MASZYNA TURINGA UPRASZCZANIE DANYCH
|
|
- Wacław Przybylski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MASZYNA TURINGA Maszyna Turinga jest prostym urządzeniem algorytmicznym, uderzająco prymitywnym w porównaniu z dzisiejszymi komputerami i językami programowania, a jednak na tyle silnym, że pozwala na wykonanie nawet najbardziej złożonych algorytmów. Maszyna Turinga jest mechanizmem powstałym w wyniku ciągu uproszczeń: danych, sterowania nimi oraz uproszczeń podstawowych operacji. Maszynę tą wymyślił w roku 1936 brytyjski matematyk Alan M.Turing UPRASZCZANIE DANYCH Każdy element danych używany w algorytmie, czy to będą dane wejściowe, wyjściowe czy wartości pośrednie, można traktować jako ciąg symboli, czyli napis. Liczba całkowita nie jest niczym innym, jak ciągiem cyfr, liczba ułamkowa zaś ciągiem cyfr, który może zawierać kropkę. Prostej linearyzacji mogą podlegać zarówno słowa jak i teksty, które są ciągiem symboli składającym się z liter, znaków przestankowych i odstępów. Wszystkie obiekty a nawet najbardziej skomplikowane struktury danych możemy łatwo zakodować, traktując je cały czas symbolicznie, jako liczby, słowa lub teksty. Liczba różnych symboli jest skończona i ustala się ją zawczasu. Każdą interesującą nas jednostkę danych możemy więc zapisać na jednowymiarowej taśmie o nieograniczonej długości składającej się z ciągu kwadratów, z których każdy zawiera pojedynczy symbol z pewnego skończonego alfabetu. Alfabet składa się z rzeczywistych symboli, które same tworzą jednostki danych, oraz specjalny symbol pusty wskazujący brak informacji. Taśma zawsze będzie zawierać skończoną znaczącą porcję danych, otoczoną z każdej strony nieskończonym ciągiem symboli pustych. UPRASZCZANIE STEROWANIA Jedną z najważniejszych rzeczy dla uproszczenia sterowania jest skończoność tekstu algorytmu. Procesor może znajdować się tylko w jednym ze skończonej liczby miejsc w tym tekście. Wystarczy użyć więc prymitywnego mechanizmu zawierającego pewien rodzaj skrzyni biegów, mającej skończenie wiele stanów. Stany skrzyni biegów będziemy traktować jako służące do kodowania miejsc w algorytmie, więc poruszanie się w nim modelujemy zmianą stanu. W każdym punkcie wykonywania algorytmu miejsce, które ma być odwiedzone jako następne, zależy od miejsca, w którym się znajdujemy, tak więc następny stan skrzyni biegów zależy od jego bieżącego stanu. Zmiana stanu zależy od danych oraz od bieżącego stanu. W danej chwili czasu może być czytany tylko pojedynczy symbol, więc dopuszcza się badanie tylko jednego kwadratu na raz. Mechanizm "zmienia bieg" w zależności od wartości czytanego symbolu i swojego stanu bieżącego, przechodząc do nowego stanu. Mechanizm porusza się po taśmie przesuwając się wzdłuż nie po jednym kwadracie a kierunek ruchu zależy od bieżącego stanu skrzyni biegów i bieżącego symbolu. Te ograniczenia upraszczają sterowanie w algorytmie. Powstały mechanizm jest prostym mechanizmem mogącym być w jednym ze skończonej liczby stanów, poruszając się wzdłuż taśmy po jednym kwadracie. Mechanizm ten działa wyznaczając nowe stany i kierunki jako funkcje stanu bieżącego i bieżącego symbolu. 1
2 UPRASZCZANIE PODSTAWOWYCH OPERACJI Poprawność działania algorytmów zależy od poprawnego manipulowania danymi, przekształcania ich, wymazywania, czytania lub zapisywania, stosowania do nich operacji arytmetycznych lub tekstowych. Do zmiany stanu i poruszania się o jeden kwadrat w lewo lub w prawo omawiany mechanizm jest wyposażony w możliwości przekształcania w określonym stanie pewnego widzianego symbolu w jeden ze skończonej liczby dostępnych symboli. Maszyna Turinga jest prostym modelem matematycznym komputera. Podstawowy model przedstawiony na rysunku 1 ma skończone sterowanie, taśmę wejściową podzieloną na komórki (kwadraty) oraz głowicę taśmy, mogącą obserwować w dowolnej chwili tylko jedna komórkę taśmy. Taśma ma komórkę położoną najbardziej na lewo, ale jest prawostronnie nieskończona. Każda z komórek taśmy może zawierać dokładnie jeden symbol z skończonego alfabetu symboli. Przyjmuje się umownie, że ciąg symboli wejściowych umieszczony jest na taśmie począwszy od lewej, pozostałe komórki ( na prawo od symboli wejściowych) są wypełnione specjalnym symbolem taśmowym noszącym nazwę symbolu pustego. Maszyna Turinga składa się z następujących elementów:» skończonego alfabetu symboli;» skończonego zbioru stanów;» nieskończonej taśmy z zaznaczonymi kwadratami, z których każdy może zawierać pojedynczy symbol;» ruchomej głowicy odczytująco - zapisującej, która może wędrować wzdłuż taśmy przesuwając się na raz o jeden kwadrat» diagramu przejść między stanami, zawierającego instrukcje, które powodują, że zmiany następują przy każdym zatrzymaniu się. Rysunek 1. Podstawowy model maszyny Turinga W zależności od obserwowanego symbolu przez głowicę taśmy oraz stanu sterowania skończonego, maszyna Turinga w pojedynczym ruchu: 2
3 » zmienia stan,» wpisuje symbol w obserwowanej komórce taśmy, zastępując symbol tam wpisany,» przesuwa głowicę o jedną komórkę w prawo lub w lewo. Formalnie maszynę Turinga (MT) nazywamy: M = <Q,, Γ, ð,, B, F > gdzie: Q- jest skończonym zbiorem stanów, Γ - skończony zbiór dopuszczalnych symboli taśmowych, B- symbol pusty należący do Γ, - podzbiór Γ nie zawierający B, zwany zbiorem symboli wejściowych, ð - funkcja następnego ruchu, będąca odwzorowaniem Q x Γ w Q x Γ x { L, P } gdzie: L- oznacza ruch w lewo P- ruch w prawo, - stan początkowy, F Q - zbiór stanów końcowych Działanie maszyny Turinga przedstawia się jako diagram przejść między stanami lub jako tabelę stanów, które to pojęcia zostały omówione poniżej. Diagram przejść między stanami zawiera instrukcje, które powodują, że zmiany następują po każdym zatrzymaniu się. Diagram przejść jest grafem skierowanym, którego wierzchołki reprezentują stany. Krawędź prowadząca ze stanu s do stanu t nazywa się przejściem i etykietuje się ją kodem postaci (a/b, kierunek) gdzie a i b są symbolami, a kierunek określa ruch głowicy w prawo bądź w lewo. Część a etykiety jest wyzwalaczem przejścia, a część <b, kierunek> akcją: 3
4 W czasie swego działania maszyna Turinga, kiedy znajdzie się w stanie s i odczytywanym symbolem będzie a to nastąpi wpisanie w to miejsce b i przesunięcie o jedno pole w kierunku kierunek. Fragment przykładowego diagramu przejść przedstawia rysunek 2. Rysunek 2. Fragment grafu przejść między stanami dla maszyny Turinga Aby zapobiec niejednoznaczności, co do następnego ruchu maszyny (tj. aby jej zachowanie było deterministyczne), z jednego stanu nie wychodzą dwa przejścia z tym samym wyzwalaczem. Jeden ze stanów w diagramie jest zaznaczony skierowaną do niego strzałką opatrzoną etykietą start i jest nazywany stanem początkowym. Podobnie stany z których nie wychodzą już żadne przejścia, nazywa się stanami końcowymi. Tabela stanów - która również obrazuje przejścia między stanami maszyny Turinga zawiera wszystkie symbole z skończonego alfabetu wejściowego jak również wszystkie stany w których może znaleźć się maszyna Turinga. Każde pole tabeli określa: 1. dla danego stanu q i kolejny stan q i+1 2. symbol, który ma być zapisany na taśmie 3. kierunek (L / P) dla ruchu głowicy 4
5 Rysunek 4. Fragment stanów maszyny Turinga Zarówno dla tabeli stanów jak i grafu przejść wyróżnia się specyficzne stany będące odpowiednio stanem początkowym i stanem (bądź stanami ) końcowym, zwane też stanami biernymi. Zakłada się, że maszyna rozpoczyna swoje działanie od swego stanu początkowego na pierwszym od lewej niepustym kwadracie taśmy i postępuje krok po kroku zgodnie z narzuconym ruchem, zaś kończy działanie po osiągnięciu stanu końcowego. TEZA CHURCHA - TURINGA Różnorodność zadań stawianych przed maszyną Turinga postawiło pytanie: Jakie problemy można rozwiązać odpowiednio zaprogramowaną maszyną Turinga (oczywiście pomijając czas)? Otóż okazuje się że: Maszyny Turinga potrafią rozwiązać każdy efektywnie rozwiązywalny problem algorytmiczny. Mówiąc inaczej, każdy problem algorytmiczny dla którego możemy znaleźć algorytm dający się zaprogramować w pewnym dowolnym języku, wykonujący się na pewnym dowolnym komputerze, nawet na takim, którego jeszcze nie zbudowano, ale można zbudować, i nawet na takim, który wymaga nieograniczonej ilości czasu i pamięci dla coraz większych danych, jest także rozwiązywalny przez maszynę Turinga. To stwierdzenie jest jedną z wersji tzw. tezy Churcha-Turinga (Alonz Church, Alan M. Turing), którzy doszli do niej niezależnie w połowie lat trzydziestych. Istotną sprawą jest aby uświadomić sobie, że teza Churcha-Turinga jest tezą a nie twierdzeniem, zatem nie może być dowiedziona w matematycznym tego słowa znaczeniu. Jedno z pojęć, do której się odwołuje, jest bowiem nieformalnym i nieprecyzyjnym, pojęciem efektywnej obliczalności. Dlaczego jednak powinniśmy wierzyć tej tezie, szczególnie, jeśli nie można jej udowodnić? Już od wczesnych lat trzydziestych badacze proponowali różne modele komputera absolutnego, wszechpotężnego, lub uniwersalnego. Chciano bowiem sprecyzować ulotne pojęcie efektywnej obliczalności. Na długo 5
6 przedtem nim wymyślono pierwszy komputer, Turing zaproponował swoją maszynę, a Church wymyślił matematyczny formalizm funkcji zwany rachunkiem lambda (jako podstawa języka programowania Lisp). Mniej więcej w tym samym czasie Emil Post zdefiniował pewien typ systemu produkcji do manipulowania symbolami, a Stephen Kleene zdefiniował klasę obiektów zwanych funkcjami rekurencyjnymi. Wszyscy oni próbowali użyć tych modeli do rozwiązania wielu problemów algorytmicznych, do których znane były efektywnie wykonalne algorytmy. Przełomowym zdarzeniem istotnym dla wszystkich tych modeli stało się udowodnienie, iż są one równoważne w kategoriach problemów algorytmicznych, które rozwiązują. I ten fakt jest dziś nadal prawdziwy nawet dla najsilniejszych modeli, jakie można sobie wyobrazić. Z tezy Churcha-Turinga wynika, że najpotężniejszy superkomputer z wieloma najwymyślniejszymi językami programowania, interpretatorami, kompilatorami i wszelkimi zachciankami, nie jest potężniejszy od domowego komputera z jego uproszczonym językiem programowania. Mając ograniczoną ilość czasu i pamięci mogą obydwa rozwiązać te same problemy algorytmiczne, jak również żaden z nich nie może rozwiązać problemów nierozstrzygalnych (nieobliczalnych). Schematycznie rozstrzygalność problemów przedstawia poniższy rysunek: Sfera problemów algorytmicznych. Problem algorytmiczny, do którego nie ma żadnego algorytmu jest nazywany nieobliczalnym; jeśli to problem decyzyjny nazywa się nierozstrzygalnym. Dla problemów tego typu w żaden sposób nie można skonstruować algorytmu, wykonywanego na dowolnym 6
7 komputerze, bez względu na ilość wymaganego czasu i pamięci, który mógłby je rozstrzygnąć. ODMIANY MODELU MASZYNY TURINGA Działanie maszyny Turinga można ograniczyć na wiele sposobów nie zmniejszając jednak klasy problemów, które rozwiązuje. Można na przykład żądać, żeby dane wejściowe pozostały nienaruszone i żeby przy zatrzymaniu taśma zawierała tylko dane i wyniki otoczone symbolami pustymi. Można zdefiniować maszynę Turinga z taśmą, która jest nieskończona tylko z prawej strony, a dane są zapisywane na taśmie od lewego skraju. Obie odmiany maszyny mogą rozwiązywać dokładnie te same problemy co model podstawowy i wobec tego nie są od niego słabsze. Podobnie dodanie maszynom dowolnie silnej własności nie powoduje żadnego rozszerzenia klasy rozwiązywalnych problemów. W żadnym z rozszerzeń nie da się rozwiązać problemu nie rozwiązywalnego. Maszyna, która może symulować działanie dowolnej maszyny Turinga na dowolnych danych nazywa się uniwersalną maszyną Turinga. Uniwersalna maszyna Turinga U akceptuje jako dane opis dowolnej maszyny Turinga M, po którym jest umieszczony skończony ciąg X traktowany jako dane dla maszyny M. Następnie symuluje ona akcje maszyny M na taśmie, na której znajdują się dane X otoczone symbolami pustymi. Jeśli maszyna M nie może zatrzymać się na taśmie, to także nie może zatrzymać się maszyna U, jeśli maszyna M zatrzyma się to zatrzyma się również maszyna U. Obie taśmy będą wyglądać dokładnie tak samo po zakończeniu działania. Ograniczenia narzucone na maszyny Turinga nie pomniejszają uniwersalności modelu. Oczywiście nie wszystkie ograniczenia mają tę właściwość. Maszyny, od których wymaga się, aby zatrzymywały się zaraz po uruchomieniu lub nie zatrzymywały się w ogóle, nie dokonają wiele. Istnieje również inny sposób ograniczenia modelu maszyny Turinga. Wiąże się on z ograniczeniem samego mechanizmu maszyny. Jedną z najbardziej interesujących degeneracji otrzymuje się ograniczając poruszanie się maszyny Turinga na taśmie tylko do jednego kierunku (jednokierunkowa maszyna Turinga), np. w prawo. Wynikiem jest urządzenie zwane automatem skończenie stanowym lub automatem skończonym. Automat skończony rozwiązujący problem decyzyjny działa następująco. Przechodzi wzdłuż podanej sekwencji symbol po symbolu zmieniając stan w wyniku stanu bieżącego i nowego symbolu z taśmy. Po osiągnięciu końca sekwencji zatrzymuje się, a odpowiedź zależy od tego, czy automat zatrzymał się w stanie TAK czy NIE. Automat skończony można przedstawić jako diagram przejść między stanami, tak jak dla maszyny Turinga, teraz jednak baz części <b, kierunek> w etykiecie; przejście jest etykietowane symbolem, który je wyzwala. PRZYKŁADY MASZYNY TURINGA Przykład 1: Maszyna Turinga podwajająca symbole w słowie. W celu zobrazowania konstrukcji tabeli stanów przeanalizujmy maszynę Turinga, która dla alfabetu wejściowego ={a, b} podwaja symbole w słowie. 7
8 ={a, b} Γ = { ø, a, b} Przed wypisaniem tabeli stanów przeanalizujmy jak podana maszyna Turinga ma działać. Dla słowa: ab otrzymujemy aabb aba otrzymujemy aabbaa Słowo na taśmie zapisane jest jako ciąg symboli postaci na przykład ø ø ø a b ø ø ø. Analiy cigu rozpocznmz od pierwszego symbolu na tamie Na początku w kolumnie wypisujemy wszystkie symbole Γ = { ø, a, b} i stan początkowy ø a b jeżeli będąc w stanie odczytanym symbolem będzie ø to pozostajemy nadal w tym stanie i wykonujemy ruch o jedno pole w prawo ø a b jeżeli będąc w stanie odczytanym symbolem będzie a to wpisujemy w jego miejsce ø i przechodzimy w prawo do stanu Będąc w stanie musimy iść tak długo w prawo aż pominiemy wszystkie symbole łącznie z pierwszym symbolem ø. Wtedy w miejsce drugiego ø (może się ono znajdować po kilku symbolach z alfabetu wejściowego) wpisujemy a i przechodzimy do stanu. Jedynym słusznym symbolem napotkanym w tym stanie jest ø, w miejsce którego wpisujemy drugie a i przechodzimy do stanu (stan powrotu). Jeżeli będąc w tym stanie przejdziemy nad wszystkimi symbolami i napotkamy symbol ø, to sprawdzamy, czy są jeszcze jakieś symbole wejściowe na taśmie. Jeżeli tak to zaczynamy algorytm od początku, w przeciwnym razie przechodzimy do stanu końcowego q 5. 8
9 q 2 q 5 ø q 5 ø, - q 2 a, L a q 2 q 5 a, L Dla symbolu b pola w tabeli stanów będą tworzone analogicznie. Ostateczny wygląd tabeli stanów przedstawia tabela 1. q 2 q 5 q 7 q 8 ø ø, - q 2 a, L q 5 q 7 q 8 b, L a q 2 a, L q 5 a, L q 7 b q 2 b, L q 5 b, L q 7 Tabela 1. Tabela stanów maszyny Turinga podwajająca symbole w słowie dla alfabetu wejściowego ={a, b} Przeanalizujmy kilka początkowych taktów pracy powyższej maszyny Turinga dla ciągu wejściowego: a b ø ø ø a b ø ø ø ø... / ø ø ø ø b ø ø ø ø... / Ciąg ten jest na taśmie w postaci ø ø ø a b ø ø ø ø... ustawiamy głowicę na pierwszym symbolu z lewej strony ciągu - symbol a zczytujemy a, wpisujemy ø i przechodzimy w prawo do stanu ø ø ø ø b ø ø ø ø... / pozostajemy nadal w stanie aż dojdziemy do pierwszego znaku ø ø ø ø ø b ø ø ø ø... / po napotkaniu pierwszego ø przechodzimy w prawo do stanu q 2 ø ø ø ø b ø a ø ø... / po napotkaniu ø wpisujemy a i przechodzimy do stanu ø ø ø ø b ø a a ø... / w stanie wpisujemy drugie a i przechodzimy do stanu, który to stan powoduje powrót na początek słowa i rozpoczęcie pracy od nowa o ile są jeszcze na taśmie symbole wejściowe Po przeanalizowaniu wszystkich symboli wejściowych przechodzimy do stanu, który to stan jest stanem końcowym (stan bierny). 9
10 Dla rozpatrywanego ciągu wejściowego można określić trzy elementy w tabeli stanów: stan warunkowy - który powoduje przejście do określonej sekcji manipulowania danym symbolem, sekcja manipulowania - stany odpowiadające za przepisywanie symboli, powrót- stan powodujący przejście do początku i rozpoczęcie pracy od nowa Jak zostało wcześniej wspomniane, alternatywne do tabeli stanów stosuje się graf przejść między stanami. Konstrukcję przykładowego grafu ilustruje kolejny przykład. Przykład 2: Inkrementacja liczby binarnej bez znaku. Maszyna Turinga dodającą 1 do danej liczby w zapisie dwójkowym. Analizę liczby rozpoczynamy z prawej strony. ø 0 1, - 1, - 1 0, L Maszyny Turinga z przykładów: 1 i 2 rozwiązują problemy algorytmiczne związane z manipulacją danych wejściowych. Odmianę stanowią maszyny Turinga rozwiązujące problemy decyzyjne - przykład 3. 10
11 Przykład 3: Maszyna Turinga bada czy dane słowo jest palindromem. Maszyna Turinga badająca czy dane słowo z alfabetu wejściowego ={a, b, c} jest palindromem (to znaczy słowem, które czyta się tak samo z obu stron). Dodatkowo przyjmuje się, że pojedynczy symbol jest palindromem. Wprowadza się dodatkowo 2 stany akceptacji SA i nieakceptacji SN. Przejście do stanu akceptacji oznacza, że dane słowo jest palindromem, zaś przejście do stanu nieakceptacji oznacza, że słowo nie jest palindromem. Tabela przejść miedzy stanami wygląda następująco: q 2 q 5 q 7 q 8 ø q 2 q 8 q 5 q 8 q 7 q 8 SA SN a a, L SA SN b b, L SA SN c c, P c, P c, L c, P c, P c, P SA SN Symulacja akcji maszyny Turinga dla taśmy zawierającej słowo abba (otoczone nieskończenie wieloma symbolami pustymi z obu stron). Głowica maszyny umieszczona jest na kwadracie zawierającym a znajdujące się najbardziej na lewo. Maszyna "pamięta" pierwszy przeczytany symbol, po czym wymazuje go zastępując symbolem pustym i przechodzi w prawo, aż do osiągnięcia pierwszego symbolu pustego. (etap 1-5) Maszyna przesuwa się o jeden symbol w lewo, zatrzymuje się więc na najbardziej prawym symbolu (etap 6), w omawianym przypadku jest to symbol a. Gdyby odczytany symbol był różny od zapamiętanego, to maszyna przeszłaby do stanu nieakceptacji. W przypadku gdy napotkany symbol byłby symbolem ø, to maszyna przeszłaby do stanu akceptacji. Maszyna wymazuje odczytany najbardziej prawy symbol a i przechodzi do stanu, który doprowadza ją do pierwszego symbolu pustego po lewej stronie słowa. (etap 10) Maszyna przesuwa się o jeden kwadrat w prawo i zapamiętuje przeczytany symbol, drugi symbol słowa - symbol b. Ruszając się w prawo maszyna porówna zapamiętany symbol z przedostatnim symbolem słowa. (etap 13)Porównanie kończy się sukcesem i maszyna wymazuje symbol b. 11
12 Maszyna rusza w lewo w poszukiwaniu dalszych symboli. Nie znajdując żadnego i nie osiągając stanu nieakceptacji przechodzi do stanu akceptacji. (etap 14-16) Całą symulację krok po kroku, z bieżącym położeniem głowicy przedstawia rys ø ø a b b a ø ø ø ø ø b b a ø ø ø ø ø b b a ø ø ø ø ø b b a ø ø ø ø ø b b a ø ø ø ø ø b b a ø ø ø ø ø b b ø ø ø ø ø ø b b ø ø ø ø ø ø b b ø ø ø ø ø ø b b ø ø ø ø ø ø ø b ø ø ø ø ø ø ø b ø ø ø ø ø ø ø b ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø ø... Rysunek 5. Symulacja akcji maszyny Turinga dla taśmy zawierającej słowo abba. 12
Podstawy Informatyki Maszyna Turinga
Podstawy Informatyki alina.momot@polsl.pl http://zti.polsl.pl/amomot/pi Plan wykładu 1 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga 2 3 4 Czym jest Programowanie maszyny Turinga Teza Churcha-Turinga,
Bardziej szczegółowoPROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE
PROBLEMY NIEROZSTRZYGALNE Zestaw 1: T Przykład - problem domina T Czy podanym zestawem kafelków można pokryć dowolny płaski obszar zachowując odpowiedniość kolorów na styku kafelków? (dysponujemy nieograniczoną
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga (Algorytmy Część III)
Maszyna Turinga (Algorytmy Część III) wer. 9 z drobnymi modyfikacjami! Wojciech Myszka 2018-12-18 08:22:34 +0100 Upraszczanie danych Komputery są coraz szybsze i sprawniejsze. Na potrzeby rozważań naukowych
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga
Hierarchia Chomsky ego Maszyna Turinga Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Gramatyka Gramatyką G nazywamy czwórkę uporządkowaną gdzie: G = V skończony zbiór
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Obliczeń
Wykład 2 Instytut Matematyki i Informatyki Akademia Jana Długosza w Częstochowie 10 stycznia 2009 Maszyna Turinga uwagi wstępne Maszyna Turinga (1936 r.) to jedno z najpiękniejszych i najbardziej intrygujacych
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga. Algorytm. czy program???? Problem Hilberta: Przykłady algorytmów. Cechy algorytmu: Pojęcie algorytmu
Problem Hilberta: 9 Czy istnieje ogólna mechaniczna procedura, która w zasadzie pozwoliłaby nam po kolei rozwiązać wszystkie matematyczne problemy (należące do odpowiednio zdefiniowanej klasy)? 2 Przykłady
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 10: Maszyny Turinga Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 29 kwietnia 2015 Plan Maszyny Turinga (Niedeterministyczna) maszyna Turinga M = (A, Q, q 0, F, T, B, δ) A
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga języki
Maszyna Turinga języki Teoria automatów i języków formalnych Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Maszyna Turinga (1) b b b A B C B D A B C b b Q Zależnie od symbolu obserwowanego przez głowicę
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do maszyny Turinga
Wprowadzenie do maszyny Turinga Deterministyczna Maszyna Turinga (DTM) jest pewną klasą abstrakcyjnych modeli obliczeń. W tej instrukcji omówimy konkretną maszynę Turinga, którą będziemy zajmować się podczas
Bardziej szczegółowoTuring i jego maszyny
Turing Magdalena Lewandowska Politechnika Śląska, wydział MS, semestr VI 20 kwietnia 2016 1 Kim był Alan Turing? Biografia 2 3 Mrówka Langtona Bomba Turinga 4 Biografia Kim był Alan Turing? Biografia Alan
Bardziej szczegółowoInŜynieria oprogramowania. Język UML
InŜynieria oprogramowania Język UML 1 Jak podaje Słownik języka polskiego PWN, paradygmat to «przyjęty sposób widzenia rzeczywistości w danej dziedzinie, doktrynie itp.» lub «zespół form fleksyjnych (deklinacyjnych
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Automat ze stosem Automat ze stosem to szóstka
Bardziej szczegółowoPrzykład: Σ = {0, 1} Σ - zbiór wszystkich skończonych ciagów binarnych. L 1 = {0, 00, 000,...,1, 11, 111,... } L 2 = {01, 1010, 001, 11}
Języki Ustalmy pewien skończony zbiór symboli Σ zwany alfabetem. Zbiór Σ zawiera wszystkie skończone ciagi symboli z Σ. Podzbiór L Σ nazywamy językiem a x L nazywamy słowem. Specjalne słowo puste oznaczamy
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga Złożoność obliczeniowa
Maszyna Turinga Złożoność obliczeniowa Weryfikacja poprawności programu W celu uniezależnienia się od typu komputera służącego do realizowania obliczeń, musimy się posłużyć ogólnym abstrakcyjnym modelem
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 9
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 9 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Maszyna Mealy'ego... 2 Maszyna Moore'a... 2 Automat ze stosem... 3 Konwersja gramatyki bezkontekstowej
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoO ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA
O ALGORYTMACH I MASZYNACH TURINGA ALGORYTM (objaśnienie ogólne) Algorytm Pojęcie o rodowodzie matematycznym, oznaczające współcześnie precyzyjny schemat mechanicznej lub maszynowej realizacji zadań określonego
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM)
Maszyna Turinga, ang. Turing Machine (TM) Alan Turing wybitny angielski matematyk, logik i kryptolog, jeden z najważniejszych twórców informatyki teoretycznej, któremu zawdzięczamy pojęcie maszyny Turinga
Bardziej szczegółowoMatematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń
Matematyczna wieża Babel. 4. Ograniczone maszyny Turinga o językach kontekstowych materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 4 kwietnia 2019 1 Dodajmy kontekst! Rozważaliśmy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy sztucznej inteligencji
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Modele obliczeń Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 05/10/2016 1 / 33 1 2 3 4 5 6 2 / 33 Co to znaczy obliczać? Co to znaczy obliczać? Deterministyczna maszyna Turinga
Bardziej szczegółowoEfektywność Procedur Obliczeniowych. wykład 5
Efektywność Procedur Obliczeniowych wykład 5 Modele procesu obliczeń (8) Jedno-, wielotaśmowa MT oraz maszyna RAM są równoważne w przypadku, jeśli dany problem jest rozwiązywany przez jeden model w czasie
Bardziej szczegółowoInformatyka. Michał Rad
Informatyka Michał Rad 13.10.2016 Co i po co będziemy robić Plan wykładów: Wstęp, historia Systemy liczbowe Co to jest system operacyjny i po co to jest Sprawy związane z tworzeniem i własnością oprogramowania
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2
Złożoność obliczeniowa zadania, zestaw 2 Określanie złożoności obliczeniowej algorytmów, obliczanie pesymistycznej i oczekiwanej złożoności obliczeniowej 1. Dana jest tablica jednowymiarowa A o rozmiarze
Bardziej szczegółowoInformacja w perspektywie obliczeniowej. Informacje, liczby i obliczenia
Informacja w perspektywie obliczeniowej Informacje, liczby i obliczenia Cztery punkty odniesienia (dla pojęcia informacji) ŚWIAT ontologia fizyka UMYSŁ psychologia epistemologia JĘZYK lingwistyka nauki
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 1
Języki formalne i automaty Ćwiczenia Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... Wstęp teoretyczny... 2 Wprowadzenie do teorii języków formalnych... 2 Gramatyki... 5 Rodzaje gramatyk... 7 Zadania...
Bardziej szczegółowo1 Automaty niedeterministyczne
Szymon Toruńczyk 1 Automaty niedeterministyczne Automat niedeterministyczny A jest wyznaczony przez następujące składniki: Alfabet skończony A Zbiór stanów Q Zbiór stanów początkowych Q I Zbiór stanów
Bardziej szczegółowoAlan M. TURING. Matematyk u progu współczesnej informatyki
Alan M. TURING n=0 1 n! Matematyk u progu współczesnej informatyki Wykład 5. Alan Turing u progu współczesnej informatyki O co pytał Alan TURING? Czym jest algorytm? Czy wszystkie problemy da się rozwiązać
Bardziej szczegółowoObliczanie. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Obliczanie 1 Obliczanie Co to jest obliczanie? Czy wszystko można obliczyć? Czy to, co intuicyjnie uznajemy za obliczalne można obliczyć za pomocą mechanicznej procedury? 2 Czym jest obliczanie? Dawid
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 4
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 4 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Sposób tworzenia deterministycznego automatu skończonego... 4 Intuicyjne rozumienie konstrukcji
Bardziej szczegółowoInstrukcje dla zawodników
Instrukcje dla zawodników Nie otwieraj arkusza z zadaniami dopóki nie zostaniesz o to poproszony. Instrukcje poniżej zostaną ci odczytane i wyjaśnione. 1. Arkusz składa się z 3 zadań. 2. Każde zadanie
Bardziej szczegółowoAUTOMATY SKOŃCZONE. Automat skończony przedstawiamy formalnie jako uporządkowaną piątkę:
AUTOMATY SKOŃCZONE DETERMINISTYCZNY AUTOMAT SKOŃCZONY - DAS Automat skończony jest modelem matematycznym systemu o dyskretnych wejściach i wyjściach. System taki w danej chwili może znajdować się w jednym
Bardziej szczegółowoWyrażenie nawiasowe. Wyrażenie puste jest poprawnym wyrażeniem nawiasowym.
Wyrażenie nawiasowe Wyrażeniem nawiasowym nazywamy dowolny skończony ciąg nawiasów. Każdemu nawiasowi otwierającemu odpowiada dokładnie jeden nawias zamykający. Poprawne wyrażenie nawiasowe definiujemy
Bardziej szczegółowoScenariusz zajęć z matematyki dla klasy I gimnazjum z wykorzystaniem programu edurom Matematyka G1
Scenariusz zajęć z matematyki dla klasy I gimnazjum z wykorzystaniem programu edurom Matematyka G1 Rozdział V: Równania i nierówności I stopnia z jedną niewiadomą Temat: Ćwiczenia utrwalające przekształcanie
Bardziej szczegółowoDefinicje. Algorytm to:
Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoO LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ
O LICZBACH NIEOBLICZALNYCH I ICH ZWIĄZKACH Z INFORMATYKĄ Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Jakie obiekty matematyczne nazywa się nieobliczalnymi? Najczęściej: a) liczby b) funkcje
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 01 Od maszyn Turinga do automatów komórkowych Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 03/03/2016 1 / 16 1 2 3 Krótka historia Znaczenie 2 / 16 Czego dowiedzieliśmy się
Bardziej szczegółowoArytmetyka liczb binarnych
Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i struktury danych. wykład 2
Plan wykładu: Pojęcie algorytmu. Projektowanie wstępujące i zstępujące. Rekurencja. Pojęcie algorytmu Pojęcie algorytmu Algorytm skończony zbiór operacji, koniecznych do wykonania zadania z pewnej klasy
Bardziej szczegółowoNiestandardowe modele obliczeń
Niestandardowe modele obliczeń Zadania kwalifikacyjne Adam Michalik 11 czerwca 2014 1 Uwagi ogólne Do kwalifikacji należy rozwiązać wszystkie zadania o maszynach Turinga, oraz kilka zadań matematycznych
Bardziej szczegółowo1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb.
1. Algorytmy przeszukiwania. Przeszukiwanie wszerz i w głąb. Algorytmy przeszukiwania w głąb i wszerz są najczęściej stosowanymi algorytmami przeszukiwania. Wykorzystuje się je do zbadania istnienia połączenie
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MIN-R1A1P-052 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 90 minut ARKUSZ I MAJ ROK 2005 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe. 1. Przedstawić w postaci sumy wag poszczególnych cyfr liczbę rzeczywistą R = (10).
Wprowadzenie do inżynierii przetwarzania informacji. Ćwiczenie 1. Systemy liczbowe Cel dydaktyczny: Poznanie zasad reprezentacji liczb w systemach pozycyjnych o różnych podstawach. Kodowanie liczb dziesiętnych
Bardziej szczegółowoOdmiany maszyny Turinga. dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof. PP 1
Odmiany maszyny Turinga 1 Uniwersalna maszyna Turinga Uniwersalna maszyna U nad alfabetem A k jest to maszyna definiująca funkcje: f U, n+1 = {((w(i 1, I 2,..., I n )),y) w - opis maszyny T za pomocą słowa,
Bardziej szczegółowoAlgorytm. Krótka historia algorytmów
Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne
Bardziej szczegółowoStruktura danych. Sposób uporządkowania informacji w komputerze.
Struktura danych Sposób uporządkowania informacji w komputerze. Algorytm Skończony, uporządkowany ciąg jasno zdefiniowanych czynności, koniecznych do wykonania pewnego zadania. Al-Khwarizmi perski matematyk
Bardziej szczegółowoImię, nazwisko, nr indeksu
Imię, nazwisko, nr indeksu (kod) (9 punktów) Wybierz 9 z poniższych pytań i wybierz odpowiedź tak/nie (bez uzasadnienia). Za prawidłowe odpowiedzi dajemy +1 punkt, za złe -1 punkt. Punkty policzymy za
Bardziej szczegółowoKATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ. Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych. ćwiczenie 204
Opracował: prof. dr hab. inż. Jan Kazimierczak KATEDA INFOMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 204 Temat: Hardware'owa implementacja automatu skończonego pełniącego
Bardziej szczegółowowagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0
Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień
Bardziej szczegółowo1. Synteza automatów Moore a i Mealy realizujących zadane przekształcenie 2. Transformacja automatu Moore a w automat Mealy i odwrotnie
Opracował: dr hab. inż. Jan Magott KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie 207 Temat: Automaty Moore'a i Mealy 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoHierarchia Chomsky ego
Hierarchia Chomsky ego Gramatyki nieograniczone Def. Gramatyką nieograniczoną (albo typu 0) nazywamy uporządkowaną czwórkę G= gdzie: % Σ - skończony alfabet symboli końcowych (alfabet, nad którym
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
Bardziej szczegółowo1. Operacje logiczne A B A OR B
1. Operacje logiczne OR Operacje logiczne są operacjami działającymi na poszczególnych bitach, dzięki czemu można je całkowicie opisać przedstawiając jak oddziałują ze sobą dwa bity. Takie operacje logiczne
Bardziej szczegółowoTemat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów skończonych
Opracował: dr inż. Zbigniew Buchalski KATEDRA INFORMATYKI TECHNICZNEJ Ćwiczenia laboratoryjne z Logiki Układów Cyfrowych ćwiczenie Temat: Zastosowanie wyrażeń regularnych do syntezy i analizy automatów
Bardziej szczegółowoAutomat ze stosem. Języki formalne i automaty. Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki
Automat ze stosem Języki formalne i automaty Dr inż. Janusz Majewski Katedra Informatyki Automat ze stosem (1) dno stosu Stos wierzchołek stosu Wejście # B B A B A B A B a b b a b a b $ q i Automat ze
Bardziej szczegółowoPomorski Czarodziej 2016 Zadania. Kategoria C
Pomorski Czarodziej 2016 Zadania. Kategoria C Poniżej znajduje się 5 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego z nich możesz otrzymać 10 punktów. Jeżeli otrzymasz za zadanie maksymalną liczbę punktów, możesz
Bardziej szczegółowoZadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech
Zadanie 1. (6 punktów) Słowo w nazwiemy anagramem słowa v jeśli w można otrzymać z v poprzez zamianę kolejności liter. Niech anagram(l) = {w : w jest anagaramem v dla pewnego v L}. (a) Czy jeśli L jest
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy łatwe i trudne Problemy łatwe to problemy rozwiązywalne w czasie wielomianowym. Problemy trudne to takie, których
Bardziej szczegółowoRozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 9 PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE 9.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 9.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowoZADANIA Z AUTOMATU SKOŃCZONEGO SPRAWOZDANIE NR 4
ZADANIA Z AUTOMATU SKOŃCZONEGO SPRAWOZDANIE NR 4 Dla każdego zadania określić: graf przejść tablicę stanów automatu skończonego akceptującego określoną klasę słów podać dwa przykłady ilustrujące parę AS
Bardziej szczegółowoWyrażenia regularne.
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład : Wyrażenia regularne. Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs.2.202 Wyrażenia regularne Wyrażenia regularne (ang. regular expressions) stanowią algebraiczny sposób definiowania
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa. wykład 1
Złożoność obliczeniowa wykład 1 Dwa wykłady: wtorek / środa różnice niewielkie Sprawy organizacyjne wtorek: trochę szybciej, parę dodatkowych rzeczy dedykowana grupa ćw. M. Pilipczuka - ale śmiało mogą
Bardziej szczegółowoDopełnienie to można wyrazić w następujący sposób:
1. (6 punktów) Czy dla każdego regularnego L, język f(l) = {w : każdy prefiks w długości nieparzystej należy do L} też jest regularny? Odpowiedź. Tak, jęsli L jest regularny to też f(l). Niech A będzie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące.
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część X - Algorytmy samostabilizujące. Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana
Temat: Algorytm kompresji plików metodą Huffmana. Wymagania dotyczące kompresji danych Przez M oznaczmy zbiór wszystkich możliwych symboli występujących w pliku (alfabet pliku). Przykład M = 2, gdy plik
Bardziej szczegółowoTechnologia informacyjna Algorytm Janusz Uriasz
Technologia informacyjna Algorytm Janusz Uriasz Algorytm Algorytm - (łac. algorithmus); ścisły przepis realizacji działań w określonym porządku, system operacji, reguła komponowania operacji, sposób postępowania.
Bardziej szczegółowoWstęp do informatyki. Architektura co to jest? Architektura Model komputera. Od układów logicznych do CPU. Automat skończony. Maszyny Turinga (1936)
Wstęp doinformatyki Architektura co to jest? Architektura Model komputera Dr inż Ignacy Pardyka Slajd 1 Slajd 2 Od układów logicznych do CPU Automat skończony Slajd 3 Slajd 4 Ile jest automatów skończonych?
Bardziej szczegółowoJęzyki, automaty i obliczenia
Języki, automaty i obliczenia Wykład 11: Obliczalność i nieobliczalność Sławomir Lasota Uniwersytet Warszawski 6 maja 2015 Plan 1 Problemy częściowo rozstrzygalne 2 Problemy rozstrzygalne 3 Funkcje (częściowo)
Bardziej szczegółowoZłożoność informacyjna Kołmogorowa. Paweł Parys
Złożoność informacyjna Kołmogorowa Paweł Parys Serock 2012 niektóre liczby łatwiej zapamiętać niż inne... (to zależy nie tylko od wielkości liczby) 100...0 100 100... 100 100 100 25839496603316858921 31415926535897932384
Bardziej szczegółowoEkonometria - ćwiczenia 10
Ekonometria - ćwiczenia 10 Mateusz Myśliwski Zakład Ekonometrii Stosowanej Instytut Ekonometrii Kolegium Analiz Ekonomicznych Szkoła Główna Handlowa 14 grudnia 2012 Wprowadzenie Optymalizacja liniowa Na
Bardziej szczegółowoSprzęt komputera - zespół układów wykonujących programy wprowadzone do pamięci komputera (ang. hardware) Oprogramowanie komputera - zespół programów
Sprzęt komputera - zespół układów wykonujących programy wprowadzone do pamięci komputera (ang. hardware) Oprogramowanie komputera - zespół programów przeznaczonych do wykonania w komputerze (ang. software).
Bardziej szczegółowoPoprawność semantyczna
Poprawność składniowa Poprawność semantyczna Poprawność algorytmu Wypisywanie zdań z języka poprawnych składniowo Poprawne wartościowanie zdań języka, np. w języku programowania skutki wystąpienia wyróżnionych
Bardziej szczegółowoTajna wiadomość. Scenariusz lekcji
1 scenariusz 1 CELE OGÓLNE poznanie metod szyfrowania wiadomości zrozumienie algorytmu szyfru Cezara Tajna wiadomość Scenariusz lekcji CELE SZCZEGÓŁOWE Uczeń: Zapamiętanie wiadomości (A): wymienia podstawowe
Bardziej szczegółowoProjekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie Program Operacyjny Kapitał Ludzki Priorytet 9 Działanie 9.1 Poddziałanie
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY KOMA 2018
ELIMINACJE SZKOLNE RACHUNEK LAMBDA NOTATKI Z WYKŁADU - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Bardziej szczegółowoPolcode Code Contest PHP-10.09
Polcode Code Contest PHP-10.09 Przedmiotem konkursu jest napisanie w języku PHP programu, którego wykonanie spowoduje rozwiązanie zadanego problemu i wyświetlenie rezultatu. Zadanie konkursowe Celem zadania
Bardziej szczegółowoModele Obliczeń. Wykład 1 - Wprowadzenie. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski
Modele Obliczeń Wykład 1 - Wprowadzenie Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2014/2015 Marcin Szczuka (MIMUW) Modele Obliczeń 2014/2015 1 /
Bardziej szczegółowoPodstawy Programowania. Złożoność obliczeniowa
Podstawy Programowania Wykład X Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński Katedra Cybernetyki i Robotyki, PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada
Bardziej szczegółowoZmiany. Initial Step krok inicjujący sekwenser
Zmiany Initial Step krok inicjujący sekwenser W ferworze walki czasem usuniemy krok inicjujący (po rozpoczęciu FB z GRAPH jest on standardowo oznaczony S1). Skutkuje to tym, że wszystko wygląda dobrze,
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy informatyki
Teoretyczne podstawy informatyki Wykład 10: Opis wzorców - wyrażenia regularne. http://hibiscus.if.uj.edu.pl/~erichter/dydaktyka2010/tpi-2010 Prof. dr hab. Elżbieta Richter-Wąs 1 Wyrażenia regularne Wyrażenia
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga. Jerzy Pogonowski. Funkcje rekurencyjne. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Maszyny Turinga Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Maszyny Turinga Funkcje rekurencyjne 1 / 29 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytm. Krótka historia algorytmów
Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Teoria funkcje cz.1. Definicja funkcji i wiadomości podstawowe
1 FUNKCJE Definicja funkcji i wiadomości podstawowe Jeżeli mamy dwa zbiory: zbiór X i zbiór Y, i jeżeli każdemu elementowi ze zbioru X przyporządkujemy dokładnie jeden element ze zbioru Y, to takie przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoB.B. 2. Sumowanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną tabelką zapisując wynik pod kreską:
Dodawanie dwójkowe Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie binarnym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka
Bardziej szczegółowoAutomaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń
Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Wydział Fizyki, Matematyki i Informatyki Kierunek Matematyka Paulina Barbara Rozwód Automaty Büchi ego i równoważne modele obliczeń praca magisterska studia
Bardziej szczegółowoJęzyki formalne i automaty Ćwiczenia 2
Języki formalne i automaty Ćwiczenia 2 Autor: Marcin Orchel Spis treści Spis treści... 1 Wstęp teoretyczny... 2 Metoda brute force... 2 Konwersja do postaci normalnej Chomskiego... 5 Algorytm Cocke a-youngera-kasamiego
Bardziej szczegółowoPoprawność algorytmów
Poprawność algorytmów Jeśli uważasz, że jakiś program komputerowy jest bezbłędny, to się mylisz - po prostu nie zauważyłeś jeszcze skutków błędu, który jest w nim zawarty. Jakie błędy można popełnić? Błędy
Bardziej szczegółowo5c. Sieci i przepływy
5c. Sieci i przepływy Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 5c. Sieci i przepływy zima 2016/2017 1 / 40 1 Definicje
Bardziej szczegółowoOperacje arytmetyczne
PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Operacje arytmetyczne Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ Dodawanie dwójkowe Opracował: Andrzej Nowak Ostatni wynik
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowozłożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa
Zadanie 1. Rozważmy jezyk złożony ze słów zerojedynkowych o długości co najmniej 3, w których druga i trzecia litera od końca sa równe. Narysować diagram minimalnego automatu deterministycznego akceptujacego
Bardziej szczegółowoMaszyna Turinga Złożoność obliczeniowa
Zadania łatwe i trudne Złożoność obliczeniowa Zadania łatwe Sortowanie Szukanie pierwiastków wielomianów Szukanie maksimum funkcji ciągłej i różniczkowalnej Mnożenie macierzy Zadania trudne Szukanie maksimum
Bardziej szczegółowoAlgorytm. Słowo algorytm pochodzi od perskiego matematyka Mohammed ibn Musa al-kowarizimi (Algorismus - łacina) z IX w. ne.
Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne
Bardziej szczegółowoDef. Kod jednoznacznie definiowalny Def. Kod przedrostkowy Def. Kod optymalny. Przykłady kodów. Kody optymalne
Załóżmy, że mamy źródło S, które generuje symbole ze zbioru S={x, x 2,..., x N } z prawdopodobieństwem P={p, p 2,..., p N }, symbolom tym odpowiadają kody P={c, c 2,..., c N }. fektywność danego sposobu
Bardziej szczegółowoTemat 20. Techniki algorytmiczne
Realizacja podstawy programowej 5. 1) wyjaśnia pojęcie algorytmu, podaje odpowiednie przykłady algorytmów rozwiązywania różnych problemów; 2) formułuje ścisły opis prostej sytuacji problemowej, analizuje
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo