ZASTOSOWANIE METODY INTERIOR POINT W OPTYMALIZACJI DODATKOWYCH CEWEK ELEKTROMAGNETYCZNEGO UKŁADU POZYSKIWANIA ENERGII Z DRGAŃ

Transkrypt

1 POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 93 Electrical Engineering 2018 DOI /j Marcin KULIK *, Bernard BARON *, Marius JAGIEŁA * ZASTOSOWANIE METODY INTERIOR POINT W OPTYMALIZACJI DODATKOWYCH CEWEK ELEKTROMAGNETYCZNEGO UKŁADU POZYSKIWANIA ENERGII Z DRGAŃ W artykule predstawiono astosowanie algorytmu interior point, na prykładie optymaliacji elektromagnetycnego układu do poyskiwania energii drgań mechanicnych. Układ ten składa się płaskiej sprężyny, na której amocowano dwa jarma magnesami trwałymi. Pomiędy jarmami umiescono cewkę, w której pod wpływem drgań, a co a tym idie premiesceń sprężyny, indukuje się siła elektromotorycna. Na podstawie obliceń polowych stwierdono, że więksenie indukowanego napięcia możliwe jest pre wykorystanie strumienia po ewnętrnych stronach jarm. W niniejsej pracy optymaliowano wymiary ora romiescenie dodatkowych cewek tak, aby uyskać jak najwięksą amplitudę tego napięcia. SŁOWA KLUCZOWE: optymaliacja, interior point, drgania, poyskiwanie energii. 1. WSTĘP Zasada diałania elektromagnetycnych pretworników energii drgań mechanicnych w energię elektrycną (ang. Electromagnetic Energy Harvesters) wykorystujących element inercyjny, opiera się na wględnym premiescaniu magnesów trwałych i cewki, pod wpływem ewnętrnych wibracji [1, 2]. W wyniku tego, godnie prawem Faraday a, indukowane jest napięcie elektrycne. Najwiękse amplitudy premiescenia uyskuje się, gdy cęstotliwość siły ewnętrnej pokrywa się cęstotliwością reonansową układu (w układach nieliniowych ależącą również od siły ewnętrnej). Pretworniki te mogą być stosowane do asilania beprewodowych cujników, konwencjonalnie korystających baterii, co więksa nieawodność ora nacąco obniża kosty eksploatacji [1, 3]. W pracy analiowany jest elektromagnetycny minigenerator nieliniowym reonansem elektromechanicnym, serej opisany w pracy [4]. Na podstawie analiy rokładu strumienia magnetycnego (rys.1), stwierdono, że możliwe * Politechnika Opolska

2 90 Maarcin Kulik, Bernard Baron,, Marius Jagiieła jest wykoorystanie strrumienia roprosonego po ewnętrnej stronie rruchomych jarm do poyskania dodatkowejj energii eleektrycnej. Opróc O głów wnej cewki umiescoonej pomięddy porusajjącymi się jarmami j magnesami trwałymi, roważonno dodanie dw wóch cewek po ich ewn nętrnej stronnie, jak na ryysunku 1a). Ze wglęędu na wysttępowanie syymetrii w układie, obssar predstaawiony na rysunku jeest redukow wany do połoowy układu. b) a) Rys. 1. Elekktromagnetycnny układ poyskkiwania energiii drgań mechaanicnych a) moodel obliceniow wy, b) rokład strumienia s magn netycnego dla ζ = 0 Dwuw wymiarowe pole p magnetyycne w tym m pretwornniku można opisać a pomocą prawa p Ampèrre a w postacci różnickow wej J 2 A M (1) 0 gdie A jeest wektorowyym potencjałeem magnetyccnym, ν0 jestt reluktywnośścią próżni, natomiast JM jest astęępcym prądeem pochodąccym od magnnesów trwałyych wynaconym metodą m powłokk prądowychh [4, 5]. Strum mień skojaronny cewką w wynacany jest na poodstawie anaalitycnego roowiąania ró ównania (1),, metodą Fouurier a [4]. W pracy optymaliowa o ano pochodnąą strumienia w punkcie errowego prem miescenia jarm maagnesami trw wałymi, co proowadi do fun nkcji celu posttaci (x, ) (2) f ( x) 0 gdie x = [x1, x2, x3] to t wektor m miennych deccyyjnych (w wymiarów prekroju poprecnego dodatkowejj cewki, jak na n rys. 1), nattomiast ζ to premiesce p enie jarm. Ponieważ więksość allgorytmów opptymaliacji jest j tworonaa do minimaliiacji funkcji, pochodna strumiennia skojaroneego jest pom mnożona pre -1. Aby aachować fiycny senns miennychh x1, x2, x3, asstosowano fun nkcję ogranicceń w formiee

3 Zastosow wanie metodyy interior pointt w optymaliacji g ( x) 0 g1 (x) x1 x c ; g 2 (x) x2 1 ; g3 (x) x3 x2 1 ; g 4 (x) q x2 x3 1 ; g5 (x) p x1 x c 1, 91 (3) 4k( x1 x c )( x3 x2 ) 4k( x1 x c )( x3 x2 ) 0, 2 ; g 7 (x) 0, 4 Nπ Nπ pry cym m xc = 18,39 mm, p = 755 mm, q = 75 5 mm (rys. 1a), 1 k = 0,8 jest współcynnikieem apełniennia cewki w wojami, N = 1000 jest licbą wojóów cewki. Wykresy mienności funkcji celu w ależnoścci od dwóch miennych ((pry stałej wartości treciej t mieennej) predsstawiono na rysunkach r 2,, 3 ora 4. g 6 ( x) R 2. Wykres mienności Rys. funnkcji celu w aleeżności od mieennych x1 ora x2 R 3. Wykres mienności Rys. funnkcji celu w aleeżności od mieennych x1 ora x3

4 92 Maarcin Kulik, Bernard Baron,, Marius Jagiieła R 4. Wykres mienności Rys. funnkcji celu w aleeżności od mieennych x2 ora x3 Jak moożna auważżyć, na rysunnku 2 i 3 min nimum funkcjji celu jest osiągane na granicy prrediału doppuscalnej mienności miennych x2 ora x3, naatomiast na rysunku 4 widać lokaalne minimuum w okolicaach punktu [15 [ mm, 15 mm] ora wypłascenie funkcji dla wyżsyych wartości miennych.. Jednakże, w wykresy te uwagi na nieliniową mają tylko charakter poglądowy, p n fuunkcję ogranniceń nierównościoowych (3). We wsstępnym etappie badań teestowano różżne algorytm my minimaliacji funkcji. Metoddy begradieentowe, takiie jak metod da Powell a ora Hook a-jeeves a presuw wanymi funkkcjami kary, jak równieżż metody graadientowe tyypy BGFS i gradientuu sprężoneggo [6], nie dawały d satyssfakcjonującyych wyników w. Spowodowane było b to wycchodeniem tych algory ytmów poa ogranicenia w kolejnych krokkach obliceeniowych, coo generowało o błędy w roowiąywanniu równań (1-2). Kollejnymi testoowanymi alggorytmami by yły metoda interior pointt ora noninterior point [7, 8]. Ze Z wględu na sersą ścieżkę bieeżności, sybbkość ora poprawnoość uyskanyych wyników w dla badaneego problemuu, decydow wano się na metodę innterior point logarytmiicną funkcją barierową,, która apew wnia spełnienie waarunków (3) w każdej iterracji [6, 7, 8, 9, 10]. 2 METOD 2. DA INTERIIOR POINT T Zakładdając ogranicenia nieróównościowe ora wektorr miennychh x o nieujemnychh elementachh, otrymujem my [6]

5 Zastosowanie metody interior point w optymaliacji 93 min f ( x ) (4) x gx ( ) 0 (5) x 0, i 1,2,..., n, g ( x ), i1,2,..., n i x gdie x, f, g(x), n x, n g to odpowiednio wektor miennych, optymaliowana funkcja celu, wektor ograniceń nierównościowych, licba miennych ora licba ograniceń nierównościowych. Wprowadając wektor nieujemnych miennych dopełniających ora stosując logarytmicną funkcję barierową, problem (4) można astąpić adaniem n g min f ( x ) kln( i) (6) x i1 gx ( ) 0, 0 (7) gdie μ k jest parametrem barierowym, sprowadanym do era w kolejnych iteracjach. W wyniku tego, kolejne prybliżenia problemu (6) dążą do rowiąania adania (4). Minimum lokalne funkcji (6), uwględniając ależności (7), jest osiągane wtedy, gdy gradient funkcji Lagrange a jest równy ero n g k k k i i1 i L ( y, ) f( x) ln( ) π ( g( x) ) (8) T f ( ) ( ( )) x x xg x π yl ( yk, k) diag( ) πke 0 (9) ( ) gx gdie y k = [x T, T, π T ] T, π jest wektorem mnożników Lagrange a ograniceń nierównościowych, natomiast e jest wektorem jednostkowym. Otrymany układ równań nieliniowych (9) rowiąywany jest a pomocą metody Newtona-Raphsona 2 ( yl ( yk, k)) yk yl( y k, k) (10) co można apisać jako 2 2 T T T f( ) ( ( )) ( ) f( ) ( ( )) x x x π g x 0 xg x x x x xg x π diag( ) diag( ) 0 π diag( ) πke (11) ( ) ( ) xgx 1 0 π gx gdie Δy = y k+1 - y k, 1 jest macierą jednostkową. Wartości poscególnych miennych w kolejnych krokach algorytmu, oblicane są następujących ależności x p k1 x k α k x k (12) p k1 k α k k (13) π d k1 π k α k π k (14) T g

6 94 Marcin Kulik, Bernard Baron, Marius Jagieła pry cym p i αk min 1, min (15) i i 0 d i αk min 1, min (16) i i 0 są odpowiednio długościami kroków miennych h prymalnych ora dualnych [7], a- bepie- wierającymi się w prediale wartości (0,1], natomiast γ jest współcynnikiem ceństwa równym 0, Parametr barierowy w kolejnych krokach algorytmu wynacany jest e woru T k k k 1 π k (17) 2n g gdie σ k jest parametrem skalującym. Oblicenia wykonywane są do momentu speł- pry- nienia warunków komplementarności ora uyskania wartości normy wektora rostów miennych prymalnych poniżej adanego błędu dopuscalnego równego Algorytm metody interior point dla adania optymaliacji ograniceniami nie- równościowymi predstawia rysunekk 5. Rys. 5. Schemat metody interior point w optymaliacji ograniceniami nierównościowymi

7 Zastosowanie metody interior point w optymaliacji 95 Program realiujący powyżsy schemat ostał napisany w środowisku Visual C#, korystając biblioteki metod optymaliacji, opracowanej w Instytucie Systemów Napędowych i Robotyki Politechniki Opolskiej [6]. 3. WYNIKI OPTYMALIZACJI Oblicenia minimum funkcji celu (6) preprowadono dla punktów startowych losowanych obsaru ograniconego ależnościami (3). Wyniki optymaliacji dla trech różnych punktów pocątkowych estawiono w tabeli 1. W tabeli 2 predstawiono wartości wektora ograniceń nierównościowych dla punktów startowych ora punktu optymalnego. Tabela 1. Wyniki optymaliacji dla trech różnych punktów startowych. Punkt startowy x 0 f(x 0 ) Licba iteracji Cas obliceń Rowiąanie x opt f(x) [20,97 4,03 30,05] T -0, ,83 s [22,51 10,22 19,75] T -1,20 [22,39 7,82 23,40] T -1, ,70 s [22,51 10,22 19,75] T -1,20 [28,43 11,04 15,86] T -0, ,67 s [22,51 10,22 19,75] T -1,20 Tabela 2. Wartości funkcji g(x) dla wektora warunków pocątkowych x 0 i wektora rowiąań x opt. Punkt startowy x 0 Punkt startowy x 0 Punkt startowy x 0 Rowiąanie x opt x 0 =[20,97 4,03 30,05] x 0 =[22,39 7,82 23,40] x 0 =[28,43 11,04 15,86] x opt =[22,51 10,22 19,75] 2,58 4,00 10,04 4,12 3,04 6,82 10,04 9,22 25,01 14,58 3,81 8,53 gx ( 0) 34,92 gx ( 0) 37,78 gx ( 0) 42,10 gx ( opt ) 39,02 29,64 28,22 22,18 28,11 0,06 0,05 0,02 0,00 0,14 0,15 0,18 0,2 Jak można auważyć, algorytm interior point nalał rowiąanie optymalne (spełniające ogranicenia nierównościowe) w tym samym punkcie, nieależnie od wylosowanego punktu startowego. Wartość funkcji celu wyniosła -1,20 Vs/m. Cas obliceń dla każdego prypadku nie prekrocył 3 sekund. Rysunek 6 predstawia prebieg normy wektora pryrostu miennych prymalnych, normy pryrostu wartości funkcji celu w kolejnych krokach ora normy gradientu funkcji Lagrange a dla prykładowego punktu startowego.

8 96 Maarcin Kulik, Bernard Baron,, Marius Jagiieła Rys. 6. Prrebieg norm wektorów w Δx, Δff ora L w kollejnych iteracjaach dla punktu sstartowego x0 =[20,97 4, ,05] Ryss. 7. Zależność pochodnej p strum mienia skojaro onego cewką od premiescenia

9 Zastosowanie metody interior point w optymaliacji 97 Rysunek 7 predstawia ależność pochodnej strumienia skojaronego cewką od premiescenia jarm dla cterech różnych wektorów x. Linią ciągłą onacono prebieg dla rowiąania optymalnego, natomiast poostałe krywe wynacono dla punktów startowych, jak w tabeli 1. Biorąc pod uwagę symetrię układu, prebieg pochodnej strumienia jest taki sam dla drugiej cewki. 4. WNIOSKI W pracy optymaliowano wymiary dodatkowych cewek elektromagnetycnego układu poyskującego energię drgań mechanicnych, co nacąco powięksa sprawność minigeneratora. Oblicenia preprowadono metodą interior point, która poradiła sobie nieliniowymi ograniceniami nierównościowymi, apewniając pry tym ich spełnienie w każdej iteracji. Aktualnie prowadone są prace wiąane e skonstruowaniem optymaliowanego układu, których wyniki ostaną wkrótce predstawione. Praca ostała realiowana w ramach projektu nr 2016/23/N/ST7/03808 finansowanego pre Narodowe Centrum Nauki LITERATURA [1] Mitcheson P. D., Yeatman E. M., Rao G. K., Holmes A. S., Green T. C., Energy Harvesting From Human and Machine Motion for Wireless Electronic Devices, Proceedings of the IEEE, vol. 96, no. 9, pp , [2] Kulik M., Jagieła M., Harvesting mechanical vibrations energy using nonlinear electromagnetic minigenerators a survey of concepts and problems, Ponan University of Technology Academic Journals, Electrical Engineering, No 90, pp , [3] Saha C. R., O Donnell T., Loder H., Beeby S., Tudor J., Optimiation of an Electromagnetic Energy Harvesting Device, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 42, no. 10, pp , [4] Jagieła M., Kulik M., Torsion and axial moment in a new nonlinear cantilever-type vibration energy harvester, International Journal of Applied Electromagnetics and Mechanics, ukaże się w roku [5] Lee H., Noh M. D., Park Y. W., Optimal Design of Electromagnetic Energy Harvester Using Analytic Equations, IEEE Transactions on Magnetics, vol. 53, no. 11, pp. 1-5, [6] Baron B., Połomski M., Kolańska Pluska J., Programowanie nieliniowe w jęyku C#, Wydawnictwo Politechniki Opolskiej, 2018 (w druku). [7] Połomski M., Baron B., Optimal Power Flow by Interior Point and Non Interior Point Modern Optimiation Algorithms, Acta Energetica, 1/14, pp , [8] Patra S., Goswami S.K., Optimum power flow solution using a non-interior point method, Electrical Power and Energy Systems, 29, pp , 2007.

10 98 Marcin Kulik, Bernard Baron, Marius Jagieła [9] Klintberg E., Gros S., An inexact interior point method for optimiation of differential algebraic systems, Computers and Chemical Engineering, 92, pp , [10] Qiu S., Chen Z., An interior point method for nonlinear optimiation with a quasitangential subproblem, Journal of Computational and Applied Mathematics, 334, pp , APPLICATION OF THE INTERIOR POINT METHOD IN OPTIMISATION OF ADDITIONAL COILS OF A NONLINEAR ELECTROMAGNETIC VIBRATION ENERGY HARVESTER The paper presents application of the interior point algorithm, developed in the Institute of Drive Systems and Robotics, at the Opole University of Technology, to design optimiation of the electromagnetic energy harvester. The system consists of a beam spring with the two attached yokes with permanent magnets. A coil is placed between the yokes, in which the electromotive force is induced due externally applied vibrations. On the basis of field calculations, it was found that it is possible to use the leakage flux existing on both exterior sides of the yokes. In this work the dimensions and placement of additional coils, to obtain the highest amplitude of the flux linkage derivative, are optimied providing significant rise of the induced voltage with respect to basic configuration. (Received: , revised: )