Gazy kwantowe. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Gazy kwantowe. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki"

Transkrypt

1 Instytut Fizyki 2015

2 Cele

3 Cele Wyznaczenie średniego obsadzenia średniej energii równania stanu dla nieodziałujących gazów kwantowych fermionowego (gaz elektronowy w ciele stałym) bozonowego (kondensaty) fotonowego (promieniowanie termiczne) fononowego (drgania sieci krystalicznej)

4 Układ wielopoziomowy

5 Układ wielopoziomowy Założenia modelu układ nierozróżnialnych cząstek o dyskretnym widmie hamiltonianu E 1, E 2,... (dla uproszczenia załóżmy brak degeneracji!)

6 Układ wielopoziomowy Założenia modelu układ nierozróżnialnych cząstek o dyskretnym widmie hamiltonianu E 1, E 2,... (dla uproszczenia załóżmy brak degeneracji!) energię E k ma N k cząstek, N k = 0, 1, 2,...

7 Układ wielopoziomowy Założenia modelu układ nierozróżnialnych cząstek o dyskretnym widmie hamiltonianu E 1, E 2,... (dla uproszczenia załóżmy brak degeneracji!) energię E k ma N k cząstek, N k = 0, 1, 2,... całkowita liczba cząstek w układzie N = k N k oraz energia układu U = k N ke k

8 Układ wielopoziomowy Założenia modelu układ nierozróżnialnych cząstek o dyskretnym widmie hamiltonianu E 1, E 2,... (dla uproszczenia załóżmy brak degeneracji!) energię E k ma N k cząstek, N k = 0, 1, 2,... całkowita liczba cząstek w układzie N = k N k oraz energia układu U = k N ke k przestrzeń Hilberta budujemy z wektorów konfiguracji ψ N1,N 2,... = N 1, N 2,... = N tzw. reprezentacja liczby obsadzeń

9 Układ wielopoziomowy Założenia modelu układ nierozróżnialnych cząstek o dyskretnym widmie hamiltonianu E 1, E 2,... (dla uproszczenia załóżmy brak degeneracji!) energię E k ma N k cząstek, N k = 0, 1, 2,... całkowita liczba cząstek w układzie N = k N k oraz energia układu U = k N ke k przestrzeń Hilberta budujemy z wektorów konfiguracji ψ N1,N 2,... = N 1, N 2,... = N tzw. reprezentacja liczby obsadzeń wprowadzamy operator całkowitej liczby cząstek w układzie N = k N k oraz operator Hamiltona Ĥ = k E k N k, dla których wektory konfiguracji N są wektorami własnymi

10 Reprezentacja liczby obsadzeń

11 Reprezentacja liczby obsadzeń Prawdopodobieństwo konfiguracji N określone jest jako [ ] p(n) = Z 1 (β, µ) exp β(µ E k )N k k

12 Reprezentacja liczby obsadzeń Prawdopodobieństwo konfiguracji N określone jest jako [ ] p(n) = Z 1 (β, µ) exp β(µ E k )N k k Wielka suma statystyczna Z(β, µ) = Tr exp Z(β, µ) = k [ ] β(µ N Ĥ) [ ] ±1 1 ± e β(µ E k) = [ ] exp β(µ E k )N k {N} k

13 Reprezentacja liczby obsadzeń Prawdopodobieństwo konfiguracji N określone jest jako [ ] p(n) = Z 1 (β, µ) exp β(µ E k )N k k Wielka suma statystyczna Z(β, µ) = Tr exp Z(β, µ) = k [ ] β(µ N Ĥ) [ ] ±1 1 ± e β(µ E k) = [ ] exp β(µ E k )N k {N} k W ogólności trzeba wziąć pod uwagę degenerację poziomów energetycznych przy konstrukcji przestrzeni Hilberta układu!

14 Bozony i fermiony

15 Bozony i fermiony Statystyka Bose-Einsteina N = U = i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1 z = e βµ, µ potencjał chemiczny

16 Bozony i fermiony Statystyka Bose-Einsteina N = U = z = e βµ, µ potencjał chemiczny Statystyka Fermiego-Diraca N = U = i i i i g i z 1 e βe i 1 g ie i z 1 e βe i 1 g i z 1 e βe i + 1 g ie i z 1 e βe i + 1

17 Poziom Fermiego

18 Poziom Fermiego Obsadzenie stanu dla fermionów N k = g k e β(e k µ) + 1

19 Poziom Fermiego Obsadzenie stanu dla fermionów N k = g k e β(e k µ) + 1 W granicy zerowej temperatury lim N k = β { 0 Ek > µ g k E k < µ

20 Poziom Fermiego Obsadzenie stanu dla fermionów N k = g k e β(e k µ) + 1 W granicy zerowej temperatury lim N k = β { 0 Ek > µ g k E k < µ Potencjał chemiczny µ w 0 K w przypadku fermionów odgrywa rolę energii Fermiego!

21 Kondensacja Bosego Einsteina

22 Kondensacja Bosego Einsteina Obsadzenie stanów dla bozonów g k N = e β(e k µ) 1 + g 0 e β(e 0 µ) 1 k 0

23 Kondensacja Bosego Einsteina Obsadzenie stanów dla bozonów g k N = e β(e k µ) 1 + g 0 e β(e 0 µ) 1 k 0 Przyjmując 0 = E 0 < E 1 E 2... E k... i oznaczając z = e βµ 1 mamy g 0 N = z g k z 1 e βe k 1 k 0

24 Kondensacja Bosego Einsteina Obsadzenie stanów dla bozonów g k N = e β(e k µ) 1 + g 0 e β(e 0 µ) 1 k 0 Przyjmując 0 = E 0 < E 1 E 2... E k... i oznaczając z = e βµ 1 mamy g 0 N = z g k z 1 e βe k 1 W granicy zerowej temperatury mamy k 0 k 0 g k lim N k = lim = 0 β β z 1 e βe k 1

25 Kondensacja Bosego Einsteina Obsadzenie stanów dla bozonów g k N = e β(e k µ) 1 + g 0 e β(e 0 µ) 1 k 0 Przyjmując 0 = E 0 < E 1 E 2... E k... i oznaczając z = e βµ 1 mamy g 0 N = z g k z 1 e βe k 1 W granicy zerowej temperatury mamy k 0 k 0 g k lim N k = lim = 0 β β z 1 e βe k 1 Cząstki kondensują w stanie o minimalnej energii! lim N = N 0 β

26 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym

27 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym Obsadzenie stanów dla fermionów i bozonów g k N = e β(e k µ) ± 1 = g k z 1 e βe k ± 1 k k

28 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym Obsadzenie stanów dla fermionów i bozonów g k N = e β(e k µ) ± 1 = g k z 1 e βe k ± 1 k Średnia energia układu fermionów i bozonów g k E k U = e β(e k µ) ± 1 = g k E k z 1 e βe k ± 1 k k k

29 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym Obsadzenie stanów dla fermionów i bozonów g k N = e β(e k µ) ± 1 = g k z 1 e βe k ± 1 k Średnia energia układu fermionów i bozonów g k E k U = e β(e k µ) ± 1 = g k E k z 1 e βe k ± 1 k k k Przybliżenie półklasyczne

30 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym Obsadzenie stanów dla fermionów i bozonów g k N = e β(e k µ) ± 1 = g k z 1 e βe k ± 1 k Średnia energia układu fermionów i bozonów g k E k U = e β(e k µ) ± 1 = g k E k z 1 e βe k ± 1 k k k Przybliżenie półklasyczne Przybliżenie półklasyczne polega na przybliżeniu sumy przez całki względem ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa g(e) rozkładu poziomów energetycznych g k... k 0 g(e)... de

31 Obsadzenie i średnia energia w przybliżeniu półklasycznym Obsadzenie stanów dla fermionów i bozonów g k N = e β(e k µ) ± 1 = g k z 1 e βe k ± 1 k Średnia energia układu fermionów i bozonów g k E k U = e β(e k µ) ± 1 = g k E k z 1 e βe k ± 1 k k k Przybliżenie półklasyczne Przybliżenie półklasyczne polega na przybliżeniu sumy przez całki względem ciągłego rozkładu prawdopodobieństwa g(e) rozkładu poziomów energetycznych g k... k 0 g(e)... de Pozostaje obliczyć E k oraz g(e) dla konkretnych modeli!

32 Swobodna cząstka kwantowa w sześciennej studni o krawędzi l

33 Swobodna cząstka kwantowa w sześciennej studni o krawędzi l Równanie Schrödingera dla cząstki w pudle 2 2m 2 ψ(r) = Eψ(r)

34 Swobodna cząstka kwantowa w sześciennej studni o krawędzi l Równanie Schrödingera dla cząstki w pudle 2 2m 2 ψ(r) = Eψ(r) Rozwiązanie tego równania znikające na ścianach sześcianu ma postać ( ) ( ) ( ) n1π n2π n3π ψ(x, y, z) = C sin x sin y sin z l l l

35 Swobodna cząstka kwantowa w sześciennej studni o krawędzi l Równanie Schrödingera dla cząstki w pudle 2 2m 2 ψ(r) = Eψ(r) Rozwiązanie tego równania znikające na ścianach sześcianu ma postać ( ) ( ) ( ) n1π n2π n3π ψ(x, y, z) = C sin x sin y sin z l l l Energia jest skwantowana i wyznaczona przez trzy liczby naturalne (n 1, n 2, n 3) E n1,n 2,n 3 = π2 2 2ml 2 (n2 1 + n n 2 3)

36 Liczba stanów

37 Liczba stanów Liczba stanów Ponieważ każdy stan zajmuje w przestrzeni (n 1, n 2, n 3) jednostkową objętość, to liczba stanów N(E) o energii mniejszej niż E wynosi 1/8 objętości kuli o równaniu n n n 2 3 = R 2 = ( l ) 2 2mE π

38 Liczba stanów Liczba stanów Ponieważ każdy stan zajmuje w przestrzeni (n 1, n 2, n 3) jednostkową objętość, to liczba stanów N(E) o energii mniejszej niż E wynosi 1/8 objętości kuli o równaniu n n n 2 3 = R 2 = ( l ) 2 2mE π Liczba stanów energetycznych N(E) = 1 6 πr3 = l3 (2m) 3/2 6π 2 3 E 3/2

39 Gęstość stanów energetycznych

40 Gęstość stanów energetycznych Gęstość stanów energetycznych g(e) = dn(e) de = l3 (2m) 3/2 4π 2 3 E 1/2

41 Gęstość stanów energetycznych Gęstość stanów energetycznych g(e) = dn(e) de = l3 (2m) 3/2 4π 2 3 E 1/2 Uwzględniając dodatkowe stopnie swobody (np. spinowe) otrzymamy ostatecznie g(e) = g V (2m) 3/2 4π 2 3 E 1/2

42 Gaz kwantowy

43 Gaz kwantowy Liczba cząstek i energia dla gazów kwantowych N( N 0) V U V = 1 V = 1 V 0 0 de g(e) z 1 e βe ± 1 = g λ 3 f ± 3/2 (z) EdE g(e) z 1 e βe ± 1 = 3 2 g kt λ 3 f ± 5/2 (z) βh gdzie λ jest termiczną długością fali λ = 2 2mπ oraz f ± l (z) funkcją specjalną Fermiego-Diraca (+) lub Bosego-Einsteina ( ) f ± l (z) = 1 x l 1 Γ(l) z 1 e x ± 1 dx 0 Γ(l) jest funkcją gamma Eulera Γ(l) = x l 1 e x dx. 0

44 Funkcje specjalne

45 Funkcje specjalne 1 Własności funkcji gamma Eulera Γ(x + 1) = xγ(x) w szczególności dla x = n N otrzymamy Γ(n + 1) = nγ(n) = n! uogólnienie silni Γ( 1 2 ) = π, Γ( 3 2 ) = 1 2 π

46 Funkcje specjalne 1 Własności funkcji gamma Eulera Γ(x + 1) = xγ(x) w szczególności dla x = n N otrzymamy Γ(n + 1) = nγ(n) = n! uogólnienie silni Γ( 1 2 ) = π, Γ( 3 2 ) = 1 2 π 2 Funkcje specjalne są zbieżne dla 0 z < + w przypadku fermionów (f + (z)), 0 z 1 w przypadku bozonów (f (z)) i rosnące w całym obszarze zbieżności.

47 Funkcje specjalne 1 Własności funkcji gamma Eulera Γ(x + 1) = xγ(x) w szczególności dla x = n N otrzymamy Γ(n + 1) = nγ(n) = n! uogólnienie silni Γ( 1 2 ) = π, Γ( 3 2 ) = 1 2 π 2 Funkcje specjalne są zbieżne dla 0 z < + w przypadku fermionów (f + (z)), 0 z 1 w przypadku bozonów (f (z)) i rosnące w całym obszarze zbieżności. 3 Rozwinięcia funkcji specjalnych f ± (z) f + l (z) = ( 1) n+1 z n n=1 n l, f l (z) = n=1 z n n l,

48 Równanie stanu dla gazów kwantowych

49 Równanie stanu dla gazów kwantowych W ramach wielkiego rozkładu kanonicznego dla gazu doskonałego mamy pv = NkT, czyli pv kt = N = ln Z = ± g k ln(1 ± ze βe k ) k

50 Równanie stanu dla gazów kwantowych W ramach wielkiego rozkładu kanonicznego dla gazu doskonałego mamy pv = NkT, czyli pv kt = N = ln Z = ± g k ln(1 ± ze βe k ) k W przybliżeniu półklasycznym g (2m) 3/2 4 π 2 3 p kt = = g (2m) 3/2 4 π 2 3 { g λ 3 f + 5/2 (z) 0 0 g λ 3 f 5/2 (z) 1 V E ln[1 + ze βe ] de E ln[1 ze βe ] de 1 V ln(1 z) ln(1 z)

51 Gaz elektronowy w metalu

52 Gaz elektronowy w metalu Równania termodynamiki 1 v = g λ 3 f + 3/2 (z), u = 3 2 g kt λ 3 f + 5/2 (z), p kt pv kt = f + 5/2 (z) f + (z), 3/2 u = 3 2 p = g λ 3 f + 5/2 (z) g = 2 (elektrony mają spin 1/2 )

53 Gaz elektronowy w metalu Równania termodynamiki 1 v = g λ 3 f + 3/2 (z), u = 3 2 g kt λ 3 f + 5/2 (z), p kt = g λ 3 f + 5/2 (z) pv kt = f + 5/2 (z) f + (z), 3/2 u = 3 2 p g = 2 (elektrony mają spin 1/2 ) Przypadek słabego zwyrodnienia z = e βµ 1 odpowiada wysokim temperaturom i małym gęstościom

54 Gaz elektronowy w metalu Równania termodynamiki 1 v = g λ 3 f + 3/2 (z), u = 3 2 g kt λ 3 f + 5/2 (z), p kt pv kt = f + 5/2 (z) f + (z), 3/2 u = 3 2 p = g λ 3 f + 5/2 (z) g = 2 (elektrony mają spin 1/2 ) Przypadek słabego zwyrodnienia z = e βµ 1 odpowiada wysokim temperaturom i małym gęstościom Funkcje specjalne mają wówczas rozwinięcia f + 3/2 = z ( 1 z ), f + 5/2 = z ( 1 z )

55 Gaz elektronowy w metalu Równania termodynamiki 1 v = g λ 3 f + 3/2 (z), u = 3 2 g kt λ 3 f + 5/2 (z), p kt pv kt = f + 5/2 (z) f + (z), 3/2 u = 3 2 p = g λ 3 f + 5/2 (z) g = 2 (elektrony mają spin 1/2 ) Przypadek słabego zwyrodnienia z = e βµ 1 odpowiada wysokim temperaturom i małym gęstościom Funkcje specjalne mają wówczas rozwinięcia f + 3/2 = z ( 1 z ), f + 5/2 = z ( 1 z ) Rozwinięcie wirialne z czysto kwantową poprawką pv kt = 1 + z ) = 1 + λ ( +... v

56 Gaz elektronowy w metalu: silne zwyrodnienie

57 Gaz elektronowy w metalu: silne zwyrodnienie W niskich temperaturach i przy dużych gęstościach występuje silne zwyrodnienie, tzn. z 1. Stosuje się wówczas rozwinięcie f + 3/2 (z) = 4 ) ((ln 3 z) 3/2 + π2 π 8 (ln z) 1/2 +...

58 Gaz elektronowy w metalu: silne zwyrodnienie W niskich temperaturach i przy dużych gęstościach występuje silne zwyrodnienie, tzn. z 1. Stosuje się wówczas rozwinięcie f + 3/2 (z) = 4 ) ((ln 3 z) 3/2 + π2 π 8 (ln z) 1/ Wówczas w najniższym rzędzie gdzie E F λ 3 v jest energią Fermiego 8 3 π (ln z)3/2, z e βe F

59 Gaz elektronowy w metalu: silne zwyrodnienie W niskich temperaturach i przy dużych gęstościach występuje silne zwyrodnienie, tzn. z 1. Stosuje się wówczas rozwinięcie f + 3/2 (z) = 4 ) ((ln 3 z) 3/2 + π2 π 8 (ln z) 1/ Wówczas w najniższym rzędzie gdzie E F λ 3 v jest energią Fermiego 8 3 π (ln z)3/2, z e βe F Przy ustalonej koncentracji elektronów 1/v energię Fermiego można znaleźć z relacji ( E F = 2 3π 2 ) 2/3 2m v

60 Temperatura Fermiego

61 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego

62 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K

63 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F

64 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F

65 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F Poprawki związane ze zwyrodnieniem

66 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F Poprawki związane ze zwyrodnieniem [ ( ) potencjał chemiczny: µ = E F 1 π2 T 2 ] T F

67 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F Poprawki związane ze zwyrodnieniem [ potencjał chemiczny: µ = E F 1 π2 gęstość energii: u = 3 E F 5 v [1 + 5π2 12 ( T T F ) ] 12 ( ) T 2 ] +... T F

68 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F Poprawki związane ze zwyrodnieniem [ ( ) potencjał chemiczny: µ = E F 1 π2 T 2 ] T F gęstość energii: u = 3 ( ) E F [1 + 5π2 T 2 ] v 12 T F ciśnienie: p = 2 3 u = 2 E F 5 v [1 + 5π2 12 ( T T F ) ]

69 Temperatura Fermiego Temperatura Fermiego T F = E F /k klasyfikuje zachowanie się gazu elektronowego Typowa wartość temperatury Fermiego w metalach T F 10 4 K gaz klasyczny (niezwyrodniały) dla T T F gaz kwantowy (zwyrodniały) dla T T F Poprawki związane ze zwyrodnieniem [ ( ) potencjał chemiczny: µ = E F 1 π2 T 2 ] T F gęstość energii: u = 3 ( ) E F [1 + 5π2 T 2 ] v 12 T F ciśnienie: p = 2 3 u = 2 ( ) E F [1 + 5π2 T 2 ] v 12 T F energia Fermiego: E F = 2 2m ( 3π 2 v ) 2/3

70 Potencjał chemiczny

71 Elektronowe ciepło molowe C V = NA N ( ) du dt V = kn A π2 2 T T F +...

72 Elektronowe ciepło molowe C V = NA N ( ) du dt V = kn A π2 2 T T F +...

73 Elektronowe ciepło molowe C V = NA N ( ) du dt V = kn A π2 2 T T F +... Wnioski liniowa zależność od temperatury w zakresie T < T F zmierza do wartości 3 NAk dla dużych temperatur (jak gaz klasyczny) 2

74 Ciśnienie gazu elektronowego

75 Ciśnienie gazu elektronowego Zależność ciśnienia od koncentracji w przypadku nierelatywistycznym ma postać p = 2 (3π 2 ) 2/3 ( ) 1 5/3 ( ) [1 + 5π2 T 2 ] m v 12 T F

76 Ciśnienie gazu elektronowego Zależność ciśnienia od koncentracji w przypadku nierelatywistycznym ma postać p = 2 (3π 2 ) 2/3 ( ) 1 5/3 ( ) [1 + 5π2 T 2 ] m v 12 T F Przypadek nierelatywistyczny nie zawsze wystarcza!

77 Ciśnienie gazu elektronowego Zależność ciśnienia od koncentracji w przypadku nierelatywistycznym ma postać p = 2 (3π 2 ) 2/3 ( ) 1 5/3 ( ) [1 + 5π2 T 2 ] m v 12 T F Przypadek nierelatywistyczny nie zawsze wystarcza! Dla gazu elektronowego w białym karle T F K, a temperatura gazu w centrum T 10 7 K

78 Ciśnienie gazu elektronowego Zależność ciśnienia od koncentracji w przypadku nierelatywistycznym ma postać p = 2 (3π 2 ) 2/3 ( ) 1 5/3 ( ) [1 + 5π2 T 2 ] m v 12 T F Przypadek nierelatywistyczny nie zawsze wystarcza! Dla gazu elektronowego w białym karle T F K, a temperatura gazu w centrum T 10 7 K Gaz jest bardzo silnie zdegenerowany i obsadzenie poziomów niewiele odbiega od stanu wypełnienia tylko kuli Fermiego.

79 Ciśnienie gazu elektronowego Zależność ciśnienia od koncentracji w przypadku nierelatywistycznym ma postać p = 2 (3π 2 ) 2/3 ( ) 1 5/3 ( ) [1 + 5π2 T 2 ] m v 12 T F Przypadek nierelatywistyczny nie zawsze wystarcza! Dla gazu elektronowego w białym karle T F K, a temperatura gazu w centrum T 10 7 K Gaz jest bardzo silnie zdegenerowany i obsadzenie poziomów niewiele odbiega od stanu wypełnienia tylko kuli Fermiego. Prędkości elektronów są relatywistyczne!

80 Energia relatywistycznego gazu elektronowego

81 Energia relatywistycznego gazu elektronowego W przypadku relatywistycznym E k U = dla E z 1 e βe k = (p k c) 2 + (mc 2 ) 2 k 1 k gdzie sumowanie powinno dotyczyć stanów pędowych p k

82 Energia relatywistycznego gazu elektronowego W przypadku relatywistycznym E k U = dla E z 1 e βe k = (p k c) 2 + (mc 2 ) 2 k 1 k gdzie sumowanie powinno dotyczyć stanów pędowych p k W przybliżeniu silnego zdegenerowania i przy β, U E 0 = (pk c) 2 + (mc 2 ) 2 m(p ) (P c) 2 + (mc 2 ) 2 dp k 0

83 Energia relatywistycznego gazu elektronowego W przypadku relatywistycznym E k U = dla E z 1 e βe k = (p k c) 2 + (mc 2 ) 2 k 1 k gdzie sumowanie powinno dotyczyć stanów pędowych p k W przybliżeniu silnego zdegenerowania i przy β, U E 0 = (pk c) 2 + (mc 2 ) 2 m(p ) (P c) 2 + (mc 2 ) 2 dp k 0 m(e)de = m(p )dp = 8πV h 3 P 2 dp

84 Energia relatywistycznego gazu elektronowego W przypadku relatywistycznym E k U = dla E z 1 e βe k = (p k c) 2 + (mc 2 ) 2 k 1 k gdzie sumowanie powinno dotyczyć stanów pędowych p k W przybliżeniu silnego zdegenerowania i przy β, U E 0 = (pk c) 2 + (mc 2 ) 2 m(p ) (P c) 2 + (mc 2 ) 2 dp k 0 m(e)de = m(p )dp = 8πV h 3 Podstawienie x = P/(mc) pozwala otrzymać P 2 dp E 0 = 8πV x F h 3 m4 c 5 x 2 x 2 + 1dx = 8πV h 3 m4 c 5 f(x F ) 0

85 Ciśnienie relatywistycznego gazu elektronowego

86 Ciśnienie relatywistycznego gazu elektronowego energia swobodna F = U + T S E 0

87 Ciśnienie relatywistycznego gazu elektronowego energia swobodna F = U + T S E 0 ciśnienie p = F V E0 V

88 Ciśnienie relatywistycznego gazu elektronowego energia swobodna F = U + T S E 0 ciśnienie p = F V E0 V Obliczenia pokazują, że wówczas ( ) 1 5/3 dla gazu nierelatywistycznego p ( ) v 1 4/3 ( ) 1 2/3 dla gazu ultrarelatywistycznego v v

89 Stabilność białych karłów

90 Stabilność białych karłów Koncentracja elektronów jest proporcjonalna do gęstości gwiazdy 1 v M R 3

91 Stabilność białych karłów Koncentracja elektronów jest proporcjonalna do gęstości gwiazdy 1 v M R 3 Dlatego p M 5/3 R 5 M 4/3 M 2/3 R 4 R 2 dla gazu nierelatywistycznego dla gazu ultrarelatywistycznego

92 Stabilność białych karłów Koncentracja elektronów jest proporcjonalna do gęstości gwiazdy 1 v M R 3 Dlatego p M 5/3 R 5 M 4/3 M 2/3 R 4 R 2 dla gazu nierelatywistycznego dla gazu ultrarelatywistycznego Ciśnienie grawitacyjne p graw ρgr M GM R 3 R R M 2 = κ M 2 2 R 4 R 4

93 Stabilność białych karłów Koncentracja elektronów jest proporcjonalna do gęstości gwiazdy 1 v M R 3 Dlatego p M 5/3 R 5 M 4/3 M 2/3 R 4 R 2 dla gazu nierelatywistycznego dla gazu ultrarelatywistycznego Ciśnienie grawitacyjne p graw ρgr M GM R 3 R R M 2 = κ M 2 2 R 4 R 4 Stabilność gwiazdy wymaga aby p p graw

94 Stabilność białych karłów. Przypadek małej masy

95 Stabilność białych karłów. Przypadek małej masy Z warunku stabilności κ M 2 = M 5/3 R 4 R 5

96 Stabilność białych karłów. Przypadek małej masy Z warunku stabilności κ M 2 = M 5/3 R 4 R 5 M 1/3 R = const.

97 Stabilność białych karłów. Przypadek dużej masy

98 Stabilność białych karłów. Przypadek dużej masy Z warunku stabilności κ M 2 = M 4/3 M 2/3 R 4 R 4 R 2

99 Stabilność białych karłów. Przypadek dużej masy Z warunku stabilności κ M 2 = M 4/3 M 2/3 R 4 R 4 R 2 ( ) R = M [1 1/3 M 2/3 ] 1/2 M 0

100 Stabilność białych karłów. Przypadek dużej masy Z warunku stabilności κ M 2 = M 4/3 M 2/3 R 4 R 4 R 2 ( ) R = M [1 1/3 M 2/3 ] 1/2 M 0 Istnieje górne ograniczenie na masę białego karła! M < M M

101 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina

102 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Z równania na średnią liczbę cząstek mamy N V = N 0(z) V gęstość kondensatu + λ 3 f 3/2 (z) gęstość cząstek o pędzie 0 λ 3 N 0(z) V = λ3 v f 3/2 (z)

103 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Z równania na średnią liczbę cząstek mamy N V = N 0(z) V gęstość kondensatu + λ 3 f 3/2 (z) gęstość cząstek o pędzie 0 λ 3 N 0(z) V = λ3 v f 3/2 (z) Wraz z obniżaniem temperatury z rośnie ln z T < 0

104 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Z równania na średnią liczbę cząstek mamy N V = N 0(z) V gęstość kondensatu + λ 3 f 3/2 (z) gęstość cząstek o pędzie 0 λ 3 N 0(z) V = λ3 v f 3/2 (z) Wraz z obniżaniem temperatury z rośnie ln z < 0 T Ale f (z) przyjmuje maksymalną wartość dla z = 1, f (1) = 2, 612 i 3/2 3/2 dalej już rosnąć nie może!

105 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Z równania na średnią liczbę cząstek mamy N V = N 0(z) V gęstość kondensatu + λ 3 f 3/2 (z) gęstość cząstek o pędzie 0 λ 3 N 0(z) V = λ3 v f 3/2 (z) Wraz z obniżaniem temperatury z rośnie ln z < 0 T Ale f (z) przyjmuje maksymalną wartość dla z = 1, f (1) = 2, 612 i 3/2 3/2 dalej już rosnąć nie może! Obszar kondensacji Bosego-Einsteina określamy jako λ 3 v > f 3/2 (1)

106 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Dla zadanej koncentracji bozonów 1/v warunek powyższy definiuje temperaturę krytyczną ] λ 3 c = vf 2π 2 2/3 3/2 (1), Tc = [vf 3/2 mk (1)

107 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Dla zadanej koncentracji bozonów 1/v warunek powyższy definiuje temperaturę krytyczną ] λ 3 c = vf 2π 2 2/3 3/2 (1), Tc = [vf 3/2 mk (1) W obszarze kondensatu T < T c λ 3 N 0 V = λ3 v f 3/2 (1) = λ3 λ 3 c v

108 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Dla zadanej koncentracji bozonów 1/v warunek powyższy definiuje temperaturę krytyczną ] λ 3 c = vf 2π 2 2/3 3/2 (1), Tc = [vf 3/2 mk (1) W obszarze kondensatu T < T c λ 3 N 0 V = λ3 v f 3/2 (1) = λ3 λ 3 c v Średnia liczba cząstek w kondensacie N 0 = N [ 1 ( ) λc 3 ] λ

109 Powstawanie kondensatu Bosego-Einsteina Dla zadanej koncentracji bozonów 1/v warunek powyższy definiuje temperaturę krytyczną ] λ 3 c = vf 2π 2 2/3 3/2 (1), Tc = [vf 3/2 mk (1) W obszarze kondensatu T < T c λ 3 N 0 V = λ3 v f 3/2 (1) = λ3 λ 3 c v Średnia liczba cząstek w kondensacie N 0 = N [ 1 ( ) λc 3 ] λ Udział liczby cząstek w kondensacie w stosunku do średniej liczby cząstek N 0 N = 1 ( T T c ) 3/2

110 Teoria Ginzburga Landaua Jeżeli bozony oddziałują potrzebny jest opis bazujący na kwantowej teorii pola!

111 Teoria Ginzburga Landaua Jeżeli bozony oddziałują potrzebny jest opis bazujący na kwantowej teorii pola! Pojęcie jednocząstkowej funkcji falowej bozonu traci wówczas sens, ale jej rolę przejmuje amplituda kreacji (lub anihilacji) bozonu w zadanym punkcie ψ(r).

112 Teoria Ginzburga Landaua Jeżeli bozony oddziałują potrzebny jest opis bazujący na kwantowej teorii pola! Pojęcie jednocząstkowej funkcji falowej bozonu traci wówczas sens, ale jej rolę przejmuje amplituda kreacji (lub anihilacji) bozonu w zadanym punkcie ψ(r). Funkcja falowa kondensatu ψ(r) minimalizuje energię swobodną Ginzburga-Landaua [ F [ψ, ψ 2 ] = 2m ψ ψ + (U(r) µ)ψψ + γ ] 2 (ψψ ) 2 dr R 3

113 Teoria Ginzburga Landaua Jeżeli bozony oddziałują potrzebny jest opis bazujący na kwantowej teorii pola! Pojęcie jednocząstkowej funkcji falowej bozonu traci wówczas sens, ale jej rolę przejmuje amplituda kreacji (lub anihilacji) bozonu w zadanym punkcie ψ(r). Funkcja falowa kondensatu ψ(r) minimalizuje energię swobodną Ginzburga-Landaua [ F [ψ, ψ 2 ] = 2m ψ ψ + (U(r) µ)ψψ + γ ] 2 (ψψ ) 2 dr R 3 ψ(r) spełnia równanie Grossa-Pitajewskiego [ 2 2m 2 + U(r) + γ ψ 2 ] ψ = µψ, gdzie V ψ(r) 2 dr = N 0

114 Funkcja falowa kondensatu

115 Funkcja falowa kondensatu Jeśli zewnętrzne pole U(r) = 0, to (najprostszym) rozwiązaniem jest ψ(r) = const.

116 Funkcja falowa kondensatu Jeśli zewnętrzne pole U(r) = 0, to (najprostszym) rozwiązaniem jest ψ(r) = const. wtedy ψ(r) = { 0 µ < 0 µ/γ µ 0

117 Funkcja falowa kondensatu Jeśli zewnętrzne pole U(r) = 0, to (najprostszym) rozwiązaniem jest ψ(r) = const. wtedy ψ(r) = { 0 µ < 0 µ/γ µ 0 Inaczej niż dla gazu doskonałego, potencjał chemiczny nie znika w fazie kondensatu µ = γn0 V

118 Funkcja falowa kondensatu Jeśli zewnętrzne pole U(r) = 0, to (najprostszym) rozwiązaniem jest ψ(r) = const. wtedy ψ(r) = { 0 µ < 0 µ/γ µ 0 Inaczej niż dla gazu doskonałego, potencjał chemiczny nie znika w fazie kondensatu µ = γn0 V Gdy U(r) 0, powszechnie stosuje się przybliżeniu Thomasa Fermiego ψ(r) 2 = 1 (µ U(r)) γ

119 Inne zjawiska oparte na kondensacji

120 Inne zjawiska oparte na kondensacji Interferencja dwóch kondensatów, Nadciekłość przepływ i krążenie cieczy bez przejawów lepkości, Nadprzewodnictwo kondensacja par Coopera, złącze Josephsona układ dwóch nadprzewodników połączonych izolatorem, przez które tunelują pary Coopera, własności prostujące, SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle.

121 Fala elektromagnetyczna w sześciennej wnęce

122 Fala elektromagnetyczna w sześciennej wnęce Elektromagnetyczna fala stojąca we wnęce sześciennej jest superpozycją fal płaskich o wektorach falowych k = π n, gdzie n jest wektorem o l składowych naturalnych

123 Fala elektromagnetyczna w sześciennej wnęce Elektromagnetyczna fala stojąca we wnęce sześciennej jest superpozycją fal płaskich o wektorach falowych k = π n, gdzie n jest wektorem o l składowych naturalnych Gaz fotonowy we wnęce składa się z fotonów o energiach E n1,n 2,n 3 = c k = c π (n n n 2 3) 1/2 l

124 Gęstość stanów fotonowych

125 Gęstość stanów fotonowych Ilość stanów energetycznych N(E) = 1 ( ) l 3E 6 π 3 c π

126 Gęstość stanów fotonowych Ilość stanów energetycznych N(E) = 1 ( ) l 3E 6 π 3 c π Gęstość stanów energetycznych g(e) = dn(e) de = 1 ( ) l 3E 2 π 2 c π

127 Gęstość stanów fotonowych Ilość stanów energetycznych N(E) = 1 ( ) l 3E 6 π 3 c π Gęstość stanów energetycznych g(e) = dn(e) de = 1 ( ) l 3E 2 π 2 c π Uwzględniając dodatkowe stopnie swobody otrzymamy ostatecznie ( ) l 3E 2 g(e) = π c π

128 Gęstość energii gazu fotonowego Gęstość energii gazu fotonowego (z = 1) w przybliżeniu półklasycznym U V = 1 (c ) 3 π 2 0 E 3 de e βe 1 = c 3 π 2 0 ω 3 dω e β ω 1

129 Gęstość energii gazu fotonowego Gęstość energii gazu fotonowego (z = 1) w przybliżeniu półklasycznym Rozkład Plancka U V = 1 (c ) 3 π 2 0 E 3 de e βe 1 = c 3 π 2 Gestość spektralna energii nazywana jest rozkładem Plancka 0 ω 3 dω e β ω 1 u(ω, T ) = ω 3 c 3 π 2 e β ω 1

130 Gęstość energii gazu fotonowego Gęstość energii gazu fotonowego (z = 1) w przybliżeniu półklasycznym Rozkład Plancka U V = 1 (c ) 3 π 2 0 E 3 de e βe 1 = c 3 π 2 Gestość spektralna energii nazywana jest rozkładem Plancka 0 ω 3 dω e β ω 1 u(ω, T ) = ω 3 c 3 π 2 e β ω 1 Gęstość energii jest proporcjonalna do T 4 u(t ) = (kt )4 x 3 dx (c ) 3 π 2 e x 1 0 = (kt )4 (c ) 3 π 2 f 4 (1)Γ(4)

131 Gęstość energii gazu fotonowego Gęstość energii gazu fotonowego (z = 1) w przybliżeniu półklasycznym Rozkład Plancka U V = 1 (c ) 3 π 2 0 E 3 de e βe 1 = c 3 π 2 Gestość spektralna energii nazywana jest rozkładem Plancka 0 ω 3 dω e β ω 1 u(ω, T ) = ω 3 c 3 π 2 e β ω 1 Gęstość energii jest proporcjonalna do T 4 u(t ) = (kt )4 x 3 dx (c ) 3 π 2 e x 1 0 = (kt )4 (c ) 3 π 2 f 4 (1)Γ(4) f 4 (1) = π4 /90, Γ(4) = 6, f 4 (1)Γ(4) = π4 /15

132 Prawa promieniowania termicznego

133 Prawa promieniowania termicznego Zdolność emisyjna (całkowita i spektralna) e(ω, T ) = 1 4 cu(ω, T )

134 Prawa promieniowania termicznego Zdolność emisyjna (całkowita i spektralna) e(ω, T ) = 1 4 cu(ω, T ) Prawo Stefana-Boltzmanna Całkowita zdolność emisyjna jest proporcjonalna do T 4 gdzie σ jest stałą Stefana-Boltzmanna e(t ) = π2 k c 2 T 4 = σt 4

135 Prawa promieniowania termicznego Zdolność emisyjna (całkowita i spektralna) e(ω, T ) = 1 4 cu(ω, T ) Prawo Stefana-Boltzmanna Całkowita zdolność emisyjna jest proporcjonalna do T 4 gdzie σ jest stałą Stefana-Boltzmanna Prawo Wiena e(t ) = π2 k c 2 T 4 = σt 4 Długość fali, dla której przypada maksimum spektralnej zdolności emisyjnej, jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury λ max = const. T

136 Fonony kwanty modów drgań własnych atomów sieci krystalicznej podlegają one statystyce Bosego-Einsteina (bozony) energia fononu E P = c f P, c f prędkość propagacji fali, P pęd fononu, istnieją trzy typy modów: dwa poprzeczne (jak dla fotonów) i jeden podłużny (fale dźwiękowe) widmo częstotliwości fononów jest ograniczone z góry ze względu na istnienie minimalnej odległości pomiędzy węzłami sieci

137 Fonony kwanty modów drgań własnych atomów sieci krystalicznej podlegają one statystyce Bosego-Einsteina (bozony) energia fononu E P = c f P, c f prędkość propagacji fali, P pęd fononu, istnieją trzy typy modów: dwa poprzeczne (jak dla fotonów) i jeden podłużny (fale dźwiękowe) widmo częstotliwości fononów jest ograniczone z góry ze względu na istnienie minimalnej odległości pomiędzy węzłami sieci

138 Teoria Debye a

139 Teoria Debye a liczbę stanów liczymy jak fotonów uwzględniając obecność trzech modów N(E)dE = 3π ( ) l 3E 2 3V ω2 de = dω 2 c f π 2c 3 f π2

140 Teoria Debye a liczbę stanów liczymy jak fotonów uwzględniając obecność trzech modów N(E)dE = 3π ( ) l 3E 2 3V ω2 de = dω 2 c f π 2c 3 f π2 całkowita liczba modów w układzie musi być równa 3N, gdzie N jest ilością atomów w sieci

141 Teoria Debye a liczbę stanów liczymy jak fotonów uwzględniając obecność trzech modów N(E)dE = 3π ( ) l 3E 2 3V ω2 de = dω 2 c f π 2c 3 f π2 całkowita liczba modów w układzie musi być równa 3N, gdzie N jest ilością atomów w sieci częstość obcięcia ω max określona jest z warunku ω max 0 N(ω)dω = 3N

142 Teoria Debye a liczbę stanów liczymy jak fotonów uwzględniając obecność trzech modów N(E)dE = 3π ( ) l 3E 2 3V ω2 de = dω 2 c f π 2c 3 f π2 całkowita liczba modów w układzie musi być równa 3N, gdzie N jest ilością atomów w sieci częstość obcięcia ω max określona jest z warunku ω max w konsekwencji ω max = c f ( 6π 2 0 v N(ω)dω = 3N ) 1/3

143 Energia drgań sieci krystalicznej

144 Energia drgań sieci krystalicznej charakterystyczna energia ω max określa temperaturę Debye a ω max = kt D

145 Energia drgań sieci krystalicznej charakterystyczna energia ω max określa temperaturę Debye a ω max = kt D Dla typowych metali temperatura Debye a wynosi T D K

146 Energia drgań sieci krystalicznej charakterystyczna energia ω max określa temperaturę Debye a ω max = kt D Dla typowych metali temperatura Debye a wynosi T D K łatwo policzyć, że U N = 3 V 2c 3 f π2 N ω max 0 ω 3 dω e β ω 1 = 3kT D(w) gdzie w = T D/T oraz jest funkcją Debye a D(w) = 3 w 3 w 0 x 3 dx e x 1

147 Ciepło molowe Debye a

148 Ciepło molowe Debye a asymptotyczne rozwinięcia D(w) mają postać D(w) = w +... małe w D(w) = π4 5w duże w

149 Ciepło molowe Debye a asymptotyczne rozwinięcia D(w) mają postać D(w) = w +... małe w D(w) = π4 5w duże w ciepło molowe wynosi ( ) ( d U C V = N A = 3kN A D(w) + T dd(w) ) dt N V dt { 3 dla T C V = 12π 4 ( ) T 3 N Ak dla T T D 5 T D

150 Ciepło molowe kryształu

151 Ciepło molowe kryształu Na ciepło molowe kryształu składa się ciepło molowe sieci (fononów) oraz ciepło molowe gazu elektronowego

152 Ciepło molowe kryształu Na ciepło molowe kryształu składa się ciepło molowe sieci (fononów) oraz ciepło molowe gazu elektronowego [ π 2 ( ) ( ) T C V N A + 12π4 T 3 ] 2 T F 5 T D W temperaturach pokojowych dominuje wkład od sieci krystalicznej, ale w niskich temperaturach udział ciepła molowego gazu elektronowego staje się coraz większy.

153 Nadprzewodnictwo (Kamerlingh-Onnes, 1911)

154 Nadprzewodnictwo (Kamerlingh-Onnes, 1911) zanik oporu elektrycznego w temperaturach T < T c i w polu magnetycznym o natężeniu H < H c,

155 Nadprzewodnictwo (Kamerlingh-Onnes, 1911) zanik oporu elektrycznego w temperaturach T < T c i w polu magnetycznym o natężeniu H < H c, w metalach T c 1 10 K w stopach T c 1 50 K materiałach organicznych T c 50 K

156 Nadprzewodnictwo (Kamerlingh-Onnes, 1911) zanik oporu elektrycznego w temperaturach T < T c i w polu magnetycznym o natężeniu H < H c, w metalach T c 1 10 K w stopach T c 1 50 K materiałach organicznych T c 50 K pole krytyczne H c zależy od temperatury [ ( ) T 2 ] H c(t ) = H c(0) 1, H c(0) A/m T c efekt Meissnera wypchnięcie linii zewnętrznego pola magnetycznego z obszaru nadprzewodnika przy H < H c, w którym pole magnetyczne pozostaje zero,

157 Nadprzewodnictwo (Kamerlingh-Onnes, 1911) zanik oporu elektrycznego w temperaturach T < T c i w polu magnetycznym o natężeniu H < H c, w metalach T c 1 10 K w stopach T c 1 50 K materiałach organicznych T c 50 K pole krytyczne H c zależy od temperatury [ ( ) T 2 ] H c(t ) = H c(0) 1, H c(0) A/m T c efekt Meissnera wypchnięcie linii zewnętrznego pola magnetycznego z obszaru nadprzewodnika przy H < H c, w którym pole magnetyczne pozostaje zero, efekt izotopowy zależność temperatury krytycznej od masy izotopu jonu sieci krystalicznej.

158 Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe

159 Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe Nadprzewodniki II rodzaju dwa pola krytyczne H c1 oraz H c2. W obszarze przejściowym pole wnika do nadprzewodnika w postaci regularnej struktury nadprzewodzących wirów prądu (macierz wirów Abrikosova) wokół strumieni pola magnetycznego,

160 Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe Nadprzewodniki II rodzaju dwa pola krytyczne H c1 oraz H c2. W obszarze przejściowym pole wnika do nadprzewodnika w postaci regularnej struktury nadprzewodzących wirów prądu (macierz wirów Abrikosova) wokół strumieni pola magnetycznego, Nadprzewodnictwo wysokotemperaturowe w strukturach zawierających płaszczyzny CuO 4, np. (CaSr) 2CuO 4, T c K

161 Teoria braci Londonów

162 Teoria braci Londonów prawo Ohma jest postaci j = σ E, tymczasem I równanie Londonów d j s dt = nsq2 E m

163 Teoria braci Londonów prawo Ohma jest postaci j = σ E, tymczasem I równanie Londonów d j s dt = nsq2 E m z prawa Maxwella db dt = E = d ( m ) dt n sq 2 js

164 Teoria braci Londonów prawo Ohma jest postaci j = σ E, tymczasem I równanie Londonów d j s dt = nsq2 E m z prawa Maxwella db dt = E = d ( m ) dt n sq 2 js ) d ( j s + nsq2 B dt m = 0

165 Teoria braci Londonów prawo Ohma jest postaci j = σ E, tymczasem I równanie Londonów d j s dt = nsq2 E m z prawa Maxwella db dt = E = d ( m ) dt n sq 2 js ) d ( j s + nsq2 B dt m = 0 II równanie Londonów j s + nsq2 m B = 0

166 Głębokość wnikania

167 Głębokość wnikania Z równania Maxwella B = µ j s wynika, że j s = 1 µ ( B) = 1 µ 2 B zatem uwzględniając równania Londonów 2 B µn sq 2 = B (1) m

168 Głębokość wnikania Z równania Maxwella B = µ j s wynika, że j s = 1 µ ( B) = 1 µ 2 B zatem uwzględniając równania Londonów 2 B µn sq 2 = B (1) m Przyjmując kierunek z jako prostopadły do lokalnej powierzchni nadprzewodnika i ograniczając (1) do jednego wymiaru otrzymamy B(z) = B 0 e z/λ, 1 λ = µnsq2 2 m

169 Głębokość wnikania Z równania Maxwella B = µ j s wynika, że j s = 1 µ ( B) = 1 µ 2 B zatem uwzględniając równania Londonów 2 B µn sq 2 = B (1) m Przyjmując kierunek z jako prostopadły do lokalnej powierzchni nadprzewodnika i ograniczając (1) do jednego wymiaru otrzymamy B(z) = B 0 e z/λ, 1 λ = µnsq2 2 m B wnika do nadprzewodnika na niewielką głębokość określoną przez głębokość wnikania λ.

170 Podstawy teorii Ginzburga-Landaua

171 Podstawy teorii Ginzburga-Landaua Stan nadprzewodzący opisuje zespolona funkcja ψ( r) nazywana parametrem porządku, która znika w stanie normalnym i spełnia unormowanie V ψ( r) 2 d r = N s, ψ( r) 2 = n s( r)

172 Podstawy teorii Ginzburga-Landaua Stan nadprzewodzący opisuje zespolona funkcja ψ( r) nazywana parametrem porządku, która znika w stanie normalnym i spełnia unormowanie V ψ( r) 2 d r = N s, ψ( r) 2 = n s( r) Gęstości energii swobodnych w stanach normalnym i nadprzewodzącym łączy relacja f s( r, T ) = f n( r, T ) + W (ψ, T ) gdzie funkcja W parametru porządku powinna być rzeczywista i analityczna w pobliżu ψ = 0

173 Podstawy teorii Ginzburga-Landaua Stan nadprzewodzący opisuje zespolona funkcja ψ( r) nazywana parametrem porządku, która znika w stanie normalnym i spełnia unormowanie V ψ( r) 2 d r = N s, ψ( r) 2 = n s( r) Gęstości energii swobodnych w stanach normalnym i nadprzewodzącym łączy relacja f s( r, T ) = f n( r, T ) + W (ψ, T ) gdzie funkcja W parametru porządku powinna być rzeczywista i analityczna w pobliżu ψ = 0 Ginzburg i Landau przyjęli (b(t ) > 0) W ( ψ, T ) = a(t ) ψ 2 + b(t ) 2 ψ 4

174 Podstawy teorii Ginzburga-Landaua Stan nadprzewodzący opisuje zespolona funkcja ψ( r) nazywana parametrem porządku, która znika w stanie normalnym i spełnia unormowanie V ψ( r) 2 d r = N s, ψ( r) 2 = n s( r) Gęstości energii swobodnych w stanach normalnym i nadprzewodzącym łączy relacja f s( r, T ) = f n( r, T ) + W (ψ, T ) gdzie funkcja W parametru porządku powinna być rzeczywista i analityczna w pobliżu ψ = 0 Ginzburg i Landau przyjęli (b(t ) > 0) W ( ψ, T ) = a(t ) ψ 2 + b(t ) 2 ψ 4 Zauważmy, że min W ( ψ ) = ψ { 0 a > 0 a 2 /(2b) a < 0 a 2 2b = H2 c 8π

175 Równania Ginzburga-Landaua

176 Równania Ginzburga-Landaua Uzupełniając teorię pola ψ( r) o człon kinetyczny i oddziaływanie z zewnętrznym polem magnetycznym otrzymali ostatecznie energię swobodną stanu nadprzewodzącego F s(t ) = F n(t ) [ 1 ( i + q 2 A)ψ( r) + a(t ) ψ( r) 2 + b(t ) ] 2m 2 ψ( r) 4 d r V

177 Równania Ginzburga-Landaua Uzupełniając teorię pola ψ( r) o człon kinetyczny i oddziaływanie z zewnętrznym polem magnetycznym otrzymali ostatecznie energię swobodną stanu nadprzewodzącego F s(t ) = F n(t ) [ 1 ( i + q 2 A)ψ( r) + a(t ) ψ( r) 2 + b(t ) ] 2m 2 ψ( r) 4 d r V Minimalizacja energii swobodnej po ψ, ψ oraz A prowadzi do równań 1 2m ( i q A) 2 ψ( r) + a(t )ψ( r) + b(t ) ψ( r) 2 ψ( r) = 0 j s = i q 2m (ψ ψ ψ ψ ) q2 m ψ 2 A

178 Teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957)

179 Teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957) H. Fröhlich pokazał, że oddziaływanie elektron fonon elektron może być w pewnych warunkach efektywnie przyciągającym oddziaływaniem dla pary elektronów Oddziaływanie to może być silniejsze niż elektrostatyczne odpychanie się elektronów

180 Teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957) H. Fröhlich pokazał, że oddziaływanie elektron fonon elektron może być w pewnych warunkach efektywnie przyciągającym oddziaływaniem dla pary elektronów Oddziaływanie to może być silniejsze niż elektrostatyczne odpychanie się elektronów Mikroskopowa teoria pola zakładająca parowanie elektronów w przestrzeni pędów: dwa elektrony o pędzie p i p (z wąskiego otoczenia pędu Fermiego) łączą się w pary Coopera (q = 2e) dzięki pośrednictwu sieci krystalicznej (fononów).

181 Teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957) H. Fröhlich pokazał, że oddziaływanie elektron fonon elektron może być w pewnych warunkach efektywnie przyciągającym oddziaływaniem dla pary elektronów Oddziaływanie to może być silniejsze niż elektrostatyczne odpychanie się elektronów Mikroskopowa teoria pola zakładająca parowanie elektronów w przestrzeni pędów: dwa elektrony o pędzie p i p (z wąskiego otoczenia pędu Fermiego) łączą się w pary Coopera (q = 2e) dzięki pośrednictwu sieci krystalicznej (fononów). Odległość pomiędzy elektronami jest rzędu 100 nm.

182 Teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrieffer, 1957) H. Fröhlich pokazał, że oddziaływanie elektron fonon elektron może być w pewnych warunkach efektywnie przyciągającym oddziaływaniem dla pary elektronów Oddziaływanie to może być silniejsze niż elektrostatyczne odpychanie się elektronów Mikroskopowa teoria pola zakładająca parowanie elektronów w przestrzeni pędów: dwa elektrony o pędzie p i p (z wąskiego otoczenia pędu Fermiego) łączą się w pary Coopera (q = 2e) dzięki pośrednictwu sieci krystalicznej (fononów). Odległość pomiędzy elektronami jest rzędu 100 nm. Tworzenie par Coopera zaburza strukturę stanów elektronowych w pobliżu powierzchni Fermiego prowadząc do powstania przerwy energetycznej (0) (może być uważana za parametr porządku w teorii GL) (0) kt c = 1, 764, ( (T ) (0) 1, 74 1 T ) 1/2 T c

183 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji

184 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji CAR dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji elektronu o pędzie k i spinie σ [c kσ, c k σ ]+ = c kσc k σ + c k σ c kσ = δ kk δ σσ [c kσ, c k σ ]+ = [c kσ, c k σ ]+ = 0

185 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji CAR dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji elektronu o pędzie k i spinie σ [c kσ, c k σ ]+ = c kσc k σ + c k σ c kσ = δ kk δ σσ [c kσ, c k σ ]+ = [c kσ, c k σ ]+ = 0 operator liczby cząstek n kσ = c kσc kσ

186 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji CAR dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji elektronu o pędzie k i spinie σ [c kσ, c k σ ]+ = c kσc k σ + c k σ c kσ = δ kk δ σσ [c kσ, c k σ ]+ = [c kσ, c k σ ]+ = 0 operator liczby cząstek n kσ = c kσc kσ para Coopera o sparowanych pędach i spinach opisywana jest przez CP = v k c k c k 0

187 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji CAR dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji elektronu o pędzie k i spinie σ [c kσ, c k σ ]+ = c kσc k σ + c k σ c kσ = δ kk δ σσ [c kσ, c k σ ]+ = [c kσ, c k σ ]+ = 0 operator liczby cząstek n kσ = c kσc kσ para Coopera o sparowanych pędach i spinach opisywana jest przez CP = v k c k c k 0 stan podstawowy BCS BCS = (u k + v k c k c k ) 0 k

188 Hamiltonian BCS w zapisie II kwantyzacji CAR dla fermionowych operatorów kreacji i anihilacji elektronu o pędzie k i spinie σ [c kσ, c k σ ]+ = c kσc k σ + c k σ c kσ = δ kk δ σσ [c kσ, c k σ ]+ = [c kσ, c k σ ]+ = 0 operator liczby cząstek n kσ = c kσc kσ para Coopera o sparowanych pędach i spinach opisywana jest przez CP = v k c k c k 0 stan podstawowy BCS BCS = (u k + v k c k c k ) 0 Hamiltonian (zredukowany) H = ɛ k n kσ + k,σ k k,k V kk c k c k c k c k

189 Minimalizacja energii

190 Minimalizacja energii Energia (w zerowej temperaturze) F = BCS H µn BCS Metoda wariacyjna prowadząca do równań pola średniego δ BCS ξ k n kσ + V kk c k c k c c BCS = 0 k k k,σ k,k gdzie ξ k = ɛ k µ

191 Minimalizacja energii Energia (w zerowej temperaturze) F = BCS H µn BCS Metoda wariacyjna prowadząca do równań pola średniego δ BCS ξ k n kσ + V kk c k c k c c BCS = 0 k k k,σ k,k gdzie ξ k = ɛ k µ przerwa energetyczna k = V kk u kv k k

192 Kwantowanie strumienia magnetycznego

193 Kwantowanie strumienia magnetycznego Strumień magnetyczny (F. London) Φ = 1 p d q l = 1 q (m v s + q A) d l podlega kwantowaniu analogicznemu do reguły Bohra Sommerfelda p d l = 2π n

194 Kwantowanie strumienia magnetycznego Strumień magnetyczny (F. London) Φ = 1 p d q l = 1 q (m v s + q A) d l podlega kwantowaniu analogicznemu do reguły Bohra Sommerfelda p d l = 2π n Strumień magnetyczny jest wielokrotnością fluksonu Φ 0 Φ = n 2π q = nφ 0

195 Zjawisko Josephsona (1962)

196 Zjawisko Josephsona (1962) Funkcja falowa nadprzewodnika ma postać ψ = ψ e iϕ Niech ϑ = ϕ będzie różnicą faz dwóch funkcji falowych nadprzewodników oddzielonych warstwą materiału o normalnym przewodnictwie (metal, izolator, dielektryk)

197 Zjawisko Josephsona (1962) Funkcja falowa nadprzewodnika ma postać ψ = ψ e iϕ Niech ϑ = ϕ będzie różnicą faz dwóch funkcji falowych nadprzewodników oddzielonych warstwą materiału o normalnym przewodnictwie (metal, izolator, dielektryk) Przez złącze nadprzewodnik izolator nadprzewodnik nawet przy zerowej różnicy potencjałów może przepływać prąd tunelujących par Coopera (I równanie Josephsona) W nieobecności zewnętrznego potencjału magnetycznego I = I c sin ϑ, I c A

198 Zjawisko Josephsona (1962) Funkcja falowa nadprzewodnika ma postać ψ = ψ e iϕ Niech ϑ = ϕ będzie różnicą faz dwóch funkcji falowych nadprzewodników oddzielonych warstwą materiału o normalnym przewodnictwie (metal, izolator, dielektryk) Przez złącze nadprzewodnik izolator nadprzewodnik nawet przy zerowej różnicy potencjałów może przepływać prąd tunelujących par Coopera (I równanie Josephsona) W nieobecności zewnętrznego potencjału magnetycznego I = I c sin ϑ, I c A (II równanie Josephsona) Jeśli przyłożymy do złącza różnicę potencjałów U to dϑ dt = qu

199 Zjawisko Josephsona (1962) Funkcja falowa nadprzewodnika ma postać ψ = ψ e iϕ Niech ϑ = ϕ będzie różnicą faz dwóch funkcji falowych nadprzewodników oddzielonych warstwą materiału o normalnym przewodnictwie (metal, izolator, dielektryk) Przez złącze nadprzewodnik izolator nadprzewodnik nawet przy zerowej różnicy potencjałów może przepływać prąd tunelujących par Coopera (I równanie Josephsona) W nieobecności zewnętrznego potencjału magnetycznego I = I c sin ϑ, I c A (II równanie Josephsona) Jeśli przyłożymy do złącza różnicę potencjałów U to dϑ dt = qu Przy stałym napięciu U = 1 V przez złącze płynie prąd przemienny o wysokiej częstotliwości ω = 2e 3, Hz

200 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle.

201 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa

202 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa Pojawienie się strumienia zaburza tę symetrię prowadząc do zmian różnic faz ϑ 1, ϑ 2 na obu złączach

203 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa Pojawienie się strumienia zaburza tę symetrię prowadząc do zmian różnic faz ϑ 1, ϑ 2 na obu złączach Równania SQUIDa I = I 1 + I 2

204 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa Pojawienie się strumienia zaburza tę symetrię prowadząc do zmian różnic faz ϑ 1, ϑ 2 na obu złączach Równania SQUIDa I = I 1 + I 2 I 1 = I c sin ϑ 1 + U1 R, U2 I2 = Ic sin ϑ2 + R

205 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa Pojawienie się strumienia zaburza tę symetrię prowadząc do zmian różnic faz ϑ 1, ϑ 2 na obu złączach Równania SQUIDa I = I 1 + I 2 I 1 = I c sin ϑ 1 + U1 R, U2 I2 = Ic sin ϑ2 + R U = U 1 + L I 1 = U 2 + L I 2

206 dc-squid SQUID (Superconducting Quantum Interference Device) urządzenie do pomiaru strumienia magnetycznego oparte o dwa złącza Josephsona połączone równolegle. Pod nieobecność strumienia magnetycznego obejmowanego przez obwód, prąd I dzieli się na dwie równe części w obu ramionach SQUIDa Pojawienie się strumienia zaburza tę symetrię prowadząc do zmian różnic faz ϑ 1, ϑ 2 na obu złączach Równania SQUIDa I = I 1 + I 2 I 1 = I c sin ϑ 1 + U1 R, U2 I2 = Ic sin ϑ2 + R U = U 1 + L I 1 = U 2 + L I 2 ϑ 1 = qu1, ϑ2 = qu2

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego WYKŁAD 15 Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego 1 Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bosony

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29

Spis treści. Przedmowa Obraz makroskopowy Ciepło i entropia Zastosowania termodynamiki... 29 Przedmowa... XI 1. Obraz makroskopowy... 1 1.1. Termodynamika... 1 1.2. Parametry termodynamiczne... 2 1.3. Granica termodynamiczna... 3 1.4. Procesy termodynamiczne... 4 1.5. Klasycznygazdoskonały...

Bardziej szczegółowo

Nadprzewodniki. W takich materiałach kiedy nastąpi przepływ prądu może on płynąć nawet bez przyłożonego napięcia przez długi czas! )Ba 2. Tl 0.2.

Nadprzewodniki. W takich materiałach kiedy nastąpi przepływ prądu może on płynąć nawet bez przyłożonego napięcia przez długi czas! )Ba 2. Tl 0.2. Nadprzewodniki Pewna klasa materiałów wykazuje prawie zerową oporność (R=0) poniżej pewnej temperatury zwanej temperaturą krytyczną T c Większość przewodników wykazuje nadprzewodnictwo dopiero w temperaturze

Bardziej szczegółowo

Rzadkie gazy bozonów

Rzadkie gazy bozonów Rzadkie gazy bozonów Tomasz Sowiński Proseminarium Fizyki Teoretycznej 15 listopada 2004 Rzadkie gazy bozonów p.1/25 Bardzo medialne zdjęcie Rok 1995. Pierwsza kondensacja. Zaobserwowana w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Model elektronów swobodnych w metalu

Model elektronów swobodnych w metalu Model elektronów swobodnych w metalu Stany elektronu w nieskończonej trójwymiarowej studni potencjału - dozwolone wartości wektora falowego k Fale stojące - warunki brzegowe znikanie funkcji falowej na

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Gaz Fermiego elektronów swobodnych. Gaz Fermiego elektronów swobodnych

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Gaz Fermiego elektronów swobodnych. Gaz Fermiego elektronów swobodnych Gaz Fermiego elektronów swobodnych charakter idea Teoria metali Paula Drudego Teoria metali Arnolda (1900 r.) Sommerfelda (1927 r.) klasyczna kwantowa elektrony przewodnictwa elektrony przewodnictwa w

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego: kondensacja Bosego- Einsteina Silnie zwyrodniały gaz bozonów o niezerowej masie spoczynkowej Gdy liczba cząstek nie jest zachowywana, termodynamika nieoddziaływujących

Bardziej szczegółowo

Zadania z Fizyki Statystycznej

Zadania z Fizyki Statystycznej Zadania z Fizyki Statystycznej 1. Wyznaczyć skok wartości pochodnej ciepła właściwego w temperaturze krytycznej dla gazu bozonów, w temperaturze w której pojawia się konensacja [1].. Wyznaczyć równanie

Bardziej szczegółowo

Czym jest prąd elektryczny

Czym jest prąd elektryczny Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,

Bardziej szczegółowo

Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach

Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca w różnych temperaturach 1 f FD ( E) = E E F exp + 1 kbt Styczna do krzywej w punkcie f FD (E F )=0,5 przecina oś energii i prostą f FD (E)=1 w punktach odległych o k B

Bardziej szczegółowo

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY Polimery Sieć krystaliczna Napięcie powierzchniowe Dyfuzja 2 BUDOWA CIAŁ STAŁYCH Ciała krystaliczne (kryształy): monokryształy, polikryształy Ciała amorficzne (bezpostaciowe)

Bardziej szczegółowo

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH

TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH TEORIA PASMOWA CIAŁ STAŁYCH Skolektywizowane elektrony w metalu Weźmy pod uwagę pewną ilość atomów jakiegoś metalu, np. sodu. Pojedynczy atom sodu zawiera 11 elektronów o konfiguracji 1s 2 2s 2 2p 6 3s

Bardziej szczegółowo

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy

Początek XX wieku. Dualizm korpuskularno - falowy Początek XX wieku Światło: fala czy cząstka? Kwantowanie energii promieniowania termicznego postulat Plancka efekt fotoelektryczny efekt Comptona Fale materii de Broglie a Dualizm korpuskularno - falowy

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki nadprzewodzące

Pierwiastki nadprzewodzące Pierwiastki nadprzewodzące http://www.magnet.fsu.edu/education/tutorials/magnetacademy/superconductivity101/fullarticle.html Materiały nadprzewodzące Rodzaj Materiał c (K) Uwagi Związki międzymetaliczne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1

Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI Wstęp. Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 22 METODA FUNKCJONAŁÓW GĘSTOŚCI 22.1 Wstęp Definiujemy dla gazu elektronowego operatory anihilacji ψ σ (r) i kreacji ψ σ(r) pola fermionowego ψ σ

Bardziej szczegółowo

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017

Optyka. Wykład V Krzysztof Golec-Biernat. Fale elektromagnetyczne. Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Optyka Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Fale elektromagnetyczne Uniwersytet Rzeszowski, 8 listopada 2017 Wykład V Krzysztof Golec-Biernat Optyka 1 / 17 Plan Swobodne równania Maxwella Fale elektromagnetyczne

Bardziej szczegółowo

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła

Fizyka kwantowa. promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne. efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy. kwantyzacja światła W- (Jaroszewicz) 19 slajdów Na podstawie prezentacji prof. J. Rutkowskiego Fizyka kwantowa promieniowanie termiczne zjawisko fotoelektryczne kwantyzacja światła efekt Comptona dualizm korpuskularno-falowy

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania

Kwantowa natura promieniowania Kwantowa natura promieniowania Promieniowanie ciała doskonale czarnego Ciało doskonale czarne ciało, które absorbuje całe padające na nie promieniowanie bez względu na częstotliwość. Promieniowanie ciała

Bardziej szczegółowo

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków).

Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). Właściwości chemiczne i fizyczne pierwiastków powtarzają się w pewnym cyklu (zebrane w grupy 2, 8, 8, 18, 18, 32 pierwiastków). 1925r. postulat Pauliego: Na jednej orbicie może znajdować się nie więcej

Bardziej szczegółowo

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie

Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.

Bardziej szczegółowo

Stara i nowa teoria kwantowa

Stara i nowa teoria kwantowa Stara i nowa teoria kwantowa Braki teorii Bohra: - podane jedynie położenia linii, brak natężeń -nie tłumaczy ilości elektronów na poszczególnych orbitach - model działa gorzej dla atomów z więcej niż

Bardziej szczegółowo

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony)

Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) TiFS, Ćwiczenia nr 4 Cząstki Maxwella-Boltzmanna (maxwellony) Jeśli do wielkiej sumy statystycznej zastosuje się klasyczną poprawkę na niezrozróżnialność cząstek to w wyniku otrzymuje się własności cząstek,

Bardziej szczegółowo

Repeta z wykładu nr 3. Detekcja światła. Struktura krystaliczna. Plan na dzisiaj

Repeta z wykładu nr 3. Detekcja światła. Struktura krystaliczna. Plan na dzisiaj Repeta z wykładu nr 3 Detekcja światła Sebastian Maćkowski Instytut Fizyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Adres poczty elektronicznej: mackowski@fizyka.umk.pl Biuro: 365, telefon: 611-3250 Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne.

Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Kwantowe własności promieniowania, ciało doskonale czarne, zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. DUALIZM ŚWIATŁA fala interferencja, dyfrakcja, polaryzacja,... kwant, foton promieniowanie ciała doskonale

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA GDAŃSKA NADPRZEWODNICTWO I EFEKT MEISSNERA

POLITECHNIKA GDAŃSKA NADPRZEWODNICTWO I EFEKT MEISSNERA POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA ENERGETYKI I APARATURY PRZEMYSŁOWEJ NADPRZEWODNICTWO I EFEKT MEISSNERA Katarzyna Mazur Inżynieria Mechaniczno-Medyczna Sem. 9 1. Przypomnienie istotnych

Bardziej szczegółowo

STRUKTURA PASM ENERGETYCZNYCH

STRUKTURA PASM ENERGETYCZNYCH PODSTAWY TEORII PASMOWEJ Struktura pasm energetycznych Teoria wa Struktura wa stałych Półprzewodniki i ich rodzaje Półprzewodniki domieszkowane Rozkład Fermiego - Diraca Złącze p-n (dioda) Politechnika

Bardziej szczegółowo

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe

Plan Zajęć. Ćwiczenia rachunkowe Plan Zajęć 1. Termodynamika, 2. Grawitacja, Kolokwium I 3. Elektrostatyka + prąd 4. Pole Elektro-Magnetyczne Kolokwium II 5. Zjawiska falowe 6. Fizyka Jądrowa + niepewność pomiaru Kolokwium III Egzamin

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg Mechanika kwantowa Erwin Schrödinger (1887-1961) Werner Heisenberg 1901-1976 Falowe równanie ruchu (uproszczenie: przypadek jednowymiarowy) Dla fotonów Dla cząstek Równanie Schrödingera y x = 1 c y t y(

Bardziej szczegółowo

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze

Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Seminarium CFT p. 1/24 Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Tomasz Sowiński 1 paździenika 2008 Seminarium CFT p. 2/24 Atom dwupoziomowy Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + ĤI Ĥ 0 = mσ z + 0 dk k a (k)a(k), Ĥ I

Bardziej szczegółowo

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Nadprzewodnictwo. Nadprzewodnictwo

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Nadprzewodnictwo. Nadprzewodnictwo Nadprzewodnictwo Definicja, odkrycie nadprzewodnictwo spadek oporu elektrycznego do zera poniżej charakterystycznej temperatury zwanej temperaturą krytyczną. Po raz pierwszy zaobserwował nadprzewodnictwo

Bardziej szczegółowo

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań

FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań FIZYKA-egzamin opracowanie pozostałych pytań Andrzej Przybyszewski Michał Witczak Marcin Talarek. Definicja pracy na odcinku A-B 2. Zdefiniować różnicę energii potencjalnych gdy ciało przenosimy z do B

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Elektryczne własności ciał stałych

Elektryczne własności ciał stałych Elektryczne własności ciał stałych Izolatory (w temperaturze pokojowej) w praktyce - nie przewodzą prądu elektrycznego. Ich oporność jest b. duża. Np. diament ma oporność większą od miedzi 1024 razy Metale

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Mechanika kwantowa Elektron fala stojąca wokół jądra Mechanika kwantowa Równanie Schrödingera Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ operator różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Nadpłynność i nadprzewodnictwo

Nadpłynność i nadprzewodnictwo Nadpłynność i nadprzewodnictwo Krzysztof Byczuk Instytut Fizyki Teoretycznej, Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski 13 marzec 2019 www.fuw.edu.pl/ byczuk Tarcie, opór, dysypacja... pomaga... przeszkadza...

Bardziej szczegółowo

Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki

Chemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki dr ab. Wacław Makowski Cemia ogólna - część I: Atomy i cząsteczki 1. Kwantowanie. Atom wodoru 3. Atomy wieloelektronowe 4. Termy atomowe 5. Cząsteczki dwuatomowe 6. Hybrydyzacja 7. Orbitale zdelokalizowane

Bardziej szczegółowo

Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach)

Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Przejścia kwantowe w półprzewodnikach (kryształach) Rozpraszanie na nieruchomej sieci krystalicznej (elektronów, neutronów, fotonów) zwykłe odbicie Bragga (płaszczyzny krystaliczne odgrywają rolę rys siatki

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie cieplne ciał.

Promieniowanie cieplne ciał. Wypromieniowanie fal elektromagnetycznych przez ciała Promieniowanie cieplne (termiczne) Luminescencja Chemiluminescencja Elektroluminescencja Katodoluminescencja Fotoluminescencja Emitowanie fal elektromagnetycznych

Bardziej szczegółowo

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1. Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji. Zad. 1.1.a. Funkcja: ϕ = sin2x Zad. 1.1.b. Funkcja: ϕ = e x 2 2 Operator: f = d2 dx

Bardziej szczegółowo

Fizyka 3.3 WYKŁAD II

Fizyka 3.3 WYKŁAD II Fizyka 3.3 WYKŁAD II Promieniowanie elektromagnetyczne Dualizm korpuskularno-falowy światła Fala elektromagnetyczna Strumień fotonów o energii E F : E F = hc λ c = 3 10 8 m/s h = 6. 63 10 34 J s Światło

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11 Mechanika kwantowa : teoria nierelatywistyczna / Lew D. Landau, Jewgienij M. Lifszyc ; z jęz. ros. tł. Ludwik Dobrzyński, Andrzej Pindor. - Wyd. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa redaktora do wydania

Bardziej szczegółowo

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że FAL MATRII De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie a Cząstce materialnej

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Anna Grochola, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2014/15

Bardziej szczegółowo

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury.

Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. 1 Ciało doskonale czarne absorbuje całkowicie padające promieniowanie. Parametry promieniowania ciała doskonale czarnego zależą tylko jego temperatury. natężenie natężenie teoria klasyczna wynik eksperymentu

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki

OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach

Bardziej szczegółowo

Zadania treningowe na kolokwium

Zadania treningowe na kolokwium Zadania treningowe na kolokwium 3.12.2010 1. Stan układu binarnego zawierającego n 1 moli substancji typu 1 i n 2 moli substancji typu 2 parametryzujemy za pomocą stężenia substancji 1: x n 1. Stabilność

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski

Fizyka 2. Janusz Andrzejewski Fizyka 2 wykład 14 Janusz Andrzejewski Atom wodoru Wczesne modele atomu -W czasach Newtona atom uważany była za małą twardą kulkę co dość dobrze sprawdzało się w rozważaniach dotyczących kinetycznej teorii

Bardziej szczegółowo

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III

Cząstki elementarne i ich oddziaływania III Cząstki elementarne i ich oddziaływania III 1. Przekrój czynny. 2. Strumień cząstek. 3. Prawdopodobieństwo procesu. 4. Szybkość reakcji. 5. Złota Reguła Fermiego 1 Oddziaływania w eksperymencie Oddziaływania

Bardziej szczegółowo

1.6. Falowa natura cząstek biologicznych i fluorofullerenów Wstęp Porfiryny i fluorofullereny C 60 F

1.6. Falowa natura cząstek biologicznych i fluorofullerenów Wstęp Porfiryny i fluorofullereny C 60 F SPIS TREŚCI Przedmowa 11 Wprowadzenie... 13 Część I. Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne z pojedynczymi obiektami mikroświata.. 17 Literatura... 23 1.1. Doświadczenia dyfrakcyjno-interferencyjne

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA II. 11. Optyka kwantowa. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA II. 11. Optyka kwantowa.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA II 11. Optyka kwantowa Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/ FIZYKA KLASYCZNA A FIZYKA WSPÓŁCZESNA Fizyka klasyczna

Bardziej szczegółowo

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach

Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. Efektem Comptona nazywamy zmianę długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach Efekt Comptona. p f Θ foton elektron p f p e 0 p e Zderzenia fotonów

Bardziej szczegółowo

Wykład Budowa atomu 3

Wykład Budowa atomu 3 Wykład 14. 12.2016 Budowa atomu 3 Model atomu według mechaniki kwantowej Równanie Schrödingera dla atomu wodoru i jego rozwiązania Liczby kwantowe n, l, m l : - Kwantowanie energii i liczba kwantowa n

Bardziej szczegółowo

FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY

FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY RUCH PROSTOLINIOWY JEDNOSTAJNIE OPÓŹNIONY FIZYKA I ASTRONOMIA RUCH JEDNOSTAJNIE PROSTOLINIOWY Każdy ruch jest zmienną położenia w czasie danego ciała lub układu ciał względem pewnego wybranego układu odniesienia. v= s/t RUCH

Bardziej szczegółowo

Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, Spis treści

Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, Spis treści Podstawy mechaniki kwantowej / Stanisław Szpikowski. - wyd. 2. Lublin, 2011 Spis treści Przedmowa 15 Przedmowa do wydania drugiego 19 I. PODSTAWY I POSTULATY 1. Doświadczalne podłoŝe mechaniki kwantowej

Bardziej szczegółowo

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu:

Atom wodoru. Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: ATOM WODORU Atom wodoru Model klasyczny: nieruchome jądro +p i poruszający się wokół niego elektron e w odległości r; energia potencjalna elektronu: U = 4πε Opis kwantowy: wykorzystując zasadę odpowiedniości

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.

Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Parametr porzadku W niskich temperaturach układy występuja w fazach, które łamia symetrię

Bardziej szczegółowo

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 ) Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 6 wykład: Piotr Fita pokazy: Jacek Szczytko ćwiczenia: Aneta Drabińska, Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka, Michał Karpiński Wydział

Bardziej szczegółowo

Nadprzewodnictwo. Eryk Buk. 29 października 2018 r.

Nadprzewodnictwo. Eryk Buk. 29 października 2018 r. 29 października 2018 r. Plan seminarium Definicja i podstawowe właściwości nadprzewodników. Przykłady nadprzewodników.. Co to są nadprzewodniki? Pierwsza własność (Kamerlingh Onnes, 1911) Nadprzewodnik

Bardziej szczegółowo

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera

Elementy mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera lementy mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa co to jest? Funkcja falowa Równanie Schrödingera Funkcja falowa Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii? Własności falowe

Bardziej szczegółowo

Promieniowanie dipolowe

Promieniowanie dipolowe Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej Część I: Optyka, wykład 1 wykład: Piotr Fita pokazy: Andrzej Wysmołek ćwiczenia: Paweł Kowalczyk, Barbara Piętka Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 2015/16

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna. This Book Is Generated By Wb2PDF. using

Fizyka statystyczna.  This Book Is Generated By Wb2PDF. using http://pl.wikibooks.org/wiki/fizyka_statystyczna This Book Is Generated By Wb2PDF using RenderX XEP, XML to PDF XSL-FO Formatter 18-05-2014 Table of Contents 1. Fizyka statystyczna...4 Spis treści..........................................................................?

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Wstęp do astrofizyki I

Wstęp do astrofizyki I Wstęp do astrofizyki I Wykład 13 Tomasz Kwiatkowski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wydział Fizyki Instytut Obserwatorium Astronomiczne Tomasz Kwiatkowski, OA UAM Wstęp do astrofizyki I, Wykład

Bardziej szczegółowo

Zadania z mechaniki kwantowej

Zadania z mechaniki kwantowej Zadania z mechaniki kwantowej Gabriel Wlazłowski 13 maja 2016 Rachunek zaburzeń bez czasu 1. Metodą rachunku zaburzeń obliczyć pierwszą i drugą poprawkę dla poziomów energetycznych oscylatora harmonicznego

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera

Atom wodoru w mechanice kwantowej. Równanie Schrödingera Fizyka atomowa Atom wodoru w mechanice kwantowej Moment pędu Funkcje falowe atomu wodoru Spin Liczby kwantowe Poprawki do równania Schrödingera: struktura subtelna i nadsubtelna; przesunięcie Lamba Zakaz

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 8 Fale elektromagnetyczne Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 9 Fale elektromagnetyczne 3 9.1 Fale w jednym wymiarze.................

Bardziej szczegółowo

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne

S. Baran - Podstawy fizyki materii skondensowanej Pasma energetyczne. Pasma energetyczne Pasma energetyczne Niedostatki modelu gazu Fermiego elektronów swobodnych Pomimo wielu sukcesów model nie jest w stanie wyjaśnić następujących zagadnień: 1. różnica między metalami, półmetalami, półprzewodnikami

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny Ćwiczenia nr 0 Wielki rozkład kanoniczny Jest to rozkład prawdopodobieństwa dla układu o zmiennej liczbie cząstek N. Liczbę cząstek możemy potraktować jako dodatkową liczbą kwantową układu. ψ jest to stan

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

Światło fala, czy strumień cząstek?

Światło fala, czy strumień cząstek? 1 Światło fala, czy strumień cząstek? Teoria falowa wyjaśnia: Odbicie Załamanie Interferencję Dyfrakcję Polaryzację Efekt fotoelektryczny Efekt Comptona Teoria korpuskularna wyjaśnia: Odbicie Załamanie

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie atomu z kwantowym polem E-M: C.D.

Oddziaływanie atomu z kwantowym polem E-M: C.D. Oddziaływanie atomu z kwantowym polem E-M: C.D. 1 atom jakoźródło 1 fotonu. Emisja spontaniczna wg. złotej reguły Fermiego. Absorpcja i emisja kolektywna ˆ E( x,t)=i λ Powtórzenie d 3 ω k k 2ǫ(2π) 3 e

Bardziej szczegółowo

Atomowa budowa materii

Atomowa budowa materii Atomowa budowa materii Wszystkie obiekty materialne zbudowane są z tych samych elementów cząstek elementarnych Cząstki elementarne oddziałują tylko kilkoma sposobami oddziaływania wymieniając kwanty pól

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego

Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego W5. Energia molekuł Przemieszczanie się całych molekuł w przestrzeni - Ruch translacyjny - Odbywa się w fazie gazowej i ciekłej, w fazie stałej

Bardziej szczegółowo

Atom wodoru i jony wodoropodobne

Atom wodoru i jony wodoropodobne Atom wodoru i jony wodoropodobne dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 2012/13 Spis treści Spis treści 1. Model Bohra atomu wodoru 2 1.1. Porządek

Bardziej szczegółowo

Rozkład nauczania fizyki w klasie II liceum ogólnokształcącego w Zespole Szkół nr 53 im. S. Sempołowskiej

Rozkład nauczania fizyki w klasie II liceum ogólnokształcącego w Zespole Szkół nr 53 im. S. Sempołowskiej Rozkład nauczania fizyki w klasie II liceum ogólnokształcącego w Zespole Szkół nr 53 im. S. Sempołowskiej rok szkolny 204/205 Warszawa, 29 sierpnia 204r. Zespół Przedmiotowy z chemii i fizyki Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

Nadprzewodnictwo w materiałach konwencjonalnych i topologicznych

Nadprzewodnictwo w materiałach konwencjonalnych i topologicznych LTN - Lublin 29 XI 2018 r. Nadprzewodnictwo w materiałach konwencjonalnych i topologicznych Tadeusz Domański Uniwersytet M. Curie-Skłodowskiej LTN - Lublin 29 XI 2018 r. Nadprzewodnictwo w materiałach

Bardziej szczegółowo