P R A C E I P P T I B T P R E P O R T S. Witold Nowacki. Twierdzenie o zupełności funkcji naprężeń w termosprężystości 1/1967 PAN

Transkrypt

1 P R A C E I P P T I B T P R E P O R T S Witold Nowacki Twierdzenie o zupełności funkcji naprężeń w termosprężystości 1/1967 PAN INSTYTUT PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI P O L S K I E J A K A DE Ml I NA U K

2 w_termosgr żj[stości Witold Howaeki 1. Wstęp Rozważymy ciało sprężyste, izotropowe i jednorodne, zajmujące obszar.s ograniczony powierzchnią n. Ciało poddane działaniu sił zewnętrznych, i ogrzaniu dozna deformacji. W ciele powstanie pole przemieszczeń 2ć(X,tj oraz pole temperatury t/(x/'i-) > zależne od położenia punktu X ± czasu f,. Pola te opisane są układem równań różniczkowych fi] & = - & Tutaj U~r~lo jest przyrostem temperatury, / jest temperaturą bezwzględną, l e temperaturą stanu naturalnego, w którym tak odkształcenia jak i naprężenia są równe zeru. Praee A oznaczono wektor sił masowych, przez O - gęstość. Wielkości U, ż\ są stałymi Lamega dla stanu izotermicznego, a ^"ok^f t &ćlzie K a h*ę-h jest modulen ściśliwości, a oc^ jest współczynnikiem liniowej rozszerzalności termicznej. Dalej: &- /c s» gdzie A o jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego, a -C f jest ciepłem właściwym przy stałej deformacji. Wreszcie /t? = JP'' o /\ o ora* Q

3 - 2 - gdzie praoz rv oznaczono ilość ciepła, wytwarzaną w jednostce objętości i w jednostce czasu. Kropka nad funkcją oznacza jej pochodną czaaową: 6'96/dt, ft~v%fótt Dokonując dekompozycji wektora przemieszczenia sa csęśó potencjalną i solenoidalaą oraz w podobny sposób rozkładając wektor sił masowych /i.4/ X doprowadzamy układ równań. /1.1/ i /1.2/ do postaci Wprowadziliśmy tu następujące oznaczenia: Eliainacja temperatury z równań /1.5/ i /1.7/ prowadzi do równań /i.w

4 - 3 - gdsie Równanie /1.9/ przedstawia podłużną, a równanie /1.10/ poprzeczną falę termosprężystą. W klasycznej elaatokinetyee przy założeniu procesu adiabatycznego mamy do czynienia z układem równań przemieszczaniowyeli Z1.11/ /L, 7 2 it+(\i +A<) grttdcur iz+ X -f u, Występujące w tych równaniach stałe Lamego JU Ć, A d odnoszą się do stanu adiabatyosnesot a / 2r"^r %AÓ 3 ^r ~<ft'/far*ą Ur ) 4* r ={3\ r 4-2/M r )cl, gdzie Uj., \f są stałymi Lamego, miersonymi w waronkach izotermicznyeh. Przedstawiając prseaiesbosenie w postaci /1.3/ otrzymamy następujące równanie falowe: gdsie O.Soaigliana [3] oras F.Dubea [4] udowodnili, te przedstawieni* /'f. 3/ pray pomocy potencjałów ^7 i j[ stanowi supełne roz wiąaanie jeównań /1.11/» E-Sternberg w pracy 5] przedstawił argumenty, uzasadniające zupełność rozwiązania generalnego sprzężonych równań tezmosprę&ystości /1.1/ i /1.S/ dla reprezentacji i założenia, że funkcje ^ i ^ spełniają układ równań /1.9/ i /'1.10/. Co sprawy tej powrócimy w p.j niniejszej pracy.

5 - 4 - Układ, równań /1.1/ i /1-2/ można również rozdzielić na układ równań niezależnych na innej drodze przez wprowadzenie.funkcji wektorowej yt i funkcji skalarnej y, związanych z przemiessczeniem % i temperaturą w następującej postaci: gdzie Funkcje i/ i V powinny spełniać następujące równania: / Równania /1.15/ i /1.16/ otrzymuje się prze* podstawienie /1.13/ i /1.14/ do równań różniczkowych termoaprężystości /1.1/ i 71.2/. Związki /1.13/ i /1,14/ zostały podane najpierw prze* S.Ealiakiego [s], później na innej drodze przes J.S.Podatrigacza [?] i D.Rudlgera [sj, Zauważmy, że związki /1.13/ i /1.14/ są uogólnione na problemy termosprężystości funkcji naprężeń, podanych przez A.Jaooyache [io] dla elastooptyki klasycznej. Jednak sposób wyprowadzenia związków /1.13/ i /1.14/, stosowanych w pracach [6, 7, 8j zapewnia zupełności rozwiązań. Dowód zupełności rozwiązań dla przedstawienia /1.13/ i /1.14/ jest podany w p.2. nie

6 2. Twierdzenie o zupełności rozwiązań Hieca $*,# i.6(xjt) będą rozwiązaniem układu równań /1.1/ i /1.2/ w obszarze 5 dla - <zf <co, wtedy istniej taka funkcja wektorowa y i funkcja skalarna y, że przemieszczenie 2tfx,-f) i temperatura &(X,t) są przedstawione praes /1.13/ i /1.W, a funkcje Y> i. y spełniają równania falowe /1.15/ i /1.16/. Na podstawie roewiązania Stokesk-Helmłioltaa istnieją takie funkcje ^,^j i %(x,-t),że Wstawmy /2.1/ do układu równań różniczkowych termoeprezystości /1.1/ i /1.2/. W rezultacie otrzymamy następujące równanie: / 2. 2 / Wyeliminujmy z tych. równań temperaturę (9 równaniem /1.16/ otrzymamy w ten sposób równanie i posługując się Zdefiniujmy obecnie funkcję (^ sa pomocą funkcji skalarnej ^ oraz funkcji wektorowej ^?

7 - 6 - Następni wstawmy /2.5/ do równania /1.15/ i dokonajmy na tym równaniu operacji różniczkowej D. Otrzymany w rezultacie równanie Z porównania równań /2.2/ i /2.6/ wynika, te funkcje J 1 powinny apełniać następujące równania różniczkowe: i /2.8/ Qf= T Wykonajmy na związku. 72.7/ operację " i uwzględnijmy równanie Wstawmy "TWJC 8 równania /2.9/ do związku /2.1/. Otrzymamy w ten sposób równanie przemieszczenia 4C przez funkcje W, f -i S < Zważywszy, ze przekształcimy operator przy c w związku /2.10/ do postaci

8 - 7 - Wstawiając /2.12/ do /2.10/ i uwzględniając wynikającą z /2.5/ s&lesnośc doprowadzimy /2.10/ do poataoi zgodnej ze związkiem /1.13/- Należy jeszcze udowodnić słuszność wzoru /1.14/«W tym celu dokonajmy na równaniu /1.1/ operację diwergencji i wykorzystajmy związek d(ń?lc *V Z fi, wynikający z /2.1/, W rezultacie otrzymamy Następnie wyeliminujmy a równań /2.3/ i /2.17/ fznkcję wykorzystując równanie /1.16/. W rezultacie otrzymamy równanie Dokonajmy wreszcie na równaniu /1.16/ operacji diwergencji, co prowadzi do związku

9 / ~- 7T7i ckw X = ~ Wstawiając /2.19/ do /2,18/ i wykonując na tym przekształconym równani u operację ac, doehodzimy do związku /2.20/ zgodnego z przedstawieniem / W ten sposób dowód zupełności został zakończony. Szczególnym przypadkiem taimospręż/atoścl sprzężonej jest tzw.techniczna teoria naprężeń cieplnych, w której poznaje się sprzężenie równań /1.1/ i /1.2/ przez pominięcie wyrazu ndotfiz w równaniu przewodnictwa cieplnego. Łatwo wykazać przyjmując n-0 w równaniach /1.13/ do /1.16/ i wprowadzając funkcję G-D^~ że prawdziwe są następujące związki: /2.22/ 6 ~ Funkcje Lr i ic powinny spełniać równania r

10 - 9 - Wreszcie w przypadku szczególnym elastooptyjd klasycznej mamy /2.25/ U gdtie funkcja Q spełnia równanie tofalowe Zwiąski /2.25/ i /2.26/ zostały podane przez M.Jacovacłie a twierdzenie o zupełności tego rozwiązania przez E.Sternberga i R.A.SSubanksa [li]. 3. Związki miedzy potencjałami d,jt a fvmkcjami ^,y- Roapatramy jednorodny układ równań /1.1/ i /1.2/. Przez wpro«. wadzenie wzorów /I.13/ i /1.14/ doprowadzamy ten układ równań do rósmai falowych 73.2/ Qy~O. Zauważmy, że w myśl twierdzenia T.Boggio [12], rozwiąz&nie równania /3.1/ przedstawić można w postaci przy caym funkcje c?', ^"^powinny spełniać równania

11 Wstawiając /3.3/ do równania /1.13/ oraz uwzględniając równania /5.4/ i /3.5/ otrzymamy Przekształćmy obecnie wyrażenie JT^"", zważywszy, że.?= O^D -m^y 2 i biorąc pod uwagę związek /3.5A Po prostych przekształceniach przy uwzględnieniu związku /2.11/ otrzymamy W ten sposób biorąc pod uwagę zależności /3-7/ przedstawimy równanie /3-6/ w postaci /3.8/ U zważywszy że otrzymamy z /3.S/: /3.9/ if- ^[-7dU(rf")-^rad doir(rp'}]+ftprądy. już obecnie sprowadzić związek /3.9/ do poataoi Stokesa - HeiKb.oltaa

12 -11 - Porównanie równań /3.9/ i /3-10/ prowadzi do następującej transformacji: która wiąże funkeje ^, jjf a funkcjami y?) y- 7. Wykonajmy następnie operację X> na wzorze /1.14/. Otrzymamy po wykorzystaniu równania /3-5/ następujący związek: Prsekształćaiy równanie /3.*/» które możemy również aapiaać w postaci: z?*- ^ ^4 v 2 f* o. Wykorzystując związek /2.11/ otrzymamy ff3tasriając /3.15/ do 73.13/ 1 uwzględniając równanie /3«2/ dochodzimy do równania

13 Ale wyrażenie w nawiasach, kwadratowych, równa eię ze względu na /3.11/ funkcji <f>. Mamy zatem Równanie to jest jednorodnym równaniem przewodnictwa cieplnego /1.7/. Pozostaje jeszcze sprawdzić, czy funkcje ^, JT, wyrażone przez funkcje <P y spełniają jednorodne równania falowe /1.9/ i /1.10/ Łatwo sprawdzić i że a to ze względu na /3.2/ oraz /3.4/. Również i fh o, ze wagledu na równanie /3.5/. W przypadku teorii naprężeń cieplnych, w której poznaje się sprzężenie pola temperatury i pola przemieszczeń, otrzymuje się zamiast transformacji /3.11/ i /3.12/ następującą:

14 - 13 -,3.22, Przemieszczenia 'IL X temperatura & określone są tu przez związki /2.21/ i /2.22/ i winny spełniać równania jednorodne Łatwo też wykazać, że funkcje a), 7" określone związkami /3.21/ i /3.22/ spełniają równania W przypadku klasycznej elastooptyki wzory /J.21/ i /J.22/ przechodzą w v,3.25, zgodnie z wynikiem otrzymanym przez E.Sternoerga 5]

15

16 -15 - References 1. M.A.Biot, Taermoelasticity and irreversible taermodynamics, J.Appl.Phys.,27/1955/. 2. W.Howacki, Some dynamie problems in thermoelasticity, Aroh. Mech.Stos., 1, H /1959/. 3- C.Somigliana, Sulle espressioni analitiche generała dei movimenti oseillatori, Atti Reale Accad. Łiao. Roma Ser.5, 1 /1S92/, , P.Dutiem, Sur la generalisation d'un theoreme de Clebocłi, J.Matli.Purea et Appl., 6 /1900/, E.Sternberg, On the integration of tłie equations of motion In the classical theory of elasticity, Arch.Rat.Mecn.Analysis, 1, 6 /196O/. 6. S.Kaliski, Pewne problemy brzegowe dynamicznej teorii sprężystości i ciał niesprężystych,, Warszawa, PKN, J»S.Fodstrigacz t Podstawowe rozwiązania nieustalonego zagadnienia termosprężystego /w jęz.ukraińskim/, Frikł.Mecłi., 2, 6 /196O/. 8. D.Rudiger, Bemerkuns aur Integration der thermo-elastischeń Grundgleicinmgen, Ósterr.Ing.Arch., 1-2, 18 /1964/. 9. B.GalerfcLn, Contributioa a la solution generale du probleme de la thśorie dana le cas de trois dimensiona, C.H.Acad.Sci., Paris, 120 /193O/, 104?. 10. M.Jacovacae, O eztiadere a metodei lui Galerkin pentru sistemul eciiatiilor elasticitatii, Bul.stiint.Acad.Hep.Pap. Roaane, Ser.A, ± /19*9/, 593-

17 E.Stemberg, R.A.Eubanks, On. stres3 ^uastioas for elastokineties and the integration of the repea^ed arare eqza.zi.ajs., Quart.Appl.HatH., J /1957/, 1* T.Boggio, Sull integratione di alctuaa e<i«&sicsi *i^,warl alle derlvate parziali, Ann.Math.Ser.III, 8 /19O?/, 181.