Nadprzewodnictwo. Eryk Buk. 29 października 2018 r.

Transkrypt

1 29 października 2018 r.

2 Plan seminarium Definicja i podstawowe właściwości nadprzewodników. Przykłady nadprzewodników..

3 Co to są nadprzewodniki? Pierwsza własność (Kamerlingh Onnes, 1911) Nadprzewodnik wykazuje się dokładnie zerową opornością: ρ = 0 dla T < T c i H < H c Druga własność (Meissner i Ochsenfeld, 1933) Nadprzewodnik wypycha ze swojego wnętrza pole magnetyczne: B wew = 0 dla T < T c i H < H c To tzw. doskonały diamagnetyzm. Można z powyższej właściwości otrzymać: B wew = µ 0 (H + M) ===== Bwew=0 M = H = χ = dm dh = 1 H=0 Pole magnetyczne maleje eksponencjalnie. Tempo jego spadku określa charakterystyczna dla danej substancji wielkość głębokość wnikania.

4 Materiały nadprzewodzące Czyste pierwiastki (np. Pb, Hg) i ich stopy (np. niobek germanu lub tytanu). Pierwiastki pod wysokim ciśnieniem: P, As, Se, Y, Sb, Te, Cs, Ba, Bi, Ce, U. Fullereny i grafit w połączeniu z pierwiastkami alkalicznymi: K 3 C 60 (18 K), Rb 3 C 60 (30 K) i C 8 K (0,2 K). Związki dwuskładnikowe, w tym tzw. związki międzymetaliczne krystalizujące się w sieci kubicznej A-15. Fazy Chevrela chalkogenki molibdenu. Nadprzewodniki organiczne. Stopy ceramiczne (np. YBaCuO).

5 Rysunek: Porównanie pól i temperatur krytycznych różnych substancji (z G. Grosso, G. P. Parravicini, 2014).

6 Rysunek: Struktura związków typu A3 B (A-15) oraz nadprzewodzące związki organiczne (z M. Cyrot i D. Pavuna, 1992).

7 Podział nadprzewodników Ze względu na temperaturę krytyczną Nadprzewodniki wysokotemperaturowe do których chłodzenia wystarcz ciekły azot i niskotemperaturowe do których chłodzenia potrzeba ciekłego helu. Ze względu na opis mikroskopowy Nadprzewodniki standardowe, opisywane teorią BCS i jej pochodnymi oraz nadprzewodniki niestandardowe. Ze względu na reakcję na mole magnetyczne Typ I charakteryzowany przez jedną wartość pola krytycznego i typ II charakteryzowany przez dwie wartości.

8 Typ I całkowicie wyrzuca pole magnetyczne dla H [0, H c ]. Typ II dla pola w przedziale [0, H c1 ] jest w stanie nadprzewodzącym, w przedziale [H c1, H c2 ] w stanie mieszanym (Abrikosova). Rysunek: Magnetyzacja funkcji pola (z J. F. Annett, 2004) Oba typy są nadprzewodnikami standardowymi.

9 Rysunek: Wiry w cynowej sferze i folii (z V. V. Schmidt, 1997), zaciemniono obszary nadprzewodzące.

10 Pozostałe właściwości nadprzewodników Z prostych rozważań termodynamicznych otrzymuje się: G n (T, H c = 0) G s (T, H C = 0) = 1 2 µ 0H 2 c (T ), p, T = const. Stąd otrzymujemy wzór na skok ciepła właściwego: ( ) 2 dhc C s (T = T c ) C n (T = T c) = µ 0 T c > 0. dt T =T c Znaleziono zależność temperatury krytycznej od masy jonu sieci krystalicznej: H c, T c M α, α 1 2 Za pomocą elektronowej spektroskopii tunelowej można też wykryć przerwę energetyczną (po prawej z J. F. Annett, 2004).

11 Istota teorii Bardeena, Coopera i Schrieffera (1957) Elektrony, poprzez oddziaływanie z siecią krystaliczną, zaczynają efektywnie oddziaływać między sobą w sposób przyciągający. Wiążą się w tzw. pary Coopera. Pary te kondensują przechodzą w fazę nadprzewodzącą. Uwaga! to cała rodzina modeli. My będziemy używać kolejnych, czasem brutalnych, przybliżeń, pomimo których teoria BCS będzie dawać wyniki zgodne jakościowo, a nawet ilościowo z eksperymentami.

12 Oddziaływania elektronów z siecią Rysunek: Deformacja potencjału w wyniku deformacji sieci (z J. F. Annett, 2004)

13 Oddziaływania elektronów z siecią Analiza fali w sieci krystalicznej daje oddziaływanie zmiany gęstości ładunku z elektronami: V q 2 ω q (ɛ k+q ɛ k ) 2 2 ωq 2. Podobne wyniki daje prostszy model. Potencjał kulombowski (w przestrzeni pędów) dany jest przez: V C (q k k ) = κ 4πe2 q 2. W rzeczywistym metalu dochodzi do ekranowania przez ładunki sieci krystalicznej. Modulowanie potencjału kulombowskiego zanikiem eksponencjalnym (przybliżenie Thomasa-Fermiego) daje: V T F (q) = κ 4πe2 4πe 2 q 2 ks 2 = κ (k k ) 2 ks 2.

14 Pary Coopera Jak pokazaliśmy na prostych modelach oddziaływania z siecią mogą prowadzić do efektywnego przyciągania elektronów. Odtąd przyjmiemy efektywne oddziaływanie: V (k) = V = const. ω k < ω D Rozważmy morze Fermiego w T = 0. Dodajmy do niego parę elektronów oddziałujących między sobą powyższym potencjałem i znajdźmy nową energię stany podstawowego. Ogólną funkcję falową 2 elektronów można podzielić na część spinową i orbitalną. Tą ostatnią można rozpisać w bazie fal płaskich. Najniższa energia będzie odpowiadała zerowemu pędowi środka masy układu, czyli przeciwnym pędom elektronów: ψ(r 1, r 2, σ 1, σ 2 ) = φ(r 1, r 2 )χ(σ 1, σ 2 ) = χ(σ 1, σ 2 ) g k e ikr 1 e ikr 2 k>k F

15 Pary Coopera Po wstawieniu tej funkcji do równania Schrödingera i wykonaniu transformaty Fouriera otrzymujemy: (E 2ɛ k )g k = V g k k >k F Po wysumowaniu i skróceniu: 1 V = 1 2ɛ k >k k E. F Po uciągleniu: 1 EF V = n(e + ω D dɛ F ) E F 2ɛ E = 1 2 n(e F ) ln 2E F E + 2 ω D. 2E F E Dla słabego sprzężenia n(0)v 1, co pozwala przybliżyć: 2E F E 2 ω D e 2/λ, λ = V n(e F )

16 Stan podstawowy Bardeen, Cooper i Schrieffer zaproponowali następującą formę funkcji falowej stanu podstawowego: ( ) Ψ BCS = const. exp α k c k c k = k ( u k + v k c k c k ) 0, = k gdzie wielkości vk 2 jest interpretowana jako prawdopodobieństwo, że stan (k, k ) jest zajęty, a u 2 k, że nie jest. Aby znaleźć wyrażenia na v k i u k wystarczy rozwiązać problem wariacyjny: δ Ψ BCS ξ k n k V kσ c k c k c l c l Ψ BCS = 0, k,l<k F gdzie ξ k = ɛ k µ Jako, że vk 2 + u2 k = 1 warto wprowadzić: v k = cos θ k i u k = sin θ k.

17 Stan podstawowy Daje to: θ k Ψ BCS H µn Ψ BCS = 0 = = 2ξ k sin(2θ k ) V l cos(2θ k ) sin(2θ l ), skąd: tg(2θ k ) = V l sin(2θ l) 2ξ k Definiujemy teraz następując wielkości: = V u l v l = 1 2 V sin(2θ l ) l l E k = 2 + ξk 2 = 2 + (ɛ k µ) 2

18 Energia stanu podstawowego Po podstawieniu do poprzedniego równania: = 1 2 V. l 2 + ξk 2 Po uciągleniu i odcałkowaniu: ( ) 1 V n(e F ) = ωd sinh 1 = 2 ω D e 1/V n(e F ), dla słabego sprzężenia (n(0)v 1). Daje nam to wzory na u k i v k : u 2 k = 1 ( 1 ξ ) k vk 2 = 1 ( 1 + ξ ) k 2 E k 2 E k

19 Energia stanu podstawowego Obliczmy średnie energie w stanach zwykłym i nadprzewodzącym: ( ) E s = k Ich różnica wynosi: E s E n = Po uciągleniu: k >k F ξ k ξ2 k E k ( ξ k ξ2 k E k 2 V, E n = ) + k <k F ( = 2 k >k F k <k F 2ξ k. ξ k ξ2 k ( E k ) ξ k ξ2 k E k 2 U s (0) U n (0) = 1 2 n(e F ) 2 (0) = 1 2 µ 0H 2 c (0) M 1, gdzie skorzystaliśmy tego, że ω D M 1/2. ) V = 2 V.

20 Stany wzbudzone Aby znaleźć stany wzbudzone zastosujemy przybliżenie bazujące na teorii Wicka: c k c k c k c k c k c k c k c k + c k c k c k c k. Wówczas nasz hamiltonian da się zapisać jako: H = ξ k c kσ c kσ ( ) c k c k + c k c k. kσ k Nowy hamiltonian można zdiagonalizować transformacją Bogoliubva-Valatina daną operatorem [ U: ] uk v U = k v k u k Mamy [ teraz: ] [ ] U ξk Ek 0 U = oraz ξ k 0 E k [ ] bk b k [ ] = U ck c k

21 Stany wzbudzone Zdiagonalizowany hamiltonian ma postać: H = ) E k (b k b k + b k b k. k Operatory b opisują fermionowe, kwazicząstkowe wzbudzenia, zwane bogoliubonami, o energii: E k = ξk Widać, że parametr gra rolę minimalnej energii wzbudzenia. Tenże jest wyrażony przez: = V c k c k = V u kv k 1 b k b k b k b k. k k

22 Stan koherentny Dla stanu koherentnego: N φ 1 Josephson przewidział, że gęstość prądu między dwoma nadprzewodnikami dana będzie przez: J = J 0 sin(φ 1 φ 2 ). Ponadto jeśli rozważymy prąd w nadprzewodzącym pierścieniu to po jednym przejściu faza musi się zmieniać o 2π. Stąd wynika kwantyzacja strumienia magnetycznego. W wyniku deformacji sfery Fermiego następuje złamanie symetrii U(1) Z 2 (tylko transformacje {0, π} pozostawiają hamiltonian niezmienionym). Przez złamanie symetrii pole cechowania robi się masywne fotony zachowują się jakby miały masę, co ogranicza ich zasięg.

23 Skończone temperatury Jako, że średnie liczby obsadzeń bogoliubonów opisane są rozkładem Fermiego-Diraca, to podstawiając można otrzymać wzór: = V ( ) Ek tgh, 2E k k 2k B T co po uciągleniu: ( ) ωd 1 (ɛ µ) 1 = V n(e F ) dɛ 0 (ɛ µ) 2 + tgh k B T i odcałkowaniu pozwala uzyskać: k B T c 1, 13 ω D e 1/n(E F )V. W temperaturze T c parametr dąży do zera, a spektrum wzbudzeń staje się takie jak dla stanu normalnego.

24 Wielkości termodynamiczne Posługując się zwyczajową definicją entropii dla fermionów: S = 2k B [(1 n k ) ln(1 n k ) + n k ln(n k )], k można wyrazić różnicę ciepła właściwego między fazami poprzez parametry mikroskopowe. Otrzymujemy: (C s C n ) ( Tc = n(e F ) d ) dt 2 Reprodukuje to skok ciepła rejestrowany doświadczalnie. T c.

25 Podsumowanie Nadprzewodniki charakteryzują się zerową opornością i doskonałym diamagnetyzmem. Substancje dokonują przejścia fazowego w stan nadprzewodzący poniżej temperatury i pola krytycznej. Nadprzewodniki dzieli się na typ I i II oraz na wysoko- i niskotemperaturowe. Nadprzewodzą pierwiastki czyste, stopy, a nawet związki organiczne. Za nadprzewodnictwo odpowiada kondensat par Coopera wyjaśnia nadprzewodnictwo niskotemperaturowe I i II typu. Wysokotemperaturowego jeszcze nie wyjaśniono w satysfakcjonujący sposób na gruncie teoretycznym.

26 Literatura J. F. Annett, Supercnductivity, Superfluids and condensates, Oxford University Press, Nowy Jork, 2004 M. Cyrot, D. Pavuna, Wstęp do nadprzedodnictwa, Wydawnicto Naukowe PWN, Warszawa 1996 V. V. Schmidt, The Physics of Superconductors, Springer, 1997 M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, 1 ed., McGraw-Hill Inc., 1975 G. Grosso, G. P. Parravicini, Solid State Physics, 2 ed., Elsevier Ltd., 2014 K. Fossheim and A. Sudbø, Superconductivity Physics and Applications, John Wiley & Sons Ltd., 2004 S. Fujita, K. Ito, S. Godoy, Quantum Theory of Conducting Matter Supercnductivity, Springer, 2009

27 Dziękuję za uwagę.

28 Właściwości termodynamiczne nadprzewodników Pod stałym ciśnieniem i temperaturą: Hc dg = µ 0 MdH = µ 0 HdH = G s = µ H2 c (T ) = = G s (T, H c ) G s (T, 0) = G n (T, 0) G s (T, 0) Wzór na różnicę entropii między stanem nadprzewodzącym i przewodzącym: ( ) Hc S s S n = H c T W

29 Oddziaływania elektronów z siecią Podłużna fala przemieszczająca się w sieci krystalicznej wzdłuż osi x będzie miała postać: u q exp( iω q t + iqx) Zmiana gęstości ładunku w kierunku x będzie przyciągała elektrony. Prędkość Fermiego jest kilka rzędów wielkości większa niż prędkość dźwięku w typowym metalu. Przyjmiemy więc, że elektron podąża za falą w sposób natychmiastowy. Odchylenie w gęstości elektronów będzie dane przez: C q (q) exp( ω q t + iqx) ==== liniowe A w u qq qqu q n(r) exp( ω q t + iqx). To tzw. przybliżnie potencjału deformującego. Konstruuje się hamiltonian postaci: H F = d 3 r 1 2 q [ ] A q qu q n(r) exp( ω q t + iqx)ψ ()

30 Oddziaływania elektronów z siecią Da się go wyrazić przez: H F = 1 ( ) V q c k+q k q 2 c ka q + h. c., V q = A q iq 2ω q Użycie metody perturbacyjnej, przybliżenia Markowa (pomijalny czas oddziaływań) oraz słabego sprzężenia daje wzór na energię oddziaływania: V q 2 ω q (ɛ k+q ɛ k ) 2 2 ωq 2. Jak widać energia ta jest ujemna dla ɛ k+q ɛ k < ω q.