DELTOŚCIANY RÓŻNE KONSTRUKCJE

Transkrypt

1 MINILAND, S.A WIELOKĄTY MOZAIKI WIELOŚCIANY WIELOŚCIANY FOREMNE BRYŁY PLATOŃSKIE WIELOŚCIANY PÓŁFOREMNE GRANIASTOSŁUPY ANTYGRANIASTOSŁUPY OSTOSŁUPY WIELOŚCIANY GWIAŹDZISTE DELTOŚCIANY RÓŻNE KONSTRUKCJE MINILAND, S.A. Parque Industrial La Marjal C/ La Patronal s/nº ONIL - ALICANTE - ESPAÑA Call center: miniland@miniland.es MINILAND, S.A., 2004

2 WSTĘP Geometria jest działem matematyki. Zajmuje się przestrzenią, płaszczyznami i obiektami w nich zawartymi, pomiarem i związkami, jakie między nimi zachodzą. Jednym z zadań geometrii jest klasyfikacja istniejących figur ze względu na ich wymiary, kąty, właściwości, podobieństwa i różnice. Jest to jeden z najciekawszych działów matematyki, gdyż bada otaczające nas i używane na co dzień przedmioty. Dzięki geometrii można je poznać, zmierzyć i nazwać. WIELOKĄTY Wielokąt jest obszarem powierzchni dwuwymiarowej (ma tylko dwa wymiary długość i szerokość), ograniczonej zamkniętą linią łamaną. otwarta linia wielokątna zamknięta linia wielokątna Każdy odcinek, który tworzy wielokąt nazywa się bokiem wielokąta. W punkcie zwanym wierzchołkiem spotykają się dwa boki, pomiędzy którymi powstaje kąt. W zależności od miary kątów (większej lub mniejszej niż 180ş), wielokąt będzie wypukły (wszystkie kąty są mniejsze niż 180ş) lub wklęsły (przynajmniej jeden kąt jest większy niż 180ş) wklęsły (Jeśli potrzeba, podaj przykłady) Najmniejszą liczbą boków, które utworzą wielokąt jest oczywiście trzy. wypukły Podział wielokątów Nazwa wielokąta odzwierciedla liczbę jego boków. I tak, jeśli wielokąt ma trzy boki, nazwiemy go trójkątem, cztery czworokątem, pięć pięciokątem, sześć sześciokątem, i tak dalej. trójkątem czworokątem pięciokątem sześciokątem (Jeśli potrzeba, podaj przykłady) Trójkąty dalej dzieli się w zależności od długości ich boków. Jeśli wszystkie boki są równej długości, taki trójkąt nazywa się równobocznym, gdy dwa boki są równe równoramiennym, a gdy każdy bok jest inny nierównobocznym. równobocznym, równoramiennym nierównobocznym. 2

3 Istnieje jeszcze jeden podział trójkątów w zależności od miary ich kątów. Jeżeli wszystkie trzy kąty są ostre (mniejsze niż 90ş), trójkąt nazwiemy ostrokątnym, jeśli jeden z kątów będzie rozwarty (większy niż 90ş) rozwartokątnym, a gdy trójkąt posiada kąt prosty (90ş) prostokątnym. ostrokątnym rozwartokątnym prostokątnym Czworokąty klasyfikuje się zgodnie z położeniem boków. Jeżeli obie pary boków są równoległe otrzymamy równoległobok; dwa boki są równoległe trapez; wszystkie boki nie są parami równoległe trapezoid. Równoległobok o czterech kątach prostych jest prostokątem. Gdy wszystkie boki są równe i parami równoległe, otrzymamy szczególny rodzaj prostokąta kwadrat. trapezoid trapez równoległobok prostokątem kwadrat. Gdy wielokąt ma boki równe i jest ich więcej niż pięć, mówimy o wielokącie foremnym. Na przykład ośmiokąt foremny jest figurą o ośmiu bokach równej długości. Elementy konstrukcyjne A teraz kolej na zbudowanie omówionych wielokątów. trójkąt równoboczny trójkąt równoramienny trójkąt prostokątny lub równoramienny prostokąt kwadrat pięciokąt foremny sześciokąt foremny Dzięki specjalnym połączeniom elementy zestawu pasują do siebie jak kawałki puzzli. Budując figury, należy kierować się długością boków elementów. Elementy o krótkich bokach będą wykorzystane w większości figur. Te z dłuższymi bokami zastosujesz w prostokątach, z równymi w trójkątach równoramiennych, a o różnej długości w trójkątach prostokątnych. Gdy rozpoznajesz już wszystkie kolorowe elementy, zacznij je na próbę dowolnie ze sobą łączyć. W ten sposób dojdziesz do wprawy zanim rozpoczniesz konstruowanie właściwych wielokątów. 3

4 MOZAIKI Mozaika jest dekoracją w postaci ornamentu, pokrywającego powierzchnię. W geometrii, oczywiście, będą to figury geometryczne Mozaiki mogą być kombinacją różnych wielokątów, które się ze sobą stykają i nie mogą na siebie zachodzić. mozaiki mozaiki W naszym otoczeniu możemy znaleźć przykłady mozaiki we wzorach parkietu, dywanów, tapet. Mozaiki są ciekawym zjawiskiem nie tylko dla zainteresowanych wzornictwem i projektowaniem, ale też dla miłośników matematyki, którzy w kształtach wielu przedmiotów dostrzegą figury geometryczne. Powierzchnia jest płaszczyzną nieograniczoną i pozbawioną krawędzi. Jednak ty będziesz pracował na arkuszu papieru czy stole, którego powierzchnię ograniczają krawędzie. Komponuj swój wzór tak długo, jak to możliwe. Mozaiki regularne Tak nazywają się mozaiki tworzone z wielokątów foremnych jednego rodzaju. Zacznij eksperymentować, a zobaczysz, jakie potrafisz stworzyć mozaiki z elementów tego zestawu. Które z wielościanów foremnych pozwalają na pokrycie całej płaszczyzny mozaiką? Zauważysz, że jedynymi wielokątami foremnymi, którymi pokryjesz całą płaszczyznę są trójkąty równoboczne, kwadraty, sześciokąty, prostokąty, trójkąty prostokątne i równoramienne. kwadrat prostokąt trójkąt równoboczny trójkąt równoramienny 4

5 trójkąt prostokątny lub równoramienny sześciokąt foremny Mozaiki nieregularne Mozaika ułożona z więcej niż jednego rodzaju wielokątów foremnych nazywa się mozaiką nieregularną. Należy jednak rozważać tylko takie mozaiki, które będą w całości skomponowane z niezachodzących na siebie figur. Takie mozaiki muszą spełniać dwa warunki: a) W każdym wierzchołku schodzą się takie same wielokąty, w tej samej kolejności. c) Boki wielokątów muszą być równej długości. Przykładowe zdjęcie 3 5

6 Inne mozaiki Istnieje wiele rodzajów mozaik. Tworzą je różne rodzaje wielokątów foremnych w taki sposób, że we wszystkich wierzchołkach spotykają się takie same wielokąty w tym samym porządku. Inne mozaiki są stworzone z wielokątów nieforemnych. Zacznij eksperymentować i ułóż niezwykłą kompozycję. WIELOŚCIANY Wielościan jest zamkniętą bryłą przestrzenną trójwymiarową (ma długość, szerokość i wysokość), którą tworzą stykające się bokami wielokąty. Wielokąty, tworzące wielościan, nazywają się ścianami bocznymi. Ich boki to krawędzie, a punkt, w którym zbiegają się trzy lub więcej ściany (tworząc kąt) nazywa się wierzchołkiem. ścianami bocznymi. krawędzie wierzchołkiem. W zależności od miary kątów, wielościan może być wypukły lub wklęsły. Wielościan jest wypukły, jeśli odcinek poprowadzony pomiędzy jego dowolnymi punktami w całości się w nim zawiera. Jeżeli taki odcinek wyjdzie poza bryłę, wielościan nazwiemy wówczas wklęsłym. wypukły wklęsłym. 6

7 Twierdzenie Eulera Wszystkie wielościany wypukłe spełniają warunek, określany jako twierdzenie Eulera: We wszystkich wielościanach wypukłych, liczba ścian (S) plus liczba wierzchołków (W) równa się liczbie krawędzi (K) plus dwa". Twierdzenie można przedstawić jako równanie: S + W = K + 2 Budując wielościany foremne z elementów tego zestawu przekonasz się o prawdziwości tego twierdzenia. Liczba wielokątów potrzebnych do zbudowania najmniejszego wielościanu wynosi cztery, otrzymamy wtedy czworościan, gdy ścian jest sześć sześciościan, osiem ośmiościan, dziesięć dziesięciościan, itd. Jeżeli ściany wielościanu są równe, nazwiemy go wielościanem foremnym. Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych (inna ich nazwa to bryły platońskie). Omawiane są na dalszych stronach. WIELOŚCIANY FOREMNE (BRYŁY PLATOŃSKIE) Grecki filozof z IV w. p.n.e. Platon odkrył, że można zbudować tylko pięć wielościanów foremnych, które na jego część nazwano bryłami platońskimi. Są to: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. Do zbudowania każdego z nich potrzebny jest tylko jeden rodzaj wielokąta. Więc w czworościanie, ośmiościanie i dwudziestościanie zauważymy trójkąty równoboczne; w sześcianie kwadraty, a w dwunastościanie pięciokąty foremne. czworościan sześcian ośmiościan dwunastościan dwudziestościan Cechy brył platońskich: 1 wszystkie ściany są wielokątami wypukłymi foremnymi, wszystkie ściany i kąty są równe 2 są wielościanami wypukłymi, czyli odcinek poprowadzony pomiędzy dwoma dowolnymi punktami wielościanu, w całości się w nim zawiera 0 3 żaden kąt nie jest większy niż całkowicie foremne, czyli patrząc na którykolwiek wierzchołek, bryła wygląda tak samo 5 zgodne z twierdzeniem Eulera. CZWOROŚCIAN FOREMNY ściany są trójkątami równobocznymi liczba ścian: 4 liczba wierzchołków: 4 liczba krawędzi: 6 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 4 SZEŚCIAN ściany są kwadratami liczba ścian: 6 liczba wierzchołków: 8 liczba krawędzi: 12 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 6 7

8 OŚMIOŚCIAN FOREMNY ściany są trójkątami równobocznymi liczba ścian: 8 Potrzebne elementy: 8 liczba wierzchołków: 6 liczba krawędzi: 12 zgodność z twierdzeniem Eulera: = DWUNASTOŚCIAN FOREMNY ściany są pięciokątami foremnymi liczba ścian: 12 Potrzebne elementy: 12 liczba wierzchołków: 20 liczba krawędzi: 30 zgodność z twierdzeniem Eulera: = DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY ściany są trójkątami równobocznymi liczba wierzchołków: 12 liczba krawędzi: 30 liczba ścian: 20 Potrzebne elementy: 20 zgodność z twierdzeniem Eulera: = *Wielościany dualne są parami bryłami, w których liczba ścian jednego wielościanu jest równa liczbie wierzchołków drugiego. Zgodnie z twierdzeniem Eulera muszą mieć taką samą liczbę krawędzi. Istnieją, więc następujące pary: czworościan czworościan (czworościan jest dualny sam dla siebie), sześcian ośmiościan, ośmiościan sześcian, dwunastościan dwudziestościan, dwudziestościan dwunastościan. 6 ścianami bocznymi. 6 wierzchołkiem. 12 krawędzie 12 krawędzie Budowanie wielościanów rozpocznij od łączenia wyżej wymienionych elementów w płaską powierzchnię. Inną metodą jest łączenie elementów jeden po drugim, aż powstanie bryła. Wykorzystuj elementy w wielu kolorach, a otrzymasz bryły atrakcyjne dla oka. Zamień każdy z kwadratów sześcianu na dwa trójkąty prostokątne efekt będzie jeszcze większy jeśli kolory dobierzesz według własnych upodobań. 8

9 WIELOŚCIANY PÓŁFOREMNE Wielościan jest półforemny jeśli jego ściany są dwoma lub więcej rodzajami wielokątów foremnych, a w każdym wierzchołku zbiega się jednakowa liczba ścian. Liczba wielościanów półforemnych jest nieskończona. Można jednak wśród nich wyróżnić następujące grupy: a) graniastosłupy prawidłowe ściany boczne są kwadratami lub prostokątami, podstawy są równymi,. równoległymi wielokątami foremnymi b) antygraniastosłupy ściany boczne są trójkątami równobocznymi lub równoramiennymi, obie podstawy są równoległymi, foremnymi wielokątami, skręconymi względem siebie c) wielościany gwiaździste powstaną, gdy każdą ścianę o kształcie wielościanu foremnego zastąpimy ostrosłupem (bez podstawy); liczba ścian jest taka jak liczba boków wielokąta, który zastąpiły d) wielościany archimedesowe powstaną, gdy zetnie się wierzchołki wielościanów foremnych. Będziesz budował wielościany półforemne o określonej liczbie elementów. Ścięcie Ścięcie jest czynnością, podczas której odcina się narożniki wielościanów foremnych. W ten sposób powstaną wielościany o ścianach foremnych. Każdy wierzchołek wielościanu zamienia się w wielokąt foremny o równej liczbie boków, które spotykają się we wspólnym wierzchołku. Otrzymane wielościany są różnorodne. Ich kształt zależy od tego, czy płaszczyzna, która je przecięła przechodzi w połowie długości krawędzi (typ 1), czy w innym punkcie krawędzi (typ 2). typ 1 typ 2 WIELOŚCIANY ARCHIMEDESOWE Wielościany archimedesowe są wielościanami półforemnymi. Ich ściany są wielokątami foremnymi, w każdym wierzchołku zbiega się równa liczba ścian. Ściany jednak nie są takie same. Nazwę zawdzięczają Archimedesowi, który je odkrył. Wielościany te stosuje się jako ornament dekoracyjny, np. taki kształt miewają klosze ulicznych latarni. Takim wielościanem jest piłka nożna, którą tworzy 20 trójkątów, 30 kwadratów i 12 pięciokątów. Bryłę, jaką jest piłka nożna, nazywa się dwunasto-dwudziestościanem rombowym małym. Rozróżnia się trzynaście wielościanów archimedesowych. Cztery spośród nich tworzą ośmiokąty i dziesięciokąty. Ten zestaw nie zawiera elementów potrzebnych do ich budowy. W związku z tym nie podajemy dalszych szczegółów. CZWOROŚCIAN ŚCIĘTY SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN DWUDZIESTO-DWUNASTOŚCIAN OŚMIOŚCIAN ŚCIĘTY SZEŚCIAN PRZYCIĘTY DWUNASTOŚCIAN PRZYCIĘTY SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN ROMBOWY MAŁY DWUDZIESTO-DWUNASTOŚCIAN DWUNASTO-DWUDZIESTOŚCIAN ROMBOWY MAŁY (Zdjęcia wszystkich. Można załączyć zdjęcia tych, które można i, których nie można zbudować) 9

10 Dwunastościan ścięty Sześcian ścięty Dwudziesto- dwunastościan ścięty Sześcio-ośmiościan ścięty PODZIAŁ a) Wielościany archimedesowe powstałe w wyniku ścięcia brył platońskich zgodnie z typem 1. Ścięcie jest połowie długości krawędzi łączącej dwa wierzchołki. SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN Powstał w wyniku ścięcia typu 1 sześcianu lub ośmiościanu. Jeżeli zetnie się sześcian, zamiast wierzchołków uzyska się trójkąty, a ściany będą kwadratami. Jeżeli przytnie się ośmiościan, wierzchołki zamienią się w kwadraty, a ściany w trójkąty. liczba ścian: 14 Potrzebne elementy: 6 kwadratów i 8 trójkątów równobocznych liczba wierzchołków: 12 liczba krawędzi: 24 zgodność z twierdzeniem Eulera: = DWUDZIESTO-DWUNASTOŚCIAN Powstał w wyniku ścięcia typu 1 dwunastościanu lub dwudziestościanu foremnego. Jeżeli zetnie się dwunastościan, każdy wierzchołek zamieni się w trójkąt, a ściany w pięciokąty. Jeśli zetnie się dwudziestościan, każdy wierzchołek zamieni się w pięciokąt, a ściany w trójkąty. liczba ścian: 32 Potrzebne elementy: 20 trójkątów równobocznych i 12 pięciokątów liczba wierzchołków: 30 liczba krawędzi: 60 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Nie opisaliśmy przycinania czworościanu, ponieważ uzyskalibyśmy ośmiościan, który jest przecież bryłą platońską. b) Wielościany archimedesowe uzyska się przez ścięcie bryły platońskiej zgodnie z typem 2. Ścięcie nie przechodzi przez połowę długości krawędzi łączącej dwa wierzchołki. 10

11 CZWOROŚCIAN ŚCIĘTY Powstał w wyniku ścięcia typu 2 czworościanu foremnego. Każdy wierzchołek zamieni się w trójkąt, a ściany w sześciokąty. liczba ścian: 8 Potrzebne elementy: 4 sześciokąty i 4 trójkąty równoboczne liczba wierzchołków: 12 liczba krawędzi: 18 zgodność z twierdzeniem Eulera: = OŚMIOŚCIAN ŚCIĘTY Powstał w wyniku ścięcia typu 2 ośmiościanu foremnego. Każdy wierzchołek zamieni się w kwadrat, a ściany staną się sześciokątami foremnymi. liczba ścian: 14 liczba wierzchołków: 24 liczba krawędzi: 36 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 8 sześciokątów i 6 kwadratów DWUDZIESTO-DWUNASTOŚCIAN Powstał w wyniku ścięcia typu 1 dwunastościanu lub dwudziestościanu foremnego. Jeżeli zetnie się dwunastościan, każdy wierzchołek zamieni się w trójkąt, a ściany w pięciokąty. Jeśli zetnie się dwudziestościan, każdy wierzchołek zamieni się w pięciokąt, a ściany w trójkąty. liczba ścian: 32 Potrzebne elementy: 20 trójkątów równobocznych i 12 pięciokątów liczba wierzchołków: 30 liczba krawędzi: 60 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Nie opisaliśmy przycinania czworościanu, ponieważ uzyskalibyśmy ośmiościan, który jest przecież bryłą platońską. 11

12 c) Rombościany SZEŚCIO-OŚMIOŚCIAN ROMBOWY MAŁY Ten wielościan powstał w wyniku ścięcia sześciościanu w specjalny sposób oraz dodatkowych przekształceń. Tworzą go kwadraty i trójkąty. liczba ścian: 26 Potrzebne elementy: 18 kwadraty i 8 trójkątów równobocznych liczba wierzchołków: 24 liczba krawędzi: 48 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki powstaje dzięki jeszcze innemu przekształceniu sześcianu. Zestaw nie zawiera elementów potrzebnych do jego budowy. DWUNASTO-DWUDZIESTOŚCIAN ROMBOWY MAŁY Ten wielościan powstał w wyniku specjalnego ścięcia dwudziestościanu oraz dodatkowych przekształceń. Tworzą go pięciokąty, kwadraty i trójkąty. liczba ścian: 62 liczba wierzchołków: 60 liczba krawędzi: 120 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 12 pięciokątów, 30 kwadratów i 20 trójkątów równobocznych Dwunasto-dwudziestościan rombowy wielki powstanie, gdy jeszcze inaczej przekształci się dwudziestościan. Tworzą go kwadraty, sześciokąty i dziesięciokąty, które nie znajdują się w tym zestawie. 12

13 a) Bryły przycięte SZEŚCIAN PRZYCIĘTY Tworzą go kwadraty i trójkąty. Jego powierzchnie nie są symetryczne, ale ma oś obrotu. liczba ścian: 38 liczba wierzchołków: 24 liczba krawędzi: 60 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 6 kwadratów i 32 trójkąty równoboczne DWUNASTOŚCIAN PRZYCIĘTY Tworzą go pięciokąty i trójkąty. Jego powierzchnie nie są symetryczne, ale ma oś obrotu. liczba ścian: 92 liczba wierzchołków: 60 liczba krawędzi: 150 zgodność z twierdzeniem Eulera: = Potrzebne elementy: 12 pięciokątów i 80 trójkątów równobocznych 13

14 GRANIASTOSŁUPY Szczególnym rodzajem wielościanów są równoległościany. Ich główną cechą są dwie równe podstawy położone na równoległych płaszczyznach (stąd ich nazwa), które mogą być dowolnym wielokątem. Pozostałe ściany boczne są równoległobokami. Jeżeli podstawy są położone jedna nad drugą, wówczas ściany będą miały kształt prostokątów lub kwadratów. Takie bryły nazywają się graniastosłupami lub graniastosłupami prostymi. Dalej, jeżeli wszystkie ściany graniastosłupa są wielokątami foremnymi, będzie on graniastosłupem prawidłowym, należącym do nieskończonej serii wielościanów półforemnych. Graniastosłupy są najlepiej nam znanymi figurami przestrzennymi. Taki właśnie kształt mają budynki, pudełka (np. na buty), kartony (np. na soki), itd. Graniastosłupy są nie tylko dziełem człowieka, ale również spotykamy je w przyrodzie: kryształy niektórych minerałów, komórki warzyw, muszle wielu gatunków mięczaków, oczy owadów i wiele innych. Nazwy graniastosłupów wiążą się z liczbą boków wielokąta w podstawie. Jeśli jest to kwadrat, mówimy o graniastosłupie czworokątnym. Jeżeli wielokąt w podstawie jest foremny (wszystkie boki są równe), otrzymamy graniastosłup prawidłowy. Z elementów tego zestawu można zbudować następujące graniastosłupy: GRANIASTOSŁUPY TRÓJKĄTNE: 1) podstawy: trójkąty równoboczne ściany boczne: kwadraty lub prostokąty Potrzebne elementy: 2 trójkąty równoboczne i 3 kwadraty lub 3 prostokąty 2) podstawy: trójkąty równoramienne ściany boczne: kwadraty i dwa prostokąty Potrzebne elementy: 2 trójkąty równoramienne, 1 kwadrat i 2 prostokąty 3) podstawy: trójkąty prostokątne ściany boczne: dwa kwadraty i jeden prostokąt Potrzebne elementy: 2 trójkąty prostokątne, 2 kwadraty i 1 prostokąt 14

15 GRANIASTOSŁUPY CZWOROKĄTNE: 1) podstawy: kwadraty ściany boczne: kwadraty lub prostokąty Potrzebne elementy: 6 kwadratów lub 2 kwadraty i 4 prostokąty 2) podstawy: romby utworzone z dwóch trójkątów równobocznych ściany boczne: kwadraty lub prostokąty Potrzebne elementy: 4 trójkąty równoboczne i 4 kwadraty lub 4 prostokąty GRANIASTOSŁUPY PIĘCIOKĄTNE: 1) podstawy: pięciokąty ściany boczne: kwadraty lub prostokąty Potrzebne elementy: 2 pięciokąty i 5 kwadratów lub 5 prostokątów GRANIASTOSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE: 1) podstawy: sześciokąty ściany boczne: kwadraty lub prostokąty Potrzebne elementy: 2 sześciokąty i 6 kwadratów lub 6 prostokątów Cechy graniastosłupów: wszystkie ściany są wielokątami wypukłymi są wielościanami wypukłymi kąty nie są większe niż 180ş zgodne z twierdzeniem Eulera: S + W = K + 2 Zauważ, że łącząc dwa kwadraty, powstanie prostokąt. Możesz połączyć kwadrat i prostokąt lub dwa prostokąty. W ten sposób zbudujesz o wiele więcej graniastosłupów podstawy mogą być większe, podobnie ściany boczne, jeśli połączysz dwie lub więcej figury. Graniastosłupy będą też wyższe. 15

16 ANTYGRANIASTOSŁUPY Wyobraźmy sobie, że boki kwadratowych lub prostokątnych ścian graniastosłupa są elastyczne lub że można je zmienić obracając jeden wielokąt podstawy w jedną stronę, a drugi wielokąt w drugą stronę. Otrzymalibyśmy wielościan zwany antygraniastosłupem. Innymi słowy, jest to graniastosłup o równych podstawach, jedna nad drugą (inaczej ustawionych), ze ścianami które są trójkątami. Jeżeli ściany pierwotnego graniastosłupa były kwadratami, w nowym staną się trójkątami równobocznymi; jeżeli były prostokątami zamienią się w trójkąty równoramienne. Antygraniastosłupy o ścianach będącymi wielokątami foremnymi są wielościanami półforemnymi. ANTYGRANIASTOSŁUPY TRÓJKĄTNE: 1) podstawy: trójkąty równoboczne ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne siatka wielościanu Potrzebne elementy: 2 trójkąty równoboczne i 6 trójkątów równobocznych lub 6 trójkątów równoramiennych i 6 trójkątów równobocznych lub 6 trójkątów równoramiennych ANTYGRANIASTOSŁUPY CZWOROKĄTNE: 1) podstawy: kwadraty ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne siatka wielościanu Potrzebne elementy: 2 kwadraty i 8 trójkątów równobocznych lub 8 trójkątów równoramiennych ANTYGRANIASTOSŁUPY PIĘCIOKĄTNE: 1) podstawy: pięciokąty ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne siatka wielościanu Potrzebne elementy: 2 pięciokąty i 10 trójkątów równobocznych lub 10 trójkątów równoramiennych ANTYGRANIASTOSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE: 1) podstawy: sześciokąty ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne Potrzebne elementy: 2 sześciokąty i 12 trójkątów równobocznych lub 12 trójkątów równoramiennych siatka wielościanu 16

17 OSTROSŁUPY Z pewnością słyszałeś o piramidach starożytnego Egiptu. Pełniły funkcję grobowców faraonów. Otaczają je tak liczne tajemnice, że zainteresowanie wokół nich nie gaśnie od wieków. Składa się z podstawy, przyjmującej kształt kwadratu, oraz trójkątnych ścian. Wierzchołki wszystkich czterech ścian spotykają się w wierzchołku. Piramida jest jedną z brył zaliczanych do ostrosłupów i określa się ją jako ostrosłup foremny czworokątny o podstawie kwadratu. Nazwa ostrosłupa ma związek z liczbą ścian wielokąta w podstawie. Jeżeli podstawą ostrosłupa jest kwadrat, nazwiemy go czworokątnym. Poza tym, jeśli wielokąt w podstawie jest foremny (wszystkie boki są równe), ostrosłup również będzie foremny. Jeżeli wszystkie ściany ostrosłupa są wielokątami foremnymi, bryłę nazwiemy ostrosłupem półforemnym Wierzchołek ostrosłupa to punkt powyżej podstawy, w którym spotykają się wszystkie ściany. Jeśli od wierzchołka poprowadzisz linię prostopadłą do podstawy, uzyskasz odcinek zwany wysokością ostrosłupa. Jeżeli wysokość przechodzi przez środek wielokąta tworzącego podstawę, ostrosłup będzie prosty. Jeśli nie, ostrosłup będzie wyglądał na krzywy. Z elementów tego zestawu można zbudować następujące ostrosłupy: OSTROSŁUPY TRÓJKĄTNE: 1) podstawa: trójkąt równoboczny ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne Potrzebne elementy: 1 trójkąt równoboczny i 3 trójkąty równobocznych lub 3 trójkąty równoramienne 2) podstawa: trójkąt prostokątny ściany boczne: dwa trójkąty równobocznych lub jeden prostokąt Potrzebne elementy: 2 trójkąty prostokątne i 2 trójkąty równoboczne $$$ 3) podstawa: trójkąt równoramienny ściany boczne: trójkąty równoramienne Potrzebne elementy: 4 trójkąty równoramienne 17

18 4) podstawa: trójkąt równoramienny ściany boczne: trójkąt równoboczny i dwa prostokąty Potrzebne elementy: 1 trójkąt równoramienny, 2 trójkąty prostokątne i 1 trójkąt równoboczny OSTROSŁUPY CZWOROKĄTNE 1) podstawa: kwadrat ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne siatki wielościanów: Potrzebne elementy: 1 kwadrat i 4 trójkąty równoboczne lub 4 trójkąty równoramienne $$$ 2) podstawa: kwadrat ściany boczne: trójkąt równoboczny i równoramienny, trójkąty prostokątne Potrzebne elementy: 1 kwadrat i 1 trójkąt równoboczny, 1 trójkąt równoramienny i 2 trójkąty prostokątne 3) podstawa: prostokąt ściany boczne: trójkąty prostokątne i równoboczne Potrzebne elementy: 1 prostokąt, 2 trójkąty równoboczne i 2 trójkąty prostokątne 18

19 4) podstawa: prostokąt ściany boczne: trójkąty równoboczne lub równoramienne Potrzebne elementy: 1 prostokąt i 3 trójkąty równoramienne i 1 trójkąt równoboczny OSTROSŁUPY PIĘCIOKĄTNE: 1) podstawa: pięciokąt ściany boczne: trójkąty równoramienne Potrzebne elementy: 1 pięciokąt i 5 trójkątów równoramiennych OSTROSŁUPY SZEŚCIOKĄTNE: 1) podstawa: sześciokąt ściany boczne: trójkąty równoramienne Potrzebne elementy: 1 sześciokąt i 6 trójkątów równoramiennych Nie można zbudować ostrosłupa pięciokątnego i sześciokątnego z trójkątów równobocznych Cechy ostrosłupów: wszystkie ściany są wypukłe są wielościanami wypukłymi kąty nie przekraczają 180ş zgodne z twierdzeniem Eulera: S + W = K

20 DWUPIRAMIDY Jeżeli połączymy podstawami (uprzednio usuniętymi) dwa ostrosłupy o identycznych podstawach, otrzymamy bryłę o nazwie dwupiramida. Jeżeli podstawy są trójkątami, nazwiemy ją dwupiramidą trójkątną, jeśli kwadratami kwadratowe, itd. Z elementów tego zestawu można zbudować następujące dwupiramidy: DWUPIRAMIDY TRÓJKĄTNE: dwa ostrosłupy trójkątne zbudowane z trójkątów równobocznych 6 trójkątów równobocznych ostrosłup zbudowany z trójkątów równobocznych i inny ostrosłup zbudowany z trójkątów równoramiennych 3 trójkąty równoboczne i 3 trójkąty równoramienne dwa ostrosłupy zbudowane z trójkątów równoramiennych 6 trójkątów równoramiennych DWUPIRAMIDY KWADRATOWE: dwa ostrosłupy czworokątne zbudowane z trójkątów równobocznych 8 trójkątów równobocznych ostrosłup zbudowany z trójkątów równoramiennych i ostrosłup zbudowany z trójkątów równobocznych 4 trójkąty równoboczne i 4 trójkąty równoramienne 20

21 dwa ostrosłupy zbudowane z trójkątów równoramiennych 8 trójkątów równoramiennych DWUPIRAMIDY PIĘCIOKĄTNE: dwa ostrosłupy pięciokątne zbudowane z trójkątów równobocznych 10 trójkątów równobocznych ostrosłup zbudowany z trójkątów równobocznych i ostrosłup zbudowany z trójkątów równoramiennych 5 trójkątów równobocznych i 5 trójkątów równoramiennych dwa ostrosłupy zbudowane z trójkątów równoramiennych 10 trójkątów równoramiennych DWUPIRAMIDA SZEŚCIOKĄTNA: 1dwa ostrosłupy sześciokątne zbudowane z trójkątów równoramiennych 12 trójkątów równoramiennych 21

22 WIELOŚCIANY GWIAŹDZISTE Jeśli do każdej ze ścian czworościanu foremnego dokleimy" ostrosłup trójkątny, powstanie gwiazda o czterech wierzchołkach czworościan gwiaździsty. Tak samo można doklejać" ostrosłupy do czterech pozostałych wielościanów foremnych, uzyskując bryły o wyjątkowej urodzie: sześcian gwiaździsty, ośmiościan gwiaździsty, dwunastościan gwiaździsty i dwudziestościan gwiaździsty. Aby zbudować takie wielościany, potrzebne są tylko trójkąty równoboczne lub równoramienne. Ważną cechą tych wielościanów jest to, że są one wklęsłe. Bryły, które dotychczas konstruowałeś były wypukłe. Gwiazdę można również zbudować, dołączając ostrosłupy do ścian wcześniej wspomnianych wielościanów archimedesowych. Przykłady: z czworościanu ściętego, otrzymamy czworościan ścięty gwiaździsty (stelacja wierzchołkowa czworościanu ściętego) z sześcianu ściętego, otrzymamy sześcian ścięty gwiaździsty dwunastościan gwiaździsty (12 trójkątów) sześcian gwiaździsty (24 trójkąty) ośmiościan gwiaździsty (24 trójkąty) dwunastościan gwiaździsty (60 trójkątów) m 22 dwudziestościan gwiaździsty (60 trójkątów)

23 DELTOŚCIANY Deltościany należą do rodziny wielościanów, które są zbudowane wyłącznie z trójkątów równobocznych. Ich nazwa pochodzi od greckiej litery delta, która wyglądem przypomina trójkąt. Istnieje tylko osiem deltościanów wypukłych, niektóre z nich już poznałeś. CZWOROŚCIAN FOREMNY (4 trójkąty) DWUPIRAMIDA TRÓJKĄTNA (6 trójkątów) OŚMIOŚCIAN FOREMNY (8 trójkątów) DWUPIRAMIDA PIĘCIOKĄTNA (10 trójkątów) DWUSFENOID PRZYCIĘTY (12 trójkątów) POTRÓJNIE POWIĘKSZONY GRANIASTOSŁUP TRÓJKĄTNY (14 trójkątów) WYDŁUŻONA DWUPIRAMIDA KWADRATOWA SKRĘCONA (16 trójkątów) DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY (20 trójkątów) RÓŻNE KONSTRUKCJE Jeżeli z naszą pomocą doszedłeś już do tego etapu w budowaniu wielościanów, poszerzyłeś swoją wiedzę z geometrii bardziej niż sobie wyobrażasz i wiesz o wiele więcej niż nauczyłbyś się na tradycyjnej lekcji matematyki w szkole. Teraz, zasługujesz na to, aby bawić się elementami z tego zestawu w sposób zupełnie dowolny. Możesz tworzyć budynki, konstrukcje, bryły, i inne. Jednak nie zapomnij o geometrii możesz połączyć zdobytą wiedzę z wyśmienitą zabawą. Życzymy dobrej zabawy i gratulujemy osiągnięć w geometrii! 23