wartość dokładna wartość przybliżona wartość dokładna

Transkrypt

1 I. Pomiary w fizyce. 1. Z ilu mikrometrów składa się 1 kilometr? Jaką częścią centymetra jest 1 μm?. Jezioro Śniardwy ma powierzchnię 113,8 km. Podać wynik w metrach kwadratowych. 3. Ile nanosekund ma jedna gigasekunda? 4. Podaj poniższe wartości z odpowiednimi przedrostkami krotności, tak aby wartość liczbowa była zawarta między 1 a 1000: a) 8, m b), kg c) 4, s d) 3, m e) 1, m 5. Wykonaj dodawanie: 74 mm + 0,718 m + 69,3 cm + 7,3 dm 6. Autobus ma masę 10,5 ton, czyli 10,5 Mg. Na autobusie siadł mały ptaszek o masie 3 g. Oblicz masę całkowitą tak utworzonego układu ciał. Omów sens fizyczny takiego dodawania. 7. Jakie pole powierzchni zajmuje rozlana na powierzchni wody kropla ropy naftowej o objętości 0,1 cm 3, jeżeli grubość warstwy ropy wynosi 0, μm? Oblicz, Ile warstw cząsteczek ropy znajduje się w plamie ropy, jeśli średnica 1 cząsteczki wynosi 10 angstremów (1 Å = 0,1 nm). 8. Beczka jest jednostką objętości, stosowaną w Szkocji do pomiaru ilości świeżo złowionych śledzi: 1 beczka = 170,474 litrów ryb, co daje około 750 śledzi. Wyobraźmy sobie, że transport 155 beczek śledzi ma być dostarczony do Arabii Saudyjskiej, gdzie jednostką długości jest 1 covido = 48,6 cm, a więc w deklaracji celnej należy podać wielkość ładunku w covido sześciennych. Jaką liczbę należy wpisać w deklaracji celnej? 9. Ziemia jest w przybliżeniu kulą o promieniu 6, m. Ile wynosi: a) obwód Ziemi w kilometrach b) pole powierzchni Ziemi w kilometrach kwadratowych, c) objętość Ziemi wyrażona w kilometrach sześciennych? 10. Antarktyda ma kształt zbliżony do półkola 000 km o promieniu 000 km (rysunek obok). Średnia grubość jej 3000m pokrywy lodowej wynosi 3000 m. Ile centymetrów sześciennych lodu zawiera Antarktyda (pomiń krzywiznę Rys.1.1 Ziemi)? 11. Fizyk Enrico Fermi zauważył kiedyś, że czas standardowego wykładu (50 min) to mniej więcej jedno mikrostulecie. a) Ile minut ma mikrostulecie? b) wyznacz błąd procentowy przybliżenia Fermiego. Skorzystaj z faktu, że błąd procentowy to wartość dokładna wartość przybliżona wartość dokładna 100% 1. Podaj wartość prędkości światła w próżni ( m/s) w milimetrach na pikosekundę. 13. Jednostka astronomiczna (AU) jest to średnia odległość Ziemi od Słońca, równa w przybliżeniu 1, km. Wiedząc, że prędkość światła w próżni wynosi m/s, wyraź tę wartość w jednostkach astronomicznych na minutę. 14. Rok świetlny to odległość, którą światło przebywa w próżni w ciągu 1 roku. Ile wynosi rząd tej odległości wyrażonej w metrach? Przyjmij, że szybkość światła w próżni jest rzędu 10 8 m/s. 15. Wzorcami czasu są obecnie zegary atomowe. Rozważa się również zastosowanie do tego celu pulsarów, czyli obracających się gwiazd neutronowych (gwiazd o bardzo dużej gęstości, składających się z samych neutronów). Szybkość obrotu niektórych z nich jest bardzo stabilna. Wysyłają one sygnały radiowe w kierunku Ziemi raz na okres obrotu, podobnie jak latarnie morskie wysyłają impulsy światła. Na przykład okres obrotu pulsara PSR wynosi 1, ±3 ms, gdzie zapis ±3 w tym wypadku oznacza niepewność

2 ostatniej cyfry dziesiętnej (a nie ± 3 ms). a) Ile obrotów wykonuje pulsar PSR w czasie 7 dni? Wynik podaj z dokładnością do trzech cyfr znaczących. b) W ciągu jakiego czasu pulsar ten wykonuje 10 6 obrotów? c) Z jaką dokładnością możemy określić ten czas? 16. Trzy zegary cyfrowe chodzą z różną szybkością i nie wskazują zgodnie zera. Na rysunku 1. przedstawiono wyniki równoczesnych odczytów par tych zegarów na przykład w pewnej chwili odczytano 5,5 s na zegarze B i 9 s na zegarze C. Jeśli odstęp czasu dwóch zdarzeń wynosi 600 s według zegara A, to ile wynosi on według: a) zegara B, b) zegara C. c) Jakie jest wskazanie zegara B, gdy zegar A wskazuje 400 s? Rys Masa Ziemi wynosi 5, kg. Średnia masa atomów, z których składa się Ziemia jest równa 40 u. Z ilu atomów składa się Ziemia? 18. Centymetr sześcienny żelaza ma masę 7,87 g, a masa atomu żelaza wynosi 9, kg. Przyjmując, że atomy żelaza mają kształt kuli i są ciasno upakowane w objętości metalu oblicz: a) objętość atomu żelaza (w m 3 ) b) odległość środków sąsiednich atomów (w Å). 19. Przepisz każdy z następujących wyników pomiarów w ich najbardziej właściwej formie: a) v = (8,13456 ± 0,031) m/s d) R = (1843,8 ± 8,) Ω b) x = (3, ± ) m e) C = (453 ± 5) nf c) m = (5, ± ) kg f) I = (154,5 ± 0,67) ma 0. Zamień błędy poniższych pomiarów prędkości dwóch wózków na torze na błędy względne i błędy procentowe: a) v = (55 ± ) cm/s, b) u = (-0 ± ) cm/s. c) Energia kinetyczna została wyznaczona jako E = 4,58 J ± %; przepisz to stwierdzenie, używając niepewności bezwzględnej. 1. Linijka ma działki co 1 mm, mikroskop z ruchomym stolikiem zaś co 0,1 mm. Przypuśćmy, że chcesz zmierzyć długość cm z dokładnością 1%. Czy możesz to zrobić używając linijki? Czy jest to możliwe za pomocą mikroskopu?. Odczytaj wskazania poniższych przyrządów pomiarowych. Wynik podaj wraz z niepewnością bezwzględną pomiaru (klasa miernika podana jest na skali). 90 A (s) B (s) C (s) a) b) Rys. 1.3a Rys. 1.3b

3 3. Uczeń dokonał pomiaru czasu przejazdu wózka na tym samym torze 10-krotnie i otrzymał następujące wyniki:, 1, 4, 5,, 1,, 3, 4, (w sekundach). Oblicz średni czas przejazdu wózka, odchylenie standardowe oraz odchylenie standardowe średniej. Podaj wartość najlepszego przybliżenia czasu przejazdu wózka i jego niepewność, przy założeniu, że wszystkie niepewności mają charakter przypadkowy. 4. Dokonano pięciokrotnego pomiaru przyspieszenia ziemskiego g i otrzymano następujące wyniki (wszystkie w m/s ): 10,0; 9,6; 9,5; 9,7; 9,8. Jakie powinno być najlepsze przybliżenie g i jego niepewność, określone na podstawie przeprowadzonych pomiarów? Jak dobrze wynik pomiarów zgadza się z akceptowaną wartością 9,81 m/s? 5. Mierzono czas spadania drewnianej kulki z wysokości 100 m. Otrzymano następujące wyniki (w sekundach): 4,5; 4,6; 4,6; 4,7; 4,5; 4,3. Eksperymentator ocenił niepewność systematyczną związaną z wyborem chwili włączenia i wyłączenia sekundomierza na 0, s. Obliczyć całkowitą niepewność pomiaru. Jaki rodzaj błędu ma w tym wypadku decydujący wpływ na niepewność całkowitą pomiaru? 6. W eksperymencie mającym na celu wyznaczenie ciepła topnienia lodu uczeń wkłada kawałek lodu do styropianowego kubka z wodą i obserwuje zmianę temperatury w trakcie topnienia lodu. Aby wyznaczyć masę dodanego lodu waży kubek z wodą przed doświadczeniem, a następnie po dodaniu lodu i znajduje ich różnicę. Znajdź wyznaczoną przez ucznia masę lodu, wraz z jej niepewnością. Wyniki pomiarów ucznia to: (masa kubka z wodą) = m 1 = (03 ± ) g (masa kubka z wodą i lodem) = m = (56 ± 3) g 7. Aby znaleźć powierzchnię prostokątnej płytki, uczeń mierzy długość jej boków, znajdując A = (9,1 ± 0,1) cm i B = (3,3 ± 0,1) cm. Znajdź obliczoną przez ucznia powierzchnię z jej niepewnością. 8. Dane są wartości pewnych wielkości fizycznych: a = 7, ± 0,1 b = 5,1 ± 0,1 c = 8, ± 0, Wyznaczyć wartości wielkości X i Y oraz ich niepewności procentowe, korzystając z uproszczonej metody logarytmicznej. a) X = b) Y = 9. Przeprowadzono doświadczenie, w którym zbadano charakterystykę prądowo-napieciową żarówki. Dane zebrano w tabeli: U [V] ΔU [V] I [ma] ΔI [ma] , a) Narysuj wykres zmian natężenia w funkcji napięcia I(U), zaznaczając na nim niepewności pomiarowe. Dopasuj graficznie prostą do punktów pomiarowych. *b) Oblicz opór żarówki oraz jego niepewność pomiarową, korzystając z informacji zawartych w podręczniku (dodatek A.5)

4 II. Elementy matematyki w fizyce. 30. Wyznaczyć szukaną wielkość z podanych niżej wzorów: a) v ze wzoru x = x 0 + vt e) v ze wzoru!" # $%&' b) l ze wzoru ( *+, - c) x ze wzoru 9 : d) r ze wzoru. A 0B 9 ; $9 < f) C ze wzoru. g) λ ze wzoru!" # FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE W TRÓJKĄCIE PROSTOKĄTNYM / '=1 9 >? 9 8 h) T ze wzoru % 9 = 9 C(?( 9 D$% 9 E % # = # C( #?(D a c α Funkcja Definicja Rysunek sinus sinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi a długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości sin α = c przeciwprostokątnej cosinus cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi b długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta do długości cos α = c przeciwprostokątnej tangens b tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta cotangens cotangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym równy jest stosunkowi długości przyprostokątnej będącej ramieniem tego kąta do długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta 31. Korzystając z podanych wyżej definicji, wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych zaznaczonego kąta w następujących trójkątach prostokątnych: a tg α = b b ctg α = a A) B) C) D) α z α x 3 α 4 y 6 α

5 3. Wyznacz wartości wszystkich funkcji trygonometrycznych dla kątów 30 o, 45 o i 60 o, korzystając z poniższych rysunków pomocniczych. 30 o 45 o 60 o sin cos L 30 o L 3 30 o L L 45 o L tg ctg 60 o 60 o 1 L 1 L L 45 o PODSTAWOWE ZALEŻNOŚCI TRYGONOMETRYCZNE: sin α + cos α = 1 (jedynka trygonometryczna) sinα = tgα cosα cosα = ctg α tg α ctgα = 1 sinα 33. Korzystając z podanych wyżej zależności trygonometrycznych, wyznacz wartość pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta 60 o, wiedząc, że cos 60 o = ½ 34. Doprowadź wyrażenie do najprostszej postaci: a) cos x sin x cos x = b) sin x sin x cos c) sin x ctg x = 35. Wykazać, że dla dowolnego trójkąta zachodzi: a) a = b + c bc cosα (tzw. twierdzenie cosinusów) b) GHIJ GHIK x = a b β c α (tzw. twierdzenie sinusów) 36. Na rysunku.1 przedstawiono kilka różnych wektorów. Wskaż wektory równe oraz wektory przeciwne. Rys..1

6 37. Na rysunku. przedstawiono wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B. a) Jaki jest kierunek i zwrot wektora NO PPPPPQ? b) Narysuj wektor NR PPPPPQ przeciwny do wektora NO PPPPPQ. c) Skonstruuj sumę i różnicę wektorów NO PPPPPQ i NR PPPPPQ. 38. Wyznacz graficznie sumę wektorów przedstawionych na rysunkach.3a i.3b. LQ LQ B A Rys.. VQ =Q VQ UPQ UPQ =Q Rys..3a Rys..3b 39. Narysuj wektor SQ #, mając dane wektory SQ 9 i ΔSQ (rys..4), jeśli ΔSQ = SQ #?SQ 9. Rys Znajdź sumę wektorów przedstawionych na rysunku.5. Rys..5

7 41. Oblicz wartość wektora Nd PPPPPQ, jeśli wiadomo, że NO PPPPPQ = Rd PPPPPQ = 5 cm, a PPPPPQ OR = cm; wszystkie wektory leżą na jednej prostej a punkt C znajduje się w odległości 3 cm od punktu A. Rozważ dwa przypadki: a) NO PPPPPQ = PPPPPQ Rd b) NO PPPPPQ = Rd PPPPPQ 4. Mając dane wektory LQ, UPQ i =Q (rys..6), narysuj taki wektor VQ, który spełnia równanie: a) LQ?UPQ$ 9 =Q?V Q 0PQ # b) LQ$ 9 U PQ?=Q$VQ 0PQ 0Q W 43. Korzystając z twierdzenia cosinusów oraz z zależności cos(180-α) = -cosα udowodnij, że jeśli =Q LQ$UPQ, to = # L # $U # $LU cose, gdzie α to kąt między wektorami LQ i UPQ. 44. Korzystając z definicji iloczynu skalarnego wektorów, udowodnij, że jeśli =Q LQ$UPQ, to = # L # $U # $LU cose, gdzie α to kąt między wektorami LQ i UPQ. Wskazówka: =Q =Q ZLQ Q$ UPQf Z LQ$ UPQf 45. Do prostokątnej ramki przyłożono w punkcie D siłę [Q o wartości F = 30 N (rys..7). Przyjmij, że długość boku AB tej ramki jest równa a = 5 cm, natomiast kąt α = 30 o. Oblicz wartość momentu tej siły (\PQ ]Q^[Q) ) względem punktów A, B, C i D. Jaki jest kierunek i zwrot wektora momentu siły w przypadkach, w których jest on różny od zera. 46. Na kulę o promieniu r = 5 cm działa tzw. para sił, czyli dwie siły [Q 9 i [Q # o jednakowych wartościach F 1 = F = 10 N (rys..8). Oblicz wartość wektora wypadkowego momentu pary sił kolejno względem punktów 0, A, B i C. Jaki jest kierunek i zwrot tego wektora w każdym ze wskazanych przypadków? 47. Na osiach trójwymiarowego układu narysowano wersory, czyli wektory jednostkowe, z których każdy ma kierunek i zwrot zgodny z kierunkiem i zwrotem danej osi (rys..9). Które iloczyny wektorowe wersorów są prawdziwe? Uzasadnij odpowiedź. a) _ â bc b) bcâ _ c) a ^bc _ d) a ^_ bc e) _ ^bc?a f) _ â?bc Rys..6 Rys..7 Rys..8 Rys..9

8 48. Narysuj wektor siły [Q będący wypadkową wektorów sił [Q i [Q oraz oblicz jego wartość w przypadkach pokazanych na poniższych rysunkach, jeśli [Q =10,0 N i [Q = 5,0 N, a α = 60 o. Rys Dwa holowniki ciągną barkę tak jak pokazano na rysunku.11 F 1 = F = 60 kn. Oblicz wartość siły oporu F op, jeżeli wiadomo, że siły działające na barkę równoważą się. Rys Rozłóż wektor siły [Qprzyłożonej do sanek na składowe: poziomą i pionową wzdłuż osi y i x (rysunek.1). Oblicz wartości składowych, jeśli wiadomo, że F = 5,0 N i α = 30 o. Rys Rozłóż siłę o wartości 100 N na dwie wzajemnie prostopadłe składowe, których wartości pozostają w stosunku 3/4. Oblicz wartości składowych oraz kąty, jakie te składowe tworzą z rozkładaną siłą.

9 5. Lampa wisi na wysięgniku wykonanym z metalowych prętów AB i AC (rys..13) przymocowanych do ściany. Ciężar lampy ma wartość F = 10 N, a kąt α = 30 o. Narysuj siły składowe wektora [Q,, działające na pręty AB i AC. Oblicz wartości tych sił. 53. Klocek położono na równi pochyłej nachylonej do poziomu pod kątem α = 30 o (rys..14). Wektor [Q o wartości 10 N przedstawia ciężar klocka. a) Rozłóż wektor F na składowe wzdłuż kierunków wyznaczonych przez osie x i y. b) Oblicz wartości składowych [Q ; i [Q <. 54. Końce nylonowej liny przywiązano do haków wbitych do ścian skalnych. Na środku liny siedzi alpinista o ciężarze 900 N. Pod wpływem obciążenia lina rozciągnęła się tak, że jej części tworzą z poziomem jednakowe kąty równe α. a) Narysuj wektor siły ciężkości i wektory sił napięcia liny. b) Oblicz siłę napięcia liny, jeśli kąt α = 15 o (rys..15). Rys..13 Rys..14 Rys Na rysunku.16 przedstawiono wektor gpq. Oblicz współrzędną u x i długość u wektora oraz wartość jego składowej gpq ;. Rys Oblicz współrzędne a x, a y y, b x, b y wektorów LQ i UPQ przedstawionych na rysunku.17. Co można powiedzieć o tych wektorach? 57. Narysuj kilka wektorów o współrzędnych [-3,] w jednym układzie współrzędnych. Co można powiedzieć o tych wektorach?

10 Rys W układzie współrzędnych (rys..18) przedstawiono dwa wektory LQ i UPQ. Rys..18 a) Narysuj wektor =Q będący sumą wektorów LQ i UPQ. b) Oblicz współrzędne wektorów: LQ, UPQ i =Q. Sprawdź, czy prawdziwe są związki: c x = a x + b x c y = a y + b y c) Narysuj wektor VQ będący różnicą wektorów: LQ?UPQ d) Oblicz współrzędne wektora VQ, a następnie sprawdź czy prawdziwe są związki: d x = a x - b x d y = a y - b y e) Oblicz długości wektorów LQ, UPQ i =Q oraz kąt α, który tworzą wektory LQ i UPQ. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru c = a +b +ab cos α.

11 59. Dane są wektory LQ = [3 cm; 4 cm] i UPQ = [4 cm; - cm]. Oblicz współrzędne i wartość wektora: a) LQ+UPQ b) LQ?UPQ c) UPQ?LQ 60. Współrzędne wektora LQ są równe a x = 5 m i a y = 1 m. Oblicz wartość wektora LQ oraz kąt, jaki tworzy ten wektor z kierunkiem osi x. 61. W układzie współrzędnych (rys..19) przedstawiono wektory sił [Q 9 i [Q # o wartościach równych odpowiednio: F 1 = 00 N i F = 300 N. Rys..19 a) Znajdź wypadkową sił [Q 9 i [Q # metodą graficzną. b) Zmierz linijką długość np. wektora [Q 9 i oblicz, jakiej wartości siły odpowiada 1 cm długości wektora. Zmierz długość wektora siły wypadkowej i oszacuj jej wartość. c) Oblicz współrzędne wektorów sił: [Q 9 i [Q #. d) Oblicz współrzędne wektora siły wypadkowej dodając odpowiednie współrzędne wektorów sił [Q 9 i [Q #. Wykorzystaj je do obliczenia wartości wektora siły wypadkowej. e) Wyjaśnij, dlaczego wyniki otrzymane w punktach b) i d) mogą się różnić.