Liczby Fibonacciego. Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce

Transkrypt

1 Liczby Fibonacciego Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce

2 Leonardo Fibonacci

3 Leonardo Fibonacci, włoski matematyk pochodzący z Pizy, żył w latach Kształcił się początkowo po kierunkiem arabskiego nauczyciela na terenie obecnej algierskiej Beżai. W miarę postępów nauki i chęci dalszego studiowania zwiedził Europę i kraje Wschodu. Podczas swych podróży zapoznał się zosiągnięciami arabskich i hinduskich matematyków, między innymi z systemem dziesiętnym, który później propagował. Gdy w 1202 roku wrócił do kraju, do Pizy, opisał system pozycyjny liczb i wyłożył podstawy arytmetyki w dziele zatytułowanym Liber Abaci, czyli Księga rachunków. Tu właśnie Fibonacci pisał, i to od pierwszych stron, o cyfrach arabskich. W swojej kolejnej pracy Practica geometriae uczony połączył geometrię i algebrę. Wpóźniejszych latach Fibonacci zajmował się między innymi arytmetyką handlową, opracowywał metody rozwiązywania zadań ztej dziedziny oparte na proporcjach. Nauczał działań na ułamkach, które sprowadzał do wspólnego mianownika w sposób bardziej racjonalny, niż robili to matematycy krajów islamu otóż znajdował najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników.

4 Ciąg Fibonacciego Leonardo Fibonacci stał się sławny głównie dzięki ciągowi liczb, nazwanemu od jego nazwiska ciągiem Fibonacciego. (za sprawą XIXwiecznego francuskiego matematyka Edwarda Lucasa).

5 Co to jest ciąg Fibonacciego? Leonardo Fibonacci, w swojej książce Liber abaci zajął się problemem dotyczącym rozmnażania się stada królików. Rozwiązując takie zadanie odkrył ciekawy ciąg liczb nazwany ciągiem Fibonacciego. Pewien człowiek wziął parę królików i umieścił je w miejscu otoczonym ze wszystkich stron murem. Ile par królików urodzi się z tej pary w ciągu roku, jeśli założymy, że z każdej pary po miesiącu rodzi się nowa para, która staje się płodna po upływie kolejnego miesiąca? Liber abaci rozdział III.

6 Co to jest ciąg Fibonacciego? Na początku 1 para

7 Co to jest ciąg Fibonacciego? W pierwszym miesiącu ta sama 1 para (po 1 miesiącu króliki są zdolne do rozrodu)

8 Co to jest ciąg Fibonacciego? W drugim miesiącu para wydała na świat nową parę królików (niebieska kropka) Są więc 2 pary królików

9 Co to jest ciąg Fibonacciego? W trzecim miesiącu para (czerwona) wydała na świat kolejną parę królików (zielona kropka) Para niebieska nie jest jeszcze płodna. Są teraz 3 pary królików

10 Co to jest ciąg Fibonacciego? W czwartym miesiącu para (czerwona) wydała na świat kolejną parę królików (czarna kropka) Para niebieska wydała na świat 1 parę (brązowa), a zielona jeszcze nie jest gotowa do rozrodu. Jest teraz 5 par królików

11 Co to jest ciąg Fibonacciego? Czy wiesz, ile będzie królików w piątym miesiącu?

12 Co to jest ciąg Fibonacciego? Fibonacci uzyskała następujące liczby par królików w kolejnych Miesiącach: 1,1,2,3,5,8,.. Liczby te, ustawione w takiej kolejności to liczby Fibonnacciego (ciąg Fibonacciego)

13 Co to jest ciąg Fibonacciego? 1,1,2,3,5,8,.. Czy domyślasz się, jak powstają kolejne liczby w tym ciągu?

14 Jak obliczyć kolejne liczby Fibonacciego? Rozwiążmy zadanie 2 Co trzeba wiedzieć, by rozwiązać zadanie? Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Trutnie (samce pszczoły) mają tylko matkę -królową, powstają bez udziału ojca, podczas gdy królowe mają już dwoje rodziców - inną królową i trutnia.

15 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny 8 Prapradziadkowie - 5 Pradziadkowie - 3 Dziadkowie - 2 Matka - 1 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,. Truteń -1

16 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, Pierwsze liczby ciągu to 1,1 i 2 Kolejne liczby powstają przez dodanie dwóch poprzednich. Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,.

17 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, 3, Suma dwóch poprzednich liczb 1+2 = 3 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,.

18 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, 3, 5, Suma dwóch poprzednich liczb 1+2 = 3 Suma dwóch poprzednich liczb 2+3 = 5 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,.

19 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, 3, 5, 8, Suma dwóch poprzednich liczb 1+2 = 3 Suma dwóch poprzednich liczb 2+3 = 5 Suma dwóch poprzednich liczb 3+5 = 8 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,. Oblicz kolejne liczby!!!

20 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, Suma dwóch poprzednich liczb 1+2 = 3 Suma dwóch poprzednich liczb 2+3 = 5 Suma dwóch poprzednich liczb 3+5 = 8 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,. Oblicz kolejne liczby!!!

21 Policzmy ilość przodków pszczelej rodziny Czy już wiesz, jak powstają kolejne liczby ciągu Fibonacciego? 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, Suma dwóch poprzednich liczb 1+2 = 3 Suma dwóch poprzednich liczb 2+3 = 5 Suma dwóch poprzednich liczb 3+5 = 8 Kolejni przodkowie tworzą ciąg liczb: 1,1,2,3,5,8,13,. Oblicz kolejne liczby!!!

22 Policz nowe pędy drzewa Na rysunku po prawej stronie pokazane jest drzewo, które rośnie podobnie, jak rozmnażają się króliki w modelu Fibonacciego: każda gałąź przez pierwszy rok jedynie wzrasta, a w każdym następnym roku wypuszcza jedną młodą gałąź. W przyrodzie w ten właśnie sposób rozrasta się wiele drzew.

23 Ciąg Fibonacciego 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377,

24 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, Ciąg Fibonaciego należy do ulubionych ciągów spotykanych w przyrodzie można go odnaleźć w wielu jej aspektach zarówno w kształtach fizycznych struktur, jak i w przebiegu zmian w strukturach dynamicznych.

25 Płatki kwiatów Liczba płatków wielu kwiatów, w tym popularnej stokrotki, jest na ogół liczbą Fibonacciego i wynosi 3, lub 5, lub 8, lub 13, lub...

26 Płatki kwiatów Liczba płatków wielu innych kwiatów jest także liczbą Fibonacciego i wynosi 3, lub 5, lub 8, lub 13, lub 21, lub 34, lub itd... Zastanawiające jest, skąd komórki "wiedzą", że liczba płatków w kwiatach ma być liczbą Fibonacciego, i w jaki sposób ta "informacja rozchodzi się po milionach komórek, nawet tej samej rośliny. Zjawisko to nazywa się w botanice filotaksją, dosłownie - "układem liści".

27 21 płatków 13 płatków 3 płatki 21 płatków 13 płatków

28 5 płatków

29

30

31

32

33 Najbardziej znanymi przykładami występowania liczb Fibonacciego w naturze są: układy łusek na szyszkach, układy pestek w tarczach słoneczników.

34 Na rysunku jest pokazana szyszka, na której zaznaczono spirale tworzone przez jej łuski. Spirale te są prawoskrętne i lewoskrętne (w przypadku tej szyszki jest 8 - lewoskrętnych i 13 - prawoskrętnych). Nie zawsze szyszki nawet tego samego gatunku sosny mają taką samą liczbę spiral, nie zawsze również przeważają lewoskrętne czy prawoskrętne. Ale tak jest w większości przypadków, łuski na większości szyszek układają się wzdłuż spiral, których liczby są ściśle związane z kolejnymi liczbami Fibonacciego.

35

36 Podobnie układają się pestki w tarczy słonecznika - również wzdłuż spiral, których liczba jest związana z liczbami Fibonacciego.

37 Wprzypadku słonecznika również jego ulistnienie podporządkowane jest ciągowi Fibonacciego liście wyrastają wokół łodygi, wmaksymalny sposób wykorzystując dostęp do światła iwody spływającej wzdłuż łodygi, czyli gdybyśmy spojrzeli zgóry jeden drugiego nie zasłania, bowiem cechują się spiralną filotaksją (ulistnieniem), a liście układają się wzdłuż helisy spirali okrążającej łodygę. Określa się ją, licząc obroty, a także odległości między liczbami dla wielu roślin te liczby sąliczbami Fibonacciego. Słonecznik

38 Fenomen układu łusek na szyszce lub pestek na tarczy słonecznika można uzasadnić tym, że natura dba o jak najlepsze "upakowanie" jednych i drugich, by się ich zmieściło jak najwięcej lub by zajmowały jak najmniej miejsca. Taka zwartość budowy rośliny może być pewnego rodzaju ochroną przed łatwym ich rozpadem na części. Ale co z tym wspólnego mają liczby Fibonacciego? Czy upakowanie innej liczby spiral (ale tej samej liczby łusek czy pestek) jest mniej ciasne? Na ile kod genetyczny, którym posługuje się natura, jest zapisany liczbami Fibonacciego? W następnym punkcie przedstawimy zarys argumentacji,

39 Układ ziarenek ananasa. Ziarenka ananasa przypominające sześciokątne klatki są rozmieszczone w rzędach o różnych kierunkach: 5 równoległych rzędów podnoszących się łagodnie w prawo, 8 rzędów podnoszących się nieco bardziej stromo w lewo, 13 rzędów podnoszących się bardziej stromo w prawo.

40

41

42

43 Kaktus

44 Kalafior

45 Kalafior

46

47

48

49

50

51 Dalia Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

52

53

54 Galaktyka

55 Spirala Fibonacciego Jeszcze jedną ciekawostką dotyczącą ciągu Leonarda z Pizy jest spirala Fibonacciego. Najlepszym jej przykładem w przyrodzie są muszle.

56 Spirala Fibonacciego Gdyby spojrzeć na muszlę łodzika (morskiego mięczaka) wprzekroju: widać, że ułożona jest spiralnie izbudowana zszeregu komór, zktórych każda następna jest większa od poprzedniej dokładnie otyle, ile wynosi wielkość tej poprzedniej. Wynika to z faktu, że im sąwiększe, tym szybciej rosną.

57 Spirala Fibonacciego Być może trudno uwierzyć, że układ muszli zgodny jest zjakimkolwiek ciągiem, ale wystarczy spojrzeć na graficzny obraz spirali Fibonacciego.

58 Spirala Fibonacciego Wyraźnie widać, że (pomijając dwa pierwsze, najmniejsze) kolejne kwadraty sąwiększe od poprzedzających dokładnie osumę ich ścianek, co zgodne jest zregułą naszego ciągu.

59 1

60 1 1

61 2 1 1

62

63

64

65

66 łodzik

67

68 Dziękuję za uwagę Opracowała: Małgorzata Borycka