Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka ubezpieczeń na życie. Piotr Kowalski"

Transkrypt

1 Matematyka ubezpieczeń na życie Piotr Kowalski 27 stycznia 212

2 Spis treści 1 Elementy matematyki finansowej Oznaczenia Związki Notacja rachunku prawdopodobieństwa Hipotezy rozkładu życia Prawa śmiertelności Prawo de Moivre a Prawo Weibull a Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe UDD hipoteza jednostajności CFoM - hipoteza stałej śmiertelności Hipoteza Balducciego - hiperboliczna Notacja kohortowa i komutacyjna Kohorty Notacja komutacyjna Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci Ubezpieczenie od śmierci n-letnie Ubezpiecznie od śmierci wieczyste Ubezpieczenie na dożycie n-letnie Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie Ubezpieczenie odroczone Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku śmierci Ubezpieczenia odroczone Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci

3 SPIS TREŚCI Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym na koniec roku śmierci Inne Renty Renta ciągła Renty dyskretne Renty płatne z góry Renty płatne z dołu Inne Składki dla polis oraz rezerwy Składka płatna w sposób ciągły Składka płatna w sposób dyskretny A Tabele 19

4 Streszczenie Punktem wyjścia w teorii matematyki ubezpieczeń jest matematyka finansowa wraz z jej wnioskami. Główną tezą matematyki finansowej jest zmiana wartości pieniądza w czasie oraz wszelkie konsekwencje tegoż faktu. W matematyce ubezpieczeniowej teza ta jest modyfikowana i aplikowana do niemal wszystkich modelów matematyki finansowej. Teza ta orzeka, że wartość pieniądza zmienia się w czasie, lecz nie według deterministycznej funkcji, lecz pewnego prawdopodobieństwa. Głównym celem rozważań matematyki ubezpieczeniowej jest orzekanie o tzw. składce netto, która odpowiada uczciwej wycenie pieniądza względem czasu i prawdopodobieństwa w sensie średniej probabilistycznej. W tej pracy pragnę zebrać i omówić podstawy tych rozważań. W rozdziale 1 wprowadzamy podstawowe pojęcia matematyki finansowej, natomiast w rozdziale 2 omawiamy denotację oraz wprowadzamy pojęcia z rachunku prawdopodobieństwa niezbędne do wyceny pieniądza względem czasu i prawdopodobieństwa. Rozdział 3 poświęcony jest prezentacji modeli ubezpieczeniowych.

5 Rozdział 1 Elementy matematyki finansowej W tym rozdziale zbieżemy najważniejsze oznaczenia matematyki finansowej oraz łączące je związki 1.1 Oznaczenia 1.2 Związki Twierdzenie 1.1. Wartość czynnika dyskonta można wyrazić za pomocą natężenia oprocentowania, przy założeniu stałej kapitalizacji v t = e δt (1.1) Twierdzenie 1.2. Pomiędzy oprocentowaniem efektywnym, a efektywną stopą dyskonta występuje następująca zależność d = i 1 + i (1.2) 1

6 Rozdział 2 Notacja rachunku prawdopodobieństwa Najważniejsze założenie całej teorii ubezpieczeń polega na uznaniu, że istnieje rozkład prawdopodobieństwa życia dla wszystkich ludzi na świecie (lub w danej populacji). Uznajmy zatem, że zmienna losowa T x posiada właśnie taki rozkład dla obecnego x-latka. Zatem funkcja określona F x (t) = P (T x t) (2.1) jest dystrybuatną tego rozkładu życia. Przez f x oznaczać będziemy odpowiadającą gęstość. Dystrybuanta opisuje jaka część społeczność umrze przed przeżyciem x-lat życia. Przez s x (t) = 1 F x (t) (2.2) Czyli S będzie funkcją przeżywalności. oznaczamy prstwo, że x latek nie przeżyje t lat. oznaczamy prstwo, że x latek przeżyje t lat. tq x = F x (t) (2.3) tp x = 1 F x (t) (2.4) s tq x = F x (s + t) F x (s) = P (s < T x s + t) (2.5) prawdopodobieństwo przeżycia t lat i śmierci poniżej s następnych Dysponujemy oczywiście prstwami warunkowymi Ponadto trzymamy oznaczenie tp [x]+s = P (T x > s + t T x > s) = s+tpx sp x tq [x]+s = P (T x s + t T x > s) = s t q x sp x (2.6) q x := 1 q x ; p x := 1 p x (2.7) 2

7 ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 3 Dla tych prawdopodobieństw wprowadza się analogicznie charakterystyki prawdopodobieństwa e x = E [T x ] = Wartość oczekiwaną pozostałego życia tf x (t)dt (2.8) Twierdzenie 2.1. Mamy następujące wyrażenie oczekiwanej długości pozostałego życia (1) e x = tp x dt (2.9) W niektórych przypadkach posługujemy się również dyskretną (całkowitą) długością przyszłego życia (2) e x = ip x (2.1) Często posługujemy się pojęciem śmiertelności i jej intensywności i= µ [x]+t = f x(t) 1 F x (t) (2.11) Twierdzenie 2.2. Najważniejszym wzorem dotyczącym śmiertelności jest tq x = 2.1 Hipotezy rozkładu życia t sp x µ [x]+s ds (2.12) Definicja 2.3. Powiemy, że populacja spełnia warunek jednorodnej populacji kiedy dla dowolnego x latka rozkład warunkowy P (T x > t) = P (T > x + t T > x) (2.13) Definicja 2.4. Natężeniem zgonów nazwiemy µ t = s (t) s(t) (2.14) Zatem (z teorii równań różniczkowych) 1 Dowód w całkowaniu przez części 2 Dowód w całkowaniu przez części s(t) = exp t µ u du (2.15)

8 ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 4 Ponadto można uogólnić i otrzymać poniższe ( ) t tp x = exp µ x+s ds ( tq x = 1 exp Twierdzenie 2.5. Przy tej hipotezie zachodzi t ) µ x+s ds (2.16) tp [x]+u = t p x+u 2.2 Prawa śmiertelności Prawo de Moivre a µ [x]+t = µ x+t (2.17) Definicja 2.6. Powiemy, że spełnione jest prawo de Moivre a jeśli natężenie zgonów wyraża się µ t = 1 ω t, t < ω (2.18) Twierdzenie 2.7. Dla prawa de Moivre a zachodzi fakt, iż każdy przyszły rozkład życia x latka ma rozkład jednostajny. Wtedy Prawo Weibull a tp x = 1 t ω x 2.3 Hipotezy interpolacyjne - ułamkowe UDD hipoteza jednostajności (2.19) Definicja 2.8. Powiemy, że spełniona jest hipoteza jednostajności (UDD, uniform distribution of deaths), jeśli s(x + t) = (1 t)s(x) + ts(x + 1), t < 1, x N (2.2) Twierdzenie 2.9. Przy założeniu UDD zachodzi tq x = tq x tp x = 1 tq x t < 1, x N (2.21) µ x+t = qx 1 tq x CFoM - hipoteza stałej śmiertelności Definicja 2.1. Powiemy, że spełniona jest hipoteza stałego śmiertelności (constant force of mortality) jeśli µ x+n+u = µ x+n, u < 1 (2.22)

9 ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 5 Twierdzenie Przy hipotezie CFoM zachodzą up x = (p x ) u uq x = 1 (p x ) u t < 1, x N (2.23) µ x+t = logp x Hipoteza Balducciego - hiperboliczna Definicja Powiemy, że zachodzi hipoteza Balducciego jeśli 1 s(x + t) = t s(x + 1) + 1 t, t < 1, x N (2.24) s(x) Twierdzenie Rozwiązując powyższe otrzymujemy up x = p x 1 (1 u)q x uq x = uq x 1 (1 u)q x u < 1 (2.25) µ x+u = q x 1 (1 u)q x 2.4 Notacja kohortowa i komutacyjna Kohorty W matematyce ubezpieczeniowej rozważamy pewne klasy abstrakcji dla ubezpieczonych podzielonych np. wg wieku. Taką grupę nazywa się z reguły kohortą (3). Załóżmy, że posiadamy grupę osób urodzonych w jednym roku, np. 1 takich osób. Przez l x (2.26) Oznaczać będziemy ilość osób w kohorcie, która dożyła wieku x. Przez nd x = l x l x+n (2.27) oznaczać będziemy ilość osób zmarłych pomiędzy x a x+n rokiem życia. Naturalnie d x = 1 d x Twierdzenie Zachodzą związki Ponadto Twierdzenie Zachodzą następujące przybliżenia 3 Oddział wojska w starożytnym Rzymie l x l xp (2.28) nq x = ndx l x np x = lx+n l x (2.29)

10 ROZDZIAŁ 2. NOTACJA RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Notacja komutacyjna Definicja Funkcja D D x = v x l x (2.3) Definicja Funkcja C C x = v x+1 d x (2.31) Definicja Funkcja M M x = + k= C x+k (2.32) Definicja Funkcja R R x = + k= M x+k (2.33)

11 Rozdział 3 Ubezpieczenia na życie Ubezpieczenia na życie stanowią istotne uogólnienie w porównaniu do matematyki finansowej. Główne zadanie polega na adapatacji modeli finansowych do sytuacja gdzie istotną rolę odgrywa rachunake prawdopodobieństwa. Główne zadanie polega na wycenie przyszłych płatności pieniężnych w wadze z prawdopodobieństwem. Przykład 1. Pewien człowiek wykupił pewne ubezpieczenie. To ubezpieczenie zakłada, że jeśli zajdzie pewna sytuacja to wypłacone zostanie mu pewne odszkodowanie. Obecną wartość tego odszkodowania pozwolą nam wyjaśnić metody matematyki finansowej. Jednak zauważmy, że obecna wartość tego świadczenia wyniesie dokładnie tyle jedynie z pewnym prawdopodobieństwem. Biorąc wyceny wartości obecnej wszystkich tych świadczeń i łącząc je w pary z prawdopodobieństwami (lub gęstościami prawdopodobieństwa) tworzymy zmienną losową (ciągłą lub dyskretną) która łączy pary wartość obecna - prstwo. Czyli wartość obecna ubezpieczenia jest zmienną losową Definicja 3.1. Wartość oczekiwaną zmiennej losowej reprezentującej wartość obecną wypłat nazywam składką jednorazową netto świadczenia. Rozważmy teraz różne rodzaje ubezpieczeń, czyli de facto różne modele matematyki finansowej i ich konsekwenscje w matematyce ubezpieczeń na życie. 3.1 Ubezpieczenia płatne w chwili śmierci Najprostszymi modelami do zrealizowania są te, gdzie wypłata następuje niemal natychmiast po śmierci. Z punkty widzenia teorii oznacza to, że zmienna losowa reprezentująca przyszły czas życia nie podlega dodatkowej obróbce przed obliczeniami. Model ten jest również dobrze oddający faktyczne działanie ubezpieczeń. Rodzina zmarłego z reguły nie czeka za długo ze zgłoszeniem tego faktu i środki przelewane są również natychmiast po wypełnieniu wszelkich formalności. Można by zatem uznać, że czas wypłaty świadczenia wynosi T + k, gdzie T jest zmienną losową przyszłego czasu życia + k stałą liczbowa potrzebna do wypłaty. Pojawienie się wartości stałej w zmiennej losowej nie wprowadza nam przecież żadnych problemów modelowych. 7

12 ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie od śmierci n-letnie Rozważamy ubezpieczenie gdzie ubezpieczony nabywa świadczenie w wysokości 1 jednostki pieniężnej wypłacanej mu w chwili jego śmierci, jeśli ta zajdzie w ciągu n-lat ubezpieczenia. Zastanówmy się nad postacią zmiennej losowej opisującej wartość obecną tego świadczenia. Jeśli śmierć nastąpi w okresie n-lat ubezpieczenia to ubezpieczony otrzyma 1 jednostkę pieniężna. W przeciwnym wypadku nie otrzyma nic. Wartość obecna dla wypłaty 1 jednostki wynosi obecnie Z(t) = 1 v t, t (, n), gdzie t jest momentem wypłaty. Z kolei wartość obecna braku wypłaty wynosi oczywiście. Pozwala to nam uznać, że nasza zmienna losowa ma postać { v t, t (, n) Z(t) = (3.1), t n Rozkład zmiennej losowej T x, opisującej przyszły czas życia, jest rozkładem ciągłym o gęstości f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.2) Zatem składka jednorazowa netto może zostać wyrażona jako A 1 x:n := E[Z(T x )] = n Z(t) t p x µ t+x dt = n v t tp x µ t+x dt (3.3) Obserwacja 3.2. Zauważmy, że jeżeli chcemy policzyć E[Z k (T X )] to n n E[Z k (T x )] = Z k (t) t p x µ t+x dt = (v t ) k tp x µ t+x dt = = n (v k ) t tp x µ t+x dt (3.4) Czyli odpowiada to wartości A 1 x:n ale policzonej przy innym wskaźniku finansowym (v k zamiast v). Zauważmy, że v = e δ, (v k ) = e δk (3.5) Oznacza to, że wartość ta odpowiada cenie ubezpieczenia liczonego przy k-krotnie większym natężeniu. Do oznaczenie tego k krotnie większego natężenia używa się symbolu k A 1 x:n. Czyli stąd mamy E[Z k (T x )] = k A 1 x:n (3.6) Twierdzenie 3.3. ( V ar[z(t x )] = 2 A 1 x:n Ax:n) 1 2 (3.7) Ubezpiecznie od śmierci wieczyste Nasze rozważania odnośnie ubezpieczenie na okres n lat można rozszerzyć i rozważyć ubezpieczenie trwające na resztę życia osobnika. Wtedy naturalnie mamy zmienną losową postaci: { v t, t > Z(t) = (3.8), t

13 ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 9 przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.9) Zatem A x := E[Z(T x )] = + Z(t) t p x µ t+x dt = + v t tp x µ t+x dt (3.1) Ubezpieczenie na dożycie n-letnie Troszeczkę różne w swej konstrukcji jest ubezpieczenie na dożycie. Opiera się ono o inny rodzaj umowy ubezpieczeniowej postaci, jeśli ubezpieczony przeżyje okres n-lat to firma ubezpieczeniowa przekaże mu kwotę równą 1 jednostce pieniężnej w chwili wygaśnięcia umowy, oraz nic w wypadku śmierci w tym okresie. Z punktu widzenia modelu, jest to najprostsze do obliczenia ubezpieczenie Rozważamy tu funkcję wartości obecnej wypłaty postaci Z(t) = { v n, t > n, t < (3.11) gdyż świadczenie jest wypłacone w chwili wygaśnięcia umowy tj. w dokładnie n-lat po jego podpisaniu. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = tp x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.12) Zatem otrzymujemy A 1 x:n := E[Z(T x )] = + Z(T x ) t p x µ t+x dt = + n v n tp x µ t+x = v n np x (3.13) Uwaga 3.4. Ubezpieczenie na dożycie jest często stosowane aby wyrazić zmianę wartości aktuarialnej świadczenia w czasie. Stosuje się do tego alternatywny symbol o identycznej wycenie ne x = A 1 x:n = v n np x (3.14) Czyli cenę w chwili x, świadczenia wartego 1 w chwili x+n Ubezpieczenie na życie i dożycie n letnie Kombinacją powyższych ubezpieczeń jest umowa gdzie ubezpieczony otrzymuje świadczenie 1 jednostki pieniężnej w przypadku śmierci w okresie n lat ubezpieczenia lub 1 jednostki pieniężnej w chwili wygaśnięcia okresu ubezpieczenia. Jako, że sytuacje tych wypłat się jawnie wykluczają zastosowanie ma wzór A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n (3.15)

14 ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenie odroczone Nietrudno również wyobrazić sobie uogólnienie tych ubezpieczeń na wypadek odroczenia ich, tzn. przypadku gdy okres ochrony ubezpieczeniem rozpocznie się dopiero od pewnego momentu w przyszłości. Do określenia wartości tego ubezpieczenia można łatwo, odwołując się do intuicji, powiedzieć że jest to wartość obecna odpowiedniego ubezpieczenia nieodroczonego zawartego w przyszłości. Wartość tę należy jednak zdyskontować zarówno względem wartości finansowej jak i prawdopodobieństwa. Przykład 2. Osoba w wieku x lat przychodzi i wykupuje dowolne ubezpieczenie odroczone o m lat. Gdyby przyszła za m - lat i wykupiła to ubezpieczenie zapłaciła by za nie kwotę A. Obecna wartość tego ubezpieczenia jest mniejsza z dwóch przyczyn. 1. Gdyby ta osoba chciała kupić to ubezpieczenie za m - lat musiałaby odłożyć do banku kwotę mniejszą o oprocentowanie z wkładu 2. Osoba ta nie wie czy dożyje momentu rozpoczęcia ubezpieczenia Oznacza to, że wartość obecne tego ubezpieczenia jest obniżana i wynosi B B = v m mp x A (3.16) Określmy zatem odpowiednie składki jednorazowe netto Twierdzenie 3.5. Zachodzą następujące własności m A 1 x:n = v m mp x A 1 x+m:n m A x = m A 1 x:n = m A x:n = v m mp x A x+m v m mp x A 1 x+m:n v m mp x A x+m:n (3.17) Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie 3.2 Ubezpieczenia płatne na koniec roku śmierci Często spotykane są również ubezpieczenia wypłacane na koniec jakiegoś okresu. Według ogólnego modelu rozważa się płatne na koniec roku, jednakże w sposób naturalny można przeprowadzić uogólnienia na również inne przypadki Ubezpieczenie n-letnie płatne na koniec roku śmierci Przykładowym ubezpieczeniem płatnym na koniec roku śmierci jest przeniesienie ubezpieczenia n-letniego płatnego w chwili śmierci na przypadek płatności

15 ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE 11 na koniec roku. Do najważniejszych różnic jakie wprowadza wypłata końcoworoczna należy wartość obecna kwoty wypłaty. Skoro wypłata następuje jedynie w dokładnie określonych momentach czasu: { v [t]+1 t (, n) Z(t) = (3.18) p.p. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.19) wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco : A 1 x:n := E[Z(T x)] = + Z(t) t p x µ t+x dt = = n 1 i= i+1 i v i+1 tp x µ t+x dt = n 1 i= v i+1 i+1 i tp x µ t+x dt = (3.2) = n 1 i= v i+1 ip x q x+i Ubezpieczenie wieczyste płatne na koniec roku śmierci Również kolejne ubezpieczenia jesteśmy w stanie przenieść z płatnością na koniec roku { v [t]+1 t > Z(t) = (3.21) p.p. Liczone oczywiscie przy rozkładzie zmiennej losowej T x f Tx (t) = t p x µ t+x 1l (,+ ) (t) (3.22) wtedy składka jednorazowa netto jest określona następująco : A x := E[Z(T x )] = + Z(t) t p x µ t+x dt = = i= i+1 i v i+1 tp x µ t+x dt = v i= i+1 i+1 i tp x µ t+x dt = (3.23) = v i+1 ip x q x+i i= Ubezpiecznie na życie i dożycie płatna na koniec roku śmierci Pomimo, iż (jak nie trudno spostrzec) ubezpieczenie na dożycie jest takim samym ubezpieczeniem niezależnie czy rozważamy rok śmierci ubezpieczonego czy dokładny moment śmierci. Jednakże w przypadku ubezpieczenie na życie i dożycie, ubezpieczenia te będą się różniły w tych dwóch wersjach. Mimo wszystko dalej utrzymana jest odpowiadająca równość A x:n = A 1 x:n + A 1 x:n (3.24)

16 ROZDZIAŁ 3. UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE Ubezpieczenia odroczone W sposób zupełnie analogiczny jak poprzednio możemy zdefiniować ubezpieczenia odroczone Twierdzenie 3.6. Zachodzą następujące własności m A 1 x:n = m A x = vm mp x A 1 x+m:n v m mp x A x+m (3.25) m A x:n = v m mp x A x+m:n Ubezpieczenie n-letnie o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci Ubezpieczenie wieczyste o wypłacie rosnącej, wypłacanym na koniec roku śmierci Ubezpieczenie n-letnie o malejącej wypłacie, wypłacanym na koniec roku śmierci Inne Twierdzenie 3.7. Istnieje ważny związek łączący ubezpieczenia płatne w chwili śmierci i na koniec roku. Zakładając UDD: A = i δ A x A 1 x:n = i δ A1 x:n (3.26) Twierdzenie 3.8. Zachodzą następujące wzory A x = Mx D x A 1 x:n = Mx Mx+n D x A 1 x:n = Dx+n D x (3.27) A x:n = Mx Mx+n+Dx+n D x

17 Rozdział 4 Renty Troszeczkę inaczej sprawa ma się z rentami ubezpieczeniowymi. Przypomnijmy, że rentą nazywamy ciąg przyszłych jednakowych płatności. Pod pojęciem renty ubezpieczeniowej kryje się zatem umowa wedle, której ubezpieczony o ile żyje otrzymuje wypłatę. 4.1 Renta ciągła Renta ciągła jest najprostszą, a jednocześnie najtrudniejszą do interpretacji formą renty ubezpieczeniowej. Świadczenie jest wypłacane w sposób ciągły i stanowi to przypadek graniczny dla zwiększania ilości okresów kapitalizacji. Świadczenie jest więc wypłacane o ile tylko świadczeniobiorca żyje, co oddaje poniższy wzór: Twierdzenie 4.1. Wartość obecna renty ciągłej wieczystej wynosi (1) a x = + v t tp x dt (4.1) Analogicznie Ponadto n a x:n = v t tp x dt (4.2) Twierdzenie 4.2. Dla renty ciągłej zachodzi równość 1 = δa x + A x (4.3) Ponadto można też rozważać tę rentę w wersji odroczonej k a x = v k kp x a x+k (4.4) 1 dowodzi się dzięki całkowaniu przez części 13

18 ROZDZIAŁ 4. RENTY Renty dyskretne Duże szersze zastosowanie mają renty dyskretne. W ubezpieczeniu rentowym dyskretnym ubezpieczony otrzymuje w jaśnie określonych punktach w liczbie conajwyżej przeliczalnej Renty płatne z góry Pierwszym typem rent są renty płatne z góry. Znacznie rzadziej stosowane w praktyce stanowią narzędzie pomocnicze Definicja 4.3. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z góry nazwiemy rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na początek każdego roku ubezpieczenia ä x = v i ip x (4.5) i= Analogicznie definiuje się n-letnią rentę n 1 ä x:n = v i ip x (4.6) i= oraz renty odroczone k ä x = v k kp x ä x+k ä x:k k ä x:n = v k (4.7) kp x ä x+k:n Również tu zachodzi twierdzenie Twierdzenie 4.4. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość Renty płatne z dołu 1 = d ä x + A x (4.8) Drugim typem rent są renty płatne z dołu. Znacznie częściej stosowane w praktyce stanowią istotne narzędzie w zadaniach aktuariusza Definicja 4.5. Przez ubezpieczeniową rentę wieczystą płatną z dołu nazwiemy rentę wypłacającą jednostkę pieniężną na koniec każdego przeżytego roku a x = v i ip x (4.9) i=1 Analogicznie definiuje się n-letnią rentę n a x:n = v i ip x (4.1) i=1 oraz renty odroczone k a x = v k kp x a x+k a x:k k a x:n = v k (4.11) kp x a x+k:n Również tu zachodzi twierdzenie Twierdzenie 4.6. Dla renty płatnej z góry zachodzi równość 1 = ia x + (1 + i)a x (4.12)

19 ROZDZIAŁ 4. RENTY Inne Twierdzenie 4.7. Zachodzą następujące wzory a x = Nx+1 D x ä x = Nx D x ä x:n = Nx Nx+n D x n ä x = Nx+n D x (4.13) n a x = Nx+n+1 D x M x = D x dn x

20 Rozdział 5 Składki dla polis oraz rezerwy Umowy ubezpieczeniowe podejmowane są w sposób, który do partycypacji w ryzyku śmierci przyjmuje obie strony. Najczęściej firmy ubezpieczeniowe decydują się na umowy w których otrzymują okresowe składki, a w zamian wypłacają świedczenia w wypadku śmierci. Najczęściej jest to więc wymiana gdzie jedna ze stron wystawia ubezpieczenie na życie, a druga płaci rentę ubezpieczeniową. Najważniejszym zadaniem postawionym przed tym problemem jest wycena składki, która powinna być płacona by kompensować dane ubezpieczenie. Czyli problem posiada postać A = K a (5.1) gdzie A jest pewnym ubezpieczeniem, a rentą ubezpieczeniową, natomiast K jest poszukiwaną składką. Możliwa do zdefiniowania jest funkcja, która danemu ubezpieczeniu przypisuje należną za niego składkę. Drugim istotnym problemem dotyczącym opłacania składek jest tzw. problem rezerw. Problem rezerw dotyka problemu faktycznego dochodu ubezpieczalni. W przypadku upłacania składek może się bowiem okazać, że składka za dany okres faktycznie nie pokrywa się dokładnie z oczekiwaną wypłatą w danym roku. Oznacza to, że po pewnym okresie, jedynie część z wpłaconych do ubezpieczalni pieniędzy może być traktowana jako zarobiona przez nią. Resztę należy odłożyć aby pokryć przyszłe zobowiązania wobec danej umowy ubepieczeniowej. 5.1 Składka płatna w sposób ciągły Definicja 5.1. Przez składkę w ubepieczeniu, płatną wieczyście w sposób ciągły dla ubezpieczenia A rozumieć będziemy wartość P ( A x ) = A x a x (5.2) Definicja 5.2. Przez rezerwę po czasie t rozumieć będziemy, wysokość zdeponowanej kwoty na poczet przyszłym wypłat. Rezerwa po czasie t będzie opisana symbolem i wzorem tv ( A x ) = ( Ax+t P ( A x ) ax+t ) (5.3) 16

21 ROZDZIAŁ 5. SKŁADKI DLA POLIS ORAZ REZERWY 17 Zauważmy, że wartość rezerwy jest na osi liczona zawsze w chwili x+t. Jeśli rozważamy ubepieczenia terminowe składki przyjmują postać Twierdzenie 5.3. Dla ubezpieczenia na n-lat ( ) P A 1 x:n = A1 x:n a x:n ( ) ( ) (5.4) tv A 1 x:n = A 1 x+t:n t P A 1 x:n a x+t:n t Analogicznie wyprowadza się również i inne wzory. 5.2 Składka płatna w sposób dyskretny W zasadzie wszystkie przypadki (a jest ich mnoga ilość) mogą być łatwo wyprowadzone z idei przedstawionej w poprzedniej sekcji. W przypadku jednak składek płatnych w sposób dyskretny dodatkową, istotną uwagą, jest że rezerwy w takim wypadku mają sens bycia liczonymi jedynie w chwilach wpłaty dyskretnej składki. Twierdzenie 5.4. Zachodzą następujące wzory P x = Ax ä x kv x = A x+k P x ä x+k P1 = A1 x:n x:n ä x:n kv1 = A 1 x+k:n k P1 x:n x:n ä x+k:n k (5.5) P 1 x:n = A 1 x:n ä x:n kv 1 x:n = Ax+k:n k P 1 1 x:n ä x+k:n k

22 Bibliografia [1] Bowers Newton L., Gerber Hans U., and Hickman James C.. Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, [2] Błaszczyszyn Bartłomiej and Rolski Tomasz. Podstawy matematyki ubezpieczeń na życie. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa,

23 Dodatek A Tabele wartość UDD CFoM Balducci tq x tq x 1 p t x tq x 1 (1 t)q x µ x+t q x 1 tq x log p x q x 1 (1 t)q x tp x 1 tq x p t x p x 1 (1 t)q x tp x µ x+t q x p t x log p x q x p x [1 (1 t)q x] 2 Tabela A.1: Założenia o śmiertelnościach między całkowitymi latami 19

24 DODATEK A. TABELE 2 Model µ x x p t x q t Ograniczenia Stała śmiertelność µ e µt 1 e µt µ > 1 Moivre ω x 1 t t ω x ω x x < ω. Gompetz B c x B >, c > 1, x. Makeham A + Bc x B >, A B, c > 1, x Weibull kx n k >, n >, x Tabela A.2: Modele przeżywalności Rodzaj okres ubezpieczenia symbol Wzór + Wieczyste A x v t tp x µ t+x dt Płatne n-letnie A 1 n x:n v t tp x µ t+x dt w chwili dożycie A 1 x:n v n np x śmierci życie i dożycie A x:n A 1 x:n + A 1 x:n m A 1 x:n v m mp x A 1 x+m:n odroczone m A x m A 1 x:n v m mp x A x+m v m mp x A 1 x+m:n m A x:n v m mp x A x+m:n Wieczyste A x v i+1 ip x q x+i Płatne n-letnie A 1 x:n i= n 1 v i+1 ip x q x+i na koniec życie i dożycie A x:n A 1 x:n + A 1 x:n i= m A 1 x:n v m mp x A 1 x+m:n roku śmierci odroczone m A x v m mp x A x+m m A x:n v m mp x A x+m:n Tabela A.3: Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie

3 Ubezpieczenia na życie 3 Ubezpieczenia na życie O ile nie jest powiedziane inaczej, w poniższych zadaniach zakładamy HJP. 3.1. Zadania 7.1-7.26 z Miśkiewicz-Nawrocka, Zeug-Żebro, Zbiór zadań z matematyki finansowej. 3.2. Mając

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii przeżywalności

Elementy teorii przeżywalności Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1.1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 8 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 3 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

1. Przyszła długość życia x-latka

1. Przyszła długość życia x-latka Przyszła długość życia x-latka Rozważmy osobę mającą x lat; oznaczenie: (x) Jej przyszłą długość życia oznaczymy T (x), lub krótko T Zatem x+t oznacza całkowitą długość życia T jest zmienną losową, której

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

1 Elementy teorii przeżywalności

1 Elementy teorii przeżywalności 1 Elementy teorii przeżywalności Zadanie 1 Zapisz 1. Prawdopodobieństwo, że noworodek umrze nie później niż w wieku 80 lat 2. P-two, że noworodek umrze nie później niż w wieku 30 lat 3. P-two, że noworodek

Bardziej szczegółowo

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r. 1. W danej populacji intensywność śmiertelności zmienia się skokowo w rocznicę narodzin i jest stała aż do następnych urodzin. Jaka jest oczekiwana liczba osób z kohorty miliona 60-latków, które umrą po

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 17 marca 2008 r. 1. Niech oznacza przeciętne dalsze trwanie życia w ciągu najbliższego roku obliczone przy założeniu hipotezy interpolacyjnej o stałym natężeniu wymierania między wiekami całkowitymi. Podobnie niech oznacza

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza 1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza x µ x = 06e. dożyje wieku największej śmiertelności (tzn. takiego wieku, w którym

Bardziej szczegółowo

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r.

LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 28 września 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:...klucz odpowiedzi... Czas egzaminu:

Bardziej szczegółowo

Metody aktuarialne - opis przedmiotu

Metody aktuarialne - opis przedmiotu Metody aktuarialne - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Metody aktuarialne Kod przedmiotu 11.5-WK-MATP-MA-W-S14_pNadGenEJ6TV Wydział Kierunek Wydział Matematyki, Informatyki i Ekonometrii

Bardziej szczegółowo

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 28

Bardziej szczegółowo

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 2 Tablice trwania życia 1 Cele (na dzisiaj): Zrozumieć w jaki sposób można wyznaczyć przysz ly czas życia osoby w wieku x. Zrozumieć parametry

Bardziej szczegółowo

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:. Czas egzaminu: 100 minut Warszawa, 31

Bardziej szczegółowo

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.

XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

4. Ubezpieczenie Życiowe

4. Ubezpieczenie Życiowe 4. Ubezpieczenie Życiowe Składka ubezpieczeniowa musi brać pod uwagę następujące czynniki: 1. Kwotę wypłaconą przy śmierci ubezpieczonego oraz jej wartość aktualną. 2. Rozkład czasu do śmierci ubezpieczonego

Bardziej szczegółowo

LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1 1. W populacji B natężenie wymierania µ ( B ) x jest większe od natężenia wymierania ( A) µ x w populacji A, jednostajnie o µ > 0, dla każdego wieku x tzn. ( B) ( A) µ µ x = µ. Niech ponadto x M( s) oznacza

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 3 Tablice trwania życia 2 1 Przypomnienie Jesteśmy już w stanie wyznaczyć tp x = l x+t l x, gdzie l x, l x+t, to liczebności kohorty odpowiednio

Bardziej szczegółowo

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci 1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci + t µ + t A + B 2. Wyznacz prawdopodobieństwo, że z grupy tej nikt nie umrze w ciągu najbliższych 5 lat, jeśli

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 5 Kalkulacja sk ladki netto I 1 Kodeks cywilny Tytu l XXVII, Umowa ubezpieczenia Dzia l I. Przepisy ogólne Dzia l II. Ubezpieczenia majatkowe

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: = . Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: ~ 0,9g( t) 0 t < 50 g ( t) =,2 g( t) 50 t. opisuje ona śmiertelność

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 6 Matematyka finansowa Rachunek rentowy (annuitetowy) Mianem rachunku rentowego określa się regularne płatności w stałych odstępach czasu przy założeniu stałej stopy

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne.

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 6 Kalkulacja sk ladki netto II. Funkcje komutacyjne. 1 Przypomnienie Umowa ubezpieczenia zawiera informacje o: Przedmiocie ubezpieczenia Czasie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 11 Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - Ubezpieczenia Ŝyciowe 2 Składki netto w ubezpieczeniach Ŝyciowych Zakład ubezpieczeniowy pobiera za ubezpieczenia składkę brutto, składającą się ze składki netto

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r.

LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Koisja Egzainacyjna dla Aktuariuszy LV Egzain dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część II Mateatyka ubezpieczeń życiowych Iię i nazwisko osoby egzainowanej:... Czas egzainu: 100 inut Warszawa, 13 grudnia

Bardziej szczegółowo

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r.

LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 2005 r. Część II Matematyka ubezpieczeń życiowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut Warszawa, 6

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r.

XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVII Egzamin dla Aktuariuszy z 6 października 2008 r. Część II Matematyka ubezpieczeń Ŝyciowych Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń na życie Life Insurance Mathematics. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C

Matematyka ubezpieczeń na życie Life Insurance Mathematics. Matematyka Poziom kwalifikacji: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2C Nazwa przedmiotu: Kierunek: Rodzaj przedmiotu: przedmiot obowiązkowy dla specjalności matematyka finansowa i ubezpieczeniowa Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka ubezpieczeń na życie Life Insurance

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia.

Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej. Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia. Jednorazowa sk ladka netto w przypadku stochastycznej stopy procentowej Ubezpieczenie na ca le życie z n-letnim okresem odroczenia Wartość obecna wyp laty Y = Zatem JSN = = Kx +1 0, K x = 0, 1,..., n 1,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 006 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Inwestor dokonuje

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ), Zadanie. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ) ( ) i gęstością: ( ) na przedziale ( ). Wobec tego ( ) wynosi: (A) 0.2295 (B) 0.2403 (C) 0.2457 (D) 0.25 (E) 0.269 Zadanie 2. Niech:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy

ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej,

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Zadanie Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 200

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa

System finansowy gospodarki. Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa System finansowy gospodarki Zajęcia nr 5 Matematyka finansowa Wartość pieniądza w czasie 1 złoty posiadany dzisiaj jest wart więcej niż 1 złoty posiadany w przyszłości, np. za rok. Powody: Suma posiadana

Bardziej szczegółowo

Pieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska:

Pieniądz ma zmienną wartość w czasie również w przypadku zerowej inflacji. Jest kilka przyczyn tego zjawiska: Prawie wszyscy wiedzą, że pewna suma pieniędzy ma dziś większą wartość niż ta sama suma w przyszłości. Mówi się, że pieniądz traci na wartości. Używając bardziej precyzyjnej terminologii trzeba powiedzieć

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 3 Ćwiczenia 3 Rachunek rentowy Jako rachunek rentowy traktuje się regularne płatności płacone w stałych przedziałach czasu przy czym towarzyszy temu stała stopa procentowa. Wykorzystanie: renty; płatności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka w ubezpieczeniach na życie

Matematyka w ubezpieczeniach na życie Matematyka stosowana Matematyka w ubezpieczeniach na życie Mariusz Skalba skalba@mimuw.edu.pl Uniwersytet Warszawski, 211 Streszczenie. Ze skryptu tego możesz się nauczyć jak obliczać składki i rezerwy

Bardziej szczegółowo

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona.

Rachunek rent. Pojęcie renty. Wartość początkowa i końcowa renty. Renty o stałych ratach. Renta o zmiennych ratach. Renta uogólniona. Temat: Rachunek rent Pojęcie renty Wartość początkowa i końcowa renty Renty o stałych ratach Renta o zmiennych ratach Renta uogólniona Zadanie 1 Przez 2 lata na koniec każdego miesiąca wpłacamy 1 000 PLN

Bardziej szczegółowo

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE

Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Paulina Drozda WARTOŚĆ PIENIĄDZA W CZASIE Zmianą wartości pieniądza w czasie zajmują się FINANSE. Finanse to nie to samo co rachunkowość. Rachunkowość to opowiadanie JAK BYŁO i JAK JEST Finanse zajmują

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Wydział Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady Łódź 2006 Rozdział 1 Oprocentowanie lokaty

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe

1 Renty życiowe. 1.1 Podstawowe renty życiowe Renty życiowe Renta życiowa jest serią płatności okonywanych w czasie życia ubezpieczonego Jej wartość teraźniejsza jest zienną losową (bo zależy o przyszłego czasu życia T, oznaczaną Y Postawowe renty

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA KURSU/GRUPY KURSÓW

WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA KURSU/GRUPY KURSÓW WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA KURSU/GRUPY KURSÓW Nazwa w języku polskim: UBEZPIECZENIA ŻYCIOWE Nazwa w języku angielskim: LIFE INSURANCE Kierunek studiów (jeśli dotyczy): MATEMATYKA Specjalność

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane

Zajęcia 1. Pojęcia: - Kapitalizacja powiększenie kapitału o odsetki, które zostały przez ten kapitał wygenerowane Zajęcia 1 Pojęcia: - Procent setna część całości; w matematyce finansowej korzyści płynące z użytkowania kapitału (pojęcie używane zamiennie z terminem: odsetki) - Kapitalizacja powiększenie kapitału o

Bardziej szczegółowo

Podstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk

Podstawy teorii oprocentowania. Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Podstawy teorii oprocentowania Łukasz Stodolny Radosław Śliwiński Cezary Kwinta Andrzej Koredczuk Cykl produkcyjny zakładów ubezpieczeń Ryzyko działalności zakładu ubezpieczeń Ryzyko finansowe działalności

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej

2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej 2.1 Wartość Aktualna Renty Stałej Zakładamy że dana osoba ma dostać kwotę o stałej wartości nominalnej x przez N okresów (zwykle miesięcznie lub rocznie), np. stała renta/emerytura. Zakładamy że pierwsza

Bardziej szczegółowo

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia

Aktuariat i matematyka finansowa. Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Aktuariat i matematyka finansowa Rezerwy techniczno ubezpieczeniowe i metody ich tworzenia Tworzenie rezerw i ich wysokość wpływa na Obliczanie zysku dla potrzeb podatkowych, Sprawozdawczość dla udziałowców,

Bardziej szczegółowo

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2

Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Zadania do wykładu Matematyka bankowa 2 Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Program określonych składek. Zgodnie z programem określonych składek:

Program określonych składek. Zgodnie z programem określonych składek: Rachunkowość programów określonych składek jest prosta, ponieważ zobowiązanie za każdy okres ustala się na podstawie kwot składek do wniesienia za dany rok. Program określonych składek Zgodnie z programem

Bardziej szczegółowo

METODY MATEMATYCZNE W DYDAKTYCE UBEZPIECZEŃ NA STUDIACH EKONOMICZNYCH

METODY MATEMATYCZNE W DYDAKTYCE UBEZPIECZEŃ NA STUDIACH EKONOMICZNYCH D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 7 (11) 2010 METODY MATEMATYCZNE W DYDAKTYCE UBEZPIECZEŃ NA STUDIACH EKONOMICZNYCH Abstract: In universities economics the issues associated with functioning

Bardziej szczegółowo