Kombinatoryczna teoria liczb

Transkrypt

1 Kombinatoryczna teoria liczb tematy projektów November 3, Gra Szemeredi ego liczba naturalna x Na początku rozgrywki komputer losuje zbiór x liczb naturalnych X. Każdy gracz ma swój własny kolor. Ruch polega na wybraniu niepokolorowanej liczby ze zbioru X i pokolorowaniu jej swoim kolorem. Gracze ścigają się kto pierwszy ułoży monochromatyczny ciąg arytmetyczny o zadanej długości k. (a) Gra człowiek kontra komputer, (b) Symulacja gry komputer kontra komputer, testy. 2. Szemeredi online maksymalna długość rozgrywki l pierwszy gracz podaje liczbę naturalną, drugi gracz koloruje podaną liczbę jednym z dostępnych kolorów, 1

2 drugi gracz wygrywa, gdy pokolorowanych jest l liczb, a taki ciąg 3. Wybieranie Szemerediego liczba naturalna n W każdej parzystej rundzie: pierwszy gracz wybiera dwie (dotąd niewybrane) liczby ze zbioru [n] drugi gracz wybiera, którą z tych liczb pokoloruje na swój kolor W nieparzystych rundach role się zamieniają. Wygrywa gracz, który pierwszy będzie miał k-elementowy ciąg arytmetyczny w swoim kolorze. (a) Gra człowiek kontra komputer, (b) Symulacja gry komputer kontra komputer. 4. Rozdzielanie Szemerediego liczba naturalna n W każdej parzystej rundzie: pierwszy gracz wybiera dwie (dotąd niewybrane) liczby ze zbioru [n] 2

3 drugi gracz wybiera, którą z tych liczb pokoloruje na swój kolor. Druga ze wskazanych liczb jest kolorowana na kolor pierwszego gracza. W nieparzystych rundach role się zamieniają. Wygrywa gracz, który pierwszy będzie miał k-elementowy ciąg arytmetyczny w swoim kolorze. (a) Gra człowiek kontra komputer, (b) Symulacja gry komputer kontra komputer. 5. Gra Green-Tao liczba naturalna x Na początku rozgrywki komputer losuje zbiór x liczb pierwszych X. Każdy gracz ma swój własny kolor. Ruch polega na wybraniu niepokolorowanej liczby ze zbioru X i pokolorowaniu jej swoim kolorem. Gracze ścigają się kto pierwszy ułoży monochromatyczny ciąg arytmetyczny o zadanej długości k. (a) Gra człowiek kontra komputer, (b) Symulacja gry komputer kontra komputer, testy. 6. Green-Tao online maksymalna długość rozgrywki l pierwszy gracz podaje liczbę pierwszą, drugi gracz koloruje podaną liczbę jednym z dostępnych kolorów, 3

4 drugi gracz wygrywa, gdy pokolorowanych jest l liczb, a taki ciąg 7. Z list I wielkosć list l maksymalna długość rozgrywki s pierwszy gracz podaje liczbę ze zbioru [1,..., s] i listę kolorów wielkosci l, drugi gracz koloruje podaną liczbę jednym z kolorów z listy, drugi gracz wygrywa, gdy pokolorowanych jest s liczb, a taki ciąg 8. Z list II maksymalna długość rozgrywki s 4

5 funkcja L przyporządkowująca listy wielkosci l liczbom ze zbioru [1,..., s] pierwszy gracz podaje liczbę i ze zbioru [1,..., s], drugi gracz koloruje podaną liczbę jednym z kolorów z listy L(i), drugi gracz wygrywa, gdy pokolorowanych jest s liczb, a taki ciąg 9. Z list III wielkosć list l maksymalna długość rozgrywki s pierwszy gracz podaje liczbę ze zbioru [1,..., s] losowana jest lista kolorów wielkosci l, drugi gracz koloruje podaną liczbę jednym z kolorów z listy, 5

6 drugi gracz wygrywa, gdy pokolorowanych jest s liczb, a taki ciąg 10. Samotny biegacz długość okręgu i jednocześnie liczba biegaczy n czas biegania T N "dokładność prędkości" 1 dla k N k + (wybieranie prędkości w opisie gry polega na wyborze liczby, różnej od dotychczas wybranych, ze zbioru { l : l N, 0 < l < n}) k k W i-tej rundzie: pierwszy gracz podaje prędkość nowego, 2i 1-ego biegacza, startującego z 0 drugi gracz podaje prędkość p 2i nowego, 2i-ego biegacza startującego z 0 gracze o numerach j = 1,..., 2i przesuwają się o dystans p j modulo n pierwszy gracz wygrywa, jeżeli po jednej z rund jeden z biegaczy będzie samotny, tj. oddalony o więcej niż 1 od pozostałych mod n, drugi gracz wygrywa, gdy po T rundach samotnosć żadnego biegacza nie nastąpiła 11. Tęczowe trójki liczba naturalna n 6

7 Gracze na przemian wykonują ruchy. W i-tym ruchu gracz koloruje pewną liczbę z [3n] na kolor (i mod 3). Przegrywa ten, kto pierwszy stworzy tęczowy ciąg arytmetyczny długości trzy. (a) Gra człowiek kontra komputer, (b) Symulacja gry komputer kontra komputer, testy. 12. Anty-Van der Waerden liczba naturalna n liczba naturalna k liczba dostępnych kolorów c Gracze na zmianę wybierają liczbę ze zbioru [n] i kolorują ją na wybrany kolor. pierwszy gracz wygrywa, jeśli w otrzymanym pokolorowaniu zbioru [n] będzie tęczowy podciąg arytmetyczny o długości k (każdy wyraz tego ciągu musi mieć inny kolor) drugi gracz wygrywa, jeśli nie będzie takiego podciągu 7