Złota liczba. Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce

Transkrypt

1 Złota liczba Zajęcia matematyczno przyrodnicze w Szkole Podstawowej w Antolce

2 Ciąg Fibonacciego 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, Ciąg Fibonacciego ma wiele ciekawych własności. Zbadajmy jedną z nich. Podzielmy przez siebie dwie kolejne liczby tego ciągu (liczbę większą przez mniejszą)

3 Ciąg Fibonacciego 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,377, Zacznijmy dzielenie od liczby 5. 5:3 = 8:5 = 13:8 = 21:13 = 1,6. 1,6 1,6. 1,6. Wynik tego dzielenia zawsze daje liczbę równą w przybliżeniu 1,6 Liczbę tą nazywamy złotą liczbą i oznaczamy przez f f =1,6

4 Złota liczba f 1, Złota liczba jest równa w przybliżeniu Złota liczba jest związana z tak zwanym złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

5 Złoty podział odcinka Złoty podział, podział harmoniczny, złota proporcja, złote cięcie polega na podziale odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej i był równy złotej liczbie φ. (Iloraz tych odcinków jest równy około 1,6)

6 Złoty podział odcinka Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ (fi)). a b a b a + b a a + b

7 Złoty podział odcinka Czy potrafisz skonstruować taki odcinek, aby po podzieleniu go na dwie równe części otrzymać złoty podział? a b a + b

8 Złote cięcie w przyrodzie Na wspólnej gałązce między każdymi dwiema parami listków trzecia para leży w miejscu złotego cięcia.

9 Złote cięcie w przyrodzie

10 Złote cięcie w przyrodzie Można skonstruować przyrząd do sprawdzania złotej proporcji

11 Złote cięcie w przyrodzie

12 Złote cięcie w przyrodzie

13 Złote cięcie w przyrodzie

14 Nikt nie rozumiał boskiej struktury ludzkiego ciała lepiej niż Leonardo da Vinci. Ekshumował nawet zwłoki, żeby mierzyć dokładne proporcje budowy kostnej człowieka. On pierwszy wykazał, że ludzkie ciało jest dosłownie zbudowane z elementów, których proporcje wymiarów zawsze równają się Fi. Złote cięcie w przyrodzie

15 Złote cięcie w przyrodzie

16 Złote cięcie w architekturze W starożytności Grecy wysoko cenili harmonię i proporcje. Złoty podział uważali za proporcję doskonałą. Stosowali go w architekturze i sztuce.

17 Złote cięcie w architekturze Parthenon na Akropolu fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie plan świątyni jest złotym prostokątem

18 Złote cięcie w architekturze Apollo Belwederski Twórcą rzeźby był Leochares (IV wiek pne.) Linia I dzieli na dwie części całą postać w złotej proporcji, linia E wskazuje złotą proporcję między głową a górną częścią tułowia, linia O zaznacza podział nóg w kolanach według złotego cięcia.

19 Złote cięcie w architekturze

20 Złote cięcie w architekturze Renesans okres wielkiej fascynacji antykiem, złota proporcja nazywana jest boską proporcją (divina proportio), powstaje traktat matematyczny O boskiej proporcji Luca Pacioli (1509r.), ilustracje do traktatu wykonuje Leonarda da Vinci mistrz proporcji i perspektywy.

21 Złoty kąt Jeśli podzieli się kąt pełny (360 stopni) w stosunku złotym, otrzyma się tzw. złoty kąt. Okazuje się, że ten złoty kąt jest bardzo często spotykany u roślin: nasiona słonecznika, kwiat kalafiora, w szyszkach i ananasach.

22 Złote cięcie w architekturze Na podsumowanie można stwierdzić, iż zjawiska, których struktura oparta jest na ciągu Fibonacciego, sprawiają przyjemność zmysłom wzroku i słuchu istot ludzkich. Dowodem na to może być to, że złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci, podobnie jak Botticelli. Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.