Badania operacyjne- programowanie liniowe

Transkrypt

1 Justyna Kosakowska i Piotr Malicki Badania operacyjne- programowanie liniowe (lista zadań) Materiały dydaktyczne dla studentów matematyki (specjalność: matematyka w ekonomii i finansach) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 2009 Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 Podczas przygotowywania niniejszych notatek korzystaliśmy z następującej literatury: [1] Zbiór zadań z programowania matematycznego cz. I, praca zbiorowa pod redakcją Z. Galasa oraz I. Nykowskiego, PWN 1986; oraz z pozycji umieszczonych w notatkach do wykładu. 1. Zbiory wypukłe i ich topologiczne własności 1.Niech A M m n (R)będziedowolną m n-macierząowspółczynnikach rzeczywistychorazniech b R m.udowodnić,żezbiory (a) {x R n ; Ax = b}, (b) {x R n ; Ax = boraz x 0}, są wypukłe. 2. Udowodnić, że dla dowolnych zbiorów wypukłych X, Y R zbiory X + Y = {x + y x X, y Y }oraz X Y = {x y x X, y Y } są również wypukłe. 3.Udowodnić,żeprzekrójdowolnejrodzinyzbiorówwypukłychw R n jest zbioremwypukłymwr n. 4. Udowodnić, że następujące zbiory są wypukłe: (a) X = {x R n x a r},gdzie a R n i r > 0, (b) X = {x R n x T Ax r},gdzie A M n n (R)jestdodatnio określoną macierzą symetryczną oraz r > 0. 5.Udowodnić,żezbiór X = {x R n x 1}niejestwypukły. 6. Wyznaczyć otoczki wypukłe następujących zbiorów: (a) X = {x, y},gdzie x, y R n, (b) X = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 r 2 },gdzie r > 0, (c) X = {(x, y) R 2 x(x y) = 0, x 0, y 0}, (d) X = {x R n 0 < x < r}, (e) X = {[0, 0] T, [3, 0] T, [1, 2] T, [0, 6] T }, (f) X = {(x, y) R 2 3x + 2y 11, x 0, y 0, x, y Z}. 2

3 2. Punkty i wektory ekstremalne 1.Niech X R n będziezbioremwypukłym, c R n orazniech f : X R będziefunkcją(liniową)zadanąwzorem f(x) = c T x. (a) Przypuśćmy, że funkcja f osiąga minimum(odp. maksimum) na zbiorze X. Udowodnić, że funkcja f osiąga to minimum(odp. maksimum) również w pewnym punkcie ekstremalnym. (b) Czy funkcja f może osiągać minimum(odp. maksimum) w innych punktach niż ekstremalne? Odpowiedź zilustrować odpowiednim przykładem. (c) Czy funkcja f może osiągać minimum(odp. maksimum) na zbiorze nieograniczonym? Odpowiedź zilustrować odpowiednim przykładem. (d)jakiewłasnościmusimiećzbiór X,abymiećpewność,że i.funkcja f 0nieosiągażadnegoekstremumna X, ii.funkcja f 0osiagajednoekstremumna X,adrugiegoekstremumnieosiągana X. iii.funkcja f 0osiągaminimumorazmaksimumna X. 2. Znaleźć punkty ekstremalne następujących zbiorów: (a) X = {(x, y) R 2 x + y 1}, (b) X = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2x 2}, (c) X = {(x, y) R 2 x+y 2, x 2y 6, x y 6, x 0, y 0}, (d) X = {(x, y, z) R 3 0 x 1, 0 y 2, 0 z 5}, (e) X = {(x 1, x 2,...,x n ) R n x 1 +x 2 + +x n a, x i 0 dla i = 1, 2,..., n},gdzie a > Znaleźć ekstremalne wektory kierunkowe następujących zbiorów: (a) X = {(x, y) R 2 y x, x 2 + y 2 1}, (b) X = {(x, y, z) R 3 y x 2, x + y + z 1}, (c) X = {(x, y, z) R 3 x + y + z 2, x + y = 1, x, y, z 0}. 4.Ilepunktówekstremalnychmazbiór {x R n Ax = b},gdzie Ajest m n-macierząowspółczynnikachrzeczywistychoraz b R m? 3

4 5.Niech Abędzie m n-macierząowspółczynnikachwr, b R m oraz X = {x R n Ax b}.oznaczmyprzez a 1, a 2,..., a m wierszemacierzy A.Udowodnić,żepunkt x Xjestpunktemekstremalnymzbioru Xwtedyitylkowtedy,gdywśródwektorów a i owłasnościach a i x = b i jest n wektorów liniowo niezależnych. 6.Uzasadnić,żezbiór {x R n Ax b}niemapunktówekstremalnych, gdy Ajest m n-macierząowspółczynnikachwr, b R m oraz m < n. 3. Metoda sympleksowa 1. Pewne przedsiębiorstwo produkuje dwa wyroby A oraz B w oparciu o trzy rodzaje surowców X, Y i Z. Przedsiębiorstwo to zamierza wytwarzać powyższe produkty wyłącznie przy użyciu posiadanych już zasobówmateriałów.surowca Xjest1000kg,surowca Y jest2400kg,a surowca Z jest 600 kg. Do wytworzenia jednostki wyrobu A potrzeba: 2kgsurowca X,3kgsurowca Yoraz1,5kgsurowca Z.Natomiastaby wytworzyćjednąsztukęproduktu Bzużywasię:1kgsurowca Xoraz 3 kg surowca Y. Jaką strukturę produkcji powinno przyjąć to przedsiębiorstwo, aby osiągnąć maksymalny przychód ze sprzedaży, jeśli cena wyrobu Awynosi30zł,acenawyrobu Bwynosi20złzasztukę? 2. Stosując algorytm sympleks rozwiązać następujące zadania programowania liniowego: (a) x 1 2x 2 min,przywarunkach 4x 1 + 4x 2 12, x 1 2, x 2 2, x 1, x 2 0, (b) x 1 x 2 min,przywarunkach 2x 1 + 2x 2 8, 1 x x 2 16, 2x 1 + x 2 10, x 1, x 2 0, (c) 4x 1 3x 2 + 4x 3 min,przywarunkach 2x 1 + x 2 2x 3 18, x 1 + x 2 x 3 13, x 1 2x 3 13, x 1, x 2, x 3 0, 4

5 (d) 3x 1 + 2x 2 x 3 min,przywarunkach x 1 + x 2 + x 3 2, 12x 1 + 4x 2 + 3x 3 12, 8x 1 + x 2 0, x 1, x 2, x Wykorzystując tablice sympleksowe rozwiązać następujące zadanie programowania liniowego. Znaleźć maksimum funkcji f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) = 11x 1 +10x 2 +13x 3 x 4 +x 5 +3x 6 +x przy warunkach x 1 + x 2 + x 3 = 5, x 1 + 5x 2 + x 4 = 41, 3x 1 + 5x 2 + x 5 = 77, 5x 1 x 2 + x 6 = 63, 2x 1 5x 2 + x 7 = 16, x 1, x 2,...,x Dualność w programowaniu liniowym 1. Szukamy przy założeniach (niezakładasię,że y 0). maxy T b y T A c T, y R m Zauważmy,że y T b = y T Ax c T x, x 0.Załóżmy,że y T b = c T x, Ax = b, A T y cdlapewnych xoraz x.pokazać,że y, xsąrozwiązaniami optymalnymi dla odpowiednich zagadnień(x dla szukania minimum c T xprzywarunkach Ax = b, x 0,aydlaszukaniamaksimum y T b przywarunkach y T A c T ). 5. Elementy programowania całkowitoliczbowego 1. Rozwiązać następujące problemy programowania całkowitoliczbowego: 5

6 (a) 3x 1 x 2 min,przywarunkach 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 6, 2x 1 3x 2 + x 4 = 3, x 1, x 2, x 3, x 4 0, x 1, x 2, x 3, x 4 Z, (b) x 1 x 2 min,przywarunkach 2x 1 + 3x 2 + x 3 = 10, x 1 x 2 + x 4 = 3, x 1 + 2x 2 + x 5 = 5, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Z, (c) 5x 1 x 2 min,przywarunkach x 1 x 2 + x 3 = 5, x 1 + 3x 2 + x 4 = 8, x 1, x 2, x 3, x 4 0, x 1, x 2, x 3, x 4 Z, (d) x 1 + 2x 2 min,przywarunkach 2x 1 + 4x 2 + x 3 = 15, 2x 1 2x 2 + x 4 = 5, x 1 x 2 + x 5 = 3, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0, x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Z. 6. Strategie zachłanne 6.1. Przykłady 1. Chcemy kupić 23, 5 uncji złota. Mamy do dyspozycji następujące sztabki: 10uncji, 5uncji, 2uncje, 1uncjaoraz 0, 5uncji.Zakładamy,że sztabek jest nieograniczona liczba. Jakie i ile sztabek musimy kupić, aby nabyć ich jak najmniejszą liczbę? Pokażemy zastosowanie strategii zachłannej. Intuicyjnie najbardziej optymalną metodą będzie kupowanie w pierwszej kolejności sztabek o największej gramaturze. W naszej sytuacji powinniśmy nabyć 2 sztabki 10 uncjowe. Wtedy będziemy musieli jeszcze kupić 3, 5 uncji złota. 6

7 Stosując tę samą strategię kupujemy sztabkę 2 uncjową, 1 uncjową oraz 0, 5 uncjową. Zauważmy, że otrzymaliśmy optymalne rozwiązanie. Uwaga. W tego typu problemach opisana powyżej metoda zachłanna nie zawsze daje rozwiązanie optymalne. Ilustruje to poniższy przykład. 2. Mamy do dyspozycji następujące opakowania towaru X: 1 sztuka, 20 sztukoraz 70sztuk.Chcemynabyć 80sztuktowaru Xwjaknajmniejszej liczbie opakowań. Jeżeli będziemy stosować metodę opisaną w poprzednim zadaniu, to wybierzemy: 1 opakowanie- 70 sztuk oraz 10 opakowań- 1 sztuka; czyli razem 11 opakowań. Optymalnym wyborem jednak są 4 opakowania- 20 sztuk Zadania 1. W kasie sprzedawca ma do dyspozycji monety o następujących nominałach c 0 = 1, c 1 = 2, c 3 = 5, c 4 = 10, c 5 = 20.Sprzedawcamusi wydaćresztęwwysokości s = 345(odp. s = 435, s = 23, s = 1241). Zakładamy, że do dyspozycji jest nieograniczona liczba monet każdego nominału. Sprzedawca chce wydać resztę wykorzystując jak najmniejsząliczbęmonet.którychiilemonetmusiużyć? (a) Opracować metodę zachłanną, która rozwiąże ten problem. (b) Czy ta metoda w naszej sytuacji daje optymalne rozwiązanie problemu? Odpowiedź uzasadnić. (c) Jakie problemy pojawiają się, gdy zrezygnujemy z założenia o nieograniczonej liczbie monet każdego nominału? (d) Skonstruować przykład, w którym nasza metoda nie daje optymalnego rozwiązania. 2. W bankomacie są do dyspozycji banknoty o następujących nominałach c 0 = 20, c 1 = 50, c 3 = 100, c 4 = 200.Bankomatmusiwypłacićkwotę s = 3450(odp. s = 4350, s = 2340, s = 1270).Zakładamy,że do dyspozycji jest nieograniczona liczba banknotów każdego nominału. Bankomat powinien wypłacać pieniądze wykorzystując jak najmniejszą liczbę banknotów. Których i ile banknotów musi użyć? (a) Czy bankomat będzie w stanie wypłacić każdą kwotę? Jakie kwoty możemy wypłacić z tego bankomatu, a jakich nie? (b) Rozwiązać analogiczne problemy do tych opisanych w poprzednim zadaniu. 7

8 3. Firma wysłała kierowcę, który powinien przewieźć towar do magazynu oddalonego o km. od siedziby firmy. Ze względów bezpieczeństwa kierowca nie może przejechać więcej niż 750 km. dziennie. Firma chce zarezerwować noclegi dla kierowcy w zaprzyjaźnionych motelach znajdującychsięnajegotrasie.motelitychjest 20: M 1,...,M 20.Znanesą oczywiście odległości między motelami: M 0,1 M 2,3 M 4,5 M 6,7 M 8,9 M 10,11 M 12,13 M 14,15 M 16,17 M 18, M 1,2 M 3,4 M 5,6 M 7,8 M 9,10 M 11,12 M 13,14 M 15,16 M 17,18 M 19, gdzie M i,j oznaczaodległośćmiędzymotelami M i oraz M j oraz M 0 oznacza firmę, z której startuje kierowca. Firma chce zarezerwować jak najmniejszą liczbę noclegów. W których motelach powinien nocować kierowca? (a) Opracować metodę zachłanną, która rozwiąże ten problem. (b) Czy ta metoda w naszej sytuacji daje optymalne rozwiązanie problemu? Odpowiedź uzasadnić. (c) Czy ta metoda daje optymalne rozwiązanie dla dowolnego innego zestawu danych?(zakładamy, że kierowca ma do przejechania n km., nie może dziennie pokonać dłuższej drogi niż m km., są podaneodległości M i,j mpomiędzymiejscami,wktórychmożliwy jest nocleg.) 4. Kierowca musi przejechać km. Nie może jednak przejechać więcej niż650km.najednymbaku.natrasiekierowcama 20ulubionych stacjibenzynowych: S 1,..., S 20.Znaonodległościmiędzystacjami: S 0,1 S 2,3 S 4,5 S 6,7 S 8,9 S 10,11 S 12,13 S 14,15 S 16,17 S 18, S 1,2 S 3,4 S 5,6 S 7,8 S 9,10 S 11,12 S 13,14 S 15,16 S 17,18 S 19, gdzie S i,j oznaczaodległośćmiędzystacjami S i oraz S j,ponadto S 0 oznacza punkt, z którego startuje kierowca. Kierowca chce tankować jak najmniejszą liczbę razy. Na których stacjach powinien on tankować. (a) Opracować metodę zachłanną, która rozwiąże ten problem. (b) Czy ta metoda w naszej sytuacji daje optymalne rozwiązanie problemu? Odpowiedź uzasadnić. (c) Czy ta metoda daje optymalne rozwiązanie dla dowolnego innego zestawu danych? 8

9 5.(ciągły problem plecakowy) Firmabudowlanachcewyrównaćteren.Wtymcelupotrzebuje m 3 piasku.piasekmożnakupićwpunktach: A, B, Coraz D.Wpunkcie Adostępnychjest m 3 piaskuwcenie 10zł.za m 3 ;wpunkcie B dostępnychjest m 3 piaskuwcenie 14zł.za m 3,wpunkcie C dostępnychjest m 3 piaskuwcenie 11zł.za m 3 ;wpunkcie Ddostępnychjest m 3 piaskuwcenie 13zł.za m 3.Wktórychpunktach i jakie ilości piasku powinna zakupić firma, aby koszt zakupu piasku był minimalny? Jaki jest maksymalny koszt zakupu piasku? 6.(problem wyboru zajęć- wersja dla leniwych) PanXbudzisięwniedzielęogodz.9.30ichciałbyspędzićdzieńna oglądaniu telewizji. Niestety nie może obejrzeć wszystkich interesujących go programów, ponieważ część z nich pokazywanych jest w tym samym czasie. A oto lista programów(wraz z czasami ich rozpoczęcia i zakończenia), które interesują pana X: P 1 P 2 P 3 P 4 P P 6 P 7 P 8 P 9 P P 11 P 12 P 13 P 14 P P 16 P 17 P 18 P 19 P Które programy powinien wybrać pan X, aby obejrzeć ich jak największą liczbę? Zastosuj odpowiednią strategię zachłanną. 7.(problem wyboru zajęć- wersja dla aktywnych) PanXbudzisięwniedzielęogodz.8.00izamierzaspędzićdzieńpoza domem. Interesują go następujące imprezy oraz zajęcia(podane wraz z czasami rozpoczęcia oraz zakończenia) pływalnia gra w golfa piknik mecz wycieczka rowerowa wycieczka piesza sauna koncert kręgle siłownia tenis kino Które zajęcia powinien wybrać pan X, aby uczestniczyć w jak największej ich liczbie? Zastosuj odpowiednią strategię zachłanną. 9

10 8. Przypuśćmy, że do problemu wyboru zajęć stosujemy następującą metodę zachłanną. Wybieramy zajęcie o najkrótszym czasie trwania spośród zajęć zgodnych z dotychczasowo wybranymi. Skonstruuj przykład, który dowodzi, że ta strategia nie zawsze prowadzi do optymalnego rozwiązania. 9. Skonstruuj decyzyjne problemy plecakowe takie, że (a) żadna ze strategii zachłannych opisanych na wykładzie nie daje rozwiązania optymalnego, (b) każda ze strategii zachłannych opisanych na wykładzie daje rozwiązanie optymalne, (c) jedna strategia zachłanna z opisanych na wykładzie daje optymalne rozwiązanie, a pozostałe nie. 7. Dyskretny problem plecakowy 1. Opracuj metodę dynamiczną rozwiązywania decyzyjnego problemu plecakowego. Wskazówka. Zmodyfikuj podaną na wykładzie metodę dynamiczną rozwiązywania ogólnego problemu plecakowego. 2. Złodziej włamał się do mieszkania z torbami, do których może załadować przedmioty o łącznej wadze nie przekraczającej 10 kg. W mieszkaniu znajdują się: 2 laptopy o wadze 2 kg. każdy oraz wartości 2000 zł. każdy; sprzęt audio o wadze 3 kg. oraz wartości 2500 zł.; telewizor o wadze 3, 5 kg. oraz wartości 1000 zł.; 4antycznewazyowadze 1kg.każdaorazwartości 1500zł.każda; 10zabytkowychksiążekowadze 0, 5kg.każdaorazowartości 700 zł. każda. DVDowadze 1, 5kg.orazwartości 1200zł.; Które przedmioty powinien zabrać złodziej, aby wyjść z najcenniejszym łupem. 3.Pewnafirmamaprętydługości 20m.ichcejesprzedać.Narynku jestzapotrzebowanienaprętydługości: 9, 3, 6, 13oraz 15m.Najakie 10

11 kawałki firma powinna pociąć pręty, aby zmarnować jak najmniej materiału. W jaki sposób można ten problem przetłumaczyć na problem plecakowy? 8. Minimalne drzewa rozpinające Rozwiązanie zadań z tego podrozdziału sprowadza się do znalezienia minimalnego drzewa rozpinającego pewnego grafu. Odpowiedni przykład został szczegółowo omówiony na wykładzie. 1. Firma telekomunikacyjna chce połączyć pewne miejscowości siecią telefoniczną. W poniższym grafie przedstawione zostały koszty utworzenia połączeń między poszczególnymi miastami. Znajdź sieć połączeń z minimalnym kosztem A B C D E F G H I Podać przykład spójnego nieskierowanego grafu ważonego G takiego, że V (G) 6oraz (a) istnieje dokładnie jedno minimalne drzewo rozpinające grafu G; (b) istnieją co najmniej dwa różne minimalne drzewa rozpinające grafu G. 3. Znaleźć(w książce lub w internecie) algorytm znajdowania minimalnego drzewa rozpinającego(różny od algorytmu Kruskala) oraz zastosować go do rozwiązania poprzednich zadań. 9. Najkrótsze drogi Rozwiązanie zadań z tego podrozdziału sprowadza się do znalezienia najkrótszej drogi w grafie. Odpowiednie przykłady zostały szczegółowo omówione na wykładzie. 11

12 1. Chcemy przejechać z miasta C do miasta F możliwie najkrótszą drogą. Odległości pomiędzy miastami przedstawione są na poniższej mapie. 21 A B C 15 D 20 E F H 14 I 16 G 7 Rozwiązać problem stosując dwa różne algorytmy. 2. Kierowca chce przejechać z miasta A do miasta K. Koszty przejazdu między miastami przedstawione są na poniższym grafie B E H A 11 C 7 F 5 13 I D 14 G J 9 15 K 10 Kierowca może zabierać pasażerów, którzy płacą mu za przejazd. Kwoty, które kierowca może uzyskać od pasażerów przedstawione są na poniższym grafie B E H A 14 C 7 F 7 10 I D 4 G J K 6

13 Jaką drogę powinien wybrać kierowca, aby zminimalizować koszty podróży. Rozwiązać dwie wersje zadania: przy założeniu, że kierowca zabiera pasażerów oraz przy założeniu, że kierowca nie zabiera pasażerów. Czy w obu przypadkach można zastosować algorytm Dijkstry? Odpowiedź uzasadnić. 3. Znaleźć(w książce lub w internecie) algorytm znajdowania najkrótszej drogi w grafie(różny od algorytmu Dijkstry oraz Bellmana-Forda) oraz zastosować go do rozwiązania poprzednich zadań. 4. Na podstawie algorytmu Dijkstry opracować algorytm znajdowania najkrótszej drogi wyjścia z labiryntu. 10. Przepływ w sieciach 1. Udowodnić następujący lemat, który pojawił się na wykładzie. Niech G = (V, E, s, t, c)będziesieciąorazniech fbędzieprzepływemwg. Ponadtoniech f będzieprzepływemwsieciresidualnej G f.wtedy funkcja f + f jestprzepływemwgowartości f + f = f + f. 2.Niech G = (V, E, s, t, c)będziesieciąorazniech fbędzieprzepływem w G.Udowodnić,że (a)dlawszystkich X Vmamy f(x, X) = 0; (b)dlawszystkich X, Y Vmamy f(x, Y ) = f(y, X). (c)dlawszystkich X, Y, Z Vzachodzi: f(x Y, Z)=f(X, Z) + f(y, Z) f(x Y, Z) f(z, X Y )=f(z, X) + f(z, Y ) f(z, X Y ). (d) f = f(s, V ) = f(v, t). 3.Pokazać,żejeśliwsieci G = (V, E, s, t, c)przepustowość cprzyjmuje wartości całkowitoliczbowe, to(niezależnie od wybranej metody znajdowania ścieżki powiększającej) (a) maksymalny przepływ obliczany metodą Forda-Fulkersona jest całkowitoliczbowy, (b) pesymistyczny czas działania algorytmu Forda-Fulkersona wynosi O( E f ),gdzie fjestmaksymalnymprzepływemwg. 13

14 4. Rozważmy następujący problem programowania liniowego: znaleźć maksimum m n x ij (1) i=1 j=1 na zbiorze ograniczonym warunkami n x ij a i,dla i = 1, 2,..., m, (2) j=1 m x ij b j,dla j = 1, 2,..., n, (3) i=1 x ij { = 0,dlapewnych i, j, 0,dlapozostałych i, j. (4) Udowodnić, że powyższe zagadnienie jest równoważne zagadnieniu maksymalnegoprzepływuwsieci G = (V, E, s, t, c),gdzie V = {s, s 1,..., s m, t 1,...,t n, t}, E = {(s, s i ) ; i = 1,...,m} {(t j, t) ; j = 1,..., n} {(s i, t j ) ;gdy x ij 0}, c(s, s i ) = a i,dla i = 1,...,m, c(t j, t) = b j,dla j = 1,...,n, c(α) =, dla pozostałych krawędzi. 5. Pewna firma produkująca kosmetyki ma fabrykę w mieście A oraz magazyn w mieście B. Firma ma też do dyspozycji ciężarówki, które poruszają się po ustalonej trasie. Wiadomo ile kartonów może dziennie przewieźć każda z ciężarówek. Firma nie ma wpływu na ładowność oraz trasy przejazdu ciężarówek(które są stałe). W fabryce powinna być produkowana taka ilość kosmetyków, które mogą być w ciągu jednego dnia przewiezione z miasta A do miasta B. Trasy przejazdu ciężarówek oraz ich ładowność są podane poniżej w postaci grafu. Ile maksymalnie kosmetyków dziennie może wyprodukować fabryka? A B

15 6. W poniższym grafie zapisany jest schemat wybranego fragmentu metra. Wagi krawędzi oznaczają liczbę pasażerów(w tysiącach), którą na danym odcinku mogą przewieźć pociągi w ciągu jednego dnia. Ile maksymalnie osób może dziennie przejechać z punktu A do punktu B? A B Udowodnić poprawność metody(omówionej na wykładzie) znajdowania maksymalnego przepływu w sieci z wieloma źródłami oraz ujściami. 11. Skojarzenia w grafach dwudzielnych 1. Udowodnić, że moc maksymalnego skojarzenia w grafie dwudzielnym Gjestrównawartościmaksymalnegoprzepływu fwsieci G stowarzyszonejzg. 2. Skojarzeniem całkowitym w grafie dwudzielnym G = (V, E), gdzie V = V 1 V 2 oraz V 1 = V 2,nazywamyskojarzenie M Etakie,że dlakażdegowierzchołka v Vistniejekrawędź α Mincydentnaz v. Udowodnić następujące twierdzenie Halla. Niech G = (V, E)będziegrafemdwudzielnymtakim,że V = V 1 V 2 oraz V 1 = V 2.WGistniejeskojarzeniecałkowitewtedyitylkowtedy, gdydlakażdegopodzbioru A V 1 zachodzi A ϕ(a),gdzie ϕ(a) = {v V ; {v, u} Edlapewnego u A}. 3.Przypuśćmy,żewpewnejfirmiepracuje10pracowników: p 1,...,p 10. Wpewnymokresieczasutrzebawykonaćzadania: z 1,...,z 15.Wponiższejtabeli 1(odp. 0)namiejscu (p i, z j )oznacza,żepracownik p i może(odp.niemoże)wykonaćzadanie z j.stosującodpowiednialgorytm omówiony na wykładzie przydzielić pracownikom zadania w ten sposób aby zostało wykonane możliwie najwięcej zadań. 15

16 z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 z 12 z 13 z 14 z 15 p p p p p p p p p p Rozważmygrafydwudzielne G 1 = (V, E), G 0 = (W, F),wktórych V 1 = W 1 = {p 1,...,p 10 },oraz V 2 = W 2 = {z 1,...,z 2 }.Ponadtoistnieje krawędźzp i do z j w G 1 (odp.wg 0 )wtedyitylkowtedygdywtabeli zpoprzedniegozadanianamiejscu (p i, z j )jest 1(odp. 0).Czywgrafach tych istnieją skojarzenia całkowite(odpowiedź uzasadnić). Jeśli istnieją takie skojarzenia, to znaleźć je. 12. Zagadnienie transportowe 1. Rozważmy zagadnienie transportowe: znaleźć minimum f(x) = m n c ij x ij i=1 j=1 na zbiorze ograniczonym warunkami gdzie a i, b j, c ij N. Pokazać, że n x ij a i,dla i = 1, 2,..., m, j=1 m x ij b j,dla j = 1, 2,..., n, i=1 x ij 0,dla i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n, (a) zagadnienie to posiada rozwiązanie dopuszczalne wtedy i tylko wtedy,gdy n j=1 b j m i=1 a i. 16

17 (b)jeśli n j=1 b j m i=1 a i,tokażderozwiązaniedopuszczalne yspełnia n y ij = a i,dla i = 1, 2,..., m, j=1 m y ij = b j,dla j = 1, 2,..., n, i=1 (c)każderozwiązanieoptymalne yspełniawarunek m i=1 y ij = b j,dla j = 1,...,n. 2.Przypuśćmy,żemamytrzechdostawców: d 1, d 2, d 3.Dostawca d i może zapewnićconajwyżej a i tontowaru,gdzie a 1 = 40, a 2 = 55, a 3 = 60 (odp. a 1 = 38, a 2 = 50, a 3 = 55).Towaremzainteresowanychjestczterechodbiorców: o 1,...,o 4,zktórychkażdypowinienotrzymaćprzynajmniej b i tontowaru,gdzie b 1 = 30, b 2 = 45, b 3 = 35, b 4 = 40.Koszty transportu c ij oddostawcy d i doodbiorcy o j podanesąwtabeli: Czy to zadanie transportowe posiada rozwiązanie? Jeśli tak, to znaleźć to rozwiązanie. 13. Złożoność czasowa algorytmów. 1.Udowodnić,że f = Θ(g)wtedyitylkowtedy,gdy f = O(g)oraz f = Ω(g). 2.Niech Γ {O, Ω, Θ}orazniech f, g, h, r : N R.Udowodnić,że (a)jeśli f = Γ(g)oraz g = Γ(h),to f = Γ(h); (b)jeśli f = Γ(g)oraz h = Γ(r),to f h = Γ(g r); (c)jeśli fjestzadanaprzezwielomianstopnia d,to f = Θ(n d ). 3. Podać rząd pesymistycznej złożoności czasowej następujących programów. (a) program, który dla danych n n-macierzy A, B oblicza ich iloczyn C = AB: 17

18 begin fori:=1tondo forj:=1tondo begin s:=0; fort:=1tondo s:=s+a[i,t]*b[t,j]; C[i,j]:=s; end; end. (b) program, który dla danej liczby naturalnej n 0 oblicza n!: begin ifn=0orn=1thensilnia:=1 else begin silnia:=1; fori:=2tondo silnia:=silnia*i; end; end. 4. Uzasadnić, że pesymistyczna złożoność czasowa algorytmu Bellmana- Fordawynosi O( V E ). 18