%*$*+ Wydawnictwa AGH, Kraków 2001 ISSN

Transkrypt

1

2

3

4 6 pozycja wydawnictw naukowych kademii Górniczo-Hutniczej im. Stanis awa Staszica w Krakowie Wydawnictwa GH Kraków 00 ISSN 09-6 Redaktor Naczeny Uczenianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych: prof. dr hab. in. ndrzej Wichur Z-ca Redaktora Naczenego: mgr eata arszczewska-wojda Recenzent: prof. dr hab. in. Henryk Ficek Projekt ok adki i strony tytu owej: eata arszczewska-wojda Opracowanie edytorskie: Danuta Harnik Korekta: Danuta Harnik Sk ad komputerowy: ndre te Redakcja Uczenianych Wydawnictw Naukowo-Dydaktycznych a. ickiewicza Kraków te te./fax

5 Spis tre ci Przedmowa Ogóne zagadnienia o zginaniu Sposoby podparcia beek Czyste zginanie.... Zadania z rozwi zaniami... 7 Literatura

6

7 Przedmowa Niniejszy skrypt przeznaczony jest da studentów którzy maj w programie studiów przedmiot Wytrzyma o materia ów i pragn pozna sposób wyznaczania momentów gn cych i si tn cych przy rozwi zywaniu beek. utor pragn uczyni podr cznik wygodnym rodkiem do nauki rozwi zywania beek i przedstawi sposób post powania przy ich rozwi zywaniu. Ka de zadanie poprzedzone jest tre ci i rysunkiem a nast pnie ka dorazowo zosta przedstawiony tok post powania przy prawid owym ich rozwi zywaniu. Tre podr cznika podzieono na dwie cz ci pierwsz podaj c w sposób bardzo skrótowy teori zginania beek statycznie wyznaczanych a w drugiej przedstawiono w sposób bardzo przyst pny ich rozwi zywanie. Przy pisaniu tego skryptu korzysta em z istniej cej iteratury i zebra em tam materia y do napisania niniejszego skryptu. Je ei skrypt ten spe ni zamierzone przez mnie zadanie i u atwi czytenikowi i studiuj cym poznanie tej pi knej i wci ywej dziedziny nauki jak jest wytrzyma- o materia ów a szczegónie rozwi zywanie beek stanowi to b dzie da mnie najmisz nagrod. utor 7

8

9 . Ogóne zagadnienia o zginaniu.. Sposoby podparcia beek Zginanie zachodzi wówczas gdy si y dzia aj ce na pr t sprowadzaj si do dwóch par e cych w p aszczy nie przechodz cej przez o pr ta ub w p aszczy nie równoeg ej do niej. Zginanie proste zachodzi tyko w pierwszym przypadku; drugi nae y do zagadnie wytrzyma o ci z o onej. Pr ty zginane nazywamy bekami. Si y dzia aj ce na beki dzie si na dwa rodzaje: ) obci enia ) reakcje podpór. P Rys.. Je ei rozpatrzymy bek o przekroju symetrycznym (rys..) na któr dzia aj si y zewn trzne P P i P oraz reakcje R i R e ce w p aszczy nie symetrii beki to pod dzia aniem tych si beka ugnie si w taki sposób e o jej pozostanie po ugi ciu si nada w p aszczy nie dzia ania si zewn trznych. P aszczyzn t nazywamy p aszczyzn zginania taki za przypadek zginania nazywamy zginaniem p askim. Si y zewn trzne obci aj ce bek mog si sprowadza do si skupionych ub do par mog to by równie obci enia ci g e roz o one równomiernie ub nierównomiernie wzd u beki. Podpory bywaj trzech rodzajów: ) podpora przegubowa sta a ) podpora przegubowa ruchoma ) utwierdzenie. P P R R 9

10 Podpora przegubowa sta a pozwaa na obrót ko ca beki dooko a osi przegubu nie dopuszcza natomiast przesuwu ko ca beki ani w kierunku jej osi ani w kierunku prostopad ym do niej. Reakcja przechodzi tu przez rodek przegubu i e y w p aszczy nie zginania kierunek jej jest nam jednak nieznany. Zamiast wyznaczania wieko ci reakcji i k ta α który tworzy ona z osi beki wygodniejsze jest roz o enie reakcji na dwie sk adowe poziom i pionow wzd u osi prostok tnego uk adu wspó rz dnych którego pocz tek przyjmujemy na ewym ko cu beki. Wówczas o x pokrywa si z osi beki o y za jest skierowana do góry. amy wówczas dwie reakcje nieznane pod wzg dem wieko ci ecz o znanych kierunkach. Na podporze przegubowej sta ej s zatem zawsze dwie niewiadome R x i R y. Schematycznie b dziemy przedstawiai podpor przegubow sta tak jak na rysunku.. Rys.. Podpora przegubowa ruchoma ró ni si od podpory sta ej tym e jest umieszczona na rokach. Pozwaa ona na obrót ko ca beki dooko a osi przegubu oraz na jego przesuw w kierunku ko ca beki umo iwia natomiast przesuw w kierunku prostopad ym do osi beki. Reakcja na podporze ruchomej przechodzi przez rodek przegubu i jest prostopad a do osi beki. amy tu zatem tyko jedn niewiadom R. Schemat podpory przegubowej ruchomej przedstawiono na rysunku.. Y R Y R y R R x Rys.. Utwierdzenie nie pozwaa ani na obrót ko ca beki ani na przesuw w adnym kierunku. Obrotowi przeszkadza tu para si któr utwierdzenie wywiera na bek. oment tej pary nazywamy momentem utwierdzenia jest on nieznany podobnie jak nieznana jest równie co do wieko ci i kierunku reakcja w miejscu utwierdzenia. Reakcj 0

11 t rozk adamy na dwie sk adowe prostopad i równoeg do osi beki o znanych kierunkach ecz nieznanych wieko ciach. W miejscu utwierdzenia mamy zatem trzy nieznane reakcje: ) moment utwierdzenia 0 ) reakcj poziom R x ) reakcj pionow R y. Utwierdzony koniec beki przedstawiamy schematycznie tak jak na rysunku.. Y 0 R y R x R Rys.. W ceu wyznaczenia niewiadomych reakcji musimy korzysta ze statycznych warunków równowagi (si y czynne reakcje). Da p askiego uk adu si jest ich trzy: dwa równania sumy rzutów si na osie uk adu i jedno równanie momentów wzg dem dowonego punktu. Zazwyczaj beki posiadaj kierunek poziomy a si y pionowy wtedy iczba równa redukuje si do dwóch poniewa rzut ka dej si y na osi poziomej x jest równy zeru. Je ei iczba niewiadomych reakcji jest równa ub mniejsza od iczby statycznych równa reakcje dadz si wyznaczy (beka jest statycznie wyznaczana). W wypadku gdy iczba niewiadomych jest wi ksza od mo iwej io ci równa statyki wówczas beka staje si statycznie niewyznaczana. P P P Rys..5 Oprócz wymienionych beek wyst puj beki ci g e przegubowe (rys..5). Rozpatrujemy w takich wypadkach najpierw warunki równowagi beek podwieszonych i znajdujemy reakcje tak jak to si robi przy bekach na dwóch podporach. Oddzia ywania te przenosz si poprzez przeguby z beek podwieszonych na beki podstawowe. Znaj c wieko ci oddzia ywa w przegubach mo emy wyznaczy reakcje beek podstawowych.

12 .. Czyste zginanie Za ó my e pr t spoczywaj cy na dwóch podporach obci ony jest równymi si ami P tak jak na rysunku.6. Przyjmujemy symetryczny przekrój pr ta przy czym si y P dzia aj w p aszczy nie symetrii. Zgi cie poega na tym e pierwotnie prosta o pr ta uega zakrzywieniu a poprzeczne przekroje pierwotnie do siebie równoeg e uegaj pochyeniu. Da znaezienia si wewn trznych w pr cie poprowadzimy mi dzy podporami dowony przekrój m n i odrzucaj c ew cz pr ta zast pimy oddzia ywanie jej na praw si ami wewn trznymi przy o onymi w poprowadzonym przekroju. by pozosta a prawa cz beki znajdowa a si w równowadze si y wewn trzne w przekroju m n musz sprowadza si do uk adu równowa nego uk adowi dzia aj cemu na odrzucon cz ew a wi c do pary si. Przypadek kiedy si y zewn trzne redukuj si wy cznie do pary si okre amy nazw czystego zgi cia. Ze statycznych warunków równowagi wynika zatem e si y wewn trzne w przekroju sprowadzaj si do pary si o momencie = Pa. Zginanie przy którym o beki po odkszta ceniu pozostaje w p aszczy nie dzia ania si zewn trznych nazywamy zginaniem p askim. O sposobie roz o enia si wewn trznych w przekroju b dziemy mogi wnosi na podstawie anaizy odkszta cenia pr ta. P a m n a P Rys..6 Otó je ei poddamy zgi ciu pr t kauczukowy o przekroju prostok tnym na którym wyrysowano siatk inii prostych na wszystkich czterech cianach (tzn. bocznych) oraz górnej i donej tak jak na rysunku.7 to po odkszta ceniu zauwa ymy e: inie pod u ne na cianach bocznych zakrzywiaj si pozostaj c prostopad ymi do inii poprzecznych; inie poprzeczne na ciankach bocznych pierwotnie do siebie równoeg e nachyaj c si ku sobie pozostaj jednak iniami prostymi;

13 inie obwodowe wyrysowane na powierzchni górnej donej i obu bocznych e ce pocz tkowo w jednej p aszczy nie pozostaj nada w tej p aszczy nie pomimo pewnego odchyenia k towego ca ej p aszczyzny co nasuwa przypuszczenie e i pomy ane w tej p aszczy nie inie e ce wewn trz pr ta pozostan w tej samej p aszczy nie; paski pod u ne na jakie podzieona jest górna cianka pr ta uegaj przy zgi ciu wyd u eniu i zw eniu natomiast paski na ciance donej (wk s ej) rozszerzaj si a d ugo ich maeje. Pomiar tych odkszta ce pod u nych i poprzecznych wykazuje e stosunek ich odpowiada iczbie Poissona; odkszta cenia w ókien w tej samej p aszczy nie poziomej s jednakowe. Wskutek tego normane napr enia zmieniaj ce si wzd u wysoko ci przekroju pozostaj sta e na jego szeroko ci. sds s α y ρ Rys..7 z x Opieraj c si na tych spostrze eniach mo emy ustai podstawowe za o enia da teorii zgi cia. Przekroje poprzeczne pr ta poddanego czystemu zginaniu pozostaj p askie; zachodzi to wtedy gdy d ugo beki jest przynajmniej pi razy wi ksza od jej wysoko ci. W ókna beki wywieraj na siebie pewne naciski s one jednak tak ma e e mo na je pomin. ateria podega prawu Hooke a przy czym modu spr ysto ci E jest jednakowy da rozci gania i ciskania.

14 Obserwuj c zgi t posta pr ta zauwa ymy e pod u ne w ókna po stronie wypuk ej uegaj wyd u eniu a po stronie wk s ej skróceniu. Z tego wynika i w rodku pr ta istnieje warstwa której d ugo przy zgi ciu nie uega zmianie. Jest to tzw. warstwa oboj tna. W ókna pod u ne na zewn trz tej warstwy uegaj wyd u eniu i zw eniu natomiast w ókna pod u ne po stronie wewn trznej uegaj skróceniu i poprzecznemu rozszerzeniu. Datego prostok tny przekrój beki zmienia si na trapezowy gdzie krótszy bok jest po stronie wypuk ej pr ta a d u szy po stronie wk s ej. Da znaezienia napr e w dowonym przekroju poprowadzonym w odeg o ci x od ewej podpory odrzucamy ew cz beki zast puj c jej oddzia ywanie na praw si ami wewn trznymi maj cymi punkty zaczepienia w danym przekroju. Si y wewn trzne musz stanowi uk ad równowa ny uk adowi si dzia aj cych na ew cz pr ta. Uk ad ten redukujemy do jednej si y przechodz cej przez rodek poprowadzonego przekroju oraz do pary si. Ogónie mo emy powiedzie e si a tn ca w dowonym przekroju beki równa si sumie agebraicznej si zewn trznych dzia aj cych na bek po jednej stronie rozpatrywanego przekroju a dzia aj cy moment gn cy równa si sumie agebraicznej momentów (wzg dem tego przekroju) si zewn trznych dzia aj cych po jednej stronie tego przekroju. Jest to tzw. moment zginaj cy. Si y tn ce i momenty gn ce uzae niamy od si zewn trznych dzia aj cych po ewej stronie rozpatrywanego przekroju. Jednak z warunków równowagi wynika e mo na je uzae ni od si dzia aj cych po prawej stronie danego przekroju i atwo sprawdzi e otrzymane wyniki da si y tn cej i momentu gn cego by yby wówczas takie same co do warto ci tyko z przeciwnymi znakami. Wynikiem dzia ania momentu zginaj cego s napr enia normane w przekroju poprzecznym beki natomiast w wyniku dzia ania si y poprzecznej powstaj w przekroju napr enia styczne czyi cinaj ce. Napr enia cinaj ce wyst puj równie w przekrojach równoeg ych do pod u nej osi beki. Znaki si tn cych i momentów gn cych przyjmujemy wed ug nast puj cej umowy: si a tn ca jest dodatnia je ei d y do podniesienia ewej cz ci beki si a tn ca jest ujemna gdy d y do jej opuszczenia (rys..8). Wzg dem prawej cz ci beki si a tn ca jest dodatnia je i d y do obni enia prawej cz ci beki a ujemna zmierza do jej podniesienia. a) b) T T T T Rys..8

15 oment gn cy uwa amy za dodatni w danym przekroju je i d y do obrócenia ewej cz ci beki wzg dem rozpatrywanego przekroju zgodnie z obrotem wskazówki zegara a ujemny je i obrót wywo any by by przeciwny (rys..9). a) b) Rys..9 W stosunku do prawej strony beki moment gn cy w danym przekroju uwa amy za ujemny je i zmierza do obrócenia prawej cz ci beki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówki zegara a dodatni je i obrót wywo ywany by by przeciwny. oment gn cy dodatni powoduje wygi cie beki wypuk o ci w dó a ujemny wypuk o- ci w gór. Si a tn ca i moment gn cy charakteryzuj obci enie beki w danym przekroju. Im wi ksza jest si a tn ca tym wi ksze grozi bece niebezpiecze stwo ci cia w danym przekroju a im wi kszy jest moment gn cy tym beka bardziej wygina si w tym przekroju i tym wi ksze zachodzi niebezpiecze stwo jej z amania. Z tych wzg dów da ka dej obci onej beki nae y okre i przekrój niebezpieczny tj. ten w którym panuje najwi kszy moment gn cy. Zarówno si a tn ca jak i moment gn cy w bece s funkcjami odeg o ci x mierzonej wzd u osi pod u nej beki. Przy anaizie beek zginanych wymagana jest znajomo si y tn cej i momentu zginaj cego w ka dym przekroju. Szczegónie wa na jest znajomo maksymanej si y tn cej oraz maksymanego momentu zginaj cego które to wieko ci bierzemy do oceny wytrzyma o ciowej ca ej beki. Najepszym sposobem znaezienia tych wieko ci jest wykonanie wykresów przebiegu zmienno ci si y tn cej i momentu gn cego jako funkcji x. Na osi odci tych odmierzamy bie ce po o enie rozpatrywanego przekroju poprzecznego beki a wzd u osi rz dnych odnosimy odpowiednie warto ci si y tn cej ub momentu gn cego. Te wykresy s nazywane wykresami si y tn cej i momentu gn cego. Wskazane jest aby wykresy te umieszcza bezpo- rednio pod rozpatrywan bek stosuj c t sam ska wzd u d ugo ci beki. Nie jest zwyke potrzebna wysoka precyzja wykonania tych wykresów chocia istotne warto ci rz dnych nae y podawa iczbowo ub w sposób ogóny. 5

16

17 . Zadania z rozwi zaniami Zadanie Da beki swobodnie podpartej i obci onej jak na rysunku.a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunku.b i.c. a) b) c) Pb Pab Y x x P R a b Tx () () x R Pa Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z momentów wzg dem punktu. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy = R P b = 0 7

18 sk d R P b =. Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy sk d R = R P a =. P a = 0 Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R i R jest zgodny z za o- onym. Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x a. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: (x ) = R x (x = 0) = 0 ( x= a) P b a = natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T(x ) = R T( x = 0) T ( x = a) P b = P b =. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia a x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta (x) = R (x ) P(x a) 8

19 da: ( x = a) (x = ) = 0 P b a = natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T ( x) = R P T T ( x = a) ( x = ) P a = P a =. Zadanie Wykona wykresy si tn cych i momentów gn cych da beki przedstawionej na rysunku.a. a) b) c) P P Tx () x () x x R x a a a R P P Pa Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie Warto reakcji R i R s sobie równe i wynosz P. W bece wyodr bnimy trzy przedzia y zmienno ci si poprzecznych i momentów zginaj cych. 9

20 ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x a. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = Px (x = 0) = 0 (x = a) = Pa natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u: T (x) = P T (x = 0) = P T (x = a) = P. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia a x a. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = Px R (x a) = Pa (x = a) = Pa (x = a) = Pa natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = P R = 0 T (x = a) = 0 T (x = a) = 0. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia a x a. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = Px R (x a) R (x a) = Px Pa (x = a) = Pa (x = a) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u T (x) = P R R = P. 0

21 Zadanie Wykona wykres momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej przegubowo na obu ko cach i obci onej si skupion P oraz par si o momencie P = jak pokazano na rysunku.a. a) Y x x x P x b) c) P P R Tx () x () m m C n n D r r R 5 P P Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego 5 P Rozwi zanie Podpora jest sta a podpora ruchoma poniewa si a P i reakcja R s pionowe zatem i reakcja R musi by pionowa. Wyznaczamy warto reakcji R i R. Równanie momentów wzg dem punktu ma posta : R P = 0 P R P = P = P =. 6

22 Równanie rzutów na kierunek pionowy ma posta sk d R R = P R = P R P = P 6 = Wyra enia na moment zginaj cy i na si tn c musimy pisa da ka dego z trzech przedzia ów osobno. Najpierw przetniemy bek w przekroju m m o odci tej x moment zginaj cy w tym przekroju (x) = R x odci ta x jest w pierwszej pot dze moment zatem zmienia si wzd u prz s a C iniowo ponadto x mo e przybiera warto ci od 0 do /. Przy: Si a tn ca w przekroju m m 5 6 P. x = 0 ( x) = 0 P x = ( x ) =. 8 T R ( x ) = = P. 6 Si a tn ca nie jest zae na od odci tej x ma wi c warto sta wzd u przedzia- u C. Nast pnie beka jest przeci ta w przekroju n n o odci tej x. oment zginaj cy w tym przekroju ( x) = Rx P x. Odci ta x mo e przybiera warto ci od wzd u przedzia u CD iniowo: do moment zginaj cy zmienia si P x = ( x ) = R P = 8 x = ( x) = R P = P. 9 Si a tn ca w przekroju n n T 5 P = 6 ( x) = R P.

23 Przecinamy bek w przekroju r r o odci tej x. oment zginaj cy w tym przekroju ( x ) = Rx P x Odci ta x mo e przybiera warto ci od do. oment zginaj cy zmienia si wzd u przedzia u D iniowo i przy:. 5P x = ( x ) = R P = 8 x = ( ) x = R P = 0. Wykres momentów zginaj cych jest pokazany na rysunku.b. Si a tn ca w przekroju r r wynosi T 5 P = 6 P ( x ) = R Wykres si tn cych jest pokazany na rysunku.c.. Zadanie Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej przegubowo obu ko cami i obci onej dwiema si ami P jak pokazano na rysunku.a. Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zwroty obu reakcji zak adamy e dzia aj do góry. Wtedy sk d: = P P R = 0 R P = sk d P = R P P R = 0 R y = R = P. Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest poprawnie przyj ty.

24 a) x x x P b) P R Tx () P R Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: c) P x () P P (x) = R x (x = 0) = 0 ( x = ) = P natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = R da: P T( x = 0) = T ( x = ) = P.

25 ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = R x P(x ) ( x = ) = ( x = ) P = P natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R P T T ( x = ) ( x = ) P = P =. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = R x P(x ) P(x ) ( x = ) ( x = ) = P = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = R P P T T ( x = ) = ( x = ) = P P. 5

26 Zadanie 5 Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej przegubowo obci onej si skupion P oraz par si o momencie = P jak pokazano na rysunku.5a. a) Y P x x x Rys..5. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zwroty obu reakcji zak adamy do góry. Wtedy: sk d b) c) P P Tx () x () P R = P R = P R = 0 R P P sk d P = P R R = 0 y R = P. 6

27 Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: (x) = Px (x = 0) = 0 ( x = /) = P natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = P T (x = 0) = P T (x = /) = P. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta ( x) = Px R x ( x = /) = ( x = /) = P P natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = P R T (x = /) = P T (x = /) = P. 7

28 ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Px R x P ( x = /) = (x = ) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x ) = P R T (x = /) = P T (x = ) = P. Zadanie 6 Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej przegubowo w punktach i obci onej dwiema si ami skupionymi P jak pokazano na rysunku.6a. a) b) Y P Tx () x x x R R P P P P c) x () P P Rys..6. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego 8

29 Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zwroty obu reakcji zak adamy do góry. Wtedy sk d: R = P = P R P = 0 sk d P = P R R P = 0 y R = P. Znak ujemny dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest przeciwny do przyj tego. Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia x. 0 Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: (x) = Px (x = 0) = 0 ( x = /) = P natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = P T (x = 0) = P T (x = /) = P. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. 9

30 Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Px R x ( x = /) = ( x = /) P P = natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = P R T (x = /) = P T (x = /) = P. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Px R x R x P ( x = /) = (x = ) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = P R R T (x = /) = P T (x = ) = P. Zadanie 7 Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki obci onej si skupian P jak pokazano na rysunku.7a. Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutu wzg dem osi OY. Zwroty obu reakcji zak adamy do góry. 0

31 sk d: Wtedy: R = = P 6 P 5 5 P 5 R = 0 Py = R P P R = 0 sk d R = P. 5 Znaki dodatnie dowodz e rzeczywiste zwroty reakcji R i R s poprawnie przyj te. a) b) c) Rys..7. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. 5 Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: P R x ( ) x x (x) = R x (x = 0) = 0 x 8 ( x = /5) = P 5 P P P R 6 P Tx ( ) 8 6 P P

32 natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da T (x) = R T 5 ( x = 0 = /5) = P ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Rx P x 5 8 ( x = /5) = P 5 6 ( x = /5) = P 5 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R P T( x = /5 = /5) = P. 5 ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. 5 Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Rx P x P x ( x = /5) = P 5 (x = ) = 0 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R P P T ( x = /5 = ) = 6P. 5

33 Zadanie 8 Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.8a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.8b i.8c. a) b) c) Rys..8. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy sk d Y R Tx () x () 0 R = x x = 0 R = 0. Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy: 0 R sk d P y = R 0 R =. R = 0

34 Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x ) = Rx (x = 0) = 0 0 ( x = /) = natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = R T( x = 0) = T ( x = /) = 0 ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. 0. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) = Rx ( x = /) (x = ) = 0 = natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R 0 0 T T ( x = /) = ( x = ) = 0. 0

35 Zadanie 9 Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.9a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.9b i.9c. a) Y x q b) c) Rys..9. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy = q R = 0 sk d q R =. sk d q R Tx () x () Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy P y = R q R =. q R = 0 R q q 5

36 Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R i R jest zgodny z za o- onym. Wydzieamy w bece jeden przedzia. Przedzia ten b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) x = Rx qx da: ( x) x = Rx q (x = 0) = 0 (x = ) = 0 natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: q ( ) = qx T x q T( x = 0) = T ( x = ) q =. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c do zera. Poniewa st d d dx x x 0 =. q = T( x) = qx = 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x = x 0) = Rx q = x q. 6

37 Zadanie 0 Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej oba ko cami przegubowo i obci onej równomiernie roz o onym obci eniem ci g- ym q w sposób pokazany na rysunku.0. a) Y x x x q m n r q C D b) c) q 9 q 9 q 8 R Tx () x () 9 m n r q q 5 R q 9 q 8 Rys.. 0. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie Najpierw wyznaczymy warto ci reakcji R i R. Reakcja R ma kierunek pionowy poniewa obci enie q i reakcja R s pionowe (podpora jest sta a podpora ruchoma). W ceu zastosowania równania statystyki do wyznaczania reakcji trzeba oba obci enia ci g e q zast pi ich wypadkowymi które wobec równomierno ci roz o enia tych obci e b d przechodzi y w rodkach d ugo ci odcinków C i D. Równanie momentów wzg dem punktu ma posta : q q R = R q 5 q = 6 8 = 9 q. 7

38 Równanie rzutów na kierunek pionowy ma posta : R R q q = 0 = R q. 9 Je ei przetniemy bek w przekroju m m o odci tej x to moment zginaj cy w tym przekroju wyra a si nast puj co ( x) qx = Rx odci ta x jest w drugiej pot dze zatem moment zginaj cy zmienia si wzd u beki w przedziae C paraboicznie x mo e zmienia warto ci od 0 do. Przy: Si a tn ca w przekroju m m x = 0 (x) = 0 q x = ( ). x = 5 T (x) = R qx. Odci ta x jest w pierwszej pot dze zatem si a tn ca zmienia si wzd u beki w przedziae C iniowo i przy: x = 0 T( x ) = q 9 q x = T( x ) =. 9 by wyznaczy przekrój w którym moment zginaj cy przybiera warto maksyman bierzemy pochodn momentu zginaj cego wzg dem odci tej x i przyrównujemy j do zera: dx = R qx = 0 x =. dx 9 Po podstawieniu warto ci odci tej x ' do wyra enia na moment zginaj cy otrzymamy jego warto maksyman : R = = max q 8. Nast pnie przetniemy bek przekroju n n o odci tej x. oment zginaj cy w tym przekroju q ( x) = Rx x. 6 8

39 Odci ta x jest w pierwszej pot dze zatem moment x zmienia si wzd u beki w przedziae CD iniowo x mo e przybiera warto ci od do. Przy: q x = ( ) x = 5 q x = ( ). x = 5 Si a tn ca w przekroju n n q q T( x) = R =. 9 Przecinamy bek w przekroju r r o odci tej x moment zginaj cy w tym przekroju wyg da nast puj co: q x q ( x) = Rx x 6 x mo e przybiera warto ci od / do. Przy: q x = ( ) x = 5 x = (x) = 0. Si a tn ca w przekroju r r wynosi: q T( x) = R q x przy: q x = T( x ) = 9 x = T( x ) = q. 9 by wyznaczy w przedziae D przekrój w którym moment zginaj cy przybiera warto maksyman przyrównujemy si tn c T x do zera. q x q 7 T( x ) = R = 0 x =. 9 Podstawiaj c warto odci tej x''' do wyra enia na moment zginaj cy otrzymamy jego warto maksyman wynosz c : max = q 8. 9

40 Zadanie Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.b i.c. P = 80 kn q = 0 kn/m = 0 knm. a) b) c) Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy sk d Y 80 R Tx () x () x x x 0 a = q P ( a b) R ( a b) = 0 R = 00 kn. q x 0 a=m b=m b=m R 00 Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy sk d P y = R R = 80 kn. q P R = 0 0

41 Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : x ( x) = Rx qx = 0 ( x) = Rx q = da: (x = 0) = 0 (x = ) = 0 x natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = R qx da: T (x = 0) = 80 kn T (x = ) = 80 kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x 6. 0 Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x ) = Rx q ( x ) (x = ) = 0 knm (x = 6) = 00 knm natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R T (x = ) = 80 kn T (x = 6) = 80 kn.

42 ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia 6 x 8 (rozwi zanie od prawej strony). Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) = R x ( 8 ) (x = 6) = 00 knm (x = 8) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = R T (x = 6) = 00 kn T (x = 8) = 00 kn. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w pierwszym przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c pierwszego przedzia u do zera. Poniewa st d d dx x x 0 = m. = T = R qx ( x) = 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x= x0) = Rx q = x 80 knm. Zadanie Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej przegubowo w punktach i i obci onej si skupion P oraz równomiernie roz o onym P obci eniem ci g ym q = w sposób pokazany na rysunku.a. Rozwi zanie Na samym pocz tku wyznaczymy warto reakcji. Reakcja jest pionowa poniewa reakcja oraz si y obci aj ce bek s pionowe.

43 a) Y x x m m q n n P C b) c) P R Tx () x () x x Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Równanie momentów wzg dem punktu ma posta : q R P = 0 = R P. Równanie rzutów na kierunek pionowy wyg da nast puj co: R R 5 q P = 0 R P. = Nast pnie przecinamy bek w przekroju m m o odci tej x si a tn ca w tym przekroju wynosi T (x) = R qx przy: P x = 0 T( x ) = x = T( x) = R R P q =. P P P

44 moment zginaj cy w tym przekroju ( x) qx = Rx x mo e przybiera warto ci od 0 do przy: x = 0 (x) = 0 P x = ( x) =. Nast pnie przyrównujemy do zera si tn c aby znae przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman : T R qx = 0 x = q ( x ) = R = po czym podstawiamy warto odci tej x' do wyra enia na moment zginaj cy i otrzymujemy q P max = R =. 6 by wyznaczy po o enie punktu przegi cia beki musimy znae tak warto odci tej x'' przekroju w którym moment zginaj cy równa si zeru: qx x ( x ) = R = 0 = R x = q Przecinamy nast pnie bek w przekroju n n o odci tej x si a tn ca w tym przekroju T = R q R.. ( x ) = P oment zginaj cy w przekroju n n wynosi P 5 ( x) = Rx q x R ( x ) = x q x P( x ) x mo e przybiera warto ci od do przy: P x = ( x ) = x = ( x) = 0.

45 Zadanie Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki podpartej obu ko cami przegubowo i obci onej równomiernie roz o onym obci eniem ci g ym q oraz si skupion P = q jak pokazano na rysunku.a. a) Y x x q b) c) Tx () q 6 q x () q 7 R x x Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego P R q q 6 q Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Obci enie beki w przedziae zast pujemy wypadkow która wobec równomierno ci roz o enia obci enia równa jest q i przechodzi przez rodek odcinka. Zwroty obu reakcji zak adamy do góry. Wtedy = P q R = 0 5

46 sk d: sk d q R = 6 P = R P q R = 0 y q R =. 6 Znaki dodatnie dowodz e rzeczywiste zwroty reakcji R i R s poprawnie przyj te. Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) x = Rx q (x = 0) = 0 ( x = /) q = natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = R qx q T( x = 0) = 6 q T( x = / ) =. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) ( x) = R = R x x P x qx P x q x x 6

47 da: ( x = /) (x = ) = 0 q = natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R qx P T T ( x = /) = ( x = ) q q =. 6 W zwi zku z tym e funkcja si y poprzecznej w pierwszym i drugim przedziae zmienia znak z pusa na minus datego wyst puje w nim ekstremum momentu gn cego. by okre i przekrój w którym funkcja x osi gnie ekstremum musimy przyrówna do zera funkcj T x i T x : T (x) = R qx 0 = 0 T (x) = R qx 0 P = 0. Z równania tego wynika e ekstremum wyst pi da x = i 6 Uwzg dniaj c warto x w funkcji x otrzymamy q x max = 7 i x w funkcji x otrzymamy 5 x =. 6 q x max =. 7 Zadanie Wykona wykresy momentów zginaj cych i si tn cych da beki wsporniko wej D podpartej przegubowo w punktach i obci onej równomiernie roz o onym obci eniem ci g ym q oraz si skupion P = q (rys..a). Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. 7

48 sk d: 5 = P R q = 0 R = 7 q. a) Y x x x P q b) c) q q q q R Tx () x () Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego R q Obci enie beki w przedziae D zast pujemy wypadkow która wobec równomierno ci roz o enia obci enia równa jest q i przechodzi przez rodek odcinka D. Zwroty obu reakcji zak adamy e dzia aj do góry. Wtedy sk d P = R P R q = 0 y R = q. 8

49 Znaki dodatnie dowodz e rzeczywiste zwroty reakcji R i R s poprawnie przyj te. Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta ( x ) = Rx = qx da: (x = 0) = 0 ( x = ) = q natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u: T( x ) = R = q da: T( x = 0) = q T( x = ) = q. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = R x P(x ) ( x = ) = q ( x = ) = q natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R P T( x = ) = q T( x = ) = q. 9

50 ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : ( x ) ( x) = Rx P ( x ) R( x ) q( x ) ( x) = R x P ( x ( x = ) = q (x = ) = 0 ) R natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R P R q(x ) T (x = ) = q T (x = ) = 0. ( x ( x ) q ) Zadanie 5 Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.5a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.5b i.5c. a) b) qa Y Tx () x x x x R q q a a a a 5a R qa c) x () qa qa qa 5qa Rys.. 5. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego 50

51 Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy sk d sk d R = qa. = q a a R a qa a = 0 Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy P y R = qa. = qa R qa R = 0 Wydzieamy w bece cztery przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x a. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : da: x = qx ( ) x x ( x ) = q (x = 0) = 0 ( x = a) qa = natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T(x ) = qx T (x = a) = 0 T (x = a) = qa. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia a x a. 5

52 Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : x ( x) = qx R( x a) da: x ( x) = q R( x a) ( x = a) qa = (x = a) = qa natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T = qx R ( x) T (x = a) = 0 T (x = a) = qa. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia a x a. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : ( x a) ( x) = qa( x a) R( x a) q( x a) da: ( x) = qa ( x a) R ( x ( x a) q a) (x = a) = qa (x = a) = qa natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T( x) = qa R q ( x a) T (x=a) = qa T (x=a) = qa. ) Czwarty przedzia b dzie si zmienia a x a. (rozwi zywane od prawej strony). Ogóne równanie momentów da czwartego przedzia u b dzie mia o posta (x) = R (a x ) 5

53 da: (x = a) = qa (x = a) = 0 natomiast si a tn ca da czwartego przedzia u: T (x) = R T (x = a) = qa T (x = a) = qa. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w trzecim przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c trzeciego przedzia u do zera. Poniewa d x = T( x) = qa R q( x a) = 0 dx st d 5 x 0 = a. Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x a) 5 ( x = x ) = qa ( x a) R ( x a) q qa. 0 = Zadanie 6 Poda wzory na si poprzeczn i moment gn cy oraz sporz dzi na ich podstawie wykresy da beki podpartej swobodnie i obci onej jak na rysunku.6a. Dane: P = kn q = 5 kn/m = m. Rozwi zanie Wyznaczamy reakcje podpór korzystaj c z równa momentów wzg dem punktu i : q = P R = 0 R = R q P = 8 kn = R q P = 0 P q = = kn. 5

54 a) Z P x x q R R b) Tx () c) 6 kn/m kn/m kn/m x () Rys.. 6. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia x. 0 x 0 = 8 m x 0 = m kn/m 9 kn/m Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : (x) = Px (x = 0) = 0 ( x = / ) T (x) = P. = P 5

55 ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) = Px ( x = /) = P (x = /) = 0 R x q x T( x) = P R q x. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. W tym ceu przyrównujemy si tn c do zera da drugiego przedzia u. st d d dx x = T x 0 = m. ( x) = P R q x 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi: q x0 ( x= x0) = Px0 R x0 max = 9 knm. Natomiast odci ta da której moment gn cy jest równy zeru obiczamy z warunku: q x ( x) = Px R x x' 0 = 8 m. Zadanie 7 Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.7a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.7b i.7c. 55

56 a) Y x x b) c) Rys.. 7. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy sk d Tx () 6 q q R x () x 0 = 6 = R R = q. 6 P q q = 0 6 Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy 6 q q R q P= q 6 q 5 6 q P y = R sk d R = q. 9 R P q = 0 Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest zgodny z za o onym. 56

57 Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta ( x) = R da: (x = 0) = 0 x qx x 5 ( x = ) = q 6 natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = R qx da: T( x = 0) = q 6 T( x = ) = q. 6 ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. (rozwi zanie od prawej strony). Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x ) = P x q x x da: ( x ) = P x q 5 ( x = ) = q 6 (x = /) = 0 x 57

58 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: ( ) = P q x T x 7 T( x = ) = q T( x = /) = q. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w pierwszym przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c pierwszego przedzia u do zera. Poniewa d x = T( x) = R qx = 0 dx st d x 0 =. 6 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi x 69 ( x = x0) = R x qx = q. 56 Zadanie 8 Da beki wonopodpartej i obci onej jak na rysunku.8a wyprowadzi wzory na si y poprzeczne i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.8b i.8c. Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy = R P q q 06 0 = 0 sk d sk d R = 87 kn. Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy P y = R P R R = kn. R q 6 = 0 Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R i R s zgodne z za o onymi. 58

59 a) Y x x x x q=0 kn/m b) c) Rys.. 8. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Wydzieamy w bece cztery przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: R =0 knm 50 kn m 08 m m 06 m Tx () 87 x () x 0 = (x) = R x (x = 0) = x 0 = 8 7 (x = ) = 87 knm 9 08 R natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = R T (x = 0) = 87 kn T (x = ) = 87 kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x 8. 59

60 Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) = R x q (x = ) = 5 knm ( x ) (x = 8) = 08 knm natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R q(x ) T (x = ) = 87 kn T (x = 8) = 9 kn. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia 8 x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) = R x P( x (x = 8) = 08 knm (x = ) = 59 knm 8) q ( x ) natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = R q(x ) P T (x = 8) = 087 kn T (x = ) = 5 kn. ) Czwarty przedzia b dzie si zmienia x 6 (rozwi zanie od prawej strony). Ogóne równanie momentów da czwartego przedzia u b dzie mia o posta ( x ) = q (6 x ) ( 6 x ) (6 x) = q 60

61 da: (x = ) = 5 knm (x = 6) = 0 natomiast si a tn ca da czwartego przedzia u: T (x) = q(6 x ) T (x = ) = 8 kn T (x = 6) = 0. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w drugim i trzecim przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c drugiego przedzia u do zera. Poniewa st d d dx x ( x ) x 0 = 6 m. ( = T = R q x ) = 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x ) ( x = x0) = R x q = 7 knm. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego w trzecim przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c trzeciego przedzia u do zera. Poniewa st d d dx x = T = R q x ) P = 0 ( x ) x' 0 = 8 m. ( Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x ) ( x = x0) = R x P( xx 8) q = 95 knm. 6

62 Zadanie 9 Pozioma beka C o d ugo ci (rys..9) spoczywaj ca w rodku d ugo ci na podporze rokowej i na podporze nieruchomej na ko cu C jest obci ona na cz ci równomiernie roz o onym obci eniem o nat eniu q. Wyprowadzi wzory i sporz dzi wykresy da si tn cych i momentów gn cych. a) Y q Rys.. 9. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu C. Obci enie beki w przedziae zast pujemy wypadkow która wobec równomierno ci roz o enia obci enia równa jest q i przechodzi przez rodek odcinka. Zwroty obu reakcji zak adamy do góry. Wtedy sk d b) c) d) q C Y x C x R Tx () x () C = q R = 0 R = q. q Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest taki jak za o ono. R C q q 6

63 sk d = q RC = 0 RC = q. Znak ujemny dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R C jest przeciwny do za o- onego. Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta : ( x ) x = qx = q (x = 0) = 0 x q ( x = ) = natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u: T (x) = qx T (x = 0) = 0 T (x = ) = q. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta czyi: ( x) = q x R ( x ) ( x ) = q qx q ( x = ) = (x = ) = 0 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u T q R = q q ( x ) = = q. 6

64 Zadanie 0 Da beki obci onej jak na rysunku.0a wyprowadzi wzory na si y tn ce i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.0b i.0c. a) Y x P=6 kn x x q= kn/m P Rys..0. Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o Y. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy = P q R P 6 = 0 sk d R = kn. sk d b) c) 6 Tx () x () Wykorzystuj c sum rzutów si na o Y otrzymamy P = P R q R P = 0 y R = 9 kn. R Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest zgodny z za o onym. R m m m x 0 = 77 m

65 Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta (x) = Px da: (x = 0) = 0 (x = ) = knm natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = P da: T (x = 0) = 6 kn T (x = ) = 6 kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x 6. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) = Px R (x = ) = knm ( x ) ( x ) q ( x ) (x = 6) = knm natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = P R q(x ) T (x = ) = kn T (x = 6) = 9 kn. 65

66 ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia 6 x 8. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta da: (x) = P R q(x ) R (x 6) (x = 6) = knm (x = 8) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u da: T(x) = P R q R T(x = 6) = kn T(x = 8) = kn. Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w drugim przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c drugiego przedzia u do zera. Poniewa st d d dx x = T ( x ) = q( x ) P R x 0 = 77 m. = 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi Px ( x ) R ( x ) q( x ) ( x = x0) = = 85 knm. Zadanie Da beki obci onej jak na rysunku.a wyprowadzi wzory na si y tn ce i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.b i.c. Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o OY. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. 66

67 Wtedy sk d = R q q 0 = R = R 0 = 8 kn. 0 Wykorzystuj c sum rzutów si na o OY otrzymamy P = R q R = 0 y q sk d a) b) R = kn. Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R jest zgodny z za o onym. Y R Tx () 75 m 0 =0 knm x x m q= 8 kn/m R m q= 6 kn/m c) 9 0 x () 7 Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego 67

68 Wydzieamy w bece dwa przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta ( x) = 0 R x q da: (x = 0) = 0 knm (x = ) = knm x natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = R q x da: T (x = 0) = kn T (x = ) = 9 kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x 6. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta : ( x) ( x) = ( x ) ) q = 0 R ( x 0 R x x da: (x = ) = knm q q ( x ( x ) R ) R ( x ( x ) ) q ( x ) (x = 6) = 0 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R q R q (x ) T (x = ) = kn T (x = 6) = 0. 68

69 Wyznaczenie maksymanego momentu zginaj cego. Znajdujemy przekrój w którym moment zginaj cy ma warto maksyman. oment ten znajduje si w pierwszym przedziae. W ceu wyznaczenia warto ci maksymanej przyrównujemy si tn c pierwszego przedzia u do zera. Poniewa st d d dx x = T = R q x ( x) x 0 = 77 m. = 0 Da tej odci tej moment gn cy ma warto maksyman i wynosi ( x = x0) = 0 Rx q = x 7 knm. Zadanie Da beki obci onej obci eniem ci g ym jak na rysunku.a wyprowadzi wzory na si y tn ce i momenty gn ce i wed ug tych wzorów sprawdzi wykresy podane na rysunkach.b i.c. a) b) Y Tx () x x x x R P=50 kn R C m m m m 5 5 C q=6 kn/m c) x () 6 Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego 69

70 Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu C natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie C korzystamy z sumy rzutów si na o Y. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy sk d R C = kn. = q P R q = 0 C sk d Wykorzystuj c sum rzutów si na o Y otrzymamy P = R P R 6q = 0 y R = kn. C Znak dodatni dowodzi e rzeczywisty zwrot reakcji R i R C jest zgodny z za o- onym. Wydzieamy w bece cztery przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: x ( x ) = q (x = 0) = 0 (x = ) = knm natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u da: T (x) = qx T (x = 0) = 0 T (x = ) = kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. 70

71 Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) qx = R( x (x = ) = knm (x = ) = 6 knm ) natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = qx R T (x = ) = kn T (x = ) = 5 kn. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta da: qx = R( x ) P( x ( x) (x = ) = 6 knm (x = ) = knm natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = qx R P ) T (x = ) = 5 kn T (x = ) = kn. ) Czwarty przedzia b dzie si zmienia x 6. Ogóne równanie momentów da czwartego przedzia u b dzie mia o posta da: qx = R( x ) P( x ) RC ( x ( x) (x = ) = knm (x = 6) = 0 ) 7

72 natomiast si a tn ca da czwartego przedzia u: T (x) = qx R P R C T (x = ) = kn T (x = 6) = 0. Zadanie Wykona wykresy si poprzecznych i momentów gn cych da beki obci onej jak na rysunku.a. a) b) c) Tx () 0 x () 8 Y R x x x C m P =60 kn 0 q =0 kn/m q = 5 kn/m R m 8 m 89 P =80 kn Rys... Wykresy si y tn cej i momentu zginaj cego Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o Y. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. 7

73 sk d Wtedy = P q R q 8 9 P 58 = 0 R = 85 kn. Wykorzystuj c sum rzutów si na o Y otrzymamy: P = R P q R q 8 P = 0 y R = kn. Wydzieamy w bece trzy przedzia y. ) Pierwszy przedzia b dzie si zmienia 0 x. Ogóne równanie momentów da pierwszego przedzia u b dzie mia o posta da: ( x) qx = Rx qx x = Rx (x = 0) = 0 (x = ) = 8 knm natomiast si a tn ca da pierwszego przedzia u T (x) = R qx da: T (x = 0) = kn T (x = ) = 0 kn. ) Drugi przedzia b dzie si zmienia x. Ogóne równanie momentów da drugiego przedzia u b dzie mia o posta x ( x) = Rx q P( x ) da: (x = ) = 8 knm (x = ) = 5 knm 7

74 natomiast si a tn ca da drugiego przedzia u: T (x) = R q x P T (x = ) = 0 kn T (x = ) = 96 kn. ) Trzeci przedzia b dzie si zmienia x 58. Ogóne równanie momentów da trzeciego przedzia u b dzie mia o posta : da: ( x) ( x) = R x q ( x q ( x ) ) R ( x x q( x ) = R x q ( x ) R ( x (x = ) = 5 knm ) P ( x ) ) P ( x ) (x = 58) = 0 natomiast si a tn ca da trzeciego przedzia u: T (x) = R q R q (x ) P T (x = ) = 89 kn T (x = 58) = 80 kn. Zadanie Da beki przedstawionej na rysunku.a opartej na podporach i która jest obci ona równomiernie roz o onym obci eniem ci g ym q i q = q oraz si skupion P = qa sporz dzi wykres momentów gn cych i si tn cych. Rozwi zanie by wyznaczy reakcj pionow w punkcie bierzemy sum momentów wzg dem punktu natomiast przy wyznaczaniu reakcji pionowej w punkcie korzystamy z sumy rzutów si na o Y. Zak adamy e zwroty reakcji skierowane s do góry. Wtedy a 5 = qa P a R a q a a = 0 sk d R = 5qa. 7