamy funkcję K: (A k {S, L, R})* (A k )* skonstruowaną z wykorzystaniem numeracji elementów dziedziny i przeciwdziedziny 4
5 Przykład c.d. niech N 1 : (A 3 {S, L, R})* N oraz N 1 (S0BRSS1BRSSBBRSS)=n 1 niech N 2 : (A 3 )* N wybieramy słowo e A 3 *, którego numer porządkowy w numeracji N 2 równy jest n 1, słowo e jest kodem słowa w: K(w) = e 5
6 Niedeterministyczna maszyna Turinga NDTM = Q, A k, B, δ, q 0 δ: Q I A k 2 Q I A k I {L, R} Deterministyczną maszynę Turinga z dwoma stanami końcowymi q n i q y wyposażamy w moduł generujący słowa należące do A k*. 6
7 Niedeterministyczna maszyna Turinga Maszyna NDTM działa w dwóch etapach: 1. moduł generujący generuje słowo s A k * i umieszcza je w lewej części taśmy, począwszy od komórki następuje sprawdzenie, czy słowo s spełnia warunki określone w postawionym pytaniu 7
8 Niedeterministyczna maszyna Turinga NDTM rozwiązuje problem decyzyjny π, jeżeli dla każdej instancji tego problemu wygenerowany łańcuch s powoduje, że po wykonaniu programu NDTM są spełnione warunki: jeżeli odpowiedź brzmi tak, to maszyna zatrzymuje się w stanie końcowym q y, jeżeli odpowiedź brzmi nie, to maszyna osiąga stan q n albo faza sprawdzania nie zakończy się w skończonym czasie. 8
9 Wielotaśmowa maszyna Turinga k-dtm = Q, Z 1, Z 2,... Z k, B, δ, q 0 δ: Q I Z 1 I Z 2 I...I Z k Q I Z 1 I Z 2 I...I Z k I {L, R} k k-ndtm = Q, Z 1, Z 2,... Z k, B, δ, q 0 δ: Q I Z 1 I Z 2 I...I Z k 2 Q I Z 1 I Z 2 I...I Z k I {L, R}k 9
10 Odmiany pojęcia maszyny Turinga Twierdzenie 1 Każda k-taśmowa maszyna Turinga może być symulowana przez jednotaśmową maszynę Turinga. Twierdzenie 2 Każda NDTM może być symulowana przez 3-DTM. Wniosek Każda NDTM może być symulowana przez DTM. 10
11 Maszyna Turinga z wyrocznią OTM = Q, A k, Σ, B, δ, q 0, q h, q c, q r A k - skończony, niepusty zbiór symboli taśmy pierwotnej Σ - skończony, niepusty zbiór symboli taśmy wyroczni δ: Q {q c, q h } I A k I Σ Q I A k I Σ I {L, R} I {L, R} q h - wyróżniony stan końcowy q c - wyróżniony stan konsultacji z wyrocznią q r - wyróżniony stan wznowienia obliczeń (po konsultacji) 11
12 Maszyna Turinga z wyrocznią taśma wyroczni sterowanie taśma pierwotna 12
13 Zasada działania maszyny Turinga z wyrocznią w stanie q 0 na taśmie pierwotnej zapisane jest słowo wejściowe, taśma wyroczni jest pusta, maszyna OTM rozpoczyna pracę jak DTM; jeśli sterowanie przejdzie do stanu q n, to obliczenia kończą się, a wynik znajduje się na taśmie pierwotnej; jeśli OTM znajduje się w stanie q Q - {q n, q 0 }, to maszyna wykonuje czynności zgodnie z δ (jak zwykła 2-DTM); 13
14 Zasada działania maszyny Turinga z wyrocznią jeśli OTM znajdzie się w stanie q c, to obliczana jest wartość funkcji wyroczni g: Σ* Σ*, dla słowa y zapisanego na taśmie wyroczni; niech g(y) = z, wtedy w jednym kroku następuje zmiana zawartości taśmy wyroczni na słowo z, zapisane w komórkach 1 do z, głowica przesuwa się nad komórką 1, a maszyna przechodzi do stanu q r, taśma pierwotna nie ulega zmianie. 14
15 Złożoność maszyny Turinga Definicja wg C. E. Shanona Miarą złożoności maszyny Turinga jest iloczyn liczby stanów przez liczbę symboli alfabetu. Q k 15
16 Twierdzenie Shanona * Każda maszyna Turinga P o n stanach zdefiniowana nad alfabetem o m symbolach może być symulowana przez maszynę R o dwóch stanach i alfabecie zawierającym 4nm + m symboli. Każda maszyna Turinga P o n stanach zdefiniowana nad alfabetem o m symbolach może być symulowana przez maszynę R o liczbie stanów mniejszej od 8mn i alfabecie zawierającym dwa symbole. *) Dowód można znaleźć w: Brady J. M., Informatyka teoretyczna w ujęciu programistycznym, WNT
17 Istnieje przeliczalna liczba maszyn Turinga. Niech f: N {zbiór maszyn Turinga} gdzie f(n) jest maszyną T nad A 2 = {1, B} piszącą na taśmie n jedynek istnieją również inne maszyny Turinga, więc ℵ 0 liczba maszyn Turigna (1) 17
18 Istnieje przeliczalna liczba maszyn Turinga. T: Q I A 2 Q I A 2 I{L, R} czyli {zbiór maszyn Turinga} = U{ T T : QxA QxA x{ L, } Q card{zbiór maszyn Turinga} = card Q card U Q { T T : QxA QxA x{ L, } 2 2 R ({ T T : QxA QxA x{ L, }) 2 2 R ( ) ( ( )) ( ) 2 2 R = 4card Q = 4n = ℵ0 (2) Q 2card Q n N 2n Q - skończony segment N 18
19 Problem stopu maszyny Turinga Czy w ogólnym przypadku można rozstrzygnąć, czy f T, 1 (I) dla I A k-1 jest określone? Czy funkcja H(I, y) (gdzie I jest opisem maszyny, słowo y jest argumentem f T, 1, a wartość H(I,y) = a1 jeśli f T, 1 (y) jest określone i H(I, y) = ε, gdy f T, 1 (y) jest nieokreślone) jest obliczalna? 19
20 Funkcje nieobliczalne Twierdzenie Istnieją funkcje nieobliczalne według Turinga. 20
21 Przykład funkcji nieobliczalnej Zdefiniujmy funkcję S: N N, taką, że S(n) oznacza maksymalną liczbę jedynek napisanych przez maszynę Turinga o n stanach. Maszyna zatrzymuje się po napisaniu tych jedynek. S(1) = 1 S(2) = 4 S(3) = 6 S(4) = 13 S(5) 17 S(6) 35 S(7) S(8)
22 Szkic dowodu (nie wprost) Załóżmy, że S(I) jest funkcją obliczalną. Zatem istnieje k-stanowa maszyna Turinga M S(I) obliczająca S(I). Jeżeli S(I) jest obliczalna, to istnieje k stanową M S(S(I)) obliczająca S(S(I)). Zdefiniujmy teraz M*, która: zapisuje słowo I na taśmie (I stanów) głowica wraca na początek słowa I (c stanów) działa jak maszyna M S(S(I)) dla słowa I. Widać, że M* posiada I + c + k stanów 22
23 Szkic dowodu (nie wprost) Z definicji S(I) wynika, że S(I + c + k ) S(S(I)) (bo M S(S(I)) ma tylko k stanów). Jest to jednak niemożliwe, bo dla dostatecznie dużych I na podstawie monotoniczności funkcji S(I) mamy: S(I) > I + c + k. 23
24 Funkcje pierwotnie rekurencyjne Za pomocą trzech schematów określamy zbiór słowowych funkcji bazowych: Funkcja ścierająca E(x) = ε, dla wszystkich x A * k Funkcja j-tego następnika, 1 j k S j (x) = x a j, dla wszystkich x A * k Rodzina funkcji projekcji P jn (x 1, x 2,...x j,..., x n ) = x j, 1 j n dla wszystkich x 1, x 2,...x j,..., x n A * k 24
25 Reguły tworzenia funkcji złożonych Podstawienie f(x 1, x 2,..., x n ) = g(h 1 (x 1, x 2,..., x n ), h 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., h m (x 1, x 2,..., x n )) dla wszystkich x 1, x 2,..., x n A * k Rekursja prosta f(ε, x 2,..., x n ) = g(x 2,..., x n ) f(s 1 (x 1 ), x 2,..., x n ) = h 1 (x 1, f(x 1, x 2,..., x n ), x 2,..., x n ) f(s 2 (x 1 ), x 2,..., x n ) = h 2 (x 1, f(x 1, x 2,..., x n ), x 2,..., x n )... f(s k (x 1 ), x 2,..., x n ) = h k (x 1, f(x 1, x 2,..., x n ), x 2,..., x n ) dla dr hab. wszystkixh inż. Joanna Józefowska, x 1, x 2, prof...., PPx n A * k 25
26 Definicja FPR Funkcja f jest pierwotnie rekurencyjna (FPR), jeżeli można ją uzyskać z funkcji bazowych przez skończoną liczbę zastosowań schematów podstawienia i rekursji prostej. 26
27 Minimizacja Funkcje n-argumentową uzyskuje się z funkcji (n+1) argumentowej Ψ przez minimizację nad (a j )*, jeśli dla wszystkich x 1, x 2,..., x n A k* : Φ(x 1, x 2,..., x n ) jest określone wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje m N, takie że dla każdego 0 p m, Ψ(a jp, x 1, x 2,..., x n ) jest określone i Ψ(a jp, x 1, x 2,..., x n ) = ε. Gdy Φ(x 1, x 2,..., x n ) jest określone (istnieje takie m), wtedy Φ(x 1, x 2,..., x n ) = a jq, gdzie q jest najmniejszym takim m. Φ(x 1, x 2,..., x n ) = min j y [Ψ(x 1, x 2,..., x n ) = ε] 27
28 Definicja FCR Funkcje nazywamy funkcją rekurencyjna częściową (FCR), jeśli można ją otrzymać z funkcji bazowych przez skończoną liczbę zastosowań operacji podstawienia, rekursji prostej i minimizacji. 28
29 Maszyna RAM (Random Access Machine) Maszyna RAM jest to wyidealizowany komputer ze swobodnym dostępem do pamięci. Ustalamy alfabet A k. Pamięć maszyny RAM składa się z nieskończonego zbioru rejestrów R1, R2,... Każdy z rejestrów może pamiętać dowolne słowo ze zbioru A k*. Maszyna RAM jest programowalna. Każdy program maszyny RAM wykorzystuje tylko skończony zbiór rejestrów. 29
30 Instrukcje maszyny RAM Oznaczenia: E etykieta instrukcji E zmodyfikowana postać etykiety (Ea lub Eb) Y, Z nazwy rejestrów 30
31 Instrukcje maszyny RAM Typ 1j j. 7. Instrukcja E addj Y E del Y E clr Y E Y Z E jmp E E Y jmpj E E continue Opis działania dodanie litery a j na prawym końcu słowa w rejestrze Y usunięcie jednej litery z lewego końca słowa w rejestrze Y wymazanie zawartości rejestru Y (wpisanie ε) skopiowanie słowa z rejestru Z do Y skok do najblizszej instrukcji etykietowanej: E a (w górę) E b (w dół) skok do E, o ile słowo w rejestrze Y rozpoczyna się literą a j instrukcja pusta 31
32 Program maszyny RAM program maszyny RAM jest skończonym ciągiem instrukcji, w którym dla każdego skoku istnieje miejsce, do którego można skoczyć i w którym ostatnią instrukcją jest continue program zatrzymuje się, jeżeli wykonanie dochodzi do ostatniej instrukcji continue 32
33 Program maszyny RAM program P oblicza funkcję rekurencyjną częściową ϕ(i 1, I 2,..., I n ), o ile działanie programu rozpoczyna się od stanu, w którym zawartością rejestrów R 1, R 2,..., R n są odpowiednio słowa: I 1, I 2,..., I n, a pozostałe rejestry sa puste, program P zatrzymuje się tylko wtedy, gdy wartość ϕ(i 1, I 2,..., I n ) jest określona, jeśli P się zatrzyma, to końcową zawartością rejestru R1 jest ϕ(i 1, I 2,..., I n ). 33
34 Własności maszyny RAM Lemat Wszystkie funkcje podstawowe klasy funkcji pierwotnie rekurencyjnych są RAM-obliczalne. clr R 1 continue add j R 1 continue R 1 R i continue funkcja ścierająca funkcja nastepnika S j funkcja projekcji P i n 34
35 Własności maszyny RAM Twierdzenie Każda częściowa funkcja rekurencyjna jest RAM-obliczalna. Ponadto dla dowolnej zdefiniowanej częściowej funkcji rekurencyjnej zbudowanej z funkcji podstawowych można w sposób efektywny (stosując podstawienie, rekursję i minimalizację) podać program maszyny RAM obliczający tę funkcję. 35
36 Przykład programu maszyny RAM con 2 (I 1, I 2 ) = I 1 I 2, dla I 1, I 2 A k * A R 2 jmp j N jb 1 j k jmp B b N j add j R 1 del R 2 jmp A a B continue 36
37 Zadanie domowe Podać program maszyny RAM obliczający funkcję dell(i)=(i z opuszczoną ostatnią literą), I A k *. Program ma usuwać ostatnią literę z dowolnego słowa nad alfabetem A k. 37
38 Zadanie domowe Jaki jest wynik działania następującej maszyny Turinga dla ciągu wejściowego: ? Jaki algorytm realizuje ta maszyna? T = (Q, A 2, 0, I, q 0 ) A 2 = {0, 1} Q = {q 0, q 1, q 10, q 11, q 100, q 101, q 110, q 111, q 1000, q 1001, q 1010 } I = {q 0 00Rq 0, q 0 11Lq 1, q 1 01Rq 10, q 1 11Lq 1, q 10 00Rq 1010, q 10 10Rq 11, q 11 00Rq 100, q 11 11Rq 11, q Rq 100, q Rq 101, q Lq 111, q Lq 110, q Lq 110, q Lq 1, q Lq 111, q Lq 1000, q Lq 1001, q Lq 1000, q Rq 10, q Lq 1, q STOPq 0, q Rq 1010 } 38
Efektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Maszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Maszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 10: Maszyny Turinga Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 29 kwietnia 2015 Plan Maszyny Turinga (Niedeterministyczna) maszyna Turinga M = (A, Q, q 0, F, T, B, δ) A
Obliczanie. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Obliczanie 1 Obliczanie Co to jest obliczanie? Czy wszystko można obliczyć? Czy to, co intuicyjnie uznajemy za obliczalne można obliczyć za pomocą mechanicznej procedury? 2 Czym jest obliczanie? Dawid
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Logika i teoria mnogości Wykład 14
Teoria rekursji Teoria rekursji to dział logiki matematycznej zapoczątkowany w latach trzydziestych XX w. Inicjatorzy tej dziedziny to: Alan Turing i Stephen Kleene. Teoria rekursji bada obiekty (np. funkcje,
Przykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE
PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy łatwe i trudne Problemy łatwe to problemy rozwiązywalne w czasie wielomianowym. Problemy trudne to takie, których
Jak należy się spodziewać, mamy. Zauważmy jednak, że nie zachodzi równość
11. Wykład 11: Rachunek λ. Obliczenia i obliczalność. Rachunek λ jest systemem pozornie bardzo prostym. Abstrakcja i aplikacja wydają się trywialnymi operacjami, i może się zdawać, że niczego ciekawego
1 Maszyny Turinga. stan 1 litera 1 litera 2 ruch stan 2. Matematycznie P S (Q {B}) (Q {B}) {L, R, } S
1 Maszyny Turinga Mając pewną wiedze techniczną na temat budowy komputera trudno przyjąć model rozważany wcześniej. Należy też uświadomoć sobie, że prosty pomysł łatwiej zrealizować technicznie. Tę zaletę
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Informacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW MASZYNY O DOSTEPIE SWOBODNYM (RAM) Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 INSTRUKCJE MASZYNY RAM Instrukcja Argument Znaczenie READ
Turing i jego maszyny
Turing Magdalena Lewandowska Politechnika Śląska, wydział MS, semestr VI 20 kwietnia 2016 1 Kim był Alan Turing? Biografia 2 3 Mrówka Langtona Bomba Turinga 4 Biografia Kim był Alan Turing? Biografia Alan
Elementy Teorii Obliczeń
Wykład 2 Instytut Matematyki i Informatyki Akademia Jana Długosza w Częstochowie 10 stycznia 2009 Maszyna Turinga uwagi wstępne Maszyna Turinga (1936 r.) to jedno z najpiękniejszych i najbardziej intrygujacych
O ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA
O ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA ALGORYTM (objaśnienie ogólne) Algorytm Pojęcie o rodowodzie matematycznym, oznaczające współcześnie precyzyjny schemat mechanicznej lub maszynowej realizacji zadań określonego
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
1 Funkcje uniwersalne
1 1 Funkcje uniwersalne 1.1 Konstrukcja funkcji uniweralnej Niech P będzie najmniejszym zbiorem liczb spełniającym warunki 1) 0, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 2, 2 P, 2) 0, n, 3, k P dla wszystkich n > 0 oraz k takich,
Automat ze stosem. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Automat ze stosem Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Automat ze stosem (1) dno stosu Stos wierzchołek stosu Wejście # B B A B A B A B a b b a b a b $ q i Automat ze
1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Maszyny Turinga. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Maszyny Turinga Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Maszyny Turinga Funkcje rekurencyjne 1 / 29 Wprowadzenie
Obliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Od maszyn Turinga do automatów komórkowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 03/03/2016 1 / 16 1 2 3 Krótka historia Znaczenie 2 / 16 Czego dowiedzieliśmy się
Modele Obliczeń. Wykład 3 - Maszyny RAM i funkcje rekurencyjne. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 3 - Maszyny RAM i funkcje rekurencyjne Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2008/2009 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Rekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Języki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 12: Gramatyki i inne modele równoważne maszynom Turinga. Wstęp do złożoności obliczeniowej Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 20 maja 2015 Plan 1 Gramatyki 2 Języki
Wstęp do informatyki. Maszyna RAM. Schemat logiczny komputera. Maszyna RAM. RAM: szczegóły. Realizacja algorytmu przez komputer
Realizacja algorytmu przez komputer Wstęp do informatyki Wykład UniwersytetWrocławski 0 Tydzień temu: opis algorytmu w języku zrozumiałym dla człowieka: schemat blokowy, pseudokod. Dziś: schemat logiczny
Imię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Funkcje rekurencyjne
Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Funkcje rekurencyjne Funkcje rekurencyjne 1 / 34 Wprowadzenie
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Języki i operacje na językach. Teoria automatów i języków formalnych. Definicja języka
Języki i operacje na językach Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Definicja języka Definicja języka Niech Σ będzie alfabetem, Σ* - zbiorem wszystkich łańcuchów
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 NIEDETERMINISTYCZNE MASZYNY TURINGA DEFINICJA: NIEDETERMINISTYCZNA
Równowano modeli oblicze
Równowano modeli oblicze Interpretacja rachunku 1 2 Twierdzenie Gödla o pełnoci Interpretacja jzyka FOL W 1931 K. Gödel udowodnił, e Jeeli formuła jest prawdziwa, to istnieje dowód tej formuły. Problem
Struktura danych. Sposób uporządkowania informacji w komputerze.
Struktura danych Sposób uporządkowania informacji w komputerze. Algorytm Skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Al-Khwarizmi perski matematyk
Elementy rachunku lambda. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Elementy rachunku lambda λ 1 Notacja λ x 3x + 7 3x + 7 jest różniczkowalna 3x + 7 jest mniejsze od 2 (2,3) 5 f(2, 3) = 2 + 3 g(2) = 2 + 3 λx(3x + 7) 3x + 7 λx λy(x + y) = λxy(x + y) λx(x + 3) 2 Rachunek
Modele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW
ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ALGORYTMÓW RELACJE MIEDZY KLASAMI ZŁOŻONOŚCI Bartosz Zieliński Katedra Fizyki Teoretycznej i Informatyki Zima 2011-2012 KLASY ZŁOŻONOŚCI KLASE ZŁOŻONOŚCI OPISUJE SIE PODAJAC: Model
MASZYNA TURINGA UPRASZCZANIE DANYCH
MASZYNA TURINGA Maszyna Turinga jest prostym urządzeniem algorytmicznym, uderzająco prymitywnym w porównaniu z dzisiejszymi komputerami i językami programowania, a jednak na tyle silnym, że pozwala na
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III)
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III) wer. 9 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2018-12-18 08:22:34 +0100 Upraszczanie danych Komputery są coraz szybsze i sprawniejsze. Na potrzeby rozważań naukowych
ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Dopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów skończonych
Opracował: dr inż. Zbigniew Buchalski KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Najczęściej: a) liczby b) funkcje
Alan M. TURING. Matematyk u progu współczesnej informatyki
Alan M. TURING n=0 1 n! Matematyk u progu współczesnej informatyki Wykład 5. Alan Turing u progu współczesnej informatyki O co pytał Alan TURING? Czym jest algorytm? Czy wszystkie problemy da się rozwiązać
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Definicje. Algorytm to:
Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Sposób tworzenia deterministycznego automatu skończonego... 4 Intuicyjne rozumienie konstrukcji
Wprowadzenie do maszyny Turinga
Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas
Wstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne
Rekurencja, schemat rekursji i funkcje pierwotnie rekurencyjne Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Zadanie 1. Oblicz iteracyjnie i rekurencyjnie f(4), gdzie f jest funkcją określoną na zbiorze
Złożoność obliczeniowa. wykład 1
Złożoność obliczeniowa wykład 1 Dwa wykłady: wtorek / środa różnice niewielkie Sprawy organizacyjne wtorek: trochę szybciej, parę dodatkowych rzeczy dedykowana grupa ćw. M. Pilipczuka - ale śmiało mogą
Jaki język zrozumie automat?
Jaki język zrozumie automat? Wojciech Dzik Instytut Matematyki Uniwersytet Śląski Katowice wojciech.dzik@us.edu.pl 7. Forum Matematyków Polskich, 12-17 września 2016, Olsztyn Prosty Automat do kawy Przemawiamy
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego
2.2. Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky'ego Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną G = gdzie: N zbiór symboli nieterminalnych, T zbiór symboli terminalnych, P zbiór
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 4 kwietnia 2019 1 Dodajmy kontekst! Rozważaliśmy
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia)
Rozwiązania około dwustu łatwych zadań z języków formalnych i złożoności obliczeniowej i być może jednego chyba trudnego (w trakcie tworzenia) Kamil Matuszewski 20 lutego 2017 22 lutego 2017 Zadania, które
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty. Literatura
Wprowadzenie: języki, symbole, alfabety, łańcuchy Języki formalne i automaty Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Literatura Aho A. V., Sethi R., Ullman J. D.: Compilers. Principles, Techniques
Robert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Wyrażenie nawiasowe. Wyrażenie puste jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym.
Wyrażenie nawiasowe Wyrażeniem nawiasowym nazywamy dowolny skończony ciąg nawiasów. Każdemu nawiasowi otwierającemu odpowiada dokładnie jeden nawias zamykający. Poprawne wyrażenie nawiasowe definiujemy
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego. Gramatyka
Gramatyki, wyprowadzenia, hierarchia Chomsky ego Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G =
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Algorytm 1. Termin algorytm jest używany w informatyce
Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
F t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Matematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Gramatyki bezkontekstowe I Gramatyką bezkontekstową
7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Schemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Symbol, alfabet, łańcuch
Łańcuchy i zbiory łańcuchów Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz Majewski Katedra Informatyki Symbol, alfabet, łańcuch Symbol Symbol jest to pojęcie niedefiniowane (synonimy: znak, litera)
Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Wykład5,str.1. Maszyny ze stosem ... 1,0 λ r. λ,z λ
Wykład5,str1 p 0,Z 0Z 0,0 00 q λ,z λ r Wykład5,str1 Słowo na wejściu: 0011 część nieprzeczytana Z p 0,Z 0Z 0,0 00 q λ,z λ r Wykład5,str1 Słowo na wejściu: 0011 część nieprzeczytana 0 Z p 0,Z 0Z 0,0 00
Maszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM)
Maszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM) Alan Turing wybitny angielski matematyk, logik i kryptolog, jeden z najważniejszych twórców informatyki teoretycznej, któremu zawdzięczamy pojęcie maszyny Turinga
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.
Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca:
Poprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
FUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.
V. Granica funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji. Definicja 1.1. (sąsiedztwa punktu i sąsiedztwa nieskończoności) Niech x 0 R, r > 0, a, b R. Definiujemy S(x 0,
Hierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Algorytmy i struktury danych. Wykład 4
Wykład 4 Różne algorytmy - obliczenia 1. Obliczanie wartości wielomianu 2. Szybkie potęgowanie 3. Algorytm Euklidesa, liczby pierwsze, faktoryzacja liczby naturalnej 2017-11-24 Algorytmy i struktury danych
Topologia zbioru Cantora a obwody logiczne
Adam Radziwończyk-Syta Michał Skrzypczak Uniwersytet Warszawski 1 lipca 2009 http://students.mimuw.edu.pl/~mskrzypczak/dokumenty/ obwody.pdf Zbiór Cantora Topologia Definicja Przez zbiór Cantora K oznaczamy
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych p.1/33
Klasyczne i kwantowe podejście do teorii automatów i języków formalnych mgr inż. Olga Siedlecka olga.siedlecka@icis.pcz.pl Zakład Informatyki Stosowanej i Inżynierii Oprogramowania Instytut Informatyki
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 7 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Automaty... 2 Cechy automatów... 4 Łączenie automatów... 4 Konwersja automatu do wyrażenia
Pierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Zadania do Rozdziału X
Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,
Podstawy Informatyki Maszyna Turinga
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga 2 3 4 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga,
- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.
1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,
Wprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Podstawy Teorii Obliczalności
Toruń 2003 Barbara Klunder Podstawy Teorii Obliczalności Materiały do wykładu W wykładze zastanawiać będziemy się nad dwoma kluczowymi pytaniami: Czym jest efektywna procedura? Hardwarem czy softwarem?
Zakładamy, że maszyna ma jeden stan akceptujacy.
Złożoność pamięciowa Rozważamy następujac a maszynę Turinga: 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Taśma wejściowa (read only) 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 Taśma robocza (read/write) 0 1 1 0 0 1 0 0 1 Taśma wyjściowa (write only)
Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...