wartość dokładna wartość przybliżona wartość dokładna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "wartość dokładna wartość przybliżona wartość dokładna"

Transkrypt

1 I. Pomiary w fizyce. 1. Z ilu mikrometrów składa się 1 kilometr? Jaką częścią centymetra jest 1 μm?. Jezioro Śniardwy ma powierzchnię 113,8 km. Podać wynik w metrach kwadratowych. 3. Ile nanosekund ma jedna gigasekunda? 4. Podaj poniższe wartości z odpowiednimi przedrostkami krotności, tak aby wartość liczbowa była zawarta między 1 a 1000: a) 8, m b), kg c) 4, s d) 3, m e) 1, m 5. Wykonaj dodawanie: 74 mm + 0,718 m + 69,3 cm + 7,3 dm 6. Autobus ma masę 10,5 ton, czyli 10,5 Mg. Na autobusie siadł mały ptaszek o masie 3 g. Oblicz masę całkowitą tak utworzonego układu ciał. Omów sens fizyczny takiego dodawania. 7. Jakie pole powierzchni zajmuje rozlana na powierzchni wody kropla ropy naftowej o objętości 0,1 cm 3, jeżeli grubość warstwy ropy wynosi 0, μm? Oblicz, Ile warstw cząsteczek ropy znajduje się w plamie ropy, jeśli średnica 1 cząsteczki wynosi 10 angstremów (1 Å = 0,1 nm). 8. Beczka jest jednostką objętości, stosowaną w Szkocji do pomiaru ilości świeżo złowionych śledzi: 1 beczka = 170,474 litrów ryb, co daje około 750 śledzi. Wyobraźmy sobie, że transport 155 beczek śledzi ma być dostarczony do Arabii Saudyjskiej, gdzie jednostką długości jest 1 covido = 48,6 cm, a więc w deklaracji celnej należy podać wielkość ładunku w covido sześciennych. Jaką liczbę należy wpisać w deklaracji celnej? 9. Ziemia jest w przybliżeniu kulą o promieniu 6, m. Ile wynosi: a) obwód Ziemi w kilometrach b) pole powierzchni Ziemi w kilometrach kwadratowych, c) objętość Ziemi wyrażona w kilometrach sześciennych? 10. Antarktyda ma kształt zbliżony do półkola 000 km o promieniu 000 km (rysunek obok). Średnia grubość jej 3000m pokrywy lodowej wynosi 3000 m. Ile centymetrów sześciennych lodu zawiera Antarktyda (pomiń krzywiznę Rys.1.1 Ziemi)? 11. Fizyk Enrico Fermi zauważył kiedyś, że czas standardowego wykładu (50 min) to mniej więcej jedno mikrostulecie. a) Ile minut ma mikrostulecie? b) wyznacz błąd procentowy przybliżenia Fermiego. Skorzystaj z faktu, że błąd procentowy to wartość dokładna wartość przybliżona wartość dokładna 100% 1. Podaj wartość prędkości światła w próżni ( m/s) w milimetrach na pikosekundę. 13. Jednostka astronomiczna (AU) jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, równa w przybliżeniu 1, km. Wiedząc, że prędkość światła w próżni wynosi m/s, wyraź tę wartość w jednostkach astronomicznych na minutę. 14. Rok świetlny to odległość, którą światło przebywa w próżni w ciągu 1 roku. Ile wynosi rząd tej odległości wyrażonej w metrach? Przyjmij, że szybkość światła w próżni jest rzędu 10 8 m/s. 15. Wzorcami czasu są obecnie zegary atomowe. Rozważa się również zastosowanie do tego celu pulsarów, czyli obracających się gwiazd neutronowych (gwiazd o bardzo dużej gęstości, składających się z samych neutronów). Szybkość obrotu niektórych z nich jest bardzo stabilna. Wysyłają one sygnały radiowe w kierunku Ziemi raz na okres obrotu, podobnie jak latarnie morskie wysyłają impulsy światła. Na przykład okres obrotu pulsara PSR wynosi 1, ±3 ms, gdzie zapis ±3 w tym wypadku oznacza niepewność

2 ostatniej cyfry dziesiętnej (a nie ± 3 ms). a) Ile obrotów wykonuje pulsar PSR w czasie 7 dni? Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących. b) W ciągu jakiego czasu pulsar ten wykonuje 10 6 obrotów? c) Z jaką dokładnością możemy określić ten czas? 16. Trzy zegary cyfrowe chodzą z różną szybkością i nie wskazują zgodnie zera. Na rysunku 1. przedstawiono wyniki równoczesnych odczytów par tych zegarów na przykład w pewnej chwili odczytano 5,5 s na zegarze B i 9 s na zegarze C. Jeśli odstęp czasu dwóch zdarzeń wynosi 600 s według zegara A, to ile wynosi on według: a) zegara B, b) zegara C. c) Jakie jest wskazanie zegara B, gdy zegar A wskazuje 400 s? Rys Masa Ziemi wynosi 5, kg. Średnia masa atomów, z których składa się Ziemia jest równa 40 u. Z ilu atomów składa się Ziemia? 18. Centymetr sześcienny żelaza ma masę 7,87 g, a masa atomu żelaza wynosi 9, kg. Przyjmując, że atomy żelaza mają kształt kuli i są ciasno upakowane w objętości metalu oblicz: a) objętość atomu żelaza (w m 3 ) b) odległość środków sąsiednich atomów (w Å). 19. Przepisz każdy z następujących wyników pomiarów w ich najbardziej właściwej formie: a) v = (8,13456 ± 0,031) m/s d) R = (1843,8 ± 8,) Ω b) x = (3, ± ) m e) C = (453 ± 5) nf c) m = (5, ± ) kg f) I = (154,5 ± 0,67) ma 0. Zamień błędy poniższych pomiarów prędkości dwóch wózków na torze na błędy względne i błędy procentowe: a) v = (55 ± ) cm/s, b) u = (-0 ± ) cm/s. c) Energia kinetyczna została wyznaczona jako E = 4,58 J ± %; przepisz to stwierdzenie, używając niepewności bezwzględnej. 1. Linijka ma działki co 1 mm, mikroskop z ruchomym stolikiem zaś co 0,1 mm. Przypuśćmy, że chcesz zmierzyć długość cm z dokładnością 1%. Czy możesz to zrobić używając linijki? Czy jest to możliwe za pomocą mikroskopu?. Odczytaj wskazania poniższych przyrządów pomiarowych. Wynik podaj wraz z niepewnością bezwzględną pomiaru (klasa miernika podana jest na skali). 90 A (s) B (s) C (s) a) b) Rys. 1.3a Rys. 1.3b

3 3. Uczeń dokonał pomiaru czasu przejazdu wózka na tym samym torze 10-krotnie i otrzymał następujące wyniki:, 1, 4, 5,, 1,, 3, 4, (w sekundach). Oblicz średni czas przejazdu wózka, odchylenie standardowe oraz odchylenie standardowe średniej. Podaj wartość najlepszego przybliżenia czasu przejazdu wózka i jego niepewność, przy założeniu, że wszystkie niepewności mają charakter przypadkowy. 4. Dokonano pięciokrotnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego g i otrzymano następujące wyniki (wszystkie w m/s ): 10,0; 9,6; 9,5; 9,7; 9,8. Jakie powinno być najlepsze przybliżenie g i jego niepewność, określone na podstawie przeprowadzonych pomiarów? Jak dobrze wynik pomiarów zgadza się z akceptowaną wartością 9,81 m/s? 5. Mierzono czas spadania drewnianej kulki z wysokości 100 m. Otrzymano następujące wyniki (w sekundach): 4,5; 4,6; 4,6; 4,7; 4,5; 4,3. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną związaną z wyborem chwili włączenia i wyłączenia sekundomierza na 0, s. Obliczyć całkowitą niepewność pomiaru. Jaki rodzaj błędu ma w tym wypadku decydujący wpływ na niepewność całkowitą pomiaru? 6. W eksperymencie mającym na celu wyznaczenie ciepła topnienia lodu uczeń wkłada kawałek lodu do styropianowego kubka z wodą i obserwuje zmianę temperatury w trakcie topnienia lodu. Aby wyznaczyć masę dodanego lodu waży kubek z wodą przed doświadczeniem, a następnie po dodaniu lodu i znajduje ich różnicę. Znajdź wyznaczoną przez ucznia masę lodu, wraz z jej niepewnością. Wyniki pomiarów ucznia to: (masa kubka z wodą) = m 1 = (03 ± ) g (masa kubka z wodą i lodem) = m = (56 ± 3) g 7. Aby znaleźć powierzchnię prostokątnej płytki, uczeń mierzy długość jej boków, znajdując A = (9,1 ± 0,1) cm i B = (3,3 ± 0,1) cm. Znajdź obliczoną przez ucznia powierzchnię z jej niepewnością. 8. Dane są wartości pewnych wielkości fizycznych: a = 7, ± 0,1 b = 5,1 ± 0,1 c = 8, ± 0, Wyznaczyć wartości wielkości X i Y oraz ich niepewności procentowe, korzystając z uproszczonej metody logarytmicznej. a) X = b) Y = 9. Przeprowadzono doświadczenie, w którym zbadano charakterystykę prądowo-napieciową żarówki. Dane zebrano w tabeli: U [V] ΔU [V] I [ma] ΔI [ma] , a) Narysuj wykres zmian natężenia w funkcji napięcia I(U), zaznaczając na nim niepewności pomiarowe. Dopasuj graficznie prostą do punktów pomiarowych. *b) Oblicz opór żarówki oraz jego niepewność pomiarową, korzystając z informacji zawartych w podręczniku (dodatek A.5)

4 II. Elementy matematyki w fizyce. 30. Wyznaczyć szukaną wielkość z podanych niżej wzorów: a) v ze wzoru x = x 0 + vt e) v ze wzoru!" # $%&' b) l ze wzoru ( *+, - c) x ze wzoru 9 : d) r ze wzoru. A 0B 9 ; $9 < f) C ze wzoru. g) λ ze wzoru!" # FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM / '=1 9 >? 9 8 h) T ze wzoru % 9 = 9 C(?( 9 D$% 9 E % # = # C( #?(D a c α Funkcja Definicja Rysunek sinus sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi a długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości sin α = c przeciwprostokątnej cosinus cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi b długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta do długości cos α = c przeciwprostokątnej tangens b tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta cotangens cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta 31. Korzystając z podanych wyżej definicji, wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych zaznaczonego kąta w następujących trójkątach prostokątnych: a tg α = b b ctg α = a A) B) C) D) α z α x 3 α 4 y 6 α

5 3. Wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kątów 30 o, 45 o i 60 o, korzystając z poniższych rysunków pomocniczych. 30 o 45 o 60 o sin cos L 30 o L 3 30 o L L 45 o L tg ctg 60 o 60 o 1 L 1 L L 45 o PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI TRYGONOMETRYCZNE: sin α + cos α = 1 (jedynka trygonometryczna) sinα = tgα cosα cosα = ctg α tg α ctgα = 1 sinα 33. Korzystając z podanych wyżej zależności trygonometrycznych, wyznacz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta 60 o, wiedząc, że cos 60 o = ½ 34. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) cos x sin x cos x = b) sin x sin x cos c) sin x ctg x = 35. Wykazać, że dla dowolnego trójkąta zachodzi: a) a = b + c bc cosα (tzw. twierdzenie cosinusów) b) GHIJ GHIK x = a b β c α (tzw. twierdzenie sinusów) 36. Na rysunku.1 przedstawiono kilka różnych wektorów. Wskaż wektory równe oraz wektory przeciwne. Rys..1

6 37. Na rysunku. przedstawiono wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. a) Jaki jest kierunek i zwrot wektora NO PPPPPQ? b) Narysuj wektor NR PPPPPQ przeciwny do wektora NO PPPPPQ. c) Skonstruuj sumę i różnicę wektorów NO PPPPPQ i NR PPPPPQ. 38. Wyznacz graficznie sumę wektorów przedstawionych na rysunkach.3a i.3b. LQ LQ B A Rys.. VQ =Q VQ UPQ UPQ =Q Rys..3a Rys..3b 39. Narysuj wektor SQ #, mając dane wektory SQ 9 i ΔSQ (rys..4), jeśli ΔSQ = SQ #?SQ 9. Rys Znajdź sumę wektorów przedstawionych na rysunku.5. Rys..5

7 41. Oblicz wartość wektora Nd PPPPPQ, jeśli wiadomo, że NO PPPPPQ = Rd PPPPPQ = 5 cm, a PPPPPQ OR = cm; wszystkie wektory leżą na jednej prostej a punkt C znajduje się w odległości 3 cm od punktu A. Rozważ dwa przypadki: a) NO PPPPPQ = PPPPPQ Rd b) NO PPPPPQ = Rd PPPPPQ 4. Mając dane wektory LQ, UPQ i =Q (rys..6), narysuj taki wektor VQ, który spełnia równanie: a) LQ?UPQ$ 9 =Q?V Q 0PQ # b) LQ$ 9 U PQ?=Q$VQ 0PQ 0Q W 43. Korzystając z twierdzenia cosinusów oraz z zależności cos(180-α) = -cosα udowodnij, że jeśli =Q LQ$UPQ, to = # L # $U # $LU cose, gdzie α to kąt między wektorami LQ i UPQ. 44. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego wektorów, udowodnij, że jeśli =Q LQ$UPQ, to = # L # $U # $LU cose, gdzie α to kąt między wektorami LQ i UPQ. Wskazówka: =Q =Q ZLQ Q$ UPQf Z LQ$ UPQf 45. Do prostokątnej ramki przyłożono w punkcie D siłę [Q o wartości F = 30 N (rys..7). Przyjmij, że długość boku AB tej ramki jest równa a = 5 cm, natomiast kąt α = 30 o. Oblicz wartość momentu tej siły (\PQ ]Q^[Q) ) względem punktów A, B, C i D. Jaki jest kierunek i zwrot wektora momentu siły w przypadkach, w których jest on różny od zera. 46. Na kulę o promieniu r = 5 cm działa tzw. para sił, czyli dwie siły [Q 9 i [Q # o jednakowych wartościach F 1 = F = 10 N (rys..8). Oblicz wartość wektora wypadkowego momentu pary sił kolejno względem punktów 0, A, B i C. Jaki jest kierunek i zwrot tego wektora w każdym ze wskazanych przypadków? 47. Na osiach trójwymiarowego układu narysowano wersory, czyli wektory jednostkowe, z których każdy ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem danej osi (rys..9). Które iloczyny wektorowe wersorów są prawdziwe? Uzasadnij odpowiedź. a) _ ^a bc b) bc^a _ c) a ^bc _ d) a ^_ bc e) _ ^bc?a f) _ ^a?bc Rys..6 Rys..7 Rys..8 Rys..9

8 48. Narysuj wektor siły [Q będący wypadkową wektorów sił [Q i [Q oraz oblicz jego wartość w przypadkach pokazanych na poniższych rysunkach, jeśli [Q =10,0 N i [Q = 5,0 N, a α = 60 o. Rys Dwa holowniki ciągną barkę tak jak pokazano na rysunku.11 F 1 = F = 60 kn. Oblicz wartość siły oporu F op, jeżeli wiadomo, że siły działające na barkę równoważą się. Rys Rozłóż wektor siły [Qprzyłożonej do sanek na składowe: poziomą i pionową wzdłuż osi y i x (rysunek.1). Oblicz wartości składowych, jeśli wiadomo, że F = 5,0 N i α = 30 o. Rys Rozłóż siłę o wartości 100 N na dwie wzajemnie prostopadłe składowe, których wartości pozostają w stosunku 3/4. Oblicz wartości składowych oraz kąty, jakie te składowe tworzą z rozkładaną siłą.

9 5. Lampa wisi na wysięgniku wykonanym z metalowych prętów AB i AC (rys..13) przymocowanych do ściany. Ciężar lampy ma wartość F = 10 N, a kąt α = 30 o. Narysuj siły składowe wektora [Q,, działające na pręty AB i AC. Oblicz wartości tych sił. 53. Klocek położono na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem α = 30 o (rys..14). Wektor [Q o wartości 10 N przedstawia ciężar klocka. a) Rozłóż wektor F na składowe wzdłuż kierunków wyznaczonych przez osie x i y. b) Oblicz wartości składowych [Q ; i [Q <. 54. Końce nylonowej liny przywiązano do haków wbitych do ścian skalnych. Na środku liny siedzi alpinista o ciężarze 900 N. Pod wpływem obciążenia lina rozciągnęła się tak, że jej części tworzą z poziomem jednakowe kąty równe α. a) Narysuj wektor siły ciężkości i wektory sił napięcia liny. b) Oblicz siłę napięcia liny, jeśli kąt α = 15 o (rys..15). Rys..13 Rys..14 Rys Na rysunku.16 przedstawiono wektor gpq. Oblicz współrzędną u x i długość u wektora oraz wartość jego składowej gpq ;. Rys Oblicz współrzędne a x, a y y, b x, b y wektorów LQ i UPQ przedstawionych na rysunku.17. Co można powiedzieć o tych wektorach? 57. Narysuj kilka wektorów o współrzędnych [-3,] w jednym układzie współrzędnych. Co można powiedzieć o tych wektorach?

10 Rys W układzie współrzędnych (rys..18) przedstawiono dwa wektory LQ i UPQ. Rys..18 a) Narysuj wektor =Q będący sumą wektorów LQ i UPQ. b) Oblicz współrzędne wektorów: LQ, UPQ i =Q. Sprawdź, czy prawdziwe są związki: c x = a x + b x c y = a y + b y c) Narysuj wektor VQ będący różnicą wektorów: LQ?UPQ d) Oblicz współrzędne wektora VQ, a następnie sprawdź czy prawdziwe są związki: d x = a x - b x d y = a y - b y e) Oblicz długości wektorów LQ, UPQ i =Q oraz kąt α, który tworzą wektory LQ i UPQ. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru c = a +b +ab cos α.

11 59. Dane są wektory LQ = [3 cm; 4 cm] i UPQ = [4 cm; - cm]. Oblicz współrzędne i wartość wektora: a) LQ+UPQ b) LQ?UPQ c) UPQ?LQ 60. Współrzędne wektora LQ są równe a x = 5 m i a y = 1 m. Oblicz wartość wektora LQ oraz kąt, jaki tworzy ten wektor z kierunkiem osi x. 61. W układzie współrzędnych (rys..19) przedstawiono wektory sił [Q 9 i [Q # o wartościach równych odpowiednio: F 1 = 00 N i F = 300 N. Rys..19 a) Znajdź wypadkową sił [Q 9 i [Q # metodą graficzną. b) Zmierz linijką długość np. wektora [Q 9 i oblicz, jakiej wartości siły odpowiada 1 cm długości wektora. Zmierz długość wektora siły wypadkowej i oszacuj jej wartość. c) Oblicz współrzędne wektorów sił: [Q 9 i [Q #. d) Oblicz współrzędne wektora siły wypadkowej dodając odpowiednie współrzędne wektorów sił [Q 9 i [Q #. Wykorzystaj je do obliczenia wartości wektora siły wypadkowej. e) Wyjaśnij, dlaczego wyniki otrzymane w punktach b) i d) mogą się różnić.

Blok I: Wyrażenia algebraiczne. dla xy = 1. (( 7) x ) 2 ( 7) 11 7 x c) x ( x 2) 4 (x 3 ) 3 dla x 0 d)

Blok I: Wyrażenia algebraiczne. dla xy = 1. (( 7) x ) 2 ( 7) 11 7 x c) x ( x 2) 4 (x 3 ) 3 dla x 0 d) Blok I: Wyrażenia algebraiczne I. Obliczyć a) 9 9 9 9 ) 7 y y dla y = z, jeśli = 0 4, y = 0 0.7 i z = y 64 7) ) 7) 7 7 I. Uprościć wyrażenia a) 48 6 4 dla 0 5) 4 dla 0 ) 4 ) dla 0 45 4 y ) dla yz 0 I.

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x

? 14. Dana jest funkcja. Naszkicuj jej wykres. Dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie? 15. Dana jest funkcja f x 2 a x FUNKCE FUNKCJA LINIOWA Sporządź tabelkę i narysuj wykres funkcji ( ) Dla jakich argumentów wartości funkcji są większe od 5 Podaj warunek równoległości prostych Wyznacz równanie prostej równoległej do

Bardziej szczegółowo

POTĘGI I PIERWIASTKI

POTĘGI I PIERWIASTKI POTĘGI I PIERWIASTKI I. ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1 Wskaż jedną poprawną odpowiedź. Połowa liczby 100 A. 50 B. 1 100 C. 10 D. 99 Zadanie Wskaż jedną poprawną odpowiedź. Po skróceniu liczba : A. B. C. D.

Bardziej szczegółowo

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6

2 5 C). Bok rombu ma długość: 8 6 Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej 6 i przyprostokątnej sinus większego z kątów ostrych ma wartość: C) Zadanie Krótsza przekątna rombu o długości tworzy z bokiem rombu kąt 60 0. Bok

Bardziej szczegółowo

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2

Ćw. nr 31. Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 1 z 6 Zespół Dydaktyki Fizyki ITiE Politechniki Koszalińskiej Ćw. nr 3 Wahadło fizyczne o regulowanej płaszczyźnie drgań - w.2 Cel ćwiczenia Pomiar okresu wahań wahadła z wykorzystaniem bramki optycznej

Bardziej szczegółowo

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań

KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów. Schemat punktowania zadań KONKURS PRZEDMIOTOWY Z FIZYKI dla uczniów gimnazjów 7 stycznia 06 r. zawody II stopnia (rejonowe) Schemat punktowania zadań Maksymalna liczba punktów 60 Uwaga!. Za poprawne rozwiązanie zadania metodą,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5.

Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3. Zadanie 4. Zadanie 5. Przykładowe zadania dla poziomu podstawowego Zadanie. ( pkt) W układzie współrzędnych zaznaczono 5 początkowych wyrazów nieskończonego ciągu a. arytmetycznego ( ) n y - a) Podaj trzeci wyraz tego ciągu.

Bardziej szczegółowo

3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Dr inż. Janusz Dębiński. Mechanika ogólna. Wykład 3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Kalisz

3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Dr inż. Janusz Dębiński. Mechanika ogólna. Wykład 3. Podstawowe wiadomości z fizyki. Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński Mechanika ogólna Wykład 3 Podstawowe wiadomości z fizyki Kalisz Dr inż. Janusz Dębiński 1 Jednostki i układy jednostek Jednostką miary wielkości fizycznej nazywamy wybraną w sposób

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH

ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH ĆWICZENIE 13 TEORIA BŁĘDÓW POMIAROWYCH Pomiary (definicja, skale pomiarowe, pomiary proste, złożone, zliczenia). Błędy ( definicja, rodzaje błędów, błąd maksymalny i przypadkowy,). Rachunek błędów Sposoby

Bardziej szczegółowo

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia

Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia Podstawy niepewności pomiarowych Ćwiczenia 1. Zaokrąglij podane wartości pomiarów i ich niepewności. = (334,567 18,067) m/s = (153 450 000 1 034 000) km = (0,0004278 0,0000556) A = (2,0555 0,2014) s =

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Krzysztof Horodecki, Artur Ludwikowski, Fizyka 1. Podręcznik dla gimnazjum, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU. Piotr Nieżurawski. Wydział Fizyki. Uniwersytet Warszawski

PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU. Piotr Nieżurawski. Wydział Fizyki. Uniwersytet Warszawski PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU Piotr Nieżurawski pniez@fuw.edu.pl Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski http://www.fuw.edu.pl/~pniez/bioinformatyka/ 1 Co to jest praca? Dla punktu

Bardziej szczegółowo

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY

30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY 30R4 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - IV POZIOM ROZSZERZONY Magnetyzm Indukcja elektromagnetyczna Prąd przemienny Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod

Bardziej szczegółowo

09P POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM PODSTAWOWY (dynamika ruchu prostoliniowego)

09P POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM PODSTAWOWY (dynamika ruchu prostoliniowego) Włodzimierz Wolczyński 09P POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM PODSTAWOWY (dynamika ruchu prostoliniowego) Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią

Bardziej szczegółowo

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe:

KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: KLASA I LO Poziom podstawowy (styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY 7. Planimetria. Uczeń: 1) rozpoznaje trójkąty podobne i wykorzystuje (także w kontekstach praktycznych)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) Analiza Matematyczna F1 dla Fizyków na WPPT Lista zadań 4, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) (Na podstawie podręcznika M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza Matematyczna 1. Przykłady i zadania, GiS 2008) 4 Pochodne

Bardziej szczegółowo

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII

POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad.1 Rozwiąż trójkąt prostokątny: a) a 4, 0 b) b 8, c 1 POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI Z TRYGONOMETRII Zad. Oblicz wartość wyrażenia cos 0 cos 45 cos0 cos 45. Zad.4 Wyznacz długości przyprostokątnych trójkąta

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM, ROK SZKOLNY 2015/2016, ETAP REJONOWY

WOJEWÓDZKI KONKURS Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM, ROK SZKOLNY 2015/2016, ETAP REJONOWY WOJEWÓDZKI KONKURS Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA wpisuje komisja konkursowa po rozkodowaniu pracy! KOD UCZNIA: ETAP II REJONOWY Informacje: 1. Czas rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Przygotowanie do poprawki klasa 1li

Przygotowanie do poprawki klasa 1li Zadanie Rozwiąż równanie x 6 5 x 4 Przygotowanie do poprawki klasa li Zadanie Rozwiąż nierówność x 4 x 5 Zadanie Oblicz: a) 9 b) 6 5 c) 64 4 d) 6 0 e) 8 f) 7 5 6 Zadanie 4 Zapisz podane liczby bez znaku

Bardziej szczegółowo

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Stereometria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna o polu równym 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

Odp.: F e /F g = 1 2,

Odp.: F e /F g = 1 2, Segment B.IX Pole elektrostatyczne Przygotował: mgr Adam Urbanowicz Zad. 1 W atomie wodoru odległość między elektronem i protonem wynosi około r = 5,3 10 11 m. Obliczyć siłę przyciągania elektrostatycznego

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNO FIZYCZNY 26 listopada 2009 r. Klasa II

KONKURS MATEMATYCZNO FIZYCZNY 26 listopada 2009 r. Klasa II ...... imię i nazwisko ucznia... szkoła KONKURS MATEMATYCZNO FIZYCZNY 26 listopada 2009 r. Klasa II... ilość punktów Drogi uczniu! Przed Tobą zestaw 14 zadań. Pierwsze 10 to zadania zamknięte. Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1a DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE: sposoby wyznaczania niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa;

Bardziej szczegółowo

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1

DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 DOKŁADNOŚĆ POMIARU DŁUGOŚCI 1 I. ZAGADNIENIA TEORETYCZNE Niepewności pomiaru standardowa niepewność wyniku pomiaru wielkości mierzonej bezpośrednio i złożona niepewność standardowa. Przedstawianie wyników

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze.

Oddziaływania. Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Siły w przyrodzie Oddziaływania Wszystkie oddziaływania są wzajemne jeżeli jedno ciało działa na drugie, to drugie ciało oddziałuje na pierwsze. Występujące w przyrodzie rodzaje oddziaływań dzielimy na:

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

09R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM ROZSZERZONY (dynamika ruchu prostoliniowego)

09R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM ROZSZERZONY (dynamika ruchu prostoliniowego) Włodzimierz Wolczyński 09R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM ROZSZERZONY (dynamika ruchu prostoliniowego) Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią

Bardziej szczegółowo

Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne.

Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne. PRACA Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne. Rozważmy sytuację, gdy w krótkim czasie działająca siła spowodowała przemieszczenie ciała o bardzo małą wielkość Δs Wtedy praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas I w roku szkolnym 016/017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Pierwiastki (w tym usuwanie niewymierności), potęgi,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TŻiUG Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut KOD UCZNIA MATEMATYKA 5 LUTY 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-33). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin..

Bardziej szczegółowo

We wszystkich zadaniach przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 2

We wszystkich zadaniach przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 2 m We wszystkich zadaniach przyjmij wartość przyspieszenia ziemskiego g = 10 2. s Zadanie 1. (1 punkt) Pasażer samochodu zmierzył za pomocą stopera w telefonie komórkowym, że mija słupki kilometrowe co

Bardziej szczegółowo

Kuratorium Oświaty w Lublinie ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 ETAP OKRĘGOWY

Kuratorium Oświaty w Lublinie ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 ETAP OKRĘGOWY Kuratorium Oświaty w Lublinie ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z FIZYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 KOD UCZNIA ETAP OKRĘGOWY Instrukcja dla ucznia 1. Arkusz zawiera 7 zadań. 2. Przed rozpoczęciem

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA OTWARTE KONKURSOWE

PRZYKŁADOWE ZADANIA OTWARTE KONKURSOWE PRZYKŁADOWE ZADANIA OTWARTE KONKURSOWE Zadanie 1 Biuro Turystyczne Raj w przypadku rezygnacji z wycieczki nie zwraca pełnej kwoty. a) Jeśli rezygnacja z wyjazdu następuje miesiąc przed terminem wyjazdu,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

Test powtórzeniowy nr 1

Test powtórzeniowy nr 1 Test powtórzeniowy nr 1 Grupa C... imię i nazwisko ucznia...... data klasa W zadaniach 1. 19. wstaw krzyżyk w kwadracik obok wybranej odpowiedzi. Informacja do zadań 1. 5. Wykres przedstawia zależność

Bardziej szczegółowo

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów.

trygonometria Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Trygonometria to dział matematyki, który bada związki między bokami i kątami trójkątów. Funkcje trygonometryczne dla kątów ostrych to stosunki długości odpowiednich dwóch boków trójkąta prostokątnego.

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy

Bardziej szczegółowo

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH

PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH PLAN REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA FIZYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WRAZ Z OKREŚLENIEM WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH Krzysztof Horodecki, Artur Ludwikowski, Fizyka 1. Podręcznik dla gimnazjum, Gdańskie Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 klasa 1 TLog Podstawowa wiedza zawiera się w pisemnych sprawdzianach które odbyły się w ciągu całego roku szkolnego. Umiejętność rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r.

Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Ostatnia aktualizacja: 30 stycznia 2015 r. Spis treści 1. Funkcja liniowa 5 2. Funkcja kwadratowa 7 3. Trygonometria 11 4. Ciagi liczbowe 13 5. Wielomiany 15 6. Funkcja wykładnicza 17 7. Funkcja wymierna

Bardziej szczegółowo

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI

KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka

Bardziej szczegółowo

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3

Skrypt 19. Trygonometria: Opracowanie L3 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 19 Trygonometria: 9. Proste

Bardziej szczegółowo

14R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM ROZSZERZONY (od początku do grawitacji)

14R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII. POZIOM ROZSZERZONY (od początku do grawitacji) Włodzimierz Wolczyński 14R POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM ROZSZERZONY (od początku do grawitacji) Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią

Bardziej szczegółowo

14R2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM ROZSZERZONY

14R2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM ROZSZERZONY 14R2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM ROZSZERZONY Ruch jednostajny po okręgu Dynamika bryły sztywnej Pole grawitacyjne Rozwiązanie zadań należy zapisać w wyznaczonych

Bardziej szczegółowo

Elektrostatyka, część pierwsza

Elektrostatyka, część pierwsza Elektrostatyka, część pierwsza ZADANIA DO PRZEROBIENIA NA LEKJI 1. Dwie kulki naładowano ładunkiem q 1 = 1 i q 2 = 3 i umieszczono w odległości r = 1m od siebie. Oblicz siłę ich wzajemnego oddziaływania.

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych

TRYGONOMETRIA. 1. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych TRYGONOMETRIA. Definicje i własności funkcji trygonometrycznych Funkcje trygonometryczne kąta ostrego można zdefiniować przy użyciu trójkąta prostokątnego: c a α b DEFINICJA. Sinusem kąta ostrego α w trójkącie

Bardziej szczegółowo

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania fizyka, wzory fizyka, matura fizyka

pobrano z serwisu Fizyka Dla Każdego - http://fizyka.dk - zadania fizyka, wzory fizyka, matura fizyka 7. Pole magnetyczne zadania z arkusza I 7.8 7.1 7.9 7.2 7.3 7.10 7.11 7.4 7.12 7.5 7.13 7.6 7.7 7. Pole magnetyczne - 1 - 7.14 7.25 7.15 7.26 7.16 7.17 7.18 7.19 7.20 7.21 7.27 Kwadratową ramkę (rys.)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH OCEN Z MATEMATYKI W KLASIE VI OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie spełnia poniższych wymagań edukacyjnych

Bardziej szczegółowo

Test powtórzeniowy nr 1

Test powtórzeniowy nr 1 Test powtórzeniowy nr 1 Grupa B... imię i nazwisko ucznia...... data klasa W zadaniach 1. 19. wstaw krzyżyk w kwadracik obok wybranej odpowiedzi. Informacja do zadań 1. 5. Wykres przedstawia zależność

Bardziej szczegółowo

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klasy Ich w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 "EKONOMIK" w Zielonej Górze

Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klasy Ich w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 EKONOMIK w Zielonej Górze Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klasy Ich w roku szkolnym 2018/2019 w CKZiU nr 3 "EKONOMIK" w Zielonej Górze I. Pierwiastki (w tym usuwanie niewymierności), potęgi, działania

Bardziej szczegółowo

WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY

WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY Pieczątka szkoły Kod ucznia Liczba punktów WOJEWÓDZKI KONKURS FIZYCZNY DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW W ROKU SZKOLNYM 2018/2019 31.10.2018 r. 1. Test konkursowy zawiera 18 zadań. Są to zadania zamknięte

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

www.if.pw.edu.pl/~antonowi Fizyka. Repetytorium. Wzory i Prawa z Objaśnieniami Kazimierz Sierański, Piotr Sitarek, Krzysztof Jezierski Fizyka. Repetytorium. Zadania z Rozwiązaniami Krzysztof Jezierski,

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut

Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut MATEMATYKA klasa pierwsza (pp) CZERWIEC 015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron (zadania 1-). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO

PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz ćwiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj w miejscu

Bardziej szczegółowo

Zadania z fizyki. Promień rażenia ładunku wybuchowego wynosi 100 m. Pewien saper pokonuje taką odległość z. cm. s

Zadania z fizyki. Promień rażenia ładunku wybuchowego wynosi 100 m. Pewien saper pokonuje taką odległość z. cm. s c) 6(3x - 2) + 5(1-3x) = 7(x + 2) 3(1-2x) d) - 4)(5x + 3) + (4x - 3)(6x + 3) = (6x - 6)(8x + 3) + (9x 2-10) Zadanie 1. Zadania z fizyki Działająca na motocykl siła, której źródłem jest jego silnik, ma

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 45 punktów.

Za rozwiązanie wszystkich zadań można otrzymać łącznie 45 punktów. Centralna Komisja Egzaminacyjna. MATERIAŁY ĆWICZENIOWE Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut Materiały ćwiczeniowe z matematyki Poziom podstawowy Czas pracy: 70 minut Instrukcja dla zdającego:.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY UZUPEŁNIA ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z NOWINAMI POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50 Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki

zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki zestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki poziom podstawowy rozumowanie i argumentacja karty pracy ZESTAW II Zadanie. Wiadomo, że,7 jest przybliżeniem liczby 0,5 z zaokrągleniem do miejsc po przecinku. Wyznacz przybliżenie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Część teoretyczna

Rozwiązanie: Część teoretyczna Zgodnie z prawem Hooke a idealnie sprężysty pręt o długości L i polu przekroju poprzecznego S pod wpływem przyłożonej wzdłuż jego osi siły F zmienia swoją długość o L = L F/(S E), gdzie współczynnik E

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 2013/2014 ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IIA I IID WRAZ Z PRZYKŁADOWYMI ZADANIAMI ROK SZKOLNY 013/014 WIELOMIANY Tematyka: Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej Dodawanie, odejmowanie

Bardziej szczegółowo

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2.

1. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC = 2. Funkcje trygonometryczne. Wyznacz długości boków trójkąta prostokątnego ABC oraz wartości funkcji trygonometrycznych kąta CABmającdane sin (CAB) = 4 5i BC =..Rozwiążtrójkątprostokatnymającdaneprzyprostokątne

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy

STEREOMETRIA. Poziom podstawowy STEREOMETRIA Poziom podstawowy Zadanie ( 8 pkt ) W stożku tworząca o długości jest nachylona do powierzchni podstawy pod kątem, którego tangens jest równy Oblicz stosunek pola powierzchni bocznej do pola

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

25 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM PODSTAWOWY. (od początku do prądu elektrycznego) Zadania zamknięte

25 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM PODSTAWOWY. (od początku do prądu elektrycznego) Zadania zamknięte Włodzimierz Wolczyński 25 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNY Z FIZYKI I ASTRONOMII POZIOM PODSTAWOWY (od początku do prądu elektrycznego) Zadania zamknięte Zadanie 1 5 4 a[m/s 2 ] Wykres przedstawia zależność

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika załamania światła

Wyznaczanie współczynnika załamania światła Ćwiczenie O2 Wyznaczanie współczynnika załamania światła O2.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie współczynnika załamania światła dla przeźroczystych, płaskorównoległych płytek wykonanych z

Bardziej szczegółowo

ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2017/2018 ETAP TRZECI

ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2017/2018 ETAP TRZECI Kuratorium Oświaty w Lublinie.. Imię i nazwisko ucznia Pełna nazwa szkoły ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2017/2018 Instrukcja dla ucznia ETAP TRZECI 1. Zestaw

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej zasadniczej szkoły zawodowej Temat ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca Dział I. TRYGONOMETRIA (15 h )

Bardziej szczegółowo

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1

Graficzne opracowanie wyników pomiarów 1 GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości

Bardziej szczegółowo

Świat fizyki Gimnazjum Rozkład materiału - WYMAGANIA KLASA I

Świat fizyki Gimnazjum Rozkład materiału - WYMAGANIA KLASA I Świat fizyki Gimnazjum Rozkład materiału - WYMAGANIA KLASA I Lp. 1. Lekcja wstępna Temat lekcji Wymagania konieczne i podstawowe Uczeń: Wymagania rozszerzone i dopełniające Uczeń: Wymagania z podstawy/

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2015 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

Fizyka (Biotechnologia)

Fizyka (Biotechnologia) Fizyka (Biotechnologia) Wykład I Marek Kasprowicz dr Marek Jan Kasprowicz pokój 309 marek.kasprowicz@ur.krakow.pl www.ar.krakow.pl/~mkasprowicz Marek Jan Kasprowicz Fizyka 013 r. Literatura D. Halliday,

Bardziej szczegółowo

Kuratorium Oświaty we Wrocławiu... Dolnośląski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli we Wrocławiu KLUCZ ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ MATEMATYKA

Kuratorium Oświaty we Wrocławiu... Dolnośląski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli we Wrocławiu KLUCZ ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZADAŃ MATEMATYKA XIX Dolnośląski Konkurs zdolny Ślązak Gimnazjalista Blok matematyczno-fizyczny ETAP POWIATOWY 5 listopada 08 r. Kuratorium Oświaty we Wrocławiu... Dolnośląski Ośrodek Doskonalenia Nauczycieli we Wrocławiu

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE Program nauczania: Fizyka z plusem, numer dopuszczenia: DKW 4014-58/01 Plan realizacji materiału nauczania fizyki w klasie I wraz z określeniem wymagań edukacyjnych DZIAŁ PRO- GRA- MOWY Pomiary i Siły

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

Grawitacja - powtórka

Grawitacja - powtórka Grawitacja - powtórka 1. Oceń prawdziwość każdego zdania. Zaznacz, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub, jeśli jest A. Jednorodne pole grawitacyjne istniejące w obszarze sali lekcyjnej jest wycinkiem centralnego

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 51: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 51: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 5: Współczynnik załamania światła dla ciał stałych Cel ćwiczenia: Wyznaczenie współczynnika załamania światła dla szkła i pleksiglasu metodą pomiaru grubości

Bardziej szczegółowo

Test powtórzeniowy nr 1

Test powtórzeniowy nr 1 Test powtórzeniowy nr 1 Grupa A... imię i nazwisko ucznia...... data klasa W zadaniach 1. 19. wstaw krzyżyk w kwadracik obok wybranej odpowiedzi. Informacja do zadań 1. 5. Na wykresie przedstawiono zależność

Bardziej szczegółowo

Zadania egzaminacyjne z fizyki.

Zadania egzaminacyjne z fizyki. Zadania egzaminacyjne z fizyki. Zad1 Gdy Ala z I a zapyta Cię: Skąd się wzięła ta piękna tęcza na niebie?, odpowiesz: A. to odbicie światła słonecznego od powierzchni kropli deszczu B. to rozszczepienie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi i kryteria punktowania zadań

Klucz odpowiedzi i kryteria punktowania zadań prowadzonych w szkołach innego typu województwa świętokrzyskiego w roku szkolnym 207/208 XVI WOJEWÓDZKI KONKURS Z FIZYKI DLA UCZNIÓW DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW ORAZ KLAS DOTYCHCZASOWYCH GIMNAZJÓW PROWADZONYCH

Bardziej szczegółowo