ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy

Transkrypt

1 Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 1 Wprowadzajacy 1

2 Matematyka aktuarialna 1. matematyka w ubezpieczeniach, 2. dok ladniej, matematyka ubezpieczeń na życie, 3. czasami szerzej, matematyka stosowana do oszacowania ryzyka w ubezpieczeniach i finansach. 2

3 Ryzyko 1. możliwość wystapienia niekorzystnego zdarzenia, 2. czasami możliwość wystapienia zdarzenia innego niż przewidywane. Specjalista w zakresie oszacowania ryzyka jest aktuariusz. 3

4 Aktuariusz to specjalista ubezpieczeniowy, który oszacowuje za pomoca metod matematyki aktuarialnej wysokość sk ladki, świadczeń, odszkodowań czy rezerw ubezpieczeniowych. Aktuariusze w oparciu o dane historyczne, regulacje prawne i prognozy dokonuja kalkulacji prawdopodobieństwa zdarzeń losowych takich jak narodziny, ma lżeństwo, choroba, bezrobocie, wypadki, czy wreszcie śmierć. 4

5 Matematyke aktuarialna zapoczatkowa ly pod koniec XVII w. prace angielskiego astronoma E. Halleya dotyczace wymieralności w wybranej populacji. W 1948 r. w Londynie powsta l Instytut Aktuariuszy - pierwsza naukowa placówka zajmujaca sie aktuariatem. 5

6 Ustawa o dzia lalności ubezpieczeniowej (Dz. U. Nr 124, poz. 1151) Artyku l 159 ust. 1: ustalanie wartości rezerw techniczno-ubezpieczeniowych kontrolowanie aktywów stanowiacych pokrycie rezerw techniczno-ubezpieczeniowych wyliczanie marginesu wyp lacalności sporzadzenie rocznego raportu o stanie portfela ubezpieczeń ustalanie wartości sk ladników sk ladników zaliczanych do środków w lasnych 6

7 Program przedmiotu Tablice trwania życia, czyli kilka s lów o demografii Kalkulacja sk ladki netto w podstawowych typach ubezpieczń na życie Kalkulacja sk ladki netto w podstawowych typach rent Rezerwy w praktyce ubezpieczeniowej Elementy teorii użyteczności i ryzyka indywidualnego. 7

8 Egzamin aktuarialny. Rozporzadzenie Ministra Finansów z 20 listopada 2003 w sprawie zakresu obowiazuj acych tematów egzaminów aktuarialnych oraz trybu przeprowadzania tych egzaminów (Dz. U. Nr 211, poz. 2054). 1. matematyka finansowa 2. matematyka ubezpieczeń na życie 3. matematyka pozosta lych ubezpieczeń osobowych i majatowych 4. teoria prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8

9 Matematyka ubezpieczeń życiowych 1. Elementy ekonomiki ubezpieczeń życiowych 2. Tablice trwania życia 3. Ubezpieczenia na życie 4. Renty życiowe 5. Sk ladki ubezpieczenia netto 6. Rezerwy netto 9

10 Literatura do wyk ladu B. B laszczyszyn, T. Rolski, Podstawy Matematyki ubezpieczeń na życie, WNT H. Gerber, Life Insurace Mathematics, Springer V. I. Rotar, Actuarial models. The mathematics of insurance, CRC Press, Taylor & Francis Group S. D. Promislow, Fundamental of Actuarial Mathematics, Wiley F. E. Szabo, Actuaries Survival Guide. How to succeed in one of the most desirable professions, Elsevier

11 Ubezpieczenie Wyk ladowcy WMA na wypadek śmierci p latne spadkobiercom Wyk ladowcy na koniec miesiaca, w którym nastapi la śmierć Wyk ladowcy Problem: Wyznaczyć sk ladk e w takim ubezpieczeniu. 11

12 Co to jest sk ladka netto? Nieprecyzyjnie: Kwota, która powinien pobrać ubezpieczyciel, aby suma wp lat nie by la mniejsza od sumy wyp lat z tytu lu ubezpieczenia. Dlaczego netto? 12

13 Zmiana wartości pieniadza w czasie Wartość obecna kwoty S osiagalnej po k okresach S (1 + i) k = vk S, gdzie i jest efektywna stopa procentowa dla zadanego okresu. 13

14 Stopa procentowa jest cena pieniadza. Stopa procentowa równoważy popyt z podaża. Popyt zg laszany przez gospodarstwa domowe, podmioty gospodarcze. Podaż to oszcz edności gospodarstw domowych i podmiotów gospodarczych. 14

15 Wartość obecna wyp laty z tytu lu ubezpiecznia na życie to zmienna losowa. Jej wartość zależy od warunków ubezpieczenia oraz przysz lego czasu życia osoby ubezpieczonej. Podstawowy obiekt: Zmienna losowa przysz ly czas życia osoby w wieku x, oznaczana T x. Za lożenie: zmienna losowa T x przyjmuje nieujemne wartości i ma rozk lad ciag ly dla każdego x R. To znaczy funkcja F x (t) = P (T x t), zwana dystrybuanta rozk ladu zmiennej T x, ma rozk lad ciag ly. 15

16 Sk ladka netto = Wartość oczekiwana obecnej wartości wyp laty 16

17 Twierdzenie 1 (Ko lmogorow) Niech X n : Ω R bedzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozk ladzie i takim, że E X 1 <. Wówczas P { ω : 1 lim n n n k=1 } X k = EX 1 = 1. Wniosek Obserwujac czas życia osób w tym samym wieku należacych do odpowiednio dużej populacji osób urodzonych w tym samym momencie (sic!) można wyznaczyć prawodopodobieństwo, że osoba w wieku x przeżyje k lat. 17

18 Hipoteza jednorodnej populacji HJP P (T x > t) = P (T 0 > x + t T 0 > x), t, x 0. Znajac T 0 możemy wyznaczyć wszystkie pozosta le rozk lady! 18

19 Mi edzynarowy System Oznaczeń Aktuarialnych Prawdopodobieństwo, że x-latek umrze przed up lywem czasu t tq x = F x (t) = P (T x t), prawdopodobieństwo, wiecej niż t lat że x-latek przeżyje tp x = 1 F x (t) = P (T x > t) 1p x = p x, 1q x = q x. 19

20 P (śmierci wyk ladowcy WMA w semestrze zimowym = 0,