Notebook. Spis treści

Transkrypt

1 Spis treści 1 Notebook 2 Implementacja filtrowania: funkcja lfilter 2.1 Dla przypomnienia: Działanie filtra w dziedzinie czasu Implementacja w pythonie 3 Badanie własności filtra w dziedzinie czasu i częstości: 3.1 Zadanie: budujemy funkcję do ilustracji własności filtra 4 Funkcje do projektowania filtrów 4.1 FIR firwin Przykłady: Zbadaj włsności przykładowych projektów Zadanie: Zaprojektuj i zbadaj własności filtra: Zadanie: Znajdź rząd filtra FIR: firwin Zadanie: filtr wielopasmowy 5 Filtry IIR 5.1 Funkcje do projektowania filtrów IIR dostępne w module scipy.signal Filtr Butterwortha Filtr Czebyszewa I rodzaju Filtr Czebyszewa II rodzaju Filtr eliptyczny 5.2 Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym Zadanie Zadanie Zadanie Zadanie: filtr pasmowy do wyszukiwania wrzecion snu Zadanie 5: uwaga na odpowiedź impulsową Zadanie: Uwaga na odpowiedź schodkową 5.3 Przepróbkowywanie Przepróbkowywanie do góry: Przepróbkowanie do dołu: Zmiana częstości o wymierną ilość razy: Zadanie 6 Notebook notebook o filtrach Ustawiamy parametry wyświetlania i font. # encoding: utf-8

2 % matplotlib inline import matplotlib matplotlib.rcparams['figure.figsize'] = (7,7)#(10, 7) matplotlib.rcparams.update({'font.family': 'Arial'}) matplotlib.rcparams.update({'font.size': 10}) from IPython.core.display import display, HTML display(html("<style>.container { width:100%!important; }</style>")) Importujemy podstawowe moduły: import numpy as np import pylab as py Importujemy funkcje specyficzne dla filtrowania w pythonie: from scipy.signal import freqz, group_delay #funkcja obliczająca funkcję systemu from scipy.signal import firwin, firwin2 # funkcje do projektowania filtrów FIR from scipy.signal import butter, buttord # funkcje do projektowania filtrów from scipy.signal import cheby1, cheb1ord # funkcje do projektowania filtrów from scipy.signal import cheby2, cheb2ord # funkcje do projektowania filtrów from scipy.signal import ellip, ellipord # funkcje do projektowania filtrów eliptycznych from scipy.signal import lfilter, filtfilt # funkcje do aplikowania filtrów Implementacja filtrowania: funkcja lfilter Dla przypomnienia: Działanie filtra w dziedzinie czasu Najczęściej, wyjście filtra jest kombinacją liniową:

3 gdzie: liczba przeszłych próbek wejściowych liczba przeszłych próbek wyjściowych użytych do obliczenia aktualnego wyjścia. Większa z liczb i określa "rząd" filtra. Zauważmy, że matematycznie operacje te odpowiadają splataniu próbek wejściowych z wektorem i próbek wyjściowych z wektorem. Implementacja w pythonie Filtrowanie zgodne z powyższymi równaniami zaimplementowane jest w pythonie w module scipy.signal jako funkcja lfilter. Podstawowe wywołanie tej funkcji dla sygnału we wygląda następująco: wy = scipy.signal.lfilter(b,a,we) gdzie b, a są to współczynniki z poprzedniego równania. Badanie własności filtra w dziedzinie czasu i częstości: Przy projektowaniu filtra musimy brać pod uwagę jego następujące własności: - w dziedzinie częstości: - moduł transmitancji (funkcji przenoszenia) - jest to zależność modułu funkcji systemu od częstości - opóźnienie grupowe - opóźnienie fazowe - w dziedzinie czasu: - funkcję odpowiedzi impulsowej - funkcję odpowiedzi schodkowej Zadanie: budujemy funkcję do ilustracji własności filtra Nasza funkcja będzie przyjmowała na wejściu: * współczynniki filtra a, b, * wektor zawierający częstości f, dla których własności mają być policzone, * długość odcinka czasu, T, na którym mają być prezentowane własności czasowe filtra, oraz częstość próbkowania Fs. Funkcja ta będzie rysowała wszystkie powyżej wspomniane charakterystyki filtra. def charkterystyki(a,b,f,t,fs): # przyda nam się oś czasu od -T do T sekund t = np.arange(-t, T, 1/Fs)

4 # oś częstości przeliczamy na radiany w = 2*np.pi* f/fs # obliczamy transmitancję w, h = freqz(...) # obliczamy moduł transmitancji m = np.abs(h) # obliczamy fazę i "rozwijamy" ją faza = np.unwrap(np.angle(h)) # obliczamy opóźnienie fazowe opoznieniefazowe = - faza/w # obliczamy opóźnienie grupowe df = np.diff(faza) idx, = np.where(np.abs(df-np.pi)<0.05) #to zabezpieczenie na błędy przy "rozwijaniu" fazy df[idx] = (df[idx+1]+df[idx-1])/2 grupowe = - df/np.diff(w) # obliczamy odpowiedź impulsową x = np.zeros(len(t)) x[len(t)//2] = 1 # impuls y = lfilter(b,a,x) # obliczamy odpowiedź schodkową s = np.zeros(len(t)) s[len(t)//2:] = 1 # schodek ys = lfilter(b,a,s) # przepuszczamy impuls przez filtr i obserwujemy odpowiedź impulsową # rysujemy fig = py.figure() py.subplot(3,2,1) py.title('moduł transmitancji') py.plot(f,20*np.log10(m)) py.ylabel('[db]') py.grid('on') py.subplot(3,2,3) py.title('opóźnienie fazowe') py.plot(f, opoznieniefazowe) py.ylabel('próbki') py.grid('on')

5 py.subplot(3,2,5) py.title('opóźnienie grupowe') py.plot(f[:-1],grupowe) py.ylabel('próbki') py.xlabel('częstość [Hz]') py.grid('on') py.ylim([, np.max(grupowe)+1]) py.subplot(3,2,2) py.title('odpowiedź impulsowa') py.plot(t, x) py.plot(t, y) py.xlim([-t/2,t]) py.grid('on') py.subplot(3,2,4) py.title('odpowiedź schodkowa') py.plot(t, s) py.plot(t, ys) py.xlim([-t/2,t]) py.xlabel('czas [s]') py.grid('on') fig.subplots_adjust(hspace=.5) py.show() Testujemy: b = firwin(54,0.5)# licznik a = np.array([1.0]) # mianownik Fs = 100 T = 1 f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) charkterystyki(a,b,f,t,fs) Funkcje do projektowania filtrów W bibliotece scipy.signal jest kilka funkcji do projektowania filtrów o zadanych parametrach. My skupimy się na dwóch zasadniczych grupach: * FIR - filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej * klasyczne IIR - filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej

6 FIR Filtry typu FIR zwykle wymagają znacznie wyższych rzędów aby osiągnąć transmitancję o porządanej formie. Mają jednak dwie podstawowe zalety: * ich funkcja odpowiedzi jest skończona opisana wektorem b - efekty brzegowe sięgają z obu końców filtrowanego sygnału na dokładnie połowę długości wektora b * mają liniową zależnaość fazy od częstości. Z tego powodu opóżnienie grupowe dla wszystkich częstości jest takie samo. W module scipy.signal mamy kilka funkcji do projektowania filtrów typu FIR: firwin i firwin2. firwin Najprostszą koncepcyjnie metodą projektowania filtrów FIR jest metoda okienkowa. Metoda składa się z następujących kroków: w dziedzinie częstości projektowana jest idealna funkcja przenoszenia, obliczana jest od niej odwrotna transformata Fouriera, następnie otrzymana sekwencja czasowa (odpowiedź impulsowa) jest przemnażana przez wybrane okno. Metoda ta zaimplementowana jest w funkcji scipy.signal.firwin(numtaps, cutoff, width=none, window='hamming', pass_zero=true, scale=true, nyq=1.0). Pozwala ona projektować filtry dolno- i górno- przepustowe oraz pasmowo przepustowe i pasmowo zaporowe metodą okienkową. Najważniejsze parametry (kompletny opis w dokumentacji) numtaps: int, ilość współczynników filtru (rząd filtru+1). Liczba ta musi być parzysta jeśli pasmo przenoszenia ma zawierać częstość Nyquista. cutoff: częstość odcięcia filtru. Może być jedną liczbą zmiennoprzecinkową dla filtru dolnolub górno- przepustowego lub tablicą dla filtrów pasmowych. Wyrażamy ją w tych samych jednostkach co nyq i musi zawierać się pomiędzy 0 a nyq. window: napis lub krotka: określa jakiego okna użyć do projektu filtru. Może to być dowolne okno spośród opisanych w scipy.signal.get_window pass_zero: bool, Jeśli True to zero jest przenoszone, jeśli False to nie jest. Ten parametr decyduje jak jest interpretowane pierwsze pasmo od 0 do cutoff - czy ma to być pasmo przenoszone czy tłumione. nyq: float. Częstość Nyquista. Zwraca: współczynniki b Przykłady: Zbadaj włsności przykładowych projektów We wszystkich poniższych przykładach zakładamy, że częstość próbkowania wynosi 256Hz: filtr dolnoprzepustowy rzędu 20 z częstością odcięcia 40Hz: firwin(21, 40, nyq= 128) Fs = 128

7 T = 0.2 f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) b = firwin(21, 40, nyq= 128) charkterystyki(1,b,f,t,fs) filtr górnoprzepustowy rzędu 15 z częstością odcięcia 5 Hz: firwin(17, 15, nyq= 128, pass_zero=false) Fs = 256 T = 1 f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) b = firwin(17, 15, nyq= 128, pass_zero=false) charkterystyki(1,b,f,t = 0.2,Fs=Fs) pasmowo przepustowy 51 rzędu przenoszący częstości pomiędzy 8 a 14 Hz: firwin(51, [8, 14], nyq= 128, pass_zero=false) Fs = 256 f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) b=firwin(51, [8, 14], nyq= Fs/2, pass_zero=false) charkterystyki(1,b,f,t = 0.2,Fs=Fs) Zadanie: Zaprojektuj i zbadaj własności filtra: FIR dolno z pasmem przenoszenia od 30 Hz dla sygnału próbkowanego 256 Hz Zadanie: Znajdź rząd filtra FIR: dolnoprzepustowego z pasmem przenoszenia do 40 Hz dla sygnału próbkowanego 256 Hz, tak aby dla częstości powyżej 45 Hz jego tłumienie było nie mniejsze niż 20dB. firwin2 Funkcja scipy.signal.firwin2(numtaps, freq, gain, nfreqs=none, window='hamming', nyq=1.0)

8 również implementuje okienkową metodę projektowania filtrów FIR. Daje ona nieco większą swobodę w kształtowaniu idealnej funkcji przenoszenia. Zadaje się ją przez podanie dwóch wektorów: * freq i Wektor freq definiuje punkty w częstości (jednostki takie same jak nyq, muszą zawierać 0 i nyq) dla których znana jest wartość pożądanego przenoszenia. Wartości freq muszą być ułożone w kolejności rosnącej, dopuszczalne jest powtórzenie tej samej wartości częstości i odpowiadających im różnych wartości gain aby zdefiniować nieciągłość funkcji przenoszenia. * gain Pożądane wartości przenoszenia odpowiadające kolejnym częstościom definiowane są w gain. * Znaczenie pozostałych parametrów jest takie samo jak dla ``firwin. Zadanie: filtr wielopasmowy Zaprojektuj filtr przenoszący częstości w pasmach pomiędzy : 10-11, i Hz, który w paśmie zaporowym ma co najmniej 60 db tłumienia. Fs =100 T = 2 f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) freq = np.array([, 10, 10, 11, 11, 20, 20, 21, 21, 30, 30, 31, 31, 50]) gain = np.array([,, 1, 1,,, 1, 1,,, 1, 1,, ]) b = firwin2(100, freq, gain, nyq= 50) charkterystyki(1,b,f,t,fs) Filtry IIR Filtry o nieskończonej odpowiedzi impulsowej (infinite impulse response, IIR) mają zazwyczaj dużo niższe rzędy niż filtry o skończonej odpowiedzi impulsowej (finite impulse response, FIR) z analogicznym poziomem tłumienia i szerokością pasma przejściowego. W module scipy.signal mamy zaimplementowane kilka funkcji do projektowania optymalnych pod różnymi względami filtrów w klasycznych konfiguracjach: dolno- albo górnoprzepustowe i pasmowo-przepustowe albo pasmowo-zaporowe. Funkcje do projektowania filtrów IIR dostępne w module scipy.signal W module scipy.signal dostępne są funkcje do projektowania czterech typów filtrów: Butterwortha, Czebyszewa typu I i II, oraz eliptyczny. Do opisu wymagań projektowych funkcje te wykorzystują następujące pojęcia: * wp, ws krawędzie pasma przenoszenia i tłumienia. Częstości są znormalizowane do zakresu od 0 do 1 (1 odpowiada częstości Nyquista) przykładowo: * * dolno-przepustowy: wp = 0.2, ws = 0.3 * * górno-przepustowy: wp = 0.3, ws = 0.2 * * pasmowo-przepustowy: wp = [0.2, 0.5], ws = [0.1, 0.6] * * pasmowo-zaporowy: wp = [0.1, 0.6], ws = [0.2, 0.5] * gpass maksymalna dopuszczalna strata w pasmie przenoszenia (w funkcjach projektujących filtry jest to rp) (db). * gstop minimalne wymagane tłumienie w pasmie tłumienia (w funkcjach projektujących filtry jest to rs) (db). * btype typ filtra

9 ('lowpass', 'highpass', 'bandpass', 'bandstop'). Funkcje do projektowania filtrów są zaimplementowane parami: * jedna pomaga dobierać rząd filtru do wymagań projektowych, * druga oblicza współczynniki filtru. W poniższych przykładach przyjmiemy: T = 0.3 Fs = 100 # Hz f = np.arange(0.01,fs/2,0.01) wp = 10/(Fs/2) ws = 30/(Fs/2) gpass = 1 gstop = 25 analog= rp = gpass rs = gstop Filtr Butterwortha daje gładką (bez tętnień) funkcję przenoszenia w całym zakresie częstości. [n,wn]=buttord(wp, ws, gpass, gstop) [b,a]=butter(n,wn) charkterystyki(a,b,f,t,fs) print('filtr Butterwortha, rząd: {}, częstość odcięcia {:.3f}'.format(n,Wn*Fs/2)) Filtr Czebyszewa I rodzaju gładka funkcja przenoszenia w paśmie tłumienia, minimalizowane są tętnienia w paśmie przenoszenia [n,wn]=cheb1ord(wp, ws, gpass, gstop, analog) [b,a]=cheby1(n, rp, Wn, btype='low', output='ba') charkterystyki(a,b,f,t,fs) print('czebyszewa I Typu: rząd: {}, częstość odcięcia {:.3f}'.format(n,Wn*Fs/2)) Filtr Czebyszewa II rodzaju gładka funkcja przenoszenia w paśmie przenoszenia, minimalizowane tętnienia w paśmie tłumienia

10 [n,wn]=cheb2ord(wp, ws, gpass, gstop, analog=); [b,a]=cheby2(n, rs, Wn, btype='low', analog=, output='ba') charkterystyki(a,b,f,t,fs) print('czebyszewa II Typu: rząd: {}, częstość odcięcia {:.3f}'.format(n,Wn*Fs/2)) Filtr eliptyczny daje najostrzejsze przejście pomiędzy pasmem tłumienia i przenoszenia przy tym samym rzędzie w porównaniu z wyżej wymienionymi filtrami, tętnienia są obecne zarówno w paśmie przenoszenia jak i w paśmie tłumienia [n,wn]=ellipord(wp, ws, rp,rs); [b,a]=ellip(n, rp, rs, Wn, btype='low', analog=, output='ba') charkterystyki(a,b,f,t,fs) print('eliptyczny: rząd: {}, częstość odcięcia {:.3f}'.format(n,Wn*Fs/2)) Filtrowanie z zerowym przesunięciem fazowym Zadanie Filtrowanie sygnałów off-line można zrealizować tak, aby sygnał wyjściowy nie miał przesunięcia fazowego. Procedura powyższa zaimplementowana jest w funkcji: scipy.signal.filtfilt. Jej działanie i porównanie z efektami funkcji lfilter przedstawia poniższy przykład: # częstość próbkowania Fs = # projekt dolnoprzepustowego filtra Butterwortha 5 rzędu # o częstości odcięcia 10 Hz [b,a] = butter(...) # obliczamy funkcję przenoszenia w,h = freqz(...) transmitancja =... #opóźnienie grupowe grupowe = -np.diff(np.unwrap(np.angle(h)))/np.diff(w) # przeliczamy skalę w (radiany) na częstości w Hz f =... # generujemy sygnał t = np.arange(,1,1/fs) s = np.sin(2*np.pi*5*t)*np.hanning(len(t))

11 # Filtrowanie z zerowym opoznieniem fazowym y = filtfilt(...) # Filtrowanie standardowe y1 = lfilter(b,a,s) # WYKRESY py.subplot(2,2,1) py.plot(f,20*np.log10(transmitancja)) # przeliczenie modułu transmitancji na db py.title('moduł transmitancji') py.ylabel('[db]') py.subplot(2,2,3) py.plot(f[:-1], grupowe ) py.title('opoznienie grupowe') py.xlabel('[hz]') py.ylabel('punkty') py.subplot(1,2,2) py.plot(t,s) py.plot(t,y,'g.') py.plot(t,y1,'r') py.legend(('s','filtfilt','lfilter')) py.xlabel('[s]') py.title('sygnaly') py.show() Zadanie Skonstruować filtry dolnoprzepustowe rzędu n=5, o częstości odcięcia 30 Hz przy częstości próbkowania sygnału 128 Hz, rp = 0,5 db, rs = 20 db, przy pomocy wszystkich podanych powyżej funkcji i porównać ich własności. Zadanie Dobrać rząd i zaprojektować, a następnie zbadać własności otrzymanego filtru Butterwortha spełniającego poniższe kryteria: pasmo przenoszenia Hz, pasmo tłumienia zaczyna się 500 Hz od każdego z brzegów pasma przenoszenia, próbkowanie 10 khz, najwyżej 1 db tętnienia w paśmie przenoszenia, co najmniej 60 db tłumienia w paśmie tłumienia.

12 Zadanie: filtr pasmowy do wyszukiwania wrzecion snu Zaprojektować filtr do wyławiania wrzecion snu z sygnału. Wrzeciona snu to struktury w sygnale EEG rejestrowanym w czasie snu zawierające się w paśmie Hz. Działanie filtra przetestować na sygnale: Sygnał ten to fragment zapisu EEG z II stadium snu elektroda C4 próbkownie 128Hz. s = np.loadtxt('c4spin.txt') # wczytujemy sygnał z pliku tekstowego Fs = 128 t = np.arange(,len(s))/fs # przygotowujemy oś czasu py.plot(t, s) [b,a] = butter(...) sf = filtfilt(...) py.plot(t,sf) py.show() Zadanie 5: uwaga na odpowiedź impulsową Przydadzą nam się pliki: * Plik z sygnałem EKG * Plik z metadanymi do tego sygnału Proszę: * wykreślić pierwsze 10 sekund sygnału * zastosować filtr górnoprzepustowy Butterwartha o częstościach odcięcia: 0.01, 0.1, 0.5 -> zaobserwuj jak długo stabilizuje się sygnał * Zastosuj filtr pasmowoprzepustowy (11-14 Hz) i wykreśl wynik jego zastosowania na tle poprzedniej wersji sygnału. Zinterpretuj wynik w kontekście funkcji odpowiedzi impulsowej tego filtra. s = np.fromfile('ekg.bin', dtype='<f') # tworzymy tablicę sig o typie określonym przez ''dtype'' # ustawiamy częstość próbkowania Fs = 128 # tworzymy wektor czasu t = np.arange(,len(s))/fs # ustalamy zakres indeksów sygnału i czasu do wyświetlania zakres = np.logical_and(<t, t<10) py.plot(t[zakres],s[zakres]) # filtr górnoprzepustowy (0.01, 0.1, 0.5) [b,a] = butter(... ) sf = filtfilt(...)

13 py.plot(t[zakres],sf[zakres]) # filtr pasmowy [bl,al] = butter(... ) sf_l = filtfilt(bl,al,sf) py.plot(t[zakres],sf_l[zakres]) py.show() Zadanie: Uwaga na odpowiedź schodkową Wykorzystajmy fragment sygnału EKG z poprzedniego zadania (pomiędzy 12 a 40 -tą sekundą). * wykreśl ten fragment * zaprojektuj filtr górnoprzepustowy Butterwortha o częstości odcięcia 0.1 (potem 0.5), rzedu 1 (potem 5), * przefiltruj sygnał z tymi współczynnikami za pomocą funkcji filtfilt i lfilter, * dodaj do sygnału z lewej strony jego kopię odwróconą w czasie, * ten sygnał przefiltruj funkcją lfilter i wykreśl jego drugą połowę, * zinterpretuj uzyskane wyniki w kontekście funkcji odpowiedzi impulsowej. zakres = np.logical_and(10<t, t<40) t_z = t[zakres] s_z = s[zakres] py.plot(t_z,s_z, label = 'oryginalny') py.grid('on') # filtr górnoprzepustowy ( 0.1, 0.5) [b,a] = butter(...) sff = filtfilt(...) py.plot(t_z, sff, label = 'filtfilt') # lfilter sfl = lfilter(...) py.plot(t_z,...,label = 'lfilter') # lfilter z przedłużeniem x=np.concatenate((s_z[::-1],s_z)) sfl_p = lfilter(...) py.plot(t_z,sfl_p[len(t_z):],label = 'lfilter z przedłużaniem') py.legend() py.show() Przepróbkowywanie Przepróbkowywanie do góry: Zwiększamy częstość prókowania całkowitą ilość razy P

14 Najpowszechniej stosowana metoda polega na dodaniu P zer pomiędzy istniejące próbki sygnału tak aby osiągnął on P-krotnie większą długość. Następnie taki rozciągnięty sygnał filtrujemy filtrem dolnoprzepustowym o częstości odcięcia nie większej niż częstość Nyquista oryginalnego sygnału rozciąganie sygnału nie dokłada do niego nowej informacji więc i tak nic nie tracimy. Przykład przepróbkowania do góry: t = np.arange(,0.05,0.001) # czas x = np.sin(2*np.pi*30*t) + np.sin(2*np.pi*60*t) # sygnał py.subplot(3,1,1) py.plot(x,'.') py.title('sygnał oryginalny') py.subplot(3,1,2) X = np.zeros(4*len(x)) X[::4] = x py.plot(x,'.') py.title('sygnał poprzetykany zerami') [b,a] = butter(8,...) # filtr powinien przepuszczać tylko te częstości, # które były w oryginalnym sygnale tzn. poniżej pierwotnego Nyqista y = filtfilt(b,a,x); # filtrujemy dolnoprzepustowo py.subplot(3,1,3) py.plot(y,'.') py.show() Przepróbkowanie do dołu: Zmniejszamy częstość próbkowania całkowitą ilość razy. Musimy pamiętać o tym, żeby wyfiltrować to, co było w oryginalnym sygnale powyżej docelowego Nyquista, żeby uniknąć aliasingu w wynikowym sygnale. Fs1 = # pierwotna częstość próbkowania [Hz] FN1 = Fs1/2 # pierwotna częstość Nyquista t = arange(,1,1.0/fs1) # czas probkowany 1/Fs1 f1 = 6 # Hz f2 = 60 fi = pi/2 s = sin(2*pi*t*f1+fi) + sin(2*pi*t*f2+fi) subplot(4,1,1) plot(t,s,'.-') title(u'sygnał pierwotny') # obnizamy czestosc probkowania k razy

15 k = 2 Fs2 = Fs1/k # nowa czestosc probkowania jest k razy niższa FN2 = Fs2/2 # nowa częstość Nyquista [b,a] = butter(8,fn2/fn1) # przefiltrujemy filtrem dolnoprzepustowym # tak aby nic nie zostało powyzej # docelowej częstości Nyquista ss = filtfilt(b,a,s); t2 = arange(,1,1.0/fs2) subplot(4,1,2) plot(t,ss,'.-') title(u'sygnał przefiltrowany dolnoprzepustowy') subplot(4,1,3) ss2 = ss[::k] plot(t2,ss2,'.-') title(u'sygnał przepróbkowany prawidłowo') subplot(4,1,4) ss3 = s[::k] plot(t2,ss3,'.-') title(u'sygnał przepróbkowany nieprawidłowo, bez filtrowania dolnoprzepustowego') show() Zmiana częstości o wymierną ilość razy: Zmieniamy częstość próbkowania o wymierną liczbę razy uzyskujemy składając powyższe kroki tzn. najpierw zwiększamy częstość P-krotnie, a następnie zmniejszamy Q-krotnie. Zadanie 6 Proszę napisać funkcję, która będzie przepróbkowywać sygnał o wymierną liczbę razy. Funkcja powinna przyjmować sygnał, częstość próbkowania, parametry P i Q i zwracać przepróbkowany sygnał i nową częstość próbkowania def resample(s,fs,p=1,q=1): if P>1 and isinstance(p,int): sp = np.zeros(p*len(s)) sp[...] = s fs =... [b,a] = butter(...) s = filtfilt(...) if Q>1 and isinstance(q,int): fs = fs/q

16 [b,a] = butter(...) s = filtfilt(...) s = s[...] return s,fs fs = 1000 t = np.arange(,0.05,0.001) # czas s1 = np.sin(2*np.pi*30*t) + np.sin(2*np.pi*60*t) # sygnał py.subplot(3,1,1) py.plot(s1,'.') y,fs2 = resample(s1,fs,p=10,q=1) py.subplot(3,1,2) py.plot(y,'.') py.show() fs = t = np.arange(,1,1.0/fs) f1 = 6 # Hz f2 = 40 fi = np.pi/2 s2 = np.sin(2*np.pi*t*f1+fi) + np.sin(2*np.pi*t*f2+fi) py.subplot(3,1,1) py.plot(s2,'.-') y,fs2 = resample(s2,fs,p=1,q=2) py.subplot(3,1,2) py.plot(y,'.-') py.show()