AUTOR: MIROSŁAW MAJEWSKI PERŁY Z DAMASZKU

Transkrypt

1 AUTOR: MIROSŁAW MAJEWSKI PERŁY Z DAMASZKU SZKIC 6, CZ. 3 W ostatniej części szkicu 6 zajmiemy się wzorami geometrycznymi z ambony w Meczecie Umajjadów. W każdym meczecie mamy kilka ważnych miejsc. Są nimi mihrab, czyli wnęka wskazująca kierunek modlitwy wiernych, ambona najczęściej określana jako minbar lub minber, wreszcie często możemy znaleźć tzw. pulpit, który jest pewnego rodzaju podwyższeniem, z którego czytany jest Koran. W Meczecie Umajjadów ambona ma bardzo interesujące wzory i jest wyjątkowo dekoracyjna. O czym się za chwilę przekonamy. N - 4 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

2 Ryc AMBONA W MECZECIE UMAJJADÓW WZÓR Z DRZWI Ryc Pokazany tu wzór na drzwiach może być traktowany jako jeden większy wzór, przecięty w połowie i rozdzielony na dwie symetryczne połówki. Jest to jeden z najpopularniejszych wzorów w sztuce Islamu. Znajdziemy go w kilku miejscach w Meczecie Umajjadów, a także w Damaszku w meczecie Darwish Pasha, w Kairze w meczecie al-rifa, w Turcji w meczecie Eski w Edyrne oraz w wielu innych budowlach w Egipcie, Turcji i Azji Środkowej. Dzięki bardzo klarownej strukturze jest on szczególnie często wykonany z kawałków szlachetnego drewna i masy perłowej, tak jak tu. Zauważmy przy okazji, że podobne, ale nie identyczne kształty poszczególnych elementów są również typowe dla wzorów z lokalnymi symetriami dziesięciokąta. 5

3 Ryc Ryc Ryc PODZIAŁ KONTURU C(4/6) Tym razem mamy ciągle ten sam kontur co w paru przypadkach poprzednio. Dzielimy dwa przeciwległe kąty na sześć równych części. Następnie przez środek prostokąta prowadzimy odcinek prostopadły do przekątnej prostokąta. Zauważmy, że przy takim podziale kątów powstają dwa latawce zaznaczone na rysunku żółtawym kolorem. Szersza część takiego latawca może posłużyć do tego, aby wydzielić z niej pięciokąt w miarę regularny. Nie będzie to pięciokąt regularny, gdyż jego kąty na to nie pozwalają. Będzie to jednak pięciokąt na tyle odpowiedni, że pozwoli nam wpisać w niego gwiazdę lub coś podobnego. Jak wydzielić taki pięciokąt, pokazuję na kolejnej rycinie. KONSTRUKCJA PIĘCIOKĄTA Zauważmy, że pięciokąt będzie zbliżony do regularnego, jeśli będzie można wpisać w niego okrąg styczny do każdej z krawędzi tego pięciokąta. W tym celu dzielimy na połowy kąt, którego wierzchołek jest zaznaczony jako czerwony punkt. Otrzymujemy półprostą wychodzącą z tego wierzchołka i przecinającą się z drugą (licząc od dołu) sieczną dolnego kąta. Otrzymujemy punkt zaznaczony na czarno. Teraz wystarczy z tego punktu poprowadzić prostą prostopadłą do jednej z krawędzi latawca i znaleźć punkt przecięcia tej prostopadłej z krawędzią, aby otrzymać kolejny punkt. Tym razem jest to punkt na szukanym okręgu. To wystarcza do tego, aby wpisać poszukiwany okrąg. Tego rodzaju konstrukcja jest bardzo użyteczna w projektowaniu wzorów geometrycznych. Na ogół stosuje się ją wtedy, gdy chcemy otrzymać figury zbliżone do prawidłowych. Tu taką figurą jest pięciokąt, widoczny już dobrze na kolejnej rycinie. TESELACJA Narysowanie pięciokąta wystarcza do tego, aby stworzyć pozostałe figury teselacji. Tu warto zauważyć, że nie jest to jedyna teselacja możliwa do utworzenia w oparciu o siatkę siecznych pokazanych na rycinie. Ta, którą tu mamy, jest stosunkowo prosta i ma figury wygodne do utworzenia wzoru. Mamy tu dwa kompletne trapezy, dwie połówki trapezów, pięciokąty oraz ćwiartki dwóch leżących naprzeciw siebie dwunastokątów foremnych. Każda z tych figur ma co najmniej jedną oś symetrii. Sieczne kątów są liniami symetrii figur teselacji. 6 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

4 Ryc Ryc KONSTRUKCJA POZOSTAŁYCH ELEMENTÓW WZORU Konstrukcja pozostałych elementów wzoru jest niemalże automatyczna. Wzór z trapezu wystarczy skopiować do pozostałych figur, oprócz dwunastokąta. W pięciokątach po skopiowaniu wzoru z trapezu krawędzie strzałki przedłużamy aż do krawędzi pięciokąta. Wzór w dwunastokącie jest przedłużeniem krawędzi wzoru z trapezu. Ta część konstrukcji występowała dotychczas wielokrotnie. Teraz należy skopiować na kalce technicznej lub na komputerze, tylko te części tego rysunku, które będą tworzyły szablon, a następnie wykonać odpowiednią liczbę kopii tego szablonu, aby otrzymać wzór z drzwi ambony. Pomalowanie lub inne udekorowanie wzoru pozostawiam do decyzji czytelnika. KONSTRUKCJA WZORU W TRAPEZIE Konstrukcja wzoru w trapezie jest jedyną rzeczą, która wymaga naszych decyzji. Pozostałe części wzoru tworzą się automatycznie. Na początek rysujemy dwa odcinki. To będą odpowiedniki pierwszej linii. Jeden z tych odcinków to niebieska pozioma kreska przechodząca przez środek dłuższej podstawy trapezu. Drugi odcinek, analogiczny do pierwszego, jest przekątną prostokąta (niebieski). Teraz łączymy odcinkiem punkty przecięcia się pierwszych linii z bokami trapezu. Wreszcie znajdujemy środek jednej z siecznych kąta prostego (czerwony punkt) i prowadzimy prostą przechodzącą przez ten punkt i środek krótszej podstawy trapezu. Tak zbudowana siatka wewnątrz trapezu wystarcza do narysowania kształtu określanego w Azji Środkowej jako liść platanu. WZÓR Z DRZWI AMBONY Ryc Tak może wyglądać większy kawałek wzoru, który konstruowaliśmy w tym projekcie. Proponuję, aby czytelnik porównał pokazany tu wzór z oryginalnym wzorem i zastanowił się, jak można go inaczej zinterpretować. 7

5 Ryc A Ryc WZÓR Z KOLUMNY Na jednej z kolumn w Meczecie Umajjadów znajduje się wzór pokazany na załączonym tu zdjęciu. Proponuję, aby czytelnik zrekonstruował ten wzór samodzielnie. Dla ułatwienia załączam rysunek pokazujący, jak konstruujemy teselację i sam wzór. Zauważmy, że jest to wzór bardzo podobny do tego z poprzedniego projektu. Tu również musimy konstruować pięciokąt zbliżony do prawidłowego. Tym razem jest to jednak znacznie łatwiejsze. - - Ryc AMBONA W MECZECIE UMAJJADÓW Boczna ściana ambony w Meczecie Umajjadów pokryta jest ciekawym ornamentem roślinnym oraz ornamentem geometrycznym. Ten ostatni pokazany jest w dwóch postaciach. Jedną z nich jest długi pas wzdłuż poręczy. Drugą natomiast jest kwadratowy lub bardziej prawdopodobnie prostokątny panel w górnej części bocznej ściany ambony. 8 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

6 Ryc SZABLON Na rycinie mamy zaznaczony fragment fotografii z wyznaczonym prostokątem, który może posłużyć jako szablon dla naszego wzoru. Poniżej mamy rysunek tego samego fragmentu podzielony na trzy zależne od siebie moduły. Każdy z nich jest równoległobokiem. - - Ryc KONSTRUKCJA RÓWNOLEGŁOBOKU Konstrukcja równoległoboku może być przeprowadzona na wiele sposobów. Tu zaczynamy od narysowania odcinka podstawy, a następnie konstruujemy lub rysujemy z kątomierzem dwie proste przechodzące przez końce odcinka. Jedna z nich jest nachylona do podstawy o kąt 72 stopnie, a druga o kąt 36 stopni. Oba kąty mogą być otrzymane przez podział kąta 90 stopni na 5 równych części. Powstaje trójkąt zaznaczony na rysunku kolorem niebieskim. Teraz z górnego i prawego wierzchołka trójkąta rysujemy dwie proste równoległe odpowiednio do podstawy i drugiego boku trójkąta. Ryc KONSTRUKCJA TESELACJI Zaczynamy od skonstruowanego przed chwilą równoległoboku i krótszej jego przekątnej. Dzieląc kąt przy wierzchołku trójkąta na połowy, otrzymujemy punkt przecięcia się dwusiecznej z podstawą trójkąta. To nam wystarczy do narysowania większego łuku. Drugi, mniejszy łuk powstał przez poprowadzenie okręgu przez punkt przecięcia się pierwszego łuku z przekątną równoległoboku. 9

7 Ryc Ryc KONSTRUKCJA TESELACJI (CD.) Prowadząc prostą równoległą do podstawy równoległoboku i przechodzącą przez prawy, zaznaczony na rysunku, punkt, otrzymujemy trzy identyczne trapezy. Tu ważna uwaga: we wzorach z symetriami D10 przekątna trapezu teselacji zazwyczaj dzieli jego ostry kąt na połowy. Tę własność warto zapamiętać. Będzie ona użyteczna w wielu przykładach. PIERWSZA LINIA W takiej teselacji pierwsza linia może być wyznaczona na wiele sposobów. Pamiętamy to ze szkicu 2. Tu przechodzi ona przez środki boków jednego z trapezów. Linie oznaczone czarnym kolorem są lustrzanym odbiciem pierwszej linii względem boków trapezu. Te trzy linie pokazują już, co będzie się działo zarówno w trapezie, jak i w dużym rombie. Ryc Ryc WZÓR W TRAPEZIE Do kolekcji trzech prostych otrzymanych przed chwilą dodajemy dwie nowe linie przechodzące przez środek krótszej podstawy trapezu i środki boków trójkąta. To wystarcza do narysowania wzoru w trapezie i zapoczątkowuje wzór w trójkątach. WZÓR W TRÓJKĄTACH W podobny jak przed chwilą sposób wypełniamy wzorem pozostałe trapezy. Jeśli rysujemy wzór na papierze, to wystarczy skopiować na kalkę techniczną wzór z trapezu i odbić go na inne trapezy. Tu szare punkty zaznaczone na rysunku wyznaczają dwa okręgi o wspólnym środku. Łącząc punkty przecięcia się tych okręgów z krawędziami trójkątów lub ich wysokościami, tworzymy wzór w trójkątach. 10 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

8 MATEMATYKA DAWNIEJ I DZIŚ Ryc Ryc WZÓR W ROMBACH W jednym z rombów rysujemy jego przekątną, a następnie, przedłużając krawędzie wzoru z trapezu, otrzymujemy wzór w obu rombach. SZABLON NIEBIESKIEGO MODUŁU Tak wygląda szablon niebieskiego modułu. Zwróćmy uwagę na pewną niezbyt elegancką cechę tego szablonu. Mamy tu duże puste przestrzenie połączone ze stosunkowo małymi obszarami. Aby zlikwidować te dysproporcje, będziemy musieli w te duże puste przestrzenie wstawić dodatkowe dekoracje, ale to dopiero na końcu tego projektu. Ryc KONSTRUKCJA TESELACJI Zaznaczone na rysunku cztery łuki przechodzące przez szare punkty wyznaczają większość figur teselacji. Ryc TESELACJA DLA BIAŁEGO MODUŁU Dwie dodatkowe linie proste przechodzące przez zaznaczone wierzchołki i równoległe do podstawy równoległoboku kończą konstrukcję teselacji dla modułu białego. Otrzymaliśmy dokładnie te same figury, które mieliśmy w module niebieskim. Ich układ jest, oczywiście, nieco inny. WZÓR W TRAPEZIE Ryc Konstrukcja wzoru w trapezie jest identyczna jak w przypadku modułu niebieskiego. WZÓR W TRÓJKĄTACH Ryc Skonstruowanie wzoru w trójkącie jest bardzo oczywiste. Linia przechodząca przez środki boków trapezu wystarcza do tego celu. 11

9 MATEMATYKA DAWNIEJ I DZIŚ Ryc Ryc WZÓR W ROMBIE Podobnie jak poprzednio konstruujemy wzór wypełniający romb. Zauważmy, że romb ma dwie osie symetrii, co oznacza, że wystarczy skonstruować tylko 1/4 wzoru. Romby w teselacjach wzorów z symetriami dziesięciokąta są newralgicznymi figurami. Duże romby, takie jak tu, mają duże puste przestrzenie. WZÓR W TRÓJKĄTACH Skonstruowanie wzoru w trójkącie jest bardzo oczywiste. Linia przechodząca przez środki boków trapezu wystarcza do tego celu. Ryc Na prostej wyznaczamy trzy równej długości odcinki i składamy poszczególne moduły w jeden wielki równoległobok. Naszym celem będzie narysowanie dodatkowej dekoracji wewnątrz dużego, zaznaczonego na rysunku sześciokąta oraz leżącego obok latawca. W punkcie zaznaczonym czerwonym kolorem rysujemy sieczne dzielące kąt 180 stopni na pięć równych części. Punkt żółty jest środkiem odcinka, na którym leży. Prosta przerywana przechodzi przez żółty punkt i jest równoległa do krótszej krawędzi sześciokąta. Pozostałe kroki tej konstrukcji są podobne do wielu konstrukcji z poprzednich projektów. 12 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

10 Ryc Szare linie pokazują dodatkowy motyw uzupełniający rysunek wzoru. Załączony na końcu rysunek jest artystyczną interpretacją wzoru z ambony w Meczecie Umajjadów. Ryc Ryc

11 Ryc Ryc Załóżmy, że wycinamy z naszego kompletnego szablonu fragment zaznaczony kolorem niebieskim. To, co otrzymaliśmy, składa się z trójkąta wyciętego z modułu niebieskiego, oraz cały moduł biały. Resztę szablonu z szarymi liniami wzoru pominiemy. Ryc Teraz, przedłużając odpowiednie krawędzie, dorysowujemy nowy trójkąt poniżej szablonu. Pokazane na rysunku punkty objaśniają, w jaki sposób powstał dodatkowy trójkąt. Trójkąt ten wypełniamy teselacją w sposób pokazany na rysunku. 14 M AT E M AT Y K A W R Z E S I E Ń / PA Ź D Z I E R N I K

12 Ryc Puste wielokąty dorysowanej teselacji wypełniamy motywami identycznymi jak poprzednio. To, co powstało z takiego uzupełnienia, wygląda tak jak na pokazanej tu rycinie. Zauważmy teselacja w nowym trójkącie uzupełnia teselację z białego modułu. Tworzą one spójną całość. Tworząc symetryczne odbicia tego trójkąta względem jego dłuższych krawędzi, otrzymamy duży medalion wpisany w dziesięciokąt foremny. Ryc Literatura: - Mirosław Majewski Matematyk, geometra z wykształcenia, autor poszukujący związków geometrii ze sztuką i architekturą. 15